ÉLECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE

ÉLECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE

J. Roussel

Promotion Chem.I.St-1. Année 2006-2007

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c©Jimmy Roussel

Table des matières

1 Charge et champ électrostatique 7

1.1 L’interaction électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Les 4 interactions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Notion de charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles . . . . . . . . 12

1.2.3 Champ électrostatique créé par une distributions continue de charge . . . . . . . . 12

1.2.4 Exemple : segment uniformément chargé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Propriétés du champ électrostatique 15

2.1 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Circulation du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.3 Énergie potentielle d’une charge ponctuelle dans un champ électrostatique extérieur 17

2.1.4 Énergie potentielle d’interaction d’un système de charges ponctuelles . . . . . . . 17

2.2 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.3 Propriétés de symétrie du champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 Flux d’un champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.3 Forme locale du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3

4 Table des matières

3 Conducteurs en équilibre électrostatique 25

3.1 Propriétés des conducteurs à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Champs à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3 Champ au voisinage d’un conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4 Champs entre conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.5 Capacité d’un conducteur seul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Les condensateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1 Influence entre deux conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2 Le condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Dipôle électrostatique 31

4.1 L’approximation dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.1 Le doublet électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1.2 L’approximation dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.3 Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.4 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Actions subies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Action d’un champ électrostatique extérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2 Action d’un champ électrostatique extérieur non uniforme . . . . . . . . . . . . . 36

5 Interaction électromagnétique 39

5.1 Notion de champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.1 Aspects historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.1.2 Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.1.3 Force de LAPLACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2 Champ magnétostatique créé par des circuits fermés filiformes . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1 Distributions de courants électrique filiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.2 Loi de BIOT et SAVART (1820) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.3 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Propriétés du champ magnétique 45

6.1 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.1 Le champ magnétique est un vecteur axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.2 Topographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 Flux de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.1 Expression intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.2 Expression locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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Table des matières 5

6.3 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3.1 Circulation de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.3.2 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.4 Le dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.4.2 Action d’un champ magnétique sur une spire carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4.3 Généralisation et analogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A Outils mathématiques 55

A.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.2 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.3 Le Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

A.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

A.4 Opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

B Interaction gravitationnelle : Analogies et différences 59

B.1 Analogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B.2 Différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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6 Table des matières

L’électromagnétisme en régime statique se décompose en deux parties :

1. L’électrostatique (chapitre 1 → 4) qui traite des effets électriques (force et champ électrostaique)produits par une distribution de charges électriques immobiles. On abordera également les effetsproduits par un champ électrique extérieur sur une distribution localisée de charges.

2. La magnétostatique (chapitre 5 → 6) qui traite des effets magnétiques (force et champ magnétique)produits par des courants électriques (régime continu). On abordera également les effets produits parun champ magnétique extérieur sur une petit circuit électrique.

L’objectif est d’établir les lois qui relient les causes (charges, courant) aux effets (forces, champs électriqueet magnétique) pour obtenir une version simplifiée des équations de Maxwell qui sera largement repriseen deuxième année.

Cette séparation des effets électrostatique et magnétique a un sens en régime statique. Cependant, endeuxième année, nous verrons que le champ électrique et magnétique ont des effets couplées : pour dé-crire l’interaction électromagnétique il sera pertinent de considérer l’entité {−→E ,

−→B }.

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Chapitre 1

Charge et champ électrostatique

1.1 L’interaction électrostatique

1.1.1 Les 4 interactions fondamentales

Tous les phénomènes physiques, chimiques ou biologiques connus peuvent s’expliquer par l’utilisation de4 interactions obeissant à certains principes. Ces quatre interactions sont dites fondamentales :

l’interaction gravitationnelle : elle est responsable de la pesanteur, de la marée ou encore des phéno-mènes astronomiques. C’est une interaction entre systèmes matériels caractérisés par une masseappelé aussi « masse grave » (grandeur notée m et représentée par un scalaire positif). L’interactiongravitationnelle est la plus faible des interactions mais se caractérise par une force toujours attractivece qui explique qu’on l’ait étudiée bien avant l’interaction électromagnétique pourtant plus intensemais souvent faible à l’échelle macroscopique. La théorie qui décrit correctement la gravitation (entout cas pour l’instant) est la Relativité Générale inventée par Albert EINSTEIN.À noter que la loi de gravitation (formule de NEWTON) n’ a été testée que pour des distances> 100 µm.En supposant sa validité à l’échelle atomique, on calcule que deux protons distants de 5 fermi1 pro-duisent une attraction gravitationnelle d’intensité f ≈ 10−35 N.

l’interaction électromagnétique : elle est responsable de l’électricité, du magnétisme, de l’induction, dela lumière, des forces de contact, des réactions chimiques etc. Cette interaction agit sur des objetspossédant une charge électrique (notée q et représentée par un scalaire positif ou négatif). Le sensde l’interaction change quand la charge change de signe. La matière étant souvent neutre, cette inter-action est souvent négligeable à l’échelle macroscopique. Elle joue un rôle prépondérant à l’échellemicroscopique.L’interaction électromagnétique provient de l’unification des lois du magnétisme et de l’électro-statique par J.C MAXWELL en 1860, qui comprit que la lumière pouvait s’interpréter comme uneonde électromagnétique. C’est H. HERTZ qui, en 1884, montra l’analogie entre les ondes électro-magnétiques et la lumière. Cependant la théorie électromagnétique de MAXWELL est une théoriecerte relativiste mais non quantique. Une seconde unification a eu lieu en 1949 par TOMONAGA,SCHWINGER et FEYNMAN, qui permit d’intégrer l’électromagnétisme dans la mécanique quantiquepour donner l’électrodynamique quantique (Quantum ElectroDynamics).La force électrique entre deux protons distants de 5 fermi vaut f ≈ 10 N

l’interaction forte : elle est responsable de la cohésion des noyaux atomiques, de la fusion et de la fission.L’interaction forte est une force à très courte portée (∼ 10−15 m ) qui agit sur les quarks et parextension sur les hadrons (ensemble de quarks et/ou antiquarks comme le neutron, le proton). Les

11 fermi = 10−15

m.

7

8 Chapitre 1. Charge et champ électrostatique

leptons comme l’électrons ou le muon, y sont totalement insensibles. L’interaction forte permet decompenser la répulsion électrostatique entre protons au sein des noyaux atomiques.L’interaction forte est décrit dans le cadre de la Chromodynamique Quantique (QCD - 1970), danslaquelle on associe aux quarks (particules élémentaires) des charge électriques fractionnaires et unecharge de couleur. L’interaction forte intervient entre deux quarks de “couleur” différentes.La « force forte » entre deux protons distants de 5 fermi vaut f ≈ 103 N

l’interaction faible : elle est responsable de la radio-activité beta, qui permet au Soleil de briller.La « force faible » entre deux protons distants de 5 fermi vaut f ≈ 10−2 N

Remarque : L’interaction gravitationnelle est incompatible avec les 3 autres interactions (unifiées dans le« modèle standard »). L’unification des 4 interactions dans une nouvelle théorie (on a déjà trouvé son nom :la théorie du tout) est le Graal recherché par les meilleurs théoriciens de la planète.

1.1.2 Notion de charge électrique

Il y a 2600 ANS, les savants grecs, après avoir découvert que l’ambre s’électrisait très facilement lorsqu’ilétait soumis à un frottement, lui avaient donné le nom « d’élektron », d’où nous vient le mot électricité.Les phénomènes d’électricité statique s’observent dans la vie quotidienne :

◦ Certains corps ont la propriété de s’électriser par frottement (triboélectricité). Lorsque l’on frotte unbaton d’ébonite et que l’on présente ce baton près des cheveux ou près d’un mince filet d’eau on observeun déplacement, ce qui est la manifestation d’une interaction électrostatique.

◦ Lorsque l’on enlève rapidement un pull en laine, des étincelles (visibles dans une pièce sombre) seproduisent en « crépitant ».

◦ L’éclair, lors d’un orage, est un phénomène d’électricité statique impressionnant qui fut longtemps craintpar les hommes. Il fallut attendre B. FRANKLIN en 1752 pour identifier la nature électrique du phéno-mène et pour maîtriser les dégats du tonnerre par l’invention du paratonnerre.

Interprétation : La matière est constituée de particules chargées que l’on peut arracher par friction. Enfrottant vigoureusement de la soie sur du verre, des électrons sont transférés du verre à la soie. Lafigure 1.1 donne quelques exemples de matériaux s’électrisant par frottement, classés en fonction deleur aptitude à devenir positif ou négatif.

Série Triboélectrique

VerreNylonLaineFourrure de ChatCotonSoieDacronPolyvinylchloréPolyéthylèneCaoutchoucTéflon

Fourrure de Lapin

−

+

FIG. 1.1 – Série Triboélectrique.

Le transfert de charge peut se faire par décharge, c’est-à-dire par création d’un arc électrique (uneétincelle). En effet, lorsque deux objets de charges opposées sont approchés, l’attraction entre euxpeut devenir si importante que certaines particules sont accélérées dans l’air en produisant l’ionisi-sation locale de l’air par collision. Cette ionisation crée un canal conducteur qui va transporter l’arcélectrique.

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1.1. L’interaction électrostatique 9

Notion de charge : Pour caractériser l’état électrique d’un système on définit la chargeélectrique :- c’est un scalaire positif ou négatif ;- elle s’exprime en Coulomb (symbole : C).Un transfert de charge de 1 C par seconde produit un courant électrique de 1 A. Lacharge joue le même rôle que la masse dans l’interaction gravitationnelle à ceci prèsque la charge est une grandeur scalaire positive ou négative. Deux charges électriquesde même signe se repoussent : on le constate par exemple en chargeant un électro-scope. La charge est une grandeur extensive qui se conserve. La conservation de lacharge est un principe fondamental de la physique comme le principe de conservationde l’énergie.

PVC Négatif

Plateau − Tigemétallique

Feuille métallique

graduation

+ + + + + + +

___

__

_

___

____

FIG. 1.2 – L’électroscope. Les électrons négatifs du bâton de PVC repoussent les électrons libres du plateaumétallique vers le bas de l’électroscope. La feiille métallique est repoussée par la tige car ces deux partiessont négatives.

Distributions de charges :Au début du vingtième siècle, la découverte de l’électron a permit de montrer que la charge étaitquantifiée. La charge élémentaire que porte un proton vaut e = 1, 6021. 10−19 C (mesurée parMillikan) et représente l’opposée de la charge d’un électron. Le tranfert de charge ne se fait quepar multiple entier de e. Bien sûr, à l’échelle macroscopique, le nombre de particules échangées estsi grand que l’aspect discontinue ne se voit pas ce qui explique pourquoi on considère souvent desrépartitions continues de charges (pour des raisons mathématiques surtout) :

◦ La distribution volumique est une répartition de charge en volume. En chaque point du système ondéfinit une densité volumique de charge

ρe(M) = dqdτ (M)

[C.m−3]

qui représente la charge par unité de volume en un point. Si le milieu est homogène ρe = QV =

Constante.◦ La distribution surfacique est une répartition de charges en surface. On définit une densité surfa-

cique de charge

σ(M) = dqdS (M)

[C.m−2]

qui ne dépend pas de la position de M lorsque le système est homogène.



◦ La distribution filiforme est une répartition de charges sur une courbe. On caractérise la distributionde charge à l’aide de la densité linéique de charge

λ(M) = dqdl (M)

[C.m−1]

τd

dq= dSσ

dq= λ dl

P

dq= ρ

P

P

Distribution volumique

Distribution surfacique

Distribution linéique

FIG. 1.3 – Différents types de distributions.

1.2 Champ électrostatique

1.2.1 Loi de Coulomb

On cherche à caractériser les manifestations électriques d’une charge ponctuelle immobile. Rappelons lesfaits expérimentaux.

◦ De charges électriques de même signe se repoussent ; deux charges électriques de signe contraire s’at-tirent.

