MECANIQUE APPLIQUEE : RESISTANCE DES MATERIAUX

MECANIQUE APPLIQUEE : RESISTANCE DES MATERIAUX

CHAPITRE IV : COUCHES CYLINDRIQUES COAXIALES SOUMISES A DES FORCES RADICALES

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueJ. BAHUAUD

3, 4 et 5 GMC

Année de création : 1968

I. N. S. A

M E C A N I Q U E A P P L I Q U E E

RESISTANCE DES MTERIAUX

II. B A H U A U D

I H A

Chapitres III et IV

© [M.BAHUAUD], [1968], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 16 ~

C h a p i t r a i ?

COUCHES cniax.1}: uj^ GCU;Ï i^- cw:: ;;„ ;. :>.;. ?cac2; ST/ZJZS

I? ~ 1 ro GgMEMIg *

Nous étudions dans ce chapitre les enveloppes minces, les enveloppes

épûiaocB soumises à des pressions intérieures et extérieures, les disques en rota-

tion d'épaisseur constante ou noii *

Schématisons le problème : - -

Les forces étant radiales ot uniformément réparties, les contraintes

ot les déformations sont •symétrig.uog par rapport à 0 » En particulier, il y a

symétrie par rapport à un diamètre quelconque D *

IT« 1 * î - St ^ des .coni;raintes ~

Considérons un point P du tube ou du disque et définissons un sys-

tème d!axes rectangulaires P r t z de la façon suivante ;

Pr , rayon OP de la section droite passent par P

Pt , tangente en au cerclo ( 0, OP)

Pz f parallèle à lfa :e do révolution du corps


1 - On admet que la direction Pz est principale des contraintes ». La contrainte

principale N est telle que :

/ N ;£ 0 tub©z\ H • .s 0 disque

~~>PS étant principale, les contraintes relatives aux facettes ( P , t ) et

( P , r ) sont dans le plan P r t »

-r:<LX_ _./» 2 - Etudions JZÎ

"v• •*•"*»> "

*- P ©st normale à la facette par symétrie * G1 est donc une contrainteu

principale H et P est ime direction principaleu "îï

- H ne dépend que de 0 P == rt»

3 - P et P, étant deux directions principales, Pr est la 5° direction prin-Si w •

cipalo * La contrainte principale N dépend de r *


~ l6 ~

I?* 1 * 2 - Etude des déformations. —

1 - OP = r devient QPf « r * u

OP4 » r 4- d r devient

duOPf, = r + dr * u + ~ -~ dr

1 dp

L'allongement relatif do PP, ,

est donc i

£r- — | ( i )dr

2 -» la longueur do la circonférence ( 0, QP ) est 2 fj r ? après déformation ,

elle est 2 {"1 ( r -f u ) ? 1T allongement relatif dans la direction tangeniel-

le est donc t _^ _ _ ^

f r rirn r p ^' " T ,

3 - On adopte les hypothèses suivantes pour l'allongeront relatif dans la direc-

tion des génératrices *

£ = a = été "tube / ~ \_JB —— ( 3 /

£^ z -:^ Cte disque

IV ^ 2 - I3TVEI£P^HIHC^ .

C fest un tube dont 1!épaisseur est petite vis à vis du diamètre intérieur

Traitons ccmi:io exenple le cas d'un tu^ scnzm •*•

HT» 2. 1 « Contrainte transversale H.' ' ' *C

Hypothèse - lfépaisseur <iu tube étant faible9 on adaet qtie H, est

constante dans l'épaisseur du tiibe »Isolons \m petit élément du tube de largeui

unité * 11 est en équilibre sous l'action

dos forces correspondantes à H. et p."t/ io(pression effective) »

p. x -i Xdô/x 1 = 2 BT. x i T x e x 12 2

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. 1 - 19 -p. d.xe i

H = _ ( 4 )t 2e ' .

IV « 2*2 - Contraintelongitudinale s ïï'"'"*•• :J:L:IU" ' ««'j'1*1'-*'"*^ 2

i * Considérons 1!équilibre de toute la partief • .:,.,..... -. >. /V située à gauche de la section droite passant

nK~">tr A " • Par °i i i ! Hd.2

1 __ [_ %e ^ - Ht Xf1 die

" ' "" /W P 'l i d foù p. d.M ' i ; H m J£™_L. ( 5 )j^r _r_vL- z 4 e1 ] A/2 -, L- 1

!Y. 2 . 2 ^^Faia^g^jB^cont^i^ * .Oo&d. ^ *«

L'état de contrainte en P est triaxial (Cf 4«1*l)

Nous connaissons N, , (4) et H^ (5) » Quant à I , sa valeur

est - p,. Sur le diamètre intérieur et zéro sur le diamètre extérieur *

Sn général on peut admettre que N est négligeable vis à vis de H. et N *r t zOn a donc ; ,p. d.

