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Mémoire de DESS de Mathématiques Appliquées

Analyse des Images d’IRMfModélisation de la réponse hémodynamique et utilisation des

séries de Volterra pour le traitement des corrélations temporelles

Charles BOUVEYRON

Université Lyon 1 – INSERM U280

Septembre 2002

Licence

Copyright c�

2002 Charles BOUVEYRON <[email protected]>. Version 1.0 du 16 dé-

cembre 2002. Nouvelles versions de ce document sur http://www.optim.fr.fm/site/work/.

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de page de couverture, cité ci-dessous, et sans texte de dos de couverture.

Texte de couverture :

Analyse de Images d’IRMf -- Modélisation de la réponse hé-

modynamique et prise en compte des corrélations temporelles

Charles BOUVEYRON

3

[email protected]

http://www.optim.fr.fm/site/work/

Remerciements

Je tiens à remercier Claude DELPUECH qui m’a encadré durant ce stage, ainsi que Pierre FON-

LUPT ; tous deux m’ont aider à appréhender les différents aspects d’imagerie et de neuroscience né-

cessaires à mon travail.

Un grand merci à l’ensemble de l’unité 280 pour leur accueil.

Je remercie également Nicolas THIÉRY pour son attention et ses conseils toujours opportuns.

5

Préface

Ce rapport a pour but de consigner à la fois les choses que j’ai apprises lors de mon stage à l’unité

280 “Processus mentaux et activations cérébrales” de l’INSERM, et les résultats des mes travaux.

Ce travail a comme sujet le traitement événementiel des signaux en provenance des imageurs IRM.

Pour cela il m’a fallut analyser, programmer et tester des modules de calculs permettant d’extraire

les courbes d’activation IRMf correspondant à des séquences de stimuli imbriqués, en utilisant un

modèle linéaire généralisé. Une autre partie de ce travail a consisté en une analyse bibliographique de

l’utilisation des séries de Volterra pour le traitement des signaux d’IRMf présentant des corrélations

temporelles.

Le travail théorique rapporté dans ces pages s’est doublé de la conception d’un module de calcul,

dénommé “TLM”, permettant de mener les analyses d’images issues d’IRMf. Ce module a pris place

dans le logiciel ACTIVIS développé par l’unité 280 de l’INSERM et l’ISC - CNRS.

Ce stage m’a permis de connaître le monde de la neuroscience, où se cotoient des spécialistes

de disciplines différentes, ce qui est un gage d’ouverture à mon sens, et ce qui a été particulièrement

enrichissant. Ce domaine d’application des Mathématiques appliquées m’a particulièrement intéressé,

et j’envisage de poursuivre dans ce domaine de recherche.

7

Table des matières

1 Introduction 11

2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf 13

2.1 L’Imagerie par Résonance Magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Historique de l’Imagerie par Résonance Magnétique . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Principe physique de l’IRM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Le Modèle Linéaire Généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Prétraitements des images acquises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 Le Modèle Linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3 Le modèle linéaire pour l’IRMf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 La détection des activités fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 L’effet de certaines conditions : le test F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.2 L’effet d’une condition par rapport à une autre : le test T . . . . . . . . . . . 20

3 Modèle linéaire général et réponse hémodynamique 23

3.1 Les modèles de réponse hémodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 Box-car . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.2 Gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.3 Somme de lois Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.4 Modèle canonique de réponse hémodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 La design matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 La design matrix dans le modèle linéaire général . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Construction de la design matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Considération de l’historique des stimuli - méthode empirique 29

4.1 Le phénomène physiologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Modélisation mathématique et implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Modèle non-linéaire et séries de Volterra 33

5.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9

Table des matières

5.2 Théorie générale des séries de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Utilisation des séries de Volterra pour l’analyse des réponses non-linéaires en IRMf . 35

5.4 Discussion et propositions pour un travail futur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Expérimentations 37

6.1 La méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.1 La design matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.1.2 Les données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Mise en oeuvre et résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Analyse des données simulées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Conclusion sur l’expérimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Conclusion 43

10

1 Introduction

Les processus impliqués dans l’activation cérébrale consomment de l’oxygène ; une diminution

locale de la concentration en oxygène induit une dilatation des artérioles, suivie par une augmentation

du débit sanguin et, finalement, une accumulation d’hémoglobine oxygénée dans les capillaires et

veines. Cet effet est appellé la réponse hémodynamique et est particulièrement visible sur les décrois-

sances en �� du signal IRMf. Ce phénomène entraine une élévation de la proportion d’oxygène dans

le sang veineux, ce qui modifie les caractéristiques magnétiques du sang (moins de déoxyhemoglo-

bine paramagnétique) et génère un signal de Résonance Magnétique Nucléaire augmenté par rapport

au signal de base. Ce signal est appelé BOLD (Blood Oxygen Level Dependent). La méthode BOLD

est la plus utilisée en IRM fonctionnelle ; cependant, les méchanismes précis qui lient le contraste

BOLD à l’activité cérébrale ne sont pas encore totalement connus.

La compréhension des fonctions du cerveau ne requiert pas seulement de posséder des informa-

tions sur la localisation spatiale de l’activité neuronale, mais aussi sur son évolution temporelle. Un

certain nombre de modèles de la réponse hémodynamique1 sont obtenus par une convolution linéaire

de l’activation neuronale avec une fonction de modulation.

1Nous utiliserons fréquemment par la suite la notation anglo-saxonne HRF (Hemodynamic Response Function).

11

1 Introduction

12

2 Méthode d’analyse des signaux d’IRMf

2.1 L’Imagerie par Résonance Magnétique

L’Imagerie par Résonance Magnétique, notamment fonctionnelle, a des applications majeures en

médecine. L’apparition de l’IRMf ouvre de nouveaux horizons de recherche dans des domaines mé-

dicaux relativement obscurs en matière de connaissance, tels que la gestion de la douleur, la connais-

sance de la vision humaine, du langage humain, du raisonnement verbal, ... . La neurochirurgie, par

exemple, nécessite de connaître la “carte” personnalisée des fonctions cérébrale du patient, d’autant

plus que la présence d’une tumeur modifie généralement l’emplacement habituelle d’une fonction. On

peut espérer que l’IRMf soit l’outil de demain qui permette d’obtenir ces “cartes”, et ce sans danger

ni douleur pour le patient.

2.1.1 Historique de l’Imagerie par Résonance Magnétique

En 1890, ROY et SHERRINGTON, physiologistes anglais, mettent en évidence la corrélation entre

la variation locale de débit sanguin et l’activité cérébrale. On a, par la suite, remarqué que cette

augmentation locale de débit sanguin allait de pair avec une augmentation du taux d’oxyhémoglobine

local. Ce mécanisme n’est pas encore complètement expliqué ; en particulier, le rôle de l’oxygène

n’est pas tout à fait élucidé.

