1

Statique dans l'Espace

2

Suspension Automobile "Mac-Pherson"

L'architecture de suspension avant la plus

couramment utilisée en construction automobile est de

type "Mac Pherson". Un schéma cinématique du

mécanisme est proposé sur la page suivante.

La roue 2 en contact avec le sol est liée au moyeu 3 en B. La pièce 4 est une partie de l'ensemble ressort-

amortisseur en liaison avec le châssis automobile 1 au point D. Le triangle inférieur 5 est articulé avec le

moyeu 3 en E, et avec le châssis 1 en F et G.

L'action du sol sur la roue 1 au point A correspond

environ à ¼ du poids total du véhicule, elle est modélisé

par :

{ }

=0

0

0

0

0

3

AA

sol

F

T / avec FA = 2350 N

Questions :

1. Faire un graphe du mécanisme.

2. Isoler la pièce 2 et écrire les équations d'équilibre correspondantes.

3. Isoler l'ensemble 3+4 et écrire les équations d'équilibre correspondantes.

4. Isoler la pièce 5 et écrire les équations d'équilibre correspondantes.

5. Déterminer les actions de liaisons en D, F et G.

6. Peut-on déduire l'effort dans la suspension en C ?

3

z

x

y

1

5

3

2

4

BE

F

G

C

D

ASol

z

x

1

5

3

2

4

B

E

E

F GF,G

C

D

A

36

19

26 132

76

427

138

178

36 152

y

4

Transmission de moto :

Sur certains modèles de moto (BMW, VX800, Vmax, ...), la transmission de puissance à la roue

arrière, habituellement réalisée par chaîne, utilise une liaison rigide par cardan et pignons coniques

(voir figure en bas de page). Une modélisation simplifiée du mécanisme est proposée en 3D et en

vue de dessus sur la page suivante.

Le couple moteur est appliqué sur l’arbre 2 au point M, puis transmis à la roue 3 par l’intermédiaire de

l’engrenage conique au point K. En R, l’action de

contact de la roue avec le sol est modélisée par un

glisseur du type :

{ }

=0

0

00

3

z

y

R

/sol

F

FT

avec Fz = 1470 N

Données : Puissance motrice appliquée sur l’arbre 2 en M (1 ch = 736 W)

Pm = 100 ch à N2 = 4000 tr/min Engrenage conique D2 = 44 mm d’angle de cône primitif δ2 D3 = 210 mm d’angle de cône primitif δ3 α = 20° (angle de pression) Diamètre de la roue D = 68,6 cm Questions :

1. Sur le dessin de la pièce 3 1.1- Indiquer le sens de rotation en supposant que la moto avance.

1.2- Dessiner les actions dues à l’engrènement exercées par 2 sur 3. 1.3- Exprimer littéralement le torseur des actions mécaniques de contact en K.

Calculer l’angle (δ2 ou δ3) utilisé.

2. Equilibre de la pièce 2. 2.1- Isoler l'arbre 2 et faire le bilan des actions mécaniques appliquées sur cette pièce.

2.2- Exprimer les torseurs au point A.

2.3- Appliquer le P.F.S. à l'arbre 2 et déterminer numériquement les actions d’engrenage en K.

3. Equilibre de la pièce 3. 3.1- Isoler la pièce 3 et faire le bilan des actions mécaniques appliquées sur cette pièce.

3.2- Exprimer les torseurs au point C.

3.3- Appliquer le P.F.S. à la pièce 3 et exprimer les actions de liaisons aux points B et C.

4. Calculer l’effort Fy , disponible au niveau de la roue pour la propulsion du véhicule.

5

Représentation spatiale

du mécanisme

Vue de dessus du mécanisme

(Les dimensions indiquées sont en mm)

C

A

M

B

R

x

z

y

K

1

2

3

M

K

A

B Cx

y

92 64 38

L

6

Document à rendre avec la copie

{ }

=

K

/T 32

x

z

y

K

3

7

Eolienne

Dans le cadre du programme Eole 2005, de

nombreuses éoliennes sont construites en Europe. La

conception classique consiste à implanter tous les

éléments mécaniques dans la nacelle (voir figure). Le

rotor, où sont fixées les pâles, entraîne un générateur

électrique. Une modélisation simplifiée du mécanisme

est proposée sur la page suivante.

