1

Cours 4

Rappels de cineacutematique

2

1 Introduction Dans les reacuteactions nucleacuteaires on a besoin de connaicirctre les eacutenergies les vitesses (ou les impulsions) des diffeacuterents noyaux (ou particules) qui interviennent Pour ce faire le physicien expeacuterimentateur doit deacutefinir un systegraveme de reacutefeacuterence le plus naturel est celui dit du laboratoire noteacute par la suite L

Deux lois fondamentales de la meacutecanique reacutegissent les chocs

La conservation de leacutenergie totale (Energie cineacutetique + Energie de masse)

La conservation de limpulsion

Appelons P

le vecteur impulsion La conservation de limpulsion entraicircne

finalincident PP

3

Dans une reacuteaction agrave 2 corps + + supposons que la particule soit au repos dans le systegraveme L du laboratoire La position de sera prise comme origine du systegraveme L et laxe des x sera fixeacute par la direction du faisceau incident

Si on construit un repegravere droit tel que le plan (xy) contiens limpulsion 3P

de la

particule alors la conservation de limpulsion entraicircne que 4P

soit dans ce

plan Pour tous les calculs on se placera dans ce plan dit plan de reacuteaction Pour les preacutevisions theacuteoriques un autre systegraveme de reacutefeacuterence noteacute G par la suite permet de simplifier ces calculs le systegraveme dit du centre de masse Le systegraveme du centre de masse est un reacutefeacuterentiel pour lequel la somme des quantiteacutes de mouvement des particules de la voie + dentreacutee (ou de la voie de sortie + ) est nulle Le systegraveme du centre de masse se deacuteplace dans le laboratoire selon laxe des x avec une vitesse constante la vitesse du centre de masse Les 2 systegravemes sont des systegravemes de reacutefeacuterence Galileacuteens En effet

4

On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse

Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir

5

- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation

6

Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction

Apregraves la reacuteaction

y

x x

y

Systegraveme L Systegraveme G

1 2 1 2

x x

y y

Systegraveme L Systegraveme G

3

4 4

3

7

2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes

Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310

8 ms)

Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc

2

v vitesse

c

v

21

1

βγ

E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc

P = impulsion (en MeV) MP

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

2

1 Introduction Dans les reacuteactions nucleacuteaires on a besoin de connaicirctre les eacutenergies les vitesses (ou les impulsions) des diffeacuterents noyaux (ou particules) qui interviennent Pour ce faire le physicien expeacuterimentateur doit deacutefinir un systegraveme de reacutefeacuterence le plus naturel est celui dit du laboratoire noteacute par la suite L

Deux lois fondamentales de la meacutecanique reacutegissent les chocs

La conservation de leacutenergie totale (Energie cineacutetique + Energie de masse)

La conservation de limpulsion

Appelons P

le vecteur impulsion La conservation de limpulsion entraicircne

finalincident PP

3

Dans une reacuteaction agrave 2 corps + + supposons que la particule soit au repos dans le systegraveme L du laboratoire La position de sera prise comme origine du systegraveme L et laxe des x sera fixeacute par la direction du faisceau incident

Si on construit un repegravere droit tel que le plan (xy) contiens limpulsion 3P

de la

particule alors la conservation de limpulsion entraicircne que 4P

soit dans ce

plan Pour tous les calculs on se placera dans ce plan dit plan de reacuteaction Pour les preacutevisions theacuteoriques un autre systegraveme de reacutefeacuterence noteacute G par la suite permet de simplifier ces calculs le systegraveme dit du centre de masse Le systegraveme du centre de masse est un reacutefeacuterentiel pour lequel la somme des quantiteacutes de mouvement des particules de la voie + dentreacutee (ou de la voie de sortie + ) est nulle Le systegraveme du centre de masse se deacuteplace dans le laboratoire selon laxe des x avec une vitesse constante la vitesse du centre de masse Les 2 systegravemes sont des systegravemes de reacutefeacuterence Galileacuteens En effet

4

On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse

Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir

5

- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation

6

Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction

Apregraves la reacuteaction

y

x x

y

Systegraveme L Systegraveme G

1 2 1 2

x x

y y

Systegraveme L Systegraveme G

3

4 4

3

7

2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes

Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310

8 ms)

Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc

2

v vitesse

c

v

21

1

βγ

E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc

P = impulsion (en MeV) MP

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

3

Dans une reacuteaction agrave 2 corps + + supposons que la particule soit au repos dans le systegraveme L du laboratoire La position de sera prise comme origine du systegraveme L et laxe des x sera fixeacute par la direction du faisceau incident

