Instabilités 15 - 1

�����,QVWDELOLWpV• Motivation [Frey, T. II, Chap. 20-21]

• Types d’instabilités

• Flambement élastique– par divergence, par bifurcation

– calcul de la charge critique eulérienne

• Imperfections industrielles– causes de l’origine de la flexion initiale

Instabilités 15 - 2

• la conception de structures exige aujourd’hui

– économie

– légèreté

– matériaux à haute résistance

• réduction progressive des sections résistantes

• contraintes en service importantes

,QVWDELOLWpV

Instabilités 15 - 3

7\SHV�G¶LQVWDELOLWpV• danger d’instabilité dans toute structure

comprimée– flambement (compression pure)

– déversement (flexion)

– voilement (torsion)

• phénomènes d’instabilité– locaux (barres de treillis, voilement, …)

– globaux (flambement d’ensemble, ...)

flambement plan

flambementpar torsion

flambementspatial

seul flambementétudié ici

Instabilités 15 - 5

,QVWDELOLWpV�ORFDOHV���H[HPSOH

voilement de l’âme minced’une poutre en acier.effet de l’effort tranchant

Instabilités 15 - 6

,QVWDELOLWpV�JOREDOHV���H[HPSOH

flambement d’ ensemblede la membruresupérieure des poutres entreillis d’ un pont dechemin de fer(Russie, vers 1890)

Instabilités 15 - 7

)ODPEHPHQW�GHV�SRXWUHV• flambement par divergence

OD�SRXWUH�VH�GpUREH�j�O¶HIIRUW�QRUPDO�GHFRPSUHVVLRQ�HQ�IOpFKLVVDQW�WUDQVYHUVDOHPHQW

– le phénomène est non linéaire

– il doit exister une flexion initiale

– exemples : courbure initiale, excentricité de

l’ effort normal ...

Instabilités 15 - 8

+\SRWKqVHV�GH�PRGpOLVDWLRQ• une étude rigoureuse nécessite la prise en compte

– des non linéarités géométriques (grands déplacements)

– des non linéarités matérielles

• ici, on postule

– grands déplacements mais rotations modérées

– linéarité matérielle (loi de Hooke)

Instabilités 15 - 9

�

�

&RXUEXUH�LQLWLDOH• La poutre est légèrement courbe

1cos;sin;tg1,dxdy

tg 0000000

0 ===⇒<<= θθθθθθθ

00

0

0

FsinFT

)x(FyM

FcosFN

θθ

θ

≈=

=

≈=

TRACTION COMPRESSION flexion composée M+Nprincipe de superposition ?F ⇒ courbure ↓ ⇒ M ↓ F ⇒ courbure ↑ ⇒ M ↑

Instabilités 15 - 10

6WDELOLWp�GH�OD�GLYHUJHQFH

\\\ \\\\

\\

Flambement stable Flambement instable

Instabilités 15 - 11

$XWUHV�FDXVHV�GH�IOH[LRQ�LQLWLDOH

\ \

Excentricité de la charge Charges axiales et transversale

Exemples d’ application : ressorts, étuis à lunettes ... phénomène non linéaire :

il faut se placer dans la configuration déformée

Instabilités 15 - 12

7KpRULHV�QRQ�OLQpDLUHV�GX�IODPEHPHQW• actions des forces sur la configuration GpIRUPpH

⇒ le principe de superposition n’ est plus valable

• souvent, le flambement se produit alors que lastructure est peu déformée ⇒ hypothèse des rotations modérées (2ème ordre)

• le flambement est accentué par la plasticité– phénomène non pris en compte ici

Instabilités 15 - 13

0RGpOLVDWLRQ�GX�IODPEHPHQW

( )

( )EI

,...F,yMy

,...F,yMM

EIM

R1

yR1

−=′′⇒

=

−=

′′=équation

non linéaire !

équation à résoudre

rotations modérées

flexion plane

Instabilités 15 - 14

3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQW/

) )H [

[:

:�¶\

\�[�

( )

( ) 0yeEIF

y

yeFM

=++′′

⇓

+=

Instabilités 15 - 15

3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQW( )

ekxcosCkxsinCy

ekyky

0yeEIF

y

21

22

−+=

−=+′′

=++′′ équation de la déforméeposons k2=F/EI

SGEH+SPENH

Equation de Helmholtz non homogèneEDP 2ème ordre à coeff. constants

( )( ) ( )2

kLcos

eC

0C

02Ly

02Ly

2

1

=

=

=

=−conditions aux limites

Instabilités 15 - 16

3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQW( )

−===

−=

12

kLseceyya

12

kLcos

kxcosey

0max (formule de la sécante)

équation de la déformée(pas linéaire en F !)

0a12

kLsec0k0F =⇒=⇒=⇒= la tangente a pour équation

EI8L

Fea2

=

321321 aaaFFF ∆∆∆∆∆∆ <<⇒== si on augmente la charge, le flambement est divergent

Instabilités 15 - 17

3RXWUH�GURLWH�FRPSULPpH�H[FHQWULTXHPHQWEI8L

Fea2

= flèche linéaire de M = Fe

( )2kLcos

FeMmax =

2

2

crL

EIF

n22

kLssi0

2kL

cos

π

ππ

=

+==

charge critique indépendante de e !

