Thème 9: Puissances et racines
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PUISSANCES ET RACINES 33
2C – JtJ 2022
Thème 9: Puissances et racines 9.1 Les puissances entières
Rappels :
• La puissance n-ème d'un nombre a est le produit de n facteurs égaux à a (avec a ∈IN ).
• a s'appelle la base et n l'exposant de la puissance. • On note:
an = a ⋅a ⋅…⋅an facteurs
• Par convention: a0 = 1 (pour tout a ≠ 0)
Exemples :
a) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
b) (-2)3 = (-2) · (-2) ·(-2) = -8
Propriétés :
Soit a et b des nombres réels, m et n des entiers naturels non nuls.
(I) am ⋅an = am+n • 53 · 54 = 5…
(II) am( )n= am·n • 42( )
3 = 4…
(III) a ⋅b( )n= an ⋅bn • 32 ·(−1)2 =……2
(IV) a
b
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
n
=an
bn(b ≠ 0) •
2
3
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
3
=……
(V) am
an=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
am−n si m > n1 si m = n1
an−msi m < n
•
26
24= ..........
•35
39= ..........
Modèle 1 :
Justifier les réponses suivantes: a) 73 · 72 = 75 car
b) 72( )3= 76 car
c) 34
37=
1
33 car
34 THÈME 9
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Exercice 9.1:
Calculer sans machine:
a) 22( )3 b) 2 23( ) c) 23( )
2
d) 23 – 32 e) 32 + 34 f) 103 + 102
g) 1
3
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
4
h) −2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
i) −3
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
j) 2( )4
k) 5( )6
l) −1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
Exercice 9.2:
Calculer sans machine:
a) 26
22 b)
−26
23 c)
(−2)6
23
d) 210
212 e)
24
−25 f)
24
(−2)5
g) 2
23
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
h) −27
26
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
i) 20
22
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
j) 216
47 k)
95
310 l)
53
252
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
Question :
23 = 8. Mais que pourrait valoir 2-3 ?
Définition :
Tout en gardant les propriétés précédentes valides, nous allons définir les puissances à exposant négatif par:
(VI) a−n =1
an
Modèle 2 :
a) 3-4 =
b) (-2)-3 =
PUISSANCES ET RACINES 35
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Nouvelles propriétés :
À la liste des propriétés précédentes, nous pouvons compléter
(V') am
an= am−n •
32
39=……
(VII) a
b
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−n
=b
a
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
n
(a, b ≠ 0) • 2
3
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−2
=……
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
Modèle 3 :
Justifier la réponse suivante:
a) 3
4
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−2
=4
3
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
2
car
Exercice 9.3:
Calculer sans machine:
a) 2-1 · 2-2 b) 3-4 · 34 c) 40 · 4-5 · 43
d) a-3 · a4 e) 2−3
32 f)
1
2
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−2
g) 23
3−2 h) −
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−2
i) 1
5
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
2
·2
5
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−2
Modèle 4 :
Compléter les écritures suivantes:
a) 2−3 ⋅24 =1
2… car
b) 2−3( )4= 4… car
c) 25
4−3= 2… car
d) 9−2
36−2=…… car
e) 2−3 ⋅5−3 =1
10
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟…
car
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Exercice 9.4:
En détaillant le calcul si nécessaire, compléter les écritures suivantes:
a) 23 · 24 · 2-5 = 2… b) 34( )2=
1
3… c)
38
32= 9…
d) 32
36= 9… e)
5
252= 5… f) 23 ⋅29 = 4…
g) 362 ⋅6−2 =1
6… h) −
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−3
=…3 i) 1
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟−3
= 5…
j) 23
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−3
= 2… k) 2−1
23
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 2… l) 3−4
92
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 9…
9.2 Les racines
Exercice 9.5:
Vérifier avec la calculatrice les égalités suivantes:
a) 4+ 12 =1+ 3
b) 10+ 6 33 =1+ 3 Comment pourrait-on les justifier sans calculatrice ?