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1.2. Champ électrostatique 11

◦ L’expérience de COULOMB : La figure 1.4 représente le dispositif expérimental qu’a utilisé COULOMB

dd

AA

MM

αα

FIG. 1.4 – Expérience de COULOMB (1780)

en 1780 pour mettre en évidence la loi qui porte désormais son nom : une boule métallique M est fixéeà l’extrémité d’une tige isolante, suspendue en son milieu O à un fil de torsion de constante de torsion C(on rappelle que le moment d’un couple de torsion a pour expression Cα). Ce système étant au repos,on amène une boule métallique A tenue par une tige isolante au contact de la boule M et on électriseles deux boules simultanément de sorte qu’elles soient pourvues de la même charge Q. La boule A estmaintenue en place et la boule B s’éloigne sous l’action de la force de COULOMB. À l’équilibre, l’angleα est mesuré ce qui permet de déduire la force si la constante de torsion est connue.

◦ Coulomb trouve une loi en inverse du carré de la distance et qui dépend de la quantité de charge queportent chaque sphère. La force qu’éxerce une particule ponctuelle (1) de charge q1 sur une particulechargée ponctuelle (2) de charge q2 s’écrit :

−→F 1/2 =

1

4πε0

q1q2

r2−→u

où −→u est un vecteur unitaire orienté de la charge (1) vers la charge (2). La constante ε0 désigne lapermitivité diélectrique du vide et est reliée à deux constantes fondamentales : µ0ε0c

2 = 1. On retiendraque 1

4πε0= 9, 0.109 F.m−1.

1−2u1Q Q 2

1Q Q 2 <0

1Q Q 2 >0

F

1−2u1Q Q 2F

r

r

FIG. 1.5 – Loi de Coulomb.

Remarque : l’annexe B montre les analogies et différences entre la force de gravitation et la force élec-trique.



1.2.2 Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles

Considérons une distribution de charges ponctuelles {q1, q2, ...qi..., qN} placées en Pi et une charge testQ placée en M. Cherchons à exprimer la force qu’exerce cette ensemble de charges sur la charge test (cf.figure ??).

Pi

qi

Système de charges placés en P

i

qi

Fi

charge test Q

M

FIG. 1.6 –

Le principe de superposition (les effets de chaque charge s’ajoutent) nous dit que la force résultante est lasomme vectorielle des forces qu’exercent chacune des charges qi sur la charge q :

−→F = Q

N∑

i=1

qi

4πε0

−→ui

r2i

= QN∑

i=1

qi

4πε0

−−→PiM

PiM3= Q

−→E (M)

Où−→E (M) désigne le champ électrique créé en M par la distribution de charges. Ce champ est défini en tout

point de l’espace2 : il s’agit d’un champ vectoriel. Le champ électrique créé en un point M de l’espace,par une charge q vaut donc en coordonnées sphériques :

−→E (r, θ, φ) =

q−→ur

4πε0r2

On retiendra que les lignes de champ fuient les charges positives et convergent vers les charges négatives.

Ordre de grandeur : L’intensité du champ électrique se mesure en Volt/mètre.Le champ à la surface de la Terre vaut environ 100-150 V/m en dehors des périodes d’orage. Enpériode d’orage le champ terrestre est inversé et est de l’ordre de 10 kV/m. Il peut même atteindre100 kV/m près des pointes conductrices.La lumière solaire qui nous arrive sur Terre est une onde électromagnétique : le champ électriquede l’onde est de l’ordre de (en valeur efficace) 1000 V/m.Dans l’atome, la cohésion est assurée grace à des champs électriques énormes de l’ordre de 100 GV/m.

1.2.3 Champ électrostatique créé par une distributions continue de charge

Dans un échantillon de matière même très petit il existe un grand nombre de charges élémentaires qui secompensent exactement. Dans un µm3d’air, dans les conditions normales de pression et de température,on a environ un milliard de charges élémentaires. On conçoit dès lors que pour des expériences macrosco-piques le nombre de charges est tellement grand que l’on peut les considérer réparties continûment (modèlecontinu).

2Ce champ diverge lorsque M = Pi . Cette divergence provient d’une modélisation qui n’est plus valide dès que l’on s’approchede trop près des charges : la charge ponctuelle n’existe pas en réalité, il faut reconsidérer la modélisation dans ce cas.

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1.2. Champ électrostatique 13

Distribution volumique : On définit alors la densité volumique de charge :

ρ =dq

dτ

où dτ désigne un volume mésoscopique considéré infiniment petit et dq la charge contenue dans ce volume.Ainsi, l’expression du champ électrique pour une distribution discrète de charge se ramène à une intégrale :

−−−→E(M) =

∫∫∫

volume

d−→E =

∫∫∫

ρ(P )

4πε0

−−→PM

r3dτ

Distribution surfacique : On définit alors la densité surfacique de charge :

σ =dq

dS

où dS désigne une surface mésoscopique considérée infiniment petit et dq la charge contenue dans cettesurface. Ainsi, l’expression du champ électrique pour une distribution discrète de charge se ramène à uneintégrale :

−−−→E(M) =

∫∫

σ(P )

4πε0

−−→PM

r3dS

Distribution linéique : On définit alors la densité linéique de charge :

λ =dq

dl

où dl désigne une longueur mésoscopique considérée infiniment petit et dq la charge contenue dans cetélément de longueur. Ainsi, l’expression du champ électrique pour une distribution discrète de charge seramène à une intégrale :

−−−→E(M) =

∫

λ(P )

4πε0

−−→PM

r3dl

1.2.4 Exemple : segment uniformément chargé

On considère un segment AB de longueur L, uniformément chargé (λ = dqdl = Q

L ) suivant l’axe Oz dontles extrémités se situent en z = zmin et z = zmax. On cherche le champ créé en un point M du plan xOyde coordonnées cylindro-polaires (ρ, ϕ).

◦ La symétrie du problème permet d’affirmer que le champ ne possède pas de composante suivant −→uϕ.−→E (ρ, ϕ) = Eρ

−→uρ + Ez−→uz

On a−→dE =

λdz

4πε0PM2(cos θ−→uρ − sin θ−→uz)

Comme sin θ = z/PM et dz = ρ dθcos2 θ , on obtient après intégration :

−→E

∣

∣

∣

∣

∣

∣

λ4πε0ρ (sin θ2 − sin θ1)

−→uρ

0λ

4πε0ρ (cos θ2 − cos θ1)−→uz

où θ1 = OMB et θ2 = OMA.◦ On remarque que le champ dépend de z et ρ mais pas de ϕ : le problème est en effet invariant vis à vis

d’une rotation d’axe Oz.◦ Pour un segment infini (en réalité si L � ρ), on obtient

−→E (ρ, ϕ) =

λ

2πε0ρ−→uρ

Le champ est radial et décroît comme l’inverse de la distance au fil. Dans ce cas, les lignes de champs(courbes en tout point parallèle au champ en ce point) sont des droites radiales perpendiculaires au fil.



τd

dq= dSσ

dq= λ dl

dE(M)

dE(M)

dE(M)

P

dq= ρ

P

P

Distribution volumique

Distribution surfacique

Distribution linéique

M

r

M

r

M

r

FIG. 1.7 – Calcul direct d’un champ par intégration de d−→E .

A

Bzmin

zmax

uϕ

uρ

u z

dE

ρM

z

y

x

ϕ= OM

dq

θO

FIG. 1.8 – Segment chargé. Chaque portion crée un champ électrique−→dE.

c©Jimmy Roussel

Chapitre 2

Propriétés du champ électrostatique

2.1 Potentiel électrostatique

2.1.1 Circulation du champ électrostatique

Notion mathématique : La circulation Γ, d’un champ vectoriel−→A le long d’un chemin orienté C, est le

scalaire

Γ =

∫

C

−→A.d

−→l

où−→dl est le vecteur déplacement infinitésimal le long de la courbe C.

Lorsque le circuit est fermé, on la note

Γ =

∮

C

−→A.d

−→l

dl

P

A(P)

Circuit fermé { }

FIG. 2.1 – La circulation d’un champ vectoriel−→A le long d’un circuit (courbe mathématique) fermée vaut

Γ =∮

C

−→A (P ).d

−→l avec P parcourant le circuit C.

Circulation de−→E : calculons la circulation d’un champ électrique créé par une charge ponctuelle le long

d’un circuit quelconque partant de M1(r1, θ1, ϕ1) pour arriver à M2(r2, θ2, ϕ2). En coordonnées

sphériques le déplacement−→dl = dr−→ur + rdθ−→uθ + r sin θdϕ−→uϕ. On obtient

Γ =

∫ M2

M1

−−−→E(M).

−→dl =

∫ M2

M1

qdr

4πε0r2=

q

4πε0(

1

r1− 1

r2)

15

16 Chapitre 2. Propriétés du champ électrostatique

Pour le champ créé par une distribution quelconque de charge on obtient

Γ =

∫ M2

M1

−−−→E(M).

−→dl =

1

4πε0

∑

i

qi(1

ri1− 1

ri2)

Ainsi on remarque que la circulation de ce champ dépend de la distribution de charges ainsi que desextrémités du contour (M1 et M2) mais pas de la forme du contour. Ainsi, si le circuit est fermé, ontrouvera toujours Γ = 0.

Si le circuit est fermé, le champ électrostatique est à circulation conservative :

Γ =∮

C

−→E .d

−→l = 0

Conséquence : le travail de la force électrique s’exerçant sur un point matériel chargé, ne dépend pas de laforme du trajet mais seulement des extrémités du trajet. La force électrique est donc conservative.

2.1.2 Potentiel électrostatique

Opérateur gradient : On dit qu’un champ vectoriel−→A (M) est un gradient quand il existe une fonction

scalaire f(M) telle que

−→A =

−−→gradf(M) =

−→∇f(M) =∂f

∂x−→ux +

∂f

∂y−→uy +

∂f

∂z−→uz

où le dernier terme est l’expression de l’opérateur gradient en coordonnées cartésiennes.

Exemples :

◦ Le vecteur−−→OM est un gradient car

−−→OM =

−→∇(OM2

2 ) ;

◦ de même,−→ur

r2 =−→∇(− 1

r ) ;

◦ par contre le champ vectoriel−→A = 2y−→ux + x−→uy n’est pas un gradient.

Propriétés du gradient :On a

−→A.

−→dl =

−→∇f.−→dl = df (par définition) ce qui implique que la circulation ne

dépend pas du chemin. Le gradient est un champ à circulation conservative.La relation ci-dessus implique également que si l’on se déplace sur une courbe deniveau de f (ensemble de points tel que f reste constant), on croise toujours le champvectoriel

−→A avec un angle droit.

Potentiel électrostatique : le champ électrostatique est à circulation conservative. Il peut en effet s’expri-mer comme le gradient d’une fonction. Pour une charge ponctuelle

−→E (r, θ, ϕ) =

q−→ur

4πε0r2= −−→∇(

q

4πε0r+ C)

On peut donc conclure que le champ électrostatique créé par une distribution de charge s’écrit

−→E =

N∑

i=1

qi

4πε0

−−→PiM

PiM3= −−→∇(

∑

i

qi

4πε0ri+ C)

c©Jimmy Roussel

2.1. Potentiel électrostatique 17

Définition : Le potentiel électrostatique est le champ scalaire V (M) tel que

−→E = −−→∇V (M)

- Ainsi, pour une distribution discrète de charges,

V (M) =∑

i

qi

4πε0ri

- pour une distribution continue D,

V (M) =

∫

D

dq

4πε0r

où dq = λdl = σdS = ρdτ suivant le type de distribution.- Le potentiel est un champ scalaire continu et se mesure en Volt.

2.1.3 Énergie potentielle d’une charge ponctuelle dans un champ électrostatiqueextérieur

La force électrostatique que subit une charge q plongée dans un champ extérieur−−→Eext vaut

−→F = q

−−→Eext.

Comme le champ électrique s’écrit−→E = −−→∇Vext(M)

alors on peut aussi écrire−→F = q

−−→Eext = −−→∇Ep

avecEp = qVext

où Ep désigne l’énergie potentielle électrostatique. Cette énergie s’exprime en joule et n’est pas à confondreavec le potentiel électrostatique.

