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Dpartement Maintenance Industrielle SUPPORT DE COURS ENRSISTANCE DES MATRIAUXPour le 2me niveau de la formation dun technicien suprieur en Maintenance Industrielle (M.I) ANNEE UNIVERSITAIRE : 2003-2004ELABORES PAR : MAHJOUB Med Mokhtar (ISET Mahdia) SBA Rania (ISET Mahdia)ANNEE UNIVERSITAIRE : 2006-2007SOMMAIREChapitre 1 : INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX1- But de la RDM.2- Principe du calcul de RDM.3- Hypothses gnrales de la RDM.4- Efforts intrieurs (torseur de cohsion).5- Composantes du torseur de cohsion.6- Vecteur contrainte en un point.7- Sollicitations simples et composesChapitre 2 : LA TRACTION SIMPLE 1- Dfinition.2- Essai de traction.3- Etude des dformations.4- Etude des contraintes.5- Relation Contrainte - Dformation.6- Caractristiques mcaniques dun matriau.7- Condition de rsistance en traction.8- Condition de rigidit en traction.9- Concentration de contrainte.Chapitre 3 : LA COMPRESSION SIMPLE1- Dfinition.2- Etude des contraintes.3- Etude des dformations.4- Condition de rsistance en compression.Chapitre 4 : LE CISAILLEMENT SIMPLE1- Dfinition.2- Essai de cisaillement.3- Etude des dformations.4- Etudes des contraintes.5- Relation Contrainte Dformation.6- Condition de rsistance au cisaillementChapitre 5 : LA TORSION SIMPLE1- Dfinition.2- Essai de torsion.3- Relation Contrainte Dformation.4- Equation de dformation.5- Relation Contrainte -moment de torsion.6- Condition de rsistance la torsion.7- Condition de rigidit.8- Concentration de contrainte.Chapitre 6 : LA FLEXION SIMPLE 1- Dfinition.2- Etude des contraintes.3- Relation Contrainte - moment de flexion.4- Condition de rsistance la flexion.5- Concentration de contrainte.6- Dformation en flexion.7- Condition de rigidit en flexion.8- Thorme de superposition des dformations.Chapitre 7 : SOLLICITATIONS COMPOSES1- Flexion&torsion2- Traction&torsion.Chapitre 8 : LE FLAMBEMENT1- Etude du flambement.2- Elancement.3- Charge critique.4- Contrainte critique.5- Condition de rsistance.BIBIOGRAPHIEANNEXE 1 : Copie remettre aux tudiants.ANNEXE 2 : Transparents pour rtroprojecteur.SET MAHDIAA.U : 2006-2007Chapitre 1INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUXObjectifs : Comprendre les notions de base de la RDM.Prrequis : Modlisation des actions mcaniques. Le principe fondamental de la statique.Elments de contenu :1- But de la RDM.2- Principe du calcul de RDM.3- Hypothses gnrales de la RDM.4- Efforts intrieurs (torse ur de cohsion).5- Composantes du torseur de cohsion.6- Vecteur contrainte en un point.7- Sollicitations simples et composesParmi les objectifs viss par l'tude mcanique des systmes matriels est le dimensionnement des diffrents solides constituant le systme.La premire modlisation des solides, en solides globalement indformables, permet, en appliquant le principe fondamental de la statique ou de la dynamique, de dterminer les actions appliques ces solides.Une deuxime modlisation des solides, en poutres droites permet de prvoir leur comportement sous charge. (Dformations, rsistance...) et cela grce aux diffrentes lois de la rsistance des matriaux.Larsolutiondesproblmespossparlarsistancedesmatriauxfait appel denombreuseshypothses, ncessairespourobtenirrapidementdes rsultats exploitables.Rsistance des matriaux 4 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-2007INTRODUCTION A LA RSISTANCE DES MATRIAUX1-But de la rsistance des matriauxLa rsistance des matriaux est l'tude de la rsistance et de la dformation des solides. Elle permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriauxdes pices mcaniques defaon matriser leur rsistance, leur dformation tout en optimisant leur cot.Exemples:Un pont