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Classes préparatoires ICAM

RESISTANCE

DES

MATERIAUX

Christophe MARCHAND

ICAM NANTES

Introduction à la RDM Ch. MARCHAND ICAN NANTES

Introduction à la résistance des matériaux

Rappels de statique

1. Principe fondamental de la statique (P.F.S.)

Si on isole un élément ou un ensemble d’éléments, la somme des forces extérieures et la

somme des moments auxquels il est soumis sont nulles.

0,0

ASFext ce qui donne les équations d’équilibre : 0 SextF et 0

SFextM

2. Exemple

Soit une poutre soumise à un certain nombre de charge, et en appui sur deux points.

d(OA)=2m

d(OB)=3m p : poids propre de la poutre : 100N/m

d(OC)=4m F1 : Charge ponctuelle de 2000N

Après avoir isolé la barre, déterminons les actions aux appuis O et C.

Théorème de la résultante statique sur y : -F1-(p.d(OC))+FO+FC=0

Théorème du moment statique sur z en O : -d(OB).F1-d(OA).(p.d(OC))+d(OC).FC = 0

On en déduit : FC = 1700N

FO = 700N

x y

A B O C

p F1

Torseur des forces de cohésion Ch. MARCHAND ICAM NANTES

Chapitre 1

Torseur des forces de cohésion

1. Existence de sollicitations internes.

Soit un solide S en équilibre sous l’action de n forces et moments, et d’un certain

nombre d’appuis.

Supposons que l’on scie le solide suivant une section droite

S est partagé en deux solides S1 et S2. En général, il n’y a plus équilibre après sciage.

En effet, le sciage fait disparaître des forces internes, dites de cohésion, qui s’exercent

de S1 sur S2 à la coupure .

2. Calcul des éléments de réduction du torseur des forces de cohésions.

Soit A un point de .

Après sciage suivant , le point A devient A1 sur la partie S1, et A2 sur la partie S2.

Déterminons les conditions d’équilibre de chacun des solides S1 et S2

0,0

ASFext

Soit : ASFext 1 La partie de forces extérieures appliquées sur S1

Soit : ASFext 2 La partie de forces extérieures appliquées sur S2

En appliquant le PFS,

ASFext 1 + ASFext 2 = 0,0

ASFext

Equilibre de S1

Une fois le solide S découpé, l’équilibre de S1 implique que S1 soit soumis à un

torseur représentant l’action de S2 sur S1 noté ASS 12

L’application du PFS nous donne : ASS 12 + 0,01

ASFext

On peut donc déduire que : ASS 12 = - ASFext 1

On appelle ASS 12 torseur des forces de cohésion en A sur la section .

S1 S2 S

S1 A1 S2

A2


Remarques :

o La valeur des éléments de réduction dépend de la position de la section et

du point A.

o La valeur des éléments de réduction au point A2 de S1→S2 est égale à

l’opposée de la valeur des éléments de réduction au point A1 de S2→S1.

(Actions réciproques.)

ASS 12 =- ASS 21

3. Application aux poutres. a. Définition

Les poutres sont des solides dont deux des dimensions sont petites par rapport

à la troisième.

On obtient une poutre en prenant une surface plane et en faisant décrire à son

centre de gravité G une courbe G0G1, le plan de la surface restant normal à

G0G1.

On appelle une section droite de la poutre

On appelle G0G1 la ligne moyenne de la poutre.

b. Poutres droites.

i. Choix d’un système d’axes.

ii. Torseur des forces de cohésion

Les éléments de réduction seront déterminés au centre de gravité d’une

section droite d’une coupure fictive d’abscisse x.

On écrira les actions extérieures appliquées sur la partie gauche de la

section considérée.

G0

G1

x

z

y


4. Typologie des sollicitations, TFC associé.

L’écriture générale du TFC est de la forme

GMfzTzMfyTyMtxNx

si x est la direction principale

de la poutre.

a. Sollicitations simples

i. Traction compression simple.

Le TFC est de la forme :

G

Nx

00000

Les sections appuient les unes sur les autres.

ii. Cisaillement simple.


