PUISSANCES D’UN NOMBRE

I LES PUISSANCES DE 10

1° Activité : Écrire en chiffres

Une année lumière: environ neuf mille milliard de kilomètres

Masse du soleil : deux milliards de milliards de tonnes

Le juron du capitaine Haddock: Mille milliards de mille sabords

Un micron: un millionième de mètre.

Rayon de l’atome d’hydrogène : cinq dix milliardièmes de centimètres

9 000 000 000 000 km

2 000 000 000 000 000 000 t

1 000 000 000 000 000 sabords

0,000 001 m

0,000 000 000 5 cm

Remarques :

a) Ces écritures ne sont pas faciles à utiliser.

♦ On peut oublier des zéros ou en rajouter

♦ Ils ne rentrent pas dans la calculatrice

♦ Ils sont difficiles à lire

♦ Et si il faut faire des opérations cela ne sera pas facile

b) Il existe une écriture qui va nous permettre d’écrire plus simplement ces nombres.

2° Définition des puissances de 10

a) Exposant positif

10 ×10 =100 = 10²

1000 = 10 × 10 × 10 = 103

10 000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104

On lit «  10 exposant 4 » ou « 10 puissance 4 »L’exposant indique le nombre de zéros après le 1

n 0

10n = 10 ……………..0

n zéros

b) Exposant négatif

0,1 = 10- 1

0,01= 10-2

0,001 = 10-3

0,000 1 = 10-4

On lit « 10 exposant -4 » ou « 10 puissance -4 »

L’exposant négatif indique le nombre de chiffres après la virgule

n 0

10-n= 0 , 0 …………………….1

n chiffres après la virgule

3° Remarquea)

1000

1310

1

1000

10,001= 310

310

1 310

On retient :

nn

1010

1

Exemples:

55

1010

1 4

410

10

1

b) Nous admettons.

1100

10101

II REGLES DE CALCUL

1° Produit de deux puissances

23 1010 1001000 000100 510

34 1010 100010000 000000 10 710

52 1010 000 10001,0 0001 310

1010 4 100001,0 001,0 1410 310

Règle:

nmnm 101010

2° Quotient de deux puissances

2

5

10

10 100

000 100 1000 310

6

4

10

10 000 000 1

000 10 100

101,0 210

a) Exemples:

b) Règle

nmn

m

1010

10

3° Exemples

3)2(525 10101010

17125125 10101010

3414

101010

10

57127

12

101010

10

♦

♦

♦

♦

♦ 523)2(32

3

10101010

10

DANGER

4° Puissances d’une puissance.

a) Exemples.

3210 222 101010 610

2310 33 1010 610

b) Règle

mnmn 1010

5° Somme ou différence de deux puissances

23 10 10 1001000 1100

Ce n’est pas une puissance de 10

DANGER

Il n’y a pas de règle générale pour additionner les puissances.

Il faut revenir aux écritures décimales.

III DIFFERENTES ECRITURES D’UN DECIMAL

100 0001 000 00010 000 000

0,000 010,01

0,000 000 1

1° Activité 4 Page 53

4

5

6

7

-6

-5

-2

-7

Un nombre décimal admet plusieurs écritures sous la forme :

n10adans laquelle a représente un nombre décimal et n un entier relatif.

2° Règle

3° Notation scientifique

L’écriture scientifique d’un nombre est l’unique forme

n10adans laquelle le nombre a possède

un seul chiffre non nul avant la virgule

Exemples :

000 540 2 54,2 610

138 000,0 38,1 410

5109,375 10759,3 2 510 310759,3

On écrit 375,9 en notation scientifique

4° Calculs en notation scientifique.

a) Exemple 1: produit

54 103,5105,2 54 10103,55,2 91025,13

91 1010325,1 1010325,1

b) Exemple 2 : quotient

7

4

105,2

102,1

7

4

10

10

5,2

2,1

31048,0 31 10108,4

4108,4

c) Exemple 3 : produit et quotient.

2

53

105,4

107,2105,2

2

53

10

1010

5,4

7,25,2

On regroupe les nombres et les puissances de 10

2

8

10

10 5,1

1010 5,1

d) Exemple 4: Somme ou différence

2

32

102

104,3105,2

DANGER

Il y a une somme , on ne peut pas regrouper

d’un côté les nombres de l’autre les puissances

Si les exposants sont petits on peut revenir aux écritures décimales.

Sinon vous apprendrez plus tard.

200

3400250

10825,125,18200

3650

IV PUISSANCES D’UN NOMBRE

1°Remarque: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 × 5

5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 57

2° Définition

a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul

na = a × a × ……………… × a

n facteurs égaux à a

♦ On lit a « puissance n » ou « a exposant n »

♦ a0 = 1

♦ a1 = a

Remarques :

3° Calculs.

a) Les puissances sont prioritaires sur les multiplications

5 × 32 = 5 × 9 = 45

b) Si l’exposant ou le nombre sont petits on calcule à la main ou de tête.

53 =125 25 =32

Sinon on utilise la calculatrice.

Touche puissance

ATTENTIONNe pas confondre :

♦ -32 = - 3 × 3 = - 9

♦ ( -3 )2 = ( -3 ) × ( -3 ) = 9

Seul 3 est au carré

( -3 ) est au carré

1°

2° La puissance et le produit

53 = 5 × 5 × 5 = 125

5 × 3= 15

-32 ( -3 )2et

V REGLES DE CALCUL 1° Puissances et produit.

a) Produit de deux puissances d’un même nombre.

23 ×24 = 2×2×2 × 2×2 ×2 ×2 = 27

b) Produit de puissances de même exposant

23×53 = 2×2×2 ×5×5×5 = 2×5 × 2×5 × 2×5 = ( 2×5)3

c) Puissances d’une puissance.

(73)2 = 73 × 73 = 7×7×7×7×7×7 = 76

d) Règles

a,b étant des nombres relatifs ; m, n des entiers relatifs

♦ an × am = a n+m

♦ an× bn = (ab)n

♦ (an)m=an×m

e) Exemples:

35×32=35+2=37

x3× x4× x = x3+4+1 = x8

32×52=(3×5)2=152

(3x)2 = 32 × x2 = 9 × x2 = 9x2

1° cas

2° cas

3° Supprimer des parenthèses

2° Puissances et quotient

a) Quotient de deux puissances d’un même nombre.

23

5

333333

33333

3

3

b) Quotient de puissances de même exposant

4

4

3

5

3333

5555 3

5

3

5

3

5

3

5 4

3

5

c) Règles

a,b étant des nombres relatifs ; m un entier relatif.

nmn

m

aa

a m

m

m

b

a

b

a

d) Exemples.

3252

5

xxx

x 437

3

7

555

5

2

4

5 2

2

4

5

16

25

3° Exposants négatifs

2535

3

777

7

25

3

7

1

77

1

77777

777

7

7

♦

♦

Donc :

22

7

17

Règle. Soit a un nombre relatif non nul et n un entier positif

nn

a

1a

-nana

1est l’inverse de

►

►