C’est justement sur l’augmentation du taux d’hémoglobine local, que se base la méthode qui est

la plus utilisée actuellement : la méthode BOLD1. Cette méthode repose sur les propriétés magné-

tiques remarquables de l’hémoglobine. En effet, l’oxyhémoglobine est dia-magnétique, tandis que la

déoxyhémoglobine est para-magnétique, et c’est ce qui permet d’utiliser un scanner IRM, avec des

acquisitions en � �� très sensibles à l’inhomogénéité magnétique locale des tissus, pour déceler les

variations locales de débit sanguin.

2.1.2 Principe physique de l’IRM

Nous ne rentrerons pas dans les détails du phénomène physique de la résonance magnétique.

Pour une information complémentaire, on pourra consulter par exemple les ouvrages [Cou-1986] et

[San-1995].

1Blood Oxygen Level Dependent

13


FIG. 2.1: Effet BOLD : Pas d’activité cérébrale (Fig. de gauche). Augmentation du volume sanguin etdu taux d’oxyhémoglobine du fait d’une activité cérébrale (Fig. de droite).

Nous dirons simplement que la mesure IRM repose sur trois facteurs principaux :

1. l’application d’un champ magnétique intense (0.5 à 5 Tesla),

2. la perturbation de l’aimantation par l’émission d’ondes radio-fréquences, ce qui permet de faire

résonner les molécules d’hémoglobine,

3. l’application d’un gradient de champ qui varie dans l’espace, ce qui permet d’imager le cerveau.

2.2 Le Modèle Linéaire Généralisé

Le scanner IRM fournit une série d’images brutes sur lesquelles on désirerait localiser les zones

d’activation cérébrale, et estimer la corrélation avec le paradigme. Pour cela, les images acquises et

issues du scanner IRM doivent être transformées avant d’être traitées numériquement et statistique-

ment.

2.2.1 Prétraitements des images acquises

Avant de pouvoir être étudié en vue de déceler les zones d’activations fonctionnelles, le signal brut

issu du scanner IRM nécessite des transformations. Les transformations effectuées dans la pratique

ont les objectifs principaux suivants :

– Rephaser les images. Cette étape est nécessaire du fait que l’acquisition d’un volume cérébral

n’est pas instantanée, ce qui implique de rectifier les décalages engendrés de façon à ne pas

perturber les analyses futures.

– Corriger les effets de mouvements de la tête du sujet en réalignant les volumes cérébraux entre

eux.

– Normaliser éventuellement les images en les remplaçant dans le repères de Talairach.

14


FIG. 2.2: Principe d’acquisition des images en IRMf

– Lissage spatial de manière à améliorer le rapport signal / bruit.

– Lissage temporel éventuel.

Il est a noter que certaines des transformations énoncées ci-dessus peuvent avoir des effets non-

négligeables sur la détection des activations fonctionnelles - éventuellement en trouver où il n’en

existe pas ! -, en particulier la correction des effets de mouvements comme le montre l’article de

Freire & Manguin [Fre-2001].

2.2.2 Le Modèle Linéaire

Pour représenter la réponse hémodynamique et chercher les corrélations avec le paradigme, on

fait le choix le plus souvent d’utiliser le Modèle Linéaire Généralisé, dont nous allons rappeler la

théorie générale ci-dessous. Pour cela, on introduit l’information a priori que l’on possède sur le

paradigme, en choisissant une HRF. Le modèle linéaire va permettre de résumer et de réduire la

masse d’information.

Notations

Nous allons tout d’abord définir les notations qui seront utilisées par la suite.

On appelle session une série de � volumes cérébraux imagés par le scanner IRM au cours du

15


temps ; chacun des volumes cérébraux est appelé scan. Un scan est constitué de coupes, qui sont cha-

cunes divisées en petits volumes élémentaires, dénommés voxels (on pourra faire l’analogie avec la

division d’une image en pixels). On s’intéresse à l’évolution temporelle d’un voxel, que l’on représen-

tera par une vecteur colonne � de longueur � , correspondant aux � instants d’acquisition des images ;

on peut représenter en un seul ensemble l’évolution au cours du temps de tout un volume cérébral en

rassemblant ces vecteurs colonnes dans une matrice � de taille �� , où � est le nombre total de

voxels dans un volume cérébral (environ �� dans la pratique).

L’idée générale du modèle linéaire, que nous développerons plus bas, est de s’approcher de l’écri-

ture matricielle : � ��Pour cela, on utilise les notations suivantes :

– ��! #"$" %'& �(�! #"$" ) est la matrice des données (fournies par l’imageur), qui est composée

des � vecteurs � � représentant l’évolution temporelle du voxel * ,– � est la matrice d’expérience (Design Matrix2 en anglais) ; elle contient l’information connue

a priori sur le protocole3 . � est de taille �+�-, , où , est en général très inférieur à � et � . La

dimension , est proportionelle au nombre de facteurs (types de stimuli, de tâches) considérés

dans l’étude. Le sujet de notre travail est de générer cette design matrix (DM) à partir des

informations de l’expérience, et les connaissances a priori.

– � est le vecteur contenant les paramètres �.� que l’on souhaite estimer. Le but final étant d’esti-

mer leur espérance.

– � est le vecteur contenant les résidus (erreurs) �/� ; on les suppose indépendants et identiquement

distribués selon une loi normale 02135476 ��8 .

Formulation et principe

Avec les notations ci-dessus, la représentation matricielle suivante illustre le principe du modèle

linéaire générale :9:::::::;

�5 # <�5 � =>=>= �5 ?)� � . . .

.... . .

...��%@ =>=>= ��%�)

A>BBBBBBBC�9:::::::;

D # =>=>= D FED � . . ....

.... . .

...D %@ D %(E

A>BBBBBBBC�9:::::;� # =>=>= � ?)� � . . .

......� E =>=>= � E>)

A>BBBBBC �

9:::::::;

�> # G�/ � =>=>= �/ ?)� � . . .

.... . .

...�#%@ =>=>= �#%�)

A>BBBBBBBC

L’interprétation géométrique de la recherche de cet ajustement linéaire est de tenter de répondre à

la question suivante : “Peut-on confiner l’espace des � � (de dimension � ), dans l’hypersurface engen-

2Nous utiliserons dans la suite la notation anglo-saxonne DM.3Ensemble de tâches effectuées par le sujet, ou ensemble de stimuli auquel est soumit le sujet.

16


FIG. 2.3: Fonctionnement général du traitement des images d’IRMf. [Fri-1997]

17


drée par les D � , de dimension inférieure ou égale à , (on rappelle que ,�� ) ?”