G

Ty

00000

ou bien

GTzTy

0000

si l’effort tranchant

n’est pas sur une direction principale.

Les sections glissent les unes sur les autres.

iii. Torsion simple.


G

Mtx

0000

0

Les sections tournent les unes par rapport aux autres.

iv. Flexion pure.


GMfz

00000

Les sections basculent les unes par rapport aux autres.

v. Flexion plane simple.


GMfz

Ty

0

0

00

Idem + effort tranchant en y.

vi. Flexion plane.


GMfz

TyNx

000

Idem + traction compression.

b. Sollicitations composées.

Toutes ces sollicitations peuvent êtres composées. On peut dissocier les

différentes sollicitations en écrivant qu’un TFC de la forme

GMfzTzMfyTyMtxNx

est une somme de torseurs de sollicitations simples.

Toutes les sollicitations du paragraphe 4.a. sont étudiées en PT, les

autres le seront en cycle ingénieur.


5. Relation entre effort tranchant et moment fléchissant. Définition :

o On appelle effort tranchant les actions normales à la direction de la section.

o On appelle moment fléchissant les moments normaux à la direction de la

poutre.

Considérons une poutre chargée et soumise à son propre poids :

Etudions un élément (« tranche ») de poutre.

En G : GTFC =G

G

G

MR

=

G

G

TzMTy

Nx

En I :

I

pdx

00000

soit en G :

G

pdxpdx

2²

0

000

En G1 : - 1GTFC =-

11

1

GG

G

MR

=

11

11

1

G

G

TzMTy

Nx

en G :

G

G

TzzdxTyydxTzMTy

Nx

1

1111

1

Appliquons le PFS en G :

00

0

1

1

1

TzTzpdxTyTy

NxNx

02

²0

0

11

11

1

pdxdxTMM

dxTMMMM

yGzGz

zGyGyGxGx

Or, 1GGG MMMd

ce qui permet de mettre les équations de moment sous la

forme :

02

²0

0

1

1

pdxdxTydM

dxTzdMdM

z

y

x

G

GG

d’où :

2²

0

1

1

pdxdxTydM

dxTzdMdM

z

y

x

G

GG

Si dx très petit, dx² est négligeable, ce qui permet d’écrire :

1

1

Tydx

dMfdx

dM

Tzdx

dMfdx

dM

zz

yy

G

G

Ces relations permettent de vérifier très rapidement la cohérence des calculs de

torseur des forces de cohésion.

x

z

y

A1 A2

F1 F2

G1 G I

p


Chapitre 2

CONTRAINTE

1. But et hypothèses générales de la RDM

1.1. – but de la RdM :

La RDM est la science qui vise à la détermination rationnelle des pièces de machine ou

d’ouvrage (plus généralement de construction).

La RDM doit assurer d’une part, la sécurité des constructions et d’autre part, permettre de

réaliser des constructions économiques.

Les buts de la RDM seront donc :

de déterminer les sections d’une pièce permettant d’assurer sa résistance en

fonction :

- des actions mécaniques extérieures

- des caractéristiques du matériau (rôle des essais mécaniques)

de déterminer les déformations d’une pièce en tenant compte :

- de sa forme,

- des actions mécaniques extérieures

- des caractéristiques du matériau.

Par exemple : la déformation des ponts est réglementée, et c’est souvent cette condition qui

est prépondérante par rapport à la condition de résistance

1.2. Hypothèses générales de la RDM

Les matériaux sont supposés :

- homogènes (même caractéristiques quelque soit le point de la pièce)

- isotropes (en un point donné mêmes caractéristiques dans toutes les

directions)

Exemple : le bois est homogène mais non isotrope (problème fibrage), ainsi que les

pièces forgées et les matériaux «composite »

Attention :

Pour la RDM l’homogénéité n’est envisagée qu’en terme de caractéristiques

mécaniques, sinon à l’échelle atomique (ou plus) les matériaux ne sont pas

homogènes.

