1

ÉM.V - CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE 1. Densité de courant • On se limite ici aux champs magnétostatiques créés par des courants per-manents (pour des circuits immobiles parcourus par des courants continus). • De même quʼon décrit la répartition des charges par une “densité volumique de charge” : ρ =

!

dQd"

, on peut décrire la “répartition” du courant à travers la

section dʼun conducteur par une “densité de courant” :

!

j =

!

"i < vi ># telle

que le courant à travers la section dʼun conducteur soit : I =

!

j • dS"" . ◊ remarque : on ajoute constructivement les contributions des porteurs de charge positifs et négatifs. • On se limite ici à lʼétude de circuits “filiformes” (on ignore la répartition du courant, donc l'étude est moins approfondie que celle de lʼélectrostatique). 2. Loi de Biot et Savart pour un circuit filiforme • Pour un circuit (fermé) filiforme orienté C, parcouru par un courant I constant (on oriente le circuit dans le sens du courant), le champ magnétique créé en

un point M peut sʼécrire (loi de Biot et Savart) :

!

B =

!

µ04"

I d! # urr2C$

avec :

!

d! =

!

dOP “élément infinitésimal du circuit” ; r = PM ;

!

ur =

!

PMr

;

µ0 =

!

1"0c

2 = 4π.10-7 H.m-1 “perméabilité magnétique du vide”.

• À cause du produit vectoriel, la contribution

!

dB =

!

µ04"I d! # ur

r2 à lʼintégrale

est orthoradiale (la contribution analogue en électrostatique est radiale).

2

De ce fait, le champ magnétique

!

B est un “pseudo-vecteur” ; cʼest-à-dire que, pour une symétrie plane, il est transformé en lʼopposé de son “symétrique” géométrique (de même quʼun “vecteur surface”

!

S). 3. Application au calcul du champ magnétique 3.1. Fil rectiligne “infini” • En plus du problème de “lʼinfini”, un fil rectiligne infini nʼest pas un circuit (fermé) ; a priori, on ne peut donc pas lui appliquer la loi de Biot et Savart. En réalité, le modèle du fil recti-ligne infini représente une portion rectiligne dʼun circuit dont on limite lʼétude à de faibles distances, de telle sorte que le “reste” (non rectiligne) du circuit ait un effet négligeable.

3

• Pour un tel modèle, lʼinvariance par rotation autour de lʼaxe, et par translation selon lʼaxe, conduit à utiliser des coordonnées cylindriques. Lʼexpression algébrique des coordonnées du champ en un point M ne peut alors dépendre que de la distance R entre le fil et le point M. En outre, puisque chaque contribution :

!

dB =

!

µ04"I d! # ur

r2 =

!

µ0 I d!4" r2

cos(α)

!

u"

est perpendiculaire au plan défini par le fil et M, alors il en est de même pour

!

B total. On peut ainsi écrire en coordonnées cylindriques :

!

B = Bθ(R)

!

u" . Les lignes de champ sont donc des cercles perpendiculaires au fil et cen-trés sur lui ; elles sont orientées dans le sens de rotation positif par rapport au sens du courant. ◊ remarque : le fil et M sont invariants par symétrie selon le plan qu'ils définis-sent, donc

!

B doit lʼêtre aussi ; ainsi

!

B BR

!

uR + Bθ

!

u" + Bz

!

uz (pseudo-vecteur représenté par un vecteur) est identique à lʼopposé du vecteur symé-trique :

!

B = S(

!

B) -S(BR

!

uR + Bθ

!

u" + Bz

!

uz ) = - BR

!

uR + Bθ

!

u" - Bz

!

uz ; on peut conclure que BR et Bz doivent être nulles.

• On peut intégrer : dBθ =

!

dB • u" =

!

µ0 I4"

!

d! cos(")r2

avec :

r =

!

R2 + z2 ; cos(α) =

!

Rr

; z = R tan(α) ; dℓ = dz.

On obtient : Bθ =

!

µ0 I4"

!

R(R2 + z2)3/ 2

dz"#

#

$ =

!

µ0 I4"

!

cos(")R#$ / 2

$ / 2% d" =

!

µ0I2"R

.

4

3.2. Spire circulaire (champ sur l’axe) • On cherche le champ

!

B dʼune spire circulaire de rayon R et dʼaxe Ox, en se limitant aux points de lʼaxe. Sur lʼaxe, le champ est selon Ox (dans le sens axial positif par rapport au sens de rotation du courant) :

!

B = Bx

!

ux . En effet, les contributions

!

dB =

!

µ04"I d! # ur

r2

de deux éléments

!

d! et

!

d " ! symétriques ont des projec-tions qui se compensent dans les directions perpen-diculaires à Ox.

• En intégrant : dBx =

!

µ0 I d!4" r2

cos(α) avec r =

!

R2 + x2 , cos(α) =

!

