Présentation Slide - Outil d'analyse pour les chaines de Marov à temps discret

République Algérienne Démocratique et PopulaireMinistère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

Université des Sciences et de la Technologie Houari BoumedieneFaculté d’Electronique et d’Informatique

Département Informatique

Soutenance du mémoire pour l’obtention du diplôme deLICENCE EN INFORMATIQUE

Option: Ingénierie des Systèmes d’Information et du Logiciel

Un outil d’analyse transitoire pour les chaînes de Markov à temps discret

Présenté par :Mr Youcef ZAHARIOUMr Nassim KHORCHI

Dirigé par : Pr Nawel GHARBI

Devant le Jury :Président de jury : Pr Mohand Cherif BOUKALAExaminateur : Dr Nawel OUROUA

Juin 2016

Introduction

Fondements théoriques

Mise en ouevre

Conclusion

Perspective

Processus stochastiques, Chaîne de Markov à temps discret

Démarche et présentation de l’outil, Résultat

Contexte du projet, Problématique, Hypothèses, Objectifs, Méthodologie

Plan de travail

INTRODUCTION

IntroductionContexte du projet

L’étude de l’évolution des systèmes dans différents domaines, exige beaucoup d’effort, et des fois fini par de mauvais approvisionnement.

Hypothèses Objectifs MéthodologieProblématique

IntroductionContexte du projet

Des modèles formelles mathématique ont été utilisés pour contourner ce problème, nous citons les processus stochastiques markovien

Hypothèses Objectifs MéthodologieProblématique

IntroductionContexte du projet Hypothèses Objectifs MéthodologieProblématique

Face à cette situation, la problématique suivante se pose :

• Comment peut-t on modéliser des situations réelles par des processus stochastiques?

• Quelle est l’impact des processus stochastiques markoviensdans la prévision des réalisations futures d’un système dynamique ?

• Quelle sont les avantages par rapport aux calculs classique des probabilités ?

• Comment peut-on simuler ces caractéristiques en les implémentant dans un outil informatique ainsi son utilité fonctionnelle ?


A travers la problématique de notre travail dérivent ces hypothèses :

• La modélisation des processus stochastiques sera effectuer par les chaînes de Markov.

• En effet l’un des principaux objectifs des processus stochastiques markovien consiste en la prévision des réalisations futures.


L’objectif de cette Licence est :

Comprendre les processus stochastiques en générale.

Une introduction aux chaînes de Markov à temps discret. L’accent est mis sur l’étude de ses propriétés, théorèmes et ses applications dans l’analyse.

Développer un outil informatique pour étudier et modéliser ces applications aisément à l’aide des algorithmes.


Pour répondre aux objectifs fixés, nous avons organisé notre travail selon trois étapes principales :

Appréhender les fondements théoriques relatifs au sujet à savoir :Processus stochastiques, Chaîne de Markov , Le comportement transitoire et permanent des CMTD.

Se référencier à des exercices comme exemples applications pour mieux comprendre la modélisation dans des situations réel etafin de constituer un test comparatif avec notre outil

Consulter la documentation de java et determiner les API propre à notre sujet (Mathématique, graphique…), Un travail d’implémentation des algorithmes dans une applications .

FONDEMENTS THÉORIQUES

Fondements théoriquesProcessus stochastiques Chaîne de Markov à temps discret

Un processus stochastique est un objet mathématique qui permet de modéliser une situation réelle

et qui s’interesse à l’évolution d’un système dans le temps

On peut faire des predictions sur l’état future d’un système dans le temps


Processus stochastiques

Évènementsdiscret

Évènementscontinus

Tempsdiscret

Tempscontinus

Sans mémoire


Une autre façon formelle d’écrire ça :𝑃[𝑋𝑛= |𝑗 𝑋 −1𝑛 ] = 𝑖 −1𝑛 ,𝑋 −2𝑛 = 𝑖 −2𝑛 ,…..,𝑋0=𝑖0] = [𝑃 𝑋𝑛= |𝑗 𝑋 −1𝑛 =𝑖 −1𝑛 ]

Où : 𝑋𝑛 représente l’état du système à l’instant n.

La propriété fondamentale des chaînes de Markov, dite

propriété de Markov, est que son évolution future ne dépend

du passé qu’au travers de sa valeur actuelle.


Une entreprise A au début a 0% du marché

Le responsable de l’entreprise a embauché un spécialiste qui fait l’étude du marchépour prédire l’impact d’une compagne publicitaire de leurs produits qu’ils

veulent lancer, et comme résultat ils ont obtenus :

Quelqu’un qui utilise des produits de l’entreprise A va rester avecl’entreprise A avec 90% de probabilité.

Quelqu’un qui utilise autre produits que l’entreprise A (d’une autre entreprise quelconque B)va changer vers l’entreprise A avec 70% de probabilité.