Les forces intérieures sont appliquées progressivement de 0 jusqu’à leur valeurs

finales (pas de variations brusques, ni chocs)

Hypothèse de BARRE de SAINT-VENANT

Les résultats de la RDM ne s’appliquent valablement qu’à une certaine distance de la

région d’application des forces concentrées. (Distance supérieure à 1 fois la plus grande

dimension transversale), de plus l’état des sollicitations ne dépend que du torseur des forces

de cohésion. C’est à dire que l’on pourra remplacer un chargement par un autre chargement

donnant le même TFC.


Hypothèse de NAVIER-BERNOULLI

Les sections planes normales à la ligne moyenne avant chargement demeurent planes

et normales à la ligne moyenne après chargement.

(S’applique bien à la flexion de poutre élancée, à la traction, à la compression et à la

torsion des poutres de section circulaire. Pour les autres cas, après déformation, la section

devient gauche.)

2.Notion de contrainte

Soit un solide S.

Soit une section plane Σ coupant le solide (S) en deux parties : (S1) à gauche (S2) à

droite.

Soit M un point quelconque de cette surface.

Considérons une petite surface dS de cette section entourant le point M, et n la

normale à Σ en M orientée vers l’extérieur de S1.

Les forces extérieures appliquées sur la surface dS sont dF2→1

On appelle vecteur contrainte en M, relativement à la surface élémentaire dS,

orientée par la normale n le vecteur noté C(M,n) tel que :

dSFdC

dSnM

12

0),( lim

, C(M,n) est exprimée en Pascal (N/m²) ou en MPa (N/mm²)

C(M,n) peut être décomposé en deux vecteurs :

o un vecteur normal à la section noté .n appelé contrainte normale

sur la section ,

o Un vecteur tangent à la section noté .t appelé contrainte

tangentielle sur la section

C(M,n) = .n + .t

Expression des éléments du torseur des forces de cohésion

D’après la définition de la contrainte dF21 = C(M, n).dS

Donc

G

G

G

GG

G

dSnMCGMM

dSnMCR

M

RTFC

),(

),(

S S1 S2

S1

C(M,n) .t

.n

S1

dF2→1

n dS

M

Essai de traction Ch. MARCHAND ICAN NANTES

Chapitre 3

Essai de traction

1. Caractéristiques de l’essai de traction.

On applique un effort de traction de valeur croissante sur une éprouvette de

dimensions normalisées (en général, la section est unitaire).

On mesure l’allongement L de l’éprouvette en fonction de l’action de traction

exercée.

On trace le graphe de l’essai où apparaissent les grandeurs caractéristiques du

matériau.

Dans toute la zone OA, si l’on arrête

d’exercer l’effort de traction, l’éprouvette

reprend sa longueur initiale :

C’est la zone élastique.

Au delà du domaine OA, après relâchement

de l’action de traction, l’éprouvette gardera

une déformation résiduelle :

C’est la zone plastique.

2. Loi de Hooke :

L’élasticité du matériau durant la période OA s’écrit :

Y = a.x ou plutôt : F = k.L.

Si on recherche à exprimer les forces par unité de surface et les allongements par

unité de longueur, il est nécessaire de poser :

S0 : section initiale de l’éprouvette,

L0 : longueur initiale de l’éprouvette.

On peut désormais écrire : 00

'LLk

SF

On note:

k’ = E, Module d’Young du matériau essayé,

(E= 200 000 MPa pour les aciers)

0LL = εx allongement relatif suivant x.

Avec ces notations, la loi de Hoocke s’écrit :

0SF = E. εx

Avec l’allongement de l’éprouvette, on constate une diminution du diamètre.

On peut donc définir εy la variation relative de rayon εy = 00

0

RR

RRR

εx et εy sont liés par la relation : εy = - ν.εx,

ν étant le coefficient de Poisson.

0.1<ν<0.5 et ν =0.3 pour les aciers

Fr Fu

Fe

Zone

élastique Zone

plastique

O

A

l(mm)

F(N)

Essai de traction Ch. MARCHAND ICAN NANTES

3. Valeurs normalisées.

Par cet essai, on quantifie les qualités d’un matériau par :

E : module d’Young

Re=0S

Fe : limite élastique exprimée en MPa (Méga Pascal)

Rr=0S

Fr : limite à la rupture exprimée en MPa (Méga Pascal)

A%=100.0

0

LLLu

Z% : 0

0100S

SS u

4. Exemple d’essai de traction

Traction-Compression Ch. MARCHAND ICAM NANTES

Chapitre 4

Traction, compression

1. Sollicitation.

Soit une poutre droite d’axe x.