est vrifi en rsistance des matriaux pour:- Assurer sa rsistance sous son propre poids et celui des vhicules ;- Assurer sa rsistance en cas de forte tempte.Une bouteille est vrifie en rsistance des matriaux pour:- Assurer sa rsistance lorsqu'elle est pleine ;- Assurer une rsistance minimum en cas de chute ;- Minimiser l'paisseur delabouteillepour fairedes conomies sur la matire premire.2- Principe du calcule de RDM :Figure 1.1Pour raliser un calcul de rsistance des matriaux, nous avons besoin de connatreles actions mcaniques exercessurlemcanisme(cesactionssont dtermines dans l'tude de statique ou de dynamique) et les matriaux utiliss. L'tude de rsistance des matriaux va permettre de dfinir les sollicitations et les contraintes qui en rsultent.Rsistance des matriaux 5 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-20073- Hypothses gnrales de la RDM :Pourfaireunetudedersistancedesmatriaux, nousavonsbesoinde faire des hypothses simplificatrices. Une fois que ces hypothses sont dfinies, nous pouvons nous lancer dans l'tude.3-1 Hypothses sur le matriau : Le matriau est suppos continu (ni fissures ni cavits), homogne (tous les lments du matriau ont une structure identique) et isotrope (en tout point et dans toutes les directions, le matriau possde les mmes caractristiques mcaniques).3-2 Hypothses sur la gomtrie des solides : La RDM tudie uniquement des solides en forme de poutres (solide idal) prsentant :- des dimensions longitudinales importantes par rapport aux dimension: transversales. - des sections droites constantes ou variables lentement en dimension ou en forme.Une poutre est engendre par la translation d'une section droite et plane S dontlebarycentreGdcrituneligne Lm(appelelignemoyenne) droiteou grand rayon de courbure. La section droite S reste toujours perpendiculaire la ligne moyenne C. (Figure 1.2).Figure 1.21-3 Hypothses sur les dformations (Hypothse de Navier-Bernoulli) :Les sections planes et droites (normales la ligne moyenne) avant dformation restent planes et droites aprs dformation.Rsistance des matriaux 6 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-20074-Efforts intrieurs (Torseur de cohsion) :Soit une poutre E [AB], en quilibre sous l'effet d'actions mcaniques extrieures. Pour mettre en vidence les efforts transmis par la matire au niveau d'une section S, nous effectuons une coupure imaginaire dans le plan P contenant S. Il la spare en deux tronons El (Partie gauche)etE2. (Partiedroite)(Figure 1.3). Figure 1.3On isole le tronon El- Lesactionsmcaniquesque.letrononE2exercesur letrononEl travers la section droite S sont des actions mcaniques intrieures la poutre E. Nous en ignorons priori la nature, cependant la liaison entre El et E2 peut tre modlise par une liaison complte. On peut donc modliser l'action mcanique E2 sur El par un torseur appel torseur de cohsion et not {coh} dont les lments de rduction en G seront R(x) et MG(x).{E2/El} = {coh} = ( )( ))'X M X RGLquilibre du tronon 1 se traduit par :{ } { } { } { } { }GE E G coh G cohGE E1 1/ /0 +{ } { } GS d e g a u c h e s m c a n i q u e s a c t i o n sGc o h Rsistance des matriaux 7 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-2007 Figure 1.4Cette relation permet de calculer les lments de rduction du torseur de cohsion partir des actions mcaniques extrieures gauche (connues par la statique).Remarque : L'quilibre de la poutre E se traduit par :{ } { } { } 0 +GS d e d r o i t e m c a n i q u e s a c t i o n sGS d e g a u c h e s m c a n i q u e s a c t i o n s { } { } { } 0 + GS d e d r o i t e m c a n i q u e s a c t i o n sGc o h Alors{ } { } GS d e d r o i t e m c a n i q u e s a c t i o n sGc o h Cette relation permet de simplifier le calcul