/ ÎXT _" TVJ _ 3-g 2-lxi - Jt - ~r—^ e

p. d.} i « i » -J£2_~ï ' - '^2 fla ^ ^

4 e

' • v K3 = N

r # °Si on admet que le tube résiste .lorsque la contrainte principale

majeure H ne dépasse pas la limite d1élasticité ou la résistance pratique en

traction atSi llon tient compte dTun coefficient de sécurité, il vient (Cf cîiap 5)

K < R1 <:. t

on peut déterminer l1épaisseur e ;

e - - : - -' (6)

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~ 20 -

Epaisseur de cal cul qu'il faut corriger en fonction

- de la nature de la construction (rivure, soudure)

- de la corrosion «

Voyons par exemple coraent il y a lieu de modifier (6) cpour tenir compte d*une

rivure «

Cc f i€;ient .dé .rirurt *•>•'

On considère un petit élément obtenu en coupant par l'axe des rivets , soit

d s le diamètre des rivets

& * pas * de la rivure.

Ii'équation d1 équilibre de I?, 2* 1 devient î

p. â2L . d o< * a m 2 H x 0 x ( a - d) x â lX° 2 2,„.. ^^ - . , , .,

H „ _J£L_-i^ ( 4> ), a - d\

2 e ( —. )d

fQ, «un, (5

•s .u^.ian,.; est appelé coc^icient,. d<^ rivytrea ' *

Dana le cas d'une rivuro (6) prend la forme 5) pe de ss —;u***~ -f 2 à 4 jam (corrosion)*f- \

Application ; Calculer l'épaisseur dfun corps de bouilleur dans les conditionssuivantes i . -

p abs » 8 kgp/cm2Rt » ôkgp/ia^ d±- °'8m

^ç a o 65 3 KM pour la corrosion


«. 21 ~

On obtient 5 0 = 7 * 3 » Ktam

IV* 2. 4 . Variation de volume -

Le champ dos contraintes est défini par le groupe du § IV.2*3»

Les allongements principales: sont obtenus en appliquant la loi de

Hooke généralisée ( 111.3*3)

f £t • £• t • -7 [ Ht - v "* ]| £a- &. • -7 JA -V »tl

Par conséqtient, la génératrice de longiioiir h devient

. h (i+L.)La longueur de la circonférence intérieure rt 4. * derient :

i « < +^-t wLe volime du cylindre V « —~ x h devient :

2 4

ri *2 ( 14- e jv « l J -L x ïi ( 1 + la )

d'où l'augaentation relative de volume

^ 11 = 1 '+ 2C ": "Y » * .

r? « 2 . 5 - Argieau en rotation —

Applique la foraule (4) ou p. est la force de. masse par unité«Lvx

de surface, soit :2

n - re^V a, /2 .

Pie - ^

d'où : D / ,2 2 2= P^ V. . f (eo r)

* 4^ l

ou : N, =»'. P T2 v ' viti;-s- li---.'.i»3© [M.BAHUAUD], [1968], INSA de Lyon, tous droits réservés.

IY . 3 MgELQPP] ^ EPAISSE ^

1 "» 3» 1 ~ Hise_ é m ritdi jgi ].èBe

Dans les enveloppes épaisaea on no peut plus considérer les contraintes ïï et"c

K constantes dans l1épaisseur de la paroi

Isolons un petit élément a a1 b br df ouverture dc^ et de

largeur unité et cherchons 1! équation rn.. df éffiiilffire —

La somae algébrique de la projection des forces sur l'aze de l'élément

est nulle

N » r do£ « » force appliquée sur la paroi interne de l'élément »

(H -f -« 3? , dr ) ( r -f dr ) d <«£• 1 = force appliquée sur la paroi externe

2 de l'élément »

do/2 1, t d r * 1 * ...LX s=s force appliquée sur les parois2 latérales «

D'où l1 équation : ^ M

N » r d c< * 1 -f ( S -f- —2- * d9 ) ( r• -f d r) do( , 1 -f 2 H d . U = Ir r d r ^ t r 2

Bens le développement nous négligerons les termes du 3° ordre et au-delà•»•••* •*• / TVT

D'où ïïr ,._jCL-*-iît5 ' ** 1$»J£»~&*^*~~ I « d »--â-s ^ —se- »jj<-ar'« r , "

X+ Ht .J r< J 4 ' 0 \


a MSoit N. - I - r —-£- = 0

I r d *

R jLP.a r.::.r;i u e **

Pour les enveloppes minces, nous écrirons

Hr - - Pie

d intérieurr = ——~—«,——~2

d H. ~£v A »r « Pie

d £? er ""

ri* £•d'où l'équation I, + p. - -i- x ~Ï2~ = 0

t i* 2 • ef

comparable si p. est négligeable devant les autres termes avec (4:) de I\T*2 4*xe

11 faut joindre à l'équation d'équilibre ( 7 ) , les relations entre contraintes

et défortiations .