Rr

et

dℓ = R dθ, on obtient : Bx =

!

µ0IR2

2(R2 + x2)3/ 2.

5

◊ remarque : pour une bobine plate constituée de N spires, il suffit de multi-plier par N ; on retrouve en particulier au centre de la spire : Bx =

!

µ0NI2R

.

3.3. Bobines de Helmholtz • Pour un ensemble de deux spires circulaires de rayon R et dʼaxe Ox, pla-cées en x0 et -x0, et parcourues par le même courant I (de même sens) ; on cherche la valeur de x0 telle que le champ magnétique au voisinage du centre du dispositif soit le plus uniforme possible (en se limitant aux points de lʼaxe). Puisque le champ est selon lʼaxe : Bx = B1x + B2x. Par symétrie, le champ

est forcément extremum au centre, cʼest-à-dire que :

!

dBxdx

= 0, et de même :

!

d3Bxdx3

= 0, donc : Bx(x) ≈ Bx(0) + d2Bxdx2

x2

2! + d4Bxdx4

x4

4! + ...

Pour que le champ soit le plus uniforme possible il faut en plus : d2Bxdx2

= 0,

ce qui correspond à x0 =

!

R2

(distance R entre les deux bobines) :

6

Dans ce cas, le champ est d'ailleurs aussi quasi-uniforme radialement. Le dispositif ainsi ajusté (bobines de Helmholtz) est très pratique pour obtenir simplement une zone de champ magnétique quasi-uniforme et facile d'accès. 3.4. Solénoïde • Pour calculer le champ sur lʼaxe dʼun solénoïde de N spires et de longueur L, on considère une “bobine plate infinitésimale” dʼépaisseur dx0 et compor-

tant

!

NL

dx0 spires, puis on intègre pour x0 variant de -

!

L2

à

!

L2

.

On obtient ainsi : Bx(x) =

!

µ0NI2L

.

!

x +L2

R2 + x +L2

" # $

% & ' 2

(x ( L

2

R2 + x ( L2" # $

% & ' 2

"

#

$ $ $ $ $

%

&

' ' ' ' '

.

En pratique, le solénoïde crée : ◊ à l'extérieur un champ semblable à celui d'un barreau aimanté ; ◊ à l'intérieur un champ quasi-uniforme, de norme B ≈ µ0nI (indépen-

dante du rayon) avec n =

!

NL

.

7

◊ remarque : une bobine parcourue par un courant se comporte comme un aimant dont les pôles nord et sud sont liés au sens de rotation du courant dans les spires ; en particulier l'orien-tation du champ ne dépend pas du côté par où arrive le courant, mais uniquement du sens de rotation. ◊ remarque : la terre a un pôle magnétique sud au voisinage du pôle géogra-phique nord et réciproque-ment (mais lʼétude de la croûte terrestre montre que les pôles sʼinversent tous les quelques millions dʼannées). ◊ remarque : le champ ma-gnétique terrestre comporte une composante verticale. & exercices n° I, II et III.

8

4. Dipôle magnétique • On appelle “dipôle magnétique” un circuit électrique de type spire (mais non forcément circulaire) de dimension très petite en com-paraison de la distance dʼobservation. On appelle “moment dipolaire” le “vecteur”

!

m =

!

IS (lʼunité de base est A.m2) où I est le courant dans le circuit et

!

S son vecteur surface (orienté selon le sens du courant). • Le champ magnétique dʼune spire circulaire peut sʼécrire sous une forme analogue à celle du dipôle électrostatique ; en coordonnées sphériques, dʼaxe Oz orienté selon

!

S :

!

B = Br(r,θ)

!

ur + Bθ(r,θ)

!

u" (dʼaprès les symétries).

À grande distance : Br ≈

!

2µ0m cos(")4#r3

et Bθ ≈

!

µ0m sin(")4#r3

, cʼest-à-dire :

!

B =

!

µ0

4"r33 m •ur( )ur #m( ) , selon les lignes de champ suivantes :

9

◊ remarque : ces calculs ne sont toutefois valables que si la taille de la spire est très petite en comparaison de la distance “dʼobservation” r = OM ; ils représentent en effet mal le champ à proximité du dipôle (ceci découle des différences fondamentales entre les propriétés de

!

E et

!

B ) :

dipôle électrostatique dipôle magnétique • De façon analogue au cas électrostatique, la principale action dʼun champ

!

B “extérieur” sur un dipôle est la tendance à lʼorientation : ◊ la force totale est nulle si

!

B est uniforme ; ◊ il apparaît un moment de force, qui tend à aligner

!

m selon le champ extérieur

!

B :

!

M O =

!

m "B. ◊ remarque : lʼénergie potentielle du dipôle dans le champ extérieur peut sʼécrire : Ep = -

!

m •B ; on vérifie ainsi que lʼaction du moment des forces tend à minimiser Ep. & exercice n° IV.