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Rsistance des Matriaux1

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CRISMAT-ENSICAEN 16/05/2012

IUT Mesures Physiques, Universit de Caen Basse-Normandie, Laboratoire

RESISTANCE des MATERIAUX

1. OBJET DE LA RDM, EQUILIBRES EXTERNES ET INTERNES .................. 3

1.1. Buts de la RdM ...................................................... ........................................................... ................. 3

1.2. Hypothses fondamentales de la RdM.......... ........................................................... .......................... 3

2. NOTION DE POUTRES .........................................................................................4

2.1. Gnralits ................................................... ........................................................... ........................... 4

2.2. Torseur statique de cohsion.................................. ........................................................... ................. 5

2.3. Efforts appliqus une section droite de poutre ...................................................... .......................... 6

2.4. Ractions d'appui ................................................... ........................................................... ................. 7

3. DEFORMATION DES CORPS REELS................................................................ 7

3.1. Dformations lastique et plastique .................................................... ............................................... 83.2. Allongement et allongement relatif...................................................... .............................................. 8

4. CONTRAINTES....................................................................................................... 8

4.1. Dfinition..................................................... ........................................................... ........................... 9

4.2. Sollicitations simples ....................................................... ........................................................... ....... 94.2.1. Dfinition ....................................................... ........................................................... ................. 94.2.2. Traction et Compression simple......................................... ...................................................... 104.2.3. Cisaillement simple............................................................ ...................................................... 104.2.4. Torsion simple.......................................................... ........................................................... ..... 104.2.4. Flexion plane simple pure ........................................................... ............................................. 10

5. TRACTION SIMPLE ............................................................................................ 10

5.1. Dfinition Hypothses .................................................. ........................................................... ..... 10

5.2. Bases exprimentales essai de traction uniaxiale.......... ........................................................... ..... 115.2.1. Essai de traction uniaxiale.............................. ........................................................... ............... 115.2.2. Module d'Young................................... ........................................................... ......................... 125.2.3. Limite d'lasticit ..................................................... ........................................................... ..... 135.2.4. Module d'lasticit transverse ..................................................... ............................................. 135.2.5. Zones de dformation plastique ................................................... ............................................ 13

5.3. Conditions de Rsistance des Matriaux ...................................................... ................................... 175.3.1. Situation classique........................................... ........................................................... .............. 175.3.2. Concentrations de contraintes ..................................................... ............................................. 17

6. COMPRESSION SIMPLE.................................................................................... 18


6.2. Dformations et contraintes ....................................................... ...................................................... 18

6.3. Conditions de Rsistance ........................................................... ...................................................... 18

7. CISAILLEMENT SIMPLE................................................................................... 19


7.2. Essai de cisaillement simple.................................................................................... ......................... 19

7.3. Conditions de Rsistance des Matriaux ...................................................... ................................... 20


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8. TORSION SIMPLE ............................................................................................... 21


8.2. Essai de torsion ...................................................... ........................................................... ............... 21

8.3. Contraintes tangentielles.................................................. ........................................................... ..... 23

8.4. Equation de dformation lastique, module de torsion..................................................... ............... 238.5. Contrainte maximale................. ........................................................... ............................................ 24

8.6. Condition de rsistance.................................................... ........................................................... ..... 25

8.7. Condition de rigidit ........................................................ ........................................................... ..... 25

9. FLEXION PLANE SIMPLE................................................................................. 25

9.1. Dfinition Hypothses .................................................. ........................................................... ..... 259.1.1. Les diffrents types de flexion ..................................................... ............................................ 259.1.2. Flexion plane simple .......................................................... ...................................................... 26

9.2. Equation fondamentale de la flexion .................................................. ............................................. 26

9.2.1. Essai de flexion plane simple....................................................... ............................................ 269.2.2. Relation entre T et fM ............................................................ ............................................ 27

9.2.3. Diagrammes T et fM ..................................................... ...................................................... 28

9.3. Expression des contraintes en fonction de Mf......................................................... ......................... 329.3.1. Contraintes normales.......................................................... ...................................................... 329.3.1. Contraintes tangentielles .................................................... ...................................................... 33

9.4. Contraintes maximales........................................... ........................................................... ............... 33

9.5. Conditions de rsistance .................................................. ........................................................... ..... 33

9.6. Dformations ......................................................... ........................................................... ............... 349.6.1. Dformations longitudinales ....................................................... ............................................. 349.6.2. Recherche de la courbure................................................... ...................................................... 34

10. FLAMBAGE SIMPLE.........................................................................................35

10.1. Observations ........................................................ ........................................................... ............... 35

10.2. Formule d'Euler.............................................................. ........................................................... ..... 36

10.3. Dpendence avec le type d'appui ...................................................... ............................................. 37

10.4. Conditions de rsistance .......................................................... ...................................................... 3710.4.1. Mthode d'Euler ..................................................... ........................................................... ..... 3810.4.2. Mthode Euler-Rankine ................................................... ...................................................... 3810.4.3. Mthode de Duteil.................... ........................................................... ................................... 38

11. LA FATIGUE ....................................................................................................... 39


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1. Objet de la RdM, quilibres externes et internes

1.1. Buts de la RdM

Pour quune construction remplisse son rle, il est ncessaire que:

- lquilibre externe soit assur (quilibre statique, Figure 1a): on considre alors lessolides comme indformables, et de limite lastique illimite,

- l'quilibre interne soit galement assur (Figure 1b): les solides sont alors considrscomme rels, donc dformables, avec une limite lastique finie.

L'objet de la RdM est alors de fournir les conditions de fonctionnement pour uneconstruction donne, c'est dire:

- dterminer si une structure donne peut supporter les charges appliques

- les efforts appliqus tant connus, dimensionner la structure, et donc vrifier que lesdformations induites par les charges sont infrieures aux limites acceptables enfonctionnement.

On rappelle que les forces intrieures aux solides sont des forces lastiques (forces decohsion), qu'elles s'opposent au dplacement interne et s'annihilent deux deux. Ellesn'interviennent donc pas sur l'quilibre externe statique. La valeur des forces intrieures seradonc ncessairement limite pour viter la dcohsion du matriau (destruction), et ceci

ncessite:

- un calcul de ces forces intrieures

- de connatre les limites acceptables des matriaux

a) b) c)

Figure 1: Exemples de structures pour lesquelles l'quilibre extrieur(a), intrieur(b) ou les deux (c)

risque de ne pas tre respect sous l'action d'une force F

1.2. Hypothses fondamentales de la RdM

Fr

F

rFr


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Nous nous placerons dans le cadre de ce cours sous plusieurs hypothses restrictives,qui correspondent l'lasticit classique. Les hypothses de ce cadre classique portent sur:

- les matriaux solides: ils seront considrs comme homognes, et mcaniquement isotropes(ils possdent les mmes caractristiques mcaniques quelle que soit la direction

d'observation ou d'application des forces).- Les dformations: nous nous placerons dans un contexte de petites dformations, de tellefaon rester l'intrieur du domaine lastique du matriau (avec une loi de comportementlinaire, l'lasticit classique est donc souvent appele aussi lasticit linaire. De plus, toutesection plane restera plane pendant et aprs dformation.

