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Cas discretCas continu
Tomographie
Etienne Baudrier
Seminaire ISNUniversite de Strasbourg
11 fevrier 2015
UdS, ISN, 2015 1/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Plan
1 Cas discretExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
2 Cas continuGeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
UdS, ISN, 2015 Cas discret 2/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Introduction
Etude de la forme des cristaux d’argent
Question
2012 : A quoi ressemble-t-il a l’echelle atomique (10−10m)
UdS, ISN, 2015 Cas discret 3/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Microscope et echelle
UdS, ISN, 2015 Cas discret 4/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Images des cristaux acquises par microscopie electronique
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Localisation des atomes
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
UdS, ISN, 2015 Cas discret 7/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
UdS, ISN, 2015 Cas discret 7/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
UdS, ISN, 2015 Cas discret 7/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
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ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
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ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
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ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Que voit-on ?
Le microscope compte les atomes d’argent
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Recherche ...
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ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Solution 2
rem : pas unicite
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Reconstruction en 3 dimensions
Votre methode est la base de la methode (plus complexe) dereconstruction !
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Plan
1 Cas discretExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
2 Cas continuGeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
UdS, ISN, 2015 Cas discret 12/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Applications
microscopie electronique,
imagerie medicale,
compression de donnees,
physique statistique,
planification
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Notations
A = (ai ,j) matrice binaire de taille (m, n)
hi =∑n
j=1 ai ,j : projection horizontale de la ligne i
H = (h1, . . . , hm projection horizontale de la matrice A
vi =∑m
i=1 ai ,j : projection verticale de la colonne j
V = (v1, . . . , vn projection verticale de la matrice A
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Exemple
A =
3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1
HV
1 4 1 1 5
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Existence
Existence
Donnees : H = (h1, . . . , hm) ∈ Nm,V = (v1, . . . , vn) ∈ Nn
Question : existe-t-il une matrice binaire se projetant en H et V ?
Reconstruction
Donnees : H = (h1, . . . , hm) ∈ Nm,V = (v1, . . . , vn) ∈ Nn Sortie :une matrice binaire si elle existe, se projetant en H et V .
Unicite
Donnees : H = (h1, . . . , hm) ∈ Nm,V = (v1, . . . , vn) ∈ Nn
Question : s’il existe une matrice binaire se projetant en H et V ,est-elle unique ?
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ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Condition necessaire
Premiere condition necessaire : compatibilite∑ni=1
∑mj=1 ai ,j =
∑ni=1 vi =
∑mj=1 hj
exemple
V = (0, 2)→ 2
H = (1, 1)?H = (2, 0)?H = (0, 2)?
Definition (Matrice maximale)
Une matrice M est dite maximale si ses lignes sont composees degauche a droite de 1 puis de 0.
Une matrice maximale est uniquement determinee par la somme deses lignes.Soit A la matrice maximale associee a H.Soit V la permutation croissante de V
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Exemple
A=
3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1
HV
1 4 1 1 5
V 5 4 1 1 1
, A =
3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0
HV
5 5 2 0 0
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Theoreme
Theorem (Ryser, 1957)
Il existe une solution pour la paire compatible (H,V) si etseulement si
n∑i=1
vi =m∑j=1
hj(compatibilite) etn∑
i=k
vi ≥n∑
i=k
vi (1)
avec k = 2, . . . , n.