Estimation des paramètres � �Comme nous l’avons dit plus haut, on cherche à s’approcher de la décomposition linéaire exacte

suivante : � �� L’idée est donc de partir de l’équation matricielle du modèle linéaire et de minimiser l’erreur � ;

l’utilisation de la méthode des moindres carrés s’impose donc pour estimer les paramètres � � , ce qui

revient à minimiser sur � la fonction des Moindres Carrés :

� ��

� � 13�� 8� 13�� 8� � � � � ��

Ce qui nous amêne, par dérivation matricielle, aux équations normales :

� � �� (2.1)

dont la solution correspond à un minimum car la matrice Hessienne � � � est définie positive.

On a alors le vecteur � , estimé des Moindres Carrés4 de � :

� � 1 � � � 8�� (2.2)

et les valeurs ajustées sont :

�� Remarque : Le calcul de l’estimé des Moindres Carrés de � nécessite le calcul explicite de la

matrice 1 � � � 8 � , ce qui peut entraîner des erreurs de calculs importantes si la matrice est mal

conditionnée ( ��>1 � � � 8�� ). Or c’est le cas fréquemment pour ce qui nous intéresse ; on aura

donc recours à l’utilisation du pseudo-inverse 1 � � � 8�� de Moore-Penrose [Pen-1955]. Ce dernier

est définit pour une matrice � de taille � � � par :

� � � 1�� 8 � � �4L’estimé des moindres carrés est un estimateur BLUE (Best Linear Unbiased Estimator).

18

2.3 La détection des activités fonctionnelles

2.2.3 Le modèle linéaire pour l’IRMf

Dans le cas de l’IRMf, on a vu que le processus ne correspond pas exactement à l’observation ; il

y a, en particulier, une réponse temporelle du signal. Pour prendre en compte cette spécificité, on va

convoluer chaque terme du modèle linéaire par un noyau � modélisant cette réponse hémodynamique

temporelle.

On peut alors écrire le modèle linéaire général sous la forme :

� � �� ce qui peut également prendre la forme du modèle linéaire vu ci-dessus en posant :

–�� , qui est de toute façon le signal recueillit par l’imageur,

–�� , qui est la design matrix spécifique de l’IRMf5,

–�� , qui reste un vecteur d’erreurs indépendantes et identiquement distribuées de loi0 1354 �6 � 8 .

Avec ce notations, on retrouve le modèle linéaire décrit ci-dessus, sous la forme :

�� et l’estimé au moindre carrés de � est :

� � � 1 �� 8�� (2.3)


Le but final de cette étape est d’offrir au clinicien et au chercheur une carte des zones d’activations

cérébrales ; pour ce faire, les paramètres �.�� calculés précédemment sont à présent les données de

tests statistiques. Un test statistique de Fischer fournit des cartes qui mettent en évidence l’effet de

certaines conditions (en particulier les conditions d’intérêt) sur le modèle. D’autre part, un test de

Student permet de s’intéresser à l’effet d’une condition par rapport à une autre.

2.3.1 L’effet de certaines conditions : le test F

Pour chacun des voxels, on va tester l’hypothèse nulle �� : � �� (pas d’activation cérébrale due

au facteur � , au voxel * ) contre l’hypothèse alternative �� @� �� (activation cérébrale). En effet,

intuitivement, si dans les paramètres estimés il y a une ligne � � nulle, on peut considérer que la � )� colonne de la Design Matrix (le � )� facteur) n’a aucune influence sur le modèle. Le test paramétrique

employé dans la pratique est un test de Fisher.

5Nous verrons plus bas la construction de cette matrice.

19


Supposons que la matrice de d’expérience soit réordonnée de façon à pouvoir la partitionner en

deux parties :

� �� avec � correspondant aux facteurs d’intéret6 , � � correspondant aux facteurs confondants. On

peut alors partitionner chaque � � de la même manière :

� � � � � � � � ��On va donc tester, grâce au test de Fischer, l’hypothèse nulle �� !� � , c’est à dire que les

facteurs d’intérêt n’ont pas d’effet significatif. Pour celà, nous allons poser :

� � 1� 1 � � � 8 �� 1 � � 8#8� 1 , ��, � 8 1 � � 8� 1 � � , 8où , et , � sont les rangs respectifs de la matrice d’expérience � et de sa partie � � , � est le nombre

d’images acquises au cours du temps (dimension de � ) et 1 � � 8 est le résidu de la somme des carrés

définit par :

1 � 8 � 1 �� 8 � 1 �� 8Avec ces notations, on a que

� suit une loi de Fischer de paramètres 1 ,��, � 4 � � , 8 :

� �� E � E�� & % � EOn choisit alors un pourcentage � de tolérance (en général � %), et on calcule le seuil � de signifi-

cativité d’activation.

� � � E � E�� & % � E 1 � �� 8Le calcul de

� sur tous les voxels * donne une carte, sous forme d’image, qui met en évidence la

présence d’un effet des conditions d’intérêt sur le modèle. En effet, si on a par exemple au * )� voxel �� , on peut conclure qu’il y a un effet des conditions d’intérêt à ce voxel de niveau 1 � �� 8 .2.3.2 L’effet d’une condition par rapport à une autre : le test T

Il nous faut tout d’abord estimer la variance résiduelle 6 �� pour chaque voxel * , c’est à dire la

variance de l’erreur � � dans le modèle linéaire. Le résidu des moindres carrés, nous permet de calculer

son estimée�6 �� :

6facteurs que l’expérimentateur estime comme ayant une influence sur le modèle.

20


�6 �� ,

où � est le nombre d’images acquises, , le rang de la design matrix ; alors�6 �� est un estimateur

sans biais de 6 �� (cf [Chr-1996] pour la démonstration).

On veut alors pouvoir tester les effets d’une des conditions par rapport à une autre. Pour ce faire,

on introduit la notion de contraste en considérant un vecteur � de�

poids ; chacun des poids corres-

pondant à un des facteurs. Si l’on veut tester par exemple les effets de la condition � par rapport à

ceux de la condition � , on utilisera le vecteur � �� G �� .On a alors :

� � � � �� 6 �� 1 � � � 8 � � � � % � Eoù � % � E est une distribution de Student à 1 � ��, 8 degrés de liberté.

On souhaite donc tester l’hypothèse nulle � � �� @� � , ce qui se traduit, dans notre exemple, par

le fait que la condition 1 n’a pas d’effet par rapport avec la condition 3. Pour vérifier cette hypothèse,

on compare � � � �� avec une distribution � de Student à 1 � � , 8 degrés de liberté.