L’action de l'air sur le rotor 2 est modélisable par

un torseur d'action mécanique au point P

{ }

=0

0

0

0

2 CFT

P

/air avec

>>0

0

C

F

Les paramètres d’entrée sont :

Action de l’air sur le rotor 2 F = 8735 N

Puissance développée P2 = 73 kW

Vitesse de rotation du rotor 2 N2 = 154 tr/min

Les caractéristiques des engrenages sont :

Engrenage à denture hélicoïdale en K D2 = 204 mm D3 = 48 mm α = 20° β = 18° Engrenage à denture hélicoïdale en L D3 = 292 mm D4 = 66 mm α = 20° β = 12°

Questions :

1. Sur le dessin de la pièce 3 1.1- Indiquer le sens de rotation compte tenu de l'action de l'air sur le rotor.

1.2- Dessiner les actions mécaniques d’engrenage exercées sur l’arbre 3 en K et L.

1.3- En déduire l’expression des torseurs d’actions { }3/2T et { }3/4T .

2. Equilibre de la pièce 2. 2.1- Isoler l'arbre 2 et faire le bilan des actions mécaniques appliquées sur cette pièce.

2.2- Appliquer le P.F.S. à l'arbre 2 et déterminer numériquement les actions au point B,

et les actions d’engrenage au point K.

3. Equilibre de la pièce 3. 3.1- Isoler la pièce 3 et faire le bilan des actions mécaniques appliquées sur cette pièce.

3.2- Appliquer le P.F.S. à la pièce 3 et déterminer numériquement les actions d'engrenage en L.

8

Schéma cinématique :

1

AP

K

L

B

C

DGénérateurélectrique

36 44 38 32

y

z

2

3

4

9

Document à rendre avec la copie Nom :

z

x

y

K

L

{ }

=

K

T 3/2

{ }

=

L

T 3/4

10

Statique Plane

11

Table élévatrice

La table élévatrice présentée ci-contre est

utilisée pour la manutention des charges. Une

modélisation plane est proposée ci-dessous. Les

poids de toutes les pièces sont négligés sauf celui

de la charge à soulever P = 2000 daN.

Le but est de déterminer la force que doit

fournir le vérin, représenté sur le schéma par la

barre 8 entre les points M et N.

Questions :

1. Isoler l’ensemble 6+7, et déterminer les

actions en A et B

2. Par analogie, isoler tout le mécanisme

(2+3+4+5+6+7+8), et déterminer les

actions en R et S.

3. Isoler l’ensemble 5+2, et montrer que les

actions en C et F sont verticales.

4. Isoler la pièce 5 et déterminer l’action en C.

5. Isoler la pièce 8 et déterminer la direction de

l’action en M.

6. Isoler la pièce 4 et déterminer l’action du

vérin appliquée en M.

810 810

1250

P = 2000 daN

AB

C

D E

M

FN

R

G

S

2

4

8

6

7

5

1

3

12

Feuille réponse à rendre

AB

G

6

7

A

C

E

M4

B

C

D

F

S

2

5

B

C

D

5

M

N

8

13

Mécanisme de levage

Un mécanisme de levage de plateau de camion est représenté sur la figure suivante. Les poids

de toutes les pièces sont négligés sauf celui du plateau 5 P = 8000 daN.

• Le camion (non représenté sur la figure) est articulé avec le plateau 5 en E, et la pièce 1 en A.

• Au point D, deux articulations sont superposées, une première entre les pièces 3 et 5, une deuxième entre les pièces 4 et 5. En conséquent, il n’existe pas de liaison entre les pièces 3 et 4.

60°

320 740

25°

15°

60°

A

B

C

D

G

E

1

2

34

5

P

Questions :

1. Isoler la pièce 4, et déterminer la direction de l’action en C.

2. Isoler l’ensemble (2+3), et déterminer la direction de l’action en B.

3. Isoler la pièce 1, et déterminer la direction de l’action en A.

4. Isoler l’ensemble (1+2+3+4+5), et déterminer les actions en A et E.

5. Déterminer les actions en D entre 3 et 5, et entre 4 et 5.

15

A

B

C

1

C

D

4

D

2

3

A

B

C

D

G

E

1

2

34

5

P

Feuille réponse à rendre

16

Frein à tambour :

La figure de droite

représente un frein à

tambour de véhicule

automobile.

