RESISTANCE DES MATERIAUX (RDM) PREMIERE PARTIE´me Universitaire de... · 2020. 4. 2. · NOTES DE...

Cours assuré par : A. ZINE 2019 / 2020

NOTES DE COURS

RESISTANCE DES MATERIAUX

(RDM) PREMIERE PARTIE :

Résistance Des Matériaux Généralités

A. ZINE

Buts de la RDM Notion de poutre Hypothèses fondamentales Définition des liaisons poutre/bâti

Objectifs :

• Définir les buts de la RDM • Définir la notion de poutre • Préciser les hypothèses fondamentales de la RDM • Définir les liaisons poutre/bâti

1. Buts de la RDM de poutre Trois buts principaux sont poursuivis en RDM :

• La connaissance des caractéristiques des matériaux et de leur comportement ; • L’étude de la résistance des pièces mécaniques constitutives de machines ou édifices pour que ceux-ci

supportent les efforts qui leur sont appliqués dans les conditions requises de sécurité ; • L’étude de la déformation des pièces mécaniques.

Différents problèmes à résoudre :

• Calcul de résistance : Il permet de déterminer toutes les dimensions d’une pièce, de telle façon qu’en aucun point de sa structure, les sollicitations internes ne dépassent pas une certaine limite définie par les caractéristiques des matériaux lors d’essais. • Calcul de vérification : Lorsqu’on entreprend l’étude d’une pièce mécanique, on doit au départ simplifier les formes de celle-ci et le plus souvent modéliser le système de forces extérieures qui lui sont appliquées. La valeur de ces actions mécaniques sera recherchée en fonction des dimensions et du matériau de la pièce, mais aussi en fonction de sa déformation admissible. • Choix du matériau : Il arrive que le problème réciproque puisse se poser : connaissant les dimensions d’une pièce (conditions restrictives d’encombrement ou de poids), le calcul de résistance permet alors le choix du matériau approprié.


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2. Notion de poutre

La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées sous le terme de « poutres ».

On appelle « poutre », un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une courbe plane (C) appelée « ligne moyenne ». Les caractéristiques de la poutre sont :

• Ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure ; • Section droite (S) constante ou variant progressivement ; • Le plan (S) reste perpendiculaire à (C) ; • Grande longueur par rapport aux dimensions transversales

(rapport de 10) ; • Existence d’un plan de symétrie ; • Des points disposés de façon identique sur les sections droites

jouissent de certaines propriétés communes ; on dit qu’ils appartiennent à des fibres ;

• La ligne, ou fibre moyenne, possède des propriétés particulières.

Exemples de poutres :

Exemples de poutres ne satisfaisant pas l’hypothèse de symétrie :

3. Hypothèses fondamentales Hypothèses sur le matériau :

Continuité : la matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop "fin" pour l'étude qui nous intéresse (distance intermoléculaire très faible devant les dimensions des pièces étudiées) ;

Homogénéité : On admettra que tous les éléments de la matière ont une structure identique (hypothèse grossière pour des matériaux tels que le bois ou le béton) ;

Isotropie : On admettra qu’en tous les points et dans toutes les directions autour de ces points, le matériau possède les mêmes propriétés mécaniques (hypothèse vraie pour les aciers, mais non applicable pour des matériaux tels que le bois ou les matériaux composites).

Hypothèses sur les forces extérieures :

Plan de symétrie : Les forces extérieures seront situées dans le plan de symétrie de la poutre ou alors disposées symétriquement par rapport à ce plan ;

Types d’actions mécaniques extérieures : Les charges concentrées (force et moment) ( 1Fr

ou moment CM

r) ou charges réparties le long de la poutre définies par leur densité linéique ou coefficient de charge p,

en N/m (p sur DE).


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F1Mc

CA B

D E

p

Hypothèses sur les déformations

Les déformations sont élastiques, cela veut dire que si l’on supprime les sollicitations, la pièce reprend sa forme initiale ;

Hypothèse de Navier et Bernoulli : Les sections planes perpendiculaires aux fibres avant déformation demeurent planes et perpendiculaires aux fibres après déformation ;

Petites déformations : Les déformations restent faibles devant les dimensions de la poutre, elles ne modifient pas les actions mécaniques calculées à partir du principe fondamental de la statique (hypothèse des solides indéformables). Les supports des forces seront eux considérés comme constants ;

Barré de St Venan : Les résultats obtenus par la RDM ne s'appliquent valablement qu'à une distance suffisamment éloignée de la région d'application des efforts concentrés.

4. Définition des liaisons poutre/bâti

Il existe technologiquement quatre appuis principaux : TYPE D'APPUI RESULTANTE MOMENT

Un appui simple d'axe rY ou

rZ Perpendiculaire à

rX Nul

Une articulation (pivot) d'axe rY ou

rZ Appartenant à ( )r r

X Y, ou ( )r rX Z, Sur

rX (ou nul si problème plan)

Une rotule Appartenant à ( )r rX Y, ou ( )r r

X Z, Nul

Un encastrement Quelconque Quelconque

Résistance Des Matériaux Torseur de cohésion

A. ZINE

Coupure fictive Torseur de cohésion Efforts de cohésion Sollicitations Contraintes Applications

Objectifs :

• Définir la notion de coupure fictive • Définir la notion de torseur de cohésion • Définir les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion • Définir les différentes sollicitations courantes • Définir les contraintes normales et tangentielles

1. Définition et repérage de la coupure fictive Soient (E) le solide assimilé à une poutre et ( E ) l’ensemble extérieur à (E).

( )000

z,y,x,0R0rrr

= est un repère lié à (E), même repère que pour l’étude de l’équilibre statique de (E). R0 est tel que l’axe ( )0x,O r

soit confondu avec la ligne moyenne de la poutre. Considérons un plan P perpendiculaire à ( )

0x,O r

et soit S la section droite de (E) ainsi définie. Soit G, d’abscisse x, le centre de surface de (S). Dans R0, le vecteur position

0xxGO rr

= définit la position de la section droite fictive (S). La coupure fictive partage la poutre (E) en deux tronçons (E1) et (E2). On convient de déplacer le plan de coupure (P) d’une extrémité à l’autre de la poutre et toujours dans le même sens. Il en résulte que le volume d’un des tronçons augmente et que celui de l’autre diminue. On appellera (E1) le tronçon dont le volume croît.