Définition :
Soit a un nombre réel positif et n un entier naturel supérieur à 1,
on appelle racine n-ième de a, noté an , l'unique nombre positif r tel que rn = a. En d'autres termes:
r = an ⇔ rn = a et r ≥ 0
• Dans le cas où n = 2, la racine 2-ième s'appelle racine carrée et
se note au lieu de 2 . • Dans le cas où n = 3, la racine 3-ième s'appelle racine cubique.
Modèle 5 :
a) 1253 = .......... car ........................................
b) 814 = .......... car ........................................
Exercice 9.6:
En justifiant dans quelques cas, calculer sans machine:
a) 0 b) 0, 04 c) 0, 0009
d) 10003 e) 325 f) 164
g) 0, 0273 h) 0, 00014 i) 0,1253
j) 0, 0001 k) 0, 0000083
PUISSANCES ET RACINES 37
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Question :
Que pourrait valoir −1253 ?
Ou plus généralement, qu'en est-il de an si a est négatif ? Il s'agit alors d'étendre la définition pour des valeurs de a < 0:
Définition :
• Si a < 0 et n est un entier impair, on définit la racine n-ième par:
• r = an ⇔ rn = a
• Si a < 0 et n est un entier pair, la racine n-ième de a n'est pas
définie.
Modèle 6 :
a) −83 = .......... car ........................................
b) −164 = ..................................................
Exercice 9.7:
En justifiant dans quelques cas, calculer sans machine:
a) −273 b) −15 c) −42
d) (−2)33 e) (−2)2 f) −0,1253
g) −0, 0273 h) −14( )2
i) (−2)4
Propriétés :
Soit a et b des nombres réels positifs, n un entier naturel non nul.
(VIII) an( )n
= a • 23( )3
=
(IX) ann = a • 533 =
(X) a ⋅bn = an ⋅ bn • 33 ⋅ 93 =
(XI) a
bn =
an
bn(b ≠ 0) •
25
83 =
Mise en garde :
Contrairement au cas de la multiplication, on ne peut pas "casser" la racine d'une somme en somme de racines. Réciproquement, on ne peut pas directement regrouper une somme de racines:
a+ bn ≠ an + bn
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Modèle 7 :
Sans calculatrice, calculer:
a) 274 ⋅ 34 =
b) 81
164 =
Exercice 9.8:
Calculer sans machine:
a) 1
43 ⋅
1
23 b) 22 c) 9+1
d) 84 ⋅ 324 e) 26 f) 9 + 3
g) −27
10003 h) 0, 00014( )
4
i) 2105
Modèle 8 :
Sachant que 5 ≅ 2, 24 et 50 ≅ 7, 07 , calculer
a) 500 =
b) 0, 005 =
Exercice 9.9:
Sachant que 27 ≅ 5,19 et 270 ≅16, 43 , calculer:
a) 2700 b) 27'000 c) 270'000
d) 0, 27 e) 0, 027 f) 0, 000027
Exercice 9.10:
Sachant que 273 = 3 , 2703 ≅ 6, 46 et 27003 ≅13, 92 , calculer:
a) 27'0003 b) 270'0003 c) 2 '700'0003
d) 0, 273 e) 0, 0273 f) 0, 000273
Modèle 9 :
Sachant que 2 ≅1, 41 , estimer sans calculatrice les nombres suivants:
a) 8 =
b) 1
2=
c) 9
2=
PUISSANCES ET RACINES 39
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Exercice 9.11:
Sachant que 3 ≅1, 73 , estimer sans calculatrice les nombres suivants:
a) 300 b) 3
3 c)
4
3
Les 3 réflexes :
a) L'expression sous une racine doit être "la plus petite" possible:
• 72 =
• 49+1 =
b) On ne laisse pas de racine au dénominateur d'une fraction:
• 3
5=
• 2
5 5=
c) On ne laisse pas de racine de fractions:
• 8
3=
• 1
23 =
Exercice 9.12:
En respectant les 3 réflexes précédents, simplifier:
a) 300 b) 3
3 c)
4
3
d) 27 e) 2 1000 f) 39
2⋅
1
3
g) 12 + 27 h) 4+ 8
2 i)
9
2 3
j) 2+ 3
3 k) 162 l)
2
8
9.3 Les puissances à exposants rationnels
Exercice 9.13:
À l'aide de la calculatrice, calculer:
a) 2512 b) 27
13 c) 27
23
Que constatez-vous ?