Soit G un point de la ligne moyenne.

Une poutre est sollicitée en traction-compression si le torseur des forces de cohésion

qui s’exerce sur la section droite en G s’écrit :

G

G

NxTFC

00000

2. Hypothèses

Dans toutes les sections droites de la poutre, nous pouvons faire les hypothèses

suivantes :

la contrainte normale σx est uniformément répartie,

les contraintes tangentielles τy et τz sont nulles.

3. Relation contrainte / effort normal.

dSxdSxdSnMCN x

.),(

On peut donc écrire, en norme : SN x ,

ou bien encore : )(

)(

xS

xNx avec :

N(x), l’effort normal à la cote x

S(x) la section normale à la cote x.

4. Relation contrainte / déformation.

L’essai de traction à permis d’établir la loi de Hooke qui s’écrit : 00

.LLEE

SF ,

ΔL étant l’allongement d’une poutre de longueur initiale L0

G

G

C(M,n)


a. Effort normal constant : N(x)=constante.

G

G

NTFC

00000

et cela pour tous les points G de la ligne moyenne.

Soit Δx le déplacement d’un point G. La loi de Hooke nous permet d’écrire :

xx

ESN

x

.0

, ce qui devient : Ex

x x ou plutôt : SENx

Exxx

..

b. Effort normal non constant.

Ce cas ne sera étudié que sur un exemple.

Exemple d’une poutre soumise à son propre poids.

En appliquant le PFS, on peut écrire en O : xpLF

0

Soit G, placé sur la ligne neutre à la cote x.

G

G

pxpLTFC

00000

Soit Δx le déplacement du point G d’abscisse x.

Soit une tranche de poutre d’épaisseur dx.

Si lorsque l’on considère x grand, N(x) varie, pour dx petit,

N(x) peut être considéré comme constante.

dxSE

xNdu

)(

En superposant les tranches d’épaisseur

Soit du l’allongement de la tranche d’épaisseur dx.

SExN

dxdu )( ce qui permet d’écrire : dx, on montre que :

x

dux

0

d’où : x xx

dxxLpSE

NdxSE

dxSENx

0 00

)(11

xxppLx

SEx

02²1

Si x=0, Δx=0

Si x=x )2²( xLx

SEp

x

Si x=L SE

pLLL

SE

px

2

²)

2

²²(

G

x

O

G

A

x

L

N(x)

N(x)

dx


5. Condition de résistance.

Pour une section donnée à une abscisse définie, on a montré : )(

)(

xS

xNx

L’essai de traction détermine ReSNee

Il y a résistance à la traction si σ < σe=Re

En général, on souhaite σ < PeRsRe , s étant le coefficient de sécurité (avec s>1), et

RPe la résistance pratique à l’extension..

6. Concentration de contrainte.

L’hypothèse de la distribution uniforme des contraintes sur une section droite est une

idéalisation de la réalité. Cette hypothèse est souvent vérifiée pour des sections

ordinaires, mais l’est rarement si la section droite subie des variations géométriques.

Exemples :

Pour garantir la sécurité d’usage, on adopte un coefficient de concentration de

contrainte k tel que : σMax = k.σThéorique, avec σThéorique = SN (S : section à l’endroit de

la singularité).

Le coefficient de concentration de contrainte k est donné pour chaque cas par des

courbes (cf au dos un extrait du « Guide du dessinateur, les concentrations de

contraintes » édité par le CETIM)

Cisaillement Ch. MARCHAND ICAM NANTES

Chapitre 5

Le cisaillement

1. Sollicitation.



Une poutre est sollicitée en cisaillement si le torseur des forces de cohésion qui

s’exerce sur la section droite en G s’écrit :

G

G TyTFC

00000

ou bien

G

G

TzTyTFC

0000

2. Hypothèses


suivantes :

Les déformations restent faibles,

Une section droite avant déformation reste droite après déformation : Les

sections glissent les unes sur les autres (jeu de cartes).