On calcule � � pour tous les voxels * , ce qui fournit une carte qui représente un processus statistique

spatial reflétant l’importance des effets choisis par le contraste � .D’autres tests peuvent être envisagés dans le but d’avoir une meilleure compréhension de l’expé-

rience, notament un test de l’intensité de l’activation ou de l’étendue spatiale de l’activation. Il est bon

de rappeler que ces test statistiques sont sensibles aux procédés de normalisation effectués auparavant

sur les images, et peuvent révéler des activations erronées si les paramètres des pré-traitements étaient

non adaptés.

21


22

3 Modèle linéaire général et réponsehémodynamique

3.1 Les modèles de réponse hémodynamique

Les modèles de réponse hémodynamique que nous avons choisit d’implémenter dans le module

de calcul “TLM”1 , développé dans le cadre de ce stage, sont les suivantes :

– le box-car standard,

– la Gaussienne,

– la somme de trois lois Gamma,

– le modèle canonique de réponse hémodynamique.

Les paramètres de chacune des fonctions proposées, malgré l’existence de paramètres par défaut, sont

entièrement modifiables le cas échéant par l’utilisateur souhaitant spécifier ses propres paramètres.

Pour cela, cet utilisateur devra se repporter au manuel de “TLM”.

3.1.1 Box-car

Le Box-car est la fonction la plus simpliste possible pour modéliser la réponse hémodynamique.

En effet, elle représente cette réponse comme d’intensité constante non nulle dans un certain intervalle

de temps, nulle en dehors du reste de cet intervalle. Cette fonction est définie par :

� 1 � 4 � 8 � ��

où � � � & �� est la fonction indicatrice de l’intervalle � � 4�� .3.1.2 Gaussienne

La fonction Gaussienne, proposée par Rajapakse & al [Rap-1998], présente plusieurs avantages :

– sa moyenne et sa variance sont indépendantes,

– la fonction est très flexible et bien connue mathématiquement.

Elle est définie par :

1Temporal Linear Model

23

3 Modèle linéaire général et réponse hémodynamique

1

0

Intensité

temps (sec.)

0

1

FIG. 3.1: Réponse hémodynamique modélisée par la fonction Box-car.

0

2

1

Intensité

Temps (sec.)

FIG. 3.2: Réponse hémodynamique modélisée par une fonction gaussienne.

24

3.1 Les modèles de réponse hémodynamique

FIG. 3.3: Figure de gauche : les trois fonctions � figées. Figure de droite : la fonction modèle dela réponse hémodynamique, somme des trois fonctions précédentes avec les coefficientsrespectifs �4 � � 4 et �� .

� 1 � 4 � 8 � � �� D , �� 1 � �� 8 � � � �

Les paramètres � � définissent chacun un aspect de la fonction de réponse hémodynamique :

– � � : définit le gain, l’amplitude de la réponse hémodynamique,

– � : la dispersion, proportionnelle à la “durée” de la réponse,

– � � : le délai de temps du maximum de la réponse.

3.1.3 Somme de lois Gamma

La fonction Gamma que nous avons implémenter est une version plus simple et plus facile à

modeliser que la fonction de réponse hémodynamique canonique introduite par Friston. Elle est définit

de la manière suivante à partir de la densité de probabilité de la loi � :

� 1 �(4 � 8 � � �� 1 �(4 4�� 8 � � �� 1 � 4 � 4�� 8 � � � � 1 � 4�� 4�� 8où � est ladensité de probabilité de la loi � , définie par :

� 1 �(4� 4�� 8 � �� 1 � 8 � � � � ��

3.1.4 Modèle canonique de réponse hémodynamique

La fonction modèle de la réponse hémodynamique qui sera sûrement la plus utilisée dans la pra-

tique est celle proposé par Friston & al. [Fri-1994]. Cette fonction est la somme de deux densités de

25


0 1

HRF canonique

Dérivée temporelle

Dérivée de dispersion

FIG. 3.4: A gauche : Aspect de la fonction modèle canonique de la réponse hémodynamique. A droite :Modèle canonique de réponse hémodynamique et ses deux dérivées : dérivée de temps et dedispersion.

probabilité de la loi � . Elle est définit par :

� 1 � 4 � 8 � � 1 �(4 � �� 4 � � 8 � �� 1 �(4 � �� 4 � � 8Cette fonction est celle qui modélise le mieux, pour la plupart des cas, la réponse hémodynamique

observée. Elle est composée, d’une part, d’une forte augmentation d’amplitude commençant vers �� sec. et culminant vers � sec., et correspondant à l’augmentation du débit sanguin local, et d’autre part,

d’une petite diminution de ce même débit sanguin avant un retour à la normale. Dans la littérature,

la première augmentation est dénommée par abus de langage “réponse”, tandis que la diminution est

appelée “undershoot”2 .

Les paramètres �!� par défauts prennent les valeurs suivantes :

– � � � � : délai entre la stimulation et le maximum de la réponse,

– � � �� : délai de temps entre la stimulation et le maximum de l’undershoot,

– � � � � : dispersion de la réponse,

– �� : dispersion de la l’undershoot,

– �� : rapport d’amplitude entre la réponse et l’undershoot.

Il peut être utile de considérer dans le modèle linéaire, non seulement la réponse en elle même, mais

également sa dérivée de temps et sa dérivée de dispersion. De cette manière, le modèle linéaire pourra

faire jouer ces deux dérivées de façon à modifier légèrement le délai de temps délai entre la stimulation

et le maximum de la réponse (dérivée de temps), la “largeur” de la réponse (dérivée de dispersion).

2Nous utiliserons ces deux appellations par la suite par souci de simplicité.

26

3.2 La design matrix

2 4 6 8 10 12

20

40

60

80

100

120

140

160

FIG. 3.5: Design matrix obtenue grâce au module “TLM” en ayant choisit comme fonctions de basele modèle canonique de réponse et ses deux dérivées.

3.2 La design matrix

3.2.1 La design matrix dans le modèle linéaire général

La design matrix est l’information a priori sur l’expérience que l’on introduit dans le modèle

linéaire général. Cette design matrix est la combinaison des informations que l’on a à propos de

l’expérience :

– instants d’acquisition des images,

– instants de présentation des stimulations de type 1, 2, ..., n,

et du choix d’une fonction modélisant la réponse hémodynamique estimée.

3.2.2 Construction de la design matrix

Pour obtenir cette matrice, on récupère les données de l’expérience sous la forme :

Tps (ms) Image Cond. 1 Cond. 2 .... Cond. n

� � 0 1 0 .... 1

� 1 0 1 1

� % 1 0 0 .... 1

27


0 TimeTime

Choix d’une HRF(Basis functions)

Convolution

Colonne de la Design Matrixcorrespondant à la condition i

0

IIDonnées de l’expérience

(Stimulations de type i)

FIG. 3.6: Principe de création de la matrice d’expérience (DM) à partir des dates de stimulation et dumodèle de réponse hémodynamique choisit.