Une modélisation simplifiée est proposée sur le dessin suivant. Le frein à tambour se compose

essentiellement :

• d'une partie mobile liée à la roue, appelée le tambour 1, en rotation autour du point O.

• d'une partie fixe liée au support de la roue (bâti 0), constituée du levier de commande 5 et de deux mâchoires 3 et 4. Ces mâchoires, sur lesquelles sont fixées les garnitures de freins

(pièces d'usure), peuvent être écartées par l'intermédiaire du levier de commande 5 et pressées contre le tambour 1. Le frottement résultant du contact entre les garnitures et le tambour aux

points E et F permet de freiner la rotation du tambour, donc de la roue.

O

A

BC

D

F

E

G H

4 3

5

y

70

40

50

20

160

20 20

1

Fc / 5

0

sens de rotationdu tambour 1

x

17

Les masses de toutes les pièces sont négligées.

L'action du câble de frein sur le levier 5 est représentée par le glisseur →

c/5F porté par →x ,

appliqué au point A et de norme 800 N.

Les liaisons ponctuelles en B, C, D et les liaisons pivots en G, H sont sans frottement. Par

contre, les contacts ponctuels en E, F sont considérés avec frottement. Pour ce type de matériaux, le

coefficient de frottement est f = tg ϕ = 0,35.

Question 1 :

Dessiner les actions exercées sur le levier de commande 5. Ecrire les équations d'équilibre et calculer les actions en C et D.

Question 2 :

En tenant compte du sens de rotation du tambour 1, dessiner les actions exercées sur la mâchoire 4. Calculer l'action de contact avec frottement en E de façon analytique.

Question 3 :

En tenant compte du sens de rotation du tambour 1, dessiner les actions exercées sur la

mâchoire 3. Calculer l'action de contact avec frottement en F à l'aide d'une résolution graphique.

Question 4 :

Calculer le couple de freinage appliqué sur le tambour 1. Le couple de freinage est le couple total écrit en O de toutes les actions appliquées sur le

tambour 1.

Question complémentaire :

Quels commentaires peut on faire sur les différences observées entre les deux mâchoires.

18

Feuille réponse (à rendre avec la copie) :

A

B

5 D

C

D

F

H

3

C

E

G

4

19

Pince pantographe :

Dans l’usine de fabrication d’acier SOLLAC à Fos, les brames d’acier brut sont transportées à

l’aide de pince pantographe, illustrée sur la figure suivante. Elle se compose de deux barres (2 et 3) articulées en A au crochet (1), et en C et B à deux leviers (4 et 5). Ces leviers sont articulés entre

eux en D, et liés en E et F à deux patins (6 et 7) qui pincent la charge à soulever. Les masses des pièces sont négligées, exceptée celle de la brame 8. Les actions de contact entre 6, 7 et 8 sont considérées avec frottement, f = 0.8. Pour des raisons de symétrie, on admettra que l’action en D entre 4 et 5 est horizontale.

M = 100 kg

A

BC D

E F

100 380

330

80

600

100

2 3

4

8

1

6

5

7

On désignera par i/jHr

, l’action mécanique de i sur j au point H.

Question 1 :

Proposer une méthode (graphique ou analytique) claire et ordonnée pour déterminer la

direction de l’action entre 6 et 8. Quelle est la nature du contact (adhérence ou de glissement) ?

Question 2 :

Déterminer entièrement (norme, direction et sens) l’action au point D.

Question 3 :

Pour quelle valeur du coefficient de frottement f la brame 8 glisse-t-elle ? La masse de la brame 8 a-t-elle une influence sur ce résultat ?