3. Relation contrainte / effort tranchant.

Etudions plus en détail le torseur des forces de cohésions :

dSCMG

dSCTyTFC

nM

nM

G

G),(

),(

00000

avec t.n.C )n,M(

L’écriture de la résultante permet d’écrire :

0.

.

0.

dSz

TydSy

dS

La première équation peut avoir 2 solutions en σ :

σ distribuée symétriquement autour de G, mais Mz est alors non nul,

σ = 0 et la valeur du moment (=0) dans le torseur des forces de cohésion est

vérifiée.

G 0. ds , mais Mz ≠ 0

Cisaillement Ch. MARCHAND ICAM NANTES

En conclusion, on peut écrire : σ = 0 ; τz = 0 ; Ty = dSy.

En prenant pour hypothèse que τy est uniformément répartie sur la section, on peut

écrire : S

Tyy

4. Relation contrainte / déformation. Comme pour l’essai de traction, on peut effectuer un essai de cisaillement faisant

apparaître les déformations suivantes :

ACCCtg 1)(

si γ petit, tg γ ≈ γ

On pourrait observer, comme dans l’essai de traction, une variation linéaire de γ en

fonction de Ty, puis l’apparition de discontinuités.

On peut, à partir de ces constatations décrire la première partie du diagramme par

l’équation d’une droite.

Si la répartition est uniforme, Ty = τydS donc, τy = dS

Ty

Ty = Kγ donc, τy = S

K

Si S est unitaire, K/S = G, qui dépend du matériau, et qui se nomme module

d’élasticité transversal, ou module de coulomb.

Le module de Coulomb G est homogène à une contrainte (ou pression).

Les modules d’élasticité longitudinal (E) et transversal (G) sont reliés par la relation :

)1(2 EG ou est le coefficient de Poisson

On peut remarquer que les lois contraintes/déformation sont semblables :

G pour le cisaillement, et

Ex pour la traction soit :

materiau lent représenta termecontraite de termendéformatio .

5. Condition de résistance.

Il y a résistance au cisaillement si τ < Rg, Rg est la résistance au glissement.

En général, on souhaite τ < s

Rg, s étant le coefficient de sécurité.

A C

C1

γ

Ty Ty

γ CC1

Torsion Ch. MARCHAND ICAM NANTES

Chapitre 6

La torsion

1. Sollicitation.

Soit une poutre droite de section circulaire d’axe x. (On se limitera aux sections

circulaires dans l’étude de la torsion).


Une poutre est sollicitée en torsion si, en tout point G de la ligne moyenne, le torseur

des forces de cohésion qui s’exerce sur la section droite en G s’écrit :

G

G

MtTFC

0000

0

2. Hypothèses


suivantes :

Les déformations restent faibles,

Les déformations sont caractérisées par des rotations des sections les unes par

rapports aux autres (jeu de cartes).

3. Relation contrainte / moment de torsion.

Pour les mêmes raisons que pour la traction ou le cisaillement, il existe une limite de

glissement à ne pas dépasser pour ne pas obtenir un angle de torsion résiduel.

- Mtx

Mtx

α

α+dα

dx

α

γ

B

B1

G L

Mtx

O A

ρ


A partir de la figure précédente, on peut mettre en place les angles suivant :

Si est petit (hypothèse de petite déformation) :

BB1= ρ, avec ρ : rayon OA,

BB1=L γ, avec γ = τ/G (Cisaillement)

ρ = L.γ = L.τ/G On pose :

L

: angle de déformation unitaire (ramenée à l’unité de longueur).

On peut donc écrire : GGL

τ

avec :

θ : angle de déformation unitaire,

ρ : rayon du point courant,

G : module de Coulomb.

La contrainte τ n’est pas constante sur toute la section : θ et G sont constantes,

mais ρ est variable.

La contrainte est donc nulle au centre

de la poutre, et maximale à sa périphérie.