2. Définition du torseur de cohésion

Les actions mécaniques que le tronçon (E2) exerce sur (E1) à travers la section droite fictive (S) sont des efforts intérieurs à la poutre (E) que l’on modélisera par un torseur appelé torseur de cohésion { }cohT . Nous exprimons ses élément de réduction au point G, centre de surface de (S) par :

{ }

=G

GM

RTcoh r

r

Remarques :

• Rr

et GMv

sont fonctions de l’abscisse x du centre de surface G de )S( • Le torseur de cohésion est toujours le torseur des actions mécaniques exercées par le tronçon de droite (E2)

sur le tronçon de gauche (E1). Ces actions, non visibles, sont internes au matériau et lui permettent de


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garder son intégrité physique (de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions extérieures) d'où le nom de cohésion.

• La RDM vise en particulier à vérifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de cohésion à "transmettre" ne soient supérieurs aux capacités du matériau.

3. Détermination des éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion

a) Equilibre de la poutre (E) :

La poutre (E) étant en équilibre, le PFS permet d’écrire : { } { }0T EE

r=→ ce qui entraîne au point G :

(1)

En utilisant la notion de coupure fictive, en G, les actions mécaniques de ( E ) sur (E) peuvent être séparées en deux groupes : Celles de ( E ) sur (E1) et ( E ) sur (E2) :

Donc, et

Les équations d’équilibre peuvent alors s’écrire :

b) Relation entre le torseur des efforts extérieurs et le torseur des efforts de cohésion, sur un tronçon de poutre isolé

Isolons le tronçon (E1), celui-ci est en équilibre sous l’action de deux torseurs d’actions mécaniques :

• Le torseur des actions du milieu extérieur ( E ) sur (E) dont on peut donner les éléments de réduction en G :

• Le torseur des actions mécaniques que le tronçon (E2) exerce sur (E1) à travers la section droite fictive (S) :

{ }

=

G

G

M

RTcoh

r

r

(2)


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Appliquons à (E1) le PFS : Les équations d’équilibre du tronçon (E1) s’écrivent donc en G :

0R)EE(Rrrr

=+→

( ) 0MEEM GG

rrr=+→

Compte tenu des équations (3) et (2) ci-dessus, les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion peuvent donc s’exprimer de deux façons :

Première écriture Deuxième écriture On utilisera les écritures selon le problème posé. Voir Exercice d’application.

c) Repère de définition des sollicitations

Soit ( )z,y,x,GR rrr

= , le repère local direct lié à la section droite fictive (S). Ce repère est tel que ( )x,G r

définisse la normale extérieure en G à (S) relative au tronçon (E1). Les axes ( )y,G r

et ( )z,G r appartiennent alors au plan (P) de la section

droite (S) dont ils sont généralement des axes de symétrie.

d) Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur de cohésion dans le repère de définition des sollicitations

Définitions: • Effort normal N

r : c’est la projection de R

rsur la

normale extérieure ( )x,G r

• Effort tranchant Tr

: c’est la projection de Rr

sur le plan de section droite ( )z,y,G rr

• Moment de torsion tMr

c’est la projection de GMr

sur la

normale extérieure ( )x,G r

• Moment de flexion fMr

c’est la projection de GMr

sur le plan de section droite ( )z,y,G rr

Par conséquent : TNR

rrr+= et fMtMMG

rrr+= . Soit en décomposant dans le repère local R :

N : Composante algébrique de l’effort normal N

rsur ( )x,G r

Ty : Composante algébrique de l’effort tranchant T

rsur ( )y,G r

Rr

Tz: Composante algébrique de l’effort tranchant Tr

sur ( )z,G r

(3)

(4) (5)


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Mt : Composante algébrique du moment de torsion tMr

sur ( )x,G r

Mfy : Composante algébrique de moment de flexion fMr

sur ( )y,G r

GMr

Mfz : Composante algébrique de moment de flexion fMr

sur ( )z,G r

Soit ,

Voir Exercice d’application.

4. Diagrammes Les composantes algébriques N, Ty, Tz, Mt, Mfy, Mfz varient en fonction de la position du centre de surface G de la section droite fictive(S). Le point G est défini par son abscisse x telle que :

0xxGO rr

= . La représentation graphique N(x) ; Ty(x) ; Tz(x) ; Mt(x) ; Mfy(x) ; Mfz(x) donne les diagrammes des composantes des éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion.

Voir Exercice d’application.

5. Définition des sollicitations

Si les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion font apparaître un seul des quatre éléments fM,tM,T,N

rrrrnon nul, la sollicitation est dite simple, sinon on parle de sollicitations composées.

« traction simple » « cisaillement simple » « torsion simple »

« Flexion simple » « Flexion plane » Voir Exercice d’application.


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6. Vecteur contrainte en un point

a) Définition

Les efforts de cohésion sont les actions mécaniques que le tronçon (E2) exerce sur le tronçon (E1) à travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces actions sont réparties en tous les points de (S). Notons f

r∆ l’action

mécanique élémentaire au point M et ∆S l’élément de surface entourant ce point. Soit xr La normale issue de M au plan de section (S), orientée vers l’extérieur de la matière du tronçon (E1).

On appelle vecteur contrainte au point M relativement à l’élément de surface ∆S

orienté par sa normale extérieure xr , le vecteur noté )x,M(C rrtel que :

b) Unité

Avec exprimée en pascal : 1 Pa = 1 N/m²

Unité usuelle :

c) Contrainte normale, contrainte tangentielle

D’une manière générale le vecteur contrainte dans l’espace peut se décomposer en trois vecteurs contraintes suivant les axes x, y et z. Soit :

z.y.x.dSFdC zy

rrrr

rτ+τ+σ==

Calcul de la contrainte normale :

Considérons un torseur de cohésion { }RcohG TS

dont la résultante Rr

n'a qu'une composante N sur Xr

. On a :

∑∑∑ σ====SSS

dS.x.dS.CFdx.NR rrrrr

Soit donc : ∑ σ=S

ds.N

Si nous supposons une répartition constante de la contrainte σ sur S, on aura : S.dS.dS.N

SS

σ=σ=σ= ∑∑

Soit : SN=σ


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Calcul de la contrainte tangentielle :

Considérons un torseur de cohésion { }RcohG TS

dont la résultante Rr

n'a qu'une composante Ty sur Yr

. On a :