2.1.4 Énergie potentielle d’interaction d’un système de charges ponctuelles

Cas de deux charges ponctuelles en interaction : Considérons deux charges ponctuelles q1 et q2 eninteraction dans le vide, à la distance r12 l’un de l’autre. la force d’interaction s’écrit

−−→F1/2 =

q1q2

4πε0r212

−→u12 = −−→∇Epint

où Ep int désigne l’énergie potentielle d’interaction. Or−→u12

r2

12

=−→∇(− 1

r12

), ce qui implique

Ep int =q1q2

4πε0r12

en prenant la convention limr→∞ Ep int = 0.On peut retrouver ce résultat en considérant que chaque charge est plongée dans le potentiel électrostatiquecréé par l’autre :

Ep int = q1V2(1) = q2V1(2) =1

2(q1V2(1) + q2V1(2))



Cas général : Considérons N charges ponctuelles qi en interaction dans le vide, à la distance rij l’un del’autre. On a donc 1

2N(N − 1) couples en interaction

Ep int =∑

<i,j>i6=j

qiqj

4πε0rij=

1

2

∑

i

qi

∑

j 6=i

Vj(i) =1

2

∑

i

qiV (i)

où V (i) est le potentiel électrique dans lequel est plongée la charge qi. Le facteur 12 permet de ne pas

compter deux fois les mêmes couples.

2.2 Symétries et invariances

2.2.1 Topographie

Lignes de niveau : Il y a deux façons de représenter un champ scalaire à deux variable f(x, y). Soit ontrace l’ensemble des points z = f(x, y) dans un repère cartésien et l’on obtient alors une surface (cf. figure2.2) soit on trace, comme pour une carte de relief, les courbes de niveauf(x, y) = Cte.Si la fonction dépend de trois variables x, y, z, on représentera les surfaces de niveau. La surface équipo-tentielle est l’ensemble de points tel que le potentiel électrostatique reste constant.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

0

2

4

6

8

10

12

axe Oz

Gnuplot peut tracer une courbe d’aprŁs un fichier de donnØes

Gnuplot can plot a curve from a datafile

axe Ox axe Oy

axe Oz

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10

Courbes de niveau

9 8 7 6 5 4 3 2

x

y

FIG. 2.2 – Représentations d’un champ scalaire à deux dimension.

Ligne de champ : Pour représenter un champ vectoriel−→A (x, y), on trace des courbes orientées telles que

leur tangente, en chaque point, ait la même direction et le même sens que le champ vectoriel (exemple :ligne d’écoulement d’un fluide).Si l’on note

−→dl le vecteur déplacement infinitésimal le long de la ligne de champ, on a

−→dl ∧ −→

A =−→0

Pour le champ électrostatique on peut dire :◦ Ces lignes divergent à partir des sources positives pour converger vers les sources

négatives.◦ Comme le champ électrostatique est un vecteur gradient, les lignes de champ sont

perpendiculaires aux équipotentielles.

c©Jimmy Roussel

2.2. Symétries et invariances 19

(a) 2 charges identiques (b) 2 charges de même signe

FIG. 2.3 – Exemples de cartes de champs (lignes de champ et équipotentielles)

2.2.2 Principe de Curie

Énoncé : Lorsque que certaines causes produisent certains effets, les éléments de sy-métries des causes doivent se retrouver dans les effets produits.

Ici, les causes sont représentées par la distribution de charges et les effets par le champ électrostatique et lepotentiel électrostatique.

Exemples :

◦ invariances par translation : Considérons une distribution invariante par translation suivant l’axe Oz.Translatons la distribution suivant le vecteur

−→t = (0, 0, a). Le problème est identique à cause de l’in-

variance de la distribution. En M, le champ électrique sera donc le même. Or tout se passe comme si ladistribution n’avait pas bougé, et que le point M s’était translaté de −−→

t . Ainsi

−→E (x, y, z) =

−→E (x, y, z − a) ∀a

On en conclut que le champ ne dépend pas de z.

−→E (x, y, z) =

−→E (x, y)

◦ invariances par rotation : Considérons une distribution invariante par rotation (angle ϕ) autour de l’axeOz (symétrie cylindrique). Tournons la distribution d’un angle a. Le problème est identique à cause del’invariance de la distribution. En M, le champ électrique sera donc le même. Or tout se passe commesi la distribution n’avait pas bougé, et que le point M avait tourné d’un angle −a. Ainsi, en coordonnéecylindrique

−→E (ρ, ϕ, z) =

−→E (ρ, ϕ − a, z) ∀a

On en conclut que le champ ne dépend pas de ϕ.

−→E (ρ, ϕ, z) =

−→E (ρ, z)



2.2.3 Propriétés de symétrie du champ

Distribution présentant un plan de symétrie : supposons que la distribution de charge est invariante parrapport à un plan de symétrie Π. Autrement dit on considère la symétrie S, par rapport à un plan telle que :

P → P ′

ρe(P ) → ρe(P′)

Cherchons le champ créé en un point M ∈ Π. On voit alors qu’à tout point P de la distribution , créant unchamp

−→dE(M) correspond un point symétrique P ′ créant un champ

−→dE′(M) telle que

−→dE(M) +

−→dE ′(M)

se trouve dans le plan Π. Ainsi le champ résultant−→E (M) est nécessairement dans le plan Π.

On montre également, à l’aide du principe de Curie que si l’on note Et la composante tangentielle au planΠ du champ électrique et En sa composante normale on a la propriété suivante :

Et(M) = Et(M′)

En(M) = −En(M ′)

où M et M ′ sont deux points symétriques l’un de l’autre.

M1M’1

M1E ( ) E ( )M’1

P P’

M

dE’ dE

dE + dE’

Π

(a) Distribution présentant un plan de symétrie

dE + dE’

dE

dE’

E ( )M’1M’1

M1

M1E ( )

P P’

Π ’

M

+ −

(b) Distribution présentant un plan d’antisy-métrie.

FIG. 2.4 – Propriétés de symétrie du champ électrostatique.

Distribution présentant un plan d’anti-symétrie : supposons maintenant que la distribution change designe par rapport à un plan de symétrie. Autrement dit on considère la symétrie S ′, par rapport à un planΠ′ telle que :

M → M ′

ρe(M) → −ρe(M′)

Cherchons le champ créé en un point M ∈ Π′. On voit alors qu’à tout point P de la distribution , créant unchamp

−→dE(M) correspond un point symétrique P ′ créant un champ

−→dE′(M) telle que

−→dE(M) +

−→dE ′(M)

est perpendiculaire au plan Π. Ainsi le champ résultant−→E (M) est nécessairement perpendiculaire au plan

Π.

c©Jimmy Roussel

2.3. Théorème de Gauss 21

On montre également, à l’aide du principe de Curie que si l’on note Et la composante tangentielle au planΠ du champ électrique et En sa composante normale on a la propriété suivante :

Et(M) = −Et(M′)

En(M) = En(M ′)

où M et M ′ sont deux points symétriques l’un de l’autre.

À retenir : En tout point d’un plan de symétrie, le champ électrique est contenu dansce plan. En tout point d’un plan d’anti-symétrie, le champ électrique est perpendicu-laire à ce plan.

Conséquences : On peut retenir plusieurs conséquences :

◦ Le champ électrique est toujours nul au centre de symétrie d’une distribution.◦ Un plan d’anti-symétrie est une surface équipotentielle.

2.3 Théorème de Gauss

2.3.1 Flux d’un champ vectoriel

Définition : le flux d’un champ−→A , à travers une surface (S) vaut

Φ =

∫∫

(S)

−→A (M)dS−→n

où −→n désigne un vecteur unitaire perpendiculaire à la surface en M. Deux cas se présentent :

n

AdS

FIG. 2.5 – Flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée.

◦ La surface est fermée (on peut alors définir un intérieur et un extérieur) : −→n est dirigé versl’extérieur par convention.

◦ La surface s’appuie sur un contour (surface initialement fermée que l’on ouvre en découpant unmorceau). Autour du point M de la surface, on trace un cercle orienté arbitrairement et l’on utilisela règle du tire-bouchon pour trouver le sens de −→n



2.3.2 Théorème de Gauss

Calculons le flux du champ électrique créé par une charge ponctuelle, à travers une sphère de rayon a etcentrée sur la charge.

Φ =

∫∫

r=a

q−→er

4πε0r2dS−→er =

q

4πε0a2

∫∫

r=a

dS =q

ε0

On obtient une quantité indépendante de la taille de la sphère.

On montre que ce résultat ne dépend pas de la forme de la surface fermée englobant la charge. On montreégalement que le flux vaut 0 lorsque la charge est en dehors de la surface fermée. On généralise ce résultatpour obtenir le théorème de GAUSS.

Théorème de GAUSS : Le flux du champ électrostatique créé par une distributionde charges, à travers une surface fermée quelconque, est proportionnel à la chargeintérieure à cette surface. La constante de proportionnalité vaut, dans le Système In-ternational, 1

ε0.

Φ =∫∫

(S)

−→E (M)dS−→n = Qint

ε0

2.3.3 Forme locale du théorème de Gauss

Le théorème de Gauss que l’on vient de voir exprime une contrainte géométrique sous la forme d’uneintégrale de flux. On peut exprimer la même idée localement c’est à dire en un point et non sur une surfacefermée. Pour cela nous avons besoin d’un nouvel opérateur différentiel : l’opérateur divergence.

Opérateur divergence : la divergence est un opérateur différentiel qui prend comme argument un champvectoriel et qui renvoit un scalaire. Considérons le champ vectoriel

−→A (x, y, z) = Ax(x, y, z)−→ux +

Ay(x, y, z)−→uy + Az(x, y, z)−→uz. Par définition, la divergence du champ vectoriel−→A se note div

−→A et

vaut

div−→A =

∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

Par exemple, div−−→OM = 3.

théorème de la divergence : On montre en mathématique que le flux d’un champ vectoriel à travers unesurface fermée se transforme en une intégrale de volume :

∫∫

S

−→A.−→n dS =

∫∫∫

V

div−→A dτ

où S est une surface fermée, −→n un vecteur unitaire normal à la surface et dirigée vers l’extérieur, dτl’élément de volume et V le volume délimité par S.

Pour le champ électrostatique on peut donc écrire :∫∫

S

−→EdS−→n =

∫∫∫

V

div−→E dτ =

Qint

ε0=

∫∫∫

V

ρe

ε0dτ

d’où l’on déduit la forme locale du théorème de gauss où équation de MAXWELL-GAUSS :

div−→E =

ρe

ε0

c©Jimmy Roussel

2.3. Théorème de Gauss 23

2.3.4 Exemple

Distribution à symétrie sphérique : considérons une boule de rayon R chargée uniformément (ρ = 3Q4πR3 =

constante). Calculons le champ créé en tout point de l’espace.◦ Le problème présente une symétrie sphérique ; choisissons de repérer le point M par ses coordon-

nées polaires M(r, θ, ϕ). La distribution est invariante par rotation d’angle ϕ et d’angle θ :

−→E (r, θ, ϕ) =

−→E (r)

◦ L’axe (OM) est un axe de symétrie (intersection de deux plans de symétrie) : Le champ est doncradial : −→

E (r, θ, ϕ) = E(r)−→er

◦ Choisissons comme surface de Gauss, une sphère (fictive) de rayon r et calculons le flux élec-trique :

Φ = 4πr2E(r)

◦ Deux cas se présentent :– r < R : la charge intérieure vaut alors Qint = ρ 4

3πr3 = Q r3

R3 . D’où

−→E (r, θ, ϕ) =

Q

4πε0R3r−→er

On note que le champ électrique s’annule au centre (centre de symétrie).– r > R : la charge intérieure vaut alors Qint = Q. D’où

−→E (r, θ, ϕ) =

Q

4πε0r2−→er

On note que le champ électrique à l’extérieure de la distribution, est le même que celui créé parune charge ponctuelle Q située au centre de la boule.

◦ Le potentiel électrique est tel que

−→E (r, θ, ϕ) = E(r)−→er = −dV

dr−→er

d’oùVext = Q

4πε0r

Vint = Q8πε0R (3 − r2

R2 )

en prenant la convention limr→∞ V = 0.◦ Notez que le champ électrique est continu.