du torseur de cohsion dans le cas o le torseur des actions mcaniques droite est plus simple dterminer.Conclusion :Chaque tronon est en quilibre et l'application du PFS, l'un ou l'autre, permet de faire apparatre et de calculer le torseur de cohsion au niveau de la coupure.Remarque :Le torseur de cohsion est modifi lorsque l'on dplace la coupure le long de la poutre :- Si une discontinuit d'ordre gomtrique (changement de direction de la ligne moyenne) apparat (exemple: poutre en querre).Rsistance des matriaux 8 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-2007- Si une discontinuit lie une rsultante nouvelle (ou un moment nouveau) apparat.5- Composantes du torseur de cohsion :Le torseur de cohsion exprim dans le repre R (G, x,y,z) s'crit :{ }( )( )Gfz zfy ytGcohM TM TM NX M X R)')' Figure 1.5N : Effort normal sur (G, x) Mt : Moment (couple) de torsion sur (G, x)Ty : Effort tranchant sur (G, y) Mfy : Moment de flexion sur (G, y) Tz : Effort tranchant sur (G, z) Mfz : Moment de flexion sur (G, z) 6- Vecteur contrainte en un point :6-1 Vecteur contrainte :Les actions mcaniques decohsionsont les efforts queletrononE2 exerce sur le tronon El travers la section droite (S) de la coupure fictive. Ces action mcaniques sont rparties en tout point M de S suivant une loi a priori inconnu. Notonsdfl'actionmcaniqueaupointMetdSl'lmentdesurface entourant le point. Soit n la normale issue de M au plan de la section S, oriente vers l'extrieur de la matire du tronon E1. (Figure 1.6).Rsistance des matriaux 9 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-2007Figure 1.6On appelle vecteur contrainte au point Mrelativement l'lment de surface dS orientpar sa normaleextrieuren, le vecteurnot( ) n M C,tel que :( )dSF dSFn M CLimS 0,(Figure 1.6).L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une unit de surface (N/mm2) ou (MPa).Les lments de rduction s'crivent donc, enfonction du vecteur contrainte :( ) ( ) S SdS n M C F d X R , et ( ) ( )dS n M C M G X MSG , ^6-2 Contrainte normale et contrainte tangentielle :On dfinit les contraintes normales et tangentielles respectivement la projection de ( ) n M C, sur la normalen, et la projection de ( ) n M C, sur le plan de l'lment de surface dS. (Figure 1.4) : ( ) t n n M C + , : Contrainte normale. : Contraintes tangentielle.n : Vecteur normal llment de surface.t : Vecteur tangent a l'lment de surface.7- Sollicitations simples et composes :Unesollicitationestditesimplesi letorseurdecohsioncomprendune seulecomposante non nulle (Torsionparexemple)etunesollicitationestdite composesi letorseur decohsioncomprendplusieurssollicitationssimples (Traction + flexion par exemple).Le tableau 1.1 regroupe les sollicitations simples les plus courantes.Sollicitation Torseur de cohsion Sollicitation Torseur de cohsionRsistance des matriaux 10 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-2007Traction/CompressionGN)'0 00 00 TorsionGtM)'0 00 00Cisaillement (selon (G,y))GyT)'0 000 0 Flexion pur (selon (G,Y))GfyM)'0 000 0Tableau 1.1EXERCICE DAPLICATION :Soit le guidage en rotation de la roue de guidage dun systme automatis detransportdepersonnes(figure1). Onsouhaitedterminerleseffortsde cohsiondanslarbre2dontlagomtrieestreprsenteendtail dans(la figure 2).Figure 1Larbre2estenliaisonencastrementaveclesupportdeguidage4. Une tude statique a permis de dterminer les actions mcaniques qui lui sont appliques :Unit : les efforts en Newtons etles longueurs en millimtresActions des roulements R1 et R2 en P1 et P2 :( ){ }( ) z y x PR , , 12 10 49000 2300 0)'et( ){ }( ) z y x PR , , 22 20 11400 600 0)'Action de lcrou 1 en T :( ){ }( ) z y x T , ,2 10 00 00 6730)'Action de lentretoise 3 en F : ( ){ }( ) z y x F , ,2 30 00 