UdS, ISN, 2015 Cas discret 19/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Exemple
A=
3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1
HV
1 4 1 1 5
V 5 4 1 1 1
, A =
3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0
HV
5 5 2 0 0
∑ni=k vi - 7 3 2 1∑ni=k vi - 7 2 0 0
, σ =1 2 3 4 5
5 2 3 4 1
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
Algorithm 1 Algorithme de Ryser
Entree : une paire (H,V ) satisfaisant (1)Construire V a partir de V par une permutation σinitialisation : matrice T = A et k = nwhile (k > 1) do
while (vk >∑m
i=1 ti ,k) doSoit j0 = max{j < k|ti ,j = 1, ti ,j+1 = . . . = ti ,k = 0}.Soit le rang i0 la ou j0 a ete trouveDefinir ti0,j0 = 0 et ti0,k = 1 (deplacer le 1 vers la droite)k = k − 1
end whileend whileappliquer la permutation inverse σ−1 a M : A = σ−1(M)return A
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
Algorithm 2 Algorithme de Ryser
Entree : une paire (H,V ) satisfaisant (1)Construire V a partir de V par une permutation σinitialisation : matrice T = A et k = nwhile (k > 1) do
while (vk >∑m
i=1 ti ,k) doSoit j0 = max{j < k|ti ,j = 1, ti ,j+1 = . . . = ti ,k = 0}.Soit le rang i0 la ou j0 a ete trouveDefinir ti0,j0 = 0 et ti0,k = 1 (deplacer le 1 vers la droite)k = k − 1
end whileend whileappliquer la permutation inverse σ−1 a M : A = σ−1(M)return A
UdS, ISN, 2015 Cas discret 22/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
T =
3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0
H
V5 4 1 1 1
(vk = 1 >∑m
i=1 ti ,k = 0)
UdS, ISN, 2015 Cas discret 23/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
Algorithm 3 Algorithme de Ryser
Entree : une paire (H,V ) satisfaisant (1)Construire V a partir de V par une permutation σinitialisation : matrice T = A et k = nwhile (k > 1) do
while (vk >∑m
i=1 ti ,k) doSoit j0 = max{j < k|ti ,j = 1, ti ,j+1 = . . . = ti ,k = 0}.Soit le rang i0 la ou j0 a ete trouveDefinir ti0,j0 = 0 et ti0,k = 1 (deplacer le 1 vers la droite)k = k − 1
end whileend whileappliquer la permutation inverse σ−1 a M : A = σ−1(M)return A
UdS, ISN, 2015 Cas discret 24/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
j0 = 3, i0 = 1
T =
3 1 1 1 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 25/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
Algorithm 4 Algorithme de Ryser
Entree : une paire (H,V ) satisfaisant (1)Construire V a partir de V par une permutation σinitialisation : matrice T = A et k = nwhile (k > 1) do
while (vk >∑m
i=1 ti ,k) doSoit j0 = max{j < k|ti ,j = 1, ti ,j+1 = . . . = ti ,k = 0}.Soit le rang i0 la ou j0 a ete trouveDefinir ti0,j0 = 0 et ti0,k = 1 (deplacer le 1 vers la droite)k = k − 1
end whileend whileappliquer la permutation inverse σ−1 a M : A = σ−1(M)return A
UdS, ISN, 2015 Cas discret 26/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
T =
3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
k = 4
T =
3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
k = 4
T =
3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 1 0 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
k = 4
T =
3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
k = 4
T =
3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
k = 3
T =
3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
k = 3
T =
3 1 1 0 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
k = 3
T =
3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
T =
3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
T =
3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 27/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
Algorithm 5 Algorithme de Ryser
Entree : une paire (H,V ) satisfaisant (1)Construire V a partir de V par une permutation σinitialisation : matrice T = A et k = nwhile (k > 1) do
while (vk >∑m
i=1 ti ,k) doSoit j0 = max{j < k|ti ,j = 1, ti ,j+1 = . . . = ti ,k = 0}.Soit le rang i0 la ou j0 a ete trouveDefinir ti0,j0 = 0 et ti0,k = 1 (deplacer le 1 vers la droite)k = k − 1
end whileend whileappliquer la permutation inverse σ−1 a M : A = σ−1(M)return A
UdS, ISN, 2015 Cas discret 28/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
T =
3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
σ =1 2 3 4 5
3 2 4 5 1, σ−1 =
1 2 3 4 5
5 2 3 4 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 29/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
T =
3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
σ−1 =1 2 3 4 5
5 2 3 4 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 30/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
T =
3 1 0 1 0 12 1 1 0 0 02 1 1 0 0 02 1 1 0 0 03 1 1 0 1 0
H
V5 4 1 1 1
σ−1 =1 2 3 4 5
5 2 3 4 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 30/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
A =
3 1 0 1 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 1 0 1 1
HV
1 4 1 1 5
σ−1 =1 2 3 4 5
5 2 3 4 1
UdS, ISN, 2015 Cas discret 31/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Unicite ?