∑∑∑ τ====S

zSS

z dS.z.dS.CFdz.TR rrrrr

Soit donc : ∑τ=S

ZZ ds.T

Si nous supposons une répartition constante de la contrainte yτ sur S, on aura :

S.dS.dS.T zS

zS

zz τ=τ=τ= ∑∑

Soit : STZ

Z =τ de même : S

Tyy =τ

d) Principe de détermination

Statique des solides

Efforts extérieurs exercés sur la poutre

Efforts intérieurs dans la poutre : N,T,Mt,Mf

Contraintes en tout point σ, τ

Déformations ε, γ

Dimensionnement des poutres

Cahier des charges


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7. Applications

Résistance Des Matériaux Sollicitations simples : Traction-Compression

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Définition de la traction Essai de traction Condition de résistance Applications

Objectifs :

• Définir la traction • Présenter et conclure sur l’essai de traction • Préciser les conditions de résistance d’une pièce en traction

1. Traction simple ou extension simple

Une poutre est sollicitée en traction simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes et qui tendent à l’allonger. Dans le repère )z,y,x,G(R rrr

= lié à la section droite (S), les éléments du torseur des efforts de cohésion s’expriment par :

L’effort R est appelé effort normal, il est noté N. Quelle que soit la section considérée de la poutre, il s’exerce toujours N au barycentre G de la section.

Contrainte normale :

Chaque élément de surface ∆Σ supporte un effort de traction dN parallèle à la ligne moyenne. Il y a répartition uniforme des contraintes dans la section droite. D’où :

2. Essai de traction

L’essai de traction permet, à lui seul, de définir les caractéristiques mécaniques courantes des matériaux. Les résultats issus de cet essai, permettent de prévoir le comportement d’une pièce sollicitée en Cisaillement, Traction / Compression et Flexion.

G

dN

σ : contrainte normale en Mpa ou en N/mm2 N : effort normal en N S : aire de la section droite en mm2 S

N=σ


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Principe :

Cet essai est réalisé sur une machine de traction et consiste à soumettre, à vitesse constante et à 20°C, une «éprouvette normalisée» de longueur L0 à un effort de traction progressivement croissant, généralement jusqu’à la rupture de l’éprouvette.

Caractéristiques mesurées et résultats obtenus :

Les éprouvettes sollicitées sont généralement de formes cylindriques ou prismatiques de longueur utile et de section initiale respectivement L0 et S0. L’action de la charge F exercée par la machine d’essai provoque un allongement de la zone utile de l’éprouvette ∆L = L - L0. Les deux points A et B sont situés sur l’éprouvette. L0 et S0 : Respectivement la longueur et la section initiales de l’éprouvette au repos (sans charge) ; L : Longueur de l’éprouvette mesurée sous charge F ; F : Force exercée par la machine d’essai sur l’éprouvette ; ∆L : Allongement de la poutre sous l’action de F en mm.

1 - Machine à essai de traction 2 - Machine à essai de traction3 – Détail des mors et de l’éprouvette

4 – Éprouvettes cylindrique et plane

5 – Rupture d’éprouvette

5 – Striction et formes de la cassure d’éprouvette


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Analyse de la courbe obtenue :

Grâce à des capteurs de force et de déformation, la machine de traction permet de mesurer l’effort F exercé sur l’éprouvette et l’allongement ∆L correspondant.

On obtient ainsi un graphe traduisant la relation entre l’allongement relatif de l’éprouvette et la contrainte normale qui lui est appliquée. Il permet également de mettre en évidence quatre zones distinctes :

0A : Zone des déformation élastiques (le matériau peut revenir à son état initial lorsqu’il est relâché) AB : Zone inutilisable BC : Zone des allongements permanents CD : Zone de striction. C : Point de striction D : Point de rupture

A partir de ce graphe de traction, on définit quelques caractéristiques propres au matériau :

Résistance ou contrainte limite élastique en Extension σe C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine élastique, appelée aussi limite d'élasticité Re.

0

ee S

FR =

MPa en Rmm en SN en F

e

20

e

Résistance ou contrainte maximale σm C'est la contrainte maximale que peut supporter le matériau avant d'atteindre la zone de striction, notée également Rm.

Résistance ou contrainte limite de rupture en extension σr C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'éprouvette, appelée aussi résistance à la traction Rr :

0

rr S

FR =

Allongement pour cent après rupture A% C'est le pourcentage d'allongement après rupture par rapport à la longueur initiale :

100L

LL%A

0

0u ×−

=

avec : Lu : longueur ultime de l'éprouvette à sa rupture.

L0 ∆L

Striction

L

FF−


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Des tableaux donnent les valeurs de ces caractéristiques mécaniques pour chaque matériau. Exemple pour un acier S235 : Re = 235 Mpa ; Rr= 360 MPa et A% voisines de 20%.

Coefficient de striction après rupture Z%

C'est le pourcentage de réduction de la section après rupture par rapport à la section initiale.

100S

SS%Z0

0 ×−

=

Etude des déformations :

Sur le graphe de l’essai de traction, OA représente la zone « élastique » qui traduit une réversibilité des déformations (la poutre reprend sa forme initiale une fois l’effort est relâché).

En prenant des pièces de différentes dimensions, les expériences montrent que pour une force donnée, les allongements ∆L sont proportionnels aux longueurs initiales L0 des éprouvettes ;

Si l'on veut caractériser le matériau en faisant abstraction de la forme de la pièce et de ses dimensions, on définit donc l’allongement relatif ou allongement unitaire (sans unité) comme le rapport de la variation de longueur ∆L sur la longueur de référence L0, soit :

0LL∆

=ε

Cette déformation est une grandeur est sans dimension, on l'exprime parfois en % (100×∆l/l0)

Lors de l’essai de traction, on met aussi en évidence une autre caractéristique de l’élasticité. En effet, on constate qu’en plus de la déformation relative longitudinale ε dans le sens de la traction, le matériau subit aussi une déformation ε t dans la direction transversale (direction perpendiculaire à la déformation longitudinale).

0dd

t∆

=ε

On peut remarquer qu’avec la définition de la déformation, dans un essai de traction ε est positif (allongement ∆L positif) tandis que ε t est négatif (diminution de la dimension transversale de l’éprouvette). Ainsi, dès qu’un matériau subit un allongement dans la direction longitudinale, il en résulte une contraction dans la direction transversale. On constate expérimentalement que le rapport ε t /ε est constant pour un matériau donné. Ce rapport est appelé coefficient de Poisson et est noté ν. On a donc :

LL

dd ∆

ν=∆

Unités : ν sans unité d et L en mm.