2300 6430)'Rsistance des matriaux 11 Introduction la RDMSET MAHDIAA.U : 2006-2007Action de support 4 en E :( ){ }( ) z y x E , ,2 430820 6040650240 2900 300)' Figure 21-Dterminer dans ( ) z y x , , et en fonction de labscisse x, les variations des composantes du torseur de cohsion le long de larbre.2-Tracer les diagrammes correspondants.Rsistance des matriaux 12 Introduction la RDMSET MAHDIA A.U : 2006-2007Chapitre 2LA TRACTION SIMPLE Objectifs : Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la traction. Dterminer les conditions de rsistance et de rigidit d'une poutre sollicite traction. Dimensionner une poutre sollicite la traction.Prrequis : Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.Elments de contenu :1- Dfinition.2- Essai de traction.3- Etude des dformations.4- Etude des contraintes.5- Relation Contrainte - Dformation.6- Caractristiques mcaniques dun matriau.7- Condition de rsistance en traction.8- Condition de rigidit en traction.9- Concentration de contrainte.Rsistance des matriaux 13 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007LA TRACTION SIMPLE1-Dfinition :Unepoutreestsollicitelextensionsimplesi elleestsoumisedeux forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une rsultante porte par la normale cette section. (Figure 2.1){ }GGG cohNN)')'000000 Figure 2.12-Essai de traction2-1 Principe:Lessai detractionest lessai mcaniqueleplus classique. Il consiste exercer sur une prouvette normalise deux efforts directement opposs croissants qui vont ladformerprogressivement puis la rompre en vue de dterminer quelques caractristiques du matriau de lprouvette. (Figure2.2) Figure 2.22-2 Diagramme effort_dformation.La dformation se passe en deux phases (figure2.3) :Rsistance des matriaux 14 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007-Phase OA : phase lastique o la dformation est rversible et lallongementestproportionnel la charge. On dit que lprouvette dans le domaine lastique.Phase ABC : phase plastique ou la dformation est permanente. Lallongement nest plus proportionnel la charge. On dit que lprouvette est dans le domaine plastique. Figure 2.33- Etude des dformationsAllongement :0L L L Allongement relatif : 0LLe ; 100 %0LLeDformation selon x :[ ] ( ) e LnLLLn LnL LnL LnLLdLLLLLxo+ 1000Dansledomainelastique0LLex ; (( ) + 1 Lnsitend vers 0)La dformation longitudinale saccompagne dune dformation de contraction transversale tel que : x y etx z (Figure 2.4) : Coefficient de poisson et 3 . 0 pour les aciers.Figure 2.44- Etudes des contraintes :Le vecteurCse rduit une contrainte normale la section et repartie uniformment sur toute la section :x C (figure 2.5)Rsistance des matriaux 15 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007Dautre partdSdNxdSdNdSN d dSF dCSNS S S SdS dS dN NN en [N] ; S en [mm2] et en [MPa]Pour une poutre, de section S, sollicit la traction simple la valeur de la contraintenormaleestgaleaurapport de leffort normal N par la section S. Figure 2.55- Relation contrainte_dformation :Dans la premire portion de la courbe(Zone OA),ily aproportionnalit entrelachargeetladformation. Laloi deHooketraduit cettelinarit : E E est le module dlasticit longitudinale ou module dYoung exprim en [MPa], (voir tableau N1).L K LLESFLLESFE avec LESK K dfinit la rigidit en traction de la poutre exprime en [N/mm].6- Caractristiques mcaniques dun matriau.ChargelalimitelastiqueFe. Il lui correspondlavaleurde0ReSFe : contrainte la limite lastique ou limite lastique (voir tableau 2.2)Charge de rupture Fr : Il lui correspond la valeur de0SFrRr : contrainte la rupture ou rsistance la rupture.Module dYoung E, tel que. E Rsistance des matriaux 16 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007Allongement