On choisit d’autre part, un modèle de réponse hémodynamique (modèle canonique de Friston,

Gaussienne, Box-car, ... . (cf. 3.1) et l’on génère la ou les fonctions dénommées “de base” dans la

littérature. Il se peut, en effet, que l’on fasse le choix d’utiliser plus d’un fonction de base. On consi-

dère alors le modèle de réponse proprement dit, mais aussi sa dérivée de temps, voir sa dérivée de

dispersion.

On convolue ensuite chaque vecteur colonne, correspondant à une condition, un type de stimu-

lation, par la ou les fonctions de bases précédemment générées. Enfin, on ne récupère que les lignes

correspondantes aux instants où il y a eu une acquisition d’image par le scanner.

Dans le cas d’une analyse multi-sujets et/ou multi-session, on réitère l’opération décrite ci-dessus

pour chaque sujet et/ou chaque session, et l’on dispose ensuite les design matrix obtenues dans une

“méta-matrice”.

On peut conclure à ce propos en disant que construire une design matrix, c’est choisir, dans ce

type d’analyse, un modèle.

28

4 Considération de l’historique des stimuli -méthode empirique

4.1 Le phénomène physiologique

Les expérimentations menées par Huettel & Mechelli [Hue-2000] ont mis en évidence l’existence

d’une période réfractaire de la réponse hémodynamique (cf. Fig. 4.1), et donnent des résultats numé-

riques permettant de modifier le modèle de la HRF dans ces cas. Dans cet article, les auteurs relatent

une expérience menée sur six sujets, dans laquelle on présentait aux sujets des stimuli visuels à des

intervalles variables. Le but est d’établir des relations empiriques entre le délai de temps� � séparant

les deux stimuli, et les effets de� � sur, d’une part, l’amplitude de la seconde réponse, et d’autre part,

le délai de réponse. La figure 4.2 donne les principaux résultats de cette étude ; on voit clairement que

la présentation rapprochée de deux stimuli a comme effet une diminution de l’amplitude de la seconde

réponse et un décalage temporel de l’apparition de cette même seconde réponse.

4.2 Modélisation mathématique et implémentation

Nous désirons donc modifier le modèle de réponse hémodynamique, construite précédemment,

en fonction des observations de Huettel & Mechelli. Pour cela, nous nous sommes principalement

basé sur leurs résultats numériques ; ceux-ci décrivent le facteur de délai comme une fonction linéaire

du décalage de temps� � , le facteur de réduction de l’amplitude de la réponse comme une fonction

vraisemblablement polynomiale. Dans un souci de souplesse de notre module “TLM”, nous avons

choisit d’interpoler les données numériques résultantes de leur expérience (voir 4.2), de façon à ce

qu’un utilisateur, qui ne souhaiterait pas utiliser ces données, puisse entrer ces propres observations.

Cette possibilité d’entrer ses propres paramètres est importante, car ce phénomène ne se manifestant

pas de la même manière dans toutes les zones cérébrales, quelqu’un qui s’interressera au cortex visuel

n’utilisera surement pas les mêmes paramètres qu’une autre personnne s’interressant au cortex visuel.

La méthode d’interpolation qui a été retenue est l’interpolation linéaire du fait de ses qualités de

stabilité vis-à-vis des phénomènes physiques.

29

4 Considération de l’historique des stimuli - méthode empirique

FIG. 4.1: Modifications de la réponse hémodynamique entraînées par un second stimulus. [Hue-2000]

FIG. 4.2: Effets de� � sur l’amplitude du modèle de réponse hémodynamique (fig. de gauche) et sur le

décalage en temps de l’apparition de la réponse (fig. de droite). [Hue-2000]

30

4.3 Résultats et discussion

FIG. 4.3: Comparaison du signal BOLD estimé avec et sans prise en compte des stimuli précédents.La courbe supérieure est la réponse estimée sans prendre en compte l’historique des stimuli ;la courbe inférieure est la réponse estimée avec prise en compte des stimuli précédents ; lesstimuli sont représentés par des impulsions bleues sur le graphe.

4.3 Résultats et discussion

Nous avons donc implémenté la méthode décrite ci-dessus dans notre module “TLM” ; comme à

l’habitude, l’utilisateur peut choisir d’activer ou de ne pas activer ce traitement.

La figure 4.3 illustre les résultats obtenus avec l’implémentation faite de cette méthode dans le

module “TLM” ; l’implémentation réalisée permet donc bien de modifier l’aspect de la réponse hé-

modynamique en fonction de l’historique des stimuli. On voit nettement que la réponse relative au

premier stimulus n’est pas modifié ; en revanche, la réponse relative au deuxième stimulus est décalé

en temps et modifié en amplitude.

Cependant, il convient d’être prudent quant à l’utilisation de cette méthode, car elle est basée sur

des résultats empiriques relatifs au cortex visuel. Il conviendra donc à l’expérimentateur de fournir

ses propres paramêtres s’il travaille sur une partie du cortex n’ayant pas les mêmes caractéristiques

de réponses que le cortex visuel. Les séries de Volterra pourront peut-être répondre à la limitation de

cette méthode. Nous développerons au chapitre suivant la théorie de cette autre méthode basée sur

l’utilisation des séries de Volterra.

31

4 Considération de l’historique des stimuli - méthode empirique

32

5 Modèle non-linéaire et séries de Volterra

Nous avons jusqu’ici estimé la réponse hémodynamique des séries temporelles d’IRMf sur un

modèle linéaire, mais nous avons vu à la section précédente qu’il est préférable de prendre en compte

l’historique des stimuli. L’idée qui vient est donc de considérer la réponse hémodynamique sur un

modèle non-linaire. Pour ce faire, Friston & al. [Fri-2000] propose d’étendre le modèle linéaire pour

prendre en compte les réponses non-linéaires grâce aux expansions en séries de Volterra. L’utilisation

des séries de Volterra permettra donc de continuer à utiliser le modèle linéaire général que nous avons

décrit plus-haut pour résoudre le problème non-linéaire que nous considérons désormais.

5.1 Historique

Le mathématicien espagnol Vito VOLTERRA fut le premier à introduire la notion de ce qui est au-

jourd’hui connu sous le nom de Séries de Volterra dans son ouvrage Theory of Functionals Equations

[Vol-1959]. La première application remarquable du travail de VOLTERRA est due au mathématicien

N. WIENER, du M.I.T., qui utilisa les séries de Volterra pour analyser des systèmes non-linéaires.

Depuis, les séries de Volterra sont principalement utilisées pour résoudre des systèmes non-linéaires,

et c’est l’utilisation que nous allons en faire dans ce travail.