20

Feuille réponse (à rendre avec la copie) :

A

1

A

B

3

E

6

8

BD

E

4

21

Limiteur de Couple

Un limiteur de couple permet de désaccoupler une transmission de puissance lorsque le couple

dépasse une valeur limite, ceci dans le but de protéger certains organes d’un mécanisme en cas de

panne. On étudie ici deux solutions technologiques pour transmettre le mouvement d’un rouleau 2 à un rouleau 3 avec une roue de friction (partie A), puis deux (partie B).

Partie A : Dans un premier temps on considère une seule roue de friction 1 qui transmet le mouvement

du rouleau moteur 2 au rouleau récepteur 3. Le couple moteur Cm = 45 Nm, appliqué en B sur la

pièce 2 provoque une rotation positive comme indiqué sur la figure. Un effort vertical F est appliqué en A sur l’axe du galet 1.

Dans le but de déterminer le couple maximum transmissible, on se place à la limite du

glissement au niveau des contacts en I et J.

Les caractéristiques géométriques sont : D2 = D3 = 360 mm D1 = 148 mm

BC = 440 mm

Contacts avec frottement en I et J : angle de frottement ϕ = 20°

α

F

Cm

1

23

x

y

A

B

I J

C

Questions :

1. Déterminer l'angle α.

2. Sur un dessin, dessiner les actions appliquées sur le galet 1. 3. Isoler la pièce 2, et déterminer les actions de contact en I. 4. Isoler la pièce 1 et en déduire la force F.

22

Partie B : On ajoute un deuxième galet identique 4, placé symétriquement. Un système de liaison par

ressort entre A et D, permet d’appliquer la même force F en D sur l’axe du galet 4, mais de sens

opposé.

On désire toujours déterminer le couple maximum transmissible, on se place donc à la limite

du glissement au niveau des contacts en I, J, K et L.

α F

FCm

1

4

23

x

y

A

D

B

I

K

J

L

C

Questions :

5. Sur un dessin, dessiner les actions appliquées sur la pièce 4. 6. Isoler la pièce 4, et écrire les équations d'équilibre correspondantes. 7. Isoler la pièce 1, et écrire les équations d'équilibre correspondantes. 8. Isoler la pièce 2, et écrire les équations d'équilibre correspondantes. 9. Résoudre le problème et calculer la force F.

10. Que se passe-t-il si l’angle de frottement ϕ devient supérieur à 30° ?

23

Pince de préhension pour robot

Un mécanisme de pince de préhension pour robot est

représenté sur la figure ci-contre. Une schématisation est

proposée sur la figure suivante.

Le bras robot constitue le bâti 1 du mécanisme. Un

vérin (non représenté) applique en A une force P qui

provoque le déplacement vertical de la pièce 8. La

préhension de l'objet 9 à déplacer est réalisée par serrage entre les points K et L.

Toutes les liaisons cinématiques sont considérées

parfaites sauf les contacts en K et L où le frottement est pris

en compte, f = 0,9. Les masses de toutes les pièces sont négligées sauf

celle de l'objet à déplacer 9, M = 300 g.

Caractéristiques dimensionnelles :

Les pièces 4, 5, 6 et 7 sont identiques CI = CG = DH = DJ = 29 mm CD = GH = IJ = 25 mm α = 31°

Question 1 :

Proposer une méthode claire et détaillée pour calculer l’effort minimal que doit fournir le

vérin en A pour maintenir l’objet 9.

Question 2 :

Comment évolue cette force avec un angle α différent, c’est à dire lorsque la pince saisit un

objet plus (ou moins) large ayant la même masse.

1

2

9

8

3

46

7 5

A

B

F

D

E

C

G

HJ

L K

Iα

25

25

10

24

Feuille réponse

2

E

G

H

K

L K9

A

B

D

C

8

4

C

G

25

Pompe à débit variable

Le système mécanique étudié dans ce sujet est une pompe à débit variable. Le mouvement

d’entrée est une rotation continue de la manivelle 1 imposée par un moteur électrique. La bielle 2 est articulé en A avec la manivelle 1, et en B avec la pièce 3. Cette dernière est en liaison pivot en C

avec le système de réglage 7, et en liaison ponctuelle en D avec la commande du piston 4. Le piston 4 est contraint de se déplacer horizontalement par une liaison glissière avec le bâti 0.

