Module 07 Resistance Des Materiaux

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OFPPT

ROYAUME DU MAROC

MODULE N3 : RESISTANCE DES MATERIAUX

SECTEUR : CONSTRUCTION METALLIQUE

SPECIALITE : TSBECM

NIVEAU : TECHNICIEN SPECIALISE

Office de la Formation Professionnelle et de la Promotion du Travail DIRECTION RECHERCHE ET INGENIERIE DE FORMATION

RESUME THEORIQUE&

GUIDE DE TRAVAUX PRATIQUES

Rsum de Thorie et Guide de travaux pratique RESISTANCE DES MATERIAUX

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1

Document labor par :

Nom et prnom EFP DR MIFDAL Abderrahim ISTA GM DRGC

et complt par lquipe du CDC Gnie Mcanique Rvision linguistique - - - Validation - - -


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SOMMAIRE

Page Prsentation du module 7 Rsum de thorie

I. Gnralits 9 I.1. Introduction et Hypothses I.2. Sollicitations simples I.3. Notion de contraintes

II. Traction Simple 16

II.1. Essai de traction II.2. Dformations Elastiques II.3. Contraintes Normales II.4. Loi de HOOKE II.5. Condition de rsistances

II.7. Concentration de contraintes III. Cisaillement 21

III.1. Rappels III.2. Essai de cisaillement III.3. Dformations Elastiques III.4. Contraintes Tangentielles III.5. Loi de HOOKE III.6. Condition de rsistances

IV. Moments Statiques et Quadratiques 26 IV.1. Moments Quadratiques IV.2. Thorme de Huyghens IV.3. Moments Statiques

V. Flexion Plane Simple 29 V.1. Rappels

V.2 Modlisation des forces Extrieures V.3 Modlisation des liaisons (Appuis) V.4 Equilibre Isostatique et Hyperstatique V.5 Efforts tranchants et moments Flchissants V.6 Etude des Contraintes V.7. Etude de la dforme

VI. Torsion simple 40 VI.1 Rappels


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VI.2. Essai de torsion VI.3. Dformations Elastiques VI.4. Etude des Contraintes VI.5. Condition de rsistance VI.6. Concentration de contraintes

FLEXION DVIE 44 POUTRES NON SYMETRIQUES 50 SOLLICITATIONS COMPOSES

53

Guide de travaux pratique I. TD Traction : 61

I.1.TD1 : Remorquage dun vhicule en panne I.2.TD2 : cas dune enveloppe cylindrique mince

II. TD : Cisaillement 71 II.1 TD1 : Calcul du nombre de rivets

II.2. TD2 Calcul des assemblages mcano souds

III. TD : Flexion plane simple 73 Etude dune poutre en flexion

IV. TD :Torsion Simple 75 TD1 : Dtermination du diamtre dun arbre de transmission

Evaluation de fin de module 76 Liste bibliographique 81


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MODULE : RESISTANCE DES MATERIAUX

Dure :72 H

60% : thorique 37% : pratique

OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU DE COMPORTEMENT

COMPORTEMENT ATTENDU Pour dmontrer sa comptence, le stagiaire doit appliquer des notions de rsistance des matriaux, selon les conditions, les critres et les prcisions qui suivent

CONDITIONS DEVALUATION

Travail individuel partir :

- de plan, de croquis et des donnes; - dun cahier des charges ; - des documents et donnes techniques ; - de maquettes et pices existantes ; - de consignes et directives - des tudes de cas - dun systme mcanique

laide :

- dune calculatrice (ventuellement un logiciel de calcul) - de formulaires, abaques et diagrammes

CRITERES GENERAUX DE PERFORMANCE

Dmarche mthodique de travail Prcision et exactitude des calculs Respect des hypothses et principes de la RDM Respect du cahier des charges et les contraintes de fonctionnement Analyse de la valeur Argumentation et justification des diffrents choix Traabilit du travail et notes de calculs


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OBJECTIF OPERATIONNEL DE PREMIER NIVEAU

DE COMPORTEMENT

PRECISIONS SUR LE COMPORTEMENT ATTENDU

CRITERES PARTICULIERS DE

PERFORMANCE A. Dfinir et calculer les contraintes

simples dans une poutre isostatique soumise des efforts coplanaires et dans lespace