4. Relation contrainte / moment de torsion.

Dans le cas d’une sollicitation en torsion, le torseur des forces de cohésion est de la

forme : G

G

MtTFC

0000

0,

avec SSS

xdSzdSyzdSGMxMt MMM

111

or, GM d’où dSGMtS

2

avec G et θ deux constantes.

Ce qui permet d’écrire : dSGMtS

2

En posant dSIS

2

0 , on obtient : 0IGMt

I0 est le moment quadratique polaire de la section Σ.

Si on souhaite une relation entre τ et Mt, on remplace θ par

G

θ τ

GIGMt 0τ d’où

0I

Mtτ On en déduit :

vIMt

IMt

00

Max

Maxτ

G

B

B1

A B1

B

γ

O τ

z1

y1

G

M


5. Calcul d’une pièce en torsion.

5.1. Condition de résistance :

Il y a résistance au cisaillement si τ < Rg ,

Rg étant la résistance au cisaillement,

Rpg étant la résistance pratique au cisaillement.

En général, on souhaite τ < s

RgRpg , s étant le coefficient de sécurité.

5.2. Condition de déformation (ou condition de rigidité) :

On souhaite θ < θlimite. (par exemple, θlimite = 0.25°/m pour un arbre de

transmission).

limite0θ

IGMtθ

: Si θ est donné, on obtient un I0, donc un

diamètre.

5.2. Concentration de contrainte.

s

RgRpgKt τ dans le cas de sollicitations statiques

6. Calcul du moment quadratique polaire d’une section.

Soit la section ci-contre : (cas du cylindre creux)

Par définition dSI 20

dS=ρ.dβ.dρ

2

0

Re

Ri

0 ddI

4

ρ42I

Re

Ri

0

DiDe32

RiRe2

0I 4444

Remarque :

Si Ri=0 (arbre plein), 16D

D2

D32v

0I 34

La condition de résistance devient :s

Rg

16D

Mt3

dS

G

Re

Ri β

Flexion Ch. MARCHAND ICAM NANTES

Chapitre 7

La flexion

1. Sollicitation.



Une poutre est sollicitée en :

Flexion pure si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des forces de

cohésion s’écrit :

G

GMfz0

0000

TFC

Flexion plane si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des forces

de cohésion s’écrit :

G

GMfz0

0Ty0Nx

TFC

Flexion plane simple si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des

forces de cohésion s’écrit :

G

GMfz0

0Ty00

TFC

Flexion déviée si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des forces

de cohésion s’écrit :

G

GMfzTzMfyTy

00TFC

Flexion composée si le TFC en tout point G de la ligne moyenne le torseur des

forces de cohésion s’écrit :

G

GMfzTzMfyTyMtxNx

TFC

Seules les poutres sollicitées en flexion plane simple seront étudiées en PT.

Les flexions déviées et composées seront étudiées en cycle ICAM.


2. Hypothèses pour l’étude de la flexion plane simple


suivantes :

Les sections droites de la poutre possèdent une symétrie d’axe (O,y)

Les sections normales à la ligne moyenne avant déformation restent normales à

la ligne moyenne après déformation.

Les déformations sont faibles par rapport aux dimensions de la poutre.

La ligne moyenne ne subit aucune variation de longueur. On l’appelle fibre

neutre.

La mise en place de ces hypothèses met en évidence que :

Les couches situées au-dessus de la ligne moyenne s’allongent (Traction)

Les couches situées au-dessous de la ligne moyenne se rétractent

(Compression).

3. Relation contrainte / déformation.

Soit une poutre d’axe (O,x) sur 2 appuis et sollicitée en flexion plane simple.

Soit v(x) la déformée

(Equation de la ligne moyenne déformée)

Soit θ(x) : l’angle de déformation de la ligne moyenne

dx

)x(dv)x(

On peut écrire : _OG = x.x, _GG1 = v(x).y

Soit un point P de la section passant par G tel que _GP = y.y

Avant déformation : Après déformation :

Mfz

θ(x)

G

G1

O

G

P

dx

P1

dθ

θ

P2


La déformation déplace P en P2, et on peut écrire : _PP2 = _PP1 + _P1P2

_PP1 = v(x).y ; et _P1P2 = -y.dθ . x

D’où : _PP2 = v(x).y - -y.dθ . x

La composante suivant y est la déformée (v(x)) et la composante suivant x est due à la

compression (-ydθ).