Instabilités 15 - 18

3RXWUH�FRPSULPpH�DYHF�FRXUEXUH�LQLWLDOH

( )

( ) 0yyky

yyFM

02

0

=++′′

⇓

+=

/

) ) [[

:

:�¶

\ �

\�[� (, FVWH\

Instabilités 15 - 19

3RXWUH�FRPSULPpH�DYHF�FRXUEXUH�LQLWLDOH( )

Lx

sinakyky

Lx

sinaxy

022

00

π

π

−=+′′

= courbure initiale

Equation de Helmholtz non homogèneEDP 2ème ordre à coeff. constants

( )( ) 0Ly

00y

=

=conditions aux limites

( )cr

cr0

22

20

FF1

FFa

2Lya

Lx

sin1

Lk

ay

−==⇒

−= π

πmême Fcr

Instabilités 15 - 20

3RXWUH�FRPSULPpH�DYHF�FRXUEXUH�LQLWLDOHcr

0 FFaa = flèche linéaire

−+=

cr

cr0max

FF1

FFa

aFM

2

2

crL

EIF

π= charge critique indépendante de a0 !

autres cas : 2cr

L

EICF = toujours indépendant de la flexion initiale

Instabilités 15 - 21

/LPLWDWLRQV�GHV�UpVXOWDWV�REWHQXV• hypothèse des rotations modérées

linéaire

rotations modérées

grands déplacements

F > Fcr est WKpRULTXHPHQW possible SUDWLTXHPHQW les déplacements sont déjà trop grands

( )( )

EI,...F,yM

y1

y

23

2−=

′+

′′

Instabilités 15 - 22

)ODPEHPHQW�SDU�ELIXUFDWLRQ• Fcr est indépendant de l’ origine de la flexion

initiale et de son importance

• il existe une charge critique même si la poutre est

parfaitement rectiligne, libre de toute force

transversale et soumise à une force de compression

parfaitement centrée

• flambement eulérien par bifurcation

Instabilités 15 - 23

)ODPEHPHQW�SDU�ELIXUFDWLRQ

compressionpure

point de bifurcation= coexistence de

2 situations d’ équilibrecompression et flexion initiale

0elim→

le flambement par bifurcation est un cas limite (poutre parfaite)il n’ existe pas mais donne une bonne approximation de Fcr

Instabilités 15 - 24

/

) ) [

[

:

:�¶\\�[�

0yky

FyM

2 =+′′

=

7KpRULH�G¶(XOHU

(, FVWH

y(x) est l ’ esquisse de la déformée= mode de flambement

(dépend des conditions d’ appui)équation de Helmholtz

Instabilités 15 - 25

kxcosCkxsinCy

0yky

21

2

+=

=+′′

solution générale

( )( ) πnkL

0ytrivialcas

0kLsinC

0C

0Ly

00y

1

2

=⇒=⇒

==

⇒

==

conditions aux limites

7KpRULH�G¶(XOHU

2

22

L

EInF

π= modes de flambement

Instabilités 15 - 26

2K

2

crL

EIF

π=

7KpRULH�G¶(XOHU���JpQpUDOLVDWLRQ• charge critique d’ Euler

– proportionnel à EI (module de rigidité en flexion)

– quel I ? le plus faible !

– LK = longueur de flambement (dépend des CL)

����SHUPHW�GH�WURXYHU�XQH�DSSUR[LPDWLRQ�GH�OD�FKDUJHFULWLTXH�TXHOOHV�TXH�VRLHQW�OHV�FRQGLWLRQV�G¶DSSXL

Instabilités 15 - 27

/RQJXHXU�GH�IODPEHPHQW• esquisser le premier mode (respect des appuis !)

Instabilités 15 - 28

IAL

E

AL

EIAF

2K

2

2K

2cr

crππσ ===

eODQFHPHQW• nombre sans dimensions

• quantifie la sensibilité au flambement

élancementIAL2

K2 =λ

0 ≤ λ < 20 : risque faible20 ≤ λ < 50 : risque moyen

50 ≤ λ < 80 : risque fort80 ≤ λ : risque extrême

Instabilités 15 - 29

9DOLGLWp�GH�OD�WKpRULH�G¶(XOHU• hypothèse de linéarité matérielle (loi de Hooke)

• valable si −≤= p2

2

crE σ

λπσ

�

�

(λ πσ −=

(limite de proportionnalité)

Instabilités 15 - 30

$XWUHV�IRUPHV�G¶LQVWDELOLWp

flambement déversement

voilementcloquage

Instabilités 15 - 33

)ODPEHPHQW�GHV�SLqFHV�LQGXVWULHOOHV• imperfections = défauts inévitables

– imperfections géométriques• poutres pas rectilignes

• forces toujours légèrement excentrées

• dimensions réelles diffèrent des dimensions nominales

– imperfections matérielles• contraintes résiduelles

• matériau hétérogène

Instabilités 15 - 34

,PSHUIHFWLRQV�JpRPpWULTXHV

Instabilités 15 - 35

&RQWUDLQWHV�UpVLGXHOOHV

Instabilités 15 - 36

'LVSHUVLRQ�GHV�FDUDFWpULVWLTXHV

Instabilités 15 - 37

,PSRUWDQFH�GHV�LPSHUIHFWLRQV• rôle décisif des imperfections

– (…) géométriques → flambement par divergence

– (…) matérielles → affaiblissement de la résistance

• le flambement a WRXMRXUV lieu par divergence

– la charge critique d’ Euler est néanmoins utilisée dans les

méthodes de dimensionnement

Instabilités 15 - 38

,QVWDELOLWpV���HQ�UpVXPp• flambement élastique d’ Euler

– calcul de la charge critique

– limitations du modèle

• flambement par divergence– causes de l’ origine de la flexion initiale

– imperfections industrielles