Si on construit un repegravere droit tel que le plan (xy) contiens limpulsion 3P

de la

particule alors la conservation de limpulsion entraicircne que 4P

soit dans ce

plan Pour tous les calculs on se placera dans ce plan dit plan de reacuteaction Pour les preacutevisions theacuteoriques un autre systegraveme de reacutefeacuterence noteacute G par la suite permet de simplifier ces calculs le systegraveme dit du centre de masse Le systegraveme du centre de masse est un reacutefeacuterentiel pour lequel la somme des quantiteacutes de mouvement des particules de la voie + dentreacutee (ou de la voie de sortie + ) est nulle Le systegraveme du centre de masse se deacuteplace dans le laboratoire selon laxe des x avec une vitesse constante la vitesse du centre de masse Les 2 systegravemes sont des systegravemes de reacutefeacuterence Galileacuteens En effet

4

On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse

Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir

5

- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation

6

Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction

Apregraves la reacuteaction

y

x x

y

Systegraveme L Systegraveme G

1 2 1 2

x x

y y

Systegraveme L Systegraveme G

3

4 4

3

7

2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes

Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310

8 ms)

Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc

2

v vitesse

c

v

21

1

βγ

E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc

P = impulsion (en MeV) MP

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

4

On appelle systegraveme de reacutefeacuterence Galileacuteen (ou inertiel) tout systegraveme par rapport auquel tout objet initialement au repos reste au repos ou initialement en mouvement agrave une vitesse constante conserve cette vitesse

Le mouvement drsquoune particule libre dans un systegraveme de reacutefeacuterence donneacute est entiegraverement deacutefini si lrsquoon connaicirct sa masse sa vitesse et sa direction Apregraves une interaction (choc eacutelastique ou ineacutelastique deacutesinteacutegration en vol ou agrave repos mateacuterialisation) on peut calculer n paramegravetres en fonction des paramegravetres initiaux des lois de conservation de lrsquoeacutenergie et des projections des quantiteacutes de mouvement et si lrsquoon se donne des paramegravetres manquants Par exemple dans un choc eacutelastique proton-proton les eacutenergies et directions initiales eacutetant connues si lrsquoon se donne la direction drsquoun proton diffuseacute on pourra calculer son eacutenergie la direction et lrsquoeacutenergie du deuxiegraveme proton diffuseacute Le but de ce cours est drsquoeacutetablir des relations geacuteneacuterales entre les diffeacuterentes grandeurs deacutecrivant le mouvement des particules et nous permettre ainsi de preacutevoir

5

- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation

6

Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction

Apregraves la reacuteaction

y

x x

y

Systegraveme L Systegraveme G

1 2 1 2

x x

y y

Systegraveme L Systegraveme G

3

4 4

3

7

2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes

Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310

8 ms)

Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc

2

v vitesse

c

v

21

1

βγ

E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc

P = impulsion (en MeV) MP

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

5

- les conditions eacutenergeacutetiques de production des particules par les diffeacuterents types drsquointeractions possibles - leurs caracteacuteristiques meacutecaniques qui deacutetermineront la meacutethode expeacuterimentale de deacutetection et de mesure des sections efficaces dont la connaissance est neacutecessaire pour eacutetablir les lois de force Ce cours est utile pour comprendre la production et lrsquoutilisation des particules nucleacuteaires et est neacutecessaire pour la reacutesolution des problegravemes expeacuterimentaux Dans ce qui suit traiterons le cas geacuteneacuteral des particules relativistes Nous deacuteduiront eacutegalement les formules dans le cas non relativiste Deacutefinitions Les reacutesultats expeacuterimentaux sont obtenus dans le systegraveme de reacutefeacuterence lieacute au laboratoire (L) Lrsquointerpreacutetation theacuteorique des reacutesultats se fait le plus simplement dans le systegraveme du centre de masse (G) Les reacutesultats expeacuterimentaux devront donc ecirctre transposeacutes dans le systegraveme G pour interpreacutetation

6

Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction

Apregraves la reacuteaction

y

x x

y

Systegraveme L Systegraveme G

1 2 1 2

x x

y y

Systegraveme L Systegraveme G

3

4 4

3

7

2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes

Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310

8 ms)

Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc

2

v vitesse

c

v

21

1

βγ

E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc

P = impulsion (en MeV) MP

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

6

Le systegraveme G a lrsquoavantage suppleacutementaire de permettre une simplification des calculs de cineacutematique la reacutesolution des eacutequations de conservation eacutetant souvent tregraves fastidieuse dans le systegraveme L Avant la reacuteaction

Apregraves la reacuteaction

y

x x

y

Systegraveme L Systegraveme G

1 2 1 2

x x

y y

Systegraveme L Systegraveme G

3

4 4

3

7

2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes

Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310

8 ms)

Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc

2

v vitesse

c

v

21

1

βγ

E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc

P = impulsion (en MeV) MP

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

7

2 Caracteacuteristiques dune particule dans les 2 systegravemes

Dans tout ce qui suit c repreacutesente la vitesse de la lumiegravere dans le vide (c=310

8 ms)

Une particule dans le systegraveme du laboratoire (L) M masse au repos (en uniteacute deacutenergie MeV) M=mc

2

v vitesse

c

v

21

1

βγ

E eacutenergie cineacutetique W = E + M eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV) Pour eacuteviter davoir c dans lexpression de limpulsion (qui en soit sexprime en MeVc) on lutilise sous la forme P=pc

P = impulsion (en MeV) MP

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

8

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique Une particule dans le systegraveme du centre de masse (G) M masse au repos v vitesse

c

v

21

1

E eacutenergie cineacutetique

MEW eacutenergie totale E et M sont exprimeacutees dans la mecircme uniteacute (MeV)

P = cp impulsion (en MeV)

angle par rapport agrave laxe des x compteacute positivement dans le sens trigonomeacutetrique

Mouvement de G par rapport agrave L V vitesse

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

9

c

VΒ

21

1

ΒΓ

3 Rappel des principales formules en relativiteacute restreinte pour une particule Pour que toutes les grandeurs soient dans la mecircme uniteacute (MeV) on utilisera P=pc

MM

PMEMW

2

22

1

WP

MP

PME

MEE

W

Mβ

22

22

2

21

WβMβ

MβMEEMWP

212222

Deux relations importantes en cineacutematique sont 222 MPW et WP

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

10

Pour une particule la quantiteacute 22 PW est un invariant relativiste sa valeur

est la mecircme dans tous les repegraveres galileacuteens

Dans le cas ougrave il y a plusieurs particules linvariant est22 )P()W(

i ii i mais

attention cette quantiteacute nest pas en geacuteneacuteral eacutegale agrave 2)M(

i i

4 Transformations de Lorentz pour une particule a) Relations entre les positions et les temps dans les 2 systegravemes L et G

21 B

Vtxx

21 B

tVxx

2

2

1 B

c

Vxt

t

2

2

1 B

c

xVt

t

yy

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

11

b) Relations entre les vitesses et les directions dans les 2 systegravemes L et G Systegraveme L Systegraveme G

cosvtx

sinvty

avec angle entre Ox et limpulsion

costvx

sintvy

avec angle entre xO et limpulsion

22 1

)cos(

1cos

B

tVtv

B

tVxvtx

)θ(βΒ

V)θ(v

tc

xVVv

B

)xc

Vt(

B

tV)θ(tv

t

xv

xv

cos1

cos

)2

1(

)cos(

21

221

coscos

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

12

)θ(βΒ

B)θ(v

)xc

Vt(

B)θ(tv

t

y

t

yvvy

cos1

1sin1sinsin

2

2

2

Comme x

y

v

vtg

on obtient

Κ)θ(

)θ(

Γtgθ

cos

sin1 ougrave vVBK

c) Relations entre les eacutenergies et les impulsions dans les systegravemes L et G En partant des expressions de vx et vy calculeacutees ci-dessus on a

2

22222

2

22

2

22

))cos(1(

)(sin)cos(2

c

vv

c

v yx

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

13

dougrave ))θ(BβΓ(γ

βγ cos1

1

1

2

Nous obtenons alors pour leacutenergie en L en fonction de lrsquoeacutenergie en G