Le système de réglage représenté par les pièces 7 et 8 permet de déplacer verticalement le

point C. Cependant, pendant le fonctionnement de la pompe, le point C est considéré fixe et lié au

bâti 0. Une modélisation du mécanisme est proposée sur la feuille suivante.

26

Etude cinématique :

Dessiner chaque résultat sur la feuille réponse jointe.

Données : Vitesse de rotation de 1/0, N1/0 = 300 tr/min Dimension de la manivelle 1, OA = 8 mm

1. Déterminer et dessiner la vitesse ( )→

A,1/0V .

2. Déterminer la direction de la vitesse ( )→

B,3/0V , en déduire la vitesse ( )→

B,2/0V .

3. Déduire ( )→

D,3/0V .

4. Déterminer les directions de ( )→

D,4/0V et ( )→

D,3/4V .

5. Déduire la valeur de ( )→

D,4/0V et la vitesse du piston ( )→

E,4/0V .

6. Le mécanisme de réglage (non représenté sur le schéma cinématique) permet de déplacer

verticalement le point C. Quelle est l’influence de ce déplacement sur la vitesse du piston

et l’amplitude du mouvement.

Etude statique :

Pour chaque isolement, dessiner les actions mécaniques correspondantes sur

la feuille réponse jointe.

Données : Couple appliquée sur la pièce 1 en O, Cext/1 = 25 N.m

Diamètre du piston, φ = 60 mm

7. Isoler la pièce 2, et déterminer les directions des actions mécaniques en A et B.

8. Isoler la pièce 1, et déterminer l’action mécanique en A.

9. Isoler la pièce 3, et déterminer l’action mécanique en D.

10. Isoler la pièce 4, et calculer la pression appliquée sur le piston en E.

11. Quelle est la puissance transmise par ce mécanisme.

12. On considère maintenant un contact avec frottement en D entre 3 et 4. le coefficient de

frottement est f = 0,1.

Quelles sont les conséquences ?

27

Feuille Réponse - Cinématique : ________________________________________________________________________________________________________________________

O

A

B

C

DE

N1/

0

3

4

0

2

1

28

Feuille Réponse - Statique : ________________________________________________________________________________________________________________________

A

B

2

O

A

1

DE4

B

C

D

3

29

Suspension arrière de moto "Pro-Link"

Initialement développée pour les modèles Honda CR

en 1980, la suspension arrière "Pro-Link", grâce à sa

remarquable ingéniosité, n'a pas tardé à créer une véritable

révolution dans ce domaine. Une description succincte

serait : suspension arrière mono-amortisseur central à

flexibilité variable.

Dans une suspension classique, l'enfoncement de

l'amortisseur (4/5) reste d'un rapport constant par rapport au débattement du bras oscillant (1). Le système "Pro-Link"

procure une variation de ce rapport, afin d'obtenir une

suspension plus souple au début apportant un réel confort

dans les conditions normales, pour devenir plus dur en fin

de course évitant tout risque de talonnage en utilisation

intensive en tout-terrain.

La suspension "Pro-Link" a ensuite été étendue à

pratiquement tous les modèles Honda jusqu'à aujourd'hui,

sous des versions et implantations différentes (voir figures).

Le principe est identique. Le basculeur (2) lié à la biellette (3), ainsi qu'au bras oscillant supportant la roue (1), est animé d'un mouvement elliptique complexe. Ainsi, le rapport de la vitesse du piston

de l'amortisseur (4) sur la vitesse de déplacement de la roue n'est pas constant, et augmente au fur et

à mesure que la suspension s'enfonce.

L'objectif du problème est de déterminer

ce rapport des vitesses (ainsi que le rapport des

efforts transmis) dans une configuration. Il

faudrait ensuite étudier plusieurs configurations

pour mettre en évidence la variation de ce

rapport. Un schéma cinématique est proposé sur

la page suivante. On suppose que la moto fixe

est disposée sur un banc d'essai et constitue le

bâti (0). Le mouvement est donné au plateau (6) qui se déplace verticalement. L'ensemble (bras

oscillant + roue) est modélisé par une seule

pièce (1), en contact ponctuel avec le plateau (6) en G.

