Première séance de regroupement PHR101Lundi 26 novembre 2012

Rappels de cours (Leçons 2 et 3)

Commentaires sur les exercices

Questions / Réponses

Mathématiques pour la Physique et la Chimie

Pourquoi les physiciens sont-ils « fans » des « dérivées » et des « intégrales » ??

Imaginons que nous sommes en train d'étudier un phénomène physique caractérisé par une propriété P (x) dans un l'intervalle [xd, xf] qui définit notre domaine d'intérêt Trop compliqué à étudier

Intéressons nous donc juste à une petite partie Δx du domaine d'étude la courbe devient plus régulière. Elle le serait encore plus si on choisit l'intervalle Δx encore plus petit On préfère étudier f ′(x) plutôt que f (x) : c’est le principe de régularité.

Et pour généraliser ? L’intégration

Les équations différentielles

Equations différentielles de premier ordre

La solution est de la forme :

L’intégration par rapport à x de cette fonction (en prenant ln f0 = A pour x = 0)

donne f = f0 exp Kx

Interprétation du signe de K :

Si f quand x K > 0

si f quand x K < 0

Applications : K < 0

Loi de Beer et Lambert Désintégration radioactive

K > 0

Taux d’accroissement d’une population (MAP - Les fonctions Exemple 29 –)

df

K dxf

ln f Kx A

Penser systématiquementÀ la constante d’intégration

Equations différentielles de second ordre

Cas où F = 0 Résoudre l'équation caractéristique :

D = b2 - 4ac > 0 Deux racines distinctes r1 et r2

la solution est :

D = b2 - 4ac = 0 Une racine double r

la solution est :

D = b2 - 4ac < 0 Deux racines complexes la solution est :

Cas où F = Constante = d Faire le changement de variable u = cy – d, résoudre

l’équation : et penser surtout au fait qu’on cherche y(t) et non pas u(t)

Cas où F est une fonction La solution est constituée par la solution y1 de l’équation

sans second membre, à laquelle on ajoute une solution particulière y2 de l’équation avec

second membre.

2

2

d y d ya + b + c y(t) = ay + by + cy = F

d t d t

2a r + b r + c = 0

1 2r t r ty(t) = e e

r ty(t) = t e

ty(t)= cos t sin t e

au'' + bu' + cu = 0

2

2

2

d y d ya + b + c y(t) = 0

d t d t

a r b r c 1 0

MAP – Les équations différentielles ordinaires Un complément mathématique est mis à votre disposition en annexe.

Un des 3 volets disponibles actuellement porte sur les équations différentielle. Sont principalement traitées :

Les équations différentielles du premier ordre Equations à variables séparables Equations homogènes

Les équations différentielles d'ordre 2 non linéaires

Les équations différentielles d'ordre 2 linéaires Exemple 22: "Distribution de la température d'une barre longue" Exemple 24 : "Décharge d'un condensateur dans une bobine" Exemple 25: "Relaxation d'une suspension" Exemple 27: "Véhicule sur une route ondulée en sinusoïdes"

Les lois de Newton Ce sont des lois qui permettent de lier étroitement

les deux notions de force et de mouvement. Loi d’inertie : si un corps mobile n'est soumis à

aucune force, il continue éternellement à se déplacer dans la même direction et à la même vitesse

Loi du mouvement

Loi d'égalité ou d’actions réciproques

000 adt

vdm

dt

pdctevmpctev

extd p

F madt

��������������

����������������������������

A sur B B sur AF = F

L’énergie en mécanique Deux types d’énergie :

Ec : liée au mouvement Pour un point matériel de masse m se déplaçant à la vitesse v

La variation d’Ec d’un point matériel, soumis à un ensemble de forces extérieures, entre un point A et un point B

Ep : liée à la position

Uniquement dans le cas des forces conservatives :

Conservation de l’énergie mécanique uniquement dans le cas des forces conservatives dont le travail ne dépend pas du chemin suivi

2

2

1mvEC

)(2

1

2

1)()( 22 extFWmvmvAEBEE BAABCC

)()()( cBA FWAEpBEpEp

0)()( extFWextFWEpEcE BABA

Les oscillateurs

Différents types d’oscillateurs

Oscillateur libre non amorti

Oscillateur forcé sur un système non amorti

Oscillateur libre sur un système amorti par frottements

visqueux Cas des faibles frottements : le régime pseudo périodique

Cas des forts frottements : le régime apériodique

Cas limite : l’amortissement critique

Oscillateur forcé sur un système amorti par frottements

visqueux (Exercice sur l’AFM)

Xx0

x

0

P

T

Oscillateur mécanique libre non amorti Horizontal étiré Vertical étiré

Attention à la CE :

PFD : Attention force de rappel :

T = - K * (allongement total par rapport à la longueur à vide du ressort)

amFRP 2

x 2dv d x

K x = m a = m = m dt dt

2 2202 2

d x K d x + x = 0 + x = 0

mdt dt

o

0

:

x t  A cos ( t ) :