Utilisons las foraules de LâliE ( 1 0 ) III,J.3 .

\.. Xe +2/-i-er

< it - X a + 2/4 lt

iz « X e + 2/, £z\

L s $_ , Ç , * C sont donnes par les formules (l), (2)?- (3) de 17*1,2 »j» ^ 't *- Z

Ces allongements ont pour valeurs :

C du r u / r«,î « «±u v =2 * - gs. -a - Cter , ^-t ^ r

êr r

S'étant fonction que de u en portant ïï , H dans ( 7 ) nous obtenons uner *uéquation différentielle en u i

Après calculs, il vient :

d!ji... +J.. *L - g » 0 (8)d 2 r dr rr .


- 24 -

17., 3» 2 - FQBH^g^DE_LAMg^«

- On peut écrire (8) sous la forme .:

d f 1 à ( N 1 n~Ji~ — ~~~ ( r u ) = 0dr L r dr- J

Intégrons une lèro fois :

L JL. ( r u . ) - Cr d r 4

d ( ru) _ „******** ~- U. 4»

dr 1

Intégrons une 2èiae fois :

d,où L.» s ^. + l£ ( 9 )1 2 r

Cette valeur do u permet de calculer .N , • ïï^. , Ng , en fonction de r ,

C et Cp. - En effet î

.„ ô = ^ _ + f , +f"—r *•--t ^"Z

C1 C2 °1 G2/« J_ . . + J_ + + a2 /& 2 /2/£ /r

| 0 ^ 0 + a '

D'où l'osiorassion dos contraintes

Hr = A ( c r + a ) + 2^ (!L . J.)r

Nt = )| ( C1 4- a ) + 2yU (2l. + ^- )

Hz - A (c, +-A.) 4- ^y^< cvEn faisant xm changement do variable, il vient :

~i .* A -~4*r r2

I!t . A. + -f- (10)

r '

H « G " :

2


«25 -

Détenainatiga de A . B 8 G ; .

1) \ S8 'rp1 r - f c j

d'où - p = A -. JL (a)

R 2R1

2)\ - -p2 r .E 2

- B U « A - i- (b)K/

\ F !

3} G « — P étant la force longi-• S

tudinale dans le tufce et S sa

section droite *

1 1 1lous poserons «-* = h ^v «—* » h ~-* « hr 2 2 ^

^ ^(a) .> f - PI = A - B h1

(b) j> j - P2 ' « A - B h2

(a) - (b) ^> - PI + p2 « B ( hg - 1^) ->

-

d'où B = ~i Z~~h l " h 2 •

et -p t b2 + p2 ^ = A ( -h2)

A _ Pi \ " P2h1

h1 "^


Porter en absisses 11 » **~ , en ordonnées les contraintes N , N. % Dans2 r

ce système dfa}ces , r N et H sont représentés par des droites *

.Chorcitoris deux points de la droite représentative de H » Nous savons que

pour

k » îtt _v Hr « - P1 y point E

& * fcg > »r « -P2' ^_vpoint F

E F représente la variation de I en fonction de h *rPour obtenir , , remarquons que N. » H quand h « 0 j clest le point A •

t t r

-26 -,

Formules de LMS :

p h ~ p h p - p 2 ~N = -i~=~ ^—L - ~i~ =-—. Hr

h1 - h2 h1 - ;( 10')

p h2 - p h p - p» S ... '.... ^ : < , . ! , . . + ...! ,.t I-i

h ,"^ h l"h2


Pj ^ -, h2Nous avons -~» = -~-~ d'on x ~ —

z h2 Ix, -J^ j> s-

Cr la contrainte N. nax est égale à If, nax = 2 x 4- p, ; soitt/ i» ih0 P1 (ho + )

"t =2^, —• * P, - -!-5—ihl ~ "2 h, - l

La condition de résistance osb sïït < Rt

d'où PI ( h2 + h1 ) < Rt ( - h2 )

h2 ( PÎ - Rt ) < ' ( Rt - Pl )