- La superposition des effets des forces: Le vecteur dformation (et contrainte) d unsystme de forces extrieures est gal la somme gomtrique des vecteurs dformations (etcontraintes) de chacune des forces du systme extrieur.

2. Notion de Poutres

2.1. Gnralits

Les "poutres" sont utilises comme modles pour les dformations (Figure 2).Lorsqu'un matriau se dforme, certaines parties du matriau sont compresses, d'autrestires. Il existe une ligne sans dformation appele fibre neutre ou ligne moyenne, AB.Durant toute la dformation, on peut trouver une section droite qui reste perpendiculaire AB. On peut donc dire que la poutre est le solide engendr par la surface plane dont lecentre de gravit se dplace le long de la courbe C= AB appele ligne moyenne.

Figure 2: Poutre modle pour la rsistance des matriaux

La notion de poutre n'est utilisable que sous certaines conditions:

- Cdoit avoir un grand rayon de courbure

- La longueur AB doit tre grande par rapport aux dimensions transversales

- Les variations de sections doivent rester faibles

A

B


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- La section plane reste plane aprs dformation (principe de Navier-Bernouilli).

Pour un rayon de courbure R, et la plus grande dimension h de la section , il estcommun de respecter:

R > 5h et 10h < l < 100h

Les forces appliques la poutre seront soient des forces directement appliques(poids, forces d'utilisation), soit des ractions d'appui.

2.2. Torseur statique de cohsion

Soit une poutre soumise un torseur statique d aux forces extrieures iF (Figure 3a),dit torseur de cohsion, telles que quel que soit le point M appartenant la poutre on a lacondition d'quilibre:

{ } 0MCr

=T Eq. 1

Aprs coupure selon une section droite (plan ), les deux parties rsultantes ne sontplus en quilibre l'une par rapport l'autre, mais chacune d'entres elles forme un systme enquilibre (Figure 3b). Ainsi les forces intrieures dveloppes sur la section de coupurereprsentent l'action de la partie gauche (g) du systme initial sur sa partie droite (g), ouinversement. On peut donc tudier l'quilibre des deux tronons obtenus par coupure:

Sur le tronon (g) s'applique au centre de gravit G le torseur du aux systme de forcesextrieures appliques (g), { , ainsi que le torseur d la cohsion de la poutre

initiale appliqu par (d) sur (g),

}GFext )g(T

G)g()d(C T . Sur le tronon (d) s'applique le torseur d aux

systme de forces extrieures appliques (d), { }Fext )d(T G , ainsi que le torseur de cohsionappliqu par (g) sur (d),

G)d()g(C T . Ainsi pour la poutre complte on doit avoir annulation

des rsultantes sur les deux tronons:

{ } { } 0)d(Fext)g(Fextr

=+ TT Eq. 2

avec les trois conditions d'quilibre suivantes:

pour le tronon (g): { } { } 0)g()d(C)g(Fextr

=+ TT Eq. 3

pour le tronon (d):{ } { } 0)d()g(C)d(Fextr

=+ TT Eq. 4

pour la poutre complte: )g()d(C)d()g(C = TT Eq. 5

Ceci nous donne:

)g(Fext)d()g(C = TT et )d(Fext)g()d(C = TT Eq. 6


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Thorme:

Le torseur de cohsion dans la section droite d'un tronon de poutre est gal au torseurdes forces extrieures appliques l'autre tronon.

Figure 3: a): Systme mcanique quelconque en quilibre statique, sectionn par le plan de coupe b):rsultantes des forces extrieures appliques en dS du plan autour du centre de gravit G.

2.3. Efforts appliqus une section droite de poutre

Le torseur )d(FextT se dcompose en R, rsultante des forces extrieures appliques

droite de la section (Figure 3b), et M , rsultante des moments extrieurs appliqus droite

de . Les efforts totaux appliqus la section peuvent tre projets en:

y

x

z dS

b)

N

T R

M

fM

tM

z

y

g

d

x

a)

iF


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Un effort normal N selon Ox, de composante Nx

Un effort de cisaillement T dans le plan , de composantes Ty et Tz

Un moment de torsiont

M projection de M sur Ox, de composante Mt

Un moment de flexion fM projection de M sur, de composantes My et Mz

Dans le cas de poutres plan neutre moyen (xOz), on aura donc Mx = My = 0, Tz = 0.C'est--dire, pas de flexion autre qu'autour de Oz, et aucun cisaillement selon Oz.

2.4. Ractions d'appui

Avant toute tude de rsistance des matriaux, il est ncessaire de dterminer lesractions d'appuis, c'est--dire leur points d'applications, leur directions et leur intensits. Ondistinguera trois types d'appuis:

Appuis simples (Figure 4a): appuis ponctuels, de direction de raction normale,symboliss par le signe . Autour d'un tel appui, la poutre possde deux degrs de liberts enrotation et translation.

Appuis doubles ou articulations (Figure 4b): Le point d'application est connu, mais ladirection et l'intensit de la force de raction sont les deux inconnues. Ce type d'appuis estsymbolis par ou selon le sens d'observation.

Appuis triples ou encastrement Figure 4c): Aucun degr de libert n'existe pour la

poutre dans ce type d'appui. Les inconnues sont d'une part le moment d'encastrement er

, et

d'autre part la raction d'appui Rr

.

a) b) c)

Figure 4: Diffrents types de ractions d'appuis. a) appuis simples, b) articulations, c) encastrement

3. Dformation des corps rels

Pr

pr

1Rr

2Rr

Pr

1Rr

2Rr

Pr

pr

1Rr

eMv


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3.1. Dformations lastique et plastique

Sous l'effet d'une force extrieure, les matriaux se dforment (Figure 5a), et deuxrgimes de dformation particuliers sont rencontrs. Lorsqu'aprs sollicitation le matriaurevient dans son tat initial (Figure 5b), le rgime de dformation est lastique. En revanche,

pour des sollicitations plus leves, la dformation subsiste au moins partiellement aprsrelachement de la force (Figure 5c), et on parle de dformation plastique.