Definition (Bascule)
Une bascule est un ensemble de quatre cellules(i , j), (i , j + k), (i + h, j) et (i + h, j + k) tel que (i , j) et(i + h, j + k) sont de valeurs 1 et (i + h, j) et (i , j + k) sont devaleurs 0 ou inversement. Une operation elementaire consiste aechanger les 1 et 0.
Les projections orthogonales d’une matrice binaire restentinchangees apres les operations elementaires.
UdS, ISN, 2015 Cas discret 32/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
A =
3 1 0 1 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 1 0 1 1
HV
1 4 1 1 5
UdS, ISN, 2015 Cas discret 33/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Algo
A =
3 1 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 12 0 1 0 0 13 0 0 1 1 1
HV
1 4 1 1 5
UdS, ISN, 2015 Cas discret 33/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Unicite
Theorem (Ryser)
Si A et B sont deux reconstructions differentes de (H,V ), alors Ase transforme en B a l’aide d’une suite finie d’operationselementaires.
Proposition (Wang et Chang, 1998)
Pour H = V = (1, 1, . . . , 1) il existe (n!) solutions equivalentestelles qu’il est possible de passer d’une solution a une autre par unesuite finie d’operations elementaires .
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Unicite du perimetre ?
Exercice
UdS, ISN, 2015 Cas discret 35/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Unicite du perimetre ?
UdS, ISN, 2015 Cas discret 36/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Unicite HV
Conditions pour reconstruction unique
Il y a unicite de la reconstruction si et seulement s’il n’y a pas debascule possible
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Plan
1 Cas discretExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
2 Cas continuGeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
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Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Unicite ?
Proposition
Pour un ensemble de m directions, il est toujours possible dereconstruire 2 ensembles distincts ayant les memes projectionsselon les m directions choisies.
Exercice...
UdS, ISN, 2015 Cas discret 39/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Unicite ?
Restriction a un ensemble de m points (Renyi, 1952)
Un ensemble de m points dans Z2 ou Z3 peut etre distingue den’importe quel autre ensemble par (m + 1) projections dans desdirections mutuellement non paralleles.
UdS, ISN, 2015 Cas discret 40/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Cas multiple
Restriction sur les ensembles : convexite
Definition (Convexite discrete)
Un ensemble discret est dit totalement convexe s’il est egal audiscretise de son enveloppe convexe.
Combien de projections pour reconstruire un ensemble tt-convexe ?
UdS, ISN, 2015 Cas discret 41/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Angles particuliers
Proposition (Gardner 1997)
Il y a unicite pour quatre directions de Zn dont les pentes(ordonnees) ont un quotient differents de 4/3, 3/2, 2, 3 ou 4
Mais pas pour 3 directions
UdS, ISN, 2015 Cas discret 42/61
Cas discretCas continu
ExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
Angles quelconques
Theorem (Gardner 1997)
Soit un ensemble de sept directions (de Z2) mutuellement nonparalleles, alors n’importe quel ensemble convexe de Z2 peut etredistingue d’un autre par ses projections selon ces directions.
rem resultat similaire en continu.
Travaux dans l’equipe : extension de la notion de convexite(convexite par quadrant)
UdS, ISN, 2015 Cas discret 43/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Plan
1 Cas discretExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
2 Cas continuGeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
UdS, ISN, 2015 Cas continu 44/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Applications
Imagerie medicale (IRM, radiographie X, echographie,..)
