STATIQUESTATIQUE PLANE (Statics)

Dfinition : tude de lquilibre des corps. En statique plane les actions et les forces tudies appartiennent toutes un mme planLes forces et les moments : une action mcanique est ce qui est lorigine mcaniquement :

De la cration dun mouvement De la modification dun mouvement De la dformation dun corps

les forces en physique sont des grandeurs vectorielles, dfinies par :

- leur droite daction- leur sens : celui du mouvement quelles tendent produire. Si la

force et le mouvement rel sont de mme sens, la force est dite motrice, sinon elle est dite rsistante (e.g. frottements)

- leur point dapplication- leur intensit : mesure de la grandeur de la force, toujours positive

lintensit dune force peut tre mesure par un dynamomtre

on distingue quatre types de forces :

- surfaciques : exerces sur une surface (e.g. plaque de couverture, pression dun fluide, etc.)

- liniques : exerces sur une ligne (e.g. forces de neiges supportes par une poutre via une plaque de couverture, etc.)

- ponctuelle (e.g. raction dappui dun pied de chaise sur le sol, etc.)

- forces volumiques, appliques chaque lment du volume du corps (e.g. forces de pesanteurs, dinerties)

Moment dune force : le moment dun force traduit leffet de rotation que peut entraner cette force ; dans le plan le moment dune force est le produit de lintensit de la force F par le bras de levier d, distance entre la ligne daction de F et le point considr (donc toujours positive !). Le signe indique le sens de rotation que cette force tend produire.

En statique les forces sur un solide peuvent se ramener :

- une force unique (rsultante gnrale)- un moment (moment rsultant) en un point donn

lensemble force et moment en un point donn est appel torseur

nota gnral : les solides doivent tre indformables sous peine de provoquer le dplacement des points dapplications. Appuis: on distingue trois type dappuis dans le plan

- appui du premier genre (appui glissant, ou simple) : ils ne peuvent reprendre que la raction verticale ; ils ont un degr de libert de translation et un degr de libert de rotation ; parmi ceux ci on peut distinguer :

o appui simple, ne supportant quune raction verticale dirige vers le haut (e.g. galet cylindrique ou plaque de noprne)

o double appui simple, dont la raction verticale peut indiffremment tre dirige vers le bas ou le haut

- appui du second genre (rotule) : ils reprennent les ractions verticales et horizontales ; ils nont quun degr de libert en rotation ; ces liaisons ne transmettent donc aucun moment, mais transmettent leffort tranchant

Assemblage solive sommier : la liaison ne transmet que leffort

tranchant via les cornires

Articulation de fatage

on doit veiller dans les liaisons relles ce que le moment transmis soit

ngligeable, car on ne peut empcher quil soit non nul

- appui du troisime genre (encastrement) : ils reprennent les ractions verticales, horizontales et les divers moments. Ils nont aucun degr de libert ; ils transmettent efforts tranchants et moments flchissants

Encastrement solive sur sommier : grce la plaque frontale, la totalit des efforts est transmis par cette liaison

Encastrement angle de cadre

Poteau encastrs bout bout par

soudure

en effet lquilibre des appuis ou des fixations amne envisager lexistence de forces de liaisons, opposes aux forces de sollicitation, ractions mais aussi moments, la plus simple tant la raction du support :

Principe fondamental de la statique :

convention de signes :

conditions dquilibre dans le

plan Principe Fondamental de la

Statique (PFS) :

notion de rsultante : la rsultante est la force quivalente n forces agissant dans le plan. Elle a pour module R et est situe x de lorigine

le moment dune force est positif si la force est dirige vers la droite pour un observateur situ au point par rapport auquel est pris le moment, ngatif si elle est dirige vers la gauche

0= Fx0= F y

la rsultante gnrale des

forces appliques au solide

considr est nulle

0= Mola somme des

moments des forces prise en un point

quelconque est nulle

= FRdiFiRx =

Dans le cas o le nombre dinconnues est gal au nombre dquations, le systme est isostatique. Sil est suprieur il est dit hyperstatique, et on ne peut rsoudre ce problme par les seules quations de la statique.