-27-

La pon-co de la droite H étanb opposée à cello de îl , la construction s'ent« r

déduit aiséncnt «

^ 5* 4 - gA ICULIER p1 J>__P2

Raisonnons stir l!époro î

p- étant très grande par rapport à Pp , on pout négliger p* * La plus

gronde contrainte principale ose alors H. poior h ~ h, *


- 28 -

1 R, R4. ~ P R0 t / ÏL - P '

co^o h = L. _> ( J_ ) / JLJL _> «L >\/JL_A .R2 R2 \ - P2 R1 ^ Rt ~ pl

o = Sp ~ ^ nous âonno

' /" a. + p ' -,« > M v^-^1 - 'i * \ - »i

On voit donc gufil existe une prussion limite î

* -C RtPoirr axismontor cette pression, il faudra .frcttor lo tube *


*. 5 —

C E A P I T R E 4

OTTRâ£îm_Sg©T]^^^^MlJ^F^r_Ajm^Œ

4-1 Une chaudière cylindrique de diamètre intérieur égal à 2 m et d*é-o

paisseur de paroi de tO nim est soumise à une pression de 10 kgp/crn »

Calculer la contrainte tangentielle octaédrique»

4-2 Une chaudière cylindrique de diamètre 1,8 m et d'épaisseur de paroio

20 mu est soumise à "une presaion de 14 kgp/çm *

Déterminer la contrainte tangentielle maxiraum dans la paroi de la

obardiëre. Sur quelle facette s1exerce-t-elle ?

4 «* ? Dans la paroi dfun résevoir cylindrique en acier (Toir figure) fOn découpe un élément reçtangulaireabcd, les côtés àb, cd étant

pax-allèles auz génératrices du cylindre • Le diamètre du cylindre es-t

3) » 100 cm ; l1 épaisseur de la paroi e = 10 mm j la pression inté<~n

xûeure p « 20 kgp/cm • Le cylindre est comprimé par une force Ion-

eitudîaale P = 50 tp.

PétermJner les contraintes normale et tangentielle relatives à la

facette ce, perpendiculaire à l1élément plan et faisant un angle de

30° avec la direction de la génératrice du cylindre cf*

Calculer la dilatation linéaire maxisium pour |.e point situé au centre

do lfélément»

Calculer la contrainte tangentielle octaédrique*

4 *- 4 Déterminer l'épaisseur dfune conduite dfeau en fonte de diamètre

100 cm soumise à une pression de 120 m d*eau* a contrainte admis*-QBible à la traction pour la fonte sera prise égale à 200 kgp/cm «


- 6 -

4 •"- 5 Une conduite dleau en acier de diamètre 60 cm travaille sous une

pression de service de 120 m dfeau« Quelle est l'épaisseur de la

paroi de la conduite si la contrainte admissible est prise égaleOfc

à 800 kgp/cm et si on tient compte dfune diminution possible de

lfépaisseur de la paroi de 2,5 mm à cause de la corrosion*

4—6 La figure représente un tube d'acier soudé sur deux collerettes

dfune barre de même acier* Le tube est soumis à une pression inté-r\

rieure de 1400 kgp/cm « La barre est soumise à tin effort P = 4 tp»

La barre et le tube s1 allongent de la même valeur» Déterminer les

contraintes d'extension longitudinale dans la partie moyenne de la

barre et dans le tube» Prendre ~ 0,25

4 — .7 Quelle pression Intérieure peut être admise dans un récipient se

composant dhm cylindre de cuivre (diamètre extérieur 50 cm, épais-

seur de la paroi 0,4 cm) et sur toute la longueur d'une enveloppe

d*acier d*épaisseur de paroi 0,2 cm f si la contrainte admissible

dans le cuivre est égale à 400 kgp/cm et dans licier à 1600 kgp/2cm ? Pour le calcul négliger les contraintes parallèles aux gé-

nératrices*

Prendre E acier / E cuivre « 2

4-8 Déterminer les valeurs des contraintes normales maxima dans un ré-

servoir conique (dfangle au sommet « 40°) suspendu par Panneau

1B et rempli d*eau sur une hauteur de 5 m • (voir figure)

Epaisseur de la paroi e = 4 mm


4 — 9 Un réservoir cylindrique de diamètre 2f4 m avec tin fond hémis-

phérique est rempli d*eau (voir figure) l'épaisseur de la paroi

de la partie cyljjidrique et du fond du réservoir est égale à 4 mm*

Déterminer la contrainte normale maximum dans la paroi de la par«~

tie cylindrique et dans la paroi du fond du réservoir*


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