5.2 Théorie générale des séries de Volterra

Un système linéaire causal avec mémoire peut-être décrit par l’équation de convolution suivante :

� 1 � 8 � � �� 1 � 8 D 1 � �� 8�� (5.1)

où D 1 � 8 est le signal d’entrée, �.1 � 8 le signal de sortie, et � 1 � 8 la réponse impulsionnelle du système.

D’autre part, un système non-linéaire sans mémoire peut-être décrit grâce aux séries de Taylor :

�.1 � 8 � ��%��! �'% � D 1 � 8 � % (5.2)

où, cette fois encore, D 1 � 8 est le signal d’entrée, � 1 � 8 le signal de sortie. Les � % sont les coefficients

de la série de Taylor considérée.

33


FIG. 5.1: Comparaison de la réponse hémodynamique estimée par les modèles linéaires et non-linéaires pour la présentation de deux stimuli à 1 sec. d’intervalle. [Fri-2000]

Les séries de Volterra permettent de décrire un système non-linéaire avec mémoire (ce qui nous

intéresse dans ce travail) en combinant les deux représentations ci-dessus. La combinaison des équa-

tions 5.1 et 5.2 grâce aux séries de Volterra, permet d’écrire :

� 1 � 8 � � �� 1�� 8 D 1 � �� 8��

��

� � 1�� >4�� 8 D 1 � �� 8 D 1 � �� 8�� (5.3)

� ��

� � �� 1�� /4�� 4�� 8 D 1 � �� 8 D 1 � �� 8 D 1 � �� 8��

ce qui s’écrit également :

�.1 � 8 � ��%��! ��

� �� % 1�� 4�� 4 �� 4�� % 8

%��! D 1 � ��!� 8�� !% (5.4)

avec, comme précédemment, D 1 � 8 signal d’entrée, �.1 � 8 signal de sortie, et les � %.1�� >4�� 4 �� 4�� % 8sont appelés noyaux de Volterra1. Les � � sont des variables temporelles.

Pour �� , le noyau � peut-être reconnu comme la réponse impulsionnelle � de l’équation 5.1, et

donc, par extension, on peut assimiler le noyau � % à la “réponse impulsionnelle d’ordre � ”. Le premier

terme de l’équation 5.3 est clairement la convolution de cette “réponse impulsionnelle d’ordre � ” avec

le signal d’entrée ; le �� )� terme de cette équation peut donc être considérée comme la convolution

croisée d’ordre � de la “réponse impulsionnelle d’ordre � ” avec l’historique des signaux d’entrée.

Le coefficient % est omis par la plupart des auteurs, et nous ferons de même car de toute façon le

1on trouvera plutôt dans la littérature l’appellation anglo-saxonne Volterra kernels

34

5.3 Utilisation des séries de Volterra pour l’analyse des réponses non-linéaires en IRMf

coefficient du signal sera déterminé par le modèle linéaire. Nous considérerons donc la formulation

suivante pour décrire un système non-linéaire avec mémoire :

� 1 � 8 � ��%�! � ��

� �� %.1�� >4�� 4 �� 4��!% 8

%�� ! D 1 � �� 8�� % (5.5)

5.3 Utilisation des séries de Volterra pour l’analyse des

réponses non-linéaires en IRMf

Une série de Volterra de � tâches D �#1 � 8 peut modéliser les réponses liées aux tâches et les interac-

tions d’une série temporelle mesurée, tel que le signal BOLD pour le voxel * , comme suit :

� �'1 � 8 � � 1 � 8 � �� !

� �� 1�� 8 D �#1 � ��

8�� (5.6)

�� !

��

� �� 1�� /4�� 8 D � � 1 � �� 8 D � �1 � ��

8��

À ce jour, on n’utilise dans la pratique que les noyaux de � �� et de %� ordre ; le noyau de � � ordre

est bien entendu un modèle de réponse hémodynamique (cf. 3.1), puisque l’on reconnaît clairement

le produit de convolution de cette réponse par le signal des stimuli. On peut toutefois remarquer que

l’aspect de la réponse hémodynamique est légèrement différent de celle estimée dans les modèles de

réponses hémodynamiques.

Le noyau de second ordre, ainsi que les autres, est déterminé directement à partir des images

elles-mêmes. Le noyau de %�� ordre se compose d’une partie négative en haut à gauche, suivie de

2 petits ressauts positifs ; la partie négative s’interprete aisément comme la diminution d’intensité

de la seconde réponse si le� � < 6-8 sec. Pour ce qui est des ressauts positifs, il sont particulierement

intéressants, car ils signifient qu’après la phase de diminution de l’intensité, il y aurait une courte phase

d’augmentation. Ce phénomène est plutôt surprenant et mérite d’être considéré avec précaution.

On pourra consulter [Fri-1998] pour se faire une idée précise de la méthode de calcul de ces

noyaux à partir des images. La figure 5.2 montre les noyaux de � � et %� ordre estimés par Friston

pour un voxel particulier.

5.4 Discussion et propositions pour un travail futur

L’intérêt de cette méthode par rapport à celle que nous avons mis en oeuvre précedemment serait

de ne pas avoir à introduire d’informations a priori supplémentaires. En effet, cette méthode serait

vraiment intéressante si les noyaux de Volterra pouvaient être calculés directement à partir du signal

issu de l’imageur. Dans le cas où le calcul de ces noyaux nécessitent des expériences indépendantes

35


FIG. 5.2: Les noyaux de Volterra de � �� et de %�� ordre estimés pour le voxel (-56,-28,12) [Fri-1998]

et fonction de la fonction cérébrale considérée, l’utilisation de ce puissant outil mathématique me

semble démesurée par rapport aux approximations faites d’autres part.

La réponse à cette question semble être donnée dans l’article [Fri-1998] auquel je n’ai pas pu

avoir accès en intégralité. Dans cet article, Friston décrit en détail la méthode de calcul des noyaux

d’ordre supérieur “basés sur les paramètres estimés”. Il conviendrait donc d’étudier spécifiquement

les qualités de cette méthode pour pouvoir dire s’il est possible de tenir compte des corrélations

temporelles en se basant uniquement sur les séries d’images elles-même.

D’autre part, il est intéressant de remarquer que le calcul des noyaux de Volterra sont indépendants

les uns des autres, ce qui autorise l’utilisation de méthodes de calculs parallèles, ce qui permettrait des

optimisations. Pour des considérations plus avancées sur ces méthodes, notamment sur l’utilisation

des configurations multi-processeurs, on pourra consulter [Kol-2000].