Le nombre dinconnues dterminer ne peut tre quau plus de trois, car il y a trois quations de la statique dans le plan.

Remarque : avant denvisager de rsoudre un problme de statique, se demander si cette tude un sens ; on ntudie pas lquilibre dun systme qui nest pas en quilibre !

Attention : bien distinguer le moment rsultant de toute les forces et le moment flchissant. En effet si dans une poutre en quilibre on a une rotule le moment rsultant en ce point est nul (PFS, moment de toute les forces appliques cette poutre), comme dans nimporte quel autre point quelconque de cette poutre, mais on a une autre quation pour dire que le moment flchissant en ce point est nul ! (moments des forces gauche de ce point)

Principe des actions mutuelles : laction mcanique du solide 1 par rapport au solide 2 est loppos de laction mcanique du solide 2 sur le solide 1

dans le cas o lon tudie lquilibre dun ensemble de solide, les actions mutuelles deviennent des actions intrieures et ne doivent par tre comptabilises.

Principe de transmissibilit des forces : lquilibre dun solide reste inchang si une force F agissant en un point I est remplace par une force F de mme intensit, mme direction et de mme sens agissant en un point M appartenant la ligne daction de F

Principe de superposition : si une structure est soumise un ensemble de charges, leffet de la totalit de ces charges est le mme que la somme des effets des charges considres isolment (e.g. statique, dformations, contraintes dans le solide, etc.).

Nota : ces principes ne sont valables que pour un solide indformable (par exemple ils ne sappliquent pas un ressort)

Deux forces gales et opposes squilibrent ; en effet les vecteurs qui les reprsentent sont des vecteurs glissants opposs, dont la somme est nulle.

Rciproquement : Un solide soumis laction de deux forces est en quilibre si les deux forces sont gales et opposes.

Remarque : Dans le cas du fil non pesant CD les forces T et T reprsentent la tension du fil.Forces concourantes : forces dont les droites daction passent par les mme point. La rsultante de ces forces est construite par le polygone des forces

Un solide soumis laction de forces concourantes est en quilibre si la rsultante de ces forces est nulle.

Dans le cas o un solide est soumis trois forces, ces forces doivent tre concourantes pour que le solide soit en quilibre. Leffet dun couple sur un solide est indpendant de la positions des droites daction des forces du couple par rapport laxe de rotation pourvu que la distance d de ces droites daction ne changent pas.

Le moment du couple est donc C=Fd, grandeur caractristiques de ses effets mcaniques.

Rsultantes de forces parallles

(1) forces de mme sens :

R=FA+FB (somme des intensits) et de mme sens quellesFA.CA=FB.CB, le point C tant entre A et B

(2) Forces de sens contraires :

R=FA-FB (diffrence des intensits);

CBFBCAFA = ; le point C tant en dehors de AB, du cot de la force la plus grande

Composition de forces parallles : on considre toutes les forces de mme sens que lon dcompose deux deux pour trouver la rsultante (cas1). On applique le cas 2 aux deux rsultantes partielles de sens contraire obtenues. Si les deux rsultantes ont mme intensit, on parle de couple. La rsultante gnrale passe par le centre des forces parallles.

Nota : le centre de gravit dun solide a les proprits dun centre de forces parallles.

Rotations et Moments

Un solide mobile autour dun axe horizontal est en quilibre lorsque son centre de gravit est situ dans le plan vertical passant par laxe.

principaux cas de charges :

Statique graphique :

Solide soumis trois forces concourantes :

Solide soumis quatre forces avec une direction et deux modules inconnus :

Solide soumis quatre forces avec trois modules inconnus :

Mthode du dynamique et du funiculaire : mthode purement graphique pour rsoudre les problmes dquilibres et dterminer les rsultantes.