40 THÈME 9
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Définition :
Tout en gardant les propriétés précédentes valides, nous allons définir les puissances à exposant rationnel par:
1) Si n est pair et a un réel positif:
(XII) a
1n = an
2) Si n est impair et a un réel quelconque:
(XII') a
1n = an
En effet, dans ce deuxième cas, la racine peut-être calculée même si a est négatif. Par exemple:
(−1)13 = −13 = −1
Modèle 10 :
Écrire à l'aide d'une racine et simplifier:
a) 412 =
b) 5−0,5 =
Exercice 9.14:
Écrire les expressions suivantes à l'aide de racines et simplifier:
a) 51/2 b) 43/2 c) 161/4
d) 321/10 e) 93/2 f) 250,5
g) 1
9
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟−1
2
h) 27
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
23
i) 2−1/2
j) 9−1,5 k) 56/5 l) 2
81/2
Exercice 9.15:
Écrire les expressions suivantes à l'aide d'exposants rationnels:
a) 35 b) 5611 c) 339
d)
1
2 e)
3
2 f) 393
Modèle 11 :
Simplifier les expressions suivantes:
a) 223 ⋅ 23 =
b) 53
57=
c) 2 ⋅ 2 =
PUISSANCES ET RACINES 41
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Exercice 9.16:
Simplifier les expressions suivantes:
a) 24 ⋅ 2 b) 34 ⋅ 323 c) 253 ⋅ 56
d) 3
33 e)
2
224 f) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =
Exercice 9.17:
• Dans votre formulaire, vous trouvez ces nouvelles formules:
a) amn = an⋅m
b) am⋅pm⋅n = apn
À vous de les justifier…
• À l'aide de ces formules, simplifier les expressions suivantes:
c) 23
d) 296
e) 3633
Exercice 9.18:
Les racines… Ce n'est pas si compliqué ;-) À l'aide d'une calculatrice, estimer le nombre suivant:
2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2+…
Exercice 9.19:
Les racines… un peu plus délicat À l'aide d'une calculatrice, estimer le nombre suivant:
1+ 2 1+3 1+ 4 1+ 5 1+ 6 1+ 7 1+8 1+…
42 THÈME 9
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QU
EL
QU
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RÉ
PO
NS
ES
AU
X E
XE
RC
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S
2C –
JtJ
202
2
Que
lque
s ré
pons
es :
Thè
me
9 E
xerc
ice
9.1:
a)
22(
)3=
22⋅3=
26=
64
b) 2
23 () =
28=
256
c)
23(
)2=
23⋅2=
26=
64
d) 2
3 – 3
2 = 8
– 9
= -1
e)
32 +
34 =
9 +
81
= 9
0 f)
103 +
102 =
100
0 +
100
= 1
100
g)
1 3⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟4
=14 34=
1 81
h) −
2 5
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟3
=−2 5
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟3
=(−
2)3
53=
-8 125
i)
−
3 2
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟4
=−3 2
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟4
=(−
3)4
24
=81 16
j)
2
()4
=2⋅
2⋅
2⋅
2=
2⋅2=
4
k)
5
()6
=…=
53=
125
l)
−
1 3
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟8
=−1 3
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟8
=…=
1 34=
1 81
Exe
rcic
e 9.
2:
a) 2
6
22=
26−
2=
24=
16
b) −
26
23=−
26 23=−2
6−3=−2
3=
–8
c)
(−2)
6
23=
26 23=
26−3=
23=
8
d) 210 212
=1
212−1
0=
1 22=
1 4
e)
2
4
−25=−
24 25=−
1 25−4=
–1 2
f)
2
4
(−2)
5=−
24 25=−
1 25−4=
–1 2
g)
2 23
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=1 22
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=12 24
=1 16
h)
−
27
26
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟3
=−2
7−6
()3=
(−2)
3=
–8
i)
20 22
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=1 4⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=12 42
=1 16
j)
216 47=
216
22(
)7=
216 214=
216−1
4=
22=
4
k)
95
310=
32(
)5
310=
310 310=
1
j)
53
252
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=53 54
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=1 5⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=1 25
Exe
rcic
e 9.