Pour montrer une de ses applications on va donner l’exemple suivant:


Nous pouvons présenter les données précédentes comme suit :

A B

A 9/10 1/10

B 3/10 7/10P =

A B

S0 = 0 1

Et à l’aide d’un vecteur de distribution d’état initial

Avec une matrice stochastiqueAvec un diagramme de transition

1/109/10

7/10 3/10


Debut

A

B

A

BA

B

0

1

3/10

7/10

1/10

9/10

P(A) = 0*9/10 + 1*7/10 = 0.7

A B

S1 = 0.7 0.3

Vecteur de distribution à l’instant 1 (après un mois)

0 1

9/10 1/10

3/10 7/10*

= 0.7 0.3

Analyse transitoire

La probabilité qu’un utilisateur utilise l’entreprise A :

Nous remarquons que si on fait le produit matricielle de S0*P


Analyse transitoire, aller jusqu’ à n étapes

A B

S1 =S0*P= 0.7 0.3 Vecteur de distribution à l’instant 1 (après un mois)A B

S2 = S1*P= 0.84 0.16 Vecteur de distribution à l’instant 2 (après deux mois)

A B

S3 = S2*P= 0.868 0.132 Vecteur de distribution à l’instant 3 (après trois mois)A B

S4 = S3*P= 0.8736 0.1264 Vecteur de distribution à l’instant 4 (après quatre mois)

A B

Sn = Sn-1*P= 0.875 0.125 Vecteur de distribution à l’instant n (après n mois)

.. ..


Analyse transitoire, aller jusqu’ à n étapes

Sn = S0*


Probabilité stationnaire de la chaîne de Markov

S*P = 0.875 0.125

9/10 1/10

3/10 7/10 = 0.875 0.125 = S*

À l’étape n aucun changement s’opère, On apelle le vecteur S : la probabilité stationnaire de la chaine de Markov

Le system est dit à l’état stable


CONDITION POUR VERIFIER LE CRITERE DU REGIME STATIONNAIRE

Irréductibilité

Apéreriodicité


Chaîne de Markov irréductible :

On dit qu’une chaîne de Markov est irréductible si :

À partir de tous les états donnés, on trouve quels sont les états que l’on peut atteindre,

et si on peut atteindre tous les autres états dans la chaîne, on dit que la propriété d’irréductibilité est vérifié.

Processus stochastiques Chaîne de Markov à temps discret


Chaîne de Markov apériodique :

On dit qu’une chaîne de Markov est apériodique si

la période de la chaîne est inférieure ou égale à 1, on a :


- La période de la chaîne est égale au PGCD des périodes de chaqu’un de ses états.

- La période de chaque état est égale au PGCD des longueurs des circuits correspondants à cet état


Période de l’état E1 = PGCD(3,4) = 1




Période de la chaîne = PGCD(1,1,1,1) = 1


Donc dans cet exemple la chaîne est apériodique

Chaîne de Markov apériodique :

MISE EN ŒUVRE

Mise en œuvreDémarche et présentation de l’outil Résultat

Notre étude des chaînes de Markov nous a permis de réaliser le logiciel que nous allons presenter dans la suite.


Fenêtre principale

1

2

3

4

5

Barre de menus

Barre d’outils

Espace de travail

Affichage matrice

Barre d’état


1

Enregistrer / Nouveau / Ouvrir

Barre de menus


1

Vérifier les circuits

Barre de menus


1

Vérifier les périodes

Barre de menus


1

Affichage de la matrice de transition

Barre de menus


1

Paramètres

Barre de menus


2

Interaction avec la barre d’outils

Barre d’outils


2

Gestion des états

Barre d’outils

Modification Ajout Suppression


2

Gestion des arcs

Barre d’outils

Modification Ajout Suppression


4

Affichage de la matrice

Affichage matrice temps réel


Application de l’exemple présenté dans la partie theorique

Analyse transitoire


Application de l’exemple présenté dans la partie théorique

Analyse stationnaire

CONCLUSION

Conclusion

- Nous avons constaté en effet que la première hypothèse a

été validée, et que les processus stochastiques jouent un rôle

important dans la modélisation des systèmes.

- Ainsi que la deuxième hypothèse car on a montrer des

calculs qu’on peut effectuer sur les chaînes de Markov et qui

permettent de prévoir le comportement d’un système.

- L’outil que nous avons développé a aidé d’augmenter le taux

de précision des calculs, de gagner du temps et de facilité la

tache pour la manipulations des CMTD.

PERSPECTIVE

Perspective

• S’approfondir sur la question de modélisation des

systèmes par les processus stochastiques.

• S’approfondir dans les autres aspects des chaines de

Markov.

• Nous voyons que nous pouvons améliorer notre outils

en implémentant le cas des chaînes de Markov à temps

continue , en ajoutant des fonctionnalités qui peuvent

s’avérer importante…

Merci pour votre attention !

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Software

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