Plan infini chargé : les symétries du problème permettent d’affirmer que

−→E = E(z)

−→k = −dV

dz

−→k

◦ Appliquons donc le théorème de Gauss en choisissant comme surface fermée, un cylindre d’axe Oz dehauteur h de base S. Notons z− la cote de la base inférieure et z+ celle de la cote supérieure. Le calculdu flux donne alors :

Φ = S(E(z+) − E(z−))

◦ Si le cylindre est entre les armatures, le théorème de Gauus permet d’écrire :

Φ = S(E(z+) − E(z−)) = 0

ainsi, le champ est uniforme entre les armatures.◦ Si le cylindre se trouve à l’extérieure du condensateur, on obtient aussi que le champ est uniforme et

donc nul (puisqu’à l’infini le champ s’annule).



◦ Si le cylindre est traversé par l’ armature positive situé en z = e2 , on obtient :

S(−E(z−)) =σS

ε0

c’est-à-dire−→E int = − σ

ε0

−→k . On obtient le même résultat si le cylindre est traversé par l’armature néga-

tive.

c©Jimmy Roussel

Chapitre 3

Conducteurs en équilibreélectrostatique

3.1 Propriétés des conducteurs à l’équilibre

3.1.1 Définitions

Conducteur : Il s’agit d’un système macroscopique pouvant transporter le courant électrique gràce à desporteurs de charge mobiles. Dans un métal, ce sont les électrons libres qui sont susceptibles de géné-rer un courant électrique macroscopique lorsqu’on les soumet à un champ électrique. On rencontredes conducteurs à l’état solide, liquide et gazeux :

◦ solide : les métaux, tels que le cuivre, l’aluminium, le fer etc... sont des conducteurs pourlesquelsles porteurs de charge sont des électrons délocalisés dans le réseau cationique. Cependant cesélectrons sont faiblement liés au réseau, c’est pourquoi il faut fournir une énergie pour les extrairedu métal (travail de sortie).

◦ liquide : les solutions électrolytiques peuvent transporter le courant électrique grâce aux ions sol-vatés. Le processus de conduction est assuré grâce au mouvement de ces ions et/ou au transfert decharges entre ions. En général, plus les ions sont petits, meilleure est la conduction.

◦ Gaz : Lorsque l’on ionise un gaz, on crée des ions, des électrons et des protons susceptibles detranporter un courant électrique. On parle alors de Plasma.

Équilibre : à l’équilibre, un conducteur n’est soumis à aucun mouvement macroscopique. Il n’y a donc pasde courant électrique macroscopique. Bien évidemment, à l’échelle de l’atome les électrons, protonsont en mouvement, cependant à l’échelle mésoscopique, c’est-à-dire intermédiaire entre l’échellemacroscopique et atomique (l’échelle du micromètre pour fixer les idées) ces mouvements incessantsse compensent.

3.1.2 Champs à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre

Champ électrique : à l’équilibre, un conducteur n’est le siège d’aucun courant électrique macroscopique.Par conséquent au sein du conducteur il ne règne aucun champ électrique. Insistons sur le fait qu’ils’agit ici du champ électrique local, c’est-à-dire du champ électrique moyenné à l’échelle mésosco-pique (à l’échelle du micromètre). Bien entendu, à l’échelle de l’atome, règne un champ électriqueextrèmement important et fluctuant.Retenons donc qu’à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre, on a :

−−→Eint =

−→0

25

26 Chapitre 3. Conducteurs en équilibre électrostatique

Potentiel électrique : D’après la définition du potentiel électrique, on a, à l’intérieur d’un conducteur àl’équilibre : −−→

Eint = −−→∇Vint =−→0 ⇒ Vint = Cte

Le potentiel électrique est uniforme au sein du conducteur à l’équilibre. Autrement dit, le conducteurà l’équilibre est un volume équipotentiel.

3.1.3 Champ au voisinage d’un conducteur

Le théorème de Gauss implique que

div−−→Eint =

ρint

εO= 0

Ainsi, la densité volumique de charge est nulle. Cela signifie, que si le conducteur fut initialement chargé,cette charge ne peut se répartir qu’à la surface du conducteur lorsque celui-ci est à l’équilibre.

On caractérise donc le conducteur par sa distribution de charge surfacique σ(P ∈ (S)) où (S) désigne lasurface du conducteur. Le champ électrique à la surface du conducteur dépend donc de la manière dont serépartissent les charges en surface. Calculons le champ électrostatique créé au voisinage d’un conducteurà l’équilibre dans le vide.

On a vu qu’un plan infini uniformément chargé crée un champ électrique−→E =

σ

2ε0

−→n où −→n est le vecteur

M 2M 1

E = 0

E’ E’’ E’’E’

ε0

σE =+

+

+++

+

+

+

+

+

+

+

++ +

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

++

+

+

+

FIG. 3.1 – Champ électrique au voisinage d’un conducteur.

normal au plan. Ce résultat reste valide pour un plan fini de taille caractéristique L tant que l’on se place àune didtance d � L du plan. Ainsi, lorsque l’on se place au voisinage d’un conducteur, on peut considérer

que le champ créé est la somme de deux termes :−−→Eext(M) =

−→E′(M)+

−→E′′(M) avec

−→E′ le champ créé par

la portion du conducteur que l’on peut assimiler à un plan tangent et−→E′′ le champ créé en ce même point

par le reste du conducteur. Si l’on note −−→next le vecteur unitaire normal à la surface du conducteur et dirigévers l’extérieur, on peut écrire au voisinage de la surface :

−−→Eint(M) = − σ

2ε0

−−→next +−→E′′(M) =

−→0

−−→Eext(M) =

σ

2ε0

−−→next +−→E′′(M) =

σ

ε0

−−→next

c©Jimmy Roussel

3.1. Propriétés des conducteurs à l’équilibre 27

On retiendra donc, que dans un conducteur à l’équilibre, les charges se répartissent àla surface du conducteur et que règne au voisinage immédiat de la surface chargée (età l’extérieur) un champ électrique :

−−→Eext =

σ

ε0

−−→next

Ceci constitue le théorème de COULOMB.

Remarques : On montre que la distribution de charge est surfacique qu’à l’échelle macroscopique. Uneanalyse plus fine, tenant compte des courants de diffusion, montre que les charges se répartissent surune épaisseur de quelques dizième de nanomètre.

3.1.4 Champs entre conducteurs

Supposons que l’on dispose, dans le vide, d’un certain nombre de conducteurs portés à des potentielsconnus Vi et que l’on cherche les champs créés partout.

Tout d’abord, montrons que le potentiel vérifie une équation simple dans le vide. En effet, dans le vide,ρe = 0 et donc on a div

−→E = 0 et

−→E = −−→∇V . Ainsi on obtient : div(−−→∇V ) = 0 c’est-à-dire :

4V =∂2V

∂x2+

∂2V

∂y2+

∂2V

∂z2= 0

Le potentiel vérifie l’équation de LAPLACE. Cette équation a la propriété importante suivante : lorsque lesconditions aux limites sont fixées (par exemple V = Vi à la surface du conducteurCi) la solution est unique.Ainsi, si l’on trouve une solution compatible avec les conditions aux limites et qui satisfait l’équation deLAPLACE, alors on sait qu’il s’agit de LA solution du problème.

Exemple simple : Considérons un conducteur sphérique de rayon R porté au potentiel V0. Cherchonsle champ électrique créé en tout point et la façon dont les charges se répartissent à la surface duconducteur.Tout d’abord, vu la symétrie du problème, on choisit un système de coordonnées sphériques (r, θ, ϕ).On sait que :

V = V0 pour r = R (3.1)

et l’on cherche V (r, θ, ϕ) pour r > R. Or on connait une distribution de charge compatible avec lesconditions aux limites. En effet, une charge ponctuelle de charge Q = 4πε0RV0 située en O produitun potentiel

V =Q

4πε0r= V0

R

r

qui est bien un potentiel satisfaisant à l’équation de Laplace (vérifier que 1r2

∂∂r (r2 ∂V

∂r )+ ∂r2 sin θ∂θ (sin θ ∂V

∂θ )+1

r2 sin2 θ∂2V∂ϕ2 = 0) et à la condition 3.1. Ainsi on a trouvé le potentiel solution du problème :

V = V0 pour r < R

V = V0R

rpour r > R

ce qui permet de déduire le champ électrique−→E = −dV

dr−→ur :

−→E =

−→0 pour r < R

−→E = V0

R

r2−→ur pour r > R



Enfin, le théorème de COULOMB, nous donne la densité de charge surfacique :

σ = E(R).ε0 =V0ε0R

La répartition est donc isotrope ce que l’on aurait pu prévoir vu la symétrie du problème. La chargerépartie en surface vaut donc :

Q = σ4πR2 = 4πε0V0R

Remarque : on a ici utilisée une méthode qui porte le nom de méthodes des images électriques.

Méthodes numériques : dans de nombreux cas, la résolution analytique n’est pas possible. On utilisealors des méthodes de résolution numériques. Une d’entre elles consiste à décrire l’espace commeune grille ayant une frontière surlaquelle le potentiel est connu. On affecte un potentiel Vijk à chaquenoeud (i, j, k) et on approche les dérivées par des différences finies. Par exemple, dans le plan (xOy)on aura,

∂2V

∂x2≈ Vi+1,j + Vi−1,j − 2Vi,j

∂2V

∂y2≈ Vi,j+1 + Vi,j−1 − 2Vi,j

ce qui donne4V ≈ 4(Vij − Vi,j)

avec Vij étant la moyenne arithmétique des potentiels entourant le noeud (i, j). Résoudre l’équationde Laplace c’est trouver l’ensemble des Vi,j tels que

Vij = Vi,j

On part donc d’une situation où Vi,j = 0 partout sauf à la frontière et on passe en revue tous lesnoeuds en leur affectant une valeur qui correspond à la moyenne des noeuds voisins. Une fois tousles noeuds passés en revue, on réitère l’opération. le processus converge et l’on stoppe l’itérationquand on considère que la variation relative des potentiels après chaque itération est inférieur à unseuil fixé arbitrairement. cette méthode s’appelle la méthode de relaxation. Bien sûr, plus le maillageest serré et meilleur est la précision mais cela coûte du temps de calcul...

3.1.5 Capacité d’un conducteur seul

Définition : La capacité d’un conducteur mesure son aptitude à stocker une quantité de charge Q sous unpotentiel électrique donné V . Elle se calcule par : C = Q

V et se mesure en Farad (F). Cette grandeurne dépend que de la géométrie du conducteur.

Exemple : la capacité d’un conducteur sphérique de rayon R vaut :

C =Q

V= 4πε0R

Si la Terre était un conducteur à l’équilibre, sa capacité serait de C = 0, 7 mF ce qui montre que leFarad n’est pas une unité très adaptée, aussi utilise-t-on ses sous multiples.

effet de pointe : Lorsqu’on soumet un conducteur à un potentiel V , les charges ne se répartissent pastoujours uniformément. L’exemple précédent montre que la charge varie comme le rayon de courbureet donc que la densité de charge varie comme l’inverse du rayon de courbure. Ainsi, la où le rayonde courbure diminue, la densité surfacique augmente : le champ électrique est donc très important làoù le rayon de courbure est petit. Cet effet, dit effet de pointe, est mis à profit dans les paratonnerrespar exemple : près d’une pointe le champ électrique peut être suffisamment important pour ioniserlocalement l’air et produire un canal conducteur qui peut entrer en contact avec un canal conducteurdescendant : un éclair se produit alors. La décharge est alors contrôlée par les paratonnerres.

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3.2. Les condensateurs 29

3.2 Les condensateurs

3.2.1 Influence entre deux conducteurs

Influence partielle : Considérons deux conducteurs C1 et C2 . L’un est chargé (positivement pour fixer lesidées) et l’autre est neutre. Si l’on approche le conducteur chargé vers le conducteur neutre, le champélectrique créé par C1 va éloigner les charges positives et attirer les charges négatives. Ainsi, C2 serecouvre d’une distribution de charge non uniforme telle que

∫

σdS = 0.Si l’on considère une portion de surface (S1) de C1, alors les lignes de champ s’appuyant sur (S1)vont arriver sur C2 (perpendiculairement à la surface du conducteur) et découper une surface (S2).Appelons q1 la quantité de charge que porte (S1) et q2 la quantité de charge que porte (S2). Lethéorème de Gauss permet de montrer que q2 = −q1.