- Interprtation correct des hypothses de RDM - Matrise du vocabulaire utilis en RDM - Choix de la mthode de travail

B. Dimensionner en statique des

composants mcaniques en tenant compte de la pression du contact

- Analyse de problme - Dimensionnement correcte et argument - Utilisation justifie des formules

C. Calculer et vrifier des lments

dassemblage rivs, visss ou souds

- Souci de scurit dans le dimensionnement - Choix de la mthode et des formules de calculs - Exactitude et prcision des calculs

D. Dimensionner et vrifier un

composant mtallique en tenant compte des dformations

- Dimensionnement correcte et argument en tenant compte des dformations

- Exactitude des calculs

E. Dimensionner et vrifier les enveloppes et solides dgale rsistance

- Analyse de problme - Exactitude des calculs - Mthode de travail


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OBJECTIFS OPERATIONNELS DE SECOND NIVEAU

Le stagiaire doit matriser les savoirs, savoir-faire, savoir percevoir ou savoir tre jugs

pralables aux apprentissages directement requis pour latteinte de lobjectif oprationnel

de premier niveau, tels que :

Avant dapprendre dfinir et calculer les contraintes simples dans une poutre isostatique soumise des efforts coplanaires et dans lespace (A) :

1. Interprter les notions et expressions courantes relatives la rsistance des matriaux 2. Respecter les hypothses fondamentales de la rsistance des matriaux 3. Classer les sollicitations en relation avec les essais mcaniques 4. Retrouver les caractristiques mcaniques dun matriau

Avant dapprendre dimensionner en statique des composants mcaniques en tenant compte de la pression du contact (B) :

5. Distinguer les types de charge et les efforts

Avant dapprendre calculer et vrifier des lments dassemblage rivts, visss ou souds (C) :

6. Se soucier de la scurit dans le dimensionnement des composants et introduire les

coefficients de scurit dans les calculs en mcanique 7. Dterminer les contraintes : normales et tangentielles 8. Dfinir la relation entre le torseur des efforts et les contraintes 9. Tenir compte dans les calculs des coefficients de concentration de contraintes

Avant dapprendre dimensionner et vrifier un composant mtallique en tenant compte des dformations (D) :

10. Dfinir la notion dlasticit 11. Etudier la relation entre le torseur des efforts et des dplacements

Avant dapprendre dimensionner et vrifier les enveloppes et solides dgale rsistance (E) :

12. Matriser les calculs de la RDM pour diffrentes sollicitations simples


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7

PRESENTATION DU MODULE

Ce module de comptence gnrale se dispense en cours de la premire anne du programme

formation. Ce module est en parallle tous les modules de comptences caractre tude et

conception. Un chevauchement avec le module sur les mathmatiques et la mcanique

applique peut tre ventuellement envisag.

DESCRIPTION

Lobjectif de ce module est de faire acqurir les outils et les principes de la rsistance des

matriaux relatifs au dimensionnement des composants et des ensembles mcaniques et

notamment des montages dusinage. Il vise surtout rendre le stagiaire responsable de ces

calculs de dimensionnement et de ses propositions pour garantir le maximum de scurit

moindre cot. Le stagiaire aussi la responsabilit dans le choix des lments mcaniques du

commerce notamment les montages modulaires qui remplissent les performances attendues

dans le montage tudi.


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Module09 : APPLICATION DES NOTIONS DE RESISTANCE

DES MATERIAUX RESUME THEORIQUE


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I. 1. INTRODUCTION ET HYPOTHESES I.1.1. Buts de la rsistance des matriaux La rsistance des matriaux a trois objectifs principaux :

la connaissance des caractristiques mcaniques des matriaux. (comportement sous leffet dune action mcanique)

l'tude de la rsistance des pices mcaniques. (rsistance ou rupture)

l'tude de la dformation des pices mcaniques.

Ces tudes permettent de choisir le matriau et les dimensions d'une pice mcanique en fonction des conditions de dformation et de rsistance requises.