36

6 Expérimentations

Ce stage à été concrétisé par la création d’un module de calcul, programmé en C POSIX, baptisé

“TLM”, qui met en oeuvre la théorie développée jusqu’ici. Ce module est à présent inséré dans un

logiciel d’analyse des images issues d’IRM, développé conjoitement par l’unité 280 de l’INSERM et

l’ISC du CNRS, dénommé ACTIVIS. Pour tester la validité des calculs éxécutés par le module “TLM”,

nous avons analysé des données d’imagerie grâce à ce logiciel ; nous avons pu recouper nos résulats

avec ceux précedemment obtenus et publiés par Wicker et Fonlupt [Wic-2002]. Les données que nous

avons traitées au cours de ce stage sont de deux styles différents :

– les premières sont des données simulées,

– les secondes sont des données réelles, issues d’expérimentations.

L’expérimentation en question, celles menée par Blakmore et al. [Bla-2001], comprend 4 sessions de

178 scans chacunes, et 4 types d’évènements différents ont été considérés. Un des 4 types d’événement

n’a aucun effet, et sera donc un évènement témoin. Lors de chaque session d’imagerie, un des 4

événements, choisit aléatoirement, se produit tous les 2 scans.

6.1 La méthode

6.1.1 La design matrix

Tous les calculs ont été réalisés en fonction des conditions et des données de l’expérimentation

menée par Blakmore et al. [Bla-2001]. De ce fait, nous avons créé la design matrix, grâce au module

“TLM”, à partir du fichier1 consignant les conditions de l’expérimentation. Nous avons choisit de

modéliser la réponse hémodynamique à chacune des stimulations, par le modèle canonique proposé

par Friston et al.[Fri-1997], et ses dérivées de temps et de dispersion. Nous avons séparé le traitement

des images par session, et donc la design matrix générée correspondant à la session � comporte � �-� � colonnes, correspondant aux événements étudiés, et �� lignes, chaque ligne correspondant à

un scan.

1cf. section 3.2.2 pour le format de ce fichier.

37

6 Expérimentations

FIG. 6.1: Design matrix correspondant à la � �� session de l’expérimentation, avec le modèle cano-nique de réponse et ses deux dérivées. Cette DM a été visualisée avec ACTIVIS.

6.1.2 Les données

Les données simulées

Les valeurs des données simulées sont calculées directement à partir des conditions de l’expé-

rience (dates d’acquisition des images, dates des stimulations de type 1, ..., 4). En effet, ces données

sont la somme des réponses à l’évènement de type 1 avec celles relatives à l’évènement de type 2 ;

en pratique on fait la somme des colonnes � et de la design matrix 6.1. L’intéret de cette simulation

est de pouvoir vérifier la validité des analyses ; en effet, les stimulations de type � et doivent induire

une réponse sans effet temporel ni de dispersion, alors que les stimulations � et ne doivent pas en

induire.

Les données expérimentales

Les données réelles que nous avons analysées sont celles de l’expérience de Blakmore et al.

[Bla-2001] ; elles ont été obtenues sur un sujet auquel on présentait 4 types de stimuli visuels, 3

des stimuli étant d’intérêt. Après la présentation d’un des 4 type de stimulation, le sujet devait dans

les 2 sec. suivantes presser un bouton en fonction du type du stimulus présenté.

Les données issues de l’imageur n’ont pas été toutes conservées ; on a gardé uniquement des

régions intéressantes vis-à-vis du protocole, et d’autres dont on sait qu’elles ne seront pas sensibles

aux stimulations, de façon à avoir des zones de référence. Au total, on a conservé �� voxels issus de�> zones différentes ( � voxels par zone). La figure 6.2 indique la localisation des zones considérées.

38

6.2 Mise en oeuvre et résultats

FIG. 6.2: Localisation des �> zones cérébrales d’où provienent les données analysées [Wic-2002].

6.2 Mise en oeuvre et résultats

Nous avons donc mis en oeuvre les analyses grâce au module “TLM” et au logiciel ACTIVIS sur

les données qui ont été préalablement analysées par ailleurs ; nous avons ainsi pu vérifier la véracité

de nos résultats à chaque étape. Pour obtenir des résultats cohérents, nous nous sommes placés dans

les mêmes conditions de calculs que ceux effectués préalablement ; en particulier, il nous faut dire

qu’un facteur � joue un rôle non négligeable lors du calcul du rang d’un matrice (pour nos analyses,

nous l’avons fixé à ��> � �� ).

6.2.1 Analyse des données simulées

La figure 6.3-(i) donne le résultat du test F correspondant aux données simulées, qui dénote plu-

sieurs activations spécifiques (cf 2.3.1).

Les figures 6.3-(ii) et 6.3-(iii) donnent quant à elles les résultats des tests T (cf 2.3.2), menés sur

ces même données, en voulant tester les effets de la condition 1 par rapport à la condition 2, d’une

part, ceux de la condition 1 par rapport à la 3, d’autre part. Ces données étant simulées, on connaît les

effets d’une condition par rapport à une autre ; on sait en l’occurence que la condition 2 ne doit pas

avoir d’effet sur la 1 (test T proche de 0 pour chaque voxel, et de moyenne nulle sur l’ensemble de

l’échantillon), tandis que la condition 3 doit avoir un effet sur la 1, car on “compare” une condition

d’intéret par rapport à une condition nulle (test T positif et “grand” pour presque tous les voxels, de

moyenne non nulle sur l’ensemble de l’échantillon).

En observant les cartes satistiques obtenues, on retrouve les résultats attendus.

39

6 Expérimentations

(iii) Test T − Condition 1 contre 3

(i) Test F (ii) Test T − Condition 1 contre 2

0−5 +5

Significativité des couleurs

0 +10

FIG. 6.3: Résultats des analyses des données simulées. (i) Test F qui dénote plusieurs activations spé-cifiques. (ii) Test T de la condition 1 par rapport à la 2 (toutes deux d’intéret) : pas d’effetremarquable. (iii) Test T de la condition 1, d’intérêt, par rapport à la 3 qui est confondante :des effets sont remarquables sur la plus part des voxels.

40

6.3 Conclusion sur l’expérimentation

Test F obtenu avec le module TLM Test F issu des expérimentations de référence

Minimal value = −0.013

Maximal value = +0.009

−0.013 0 +0.009

Résultat de la soustraction des deux images ci−dessus

FIG. 6.4: Comparaison des résultats obtenus avec le module “TLM” avec les résultats des expérimen-tations de références.

Nous avons également analysé les données réelles, mais nous n’en donnons pas les résultats de

façon à ne pas surcharger inutilement ce rapport. Il convient de dire que ces analyses sont aussi

concluantes que celles effectuées sur les données simulées.