Figure 5: Application d'une force et dformation (a), en dformation purement lastique (b) et avec

une composante de dformation plastique (c)

3.2. Allongement et allongement relatif

L'allongement absolu l vaut:

0lll = Eq. 7

C'est cet allongement qui est accessible l'exprience, par exemple par dformation

d'un chantillon en traction pure. En revanche, comme cette valeur absolue dpend de lalongueur initiale du matriau, il est commode pour pouvoir comparer des chantillons,d'introduire l'allongement relatif ou dformation:

= l / l0 Eq. 8

L'allongement relatif n'a donc pas d'unit.

4. Contraintes

Fr

l l

lplp

l

a)

b)

c)


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4.1. Dfinition

On appelle contrainte en un point P de normale n , la rsultante des forces fd sur un

lment de surface dS de la section droite autour de P, la quantit )n,P(Pr

telle que (Figure

6):

dS

fdlim)n,P(P

0dS

rr

=

Eq. 9

La contrainte normale dcoulant de N (Figure 3b), projection de df sur l'axe Ox, sera

appele . La contrainte tangentielle dcoulant der

T , projection de df sur le plan , sera

appele , que l'on pourra dcomposer env

y et z avec = y + z . Soit,

++= zzyyx eee)n,P(P

r

Eq. 10

Figure 6: Contraintes appliques en P d'un lment de surface dS

L'unit pour exprimer les contraintes est le Newton/m2, ou Pascal (Pa). On a ainsi:

1 N/m2 = 1 Pa = 10-5 bar 1 daN/cm2 = 1 bar et 1 MPa = 10 bar

1 N/mm2

= 102

N/cm2

= 106

N/m2

= 1 MPa = 10 bar

4.2. Sollicitations simples

4.2.1. Dfinition

C'est une sollicitation obtenue lorsque le torseur de cohsion possde une seulecomposante non nulle.

y

x

z dS

)n,P(Pr

P


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4.2.2. Traction et Compression simple

4.2.3. Cisaillement simple

4.2.4. Torsion simple

4.2.4. Flexion plane simple pure

5. Traction simple

5.1. Dfinition Hypothses

La poutre est soumise 2 forces directement opposes situes dans les sectionsextrmes et qui tendent allonger la pice (Figure 7).

Les hypothses de travail sont:

fM

z

y

x

tMx

y

z

yTzT x

z

y

Nx

y

z { }

=

0

0

0

0

0

N

CT

{ } { }

=

=

0

00

T

00

ou

0

00

0

T0

z

CyC TT

{ }

=

0

0

M

0

0

0t

CT

{ } { }

=

=

fz

CfyC

M

0

0

0

0

0

ou

0

M

0

0

0

0

TT


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- une poutre rectiligne,

- des forces uniformment rparties dans les sections extrmes,

- une section constante ou faiblement variable,

- des dformations transversales ngligeables.

5.2. Bases exprimentales essai de traction uniaxiale

5.2.1. Essai de traction uniaxiale

Le suivi de la dformation d'un solide en mode de traction simple peut tre ralis lorsd'un essai de traction uniaxiale sur prouvette normalise (Figure 7). De telles prouvettes sontsouvent cylindriques (toutefois d'autres formes sont utilises) et leurs extrmits permettentl'accrochage dans des mors de tirage. Les tats de surface de l'prouvette sont

particulirement contrls, car une trop grande rugosit de surface peut induire despropagations de fissures faussant les mesures. Le rapport des dimensions longitudinales ettransverses est galement important et doit respecter certaines proportions. Dans un essai de

traction simple l'effort appliqu total Fr

est purement axial, et seule la composante normale dela contrainte est mesure.

Figure 7: Essai de traction simple sur prouvette normalise

Sous l'effet de la force Fr

l'prouvette s'allonge et on mesure l ( 0lll = Eq. 7) par rapport la rfrence initiale l

0avant traction. Le bilan des forces sur la

section droite donne Fr + Nr = 0r . La contrainte de traction s'obtient en considrant unerpartition des contraintes uniforme sur la section droite:

Nr

= d Fr

= r

dS = rdS =

rS, soit

= N/S Eq. 11

Lors de l'essai de traction, l'effort de traction N est enregistr en fonction del'allongement l (Figure 8a). On reprsente cependant plutt la contrainte en fonction de ladformation l/l. Un diagramme contrainte dformation type est reprsent en Figure 8b.

Sur ce diagramme on peut dlimiter plusieurs domaines de dformation, de O D.

l

e

Fr

Fr


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a)

b)

Figure 8: a) Diagramme type effort allongement et b) Diagramme type contrainte dformation lors d'un essai de traction pour un matriau ductile. En insert: diagramme typepour un matriau fragile.

5.2.2. Module d'Young

Dans le domaine OA (Figure 8b), la dformation est lastique et il y a proportionnalitentre la contrainte applique et la dformation (ou entre l'allongement et l'effort de traction),le phnomne de dformation reste rversible, et si la contrainte est relche l'prouvetteretrouve sa longueur initiale et l = l0.

Le coefficient de proportionnalit E s'exprime sous la forme de la loi de Hooke(Robert Hooke 1635-1703):

l

Ne

Nm

N

Nr

l/l

ReA

B

C

D0.2

m

0.002

O

x


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l

l=E

S

N, ou = E Loi de Hooke Eq. 12

E est alors appel module d'lasticit longitudinal ou module de Young (ThomasYoung 1773-1829).

Ce module dpend du matriau considr et est la pente de l'essai de traction dans ledomaine lastique. On voit que l'unit de mesure de ce module est homogne une contrainte

puisque est sans dimension. Des valeurs typiques de module d'Young vont de quelquesMPa quelques centaines de GPa (Table 1). Une valeur de E leve indique une rigidit levedu matriau (le diamant par exemple). En revanche le plomb ou l'tain sont des matriaux derigidit faible. Pour les aciers, on atteint typiquement des modules de Young de 2.105 N/mm2,soit quelques 200 GPa. Les fontes en revanche prsentent des modules d'Young typiques de8.104 N/mm2, et sont moins lastiquement dformables.

5.2.3. Limite d'lasticit

La longueur OA du domaine lastique dpend galement du matriau. La valeur Remaximum du domaine lastique s'appelle limite lastique, au-del de laquelle le matriau sedformera plastiquement de faon irrversible. La Table 2 rpertorie les limites d'lasticit dequelques matriaux usuels.

