Rapport de stage LAL Stage de 2 semaines au Laboratoire de

l’Accélérateur Linéaire (Orsay) du

24/06/13 au 5/06/13

Etudiant stagiaire : Oriane Redouté (Magistère 2)

Maître de stage : Nicolas Delerue

Remerciements

Je remercie tout d’abord le directeur du laboratoire, Achille STOCCHI, de m’avoir accueillie au LAL.

Je remercie également Nicolas DELERUE pour avoir accepté de me prendre dans son équipe malgré la durée

courte de mon stage. Il m’a consacré beaucoup de temps, et m’a appris à me servir de Matlab, et a organisé de

nombreuses visites très instructives dans le laboratoire. Je me suis sentie complètement intégrée dans l’équipe

(composée de stagiaires et de doctorants), et c’était un vrai plaisir de travailler avec eux. Je remercie d’ailleurs

les stagiaires avec qui j’ai travaillé, pour m’avoir donné de l’assistance sur Matlab.

Je tiens à remercier les différentes personnes qui m’ont parlé de leur métier et de leurs recherches pendant les

différentes visites effectuées au laboratoire.

Table des matières

Remerciements ................................................................................................................................................... 1

1) Présentation du laboratoire de l’accélérateur linéaire (LAL) ............................................................................ 3

2) Eléments de théorie ........................................................................................................................................ 3

3) Mon travail au LAL .......................................................................................................................................... 5

a) Etapes du code............................................................................................................................................ 5

b) Intégrales QU et Matlab ............................................................................................................................. 5

c) Programmes pour calculer .................................................................................................................. 6

d) Programmes pour calculer l’énergie par unité d’angle solide pour 1 seul électron, ainsi que les termes

cohérents et incohérents. ................................................................................................................................ 7

3) Visites et séminaires ........................................................................................................................................ 7

Conclusion........................................................................................................................................................... 7

Bibliographie ....................................................................................................................................................... 8

Résumé ............................................................................................................................................................... 9

Abstract .............................................................................................................................................................. 9

1) Présentation du Laboratoire de l’Accélérateur Linéaire (LAL)

Le Laboratoire de l’Accélérateur Linéaire à Orsay, dirigé par Achille STOCCHI, est une unité mixte de l’Université Paris Sud et du CNRS. Ses activités sont la physique des particules, la cosmologie et l’astronomie, et les accélérateurs de particules. Le département ‘accélérateurs’, dirigé par Alessandro VARIOLA, s’occupe de l’expérimentation et de la théorie sur les accélérateurs linéaires et circulaires, les sources et injecteurs, les diagnostics, pour le maintien des compétences techniques. Le groupe ETALON est en charge des diagnostics avancés ; son responsable est Nicolas DELERUE, mon maître de stage.

2) Eléments de théorie

La radiation de Smith Purcell est émise lorsqu’une particule chargée (ou un faisceau d’électrons par exemple) relativiste passe à proximité d’un réseau métallique. Elle a été découverte par S.J.Smith et E.M. Purcell en 1953. Une des manières de décrire l’émission de cette radiation est la suivante : le passage du faisceau induit une charge surfacique sur le réseau, qui est accélérée à cause de la structure périodique du réseau ; il en résulte des interférences, et on observe une dispersion angulaire des longueurs d’onde : la relation entre la longueur d’onde de la radiation, l’angle d’observation, la période du réseau et la célérité de la charge est :

,

où l est la période du réseau, n l’ordre d’interférence et l’angle d’observation par rapport à la direction du faisceau.

La radiation de Smith-Purcell est un phénomène utile pour plusieurs applications : en jouant sur la dépendance en d et en , on peut obtenir une source de radiation de longueur d’onde choisie ; l’observation de la distribution spectrale angulaire peut permettre de reconstruire le profil longitudinal du faisceau, ce qui peut être utilisé comme méthode non destructive pour le diagnostic des faisceaux dans les accélérateurs de particules. Toutes les équations présentées ici utilisent les unités du système Gaussien-CGS (système dans lequel sont écrits les papiers de références). Les formules mathématiques suivantes sur la théorie des courants de surface de

Foucault ont été établies par DOUCAS (voir référence [1]). La plupart des codes (dont ceux que j’ai étudiés et créés pendant mon stage) se basent sur ces formules. L’énergie émise par unité d’angle solide et par unité de fréquence par une distribution de charge continue est

déterminée à partir de la densité de courants de surface induits , par l’expression :

|∫ ∫

|

,

Avec la direction d’observation, et le vecteur position de la densité de charge.