S’il y a compression, on peut écrire la loi de Hooke : xx εσ E avec llxε

Pour un élément de poutre de longueur dx, dx

ydxε .

D’où dxdyExσ Or,

dx

))x(v(d)x(θ

ce qui permet d’établir:dx

))x(v(dyE

2

2

xσ

4. Relation contrainte / sollicitation.

Soit une section droite d’abscisse x.

Soit G le centre de gravité de cette section.

Dans le cas de la flexion plane simple, le torseur des forces de cohésion est de la

forme :

G

G MfzRTFC

, et la contrainte £peut s’écrire y.x.)x,G(C yx τσ , avec

dx

)d(v(x)yEx

2

2

Etudions les composantes du TFC :

o Etude de la résultante.

dS)y.(dS)x.(dS)y.x.(dSCR

S

y

S

x

S

yx

S

)x,G( τστσ

0dSdx

)d(v(x)yEdS)x.(

S2

2

S

xσ

si G centre de la section.

y.TdS)y.(R y

S

yτ

o Etude du moment.

Soit M, point de la section et centre d’un élément de surface dS. Le point

M est aussi le point d’application de la contrainte unitaire £C(M,n)

Au point G, centre de gravité de la section, on peut écrire :

S

)n,M(

S

dS)y.yx.x()z.zy.y(dSCGMz.Mfz τσ

dS)yz(y.zdS)xz(x.zdS)xy(x.yz.Mfz

SS S

τσσ

SS S

dS..x.y.zdS.y.x.zdS.z.x.yz.Mfz τσσ

G


Or, 0dS.y.x.z

S

σ

et 0dS.x.y.z

S

τ

. En effet, sur la section, pour chaque

élément de surface d’abscisse z, il existe un élément de surface d’abscisse –

z.

Donc, S

dS.z.x.yz.Mfz σ .

Or, dx

d(v(x))y.Ex

2

2

σ d’où dSdx

d(v(x))yEMfz

2

2

S

2

Cependant, dans une section donnée, dx

d(v(x))2

2

a une valeur constante, ce

qui permet d’écrire :

S

22

d(v(x))2dSy

dxEMfz .

On appelle Gz

S

2 IdSy , moment quadratique de la section par rapport à

(G,z).

IGz dépend de la forme de la section, et on écrit :

dx

d(v(x))EIMfz

2

2

Gz

o Remarques

Gz2

2

EIMfz

dx

d(v(x))

GzI

y.Mfzxσ

dSyI

S

2Gz

dSzI

S

2Gy IGz et IGy sont des caractéristiques données par les

constructeurs de profilés.

z -z

y


5. Calcul de la déformée.

A partir de l’équation obtenue précédemment, Gz2

2

EIMfz

dx

d(v(x)) et après avoir calculer

Mfz, il suffit, pour connaître l’équation de la déformée, d’intégrer 2 fois sans oublier

les constantes que l’on déterminera grâce aux conditions aux limites.

Exemple de calcul de déformée :

Soit une poutre de longueur x en encastrement, et soumise à une force £F à son

extrémité.

_OA = l.x

Sur le segment [OA[, Mfz = F(x-l)

Or, dx

d(v(x))IE

)lx(FIE

Mfz2

2

GzGz

1x2

GzCxl

2IEF

dx))x(v(d

21

23

GzCxC

2xl

6x

IEF)x(v

En O, liaison encastrement v(0)=0 et v’(0)=0

C1 = C2 = 0

D’où

2xl

6x

IEF)x(v

23

Gz

6. Condition de résistance

Il y a résistance à la flexion si σMax < Re = σe.

En général, on souhaite σMax < s

Re , s étant le coefficient de sécurité.

De plus, il existe une sollicitation en traction/compression qui doit être limitée :

seττ

sReMax , s étant le coefficient de sécurité.

O A

£

F

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