5.2.4. Module d'lasticit transverse

Dans le domaine OA on observe galement une diminution du diamtre e del'prouvette, ou striction. Cette diminution est caractrise par une relation de

proportionnalit:

l

l=

e

e Eq. 13

Le coefficient de proportionnalit est appel coefficient de Poisson (Simon DenisPoisson 1781-1840) et est sans dimension. Le signe moins dans cette quation rend compte dela diminution de diamtre lorsque la contrainte augmente.

On peut dfinir alors un module d'lasticit transversal G, lui aussi dpendant dumatriau (G vaut typiquement 8.104 Nmm-2 pour les aciers):

)1(2 =

EG Eq. 14

5.2.5. Zones de dformation plastique

Au-del des petites dformations et du domaine lastique, pour de plus fortescontraintes appliques, on observe une dformation rmanente de l'prouvette: la courbe dedcharge du matriau ne se superpose pas la courbe de charge (pointills de la Figure 8b).

Domaine AB: On entre dans le domaine de dformation plastique, irrversible. Sans

relle augmentation de contrainte applique, le matriau continue se dformer


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plastiquement. Ce domaine prsente quelquefois des oscillations de correspondant lacration de fissures ou de glissements cristallins dans le matriau. Pour d'autres matriaux cedomaine apparat comme un plateau.

Domaine BC: La contrainte applique participe augmenter la dformation plastique,

jusqu' une valeur maximale m dite contrainte maximale avant rupture.

Domaine CD: La dformation conduit progressivement rupture pour un allongementmaximum en D. On parle de contrainte la rupture Rr.

Tous ces domaines sont variables selon les matriaux et leurs modes d'laboration.

Remarques:

- Il ne faut pas confondre rigidit et raideur. La rigidit caractrise un matriau, laraideur une construction mcanique. On peut ainsi avoir une pice massive en

plastique possdant une raideur bien plus leve qu'un ressort en acier !

- On rencontrera la limite lastique 0.2 dans la littrature. Trs utilise en mtallurgie,elle correspond la transition lastique-plastique qui est assez floue. Il s'agit de lavaleur de la contrainte qui laisse 0.2% de dformation plastique lorsqu'elle est retire(Figure 8b).

- Il n'est pas rare de rencontrer un matriau qui casse lors d'un essai de traction avantd'atteindre le rgime plastique de dformation. Ceci est gnralement d des facteursextrinsques comme la prsence de fissures, et se rencontre surtout dans des matriauxrigides. C'est par exemple le cas du bton fibr ultra haute performance, qui malgr

un module d'Young lev (50 GPa typiquement), possde une rsistance la tractionde seulement 8 MPa environ.

- On peut distinguer deux grandes catgories de matriaux selon leur courbe dedformation en traction simple. Les matriaux dits ductiles donneront lieu descourbes () telles que celle de la Figure 8b, alors que les matriaux dits fragiles,montreront des courbes de dformation sans zone de dformation plastique (insertFigure 8b).

Matriaux Module d'Young(GPa)

Elments purs

Ag 83

Al 69

As 8

Au 78

Ba 13

Be 240

Bi 32

Cd 50

Co 209

Cr 289

Cs 1.7


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Cu 124

Fe 196

Ge 89.6

In 110

Ir 528

Li 4.9

Mg 45

Mn 198

Mo 329

Na 10

Nb 105

Ni 214

Pb 18

Pd 121

Pt 168

Pu 96

Rb 2.4

Rh 275

Ru 447

Sc 74

Se 10

Sn 41.

Ta 186

Ti 116

W 406

U 208

V 128

Zn 78

Zr 68

Alliages

Acierde

construction

210

Acier ressorts 220

Acier inoxydable18-10

203

Bronze (Cu 9 12% Sn)

124

Bronze auBryllium

130

Cuivre lamin U4(Recuit)

90

Cuivre lamin U4(croui dur)

150

Duralumin AU4G 75

Fontes 83 170

Hastelloy B2 (Ni +Mo)

217

Hastelloy C 2000(Ni + Cr + Mo)

206

Inconel X-750 (Ni+ Cr + Fe)

212 218

Invar 140

Monel 400 (Ni +Cu)

173

Nimonic 90 (Ni +

Cr + Co)

213 240

Nispan (Ni + Cr +Ti)

165 200

Phynox (Co + Cr +Ni + Mo)

203

Verres, cramiques, oxydes,

carbures mtalliques, minraux

AsGa 85.5
http://fr.wikipedia.org/wiki/Acierhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Acier_inoxydablehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bronzehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cuivrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cuivrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fonte_%28m%C3%A9tallurgie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Nickelhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Molybd%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Invarhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Invarhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Molybd%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nickelhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fonte_%28m%C3%A9tallurgie%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Cuivrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cuivrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bronzehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Acier_inoxydablehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Acier


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Bton 27

Brique 14

Calcaire (CaCO3,

pierres)

20 70

Cr3C2 373.13

SiC 450

TiC 440

WC 650

Diamant 1 000

Graphite 30

Granite 60

Marbre 26

Mullite Al6Si2O13 145

Alumine-Al2O3 390

BeO 30

MgO 250

ZrO 200

Saphir 420

Silice (SiO2) 107

Ti3Al 140

BaTiO3 67

Verre 69

Bois *

Acajou (Afrique) 12

Bambou 20

Bois de rose(Brsil)

16

Bois de rose (Inde) 12

Chne 12

Contreplaqu glaw 12.4

pica 13

rable 10

Frne 10

Papier 3 4

Squoia 9.5

* Il faut tenir compte que le moduled'Young du bois peut varier beaucoup enfonction de l'humidit, de la densit, de lalongueur des fibres et d'autrescaractristiques.