Geophysique
Astrophysique
Biologie moleculaire
technique sans contact (non destructive)
UdS, ISN, 2015 Cas continu 45/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Principe de la tomographie
1 Projections sous differents angles
2 Sinogramme
3 Reconstruction
UdS, ISN, 2015 Cas continu 46/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Principe de la tomographie
1 Projections sous differents angles
2 Sinogramme
3 Reconstruction
UdS, ISN, 2015 Cas continu 46/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Principe de la tomographie
1 Projections sous differents angles
2 Sinogramme
3 Reconstruction
UdS, ISN, 2015 Cas continu 46/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Principe de la tomographie
1 Projections sous differents angles
2 Sinogramme
3 Reconstruction
UdS, ISN, 2015 Cas continu 46/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Modelisation
La transformee de Radon (1917)
modelisation mathematiques de la tomographie
R[f ](θ, s) = pθ(u) =∫R f (u cos θ − v sin θ, u sin θ + v cos θ)dv
probleme inverse :
methodes analytiquesmethodes algebriquesmethodes heuristiques
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Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Plan
1 Cas discretExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
2 Cas continuGeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
UdS, ISN, 2015 Cas continu 48/61
Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Retroprojection
Idee
Attribuer pθ(u) a tout point place sur le rayon de projection, puissommer ces contributions
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Cas discretCas continu
GeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
Retroprojection
Operateur de retroprojection
B[p](x , y) =∫ π
0 pθ(x cos θ + y sin θ)dθ
Relation
B[p](x , y) = (f ? h)(x , y) avec h(x , y) = 1√x2+y2
Inversion
f = TFI [TF (B[p]) · ρ] avec ρ(X ,Y ) =√
X 2 + Y 2
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Algebrique
Recherche des solution dans une espace de dimension finie, commecombinaison lineaire de fonctions de base ϕi
f (x , y) =n∑
i=1
fiϕi (x , y).
Exemple ϕi indicatrice du pixel i (ordre arbitraire).
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Algebrique
Une projection :
pj =n∑
i=1
Rji fi
avec
Rji =
∫ϕi (ul cos θk − v sin θk , ul sin θk + v cos θk)dv
pj : valeur de la projection d’angle θk au point ul .
Expression matricielle de la projection
P = Rf
Taille P : M × NPf N × N
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les methodes algebriques
ART et SIRT : algorithmes iteratifs pour resoudre ce systeme
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Plan
1 Cas discretExempleTheorie HVm ≥ 2 projections
2 Cas continuGeneralitesMethodesRecherches dans l’equipe
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Principe
Specimens de la molecules isoles dans une fine couche de glace
Grossissement au microscope electronique
1 seule prise a cause des radiations
→ orientations inconnues
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Donnees
Images de microscopie electroniquede � particules isolees �
tres bruitees
angles de projection inconnus
une conformation :10 000-100 000
plusieurs : 1 000 000
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Modele
Transformee en rayon X
TR(f , θ) =∫ 1−1 Rθ(f )(x , y)dy
1 rotation de l’objet
2 integration verticale
Probleme
Reconstruire l’objet f a partir des projections(TR(f , θ1), . . . ,TR(f , θn))
angles connus : methodes classiques
angles inconnus : plus dur !
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Methode
Observation
L’estimation des orientations influence la reconstruction de l’objetet reciproquement
Principe
Reconstruction conjointe des orientations et de l’objet (3D+t)
Methode
Definition d’une fonction de cout et optimisation heuristique
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Methode
Donnees :
images (projections) du microscope
objet courant aleatoire
angles courants aleatoires
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Modification elementaire
Sur les angles
Permutation aleatoire de deux angles,
Sur le sinogramme donne, permutation de deux lignes.
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Modification elementaire
Objet
choix aleaoire d’un pixel,choix aleatoire d’un nouveau niveau de gris
Sur le sinogramme courant, changement d’une valeur dans chaqueligne.
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