I.1.2. Hypothses a.. Le matriau

Continuit : la matire est suppose continue car son aspect molculaire est trop "fin" pour l'tude qui nous intresse.

Homognit : on supposera que tous les lments de la matire, aussi petits soient ils, sont identiques. (hypothse non applicable pour le bton ou le bois)

Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matire a les mmes proprits mcaniques. (hypothse non applicable pour le bois ou les matriaux composites)

b. Notion de Poutre

La RDM tudie des pices dont les formes sont relativement simples. Ces pices sont dsignes sous le terme de poutres .

Poutre : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendr par une surface plane (S) dont le centre de surface G dcrit une courbe plane (C) appele ligne moyenne.

Les caractristiques de la poutre sont :

ligne moyenne droite ou grand rayon de courbure. section droite (S) constante ou variant progressivement. grande longueur par rapport aux dimensions transversales. (en gnral 10

fois) existence d'un plan de symtrie.


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10

G

G

G

(C) Ligne moyenne

(S)

c.. Les forces extrieures

Plan de symtrie : les forces extrieures seront situes dans le plan de symtrie de la poutre ou alors disposes symtriquement par rapport ce plan.

Types d'actions mcaniques extrieures : deux types d'actions mcaniques peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig.) :

charges concentres ( rF1 ou moment rMC ) charges rparties p sur DE. (exprimes en N/m).

F1Mc

CA B

D E

p d.. Les dformations Les dformations tant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerant sur celle-ci

seront calcules partir du principe fondamental de la statique. Les supports des forces seront eux considrs comme constants.

O A

A'

F


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Les sections planes normales aux fibres avant

dformation demeurent planes et normales aux fibres aprs dformation.

Les rsultats obtenus par la RDM ne

s'appliquent valablement qu' une distance suffisamment loigne de la rgion d'application des efforts concentrs.

I.2. LES SOLLICITATIONS SIMPLES I.2.1. La traction simple Une poutre est sollicite la traction simple lorsqu'elle est soumise deux forces directement opposes, appliques au centre de surface des sections extrmes et qui tendent l'allonger.

A B

l

A' B'l + l

F F

0

0

O A

fig.4


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I.2.2. La compression simple Une poutre est sollicite la compression simple lorsqu'elle est soumise deux forces directement opposes, appliques au centre de surface des sections extrmes et qui tendent la raccourcir.

BBAA

G

RAA

(S)

x

y

z

R

I.2.3. Le Cisaillement : Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsqu'elle est soumise deux systmes d'action de liaison qui se rduisent dans un plan (P) perpendiculaire la ligne moyenne deux forces directement opposes

(E) (P)

F

F'

A

B Sous l'action de ces deux forces la poutre tend se sparer en deux tronons E1 et E2 glissant l'un par rapport l'autre dans le plan de section droite (P).

F

F'

E1

E2

(P)


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I.2.4. La flexion simple : Une poutre est sollicite en flexion plane simple lorsque le systme des forces extrieures se rduit un systme coplanaire et que toutes les forces sont perpendiculaires la ligne moyenne.

I.2.5. La torsion simple : Une poutre est sollicite en torsion simple lorsqu'elle est soumise ses deux extrmits des liaisons dont les efforts associs se rduisent deux couples opposs dont les moments sont parallles l'axe du cylindre. (On suppose la poutre comme cylindrique et de section circulaire constante)

O A

A'

F


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I.2.6. Le Flambage Une poutre est sollicite en flambage lorsquelle est soumise des efforts de compression dans les deux extrmits. I.3. Notion de contraintes

La contrainte normale est donne par la formule :

= NS

LF F

B y A

G N

Ty

Tz

ds R


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L Ce qu'il faut savoir : ) La contrainte est un vecteur. On utilise la plupart du temps ses projections appeles contraintes normale et tangentielle. L'unit de la contrainte est le rapport d'une force par une unit de surface (N/mm2, MPa).

) On peut dire en simplifiant, qu'une contrainte est une force intrieure applique l'unit de surface au point donn de la section donne. On pourra parler de densit de force par unit de surface.