ν est aussi une caractéristique du matériau (coefficient de Poisson), il est de l'ordre de 0,3 pour les métaux et de 0,15 pour les bétons et reste toujours inférieur à 0, (La limite supérieure de 0, 5 correspond à un matériau incompressible).

Relation entre la contrainte normale σ et l’allongement relatif ε:

De même, dans la zone linéaire élastique OA, on démontre que pour un grand nombre de matériaux, l’allongement est proportionnel à la contrainte, par conséquent F/ ∆L = constante. Cette propriété s’énonce de la même façon par la loi de HOOKE sous la forme :

ε=σ E E coefficient de proportionnalité appelé module de Young ou module d’élasticité longitudinal (MPa). Ce module caractérise la rigidité du matériau suivant le sens longitudinale et donc varie suivant le matériau.


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Quelques exemples de la valeur de E :

Module de Young (MPa) à 25°C Acier au carbone 207 000 Acier inox 193 000 Alliages de titane 114 000 Alliages d’aluminium 72 000

Pour les aciers, le module d'élasticité longitudinal E est le même en compression qu'en extension.

3. Critère de dimensionnement : condition de résistance Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale dans une

section droite projetée sur la normale xr à (S) SN

=σ doit rester

inférieure à une valeur limite appelée « contrainte pratique à la traction » : σpe. σpe est obtenue en divisant la « contrainte limite élastique Re » par un « coefficient de sécurité s ».

s varie de 1,1 à 10 selon les domaines d'application. La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle dans la poutre ne doit pas dépasser le seuil

précédent, soit :

σ≤σpe ou peSN

σ≤

Si cette condition est respectée la déformation de la pièce reste élastique, donc le matériau ne se brise pas, il reprend ses dimensions initiales une fois l’effort est relâché

Remarque : Pour la compression, la démarche est identique sauf que les efforts de cohésion et la déformation sont négatifs. Phénomène de concentration de contrainte :

Lorsque les poutres étudiées présentent de brusques variations de sections (trous, gorges, épaulements…), la

relation SN

=σ n’est plus applicable. En effet, au voisinage du changement de section, la répartition des

contraintes n’est plus uniforme et présente des extremums. Le maximum est atteint pour les points situés à proximité des variations : on dit qu’il y a concentration de contraintes en ces points. La valeur de la contrainte est alors pondérée à l’aide du cœfficient Kt, soit:

0tmax K σ⋅=σ avec : SN

0 =σ

Kt est appelé le coefficient de concentration de contraintes. Kt dépend de la forme de la section et du type de la variation (voir tableaux suivants), il est d’autant plus élevé que la variation de section est brusque. Afin de ne pas fragiliser les pièces, les variations de section doivent être progressives (par exemple en utilisant des rayons de raccordement)

sRepe =σ


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4. Applications


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Résistance Des Matériaux Sollicitations simples : Cisaillement

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Définition du cisaillement Essai de cisaillement Condition de résistance Applications

Objectifs :

• Définir le cisaillement simple • Présenter et conclure sur l’essai de cisaillement • Préciser les conditions de résistance d’une pièce en traction

1. Cisaillement simple

Une poutre est sollicitée en cisaillement simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées parallèlement aux sections droites (perpendiculaires à la ligne moyenne). Sous l'action de ces deux forces la poutre tend à se séparer en deux tronçons glissant l'un par rapport à l'autre.

Dans le repère )z,y,x,G(R rrr

= lié à la section droite (S), les éléments du torseur des efforts de cohésion s’expriment par :

{ }

=0

RT Gcoh r

r

tel que dans R : { }( )z,y,x

Gcoh

000

0Ty0

Trrr

= par exemple.

G +

Ty

Section S

L’effort tranchant Tr

est contenu dans le plan de la section droite.


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idf

ds

S

T−

Applications du cisaillement :

Définition de la contrainte τ : La définition de la contrainte reprend le même procédé d’analyse que pour l’extension compression : Les deux tronçons glissent l’un par rapport à l’autre. On isole le tronçon E1, on considère la section S et on recherche l’équilibre du tronçon. Le tronçon est en équilibre sous l’action de T

r− et des idf

avec : idf force interne de cohésion agissant sur une petite surface ds. La contrainte est définie par idf / ds.

Comme dans la contrainte d’extension, on retrouve le même type de formule : ∑=− ifdT

rr.

Si on suppose qu’il y a une répartition uniforme des contraintes

dans la section droite, on peut écrire que : ST

=τ .

La contrainte dans la pièce est appelée contrainte de cisaillement τ (tau). Elle est tangentielle et correspond à l’ensemble des actions agissant à l’intérieur de la pièce perpendiculairement à la fibre neutre en fonction de sa surface.

2. Essai de cisaillement

Il est physiquement impossible de réaliser du cisaillement pur au sens de la définition précédente. Les essais et résultats qui suivent permettent toutefois de rendre compte des actions tangentielles dans une section droite et serviront ainsi dans le calcul de pièces soumises au cisaillement. On se gardera cependant le droit d'adopter des coefficients de sécurités majorés pour tenir compte de l'imperfection de la modélisation. Considérons une poutre (E) parfaitement encastrée et appliquons-lui un effort de cisaillement

rF uniformément

réparti dans le plan (P) de la section droite (S) distante de ∆x du plan (S0) d'encastrement (voir fig.). On se rapproche des conditions du cisaillement réel à condition de vérifier que ∆x est trop petit, ce qui permettra de négliger le moment fléchissant

1-Cisaille à lames courtes PULLMAX P-201

2-Cisaillage d’une tôle

3-Axe soumis au cisaillement

F

F−

4-Cisaille d’établi

T

E1 E2

T−


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F

GB

A x

(S) (S0)

∆ x

(E1) (E2)

y

(P)

Si l'on isole (E1), on trouve alors le torseur de cohésion suivant :

{ })z,y,x(G

x.F00T00

Trrr

∆−=

Lorsque ∆x tend vers 0, on retrouve le torseur de cohésion du cisaillement pur.

L’étude expérimentale est réalisée avec une poutre de section rectangulaire parfaitement encastrée, sur laquelle on applique un effort variable uniformément réparti dans le plan de (S). On note F la résultante en un point B à une distance très petite x de la section d’encastrement. Au cours de l’essai, la section droite (S) glisse transversalement de ∆y par rapport à (S0). On admet que ce glissement se fait sans déformation interne de (S) et (S0).