Polymres, fibres

caoutchoucs 0.0007 4

Fibre de carbone 190

Kevlar 34.5

Nanotubes(Carbone)

1100

Nylon 2 4

Plexiglas 2.4

Polyamide 3 5

Polycarbonate 2.3

Polythylne 0.2 0.7

Polystyrne 3 3.4

Rsines poxy 3.5

Biomatriaux

Cartilage 0.024

Cheveux 10

Collagne 0.006

Fmur 17.2

Humrus 17.2

Radius 18.6
http://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9tonhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Calcairehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Diamanthttp://fr.wikipedia.org/wiki/Graphitehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Granitehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Marbrehttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mullite&action=edithttp://fr.wikipedia.org/wiki/Aluminehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Saphirhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Silicehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Verrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Acajouhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Afriquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bambouhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Br%C3%A9silhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Indehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%AAnehttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Contreplaqu%C3%A9_glaw&action=edithttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89pic%C3%A9ahttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89rablehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%AAnehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Papierhttp://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9quoiahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Humidit%C3%A9http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fibres&action=edithttp://fr.wikipedia.org/wiki/Caoutchouc_%28mat%C3%A9riau%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Fibre_de_carbonehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Kevlarhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nanotubehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Carbonehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nylonhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Polyamidehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Polycarbonatehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Poly%C3%A9thyl%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Polystyr%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89poxyhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cartilagehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cheveuxhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Collag%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/F%C3%A9murhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Hum%C3%A9rushttp://fr.wikipedia.org/wiki/Radiushttp://fr.wikipedia.org/wiki/Radiushttp://fr.wikipedia.org/wiki/Hum%C3%A9rushttp://fr.wikipedia.org/wiki/F%C3%A9murhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Collag%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cheveuxhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Cartilagehttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89poxyhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Polystyr%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Poly%C3%A9thyl%C3%A8nehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Polycarbonatehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Polyamidehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nylonhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Carbonehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nanotubehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Kevlarhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fibre_de_carbonehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Caoutchouc_%28mat%C3%A9riau%29http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Fibres&action=edithttp://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9http://fr.wikipedia.org/wiki/Humidit%C3%A9http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9quoiahttp://fr.wikipedia.org/wiki/Papierhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%AAnehttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89rablehttp://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89pic%C3%A9ahttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Contreplaqu%C3%A9_glaw&action=edithttp://fr.wikipedia.org/wiki/Ch%C3%AAnehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Indehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Br%C3%A9silhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Bambouhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Afriquehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Acajouhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Verrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Silicehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Saphirhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Aluminehttp://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Mullite&action=edithttp://fr.wikipedia.org/wiki/Marbrehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Granitehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Graphitehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Diamanthttp://fr.wikipedia.org/wiki/Calcairehttp://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9ton


17/39

Rsistance des Matriaux

[email protected] Mesures Physiques, Universit de Caen Basse-Normandie, Laboratoire


17

Table 1: Modules d'Young de diffrentslments pur, et matriauxSoie d'araigne 60

Tibia 18.1

Vertbre cervicale 0.23

Vertbre lombaire 0.16

Matire Nuance Re [MPa]

Bois 10

Aluminium EN AC-AlSi12Cu 180 240

Acier de construction usuel nonalli

S235 S355 235 355

Acier pour trempe C 30 (XC30) 350 400

Acier faiblement alli 30 Cr Ni Mo 16 (30 CND 8) 700 1450

Table 2: limites d'lasticits de matriaux usuels. Attention, Re est donne en MPa

5.3. Conditions de Rsistance des Matriaux

5.3.1. Situation classique

La contrainte applique sur le matriau doit imprativement rester infrieure lalimite pratique l'extension du matriau, Rpe. Cette limite pratique prend en compte, pour desraisons de scurit bien comprhensibles, diffrents alas inhrents aux matriaux etsollicitations appliques, via un coefficient de scurit s:

s

RRavecR epepe = Eq. 15

Le coefficient s traduit les incertitudes et le type de construction ralise.

5.3.2. Concentrations de contraintes

S'il y a variation brusque de section (Figure 9), une des hypothses de base de la RdMn'est plus vrifie proximit de cette variation de section. La contrainte ne varie pluslentement, on doit appliquer un coefficient de concentration de contrainte, k, et la conditionde rsistance devient:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Soiehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Araign%C3%A9ehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tibia_%28os%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Vert%C3%A8brehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Vert%C3%A8brehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Tibia_%28os%29http://fr.wikipedia.org/wiki/Araign%C3%A9ehttp://fr.wikipedia.org/wiki/Soie


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[email protected]



= kavecR MpeM Eq. 16

Figure 9: Cartographie de rpartitions de contraintes autoura) d'une fissure etautourb) d'une dent d'engrenage. Les contraintes sont reprsentes croissantesdu bleu vers le rouge

6. Compression simple


Une poutre est soumise un rgime de compression simple si on applique sesextrmits 2 forces directement opposes qui tendent la raccourcir.

La principale hypothse de travail est la condition de non-flambage:

e80


19/39


[email protected]



La condition de rsistance s'exprimera alors en compression par la limite pratique lacompression du matriau, Rpc:

s

RR ecpc = pcRavec Eq. 18

7. Cisaillement simple


Une poutre est soumise un rgime de cisaillement simple (Figure 10) lorsqu'on luiapplique 2 forces directement opposes dans un plan de section droite.

Figure 10: Effort de cisaillement simple appliqu une poutre, et torseur correspondant

L'hypothse principale de travail est que les efforts de cisaillement sont considrsparfaitement localiss dans le plan de cisaillement. On ne tiendra pas compte du fait que demanire pratique il est impossible de raliser un cisaillement parfait (les efforts de part etd'autre de la poutre ne sont pas parfaitement aligns, par exemple dans un encastrement), etque donc un petit moment de flexion est engendr proche du plan de cisaillement.

7.2. Essai de cisaillement simple

Une poutre est cisaille par l'application de deux efforts opposs parallles sa sectiondroite (Figure 11). L'essai de cisaillement fourni une courbe similaire celle de l'essai detraction, avec une zone de dformation de cisaillement lastique et une zone de dformation

plastique. On remplacera alors les valeurs de Re et Rrpar:

Reg = Te / S: rsistance lastique au glissement

Rrg = Tr/ S: rsistance la rupture au glissement

O Te et Tr sont les quivalents de Ne et Nr respectivement sur la courbe de tractioneffort allongement. On observe pour les aciers en gnral que Reg Re / 2.

La contrainte moyenne de cisaillement vaut:

S

T= Eq. 19

Tx

y

{ }

=

0

0

0

0

T

0

CT


20/39


[email protected]



Le glissement est reli au module d'lasticit transversal G et l'angle de glissementunitaire g (Figure 11b) par:

= G Eq. 20

Dans la zone lastique la dformation est de nouveau proportionnelle l'effort decisaillement et on peut appliquer la loi de Hooke:

dCT = Eq. 21

O C est le coefficient de proportionnalit.

a)

b)

Figure 11: a) Dispositif d'essai de cisaillement simple. Les distances AA1 et BB1 ont tvolontairement agrandies pour raison de comprhension b) Agrandissement de la zone dforme AA1BB1.