) La contrainte est dfinie pour un solide idal (Hypothses de la RdM). En ralit, les matriaux ne sont pas parfaitement homognes. Les joints de grains prsents dans tous les alliages industriels crent des htrognits de structure et de composition. Nanmoins, les calculs raliss avec un milieu suppos continu donnent des rsultats proches de la ralit.

Pour en savoir plus.

A quoi sert le calcul des contraintes ?

Exprimentalement, on a dfini pour chaque matriau une contrainte limite admissible au-del de laquelle la pice subit des dtriorations de ses caractristiques mcaniques, dimensionnelles, voire une rupture. Le calcul de rsistance des matriaux consiste vrifier que les contraintes engendres par les sollicitations extrieures ne dpassent pas la contrainte limite admissible par le matriau. Le calcul des contraintes sert valuer la tension dans la matire.

Peut-on observer une contrainte ?

Une contrainte est un outil de calcul, on ne peut pas l'observer directement, par contre on peut observer ses effets : tudes des dformations, tudes de la cassure, photolasticit. A l'aide des trois mthodes prcdentes, on peut valuer les contraintes dans un matriau mais cela reste moins prcis qu'un calcul de RdM l'aide d'un logiciel de calcul par lments finis.

Quels sont les paramtres qui influencent les contraintes ?

Nous avons vu prcdemment que la contrainte est le rapport d'une force par une surface. Les paramtres qui influencent directement une contrainte sont : les sollicitations, la section de la poutre.

Module 09 : APPLICATION DES NOTRIONS DE RESISTANCE DES

MATERIAUX TSMFM

OFPPT Chapitre II : TRACTION SIMPLE Page 16

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16

II.1. Essai de traction II.1.1. Dfinition Une prouvette normalise en acier est sollicite la traction par une machine d'essai, qui permet de dterminer l'allongement de l'prouvette en fonction de l'effort qui lui est appliqu. II.1.2. But Cet essai permet de dterminer certaines caractristiques mcaniques essentielles des matriaux. II.1.3. Eprouvette Lprouvette est en gnral un barreau cylindrique rectifi termin par deux t^tes cylindriques. La partie mdiane a pour section So = 150mmet longueur lo = 100

A B

l

A' B'l + l

F F

0

0

II.1.4. Mode opratoire Les extrmits de lprouvette sont pinces dans les mchoires dune de traction comportant un mcanisme enregistreur (tambour et stylet). La machine fournit un effort de traction F variable dont laction sexerce jusqu la rupture de lprouvette. (La vitesse de traction est environ 10N/mm.sec. On obtient donc un diagramme reprsentant la relation de leffort F et les allongements Dl (voir fig.)

F(N)

l (mm)O

AB

C

D


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II.1.5 Analyse de la courbe obtenue

Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa longueur initiale. Dans cette zone, l'allongement est proportionnel l'effort d'extension. Des essais effectus avec des prouvettes de dimensions diffrentes permettent de constater que pour un mme matriau, l'allongement unitaire( l / l0) est proportionnel l'effort unitaire (F / S0). Les sections droites et planes de l'prouvette restent droites et planes pendant l'essai.

Zone ABCD : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.

On ne s'intressera (pour linstant) qu' la zone des dformations lastiques. II.2. Dformations lastiques La proprit constate ci-dessus a permis pour diffrents matriaux d'tablir la relation :

NS

El

l=

Units : F en Newton S en mm2

E en MPa (N/mm2)

l et l en mm.

E est une caractristique du matriau appele module d'lasticit longitudinal ou module de Young.

Matriau Fontes Aciers Cuivre Aluminium Tungstne E (MPa) 60000160000 200000 120000 70000 400000

Lors de cet essai, on met aussi en vidence une autre caractristique de llasticit ; il existe un rapport constant entre la contraction relative transversale (d / d) et l'allongement relatif longitudinal (l / l). On peut crire :

dd

ll

= Units : sans unit

d et l en mm.

est aussi une caractristique du matriau (coefficient de Poisson), il est de l'ordre de 0,3 pour les mtaux.


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II.3 Contraintes Normales Soit (E1) le tronon de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal sa ligne moyenne .