Le résultat de la triple intégration est le vecteur , qui doit être évalué séparément sur les 2 facettes pour

chaque période du réseau (

).

On utilise alors les intégrales suivantes pour calculer les composantes des vecteurs et

(p= 1 ou 2) :

Avec , , (

) , et .

Les limites et de l’intégrale selon z sont (0, ) pour la facette 1, et ( ,l) pour la facette 2. w est la longueur

du réseau ; grâce à la symétrie par rapport à l’axe y, l’intégration selon y se fait entre 0 et w/2. pour la facette 1 et pour la facette 2. pour la facette 1 et . Le facteur de phase ψ vaut 0

pour la facette 1 et

pour la facette 2.

On obtient les vecteurs et

par combinaison linéaire de ces quatre intégrales QU1, QU2, QU3 et QU4.

On en déduit alors

, ainsi que les polarisations et , avec , et

Ces 2 polarisations permettent de définir la constante d’efficacité R du réseau (elle ne dépend que des paramètres du réseau) :

. Ces résultats permettent d’exprimer l’énergie émise par unité d’angle solide (par stéradian par cm) pour un seul électron :

(

)

.

L’énergie émise par unité d’angle solide pour un faisceau d’électron est la somme d’un terme cohérent et d’un terme incohérent :

(

)

(

) {

}.

Avec ∫

et |∫

| |∫

| |∫

|

où X(x), Y(y) et T(t)

sont les profils du faisceau sont x, y et t (i.e. z). C’est le terme cohérent qui permet de reconstruire le profil du paquet d’électrons : l’intensité donne le module, et les relations de Kramers-Krönig permettent de retrouver la phase, et ainsi on peut obtenir le profil à l’aide d’une transformée de Fourier. Remarque : Dans le cas d’un réseau de largeur infinie, l’énergie émise par unité d’angle solide peut s’écrire :

(

)

( ne dépend plus de x dans ce cas), où la longueur d’onde évanescente (mesure du couplage entre le faisceau d’électrons et le réseau) est

√ .

3) Mon travail au LAL

a) Etapes du code

Apres un travail bibliographique, qui m'a permis de comprendre le problème et d'identifier les différentes étapes du calcul (voir la partie théorique plus haut), j'ai décomposé le code de G. Doucas en plusieurs étapes et analysé celles-ci, afin d’identifier les endroits où il faudrait intervenir pour apporter des améliorations sur le calcul (en méthode et vitesse) de certaines intégrales, comme par exemple les intégrales QU.

b) Intégrales QU et Matlab

Dans toutes les parties suivantes, j’ai utilisé les mêmes valeurs numériques que celles de la référence [2]. J'ai ensuite appris à utiliser Matlab, et tracé les fonctions à intégrer pour calculer chacune des intégrales QU ; puis intégré chaque QU par plusieurs méthodes (proposées par Matlab, elles utilisent une décomposition de l’espace en petits éléments, ou un calcul itératif lorsque les bornes ne sont pas finies) : le temps de calcul était beaucoup plus court avec Matlab que lorsque les intégrales étaient calculées avec Mathematica (qui calcule analytiquement). Pour le graphe des fonctions sous les intégrales QU1, j’ai obtenu des résultats similaires à ceux obtenus à l’aide du code Mathematica (référence [2]) :

Graphes de l’intégrant de QU1 obtenus par Matlab (à gauche) et Mathematica (à droite), dans le cas θ=90° et φ=0°.

Graphes de l’intégrant de QU1 obtenus par Matlab (à gauche) et Mathematica (à droite), dans le cas θ=40° et φ=5°.

Remarque : Les oscillations en y sont dues au terme en cosinus sous l’intégrale QU1.

c) Programmes pour calculer

En utilisant les mêmes étapes de calcul (formules données plus haut, dans la partie théorique de mon rapport) que le code étudié en début de stage, j’ai créé un programme permettant de calculer , puis j’ai tracé , et finalement afin de déterminer les intervalles de l’intégrale qu’il faudra contrôler particulièrement . J’ai obtenu les graphes suivants (pour le 2e, je n’avais pas toutes les données du réseau et du faisceau utilisé dans la référence [2], ce qui explique l’écart entre les résultats obtenus avec les 2 logiciels différents) :

Comparaison entre les graphes de en fonction de l’angle d’observation θ et de l’angle azimutal d’observation φ, obtenus

avec Matlab (à gauche) et Mathematica (à droite)

Remarque : Les pics correspondent aux angles où l’émission de la radiation de Smith Purcell est maximum.

d) Programmes pour calculer l’énergie par unité d’angle solide pour 1 seul électron, ainsi

que les termes cohérents et incohérents.