7.3. Conditions de Rsistance des Matriaux

Similairement la traction on dfini la limite pratique au glissement du matriau, Rpg,et un coefficient de scurit un coefficient de scurit s:

s

RRavecR egpgpg = Eq. 22

A

B

B1

A1

d

T

x

y

T

AB

A1B1


21/39


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8. Torsion simple


Une poutre est soumise un rgime de torsion simple (Figure 12) lorsqu'elle est

soumise ses extrmits un moment port par l'axe de symtrie de la poutre (encastrementpar exemple). Les formules de la torsion simple ne sont valables que pour des poutres dervolution (section de poutre circulaire). On nglige le poids de la poutre.

Figure 12: Effort de torsion simple appliqu une poutre, et torseur correspondant

8.2. Essai de torsion

LaFigure 13a reprsente un essai de torsion simple. Une gnratrice du cylindreest dforme (ligne pointills forts) par application de Mt. Le dplacement angulaire i estsuivi en fonction de la distance li au plan de base du cylindre. On constate exprimentalementque:

1/l1 = 2/l2 = 3/l3 = (unit: radian/m)

o est l'angle de dformation unitaire. On enregistre le diagramme Mt (Figure13b) qui donne galement une courbe d'allure similaire celle de l'essai de traction.

tMx

y

z

{ }

=

0

0

M

0

0

0 t

CT


22/39


[email protected]



a)

b)

Mte

Mtmr

Mt

Mtr

1

2

3

tM

l1

l2

l3

n0

n1

R

G0

G nr


23/39


[email protected]



Figure 13:a) Essai de torsion simple appliqu une poutre cylindrique, et b) diagramme Mt - correspondant

8.3. Contraintes tangentielles

Le tronon lmentaire de cylindre G0G est en quilibre sous l'effet du momentde torsion appliqu tMr

et des forces de cohsion fr

. La dformation de torsion simple du

tronon G0G correspond l'arc nn1, la distance l1 de G0. Pour un point n une distance r del'axe de rvolution, on a:

nn1 = r1

soit avec G0G = l1, et = nn1 / G0G = r1 / l1 = r

un rgime de contraintes tangentielles selon la loi de Hooke = G Eq.20):

Gr= Eq. 23

Cette quation nous donne une rpartition de contraintes tangentielles (Figure 14)linaire avec la distance l'axe de rvolution, et qui est maximum pour:

GRmax = Eq. 24

Figure 14: Diagramme de rpartition de la contrainte

tangentielle sur la section droite du cylindre en rgime detorsion simple

8.4. Equation de dformation lastique, module de torsion

Rcrivons les conditions d'quilibre du tronon G0G (Figure 15) sous l'effet de

tMr

et des forces de cohsion fr

:

max

max


24/39


[email protected]



0fr =x

S

e

Figure 15: Tronon de poutre cylindrique en torsion simple,en quilibre sous l'effet du moment de torsion et de la

rsultante des forces de cohsion.

0)SF(M = errr

ext x

-Mt + rr

soit Mt = S

rf

S

dsGr2

S

dsrG 2 02 I==

or = f/ds = Gr, soit

f = Gr ds

et en remplaant dans la valeur de Mt:

Mt =

= avec GxIdsrS

(moment quadratique

polaire)

= GI0

On peut aussi exprimer Mt en fonction de la contrainte de cisaillement, puisque: = Gr

Mt = I0/r ou( )r/I

M

0

t= Eq. 25

Dans cette quation le rapport (I0/r) est le module de torsion. Son unit est le m3.

8.5. Contrainte maximale

La contrainte maximale applique la poutre est donne pour r = R, soit:

tM

x

y

z

fr

G


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[email protected]



( )R/IM

0

tmax = Eq. 26

avec par exemple, pour un cylindre plein, le moment quadratique I0 = D4/32. Comme

R = D/2, le module de torsion I0/R = R3/16.

8.6. Condition de rsistance

La contrainte maximale ne doit pas dpasser la limite lastique pratique aucisaillement, soit:

( ) s

RR

eg

pg R/I

M

0

tmax Eq. 27

Si le cylindre utilis pour transmettre le mouvement possde des cannelures, rainures,

paulements, goupilles , il sera ncessaire comme dans le cas de la traction simple,d'introduire un coefficient de concentrations de contraintes.

8.7. Condition de rigidit

Pour les systmes de transmission qui tournent vite (typiquement avec des vitesses derotation suprieures 750 tr/min), on doit limiter les dformations de torsion du cylindre detransmission pour viter les vibrations.Pour assurer une rigidit convenable de la transmission, on impose une limite langleunitaire de torsion:

( ) lim0t

lim GI

M = Eq. 28

9. Flexion plane simple


9.1.1. Les diffrents types de flexion

Selon la nature du torseur de cohsion on distingue plusieurs types de flexions. Ceux-ci dpendent entre autres de la nature de la poutre, des configurations des actions mcaniquesextrieures appliques

Flexion pure: { }

=

0

M

0

0

0

0

ou

M

0

0

0

0

0

fy

fz

CT


26/39


[email protected]



Flexion plane ou compose: { }

=

0

M

0

T

0

N

ou

M

0

0

0

T

N

fy

zfz

yCT

Flexion plane simple: { }

=

0

M0

T

00

ou

M

00

0

T0

fy

z

yCT

fz

{ }

Flexion dvie:

fzz MT

= fyyC M

0

T

0

T

Le rgime de flexion plane simple sera tudi ici, car il correspond au cas le plusfrquemment rencontr.

9.1.2. Flexion plane simple

Une poutre est dite soumise un rgime de flexion plane (Figure 16) si la rduction aucentre de gravit d'une section droite des forces extrieures situes d'un mme ct se rduit un moment ainsi qu' une rsultante tous deux situs dans le plan de la section droite.

Figure 16: Effort de flexion plane appliqu une poutre, et torseur de cohsion correspondant

A toutes les hypothses gnrales de la RdM, il faut rajouter pour la flexion plane lefait que:

- la fibre moyenne de la poutre doit tre rectiligne

- la poutre devra possder imprativement un plan de symtrie contenant les forcesextrieures.

9.2. Equation fondamentale de la flexion

9.2.1. Essai de flexion plane simple

Cet essai consiste mesurer les dformations de flexion dune poutre lorsquon lui

applique une forcer dont on peut modifier lintensit, la rpartition et le point dapplication

(

FFigure 17). Sur le flanc dune section droite () de la poutre, on place des jauges (dispositif

x

y

z

M

R

{ }

=

0

M0

T

00

ou

M

00

0

T0

fy

zfz

yCT


27/39


[email protected]



extensomtrique) permettant de mesurer les variations de longueur relative ldes portions defibres sur lesquelles elles sappliquent. On place aussi un comparateur permettant de mesurerla dformation de la fibre moyenne, ou flche.