Funiculaire : figure dfinissant la position gomtrique des forces Dynamique : figure dfinissant les intensits des forces

Rsultante dun systme de forces : soit trouver la rsultante de trois forces F1, F2 et F3 ;

Sur le dynamique tracer les forces F1 (ab), F2 (bc) et F3 (cd) ; on en dduit la direction et lintensit de la rsultante R.

Choisir un point P appel pole, dont la position na gure dimportance, tracer les rayons poliares, Pa, Pb, etc. et les numroter 0, 1, etc.

Sur le funiculaire, tracer 0 // 0, 1 // 1, etc. dterminer le point I, intersection des cots extrmes du funiculaire, ici de 0 et de 3 ; la rsultante R passe par I

Equilibre dun solide sous laction de forces parallles : pour tout solide en quilibre les cots extrmes du funiculaires sont confondus ; la droite commune est appele ligne de fermeture et le funiculaire est dit ferm.

On trace la force P sur le dynamique ainsi que le funiculaire correspondant

On trace ensuite le rayon polaire Sc, parallle la ligne de fermeture IJ et on trouve A et B

Isostatisme : un systme de barres dont on peut calculer les efforts dans celles-ci par les seules quations du PFS est isostatique. Sil a plus dinconnus de liaisons que dquations de la statique il est dit hyperstatique. Sil a moins dinconnues de liaisons que dquations de la statique il est hypostatique et on a affaire un mcanisme.

Dtermination du degr dhyperstaticit dun systme de barres :

1- on dcompose le systme en b lments simples (barres) lis entre eux par des liaisons

2- on fait linventaire du nombres dinconnues de liaisons externes et internes pour chaque sous-systme L (i.e. chaque barre)

3- on dtermine le nombre dquations qui ont un sens :

a. 3 quations du PFS par lment : 3bb. quations de liaisons ou dquilibre des nuds (thorme

des actions rciproques) : N

2- le degr dhyperstaticit global est gal au nombre dinconnues moins le nombre dquations

3- on doit aussi vrifier si le systme nest pas hypostatique interne, en calculant le degr dhyperstaticit interne hi ; pour cela on calcule de degr dhyperstaticit externe he, par la mme mthode que prcdemment sauf quon ne dcompose pas en lments simples :

puis on dduit :

Systmes rticuls isostatiques : systmes de barres rectilignes articules entre elles leurs extrmits ; les points darticulations sont les nuds du systme. Les forces extrieures sont supposes tre appliques aux nuds ; ainsi les barres ne subissent que des contraintes axiales de traction ou de compression.

On doit dterminer les ractions dappui et les efforts dans les barres. Si les quations de la statique suffisent dterminer les ractions dappui, le systme est extrieurement isostatique (resp. extrieurement hyperstatique). Puis, une fois les ractions dappui connues, sil est possible de dterminer les forces dans les barres par les seules quations de la statique, le systme est dit intrieurement isostatique (resp. intrieurement hyperstatique).

Si on a n nuds et b barres le systme est isostatique et strictement indformable si b=2n-3 ;

Simplification :

Nud non charg avec 3 barres, dont 2 colinaires :

Nud non charg avec 4 barres colinaires 2 2 :

Nud non charg avec 2 barres non colinaires :

Mthode de Cremona (mthode des nuds) : La mthode graphique dite de Cremona est la plus utilise ; on suit les tapes suivantes :

1- dessin du schma de triangulation (choix de lchelle)2- implantation des charges aux nuds du systme (forces

extrieures)3- calcul et implantation des ractions dappui (forces extrieures)4- numrotation des surfaces interceptes par les barres (forces

intrieures), charges et ractions dappui (forces extrieures) ; la rsolution nest possible que dans le cas o il ny a quau plus deux inconnues.