30

Etude cinématique :

Dessiner chaque résultat sur la feuille réponse jointe.

Echelle 0.1 m/s → 1 cm

Données : Le bâti 0 est fixe.

Vitesse du plateau 6, ( )→

0/G,6V = 1 m/s

(verticale vers le haut)

1. Dessiner les directions de ( )→

0G,1/V , et de la vitesse de glissement ( )→

1/G,6V .

Déduire la vitesse ( )→

0G,1/V .

2. Déterminer la vitesse ( )→

0/C,2V .

3. Dessiner la direction de la vitesse ( )→

0/,2DV .

En déduire le CIR du mouvement de 2/0, ainsi que la vitesse ( )→

0/,2BV .

4. Dessiner les directions des vitesses ( )→

5/B,4V , et ( )→

0/B,5V .

Déduire la vitesse ( )→

5/B,4V .

5. Calculer la « dureté » de la suspension, définie comme le rapport entre la vitesse de

compression de l’amortisseur sur la vitesse de déplacement du plateau 6.

Etude statique :

Pour chaque isolement, dessiner les actions mécaniques correspondantes sur la

feuille réponse jointe.

Données : Action de contact en G →

16 /G = 1470 N

(sans frottement)

6. Proposer une méthode (graphique ou analytique) claire et ordonnée pour déterminer la

l’action mécanique entre 2 et 4 au point B.

L'action en B correspond à l’effort fourni par le ressort d’amortisseur.

7. Calculer le rapport entre l’effort fourni par l’amortisseur sur l’effort appliqué sur la roue.

Ce rapport donne une définition de la « souplesse » de la suspension.

Conclusion :

8. Comparer le résultat de la question 7 à celui de la question 4, et commenter.

31

Feuille Réponse Nom : ________________________________________________________________________________________________________________________

Cinématique : A

B

C

DEF

G

0

12

34

5

6

32

Statique :

C

F

G

1

DE

3

A

B4

5

BC

D

2

33

Vaisseau Intergalactique

De retour de mission,

PlastoMan décide d'apporter quelques améliorations à son fameux vaisseau

intergalactique : PlastoCraft III (voir figure ci-contre).

Dans un premier temps, il désire

remplacer les bras de sustentation qui

permettent de poser le vaisseau (1) au

sol (0). Dans la nouvelle version, les

bras (2) seront rétractables, commandés

par un vérin hydraulique (4 et 5). Un avant-projet est présenté sur la

figure suivante :

(les dimensions indiquées sont en mm)

1

2

0

3

4

5

A

B

C

E

F

D

30°

45°

400

400

900

900 600 600

34

Etude cinématique :

Dessiner clairement chaque résultat sur la feuille réponse jointe.

Données : Lors de la phase de repli du bras (2), le vaisseau n'est plus en contact avec le sol.

Débit d'huile dans le vérin (4 et 5) : Q = 72 cm3/s

Diamètre du piston (5) : φ = 80 mm

1. Dessiner les directions des vitesses ( )→

1/D,2V , et ( )→

1/B,3V .

2. Déduire la direction de la vitesse ( )→

1/C,2V .

3. Calculer et dessiner la vitesse ( )→

5/C,4V .

4. Dessiner la direction de la vitesse ( )→

1/C,5V .

Déduire complètement la vitesse ( )→

1/C,2V .

5. Déterminer la vitesse ( )→

1/A,2V .

Etude statique :

Pour chaque isolement, représenter les actions mécaniques

correspondantes sur un dessin claire et propre !!!

Données : Action du sol (0) sur le bras (2) en A : →

20 /A = 5420 N

6. Quelle pression d'huile, PlastoMan doit-il injecter dans le vérin, pour maintenir le

PlastoCraft en équilibre ?

7. Dans l'espace, la lubrification des liaisons n'étant pas aisée, on considère la liaison

ponctuelle entre (2) et (1) en D avec frottement. f = 0.1

Quelle est, dans ces conditions, la pression d’huile nécessaire ?

Conclure.

35

Feuille Réponse Nom : ________________________________________________________________________________________________________________________

Etude Cinématique :

1

23

4

5

A

B

C

E

F

D