La courbe enregistrée au cours de l’essai donne la relation entre l’intensité de la force F et le glissement transversal ∆y de la section (S) par rapport à (S0).

F(N)

∆ y (mmO

A

B

C

(S0)

(S)

∆ ∆y x

F

Sur le graphe on distingue : ◊ Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur nulle,

l'éprouvette retrouve sa forme initiale. Dans la zone de déformation élastique, il y a proportionnalité entre le glissement transversal y et l’effort de cisaillement : F=ky. La valeur de k dépend des dimensions de l’éprouvette. ◊ Zone ABC : c'est la zone des déformations permanentes. Si l'on réduit la valeur de F jusqu'à une valeur

nulle, l'éprouvette ne retrouve pas sa forme initiale. (déformations plastiques)


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Angle de glissement (déformation) :

La déformation est mesurée par l’angle gamma (γ) appelé angle de glissement entre les sections droites comprises entre S et S0 qui glissent les unes sur les autres. Cet angle, exprimé en radians, est défini par :

xy

∆∆

=γ

Relation entre la contrainte tangentielle τ et la déformation γ :

Dans la zone de déformation élastique, l'essai précédent a permis pour différents matériaux d'établir une relation directe entre la contrainte et la déformation, en effet : Si on représente un graphique avec :

- en abscisse, le glissement relatif ou déviation ∆y/∆x (sans unité) - en ordonné, la contrainte tangentielle de cisaillement (en MPa)

On obtient alors des courbes identiques qui ne dépendent que du matériau de l’éprouvette. Soit :

xyG

SF

∆∆

= ou bien : γ=τ G

Unités : F en Newton S en mm2 G en MPa ∆y et ∆x en mm.

Cette relation est comparable à la loi de Hook obtenue en traction. G au même titre que E est une caractéristique propre du matériau appelée module d'élasticité transversal ou module de Coulomb. Pour les métaux, on admet que G=0,4E. A titre d’exemple : pour les aciers G=80000Mpa ; pour les bronzes G=48000Mpa ; l’aluminium G=32000Mpa.

3. Conditions de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte tangentielle ou de cisaillement « tau » S

Ty=τ dans la section

cisaillée S doit rester inférieure à une valeur limite propre au matériau utilisé appelée « contrainte pratique au glissement ou au cisaillement Rpg ». Rpg est obtenue en divisant la « contrainte limite élastique au cisaillement Reg » par un « coefficient de sécurité s ».

La condition de résistance s’écrit alors :

Rpg≤τ ou RpgST

≤

Remarque : l’effort tranchant va dépendre du nombre de section cisaillée.

sgReRpg =


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4. Applications


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Résistance Des Matériaux Sollicitations simples : Torsion

A. ZINE

Définition la torsion Essai de torsion Condition de résistance et de rigidité Applications

Objectifs :

• Définir la torsion • Présenter et conclure sur l’essai de torsion • Préciser les conditions de résistance et de rigidité d’une pièce en traction

1. Torsion

Une poutre est sollicitée en torsion simple lorsqu'elle est soumise à ses deux extrémités à des liaisons dont les torseurs associés se réduisent à deux torseurs couples opposés dont les moments sont parallèles à l'axe du cylindre. (on suppose la poutre comme cylindrique et de section circulaire constante)

MG2G2

G1MG1

G

(S)

x

y

z

R

MG1MG

G1

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

{ })z,y,x(G

0000

Mt0T

rrr

=

2. Essai de torsion

Un dispositif permet d'effectuer un essai de torsion sur une poutre encastrée à son extrémité G1 et soumise à un torseur couple à son extrémité G2. On trace, avant l’essai, une génératrice M1M2 du cylindre et on applique à l’autre extrémité de la poutre, section (S2) de centre de surface G2, un système d’actions mécaniques de liaison modélisables en G2 par un torseur couple. On fait croître MG2 à partir de zéro et on mesure les déformations de la poutre. On constate lors de l'essai que :

. Toute section plane et normale à l’axe du cylindre reste plane et normale à l’axe ;

. La distance entre deux sections droites données reste sensiblement constante ;


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. Le déplacement d’une section droite (S) est uniquement une rotation d’angle ⟨ autour de son axe et pour une même valeur du moment, cette rotation est proportionnelle à sa distance x à la section encastrée (S1) : α = k.x.

La génératrice M1M2 se déforme donc suivant une hélice M1M’2.

MG2G2G1 G

x

(S1)(S)

(S2)

M1 M M2

M'

M'2

α

GM

M'α

L’enregistrement du moment appliqué en G2 en fonction de l'angle de rotation α d'une section droite donne une courbe semblable à celle de l’essai.

MG2 (mN))

αO

A

B


◊ Zone OA : c'est la zone des déformations élastiques. Si l'on réduit la valeur du moment jusqu'à une valeur nulle, l'éprouvette retrouve sa forme initiale. Dans cette zone, l'angle α de torsion est proportionnel au couple appliqué. Les sections droites et planes de l'éprouvette restent droites et planes pendant l'essai.

◊ Zone AB : c'est la zone des déformations permanentes. L'éprouvette ne retrouve pas sa forme initiale

après déformation. Relation entre déformation et moment fléchissant :

La propriété constatée ci-dessus a permis d'établir la relation : 0I.Gx.Mt

=α

Unités : Mt moment de torsion en N.mm G module d'élasticité transversal en MPa α angle de torsion en radian Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4

En définissant l'angle unitaire de torsion comme étant la déformation angulaire relative entre deux sections distantes de l’unité de longueur : ϑ = α / x (exprimé en rad/mm), la relation précédente devient alors :

OI..GMt θ=


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Relation entre contrainte et moment fléchissant :

Soit M un point de la section droite (S) de la poutre situé à une distance ρ du centre G de la section (voir ci-dessous).

G

(S)

x

y

z

R

MG1MG

G1

(E1)

G

τ

(S)

τMax

MM

ρ

v

La contrainte de torsion τ en M est donnée par la relation :

Le moment des efforts de cohésion s’exprime donc par :

Soit alors :

ρ

=τO

M IMt

avec : τ contrainte tangentielle en MPa.