Β)pWΓ())θ(ΒβΓ(W))θ(ΒβΓ(γMMγW x cos1cos1

Pour le calcul de limpulsion on utilise les relations P = MW

x

xx

xxx

v

VvΓγvMβΓ(γ

)θ(βΒ

VvMγMvcp

))cos(1

cos1

On en deacuteduit

Β)WpΓ())θ(β

ΒΓ(pp xxx

cos1

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

14

De mecircme pour la projection suivant laxe y

yy

y

yy pcγvM))θ(ΒβΓ(γ)θ(βΒ

ΒvMγMvcp

cos1

cos1

1 2

soit yy pp

Ces expressions peuvent ecirctre meacutemoriseacutees sous une forme matricielle

xx p

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

ou dans lautre sens

xxp

W

ΓΓB

ΓBΓ

p

W

yy pp

avec

21

1

BΓ

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

15

5 Cineacutematique agrave deux corps

51 Systegraveme agrave 2 particules Dans le cas geacuteneacuteral une reacuteaction nucleacuteaire provient du choc de 2 particules (ou de 2 noyaux) Dans la plupart des cas lun des 2 noyaux (cible) est au repos Dans le cas preacutesent nous traiterons le cas ougrave les 2 objets sont en mouvement

Energie totale Β)pWΒpWΓ(WWW xxt 221121

par deacutefinition de G 021 xx pp alors tt WΓW

Vitesse du centre de graviteacute

txxxx WΓΒΒ)WpΒWpΓ(pp 221121

parce que 021 xx pp de plus en utilisant lexpression de leacutenergie totale

ci-dessus on obtient t

xx

W

ppB 21

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

16

52 Retour sur linvariant relativiste

Linvariant 22 )P()W(

iii i est tregraves utile pour calculer simplement les

constantes cineacutematiques entre un systegraveme de reacutefeacuterence et un autre systegraveme Par exemple pour un systegraveme agrave deux particules

Dans le laboratoire on a K)P(P)W(W 2

21

2

21 (une certaine valeur)

Dans le systegraveme du centre de masse 0P

KW)WW( t 22

21

Pour le cas dune cible au repos 111220

2EM WM WP

22

121

2

2

2

1 2 tWPWWWW soit 12

2

2

2

1

2 2 WMMMWt

ou encore 12

2

21

2 2 EM)M(MWt

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

17

53 Reacuteaction + +

Consideacuterons la reacuteaction + + le noyau 2 eacutetant au repos dans le laboratoire Laxe des x est pris suivant la direction du faisceau

2 = 0 cos2 = 1 2 = 1 cos1 = 1 La valeur de B du centre de masse est donneacutee par

tW

p

MW

βW

MγM

γβMB 1

21

11

211

111

Dans la voie de sortie nous avons

2

3

2

3333 MWWP

2

4

2

44

2

44 MWβWP

Par deacutefinition du centre de graviteacute 43 PP De plus 43 WWWt

t

t

t

t

ΓW

)M(MΓW

W

MMWW

22

2

4

2

3

222

4

2

3

2

3

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

18

3

2

3

2

4

222

3

2

4

2

422

WWΓW

)M(MΓW

W

MMWW t

t

t

t

t

Si 2413 et MMMM on a 13 PP

54 Q de reacuteaction (ou chaleur de reacuteaction)

Cette quantiteacute ne deacutepend que des masses (et de leacutetat dexcitation du noyau de recul) Elle est deacutefinie par

Q = M1 + M2 ndash (M3 +M4)

Les reacuteactions peuvent ecirctre eacutelastiques 24

13

MM

MM

dougrave Q=0

Sinon les reacuteactions sont dites ineacutelastiques Si Q gt 0 la reacuteaction est dite exo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en eacutenergie cineacutetique

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

19

Si Q lt 0 la reacuteaction est dite endo-eacutenergeacutetique Une partie de leacutenergie de la voie dentreacutee est transformeacutee en masse Il faut donc une eacutenergie cineacutetique incidente minimum appeleacutee eacutenergie seuil pour produire cette masse

Pour le cas ougrave la particule 2 se trouve au repos dans le laboratoire

444

333

22

111

MEW

MEW

MW

MEW

et 1434321 EEEQWWWW

(conservation de leacutenergie totale)

Si on projette dans le systegraveme L les impulsions sur les axes x et y on a (conservation de limpulsion)

4433

44331

sinsin0

coscos

PP

PPP

soit 3344

33144

sinsin

coscos

PP

PPP

et apregraves eacuteleacutevation au

carreacute et sommation

331

2

3

2

1

2

4 cos2 PPPPP

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

20

En utilisant la valeur de Q ci-dessus 134 EEQE et 44

2

4

2

4 2 EMEP

En identifiant les termes des 2 eacutequations donnant P4 on obtient leacutequation geacuteneacuterale