E = 0E = 0

(C )1 (C )2

q1

q2

q1= −

+

+++

++ +

+

+

+

−

−+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

++

+

+

+

++

+

+

+

+

−−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

(a) (b)

FIG. 3.2 – a) Schéma de principe représentant la notion d’influence partielle. b) Simulation de l’influenced’une charge ponctuelle sur une sphère conductrice neutre

Si maintenant, le conducteur C2 est mis à la Terre (réservoir de charge) les charges négatives vontêtre neutralisées et le conducteur sera donc chargé : on parle alors de charge par influence partielle.

Influence totale : Si l’on examine le cas particulier où le conducteur C2 entoure C1 alors la surface inté-rieure de C2 se recouvre d’une charge opposée à celle que contient C1 : on parle d’influence totale.Dans ce cas, on dit que les deux conducteurs forment un condensateur constitué de deux armaturesconductrices.La capacité d’un condensateur mesure l’aptitude à stocker une quantité de charge sur l’armature in-terne. En effet, on montre que si l’on soumet le condensateur à une tension U = V1 − V2, l’armatureinterne se charge d’une charge

Q = CU

où C mesure la capacité du condensateur et ne dépend que de la géométrie du condensateur.

3.2.2 Le condensateur plan

Un condensateur plan est formé par deux plans en influence totale (+Q et -Q sont les charges totales dechaque armature) , parallèles à xOy et espacés d’une distance e et soumis à une tension U . On néglige leseffets de bords ce qui revient à considérer les plans infinis. L’invariance du problème par translation suivantx et y impose une répartition uniforme des charges.



Or, on sait que le champ créé par un plan infini chargé uniformément vaut (cf. Chapitre 2) :

−→E =

σ

2ε0

−−→next

En conséquence, le champ résultant est telle que (Eint est le champ entre les armatures, et Eext est le champà l’extérieur du condensateur) :

Eext = 0Eint = σ

ε0

et le champ est orienté de la plaque positive vers la plaque négative.

Le potentiel électrique est tel que

E(z) = −dV

dz⇒ ∆V =

σ

ε0∆z

Si l’on note U = V ( e2 ) − V (− e

2 ) la tension électrique entre les plaques et sachant que σ = QS (si S est

l’aire d’une portion de l’armature positive, Q est la charge que porte cette surface) , on obtient :

U =Qe

ε0S

c’est-à-dire :Q = CU

avec

C =ε0S

e

désignant la capacité d’un condensateur. Plus l’espacement est petit plus la capacité est grande.

–0.3

–0.2

–0.1

0

0.1

0.2

0.3

b

–0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2a

(a) condensateur

FIG. 3.3 – Effets de bord dans un condensateur plan.

NB : on place des isolants ayant une permitivité relative εr importante pour augmenter la capacité. Dans cecas

C =ε0εrS

e

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Chapitre 4

Dipôle électrostatique

4.1 L’approximation dipolaire

4.1.1 Le doublet électrostatique

Définition : On appelle doublet électrostatique, un ensemble de deux charges ponctuelles opposées +q et

r2

r1

+q

−q

M

ϕ

θ

r

Β

Α

z

x

y

a

FIG. 4.1 – Doublet électrostatique.

−q séparées d’une distance a.

◦ symétries : le système présente un invariance par rotation d’axe Oz. De plus, le plan contenant, le doubletet le point M, est un plan de symétrie de la distribution. On en déduit que

−→E (r, θ, ϕ) = Er(r, θ)

−→er + Eθ(r, θ)−→eθ

De plus le plan xOy étant un plan d’anti-symétrie, c’est aussi une équipotentielle (V = 0)◦ Les champs s’expriment en fonction de −→r1 =

−−→AM et −→r2 =

−−→BM :

V (M) =q

4πε0

(

1

r1− 1

r2

)

31

32 Chapitre 4. Dipôle électrostatique

−→E (M) =

q

4πε0

(−→r1

r31

−−→r2

r32

)

◦ topographie : cf. fig 4.2.

4.1.2 L’approximation dipolaire

◦ L’approximation dipolaire consiste à se placer loin du dipôle ; c’est-à-dire se placer à une distanceOM � a. On cherche à obtenir le terme prépondérant du potentiel et du champ électrique en faisant undéveloppement limité.

r1 = r

√

1 + (a

2r)2 − a cos θ

r

r2 = r

√

1 + (a

2r)2 +

a cos θ

r

ce qui permet d’approcher le potentiel (à l’ordre 1 en a/r)

V ≈ qa cos θ

4πε0r2

on remarque que le champ varie en 1/r2, loin du doublet. En effet, il décroît plus vite que le potentielcréé par une charge car loin du doublet on “voit” une charge totale nulle.

◦ On définit alors le moment dipolaire du doublet :

−→p = q−−→BA

orienté de la charge négative vers la charge positive. Ce moment s’exprime en C.m.◦ La formule donnant le potentiel peut donc s’exprimer comme suit :

V ≈−→p .−→ur

4πε0r2

◦ le champ s’obtient en prenant le gradient :

−→E (M) = −−→∇ 1

4πε0

(−→p .−−→OM

r3

)

= − 1

4πε0

[

1

r3

−→∇(−→p .

−−→OM

)

+ (−→p .−−→OM)

−→∇(

1

r3

)]

Or,−→∇(−→p .

−−→OM

)

= −→p

−→∇(

1

r3

)

= −−→ur

r4

d’où−→E (M) =

1

4πε0r3[3 (−→p .−→ur)

−→ur −−→p ]

4.1.3 Lignes de champ

◦ les équipotentielles, dans l’approximations dipolaire, vérifient r = K√

cos θ (cf. fig 4.2).◦ les lignes de champs électriques, dans l’approximations dipolaire, vérifient r = K ′ sin2 θ (cf. fig 4.2).

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4.1. L’approximation dipolaire 33

–2

–1

0

1

2

b

–2 –1 0 1 2a

(a) doublet

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

b

–4 –2 0 2 4a

(b) doublet vu de loin

FIG. 4.2 – Equipotentielles et Lignes de champ (on a imposé aux vecteurs d’être de longueur constante).

ri

u r

qiiP

q2

q1

M

FIG. 4.3 – Distribution de charges ponctuelles.



4.1.4 Généralisation

Considérons une distribution de charges {qi=1..N} délimitée par un volume fini. Notons a, la dimensioncaractéristique de cette distribution. On cherche a exprimer les champs créés dans l’approximation dipo-laire, c’est-à-dire, pour des points M situés à des distances très grandes devant a. Plaçons l’origine d’unrepère dans la distribution et notons −→ri =

−−→PiM où Pi repère la position de la charge qi.

On a

V =∑

i

qi

4πε0ri

avec

ri = r

√

1 +

(

OPi

r

)2

+ 2

−−→OM.

−−→PiO

r2

d’où, à l’ordre 1 en a/r :

V ≈∑

i qi

4πε0r+

(∑

i qi−−→OPi)

−→ur

r2

Le premier terme désigne le terme unipolaire. C’est le terme prépondérant lorsque la charge totale est nonnulle. Par exemple, un ion crée un champ quasi-newtonien dès que l’on se trouve à une distance grandedevant sa taille.1

Le deuxième terme représente le terme dipolaire. Il devient prépondérant lorsque la charge totale est nulleà condition que

∑

i qi−−→OPi 6= −→

0 . C’est par exemple le cas d’une molécule neutre qui ne présente pas decentre de symétrie (on parle de molécule polaire), comme par exemple H2O, HCl, etc.

Par définition , le moment dipolaire de la distribution vaut −→p =∑

i qi−−→OPi. Si l’on note B+ le barycentre

des charges positives et B− le barycentre des charges négatives, on obtient −→p = Q−−−−→B−B+ où Q désigne la

somme des charges positives. Ce moment dipolaire caractérise donc la répartition des charges et ne dépendpas du choix de l’origine.

Le potentiel d’une distribution neutre vaut alors

V ≈−→p .−→ur

4πε0r2

et donc (cf § précédent)

−→E (M) =

1

4πε0r3[3 (−→p .−→ur)

−→ur −−→p ]

1On montre que dans ce cas, si l’on place O au barycentre des charges, le deuxième terme disparaît et le terme suivant varie en1/r3 (terme quadrupolaire).

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4.2. Actions subies 35

On retiendra que toute distribution localisée, neutre avec un barycentre des chargespositives ne coïncidant pas avec le barycentre des charges négatives, se caractérise parun moment dipolaire

−→p =∑

i qi−−→OPi

Dans l’approximation dipolaire (c’est-à-dire pour r � a ), ce dipôle crée un potentiel

V =−→p .−→ur

4πε0r2

et un champ électrostatique

−→E (M) = 1

4πε0r3 [3 (−→p .−→ur)−→ur −−→p ]

4.2 Actions subies

4.2.1 Action d’un champ électrostatique extérieur

1er Cas Considérons un dipôle rigide, c’est-à-dire une distribution localisée, neutre de moment dipolairenon nul et permanent. C’est par exemple une molécule, non centrosymétrique, constitué d’atomesd’électronégativité différente (molécule polaire). Plaçons ce dipôle dans un champ électrostatiqueextérieur uniforme

−−→Eext. Quelles sont les actions que subit le dipôle de la part du champ extérieur ?

◦ La Résultante des forces électriques vaut

−→R =

∑

i

qi−−→Eext =

−→0

car la distribution est neutre. Ainsi le centre d’inertie n’est pas perturbé par cette action extérieure.Par contre le système peut être soumis à un couple.

◦ Le moment du couple vaut

−→Γ =

∑

i

−−→OPi ∧ qi

−−→Eext = −→p ∧ −−→

Eext

Ce couple tend à aligner le moment dipolaire dans le sens du champ extérieur◦ L’énergie du dipôle dans le champ extérieur vaut Ep =

∑

i qiVi ext. Or Vi ext = −Eextxi si l’onchoisit l’axe Ox suivant le champ électrique. Ainsi

Ep = −(

∑

i

qixi

)

Eext = −−→p .−−→Eext

◦ Applications : lorsque l’on dissout un ion en solution aqueuse, les molécules d’eau entourent l’ionen orientant le moment dipolaire de la molécule d’eau dans le sens du champ créé par l’ion. Ceprocessus permet d’atténuer efficacement le champ électrique créé par l’ion.

2ème cas : Considérons une molécule apolaire comme O2 ou CH4. Dans ce cas, on pourrait penser quel’action est nulle puisque que le moment dipolaire est nulle. En fait, le nuage électronique se déformesous l’action d’un champ électrique ce qui déplace le barycentre des charges négatives par rapportau barycentre des charges positives. La molécule acquiert donc un moment dipolaire : on parle demoment dipolaire induit par l’action d’un champ extérieur. Si le champ extérieur est faible devant



le champ électrostatique qui maintient la cohésion (≈ 100 GV/m) alors une approximation linéairesuffit :

−→pi = α−−→Eext

où α désigne la polarisabilité de la molécule. On peut retenir l’idée générale suivante : plus unemolécule est grosse plus elle est polarisable.Bien sûr, une fois polarisée, la molécule se comporte comme dans le premier cas.

4.2.2 Action d’un champ électrostatique extérieur non uniforme

Étudions qualitativement l’action d’un champ électrostatique extérieur non uniforme sur un doublet électro-statique rigide. On a vu que le champ extérieur tend à orienter ce dipôle dans le sens du champ. Supposonsceci fait.

Supposons que le pôle + se trouve dans une zone où règne un champ plus fort qu’au voisinage du pôle -.dans ce cas la résultante des forces tend à déplacer le doublet vers la zone où règne un champ fort.

Supposons que le pôle - se trouve dans une zone où règne un champ plus fort qu’au voisinage du pôle +.dans ce cas aussi, la résultante des forces tend à déplacer le doublet vers la zone où règne un champ fort.

E

− + F+

F−

p

extELignes de champ de

FIG. 4.4 –

On retiendra que le dipôle est soumis à une force qui tend à le déplacer vers les zonesoù règne un champ électrique fort (une fois que le dipôle est aligné avec le champ).