Figure 17: Poutre en appui soumise l'action d'une force verticale

9.2.2. Relation entre T et fM

Soit une poutre en appui laquelle est applique une charge variable avec x, p(x),(Figure 18) et deux sections parallles et ' distantes de dx. A gauche de l'effort decisaillement est T(x) et le moment de flexion Mf(x). A droite de ' ces deux composantesdeviennent T(x) + dT(x) et Mf(x) + dMf(x) respectivement.

Figure 18: Poutre soumise l'action d'une force verticale uniforme

Or: T(x) + dT(x) = T(x) p(x)dx, soit

dx

)x(dT)x(p = Eq. 29

D'aprs cette quation, si p = 0, on obtient T = cte, et si p = cte, T = -px + cte.

D'autre part Mf(x) + dMf(x) = Mf(x) + T(x)dx p(x)dx.dx/2, soit en ngligeant le

deuxime ordre en dx:

Fr

x

y

pr

'

x x+dx


28/39


[email protected]



dx

)x(dM)x(T f= Eq. 30

Et par consquent, l'effort de cisaillement peut tre associ la pente de l'volution dumoment de flexion avec x. Des deux quations prcdentes on tire:

)x(pdx2

f =)x(Md2

Eq. 31

9.2.3. Diagrammes T et fM

Il est souvent trs utile de suivre l'volution des sollicitations le long de la poutre, pourvaluer si les dimensionnements respectent les limites lastiques. Il est alors commode dereprsenter les diagrammes de sollicitations en cisaillement et flexion pour estimer les lieuxde contraintes leves d'une structure donne. Nous allons tablir ces diagrammes dans le cas

de structures simples, pour des poutres charges.

9.2.3.1. Poutre en appui simple soumise une seule force verticale

On obtient rapidement que P = RA + RB, et comme -aP + (a+b)RB = 0, on a RB = aP/let RA = bP/l. Il suit le diagramme en cisaillement de la (Figure 19a).

Figure 19: Diagramme en cisaillement (a) et moment de flexion (b)pour une poutre sur deux appuissimples.

D'autre part (Figure 19b):

bP/l

xA B

T

-aP/l

Pr

xA B

Mf

bPa/l

Pr

a b

lA BC

a) b)


29/39


[email protected]



- sur le tronon AC, l'effort de cisaillement est T = bP/l. On a alors Mf(x) = -Pbx/l +cte. Comme en x=0, Mf= 0 (la rotation est libre en appui simple), la constante s'annuleet Mf(x) = -Pbx/l.

- sur le tronon CB, T = bP/l-P et on a alors Mf(x) = -Pbx/l + Px + cte. Comme en

x=l, Mf= 0, on a cte = -Pl + Pb et Mf(x) = Px(1-b/l) + P(b-l).

9.2.3.2. Poutre en appui soumise une force verticale rpartie

Comme P = -P(x) avec P(x) = cte, on obtient P = P(x)dx = Pdx = Pl. Avec P = RA

+ RB, on obtient RA = RB = Pl/2. L'

r

yer

dx

)x(dM)x(T f=

Eq. 30 nous donnealors T = -Px + cte, et comme en x = 0 on a T = Pl/2, cte = Pl/2. On a donc T = Pl/2 Px (Figure 20a).

On obtient par l' dx

)x(dM)x(T f=

Eq. 30 le moment de flexion: Mf(x) =

Plx/2 Px2/2 + cte. Comme en x=0, Mf = 0, la constante s'annule et Mf(x) = Plx/2 2/2. C'est l'quation d'une parabole. On r rque que T = 0 pour x = l/2, donc Mf(x)sse par un optimum en ce point et vau = Pl2/8. C'est donc un maximum. En x

= l, Mf(x) = 0 (Figure 20b).

Figure 20: Diagramme en cisaillement (a) et moment de flexion (b)pour une poutre sur deux appuis

simples charge par une force rpartie.

Pl/2

A

B

Px emapa t Mf(x)

x

T

-Pl/2

xA B

Mf

Pl2/8

a) b)

Pr

lA B


30/39


[email protected]



P

9.2.3.3. Poutre encastre une extrmit

On a rapidement RA = P et MeA = - aP, et donc les diagrammes correspondants (Figure21).

Figure 21: Diagramme en cisaillement (a) et moment de flexion (b)pour une poutre encastre.

9.2.3.4. Poutre encastre soumise une force rpartie:

On a T = Pl - Px = P(l-x) (Figure 22a), et donc Mf = Plx px2/2 + cte. Or en x = 0, Mf

= - Pl2/2, et par consquent, Mf= Plx px2/2 - Pl2/2 = -P(l-x)2/2 (Figure 22b).

rx

lA B

P

xA

T

xA a

-MfaP

aa) b)

Pr

a

lA


31/39


[email protected]



P

Figure 22: Diagramme en cisaillement (a) et moment de flexion (b)pour une poutre encastre aveccharge rpartie.

9.2.3.5. Superposition des effets

On a alors composition des forces prcdentes, et les diagrammes peuvent tre obtenusdirectement par sommation des diagrammes individuels (Figure 23).

r

x

lA B

pr

Pl

xA

T

xA a

-Mf

-Pl2/2

la) b)


32/39


[email protected]



Figure 23: Diagrammes en cisaillement pour deux poutres charges avec une charge rpartie (haut) etlocalise (bas) (a) et diagramme de cisaillement pour une charge compose des charges prcdentes (b).

9.3. Expression des contraintes en fonction de Mf

9.3.1. Contraintes normales

Lors de la sollicitation de flexion plane simple, la force lmentaire df sur un lmentde surface dS est parallle l'axe Ox et dpend de la distance la fibre moyenne (Figure 24)selon l'quation:

xedSdfv

=

Figure 24: Rpartition de la contrainte normale sur la section droited'une poutre soummise une sollicitation de flexion plane simple lelong de l'axe Oy.

y

x

A

T1

a) b)

+

A

T2=


33/39


[email protected]



S

22f dSykdSkyM ==

S

On obtient par consquent pour le moment de flexion:

== dSyydfM f

Comme on peut crire = ky avec k = constante, on obtient:

GzkI= , ou encore:

GzfGz

f Iy

MouI

yM == Eq. 32

avec IGz/y module de flexion, dont l'unit est le m3. IGz est le moment quadratique de la

section droite par rapport l'axe principal Gz (G: centre gomtrique de la section droite).