5- trac du dynamique :a. choix de lchelle des forcesb. sens de rotation autour des nuds

c. on commence par les forces connues pour tracer le polygone dynamique en tournant dans le sens adopt

2- le sens de parcours (cheminement) de chaque polygone des forces dtermine la direction des efforts recherchs sur le trac

3- sur le schma de triangulation, porter les flches au nud correspondant du polygone des forces

4- le sens des flches indique la nature des efforts :

5- dresser le tableau des efforts10- sur le schma dpure renforcer les barres comprimes

nota :

- efforts ngatifs : compression- efforts positifs : traction

exemple :

b=11=2n-3=2x7-3=11 le systme est isostatique

quilibre du nud A : en faisant le tour de ce nud vers la gauche nous trouvons la raction Ra , puis la force dans la barre 2, puis dans la barre 1 ; en connaissant et en traant les directions de 1 et 2 on construit le triangle OMP dans lordre o les diffrentes forces ont t trouves :

Le sens des flches permet de savoir si la barre est comprime ou tendue ; pour cela on reporte les forces avec les flches correspondantes sur le dessin de la poutre (ici la barre 1 est comprime, la barre 2 tendue) :

Mthode de Ritter (mthode des sections) : cette mthode a pour avantage de dterminer leffort dans une barre quelconque sans avoir au pralable calculer les efforts dans dautres barres ; le principe est le suivant :

- on coupe le treillis en deux parties par un plan P, qui sectionne au maximum 3 barres o les efforts sont inconnus

- on crit, pour lun des tronons, que les forces extrieures quilibrent les forces intrieures existant dans les barres coupes. Pour cela on crit les quations de la statique ou mieux lquation dquilibre des moments par rapport un point I, intersection de deux barres prises parmi les trois barres coupes, ce qui permet dobtenir ainsi leffort dans la troisime barre, ainsi que son sens (signe du moment obtenu)

Exemple :

en calculant le moment par rapport au point D :

en calculant le moment par rapport au point C : CKAKRF AAD=

le signe des forces obtenues par la rsolution de ces quations sont ceux des moments de ces forces par rapport au point considr, do on dduit alors le sens et la nature des efforts qui sexercent dans la barre (compression ou tension).

nota : la mthode des sections est beaucoup plus prcise que celle de Cremona lorsque les dimensions de la pice sont connues avec certitude. mthode de Culmann (mthode des composantes) : cette mthode consiste, comme dans la mthode Ritter, sectionner le treillis par un plan P et crire que les forces extrieures sur un tronon quilibrent les efforts intrieurs dans les barres coupes. Toutefois cet quilibre ne sexprime plus sous forme dquations, mais sous forme de statique graphique. La rsultante des efforts est dcompose graphiquement en trois efforts, selon trois directions parallles aux trois barres coupes.Mise en quilibre de poutres et dtermination des efforts intrieurs de celles-ci : la convention pour la RDM est de faire lquilibre des forces de gauches sur le tronon de droite. Dans le cas o lon aurait effectuer la somme des efforts de droite sur gauche (dans le cas de consoles par exemples), il faut prendre le ngatif de cette valeur (somme des efforts droite = -convention de signes gauche).

lM ARA=

lM ARB

=

Convention de signes poutres avec moments comme charges extrieures :

FROTTEMENT ET CONTACT ENTRE SOLIDES

Le Frottement : Mcaniquement les efforts transitent par les surfaces entre pices, do limportance de ltude des actions de contacts entre les surfaces des solides (tribologie). On appelle action de contact entre deux solides laction quils exercent lun sur lautre au niveau de leur surface commune.

Les actions de contact sont modlises par un torseur crit en un point quelconque Q :

en pratique le contact rel se fait seulement sur le sommet des asprits, les spots. Cette surface est comprise entre 1/100 et 1/10000 de la surface nominale.