Après avoir calculé , l’étape suivante est de multiplier par une constante pour calculer et tracer (

) . Il faut

ensuite calculer et tracer et , pour finalement obtenir (

)

.

J’ai commencé des programmes permettant cela, mais, compte tenu de la durée de mon stage, je n’ai pas eu le temps de les tester.

3) Visites et séminaires

Lors de mes 2 semaines de stage, j’ai eu l’occasion d’assister à des visites et séminaires organisées par le LAL, et me permettant entre autres de découvrir le fonctionnement du laboratoire et quelques domaines étudiés actuellement. En effet, nous avons visité le bureau d’études (où des ingénieurs élaborent les plans des robots/matériels nécessaires aux chercheurs pour leurs expériences), l’atelier mécanique (où certains de ces outils sont construits), l’accélérateur « PHIL », la partie « ondes gravitationnelles » (qui étudient sur un modèle réduit le Michelson géant VIRGO), « ACO » l’accélérateur collisionneur d’Orsay, la partie « hyperfréquence » (où sont étudiés les effets sur les champs d’une cavité hyperfréquence, lors du passage d’un électron ou d’un paquet d’électrons), et pour finir nous avons visité la partie où sont testés des coupleurs fabriqués en Allemagne (assemblés sur une partie cryogénique du collisionneur, dont la production doit à terme être considérablement augmentée).

Conclusion

L’équipe travaillant sur la radiation de Smith-Purcell dispose maintenant des programmes écrits en Matlab pendant ce stage et de leur fonction dans le calcul global. Elle pourra donc les utiliser (ou non) et les modifier, pour obtenir de meilleurs résultats, et au final assembler tous ces codes à d’autres pour former un programme similaire à celui que j’ai étudié en début de stage, mais plus rapide et utilisable sur n’importe quel ordinateur (suffisamment puissant) sur lequel Matlab est installé.

Bibliographie

[1] : J.H. Brownell, J.E. Walsh, G. Doucas, Spontaneous Smith-Purcell radiation described through induced surface currents. Physical Review E,57,1075, (1998). [2]: E. Maclean, Phys. Report: Smith Purcell Radiation.

[3]: Nicolas Delerue, A monitor for single shot longitudinal profile measurement based on Coherent Smith-

Purcell radiation

[4]: A.S. Kesar, M Hess, S.E. Korbly, R.J. Temkin, Time- and frequency-domain models for Smith-Purcell radiation

from a two-dimensional charge moving above a finite length grating. Physical Review E,71,016501 (2005).

[5]: Alexander Petrovich Potylitsyn, Electromagnetic Radiation of Electrons in Periodic Structures. Edition

Springer (Springer Tracts in Modern Physics 243, Elementary Particle Physics).

Résumé

La radiation de Smith-Purcell est le phénomène qui a lieu lors du passage de particules chargées à proximité d’un réseau (périodique) métallique : il y a émission de radiation. Cet effet a plusieurs applications, notamment la mesure du profil longitudinal d’un faisceau d’électrons dans les accélérateurs de particules. Il a été beaucoup étudié par G. Doucas ; il existe ainsi un code en C permettant de calculer la radiation émise en fonction de l’angle d’observation, mais ce code dépend de bibliothèques qui ne sont disponibles que sur une machine à l'Université d’Oxford, d’où la nécessité d’en créer d’autres pouvant être accessibles à un plus grand nombre. Les codes écrits avec Mathematica ont le défaut d’être très long à exécuter (à cause de la méthode d’intégration de ce logiciel). L’objectif de mon stage était donc de traduire des parties du code en langage C en code Matlab (qui intègre beaucoup plus rapidement), j’ai dû pour cela étudier au préalable le code en C bien en détail, en utilisant les différentes formules trouvées dans différents ouvrages bibliographiques.

Abstract

Smith Purcell Radiation (SPR) is emitted when a charged particle – or bunch of particles – passes over a periodic metallic grating: radiation is emitted by the grating, angularly dispersed according to the wavelength. This phenomenon has important applications to the measurement of longitudinal bunch profile in particle accelerators. G. Doucas established mathematical formulation of the surface current theory, which are the bases of code describing SPR written in C. But this code is only available on one machine in University of Oxford (due to special libraries). There is also Mathematica codes, but there are very slow, due to the integrating method. The purpose of my work in LAL was to write Matlab codes, which give the same results as C and Mathematica codes. So I begin my internship by studying references in order to understand the mathematical formulations, and know the role of the different parts of the C code.