3:
a) 2
-1 ·
2-2 =
2-1
– 2 =
2-3 =
1 8
b) 3
-4 ·
34 = 3
-4 +
4 =
30 =
1
c)
40 ·
4-5 ·
43 = 4
-2 =
1 16
d)
a-3 ·
a4 = a
-3 +
4 =
a1 =
a
e)
2−3
32=
1 23 32=
1 23⋅
1 32=
1 8⋅1 9
=1 72
f)
1 2⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−2
=1
(1/2
)2=
1
1/4
=1⋅
4=
4
g)
23
3−2=
8 1 32
=8⋅3
2=
72
h) −
2 5
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−2
=−2 5
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−2
=5 −2⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=52
(−2)
2=
25 4
i)
1 5⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
·2 5⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−2
=1 5⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
·5 2⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=1 22=
1 4
QU
EL
QU
ES
RÉ
PO
NS
ES
AU
X E
XE
RC
ICE
S
2C –
JtJ
202
2
Exe
rcic
e 9.
4:
a) 2
3 · 24 ·
2-5 =
23
+ 4
– 5 =
22
b)
34 ()2
=38
=1 3–
8
c)
38 32=
36=
32 ()3=
93
d) 32 36
=3−
4=
32 ()−2
=9
–2
e)
5 25
2=
5 54=
5–3
f) 2
3⋅2
9=
212=
22 ()6
=46
g)
362
⋅6−2
=64
⋅6−2
=62
=1 6–2
h)
−
1 5⎛ ⎝⎜
⎞ ⎠⎟−3
=−1 5
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−3
=5 −1⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟3
=–
5(
)3ou
-53
i)
1 25⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−3
=25 1
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟3
=52 ()3=
56
j)
23 25
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−3
=25 23
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟3
=22 ()3=
26
k)
2−
1
23
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=1 24
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=2−
4(
)2=
2–
8 l
) 3−
4
92
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=3−
8
94=
32 ()−4
94=
9−4
94=
9–
8
Exe
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e 9.
5:
Dan
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s 2
cas,
il
suff
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mon
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les
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ôtés
du
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sont
bi
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ues.
E
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ice
9.6:
a)
0=
0 c
ar
02=
0
b)
0,04
=0,
2 c
ar
0,22=
0,04
c)
0,
0009
=0,
03 c
ar
0,03
2=…
d)
1000
3=
10 c
ar 1
03=
1000
e)
32
5=
2 c
ar
25=
32
f)
164
=2
car
24=
16
g)
0,
027
3=
0,3
car
0,
33=…
h)
0,
0001
4=
0,1
car
0,
14=
0,00
01
i)
0,
125
3=
0,5
car
0,
53=…
j)
0,
0001
=0,
01 c
ar
0,01
2=
0,00
01
k)
0,
0000
083
=0,
02 c
ar
0,02
3=
0,00
0008
Exe
rcic
e 9.
7:
a) −2
73
=−3
car
−3 ()3=−2
7
b) −1
5=−1
car
−1 ()5=−1
c)
−4
2 e
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d)
(−2)
33
=−2
e)
(−
2)2=
2 c
ar
(−2)
2=
4
f) −0
,125
3=−0
,5 c
ar
(−0,
5)3=−0
,125
g)
−0
,027
3=−0
,3 c
ar …
h)
−1
4 ()2
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déf
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i)
(−
2)4=
4
QU
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QU
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S
2C –
JtJ
202
2
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e 9.
8:
a)
1 43
⋅1 2
3=
1 83
=1 2
b)
22
=2
c)
9+
1=
10
d)
84
⋅32
4=
256
4=
4
e)
26
=64
=8
f)
9+
3=
3+
3
g)
−
27
1000
3=
−27
3 1000
3=
–3
10
h)
0,00
014 (
)4
=0,
0001
i)
210
5=
22(
)55
=22=
4
Exe
rcic
e 9.