L'unit de IGz est le m4

.On remarque la forte similitude de la forme de ces quations avec celles obtenues pour

le rgime de torsion simple.

9.3.1. Contraintes tangentielles

Dans une poutre sollicite en flexion plane simple les contraintes tangentiellessexpriment de la faon suivante:

Gz

Gzy

zI=

WTEq. 33

o WGz est le moment statique de la poutre par rapport laxe Gz.

9.4. Contraintes maximales

Les contraintes maximales appliques la poutre sont donnes pour les valeursmaximales ymax de y et zmax de z:

( ) Gzmax

Gzymax

maxGz

fmax

Iz

WTet

y/I

M== Eq. 34

9.5. Conditions de rsistance

La contrainte maximale ne doit pas dpasser les limites lastiques pratiques lacompression-traction et au cisaillement, soit:

( )

s

RR

s

RR

eg

pg

e

pe

Gzmax

Gzymax

maxGz

fmax

Iz

WT

y/I

M

Eq. 35


34/39


[email protected]



Avec toujours la prise en compte d'un facteur de concentration de contraintes sincessaire.

Remarque importante:

Comme nous l'avons vu, les fibres au dessus et en dessous de la fibre moyenne sontdformes en compression et traction respectivement. Alors la valeur de Re doit treapproprie au rgime de dformation subit. Ainsi, une poutre en acier se dformera de lamme faon en dessous et au dessus de la fibre moyenne puisque Re en compression ettraction sont pratiquement les mmes. En revanche, pour une poutre en bton, qui rsiste

beaucoup moins aux efforts de traction que de compression, il faudra choisir Re =Re(traction).

9.6. Dformations

9.6.1. Dformations longitudinales

Les relevs des jauges d'extension en essai de flexion plane sur la section montrentque:

- Les fibres situes en dessous du plan (xOz) s'allongent (l > 0), alors que celleslocalises au dessus se raccourcissent (l < 0).

- Les fibres situes dans le plan (xOz) ne changent pas de longueur, ce sont des fibresneutres.

- Les allongements et les raccourcissements relatifs l/lsont proportionnels ladistance y de la fibre considre au plan (xOz): l/l = y.

9.6.2. Recherche de la courbure

Considrons la poutre reposant sur deux appuis linaires rectilignes parfaits et soumise une charge concentre verticale de la Figure 17. Les actions mcaniques extrieures

provoquent la flexion de la poutre. La fibre moyenne se dforme et la courbe ainsi obtenue estappele courbe dforme (pointills de la Figure 25a).

Figure 25: a) Poutre dforme et b) zoom de la zone dforme montrant l'longation le long de l'axe Oy.

S1

Fr

x

y

S2 S1 S2

a) b)

G1 G2

m1 m2m'2

dx

y

d

d


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Hypothse: d petit (dformations faibles)

La loi de Hooke ( = E l/l) est donc respecte. On a (Figure 25b):

dx

dyEmm

mm21

'22

=

=

==

l

l

l

yddtan

comme dx = G1G2 = Rd (avec R: rayon de courbure de la dforme), on a:

R

1yE=

or un rsultat d'analyse nous donne que le rayon de courbure peut s'exprimer par:

( )'y'

y'1R

2/32+= ou encore puisque les dformations sont faibles (y'0): R 1/y''

On obtient ainsi:

y"EIM

I

Myavec

Eyy"

Gzf

Gz

f =

=

=

Eq. 36

10. Flambage simple

10.1. Observations

C'est le cas de la compression simple, lorsque les efforts aligns avec la dimension laplus longue de la poutre, et que cette dernire est suprieure huit fois la plus petitedimension transverse (Figure 26). On observe que si F devient importante, la poutre se met

brusquement s'incurver, partir d'une valeur critique Fc. On arrive alors rapidement larupture, c'est le flambage. Ce phnomne est d aux dissymtries, d'homognit du matriau,

de gomtrie de l'chantillon et d'application des efforts.


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0y"EIyFy"EI

yFMzc

z

cf =+

=

=

Figure 26: Poutre rectiligne en condition de flambage avec sa dforme

10.2. Formule d'Euler

On prendra l'hypothse qu'aucun effort autre que F ne s'applique la poutre(articulations parfaites aux extrmits, points d'applications de F, poids de la poutrengligeable). Alors, en prenant un moment quadratique minimum Iz (calcul pour la sectiontransversale la plus petite), on obtient:

Ou encore

y" +

2

y = 0 avec

2

= Fc/EIz

et dSR2z =I

Cette quation diffrentielle admet comme solution gnrale:

y = Acosx + Bsinx

et les conditions aux limites suivantes:

en x=0, y=0 A=0

en x=L, y=0 BsinL=0

comme B0, L = k avec k entier

soit = /L avec k=1

on obtient donc: y = Bsin(x/L)

Ici B est indtermine, cause de l'instabilit elle-mme indtermine. La constante Bcorrespond la flche de la section mdiane. Comme:

x

y

Fr

F-r

L

yBA


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2

22

z

c

LEI

F == , on obtient finalement:

2

2

zc EIF

=

L

Eq. 37 (Formule d'Euler)

L'quation aux dimensions donne: [N] = [2m

N][m4][

2m

1].

La formule d'Euler ne s'applique que pour des lancements tels que (dterminempiriquement):

= L / min > 110 Eq. 38

O min est le rayon de giration minimum de section:

S

I min,zmin =

Llancement caractrise la flexibilit dune poutre et permet leur comparaison.

On peut envisager trois cas de dformation, selon la valeur de F par rapport Fc:

F < Fc: cas de la compression simple, quilibre stable de la dformation. La poutrereste droite

F = Fc: c'est l'incertitude. La poutre peut soit rester droite, soit flamber jusqu' lavaleur B

F > Fc: La poutre flambe, on est en quilibre instable de dformation, pouvantconduire rupture

10.3. Dpendence avec le type d'appui

En pratique, il faut prendre pour L une valeur KL, et le facteur K dpend du typed'appui pour les points d'application des forces. On prendra:

- K=1 pour une poutre sur 2 rotules en A et B

- K=2 pour une poutre en encastrement en A et libre en B

- K=0.5 pour une poutre encastre en A et B

- K=0.7 pour une poutre encastre en A et rotule en B

10.4. Conditions de rsistance


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10.4.1. Mthode d'Euler

La force maximale admissible pour ne pas occasionner de flambage est parconsquent:

ssSLEI

2zflambage-nonc, =

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