en % aprs rupture : 100 %00L L LuA Lu longueur de la poutre aprs rupture.Striction : 100 %00S S SuS7- Condition de rsistance en traction :Pour des raisons de scurit la contraintedoitresterinfrieureunevaleurlimite appel contrainte pratique lextension, en adoptant un coefficient s appel coefficient de scurit tel quesRe Rpe, s dpend de lapplication. (Tableau2.1) et(Tableau2.2)Do la condition de rsistance dune pice en traction : Rpe Tableau2.1 Tableau2.28- Condition de rigidit :Pour des raisons fonctionnelles, il est parfois important de limiter lallongement. Il doit rester infrieur une valeurL limDo la condition de rigidit dune pice en traction : limLESFL Rsistance des matriaux 17 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-20079- Concentration de contraintesSi lesolideprsentedesvariationsbrusquesdesection, dansunezone proche de ces variations, la rpartition des contraintes nest plus uniforme. Il y a concentration de contrainte. La contrainte maximale est : nomtK max Kt est appel coefficient de concentration de contrainte de traction.nom : Contrainte normale nominale (SNnom )Kt est fonction de la forme de la pice (circulaire ou plane) et de la nature du changement de section (paulement, gorge, alsage, etc.) (figure 2.6).Pour un filetage ISO triangulaire Kt=2.5 au fond des filets.Kt est donn par des abaques. (figure 2.7)Figure 2.6Rsistance des matriaux 18 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007Figure 2.7EXERCICE N1 Vrification dun tirant :Un profil IPN, sert de chemin de roulement pour un palan. Il est suspendu par 3 tirants de 10mm et de longueur 400mm. Ces tirantssontenaciersdersistancelastique Re=240MPa, demodule dYoung :E=2.105Mpa. Rsistance des matriaux 19 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007Le coefficient de scurit est : s=8 (appareil de levage). Le tirant le plus charg supporteunechargeverticalede600N. Lallongement nedoit pas dpasser 0.5mm.1 Vrifier que cetirant peut supporter cettechargedans des conditions satisfaisantes de scurit.2 Vrifier que lallongement reste acceptable.EXERCICE N2Vrification dune biellette :La biellette reprsente ci_contre est soumise une traction (N F 20000 ).1 Calculer les contraintes dans les sections (S1) et (S2).EXERCICEN3Suite de lexercice du chapitre 1.On se propose de soumettre larbre 2 une traction de F= 150000 N. Sachant que cette dernire est en acier de rsistance lastique Re = 295 MPa et de coefficient de scurit s = 3 :-Calculer les contraintes dans les sections (S1) et (S2).Vrifier si cet arbre peut supporter cette charge dans les conditions satisfaisantes de scurit.Figure de larbre 2Rsistance des matriaux 20 la traction simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007Chapitre 3LA COMPRESSION SIMPLE Objectifs : Dterminer la rpartition des contraintes dans la section d'une poutre sollicite la traction. Dterminerlesconditions dersistanceetderigiditd'unepoutre sollicite traction. Dimensionner une poutre sollicite la traction.Prrequis : Hypothses de la RDM. Torseur de cohsion. Vecteur contrainte.Elments de contenu :1- Dfinition.2- Etude des contraintes.3- Etude des dformations.4- Condition de rsistance en compression.Rsistance des matriaux 19la compression simpleSET MAHDIA A.U : 2006-2007LA COMPRESSION SIMPLE1-Dfinition :Unepoutreestsollicitelextensionsimplesi elleestsoumise deux forces directement opposes qui tendent lallonger ou si le torseur de cohsion peut se rduire en G, barycentre de la section droite S, une rsultante ngative porte par la normale cette section. (Figure 3.1) { }0000000)')'NNNGGG cohFigure 2.1Hypothse:Le solide est idal: matriau homogne, isotrope, poutre rectiligne et de section constante, de forme voisine du carr (b