Application : Dans tous les gaz, liquides et solides moléculaires, il existent des interactions attractivesfaibles dites interactions de Van der Waals.Prenons l’exemple de deux molécules polaires M1 et M2 de moments dipolaires p1 et p2. M1

produit un champ dipolaire dans tout l’espace et M2 s’oriente dans ce champ. Une fois orientéelle est attirée vers la zone ou règne un champ fort, c’est-à-dire, vers M1. Ainsi M1 et M2, bienqu’électriquement neutres, s’attirent. Si l’on moyenne sur les orientations on montre que l’attractionest faible :

f ∝ p1p2

r7

On montre également que cette attraction existe entre une molécule polaire et une molécule apolaire(processus de polarisation induite) ainsi qu’entre deux molécules apolaires (effet plus subtil).

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4.2. Actions subies 37

Cette interaction est donc toujours présente et elle est responsable de la transition de phase gaz-liquide. C’est aussi elle qui intervient dans tous les problèmes d’interface solide-liquide ou liquide-liquide : problème d’ahérence d’une peinture, de mouillage d’un liquide sur un support etc.



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Chapitre 5

Interaction électromagnétique

5.1 Notion de champ magnétique

5.1.1 Aspects historiques

Les aimants sont connus depuis l’Antiquité, sous le nom de magnétite (Fe304), pierre trouvée à proximitéde la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre que provient le nom actuel de champ magnétique.Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans, pour fairedes boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur del’eau contenue dans une récipient gradué. Au XVIIIème siècle, Franklin découvre la nature électrique de lafoudre (1752). Or, il y avait déjà à cette époque de nombreux témoignages de marins attirant l’attention surdes faits étranges : “Les orages perturbent les boussoles”, “La foudre frappant un navire aimante tous lesobjets métalliques”. Franklin en déduisit “la possibilité d’une communauté de nature entre les phénomènesélectriques et magnétiques”. Coulomb (1785) montre la décroissance en 1/r2 des deux forces. Mais il fautattendre la fin du XIXème siècle pour qu’une théorie complète apparaisse, la théorie de l’électromagné-tisme.

FIG. 5.1 – Expérience d’Oersted et de Rowland.

Tout commença avec l’expérience de OERSTED en 1820. Il plaça un fil conducteur au dessus d’une bous-sole et y fit passer un courant. En présence d’un courant l’aiguille de la boussole est effectivement déviée,prouvant sans ambiguïté un lien entre le courant électrique et le champ magnétique. Par ailleurs, il ob-serva : “ Si on inverse le sens du courant,la déviation change de sens.”. La force qui dévie l’aiguille est nonradiale. L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens BIOT etSAVART (1820). Ils mesurèrent la durée des oscillations d’une aiguille aimantée en fonction de sa distanceà un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la

39

40 Chapitre 5. Interaction électromagnétique

direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie en raison inverse de la distance. De ces expériences,LAPLACE déduisit ce qu’on appelle aujourd’hui la loi de BIOT et SAVART. Une question qui s’est ensuiteimmédiatement posée fut : si un courant dévie un aimant, alors est-ce qu un aimant peut faire dévier uncourant ? Ceci fut effectivement prouvé par DAVY en 1821 dans une expérience où il montra qu’un arcélectrique était dévié dans l’entrefer d’un gros aimant. L’élaboration de la théorie électromagnétique miten jeu un grand nombre de physiciens de renom : OERSTED, AMPÈRE, ARAGO, FARADAY, FOUCAULT,HENRY, LENZ, MAXWELL, WEBER, HELMHOLTZ, HERTZ, LORENTZ et bien d’autres. Si elle débuta en1820 avec OERSTED, elle ne fut mise en équations par MAXWELL qu’ en 1873 et ne trouva d’explicationsatisfaisante qu’ en 1905, dans le cadre de la théorie de la relativité d’EINSTEIN. Dans ce cours de magné-tostatique, nous ne suivrons pas la chronologie historique. Nous prendrons le parti ici de poser l’expressionde la force magnétique s’exerçant sur une particule puis ensuite nous chercherons comment le champ ma-gnétique est lié au courant électrique qui le crée pour terminer sur la notion de dipôle magnétique dontl’aimant est le représentant.

5.1.2 Force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle

Expérience : Déviation d’un faisceau d’électrons par un champ magnétique : lorsque l’on présente unaimant face à un faisceau d’électrons, ce dernier subit une déviation qui s’explique par l’apparitiond’une force perpendiculaire à l’aimant et à la vitesse.On peut mettre en évidence le fait que cette force est proportionnelle à la vitesse et à la chargeélectrique.

Formalisation : La force magnétique subie par une particule de charge q et de vitesse −→v mesurée dans unréférentiel est −→

Fm = q−→v ∧ −→B

Cette force définit le champ magnétique−→B . On appelle cette force la force de Lorentz.

En fait, le champ électrique est indissociable du champ magnétique ; ainsi on parlera plutôt d’inter-action électromagnétique sous la forme :

−→F =

−→Fe +

−→Fm

où −→Fe = q

−→E−→

Fm = q−→v ∧ −→B

Unités : Le champ magnétique s’exprime en Tesla dans le S.I. en hommage à Tesla. Une analyse dimen-sionnelle permet de montrer que 1T = 1kg.A−1.s−2.

Ordres de grandeur :◦ Un aimant courant : 10 mT◦ Un électroaimant ordinaire : ~ Tesla

c©Jimmy Roussel

5.1. Notion de champ magnétique 41

◦ Une bobine supraconductrice : 20 Tesla◦ Champ magnétique interstellaire moyen : ~ 10−10T◦ Champ magnétique dans une tache solaire : ~ 0.1 Tesla◦ Champ magnétique terrestre : B⊥ ≈ 4.10−5 T et Bq ≈ 3.10−5 T◦ Champ magnétique d’une étoile à neutrons : ≈ 108 T

Remarques :

◦ Pour des particules microscopiques, les forces de pesanteur sont en général négligeables devant la forceélectromagnétique.

◦ La force magnétique est une correction relativiste à la force de Coulomb ; cette force s’interprète correc-tement en relativité.La force électromagnétique viole le principe des actions réciproques.

Puissance de la force de Lorentz : La force magnétique ne fournit pas de travail. En effet la puissance dela force de Lorentz est nulle :

P =−→F .−→v = 0

car la force magnétique est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse. Ainsi, d’après le théorèmede l’énergie cinétique, si une particule est soumise uniquement à la force magnétique, la vitesse resteconstante en intensité :

d

dt(1

2mv2) = P = 0

Conclusion : seule la force électrique peut faire varier la vitesse en intensité, la force magnétique nepeut qu’incurver la trajectoire.

Remarque : La force magnétostatique ne travaille pas. Cependant, si le champ magnétique varie dans letemps, il apparaît une champ électrique lié à la variation du champ magnétique (phénomène d’induc-tion) qui lui travaille.

5.1.3 Force de LAPLACE

La force de LAPLACE est la force magnétique qui s’exerce sur un conducteur traversé par un courant élec-trique. Considérons une portion rectiligne de conducteur de section S, contenant n− porteurs de chargesmobiles (charges q−) par unité de volume et n+ ions fixes (charges q+) constituant le réseau. Bien sûr,l’électroneutralité du conducteur impose n−q− = n+q+. Supposons ce conducteur animé d’une vitesse

−→V

par rapport au laboratoire et plongé dans une zone où règne un champ magnétostatique−→B . D’autre part,

les porteurs de charge sont animés d’une vitesse −→v par rapport au conducteur.

B

dl

B

dl

P

I

Fil conducteur

Section S

V

FIG. 5.2 – Notations pour la force de Laplace.



Calculons la force magnétique s’exerçant sur une portion de conducteur−→dl (élément orienté de longueur).

On a :

d−→F = n−Sdlq−(−→v +

−→V ) ∧ −→

B + n+Sdlq+−→V ∧ −→

B = n−Sdlq−−→v ∧ −→

B

Calculons maintenant l’intensité du courant électrique. La quantité de charge δQ transférée pendant ladurée δt vaut

δQ = q−n−(Svδt) ⇒ I =δQ

δt= q−n−Sv

Ainsi la force magnétique qui s’exerce sur une longueur orienté de conducteur vaut :

d−→F = Id

−→l ∧ −→

B

où I est l’intensité algébrique du courant électrique.

Applications : La balance de cotton (mesure d’un champ magnétique), l’ampèremètre à aiguille (mesured’intensité), le haut parleur (production d’un déplacement alternatif avec un courant alternatif) ...

(a) Balance de Cotton. (b) Ampèremètre à aiguille.

FIG. 5.3 – Quelques applications de la force de Laplace.

5.2 Champ magnétostatique créé par des circuits fermés filiformes

5.2.1 Distributions de courants électrique filiformes

◦ Un courant électrique est un mouvement d’ensemble de particules chargées dans un référentiel. Il existetrois types de courants :– courants de conduction : mouvement de porteurs de charges (électrons, trous, électrolytes) sous l’ac-

tion de champ électrique dans un matériaux conducteur.– courants de particules : mouvement de particules dans le vide (tubes cathodiques).– courants de convection : déplacement de charges sous l’action d’une force mécanique (disque de

Rowland par exemple).

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5.2. Champ magnétostatique créé par des circuits fermés filiformes 43

◦ On se contente de décrire les champs créés par des circuits filiformes : on néglige donc la taille carac-téristique des fils devant l’échelle caractéristique des champs. On définit en chaque point du circuit uncourant et un sens d’orientation conventionnel. On sait de plus que, dans le régime quasi-stationnaire, lecourant électrique est le même en tout point d’une branche (cf. électrocinétique).

◦ La symétrie et les invariances d’une distribution auront des conséquences sur les champs créés.– Recherche des invariances : Si une distribution ne change pas lorsqu’on lui applique une symétrie, on

dit qu’elle est invariante vis à vis de cette symétrie. exemples : la spire est invariante vis à vis de larotation autour de l’axe perpendiculaire au plan de la spire. un fil rectiligne est invariant vis à vis detoute translation suivant la direction du fil etc.

– Recherche des plans de symétrie et d’antisymétrie.– Un plan de symétrie π est un miroir qui laisse invariant la distribution de courant : Exemple : le fil

infini.– la distribution de courant présente un plan d’anti-symétrie π′, lorsque la distribution symétrique par

rapport à π′ donne une distribution où les courants sont simplement inversés.– Exemple : la spire. deux fils parallèles parcourus par des courants identiques mais de sens opposé.

5.2.2 Loi de BIOT et SAVART (1820)

Les travaux de BIOT et SAVART repris par AMPÈRE permirent de trouver une loi permettant de calculer lechamp magnétique créé par une distribution de courant. Ces deux physiciens ont postulé en 1820 que lechamp magnétique résultant pouvait s’interpréter comme une somme de champs magnétiques créés par deséléments de courants. Bien sûr, une distribution de courant étant toujours fermé, c’est le champ magnétiquecréé par l’ensemble du circuit qui a un sens. La formule est :

dl

u

dB

P

M

r

I

−→dB(M) =

µ0

4π

I−→dl ∧ −→u

r2

où −→u est le vecteur unitaire joignant l’élément de courant situé en P, à M. On peut aussi écrire :

−→dB(M) =

µ0

4π

I−→dl ∧ −−→

PM

PM3

Enfin, le champ magnétique résultant est donc la somme sur tout le circuit :

−→B (M) =

∫ −→dB =

µ0

4π

∫

circuit

I−→dl ∧ −→u

r2



5.2.3 Quelques résultats

les démonstrations seront effectuées en séance de TD

Le fil rectiligne infini

Considérons un fil infini parcouru par un courant constant I et d’axe Oz. À l’aide de la formule de Biot etSavart, on montre que le champ magnétique créé à la distance ρ du fil vaut

−→B (M) =

µ0I

2πρ−→eϕ

◦ Le champ est orthoradial et varie proportionnellement à l’inverse de la distance au fil.◦ Les lignes de champ sont des cercles

Champ sur l’axe d’une spire

Considérons une spire de rayon R parcouru par un courant constant I et d’axe Oz.

u

dl

dB

r

I

P

M

θ

R

FIG. 5.4 – La spire de courant.

◦ Par symétrie on voit que le champ magnétique est suivant l’axe de la spire.◦ On montre que

−→B (M) =

µ0I

2Rsin3 θ−→uz

où θ est le demi-angle au sommet du cône formé par M et la spire.