9:
a)
2700
=10
0⋅
27≅
10⋅5
,19≅
51,9
b)
27
'000
=10
0⋅
270≅
10⋅1
6,43≅
164,
3
c)
27
0'0
00=
10'0
00⋅
27≅
100⋅5
,19=
519
d)
0,
27=
27 100=
27 10≅
0,51
9
e)
0,
027=
270
10'0
00=
270
100
=0,
1643
f)
0,
0000
27=
27
1'00
0'0
00=
27
1000
≅5,
19
1000
≅0,
0051
9
Exe
rcic
e 9.
10:
a)
27
'000
3=
1'00
03
⋅27
3=
10⋅3
=30
b)
27
0'0
003
=1'
000
3⋅
270
3≅
10⋅6
,46=
64,6
c)
2
'700
'000
3=
1'00
03
⋅2
'700
3≅
10⋅1
3,92
=13
9,2
d)
0,
273
=27
0
1'00
03
=27
03
10≅
6,46 10
≅0,
646
e)
0,
027
3=
27
1'00
03
=27
3 10=
3 10=
0,3
f)
0,
0002
73
=27
0
1'00
0'0
003
=27
03 10
0≅
6,46
100
=0,
0646
Exe
rcic
e 9.
11:
a)
30
0≅
17,3
b)
3 3≅
1,73
c)
4 3=
2 3=
2⋅
3
3≅
3,46 3
≅1,
15
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EL
QU
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2C –
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2
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rcic
e 9.
12:
a)
10
3
b)
3
c) 2
3
3
d) 2
32=
82
e)
20
10
f)
26 2
g) 5
3
h) 2+
2
i)
33 2
j)
23+
3
3
k) 9
2
l)
2 2
Exe
rcic
e 9.
13:
a)
5
b) 3
c)
9
Exe
rcic
e 9.
14:
a)
51/
2=
5
b) 4
3/2=
41/2
()3=
4(
)3
=8
c)
161/
4=
24(
)1/4=
2
d) 3
21/10=
321/
5(
)1/2=
21/2=
2
e)
93/
2=
91/2
()3=
33=
27
f) 2
50,5=
251/
2=
5
g)
1 9⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟−
1 2
=91/
2=
3
h)
27 8
⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2 3
=27 8
3⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=3 2⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟2
=9 4
i)
2−1
/2=
1 21/2=
1 2=
2 2
j) 9
−1,5=
1 93/2=
1
91/2
()3=
1 27
k)
56/
5=
56 ()1/
5
=56
5=
55
5
l)
2 81/2=
2 8=
2
22=
2 2
Exe
rcic
e 9.
15:
a)
31/
5 b)
56/
11
c) 3
3/9 =
31/
3
d)
2-1
/2
e)
3 2⎛ ⎝⎜⎞ ⎠⎟1/
2
f)
39/
3 = 3
3
Exe
rcic
e 9.
16:
a)
2
4⋅
2=
21/4⋅2
1/2=
21/4+
1/2=
23/4=
234
=8
4
b)
3
4⋅
323
=31/
4⋅3
2/3=
31/4+
2/3=
311/1
2=
31112
c)
25
3⋅
56
=52
3⋅
56
=52/
3⋅5
1/6=
52/3+
1/6=
55/6=
556
d)
3 3
3=
31/2
31/3=
31/2−
1/3=
31/6=
36
e)
2 22
4=
21/2
22/4=
1
f)
2⋅
2⋅
2=
2⋅
2⋅2
1/2
()1/
2
()1/
2
=21/
2⋅2
1/4⋅2
1/8=
21/2+
1/4+
1/8=
27/8=
278
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a
mn
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mn
=a1/
m(
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a1 m⋅1 n=
a1 n⋅m=
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m
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=am
⋅p(
)1 m⋅n=
am⋅p
m⋅n=
ap n=
ap
()1 n=
ap
n
c)
2
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d)
232
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2
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rcic
e 9.
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