03cos33223112

212)43(32)314(12)314(2

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

Tables de Masse Sauf pour les noyaux leacutegers les masses ne sont pas donneacutees en uniteacute deacutenergie (MeV) Il existe des tables dites de deacutefauts de masses atomiques (souvent en keV ex Wapstra et al) La masse est alors donneacutee par

M(MeV)=9315016A 0511Z + (M-A)

avec (M-A) deacutefaut de masse (agrave multiplier par 10-3

si en keV)

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

21

55 Seuil de reacuteaction Dans un choc entre deux particules ou deux noyaux la masse totale apregraves la reacuteaction peut ecirctre supeacuterieure agrave celle avant la reacuteaction Dans ce cas la reacuteaction ne peut se produire que si leacutenergie incidente deacutepasse une eacutenergie seuil Es Par deacutefinition cette eacutenergie Es est deacutefinie comme eacutetant leacutenergie pour laquelle toutes les particules de la voie de sortie sont au repos dans le systegraveme du centre de masse

)()( 2121 QMMmMMWW tt (m la masse produite)

21121 WMWWWt

Leacutenergie seuil est leacutenergie cineacutetique minimum de la particule 1 pour laquelle la

reacuteaction aura lieu 122111 MWm)MΓ(MMWEs (1)

En supposant que la particule 2 possegravede une impulsion P2

2

2

2

2

2

2

2

221

1

)P(P)W(W

WW

)P(PW

W

ΒΓ

ss

s

st

t

(2)

En remplaccedilant Pi par22

ii MW dans (2) et dans (1) on obtient la relation

suivante

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

22

0)2())(2(44 2

2122212

22

2 aEMMEaMMEEEM ss

avec

)](2[ 21 MMQQa

Si la particule 2 est au repos 2

21

2

)](2[

M

MMQQEs

56 Energie dans le laboratoire des particules eacutemises au seuil

Au seuil les particules sont eacutemises sans vitesse dans le systegraveme G par contre elles en ont une dans le laboratoire Pour une particule n

))cos(1 nnnn βΓ(WW

Au seuil de reacuteaction nous avons nn MW et 0n

dougrave ΓMW nns

et )(ΓME nns 1

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

23

En utilisant la valeur de Es calculeacutee ci-dessus et QMM

WWΓ s

21

2

dougrave

QMM

QEE

QMM

QMWMW

QMM

WWΓ sss

21

2

21

221

21

2 11

on obtient

QMM

QEEME s

nns

21

2

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

tg

(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

)()sin(

2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

)sin( 222

(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

3

2

33 1

W

M

1

2

3

2

4

2

1

2

3

2

4

2

422 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

24

57 Transformation des sections efficaces diffeacuterentielles La section efficace totale dun processus quantiteacute indeacutependante du reacutefeacuterentiel est

dd

d

ddd

d

dtot )sin(

)()sin(

)(

d

d )( et d

d )( sont les

sections efficaces diffeacuterentielles par uniteacute dangle solide dans L et G Ces quantiteacutes sont

indeacutependantes de lrsquoangle

d

d

d

d

)sin(

)sin(

)(

)(

Κθ

θ

Γtgθ

cos

sin1 (1) ougrave BK et )(1

)()sin(

2

tg

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(2)

En remplaccedilant (1) dans (2) on obtient la relation

)(sin))(cos(

)sin(

)(1

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2222

tg

tg

)(sin))(cos(

)sin(

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(3)

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

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)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

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2

322 M

MMM

W

MMWW

t

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2

3

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33 1

W

M

1

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4

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1

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MMWW

t

t

2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

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34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

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2

4

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144

2M

MMMWW

2

4

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44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

25

En diffeacuterentiant lexpression de tg nous obtenons

))θ(ΚΓ(

)θ(Κ))θ((Γ

dθ

θd

cos1

sincos 222

(4)

23222 ))(sin))(cos((

))cos(1(

)sin(

)sin(

)(

)(

d

d

d

d

58 Cas particuliers

Deacutesinteacutegration dune particule en vol

Dans ce cas particulier la voie dentreacutee est composeacutee dune seule particule

βW

p

W

ppΒ

t

xx 21

Des relations geacuteneacuterales nous deacuteduisons 111 M

MWWWW tt

t

Pour la voie de sortie les 2 particules satisfont aux relations dans le systegraveme G

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

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2

322 M

MMM

W

MMWW

t

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2

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W

M

1

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422 M

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W

MMWW

t

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2

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44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