F

E1

x

y

z

G

(S)

R

R=N.x

fig.8

Le tronon (E1) est en quilibre sous l'action de F et des efforts de cohsion dans la section droite (S). Soit S l'aire de la section droite (S). On dfinit la contrainte dans la section droite (S) par la relation :

= NS

avec : contrainte normale d'extension ( > 0) en MPa. N : effort normal d'extension en Newton. S : aire de la section droite (S) en mm2. La contrainte permet de "neutraliser" la surface et par consquent de comparer des prouvettes de sections diffrentes. II.4 Loi de HOOKE

Nous avons dj vu que = NS

et que FS

E ll

= , on peut en dduire que :

= =E ll E . ll

est l'allongement lastique unitaire suivant x, il gnralement not

Units : en Mpa E en Mpa sans unit

II.4.1 Caractristiques mcaniques d'un matriau

Contrainte limite lastique en extension e C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine lastique, appele aussi limite d'lasticit Re.

loi de Hooke


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Pour l'acier, cette valeur est voisine de 300 MPa.

Contrainte limite de rupture en extension r C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'prouvette, appele aussi nomme rsistance la traction R. Pour l'acier, cette valeur est voisine de 480 MPa.

Allongement A% A l l

l% *= 0

0100

avec : l0 : longueur initiale de l'prouvette. l : longueur de l'prouvette sa rupture. Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.

II.5 Condition de rsistance Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extension pe. On a :

pe es

=

s est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domaines d'application.

La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

relle peNS

= <

II.6 Influence des variations de section Si le solide tudi prsente de fortes variations de sections, les relations prcdentes ne s'appliquent plus. On dit qu'il y a concentration de contraintes. On doit alors pondrer nos rsultats laide dun coefficient k, en posant :

max = k.

k est le coefficient de concentration de contraintes


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Exemples de cas de concentration de contrainte :


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OFPPT Chapitre III : CISAILLEMENT Page 21

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III.1. RAPPELS Une poutre subit une sollicitation de cisaillement simple lorsqu'elle est soumise deux systmes d'action de liaison qui se rduisent dans un plan (P) perpendiculaire la ligne moyenne deux forces directement opposes.

(E) (P)

F

F'

A

B Sous l'action de ces deux forces la poutre tend se sparer en deux tronons E1 et E2 glissant l'un par rapport l'autre dans le plan de section droite (P).

F

F'

E1

E2

(P)

(E1) (S)

x

y

z G

T

Remarques :

on peut toujours remplacer les composantes d'effort tranchant (Ty et Tz) par une unique composante T en ralisant un changement de repre.

le cisaillement pur n'existe pas, il subsiste toujours de la flexion...

Ty

Tz T


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III.2 ESSAI DE CISAILLEMENT III.2.1. Principe : Il est physiquement impossible de raliser du cisaillement pur au sens de la dfinition prcdente. Les essais et rsultats qui suivent permettent toutefois de rendre compte des actions tangentielles dans une section droite et serviront ainsi dans le calcul de pices soumises au cisaillement. On se gardera cependant le droit d'adopter des coefficients de scurits majors pour tenir compte de l'imperfection de la modlisation. Considrons une poutre (E) parfaitement encastre et appliquons-lui un effort de cisaillement

rF

uniformment rparti dans le plan (P) de la section droite (S) distante de x du plan (S0) d'encastrement (voir fig.). On se rapproche des conditions du cisaillement rel.

F

GB

A x

(S) (S0)

x

(E1) (E2)

y

(P)

(S0)

(S)

y x

F

III..2.2. Analyse de la courbe obtenue


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F(N)

y (mm)O

A

B

C

Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa forme initiale.

Zone ABC : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa forme initiale. (dformations plastiques)

III.3 Dformations lastiques L'essai prcdent a permis pour diffrents matriaux d'tablir la relation :

FS

G yx

=

Units : F en Newton S en mm2 G en MPa y et x en mm.

G est une caractristique appele module d'lasticit transversal ou module de Coulomb.

Matriau Fontes Aciers Laiton Duralumin Plexiglas G (MPa) 40000 80000 34000 32000 11000


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III.4 Contraintes Tangentielles On dfinit la contrainte dans une section droite (S) par la relation :

= TS

Avec : : contrainte tangentielle de cisaillement en MPa (valeur moyenne). T : effort tranchant en Newton. S : aire de la section droite (S) en mm2. III.5 Loi de HOOKE

Nous avons dj vu que = TS

, que FS

G yx

= et nous savons que F=T. On en dduit que :

= =G yx

G . .