Mt moment de torsion en N.mm Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4

En considérant la relation : OI..GMt θ= la contrainte tangentielle devient : ρθ=τ GM Contrairement aux phénomènes étudiés jusqu'à maintenant, la contrainte varie en fonction du point choisi dans une section droite. Plus ce point est éloigné du centre de la section, plus la contrainte y sera importante. La contrainte est nulle en tout point de la fibre neutre (ligne moyenne) et maximale pour ρ = ρmaxi, soit :

ρ

=τ

imax

Omax I

Mt

3. Conditions de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale τ doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique τp (voisine de la contrainte pratique de cisaillement). Cette contrainte est définie par :

se

pτ

=τ


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s est un coefficient de sécurité.

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

p

imax

Oréelle I

Mtτ<

ρ

=τ

Le terme ρ0I

est appelé module de torsion.

Exemple : pour un arbre plein de section circulaire :

4. Conditions de rigidité Pour les arbres de transmission qui tournent relativement vite (N> 750 tr/min), on doit limiter les déformations de torsion de l’arbre pour éviter les vibrations. Pour assurer une rigidité convenable de la transmission, on impose une limite à l’angle unitaire de torsion : θ ≤θlim On prend généralement : θ ≤ 0,5°/m.


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5. Applications


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Résistance Des Matériaux Sollicitations simples : Flexion plane

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Définition de la flexion Essai de flexion Condition de résistance Etude des déformations Applications

Objectifs :

• Définir la flexion • Présenter et conclure sur l’essai de flexion • Préciser les conditions de résistance d’une pièce en flexion

1. Flexion plane simple

La poutre droite est sollicitée en flexion plane simple lorsque les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère )z,y,x,G(R rrr

= lié à la section droite (S), présente la forme suivante :

Lorsque l’effort tranchant Ty est nul la sollicitation est dite flexion pure.

2. Essai de flexion Principe :

On applique une charge en C sur la poutre en appui en A et B. En D, on place un comparateur 5 qui nous permettra de mesurer la déformation propre de flexion ou flèche en D. On colle des jauges de déformation (dispositif extensiométrique) sur la section droite (S) étudiée pour mesurer les variations de longueur relative ∆l/l0 des portions de fibres sur lesquelles elles s’appliquent.

Le dispositif permet de faire varier :

• Fr

, le point d’application de Fr

,

• le point de mesure D et la position de la section (S).


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Constatations :

• La flèche est proportionnelle à l'effort F appliqué et ceci quelque soit le point D choisi. • On observe, en effectuant l'essai avec différentes poutres, que la flèche en D est inversement

proportionnelle au moment quadratique IGz de la section. • Les fibres contenues dans le plan des fibres neutres ne

changent pas de longueur. • Les fibres longitudinales situées au dessus de la ligne

moyenne se raccourcissent et celles situées en dessous de la ligne moyenne s'allongent.

• Les génératrices s’allongent ou se raccourcissent proportionnellement à leur distance au plan des fibres neutres.

• Les sections planes normales aux fibres restent planes et normales aux fibres après déformation.

• La flexion fait naître des contraintes normales aux sections droites et

proportionnellement à leur distance à la couche neutre. • La flèche varie en fonction de : la nature, l’intensité et de la position de la

charge, et de la forme de la section.

3. Contraintes normales et contraintes tangentielles Contrainte normale σ

r : en un point M d'une section droite (s), elle

est proportionnelle à la distance y entre ce point et le plan moyen passant par G. Elle est égale à :

σ = valeur algébrique au point M en MPa, y = ordonnée de la fibre étudiée en M en mm, Mfz = valeur algébrique du moment de

flexion sur ( )z,G ren M en Nmm.

I ( )z,G r = moment quadratique de la section par rapport à ( )z,G r

en mm4. Contrainte tangentielle τ

r : Dans une poutre sollicitée en flexion plane simple la contrainte tangentielle moyenne s’exprime sous la forme suivante :

Remarque : Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes normales σ. L’influence des contraintes tangentielle ou de cisaillement est négligeable devant celle des contraintes normales.

4. Condition de résistance

Pour dimensionner la poutre on utilise donc uniquement le critère sur la contrainte normale, qui est le même que celui déjà évoqué en traction/compression.


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Les conditions d’utilisation d’une poutre soumise à la flexion, dans la zone de limite élastique, sont donc : Contrainte normale maxi : Εlle est obtenue dans la section droite où M fz est maximal et pour la fibre la plus éloignée du plan neutre, soit :

avec υ = imaxy Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale maxi doit être inférieure à la contrainte normale pratique à

l’extension. Avec : s

Rep =σ

Re = contrainte limite élastique (MPa) ; s = coefficient de sécurité. La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit :

pmax σ≤σ .

5. Etude des déformations

a) Définition Considérons une poutre reposant sur deux appuis linéaires rectilignes parfaits et soumise à une charge concentrée verticale.

Les actions mécaniques extérieures provoquent la flexion de la poutre. La ligne moyenne se déforme et la courbe ainsi obtenue est appelée courbe déformée ou bien flèche.

b) Equation de la déformée L’étude de la déformation élastique de la courbure algébrique de la poutre entre deux sections droites écartées de x très petit permet d’obtenir une relation entre l’équation la déformée de la poutre et le moment de flexion :

où y = f(x) est l’équation de la poutre déformée.

Remarque : On peut aussi prendre en compte un critère de dimensionnement sur la flèche maximale, qui traduit, moyennant un cœfficient de sécurité s, que la flèche maximale ymax en un point M doit rester inférieure à une valeur limite donnée ylim dépendante des conditions d’utilisation, soit :

limyy ≤


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6. Applications


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Résistance Des Matériaux Sollicitations composées

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Introduction Critères de résistance Exemples de sollicitations composées Applications

Objectifs :

• Définir une sollicitation composée • Introduire la notion de critère de résistance • Etudier quelques critères existants

1. Introduction Une pièce est très rarement soumise à une sollicitation simple (pure). Dans la plupart des cas, à un effort de traction se rajoute un moment de flexion, ou à ce moment de flexion se superpose un couple de torsion. Il existe même des pièces sur lesquelles agissent ces trois types de sollicitations. La pièce est soumise dans ce cas à une sollicitation dite composée.

Le principe de superposition s'applique à tous les cas où les déformations sont petites et lorsque le matériau obéit à la loi de Hooke. En vertu du principe de superposition des efforts l'état de contrainte d'une barre rigide se détermine par addition des contraintes provoquées par chacune des types de chargement simple. Il en va de même pour les déformations (déplacements). A ce stade, il est impératif de choisir un critère de résistance.