6.3 Conclusion sur l’expérimentation

Nous avons donc pu comparer les résultats obtenus grâce à notre module de calcul et les tests

statistiques implémentés dans le logiciel Activis, avec les résultats des expérimentations précédentes.

Le résultat d’une de ces comparaisons est illustré par la figure 6.4. Les tests de Fischer obtenus res-

pectivement grâce à notre module de calcul et à partir des expérimentations de Wicker et Fonlupt sont

quasi-identiques d’un point de vue visuel ; l’image du dessous est la soustraction, voxel par voxel, des

deux images et permet de visualiser les différences, si faibles soient-elles.

On peut donc conclure à la validité des calculs et analyses effectués par le module “TLM” et les

tests statistiques D’ACTIVIS.

Il est à noter que lors des tests T sur les données, nous avons remarqué un phénomène non-attendu

en comparant les valeurs, d’une part du test T portant sur un facteur d’intérêt contre un facteur nul, et

41

6 Expérimentations

(i) Test T d’un facteur d’intéret seul

(i) Test T de ce facteur d’intéret par rapport à un facteur confandant

FIG. 6.5: Différences observées entre un test T d’un facteur d’intéret seul (i) et un autre test T entrece même facteur et un facteur confondant (ii). L’échelle des couleurs est la même que cellede la figure 6.3

d’autre part du test de ce même fateur d’intérêt mais seul. En effet, on s’attend en théorie à trouver les

mêmes valeurs, mais on obtient un test beaucoup plus “fort” si on teste le facteur d’intérêt contre un

facteur nul, que seul. Ce phénomène participe, semble-t-il, du bruit supposé gaussien du facteur nul.

Un explication théorique de ce phénomène serait à coup sûr appréciée par les utilisateurs de ce type

de test statistique.

42

7 Conclusion

Après une brève présentation de la méthode d’analyse des images d’IRMf et un rappel théorique

des outils mathématiques permettant d’obtenir des résultats interprétables, nous nous sommes inter-

ressés plus particulièrement au traitement des signaux d’IRMf présentant des corrélations temporelles.

Nous avons étudié deux méthodes permettant de prendre en compte ces corrélations dans le modèle

linéaire généralisé : la première, basée sur des résultats empiriques, a été implémentée dans notre

module de calcul “Tlm”, la seconde, fait appel à un outil mathématique que sont les séries de Volterra.

La première de ces méthodes est basée sur des résultats empiriques obtenus sur une zone cérébrale

particulière, le cortex visuel, ce qui limite tout de suite cette technique, du fait qu’il faille à chaque

nouvelle expérience sur un cortex différent recalculer les données permettant d’extraire les paramètres

de décalage temporel et de diminution de l’amplitude.

La seconde méthode, basée sur les séries de Voterra, paraît plus prometeuse, en ce sens qu’il

semblerait que les noyaux d’ordre supérieur puissent être calculés directement à partir des images

elles-mêmes. Si tel était le cas, cela permettrait d’avoir des noyaux estimés plus proches encore de la

réalité de la série temporelle étudiée.

Ce travail d’étude s’est doublé de la réalisation d’un module de calcul permettant d’analyser les

images issues d’IRMf, ainsi que la prise en compte des corrélations temporelles par une méthode em-

pirique. Ce module de calcul a été inclus dans le logiciel ACTIVIS, ce qui permet de mener entièrement

des analyses d’images d’IRMf (des prétraitements aux cartes statistiques paramétrées).

43

7 Conclusion

44

Table des figures

2.1 Effet BOLD : Pas d’activité cérébrale (Fig. de gauche). Augmentation du volume

sanguin et du taux d’oxyhémoglobine du fait d’une activité cérébrale (Fig. de droite). 14

2.2 Principe d’acquisition des images en IRMf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Fonctionnement général du traitement des images d’IRMf. [Fri-1997] . . . . . . . . 17

3.1 Réponse hémodynamique modélisée par la fonction Box-car. . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Réponse hémodynamique modélisée par une fonction gaussienne. . . . . . . . . . . 24

3.3 Figure de gauche : les trois fonctions � figées. Figure de droite : la fonction modèle

de la réponse hémodynamique, somme des trois fonctions précédentes avec les coef-

ficients respectifs �4 � � 4 et �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4 A gauche : Aspect de la fonction modèle canonique de la réponse hémodynamique. A

droite : Modèle canonique de réponse hémodynamique et ses deux dérivées : dérivée

de temps et de dispersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Design matrix obtenue grâce au module “TLM” en ayant choisit comme fonctions de

base le modèle canonique de réponse et ses deux dérivées. . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6 Principe de création de la matrice d’expérience (DM) à partir des dates de stimulation

et du modèle de réponse hémodynamique choisit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.1 Modifications de la réponse hémodynamique entraînées par un second stimulus. [Hue-2000] 30

4.2 Effets de� � sur l’amplitude du modèle de réponse hémodynamique (fig. de gauche) et

sur le décalage en temps de l’apparition de la réponse (fig. de droite). [Hue-2000] . . 30

4.3 Comparaison du signal BOLD estimé avec et sans prise en compte des stimuli précé-

dents. La courbe supérieure est la réponse estimée sans prendre en compte l’historique

des stimuli ; la courbe inférieure est la réponse estimée avec prise en compte des sti-

muli précédents ; les stimuli sont représentés par des impulsions bleues sur le graphe. 31

5.1 Comparaison de la réponse hémodynamique estimée par les modèles linéaires et non-

linéaires pour la présentation de deux stimuli à 1 sec. d’intervalle. [Fri-2000] . . . . 34

5.2 Les noyaux de Volterra de � �� et de %�� ordre estimés pour le voxel (-56,-28,12)

[Fri-1998] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

45

Table des figures

6.1 Design matrix correspondant à la � �� session de l’expérimentation, avec le modèle

canonique de réponse et ses deux dérivées. Cette DM a été visualisée avec ACTIVIS. 38

6.2 Localisation des �> zones cérébrales d’où provienent les données analysées [Wic-2002].

39

6.3 Résultats des analyses des données simulées. (i) Test F qui dénote plusieurs activations

spécifiques. (ii) Test T de la condition 1 par rapport à la 2 (toutes deux d’intéret) : pas

d’effet remarquable. (iii) Test T de la condition 1, d’intérêt, par rapport à la 3 qui est

confondante : des effets sont remarquables sur la plus part des voxels. . . . . . . . . 40

6.4 Comparaison des résultats obtenus avec le module “TLM” avec les résultats des expé-

rimentations de références. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.5 Différences observées entre un test T d’un facteur d’intéret seul (i) et un autre test

T entre ce même facteur et un facteur confondant (ii). L’échelle des couleurs est la

même que celle de la figure 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

46

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