= yx

est appel glissement relatif.

III.5.1 Caractristiques mcaniques d'un matriau

Contrainte tangentielle limite lastique e ou Rpg C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine lastique. Pour l'acier, cette valeur est comprise entre 250 MPa et 600 MPa.

Contrainte tangentielle de rupture r

C'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'prouvette. III.6 Condition de rsistance Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique de cisaillement p. On a :


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p

e

s=

s est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domaines d'application. La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

r elle p

TS

= <


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OFPPT ChapitreIV : MOMENTS STATIQUES ET QUADRATIQUES Page 26

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26

IV.1 MOMENTS QUADRATIQUES IV.1.1 Moment quadratique d'une surface plane par rapport un axe de son plan Dfinition Soit (S) une surface plane et unrepre orthonorm (O,x,y) associ. Le moment quadratique lmentaire de S par rapport (O,x) , not IOx est dfini par

IOx = y2 . S

et pour l'ensemble de la surface (S) :

Iox = ( )S y2 . S

Remarques : L'unit de moment quadratique est le mm4 (ou le m4) Un moment quadratique est toujours positif. Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donns la suite du cours.

I.2 Moment quadratique d'une surface plane par rapport un axe normal. Moment quadratique polaire. Dfinition Soit (S) une surface plane et un repre orthonorm (O,

r r rx y z, , ) associ.

Le moment quadratique polaire lmentaire de S par rapport (O,rz) perpendiculaire en O au plan de la figure et not IO est dfini par : IO = 2 . S

et pour l'ensemble de la surface (S) :

Io = ( )S 2 . S

O(S)S

M

y

y

x

O (S)

S M

y

x

z


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Considrons le moment quadratique polaire IO de la surface (S) par rapport (O,

rz) perpendiculaire en O son plan.

Notons : IO = ( )S 2.S

Soient x et y les coordonnes du point M. On a : 2 = x2 + y2

On a donc : IO = ( )S 2.S =

( )S x2.S +

( )S y2.S

Soit : Moments quadratiques utiles

bh

G x

y

a

a G x

y

G x

yd

G

y dD

x

IGX IGY IG IO=

bh12

3 hb12

3 bh12

2( b + h )

2

a12

4 a12

4 a 6

4

d64

4 d64

4 d32

4

d )64

4 (D 4- d )64

4 (D 4- d )324 (D 4-

O (S)

S M

y

x

z

yx

IO = IOx + IOy


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IV.2. Thorme de Huyghens Le moment Quadratique dune surface plane par rapport un axe de son plan I est gal au moment quadratique par rapport laxe parallle passant par son centre de gravit IG , plus le produit de laire de la surface S par le carr de la distance entre les deux axes (d)

SdII G += III. MOMENT STATIQUE III.1. Moment statique d'une surface plane par rapport un axe de son plan Dfinition Soit (S) une surface plane et un repre orthonorm (O,x,y) associ. Le moment quadratique lmentaire de S par rapport (O,x) , not IOx est dfini par

dIOx = y . dS et pour l'ensemble de la surface (S) :

Iox = y . dS Remarques :

L'unit de moment quadratique est le mm3 (ou le m3) Un moment quadratique est toujours positif.

EXERCICE : Calculer le moment statique pour un rectangle

O(S)S

M

y

y

x


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OFPPT Chapitre V : FLEXION PLANE SIMPLE Page 29

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29

V.1.RAPPELS Une poutre est sollicite en flexion plane simple lorsque le systme des forces extrieures se rduit un systme coplanaire et que toutes les forces sont perpendiculaires la ligne moyenne.