2. Critères de résistance

Un critère de résistance est une convention mathématique permettant de combiner des contraintes de natures différentes dans le but d'obtenir une contrainte équivalente sensée représentée à elle seule les effets des contraintes d'origines et de natures différentes. Cette contrainte équivalente sera ensuite comparée à une propriété caractéristique du matériau.

Si nous considérons un élément de matière soumis à des contraintes principales σ1, σ2, σ3 classées selon l’ordre : σ1 > σ2 > σ3, l’état limite de contrainte sera toute combinaison (σ1, σ2 et σ3) provoquant le dépassement de la limite élastique du matériau.

Les théories de rupture basées sur certains critère de rupture de l’équilibre élastique, ont pour but de permettre la prévision d’un état limite sur la base d’un petit nombre d’essais ou même d’un seul.

Rappelons que les essais classiques des matériaux sont la traction, la compression et la torsion.

Les différents critères passés en revue ci-après ont été développés dans le cas de l'état plan de contrainte, c'est-à-dire lorsque quelle que soit la facette prise dans le matériau, les différentes contraintes restent dans un même plan.


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A) Critère de la tension principale (Rankine)

Dans cette théorie, on suppose que l'état dangereux d'un corps à l'état de contrainte complexe est défini par la valeur de la contrainte normale maximale. C'est-à-dire, dans le plan :

avec : σ : somme des contraintes normales (traction + flexion) τ : somme des contraintes tangentielles (torsion + cisaillement)

Cette théorie n'est confirmée dans la pratique que pour les matériaux fragiles et suffisamment homogènes (verre, gypse, céramiques,...).

Remarque : Dans le cas du cisaillement pur, l'expression précédente se réduit à :

B) Hypothèse de la déformation maximale (Poncelet, Bach, Saint Venant)

Comme critère de l'état limite on prend la déformation linéaire la plus grande en valeur absolue, ce qui se traduit dans l'état plan de contrainte par :

Avec : ν : coefficient de Poisson

De nombreux essais ont montré que ce critère ne pouvait être retenu. Il est actuellement abandonné. Il était utilisé anciennement pour les aciers sous la forme (avec ν = 0.3) :

Remarque : Dans le cas du cisaillement pur, 'expression se réduit à :

C) Hypothèse de la tension de cisaillement maximale (Coulomb, Tresca, Guest, Mohr) Le critère du plus grand cisaillement ou critère de la contrainte tangentielle maximale admet que la rupture de l’équilibre élastique survient dès que la plus grande contrainte de cisaillement dépasse la valeur limite τe déterminée par l’essai de torsion. Ce qui s'énonce :

Constituant un cas particulier de la théorie de Mohr, Cette théorie donne des résultats relativement satisfaisants pour les matériaux ductiles mais non pour les matériaux fragiles.

Remarque : Dans le cas du cisaillement pur, l'expression se réduit à :


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D) Hypothèse de l'énergie de déformation élastique équivalente (Hencky - Von Mises) On suppose que l'état dangereux d'un corps sollicité est caractérisé par la valeur limite de l'énergie potentielle spécifique accumulée lors de la déformation. Ce qui se traduit par la formulation :

Ce quatrième critère de résistance est bien adapté aux matériaux ductiles. C'est celui qui est le plus fréquemment utilisé.

Remarque : Dans le cas du cisaillement pur, l'expression se réduit à :

E) Conclusions

Avec : σéq : contrainte équivalente en traction σ : somme des contraintes normales (traction + flexion) τ : somme des contraintes tangentielles (torsion + cisaillement)

N'oublions pas que l'utilisation d'un critère de résistance suppose que l'on se trouve en un point précis de la matière.

Par exemple, nous avons vu en flexion simple que la contrainte normale se situait à la périphérie d'une pièce, tandis que la contrainte tangentielle maximale se situait au centre. Dès lors l'utilisation d'un critère de résistance, en périphérie ou au centre, pour la flexion simple, est non fondée.

Remarque : Ce ne sera pas le cas si nous utilisons la notion de contrainte tangentielle moyenne (cisaillement technologique)

3. Exemples de sollicitations composées

A) Flexion plane composée (traction (compression) - flexion)

La flexion plane composée est un mode de flexion tel que toute section droite d'une barre est soumise à un moment fléchissant (suivant un des axes centraux principaux d'inertie) ainsi qu'à un effort normal appliqué au centre de gravité. Un effort tranchant est associé au moment fléchissant.

Un exemple de barre soumise à flexion composée est donné à la figure ci-dessous.


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Dans ce cas-ci, la force (P) crée, dans la section, une contrainte constante de traction, tandis que la force (F) crée de la flexion et du cisaillement.

Si on néglige le cisaillement, la force (F) engendre uniquement de la compression à fibre supérieure et de la traction à la fibre inférieure. C'est pourquoi, dans le cas de la flexion plane composée, nous n'avons pas besoin d'un critère de résistance. En effet, il suffira, pour trouver la tension résultante, de sommer, avec leur signe respectif, les diverses contraintes engendrées.

Autrement dit nous aurons dans le cas de la figure ci-dessus :

à la fibre supérieure : σB = σt − σfl = σ’’ − σ’ et, suivant le cas, nous obtiendrons : - de la compression : si σ’’ > σ’ - aucune contrainte : si σ’’ = σ’ - de la traction : si σ’’ < σ’ à la fibre inférieure : σA = σt + σfl = σ’’ + σ’ et nous obtiendrons toujours de la traction

B) Flexion déviée

La flexion déviée ou flexion gauche est un mode de flexion tel que le plan du moment fléchissant ne coïncide pas avec un des axes centraux principaux d'inertie de la section droite.

Un effort tranchant est associé au moment fléchissant. Les charges ne peuvent entraîner ni effort normal, ni moment de torsion.

D'ordinaire, on réduit la flexion déviée à deux flexions planes; pour cela, les sollicitations agissant dans des plans longitudinaux arbitraires se décomposent en composantes situées dans les plans principaux (z, x) et (z, y). Dès lors, la résolution est équivalente à “2 fois” ce qui a été fait en flexion simple.