2

A amplitude

avec Phase

Kpulsation f

m

0P + T = 0 K x    m g    0 ������������������������������������������

2

2P + T = ma

d xm g K x m

d t

2

0 2

2

0 20

d xm g K x x m

d t

d xm g K x K x m

d t

P

xkF R

0 xO

Oscillateur mécanique libre non amorti

Oscillateur horizontal ou vertical, on aboutit toujours à la même

équation différentielle

Ne négliger jamais un paramètre si on ne vous le demande pas

explicitement

N’oublier pas la condition d’équilibre à chaque fois que vous avez

affaire à un ressort vertical

L’allongement Dx est toujours compté par rapport à la longueur à

vide du ressort l0

Dans toutes les équations différentielles relatives aux oscillateurs, il

faut toujours s’arranger pour avoir le facteur 1 qui précède la

dérivée seconde , le facteur qui précède x est x 20

Animation

Oscillateur mécanique forcé non amorti Excitations sinusoïdales

Projection sur l'axe des x

Intuitivement la masse va osciller à la même pulsation que la force appliquée :

ressortmasse

Diapasonen vibrationsentretenues

F

R

T

P

(ox)

ressortmasse

Diapasonen vibrationsentretenues

F

R

T

P

(ox)

T + F + P + R = m a

2

o 2d x

Kx + F sin t = m dt

22 o02

Fd x + x = sin t

mdt

x t = A sin ( t + )

2 2 oo

FA ( ) sin ( t + ) = sin t

m

2 2 2 2 oo o

FA ( ) (cos ) sin t + A( )(sin ) cos t = sin t

m

A cos x + B sin x = C cos x + D sinx A = C et B = D

0

2 2o

o2 22 2 ooo

A( ) sin = 0 = 0

FA = F m ( )A( ) cos =

m

amplitude

pulsation o

o2o

F

m ω

o

2 2o

F

m ω - ω

Résonance

Oscillateur mécanique libre amorti + Force de frottement

Projection sur l'axe des x

Equation caractéristique :

Discriminent :

F + f P + R = m a��������������

x

P

xkF R

x

P

xkF R

f x

��������������

K x x m x

20

2

0 0m x K x x xK

xm

xm

2 202 0 r r

2 204 4

22 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 01

0 0

4 4 4 4 2i i

Oscillateur mécanique libre faiblement amorti Discriminent négatif

Solutions complexes de l’équation caractéristique:

Solution générale de l’équation différentielle :

2 21 0

2 22 0

r i i

r i i

-( ) [ cos sin ] tx t e A t B t

- tMx(t) = X e cos t +

x(t) ≠ x(t + T) : l’amplitude des oscillations diminue avec le temps Mouvement pseudo périodique

22 20 0 02

0

1

Pseudo pulsation

0 002 2 2 2

02 20 0

2 2 2

1 1

TT T

Pseudo période

Animation

Oscillateur mécanique libre fortement amorti Discriminent positif

Solutions réelles de l’équation caractéristique:

Solution générale de l’équation différentielle :

Régime Apériodique Pas d’oscillations Le temps de relaxation le plus grand imposera la

décroissance de l’exponentielle.

2

22 2 2 20 04 4 2 2

1 2 20

2

0

20

ravec et

mr

t tx(t) = Ae C e

resonnateur3.swf

1

1

Régime critique

Discriminent nul

Solution générale de l’équation différentielle :

2 20 0

24 4 0

2 r

0 tx t At B e

Temps de relaxation pour le régime critique :

0

1c

.

0

1c

Le temps de relaxation pour le régime apériodique est toujours plus important que celui du régime critique. Si on désire un retour rapide à l’équilibre (pour les amortisseurs d’une voiture par exemple) on a un intérêt de se rapprocher le plus possible du régime critique.

Animation

Oscillateur mécanique forcé et amorti (1/2) Excitation sinusoïdale + Force de frottement

Ressort horizontal. Projection sur l'axe des x :

On peut poser : x(t) = xm cos(wt + j) et résoudre l’équation :

Plus simple : passage au nombre complexe

T + f + F P + R = m a��������������

0 cosK x x F t m x

200 0cos 2 cos

FKx x x t x x x A t

m m m

2 20 0cos 2 sin cos cosm m mx t x t x t A t

0

00

0

2 20

0 0( )

( )

i i t i t

x

i t

i t

i t i t

x t x e e x e

x t x i e i x t

x t x e x t

F tF t F e A e

m

Déterminer x(t) = Déterminer les valeurs de :x0 et j

F��������������

f��������������

Oscillateur mécanique forcé et amorti (2/2) Equation du mouvement :

Rappel mathématique :

Dans notre cas :

2 2 20 0 0 0 0

00 0 0 2 2

0

2 2

2

i t i t i t

i i

x x x A e i x e A e

Ax x e x e

i

2 2

111 2

2 2

arg arg arg

z a i b z a b

zzz z et z z z

z z

0

0 0 12 22 2 2 2

0 4

Ax x

Attention il manquait le terme1/2dans le dénominateur (Ex4/L02/p3/6)

2 200 0 02 2

0 0

2 20

2 2 2 20 0

arg arg arg arg 22

arg 2

2 2

AZ A i

i

i

tg arctg

Commentaires sur les exercices

Remarques générales Pour toutes les équations différentielles, il faut toujours

s’arranger pour regrouper les mêmes variables du même côté.

Si le second membre est non nul, la solution de l’éq, diff est la somme d’une solution générale + solution particulière,

Si les bornes de l’intégrale ne sont parfaitement définis, on intègre toujours à une constante près, L’oubli de cette constante est l’une des erreurs très fréquemment rencontrées en PHR101.