V.2. MODELISATION DES FORCES EXTERIEURES 1 Contact ponctuel(sans adhrance) modle 2. Contact linique (sans adhrance)

O A

A'

F

FA FB


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Contact court a l/10 modle p sappelle le coefficient de charge (dans ce cas p est constant) p sexprime gnralement en newtons par mm (N/mm) V.3. MODELISATION DES LIAISONS Lorsquon tudie lquilibre et la dformation dune poutre droite charge de faon simple, c'est--dire dans le plan longitudinal de symtrie et perpendiculairement la ligne moyenne, la nature des liaisons mcaniques de la poutre avec le milieu extrieur intervient aussi bien dans la dtermination des sollicitations que dans ltude des dformations. Nous devons donc modliser convenablement les actions de liaisons (ou action des appuis). Nous allons modliser les liaisons proprement dites, puis donner les actions mcaniques quelles provoquent.

la

FA

A

l Corps de poids P

a

P = P/a


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1 Appui simple modle 2. Articulation cylindrique modle

A B

A B

2 3

1

A B

R2/1 R3/1

A B 2

3

1

A B

A B

R2/1 R3/1


MATERIAUX TSMFM


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3. Encastrement parfait V.4. POUTRE FLECHIE EN EQUILIBRE ISOSTATIQUE OU HYPERSTATIQUE 1 Dfinition Une poutre est en quilibre isostatique lorsque le nombre des liaisons de la poutre avec le milieu extrieur est juste suffisant pour assurer son quilibre. Une poutre est en quilibre hyperstatique lorsque le nombre de liaisons de la poutre avec le milieu extrieur est suprieur au strict ncessaire pour maintenir lquilibre. Soit P le nombre de ractions inconnues et N le nombre dquations dquilibre (lois fondamentales). Si P-N =0 lquilibre est dit isostatique Si P-N =1 lquilibre est dit hyperstatique dordre 1 Si P-N =n lquilibre est dit hyperstatique dordre n 2 Exemples 1. Poutre en quilibre sur deux appuis simples

F RB RA

A B

2

1

R2/1

A B

MR2/1


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Ractions inconnues : RA et RB donc P=2 Equations dquilibre

1. = OFext rr > RA + RB - F =0 2. 0)(

rrr = extAz F > F*d - RB*l =0 N=2 P-N=0 lquilibre de la poutre est isostatique 2. Poutre en quilibre sur trois appuis simples Ractions inconnues : RA , RB et Rc donc P=3 Equations dquilibre

1. = OFext rr > RA + RB + Rc - F = 0 2. 0)(

rrr = extAz F > F*d - RB*l Rc*a = 0 N=2 P-N=1 lquilibre de la poutre est hyperstatique dordre 1 Exeercice Quel est le type dquilibre dune poutre encastre ses deux extrmits ?

A B

R2/1 R3/1 R4/1

A BC

D

F

F C


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V.5. EFFORT TRANCHANT ET MOMENT DE FLEXION 1.Repres utiliss en RDM Considrons une poutre reposant sur deux appuis simples sans adhrence et supportant une charge F concentre en c Soit une section droite S et soit G son centre de gravit. Le repre (A,x,y,z) permet de reprer sans ambigut la section S ce repre est appel repre de position. Cest galement dans ce repre que se rsolvent les quations dquilibre de la poutre. Le repre (G,x,y,z) dorigine G, centre de gravit S considre tel que Gx soit la normale extrieur en G, permet de connatre les lments de rduction du systme de forces extrieures situes dun mme cot de S. Ce repre est appel repre de projection. 2. Effort tranchant et moment flchissant Dfinitions : Leffort tranchant Ty dans une section S de la poutre est la somme algbrique de tous les efforts

extrieurs situs gauche de S. Le moment flchissant dans Mfz est la somme algbrique des moments par rapport Gz (G est le

centre de section S) de tous les efforts extrieurs situs gauche de S Application : Etude du ca des la poutre en dessus Aprs avoir crit les quations de lquilibre dans le repre (A,x,y,z) RA = F*(1- a/l) et RB = F * a/l

S x

y

x x

y

A B

F

G

F

A B

RA RB

x

a

S

l


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1. cas ou 0 < x< a Le systme de force gauche de S se rduit RA Ty = RA Mfz = - RA * x 1. cas ou a < x< l Ty = RA - F Mfz = - RA * x + F (x-l) 3. Diagramme des efforts tranchants et moments flchissants Reprsentent les fonction Ty(x) et Mfz(x)

y

x x

y

A B

F

G

RA

RA-

Ty

- RA * a + F

Mfz


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V.6. ETUDE DES CONTRAINTES 1. Contraintes Normales et tangentielles Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se rduisent essentiellement des contraintes normales . Les contraintes de cisaillement sont ngligeables.