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144

2M

MMMWW

2

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44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

26

1

2

4

2

3

2

1

2

4

2

3

2

322 M

MMM

W

MMWW

t

t

2

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W

M

1

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4

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1

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422 M

MMM

W

MMWW

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2

4

2

44 1

W

M

et dans le laboratoire

))θ(ββγ(WW 3333 cos1

))cos(1( 4444 WW

β))θ(β

β)θ(β)tg(θ

33

2

33

3cos

1sin

34

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

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2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

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2

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2

)(

M

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1

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2

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2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

27

Deacutesinteacutegration en 2 corps dune particule au repos

La particule (unique) de la voie dentreacutee est au repos B = 0 = 1 = 1

11 MWWW tt

Pour la voie de sortie

1

2

4

2

3

2

133

2M

MMMWW

2

3

2

3

3 1W

M

1

2

3

2

4

2

144

2M

MMMWW

2

4

2

44 1

W

M

Dans le reacutefeacuterentiel du laboratoire

1

2

4

2

31333

2

)(

M

MMMMWE

1

2

3

2

41444

2

)(

M

MMMMWE

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

28

)()cos(

)sin()( n

n

nn tgtg

33 34

Les deux particules de la voie de sortie sont eacutemises en opposition toutes les directions deacutemission sont eacutequiprobables

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

3lim3

Kv

vtg

Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

29

6 Approximation classique Pour E ltlt M on peut traiter les calculs de cineacutematique dans lapproximation classique Exemples

1 En neacutegligeant 2E devant 2EM limpulsion MEP 2

EMcβMcP 222 on retrouve 2

21

MvE

2 Pour la vitesse du centre de masse (dans le cas ou la particule 2 est au

repos) nous avons obtenu c

v

MME

ME

MW

WB 1

211

11

21

11

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

Vvv

11 soit 1

21

21 v

MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

311

2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

)1(4

1133311

44

33

M

MEEMEM

MM

MEQ

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

v

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

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35

1

1

2

33

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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

30

Si on neacuteglige les eacutenergies cineacutetiques devant les masses c

v

MM

MB 1

21

1

et 1

21

1 vMM

MV

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11 soit 1

21

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MM

Mv

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

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2

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2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

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1133311

44

33

M

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MM

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32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

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33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

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35

1

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33

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Kv

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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

31

3 Nous avons dautre part obtenu la relation geacuteneacuterale

0cos222)(2)(2)(2 333

2

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2

14333141314

2 EMEEMEMMEEMMEEEMQQ

En neacutegligeant 22 Q EQE ii on arrive agrave

)1()cos(2

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44

33

M

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32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

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33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

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V

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35

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33

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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

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sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

32

En meacutecanique classique on peut ajouter les vitesses Une particule de vitesse

v dans le systegraveme G aura dans le systegraveme L la vitesse Vvv

soit la construction geacuteomeacutetrique Construction geacuteomeacutetrique Dans le systegraveme G limpulsion p3 (donc v3) agrave un module constant et tourne

avec 3 Son extreacutemiteacute deacutecrit un cercle centreacute sur le centre de masse Par la

construction ci-dessus lextreacutemiteacute de v3 dans le laboratoire pointe sur un autre cercle de mecircme rayon que le preacuteceacutedent mais dont le centre est translateacute de V

3v 3v

En pointilleacute les vitesses dans le laboratoire Cercle de gauche systegraveme G

v

V

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33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

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V

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35

1

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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

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Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

33

Si 3 peut toujours varier entre 0 et 180deg il peut ne pas en ecirctre de mecircme pour

3 dans certains cas il peut y avoir un angle limite a) Si M1 lt M2 alors la vitesse V est faible et les 2 cercles sont peu deacutecaleacutes

Pour 3 =180deg on agrave 3=180deg

il ny a pas dangle limite

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

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33

3lim3

Kv

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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

34

b) Si M1 gt M2 alors V a une valeur importante et les 2 cercles sont tregraves deacutecaleacutes

La limite en 3 et 3 est donneacutee lorsque le cercle de droite est tangenteacute par v3

On a

V

v3lim3sin

ougrave

3 lim 3v

V

v3

35

1

1

2

33

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Kv

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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg

35

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33

3lim3

Kv

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Dans le cas dune reacuteaction eacutelastique

1

2lim3

sin donc 1313 M

Mθvv pp

Exemple 12

C + 1H pour Eincident = 100 MeV on a 0deg lt 3 lt 48deg