Lorigine du frottement est trs varie, mais provient surtout de phnomnes lis aux surfaces en contact :

dans la pratique deux paramtres sont essentiels : laire de contact et la pression de contact

on distingue :

Frottement sec : les surfaces sont directement en contact ; dans ce cas les lois de coulomb sont une bonne approximation (voir ci dessous)

Frottement mixte : les asprits se touchent mais un troisime corps est interpos (lubrifiant, corps abrasif)

Frottement hydrodynamique : un film continu de lubrifiant est maintenu entre les surfaces en contact, de manire que les deux surfaces ne se touchent pas

Lois de coulomb :

il y a frottement lorsque les deux surfaces glissent lune par rapport lautreil y a adhrence lorsque les deux surfaces sont immobiles lune par rapport lautre, tendant glisser mais ne se dplaant pas.

Cas du repos :

cas de ladhrence :

pour une force F limite lobjet se met glisser ; cela permet de dfinir le coefficient de frottement statique s (ou f) :

de la mme manire on dfinit un angle s de frottement statique :

cas du glissement : il y a en ce cas frottement et on dfinit de mme un coefficient de frottement et un angle de frottement.

le coefficient de frottement est lgrement infrieur au coefficient dadhrence

exemples de coefficients de frottement :

Pressions de contact, loi de hertz : ces thories sappliquent aux contacts ponctuels, pour les contact surfaciques on prend gnralement une pression uniforme

avec :

valeurs du module de Young et du coefficient de poisson :

HYDROSTATIQUEDfinition : lhydrostatique est ltude des quilibres des masses liquides. Un liquide en quilibre exerce une force pressante (pression) normale sur toute surface en contact avec lui (sur une surface courbe la normale en un point est la droite perpendiculaire au plan tangent la surface en ce point).

En tout point de la surface libre dun liquide en quilibre la pression est gale la pression atmosphrique. Si le liquide est homogne et en quilibre la pression est dailleurs la mme en tous les points dun mme plan horizontal. Voil pourquoi la surface libre dun liquide en quilibre est horizontale. Principe fondamental de lhydrostatique : la diffrence de pression entre deux points quelconques M et N dun liquide homogne en quilibre est gale au produit du poids volumique du liquide par la distance h des plans horizontaux qui passent par les points M et N ; on pourrait dire de mme que la diffrence de pression entre M et N est gale au poids de la colonne de liquide de section unit et de hauteur h

Thorme de Pascal : un liquide en quilibre transmet intgralement, en chacun de ses points, toute variation de pression produite en un point quelconque de ce liquide (importantes applications dans les presses hydrauliques et dans les vrins hydrauliques. Liquide au contact dun solide : trois cas peuvent se prsenter

Le liquide mouille parfaitement : la goutte stale sur toute la surface solide

Le liquide mouille imparfaitement : La goutte prend la forme dune lentille convexe ; langle est infrieur /2

Le liquide ne mouille pas : langle est suprieur /2

exemple du mnisque dans un tube essais :

ascension et dpression dans les tubes capillaires : la dnivellation dans un tube capillaire est inversement proportionnelle au rayon de ce tube (loi de Jurin)

cette loi explique que de petits pores dans les matriaux de construction font remonter lhumidit plus fortement que de gros pores.

LE PHENOMENE DE FATIGUE DES MATERIAUX

Dfinition : dans certains cas, des pices peuvent tre soumises des variations cycliques des contraintes. La fatigue est le fait que la rupture se produit au bout dun nombre de cycle fini N des contraintes, pour une amplitude des contraintes infrieure la limite de rupture statique Rm du matriau. Les paramtres essentiels qui interviennent dans le phnomne fatigue sont :

Matriaux utiliss Fluctuation des contraintes Nombre de cycles et pourcentage de survie p% (endurance de la

pice) Type de sollicitations appliques Gomtrie de la pice

On modlise les fluctuations de contraintes de manire sinusodale :

avec :

avec :

courbes de Whler : courbes ralise pour une contrainte alterne en flexion rotative ; elles sont issues de trs nombreux rsultats exprimentaux.

on observe trois zones :

valeur limite de la contrainte en fatigue :

Eurocode3 : une approche du dimensionnement la fatigue est donne au chapitre 9.