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Chapitre 6

Propriétés du champ magnétique

6.1 Symétries

6.1.1 Le champ magnétique est un vecteur axial

◦ Caractère axial du champ B. La formule de BIOT ET SAVART montre que le champ magnétique setransforme comme un produit vectoriel. On dit que le champ magnétique est un vecteur axial ou pseu-dovecteur .

v

B

u u

v

B

B

B u v= vVecteur axial

Plan de symétrie

BB

BVecteur axial

B

Plan d’anti−symétrie

FIG. 6.1 – Propriétés de symétrie du champ magnétique.

◦ La figure 6.1 ci-dessus montre comment un vecteur axial se transforme vis à vis d’un plan de symétrieou d’antisymétrie.– Considérons la symétrie S, par rapport à un plan. On voit alors que si M ′ est le symétrique de M on

a :Bt(M) = −B′

t(M′)

Bn(M) = B′n(M ′)

où Bn désigne la composante normale au plan et Bt sa composante parallèle. Cela implique que si Mest dans le plan de symétrie, le champ magnétique est perpendiculaire

– De la même façon, en présence d’un plan d’antisymétrie, on a :

Bt(M) = B′t(M

′)Bn(M) = −B′

n(M ′)

45

46 Chapitre 6. Propriétés du champ magnétique

ce qui implique qu’en tout point du plan d’anti-symétrie le champ magnétique est contenu dans ceplan.

À retenir : En tout point d’un plan de symétrie, le champ magnétique est perpendi-culaire à ce plan. En tout point d’un plan d’antysymétrie, le champ magnétique estcontenu dans ce plan.

6.1.2 Topographie

On peut visualiser les lignes de champ magnétique en déposant de la limaille de fer constitué de grainsferromagnétiques qui s’orientent suivant le champ magnétique. On obtient alors un spectre magnétique.Décrivons quelques cas (les cartes de champs sont des simulations).

Le fil infini : On place un fil infini en (0,0) parcouru par un courant I . On observe que les lignes de champsont circulaires (champ orthoradial) et que l’intensité du champ décroît quand la distance à l’axeaugmente. On a

−→B (M) =

µ0I

2πρ−→uϕ

Notez que les lignes de champ sont toujours fermées (cf.figure 6.2).

–1

–0.5

0

0.5

1

y

–1 –0.5 0.5 1x

(a) Lignes

–1

–0.5

0.5

1

–1 –0.5 0.5 1

(b) Cartes

FIG. 6.2 – Le fil infini. Attention : dans la figure (a) les flèches sont normalisées.

La spire : On place en O, une spire de rayon R parcourue par un courant d’intensité I uniforme. La figure6.3 présente une carte de champ avec des flèches donnant la direction du champ (leur longueur estconstante par commodité). Notez la structure fermée et dipolaire des lignes de champ. Le problèmeprésente une symétrie de révolution. Sur l’axe de la spire, on a

B(M) =µ0I sin3 θ

2R

avec θ le demi-angle au sommet du cône formé par M et la spire.

Les bobines de HELMHOLTZ : On forme deux bobines de HELMHOLTZ en plaçant deux spires sur lemême axe et en imposant une distance de R entre les spires. Cette configuration permet de créer unchamp magnétique entre les spires, quasi-uniforme (cf.figure 6.3).

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6.1. Symétries 47

–2

–1

0

1

2

b

–2 –1 0 1 2a

(a) (b)

FIG. 6.3 – La spire et le dispositif d’Helmholtz.

Le solénoïde : On réalise un solénoïde en enroulant de façon jointive un fil conducteur sur un cylindre delongueur L. Cet enroulement est caractérisé par une densité linéique d’enroulement n = N

L , avec Nle nombre d’enroulement. Bien que cet enroulement soit légèrement hélicoïdal, on peut considérerque le solénoïde, dans une première approximation, est une superposition de spires très rapprochées.On montre alors que dans le cas d’un solénoïde infini, le champ extérieur est nul et le champ intérieurest axial et vaut

Bint = µ0nI

Dans le cas d’un solénoïde fini, le champ sur l’axe est toujours axial et s’écrit

B(M) =µ0nI

2(cosα2 − cosα1)

avec α2 et α1 les demi-angles au sommet des cônes formés par M et les spires extrêmes du solénoïde(cf. figure 6.4).

FIG. 6.4 – Le solénoïde.

Deux fils infinis : On place deux fils identiques (parcouru parle même courant algébrique) en (-1, 0) eten (1, 0) (cf. figure 6.5). Là encore on remarque que les lignes de champ se referment. Notez queloin des deux fils, on retrouve des lignes de champ quasi-circulaires (la distribution est “vue” commeun seul fil parcouru par un courant 2I . De près on retrouve également des lignes circulaires près dechaque fil. Les lignes de champ ne peuvent se croiser qu’en des points où le champ est nul. Ici onrencontre cette situation : O est un point où le champ est nul ; une ligne de champ particulière secoupe en O : il s’agit d’une lemniscate de BERNOULLI.



–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

FIG. 6.5 – Deux fils parallèles infinis.

6.2 Flux de B

6.2.1 Expression intégrale

Calculons le flux du champ magnétique créé par un fil infini, à travers une surface fermée qui sera uneportion de tore d’axe Oz, de rayon intérieur ρ1 et de rayon extérieur ρ2. On trouve φ = 0 car toutes leslignes qui rentrent sortent de la surface et toutes les lignes qui sortent sont entrées. Si l’on prend une sphèredont le centre est sur le fil, on trouve également 0. En fait, quel que soit la surface fermée choisie, ontrouvera 0. Cette propriété qui se généralise (et se démontre à partir de la loi de BIOT et SAVART) estétroitement lié au fait que les lignes de champ magnétique se referment :

n

r

I

φ = 0

FIG. 6.6 – Le flux à travers le tore est nul. Cette propriété se généralise.

Le flux magnétique à travers une surface fermée est nul.∫∫

S

−→B (M).−→n dS = 0

En conséquence, le flux du champ magnétique à travers une surface quelconque s’ap-puyant sur un même contour orienté, se conserve.

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6.3. Théorème d’Ampère 49

6.2.2 Expression locale

Rappel du théorème de la divergence :

∫∫

S

−→AdS−→n =

∫∫∫

V

div−→Adτ

où S est une surface fermée, −→n un vecteur unitaire normal à la surface et dirigée vers l’extérieur et V levolume délimité par S.

Pour le champ magnétique on peut donc écrire :

∫∫

S

−→BdS−→n =

∫∫∫

V

div−→Bdτ = 0

d’où l’on déduit l’équation de THOMSON :

div−→B = 0

6.3 Théorème d’Ampère

6.3.1 Circulation de B

Calculons la circulation du champ magnétique créé par un fil infini, le long d’un circuit fermé qui sera uncercle d’axe Oz, de rayon r. On trouve Γ = ±µ0I suivant le sens d’orientation du circuit. On remarque que

Γ=µ Ι0

r

I

Γ = 0

FIG. 6.7 –

la taille du circuit n’intervient pas dans le résultat. Par contre, si l’on prend un circuit fermé qui n’entourepas le fil, on trouve Γ = 0. Cette propriété se généralise et constitue le théorème d’Ampère :



Théorème d’Ampère : La circulation du champ magnétique sur un contour fermé Cvaut

∮

C

−→B (M) d

−→l = µ0

∑

NkIk

où Nk est le nombre d’entralecement du courant Ik à travers le circuit C.Le nombre d’entrelacements est compté algébriquement en fonction de l’orientationdu circuit. Si le courant traverse le contour dans le sens positif (associé au sens positifdu circuit via la règle du tire-bouchon) alors Nk > 0 , sinon Nk < 0.

6.3.2 Exemple d’application

Considérons un solénoïde infiniment long d’axe Oz et de densité d’enroulement n (nombre de spires parmètre) uniforme parcouru par un courant I . Les symétries du problème permettent d’affirmer que :

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

L

z

R

8

FIG. 6.8 – Solénoïde infini.

◦ Le champ magnétique ne dépend que de la distance à l’axe.◦ De plus, le plan perpendiculaire à l’axe Oz et contenant M est un plan de symétrie ; le champ magnétique

est donc suivant Oz.

Prenons un contour carré d’arêtes a suivant Oz et −→uρ. Le théorème d’ampère permet d’écrire :

◦ si le contour est à l’intérieur −→B (M) = Ci

−→u z

◦ si le contour est à l’extérieur −→B (M) = Ce

−→u z

◦ si le contour est entrelacé par le solénoïde :

µ0naI = a(Ci − Ce)

◦ Comme à l’extérieur le champ magnétique s’annule à grande distance on en déduit Ce = 0 et Bint =µ0nI

Conclusion : Le champ magnétique créé par un solénoïde parfait (hélicité négligeable,spires jointives) infini, est nul à l ’extérieur et uniforme à l’intérieur. Sa valeur est :

Bint = µ0nI

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6.4. Le dipôle magnétique 51

6.4 Le dipôle magnétique

6.4.1 Définitions

Approximation dipolaire : On considère une boucle de courant localisée. La dimension caractéristiquede cette boucle vaut a. On se place dans l’approximation dipolaire quand on observe les effets ma-gnétiques loin de la boucle de courant : r � a.

Moment dipolaire magnétique : On appelle moment dipolaire magnétique d’une boucle plane de courantle vecteur

−→m = I−→S

où S est l’aire de la surface plane qui s’appuie sur la boucle de courant.−→S est orienté à partir de

l’orientation de la boucle de courant (via la règle du tire-bouchon - voir figure 6.9).

=I S

��

��

aire de la boucle : S

m

I

FIG. 6.9 – Moment dipolaire magnétique d’une boucle de courant.

m s’exprime en A.m2.

Champ créé : On montre que le champ magnétique créé loin d’une boucle de courant s’exprime de façonanalogue au champ électrique créé par un dipôle électrique :

Br =µ0m

4πr32 cos θ

Bθ =µ0m

4πr3sin θ

De façon plus compacte on peut écrire :

−→B (M) =

µ0

4πr3[3 (−→m.−→ur)

−→ur −−→m]

Lignes de champ : La formule étant mathématiquement analogue à celle donnant le champ électrique créépar un dipôle électrique dans l’approximation dipolaire, les lignes de champ magnétique ont la mêmestructure que celles de la figure 4.2(b). La différence réside dans le champ au voisinage immédiat dudipôle. Pour un doublet électrique, les lignes de champs se coupent là où il y des charges. Pour laboucle de courant, les lignes de champ magnétique ne se coupent pas.

Remarques : Pour une boucle de courant non plane il faut utiliser la définition suivante :

−→m =1

2I

∮

circuit

−−→OP ∧ −→

dl

De plus, le moment dipolaire magnétique, comme le moment dipolaire électrique est une quantitéadditive.



6.4.2 Action d’un champ magnétique sur une spire carrée

Considérons une spire carrée, rigide, parcourue par un courant constant I , dans une zone où règne unchamp magnétique uniforme

−→B ext. Le moment dipolaire magnétique associé à la spire est perpendiculaire

au plan du circuit et vaut m = Ia2 si l’on note a l’arête de la spire.

B

m m

B

Vue de dessus

F1

F2

F3

F4

F1

F3

u

αα

I

I

ext ext

FIG. 6.10 – Actions d’un champ magnétique uniforme sur un circuit carré rigide.

On note−→F i=1..4 les 4 forces de Laplace s’éxerçant sur chaque portion rectiligne du circuit. Si a est l’arête

du carré, on a F2 = F4 = IaBext cosα et F1 = F3 = IaBext. On voit immédiatement que ces forcestendent à déformer le circuit de façon à augmenter le flux magnétique à travers la spire : c’est la règle duflux maximum.

Ici, le circuit est considéré rigide, la spire est donc indéformable. Calculons la résultante des forces : Onobtient 2 couples de forces qui se compensent :

−→R =

∑

i

−→F i =

−→0

Ces forces ont tendance à faire tourner le cadre autour de l’axe perpendiculaire au champ magnétique etau moment dipolaire magnétique. Calculons le moment des forces. Si l’on note Pi les points d’applicationdes forces (ici le milieu des arêtes), on obtient :

−→Γ =

∑−−→OPi ∧

−→Fi =

−−→OP1 ∧

−→F1 +

−−→OP3 ∧

−→F3 =

−−−→P3P1 ∧

−→F1 = Ia2Bext sinα−→u

où −→u est le vecteur unitaire perpendiculaire à−→B ext et à −→m. Cette formule peut s’écrire :

−→Γ = −→m ∧ −→

B ext

On admettra que cette formule se généralise à tout dipôle magnétique.