La contrainte normale s en un point M d'une section droite (s) est proportionnelle la distance y entre ce point et le plan moyen passant par G.

= MfIz

y.

2. Conditions de rsistance Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extension pe. On a :

pe es

=

s est un coefficient de scurit

La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

r elle iGz

i

pe

MfIy

=


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Remarque : Influence des variations de section Si le solide tudi prsente de fortes variations de sections, les relations prcdentes ne s'appliquent plus. Il faut alors appliquer un coefficient de concentration de contraintes. V.7. ETUDE DE LA DEFORMEE Cette tude permet de donner l'quation de la dforme de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est principalement bas sur la rsolution de l'quation diffrentielle suivante :

Mf E I y= . . Il faut alors procder deux intgrations successives. Les constantes d'intgration s'obtiennent grce aux conditions aux limites (appuis, encastrements...). exemple de conditions aux limites :

Appui simple y = 0

Encastrement y = 0 y' = 0

Les tableaux suivant donne les efforts tranchant et le moment flchissant et la flche pour chaque type de sollicitation


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VI.1. RAPPELS 1 Dfinition Une poutre est sollicite en torsion simple lorsqu'elle est soumise ses deux extrmits des liaisons dont les efforts associs se rduisent deux couples opposs dont les moments sont parallles l'axe du cylindre. (on suppose la poutre comme cylindrique et de section circulaire constante)

MG2G2G1MG1

G

(S)

x

y

z

R

MG1MG

G1

Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion s'expriment par :

{ }Coh sionMt

G x y z

=

00 00 0

( , , )r r r

VI. 2. Essai de torsion Un dispositif permet d'effectuer un essai de torsion sur une poutre encastre son extrmit G1 et soumise un couple de torsion son extrmit G2. Cette machine permet de tracer le graphe du moment appliqu en G2 en fonction de l'angle de rotation d'une section droite.

MG2G2G1 G

x

(S1)(S)

(S2)

M1 M M2

M'

M'2

GM

M'

On note lors de l'essai que, pour une mme valeur du moment, l'angle croit de faon linaire avec x, l'abscisse de la section droite tudie : = k.x


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MG2 (mN))

O

A

B

Analyse de la courbe obtenue

Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur du moment jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa forme initiale. Dans cette zone, l'angle de torsion est proportionnel au couple appliqu. Les sections droites et planes de l'prouvette restent droites et planes pendant l'essai.

Zone AB : c'est la zone des dformations permanentes.

L'prouvette ne retrouve pas sa forme initiale aprs dformation. VI.2 Dformations lastiques

La proprit constate ci-dessus a permis d'tablir la relation : = Mt x

G I.

. 0

Units : Mt moment de torsion en N.mm G module d'lasticit transversal en MPa en radian Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4

En dfinissant l'angle unitaire de torsion par : = / x (exprim en rad/mm), notre relation devient alors :

Mt G IO

= . .


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VI.3. Contraintes

G

(S)

x

y

z

R

MG1MG

G1

(E1)

G

(S)

MaxM

M

v

Soit M un point de la section droite (S) de la poutre situ une distance du centre G de la section (voir ci-dessus). On dfinit la contrainte de torsion en M par la relation :

M

O

MtI

=

avec : contrainte tangentielle en MPa. Mt moment de torsion en N.mm Io moment quadratique polaire de la section (S) en mm4 Contrairement aux phnomnes tudis jusqu' maintenant, la contrainte varie en fonction du point choisi dans une section droite. Plus ce point est loign du centre de la section, plus la contrainte y sera importante.

La contrainte est maximale pour = maxi , soit :

M

O

i

MtI

=

max

VI.5. Conditions de rsistance Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique p (voisine de la contrainte pratique de cisaillement). On a :


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p

e

s=

s est un coefficient de scurit. La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

r elle

O

i

p

MtI

=

Module 07 Resistance Des Materiaux

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