Il faut cependant ne pas oublier de sommer les contraintes obtenues. C'est-à-dire :

Avec : σx : contrainte normale suivant l'axe (x) due au moment fléchissant (Mz) σy : contrainte normale suivant l'axe (x) due au moment fléchissant (My) Wz : module de résistance à la flexion par rapport à l'axe (z) Wx : module de résistance à la flexion par rapport à l'axe (y)

z

z


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Dans la mesure où un effort tranchant est associé au moment fléchissant, il y a apparition de contraintes de cisaillement dans la section droite. Et comme pour les contraintes longitudinales nous effectuerons la somme des contraintes tangentielles dues aux deux moments tranchants indépendamment.

D'où :

avec : τz : contrainte tangentielle suivant l'axe (z) due à l'effort tranchant (Tz) τy : contrainte tangentielle suivant l'axe (y) due à l'effort tranchant (Ty)

Ces contraintes (τ) sont généralement inférieures aux contraintes normales. On veillera simplement à vérifier si indépendamment les contraintes normales et tangentielles ne dépassent pas les valeurs admissibles.

C) Flexion – torsion (Application aux calculs des arbres)

a. La flexion se fait dans un plan Un cas extrêmement courant en mécanique est le calcul d'arbre de machine. Dans la plupart des cas, l'arbre sera soumis à de la flexion (et donc aussi au cisaillement) et à de la torsion. Le cisaillement étant négligeable, nous nous trouvons devant un cas de sollicitations combinées de flexion et de torsion.

Le problème qui se pose lors de la conception d'arbre de machine est de déterminer son diamètre connaissant les sollicitations auxquelles il est soumis. Pour cela, nous allons considérer l'arbre comme simplement fléchi sous l'action d'un moment de flexion appelé moment réduit (noté (Mr)) ou moment de flexion idéal. Que vaut ce moment ?

Les arbres de machines étant toujours fabriqués en matériaux ductiles, utilisons le critère de Von Mises :

Pour la flexion :

Pour la torsion :

et :

Remplaçons dans le critère de Von Mises :

et nous trouvons l'expression du moment réduit pour un matériau ductile :

Dans le cas qui nous préoccupe, nous devons déterminer le diamètre (d) de l'arbre. Soit :

et dans ce cas nous obtenons :

zzz


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Remarque : La contrainte admissible est une contrainte admissible de flexion !

Si au lieu d'utiliser le critère de Von Mises, on utilise Poncelet- Bach comme c'était l'usage auparavant, on obtient le moment réduit suivant :

et de ce fait : Poncelet – Bach

Ce moment réduit se retrouve encore dans certaines notes de calculs.

Si on effectue le même raisonnement avec le critère de Tresca, on obtient le moment réduit suivant :

Tresca

B) La flexion se fait dans deux plans différents

Dans le cas le plus courant de calcul d'arbre, il arrive que les efforts agissant sur celui-ci ne s'exercent pas uniquement dans un même plan. Les efforts peuvent être horizontaux, verticaux, obliques et souvent un mélange des trois.

La méthode de résolution dans ce cas est d'effectuer autant de fois le calcul qu'il y a de plans. En pratique cela revient à décomposer toutes les forces dans deux plans perpendiculaires entre eux : un plan horizontal et un plan vertical. On effectue alors le calcul des forces de réactions et des moments fléchissants dans chacun des plans. Ensuite, connaissant ceux-ci, on trouve la résultante (force et moment fléchissant).

Mais, et c'est pourquoi on utilise les plans vertical et horizontal, pour calculer la résultante il suffira de prendre : la racine carrée de la somme des carrés. C'est-à-dire :

Pour les réactions :

Pour les moments fléchissant :

Avec : l'indice (V) pour ce qui concerne le plan vertical; L’indice (H) pour ce qui concerne le plan horizontal.


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4. Applications

TD n°6

Sollicitations composées Exercice 1 : 1) FLEXION + EXTENSION Exemple 1 : On se propose de vérifier la résistance d’une poutre de section rectangulaire (12x36) réalisé en XC42 (Re = 320 MPa), sollicitée dans les conditions ci-dessous : Exemple 2 : Calculer la contrainte maximale existante dans le limon de cet escalier constitué de deux IPN 180. Les dimensions sont données à la figure ci-dessous. Charge à considérer : 5000 N/m2 de projection horizontale.

Les caractéristiques de la poutrelle IPN 160 sont données dans le tableau ci-après (catalogue) : Contrainte de flexion : M f max = F l/8 Nm (Charge répartie)

Caractéristiques géométriques : Notations (dessin non à l'échelle) :

Caractéristiques mécaniques :

h = 180 mm b = 82 mm tw = 6,9 mm tf = 10,4 mm r1 = 6,9 mm r2 = 4,1 mm d = 142,4 mm

g = 21,90 kg/m A = 27,90 cm2 Iy = 1 450,00 cm4 Wel.y = 161,00 cm3 Wpl.y = 187,00 cm3 iy = 7,20 cm Avz = 13,35 cm2 Iz = 81,30 cm4 Wel.z = 19,80 cm3 Wpl.z = 33,20 cm3 iz = 1,71 cm It = 9,58 cm4 Iw = 5,92 x 103 cm6

800

A B

C

F = 2000 N

30°

300 x

y


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Exercice 2 : 2) FLEXION + TORSION Dans le cas où on a de la flexion et de la torsion combinées, on ne peut utiliser la superposition car les contraintes de flexion sont normales et celles de torsion sont tangentielles. On combine l’une avec l’autre selon un critère bien défini. Exemple : En utilisant le critère de Tresca, rechercher le diamètre de l’arbre plein réalisé en XC32 (Re = 400 MPa), représenté ci-dessous en adoptant un cœfficient de sécurité s = 4. Exercice 3 : 3) EXTENSION + TORSION. En utilisant la contrainte équivalente de Von Mises, on se propose de vérifier la résistance d’un vérin à vis, supportant une charge de 5000 daN, réalisé en XC42 (Re = 320 MPa), représenté ci-dessous. Vis φ = 35 mm, filet carré, pas 10 Axe φ = 32 mm Couple moteur : Cm = 225 N.m Couple frottement : Cf = 40 N.m

1800

B

C

200x

y

A

200

D

φ = 234

φ = 796P = 6000 daN

45°

Q = 1770 daN

a

b

Cm

Cf

RESISTANCE DES MATERIAUX (RDM) PREMIERE PARTIE´me Universitaire de... · 2020. 4. 2. · NOTES DE...

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