Finalement on note que ce couple de forces exerce un moment qui tend à orienter le dipôle magnétiquesuivant

−→B ext en le faisant tourner autour de l’axe −→u .

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6.4. Le dipôle magnétique 53

6.4.3 Généralisation et analogies

Les formules précédentes se généralisent pour tout dipôle magnétique. On remarquera une analogie entrele dipôle électrique et le dipôle magnétique :

−→p ↔ −→m−→E ↔ −→

B1

4πε0↔ µ0

4π

De cette analogie, on tire que l’énergie magnétique du dipôle magnétique dans un champ extérieur s’écrit :

EP = −−→m.−→B ext

On retiendra que toute boucle de courant localisée, se caractérise par un moment di-polaire magnétique

−→m =1

2I

∮

circuit

−−→OP ∧ −→

dl

ce qui donne−→m = I

−→S

lorsque la boucle est plane.Dans l’approximation dipôlaire, cette distribution de courant crée un champ magné-tique −→

B (M) =µ0

4πr3[3 (−→m.−→ur)

−→ur −−→m]

Lorsque cette distribution de courant, supposée rigide, est plongée dans un champextérieur

−→B ext , celui-ci tend à aligner le moment dipolaire magnétique avec le champ

magnétique par l’action d’un couple d’orientation

−→Γ = −→m ∧ −→

B ext

Enfin, l’énergie magnétique du dipôle magnétique vaut

EP = −−→m.−→B ext


Annexe A

Outils mathématiques

A.1 Systèmes de coordonnées

◦ Système de coordonnées cartésiennes : La base (−→ux, −→uy,−→uz) est une base fixe orthonormée. La position

d’un point M est repérée par le vecteur position :

−−→OM = x−→ux + y−→uy + z−→uz

Lorsque x, y et z varient des quantités infinitésimales dx, dy et dz, le point M se déplace de :

d−−→OM = dx−→ux + dy−→uy + dz−→uz

Le volume infinitésimal (ou élément de volume) s’écrit dτ = dxdydz.

xu

zuyu

x

y

O

z

dx

dz

dy

M (x,y,z)

FIG. A.1 – Systèmes de coordonnées cartésiennes.

◦ Système de coordonnées cylindriques : La base (−→uρ,−→uϕ, −→uz) est une base locale orthonormée. La posi-

tion d’un point M est repérée par le vecteur position :

−−→OM = ρ−→uρ + z−→uz

Lorsque ρ, ϕ et z varient de quantités infinitésimales dρ, dϕ et dz, le point M se déplace de :

d−−→OM = dρ−→uρ + ρdϕ−→uϕ + dz−→uz

Le volume infinitésimal (ou élément de volume) s’écrit dτ = ρdρdϕdz.

55

56 Annexe A. Outils mathématiques

M (ρ, ϕ, )z

H : projeté orthogonal de M sur l’axe (Oz)m : projeté orthogonal de M sur le plan (xOy)

u ϕu z

u ρ

u ρρ u zz

yuzu

xu

z

O

ϕ

ρ

m

H

OM = +

FIG. A.2 – Systèmes de coordonnées cylindriques.

◦ système de coordonnées sphériques : La base (−→ur,−→uθ,

−→uϕ) est une base locale orthonormée. La positiond’un point M est repéré par le vecteur position :

−−→OM = r−→ur

Lorsque r, θ et ϕ varient de quantité infinitésimales dr, dθ et dϕ, le point M se déplace de :

d−−→OM = dr−→ur + rdθ−→uϕ + r sin θdϕ−→uϕ

Le volume infinitésimal (ou élément de volume) s’écrit dτ = r2 sin θdrdθdϕ.

uϕ

uθ

u r

M

r

O

θ

ϕ

FIG. A.3 – Systèmes de coordonnées sphériques.

A.2 Intégrales multiples

Définition : On rencontre souvent en physique des quantités que l’on représente par des sommes infinisde termes infiniment petit et que l’on calcule grâce à l’outil intégral. Par exemple si l’on veut calculer la

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A.3. Le Produit vectoriel 57

masse d’une boule dont on donne la masse volumique µ(x, y, z) en tout point de la boule on peut faire leraisonnement suivant : si l’on isole par la pensée un élément de volume parallélépipédique δxδyδz, celuipossède une masse δm = µ(x, y, z)δxδyδz. La masse totale sera la somme de toutes les δm dans la limiteoù les éléments de volumes tendent vers 0. Si cette limite existe, elle se calcule par l’intégrale triple suivante

M =

∫∫∫

x2+y2+z2<R2

µ(x, y, z) dxdydz

Comment donc calculer une intégrale triple J =∫∫∫

g(x, y, z) dxdydz ? Dans le cas général, le calcul deces intégrales peut être compliqué (voir théorème de Fubini et changements de variables en mathématique).

Cependant, il existe un cas où il se ramène au calcul d’intégrales simples. En physique, lorsque l’on choisitdes variables adaptées, on se trouve souvent dans ce cas. On retiendra que si la fonction à intégrer sedécompose comme un produit de fonction de chaque variable ET si les bornes d’intégrations de chaquecoordonnées sont indépendantes des autres coordonnées, alors on a :

∫∫∫

f(x)g(y)h(z) dxdydz =

∫ x2

x1

f(x) dx.

∫ y2

y1

g(y) dy

∫ z2

z1

h(z) dz

Exemple : Calcul du volume d’une boule.Considérons une boule de rayon R. On peut calculer le volume d’une boule en sommant le volume detous les parallélépipèdes infiniment petits situés à l’intérieur de la boule. Si l’on considère un point M decoordonnées cartésiennes (x,y,z) on sait que l’élément de volume en M s’écrit dτ = dxdydz. Le volumede la boule vaut donc

V =

∫∫∫

dxdydz

le problème ici est que les bornes d’intégration dépendent des autres coordonnées. En effet si l’on fixe x ety, alors z varie entre

√

R2−x2 − y2 et −√

R2−x2 − y2. On ne peut donc pas appliquer la règle ci-dessus.Ceci est dû à un mauvais choix de variables. En effet, les variables « naturelles » du problèmes sont cellesdu système sphérique. Or dans le système sphérique, l’élément de volume s’écrit dτ = r2 sin θ.dr.dθ.dϕ.Ici les bornes d’intégrations de chaque coordonnées sont indépendantes des autres coordonnées. Ainsi, levolume se calcule en coordonnées sphériques :

V =

∫∫∫

r2 sin θ.dr.dθ.dϕ =

∫ R

0

r2dr.

∫ 2π

0

sin θ dθ.

∫ 2π

0

dϕ =4

3πR3

A.3 Le Produit vectoriel

A.3.1 Définition

DéfinitionLe produit vectoriel des vecteurs

−→A et

−→B est un vecteur, noté

−→A ∧ −→

B dont :

- la norme vaut∥

∥

∥

−→A ∧ −→

B∥

∥

∥=∥

∥

∥

−→A∥

∥

∥.∥

∥

∥

−→B∥

∥

∥.| sin(

−→A,

−→B )| ;

- la direction est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs−→A et

−→B

- le sens est donné par la règle des trois doigts de la main droite.

On peut calculer les composantes du produit vectoriel dans une base orthonormée quand on connaît lescomposantes des vecteurs

−→A et

−→B . On a

−→A ∧ −→

B =−→C

ax

ay

az

∧

bx

by

bz

=

aybz − azby

azbx − axbz

axby − aybx


58 Annexe A. Outils mathématiques

A

B

C

FIG. A.4 – Règle de la main droite

A.3.2 Propriétés

1.−→A ∧ −→

B =−→0 si

−→A et

−→B sont colinéaires ;

2.−→A ∧ −→

B = −−→B ∧ −→

A ;

3.−→A ∧ (

−→B +

−→C ) =

−→A ∧ −→

B +−→A ∧ −→

C (distributivité) ;

4.−→A ∧ (

−→B ∧ −→

C ) = (−→A.

−→C )

−→B − (

−→A.

−→B )

−→C ;

5. L’aire d’un triangle (ABC) formé par les vecteurs−→A et

−→B vaut S = 1

2

∥

∥

∥

−→A ∧ −→

B∥

∥

∥ ;

6. Le volume du prisme formé par les vecteurs−→A ,

−→B et

−→C vaut V = (

−→A ∧ −→

B ).−→C

A.4 Opérateurs différentiels

symbole expression en coordonnées cartésiennes

−−→gradf =

−→∇f

∂f∂x∂f∂y∂fdz

div−→A = ∇.

−→A

∂Ax

dx+

∂Ay

dy+

∂Az

dz

−→rot

−→A =

−→∇ ∧−→A

∂Az

∂y − ∂Ay

∂z∂Ax

∂z − ∂Az

dx∂Ay

dx − ∂Ax

dy

4f = ∇2f∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2

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Annexe B

Interaction gravitationnelle : Analogieset différences

B.1 Analogies

La force électrique étant formellement analogue à la force de gravitation (ce sont des forces newtoniennes)on retiendra que les théorèmes de l’électrostatique seront applicables à la gravitation ; il suffit de faire latransposition suivante :

charge ↔ masse1

4πε0↔ −G

Ainsi, de la même façon que l’on définit un champ électrique, on peut définir un champ de gravitation −→g .Ce champ possède les mêmes propriétés que le le champ électrique. Il vérifie notamment, le théorème deGAUSS. Pour le champ de gravitation, il prend la forme suivante :

Le flux du champ de gravitation créé par une distribution de masses, à travers unesurface fermée quelconque, est proportionnel à la masse intérieure à cette surface. Laconstante de proportionnalité vaut, dans le Système International, −4πG.

Φ =∫∫

(S)−→g (M)dS−→n = −4πGMint

Par analogie avec le potentiel électrique, on peut définir un potentiel gravitationnel (en Newton.m/kg c’est-à-dire en m2.s−2) :

V =∑

i−Gmi

ri+ C

−→g = −−→∇V

B.2 Différences

L’interaction gravitationnelle présente quelques différences avec la force électrostatique.

Tout d’abord, l’interaction gravitationnelle est une interaction faible ! Le rapport entre la force de gravi-tation et la force électrique vaut 4πε0Gm1m2

q1q2

. Pour une particule élémentaire, le rapport qm ≈ 1011 − 106

et donc le rapport de la force de gravitation et la force électrique est inférieur à 10−33 ! ! Ainsi on peut

59

60 Annexe B. Interaction gravitationnelle : Analogies et différences

affirmer qu’à l’échelle atomique, c’est l’interaction électromagnétique qui domine, alors qu’à l’échelle ducosmos, c’est l’interaction gravitationnelle qui domine. Ces deux interactions finalement se révèlent à deséchelles différentes.

Une autre particularité de la force de gravitation est qu’elle est toujours attractive, contrairement à laforce électrostatique. La masse est un scalaire toujours positif. C’est pourquoi, un dipôle gravitationnelne peut pas exister. Cette interdiction rend impossible la génération d’onde de gravitation de type dipôlaire(contrairement aux ondes électromagnétiques ; une antenne émettrice peut se modéliser par un dipôle élec-trique qui oscille). En fait, lorsque des masses sont accélérées (un astre tournant autour d’un autre), il y aproduction d’une onde de gravitation de nature quadrupolaire qui a la particularité de s’atténuer beaucoupplus vite qu’un onde de type dipôlaire. Ajouté à cela la faible intensité de l’interaction de gravitation, oncomprend pourquoi les ondes gravitationnelles sont si difficiles à détecter.

Enfin, les effets gravitationels sont bien compris dans le cadre de la Relativité Générale (Einstein 1917)alors que les effets électromagnétiques sont traités dans le cadre de la théorie quantique des champs. Pourl’instant, ces deux cadres sont incompatibles ! Il manque donc une théorie dans laquelle, ces deux interac-tions seraient correctement décrites...

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ÉLECTROMAGNÉTISME EN RÉGIME STATIQUE

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