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Oscillations mécaniques forcées ‐ Oscillations amorties PHR 101

1 N. FOURATI_ENNOURI

Conservatoire National des Arts et Métiers

Service de Physique dans ses rapports avec l'industrie

PHR 101

"Principes et outils pour l'analyse et la mesure"

Leçon n° 3

Oscillations mécaniques forcées

Oscillations amorties par frottement visqueux



1. Oscillations mécaniques forcées sur un système non amorti

Dans le chapitre précédent, nous avons simplement comprimé l'ensemble ressort-masse puis

laissé le système osciller librement. Il s'agissait d'une excitation "statique", si on peut dire, qui

déterminait les conditions initiales du mouvement.

Nous allons considérer que l'oscillateur constitué de l'ensemble masse-ressort subit une excitation

sinusoïdale liée à un dispositif extérieur comme, par exemple, celui représenté sur la figure n°1 :

on est dans le cas d'un oscillateur mécanique en vibrations forcées.

Ce phénomène d'oscillations forcées est d'une grande importance dans la pratique et intervient sur

tous les types d'oscillateurs : mécaniques, acoustiques, électriques, optiques, etc. Par exemple, les

ondes électromagnétiques captées par une antenne mettent en oscillation forcée le circuit

électronique de notre téléphone portable ou de notre récepteur de télévision.

1.1. Equation différentielle du mouvement Le phénomène d'oscillations mécaniques forcées est représenté schématiquement sur la Figure. 1.

Il s’agit d’un ensemble masse-ressort horizontal ; la masse étant reliée à un dispositif entretenu

électriquement. Grâce à ce montage, on peut appliquer à la masse une force F horizontale

d'amplitude oF et de pulsation ω (rd . s−1). Cette force F d'excitation sinusoïdale a pour

expression : oF = F sin tω

ressortmasse

Diapasonen vibrationsentretenues

F

R

T

P(ox)

ressortmasse

Diapasonen vibrationsentretenues

F

R

T

P(ox)

Figure 1 : Le diapason est mis en vibrations entretenues grâce à un bobinage électrique dans lequel circule un courant alternatif.

Ceci permet d'appliquer une force sinusoïdale horizontale à la masse reliée au ressort.



Ainsi dans le bilan des forces appliquées à la masse m on a les forces suivantes :

− Le poids P

− La réaction du support : R

− La force de rappel du ressort : = −T K x

− La force d’excitation sinusoïdale : oF sin tω

La seconde loi de Newton permet d'écrire la relation :

T + F + P + R = m a

En faisant ensuite une la projection sur l'axe horizontal ox , on obtient :

−2

o 2d x Kx + F sin t = m dt

ω

Ceci est l'équation typique d'un mouvement oscillatoire "forcé". On peut la réécrire sous la

forme :

22 o02

Fd x + x = sin tmdt

ω ω [3.1]

Avec :

o 0K = 2 f = m

ω π

ωo = 2 π f0 est la pulsation propre de l'oscillateur libre non amorti.

L'équation différentielle [3.1] a le même premier membre que celle décrivant le mouvement de

l'oscillateur libre non amorti (voir relation [2.11]).



1. 2. Expression de l’élongation x(t)

Nous pouvons résoudre l’équation [3.1] par des techniques classiques mais intuitivement, il est

assez naturel d'imaginer que la masse va être obligée d'osciller à la pulsation ω de la force

appliquée, c'est pourquoi nous allons essayer, comme solution l'expression :

( )x t = A sin ( t + )ω ϕ [3.2]

Dans ca cas : −2

22

d x = A sin ( t + )d t

ω ω ϕ

En remplaçant les expressions de x(t) et 2

2d xd t

dans l'équation différentielle [3.1], on obtient :

−2 2 oo

FA ( ) sin ( t + ) = sin t m

ω ω ω ϕ ω [3.3]

En utilisant ensuite l'identité trigonométrique :

sin ( t + ) = (sin t) . cos + (cos t) . sin ω ϕ ω ϕ ω ϕ

on obtient finalement :

− −2 2 2 2 oo o

FA ( ) (cos ) sin t + A( )(sin ) cos t = sin t m

ω ω ϕ ω ω ω ϕ ω ω

Cette égalité doit être vérifiée à tout instant t si on identifie de chaque coté de l'égalité les

coefficients de sin ωt et cos ωt :

[ ]

[ ]

3 4

3 5

⎧ −⎪⎨

−⎪⎩

2 2o

2 2 oo

A( ) sin = 0 .FA( ) cos = .m

ω ω ϕ

ω ω ϕ



A partir de l’équation [3.4], et compte tenu du fait que o ω ≠ ω et A ≠ 0 on a :

sin ϕ = 0 ϕ = 0

En partant ensuite de l’équation [3.5], nous avons :

( )2 −0

2o

FA = m ω ω

Par conséquent :

( ) ( )2−o

2o

Fx t = sin tm

ωω ω

[3.6]

La figure 2 représente la variation de l'amplitude en fonction de ω. On note que cette amplitude

présente un comportement asymptotique vers une valeur très grande autour de la fréquence ωo.

ω

amplitude

pulsation ωο o

o2o

Fm ω

( )o

2 2o

F

m ω - ω

Figure 2 : Allure de la variation de l'amplitude

d'un oscillateur amorti en oscillation forcée en fonction

de la pulsation de la force sinusoïdale appliquée.



Lorsque la fréquence ω de la force appliquée par l'excitateur (ici le diapason électriquement

entretenu) est égale à la fréquence propre ωo de l'oscillateur, on dit qu'il y a une résonance

d'amplitude.

Nous avons donc montré que sous certaines conditions, l’amplitude des oscillations peut devenir

très importante ; et les conséquences peuvent être graves. On peut citer deux exemples connus :

- La 18 avril 1850 à Angers, un régiment traversant au pas cadencé un pont suspendu

enjambant la Maine provoqua sa destruction ;

- Le 7 novembre 1940, six mois après son inauguration, le pont suspendu de Tacoma

(USA) était détruit par les effets de rafales de vent qui sans être particulièrement violentes

(60 km/h) étaient régulières.

Et nos ponts dans tout ça ? Le pont suspendu joue le rôle du système mécanique pouvant vibrer.

Les rafales de vent ou le pas cadencé jouent le rôle du système extérieur imposant sa fréquence

de vibration au pont. Dans les deux exemples (Angers et Tacoma) il y a eu résonance, c'est-à-dire

accord parfait entre la fréquence de vibration du vent ou du pas cadencé et la fréquence propre du

pont. Les vibrations engendrées ont été suffisamment fortes pour détruire les deux ponts. Mais

heureusement plus d’inquiétude à se faire sur un pont car depuis lors, les codes militaires du

monde entier interdisent à une troupe de marcher au pas sur un pont et lors de la construction

d’un pont (c’est aussi valable pour les gratte-ciel), les constructeurs tiennent compte dans leurs

études de la fréquence naturelle de l’ouvrage en lui donnant une valeur qui ne puisse pas

correspondre à celle de rafales de vent.

Jusque là nous avons traité le cas d’un oscillateur qui se trouvait libre d’évoluer, dans les

paragraphes à venir nous tiendrons compte des amortissements.



2. Oscillations mécaniques libres sur un système amorti par frottement

visqueux

L’étude de l’oscillateur amorti se fait de la même façon que l’oscillateur libre en ajoutant une

force de type frottement fluide (avec un coefficient de frottement visqueux α) de la forme :

f = -α x

L’équation différentielle du mouvement devient :

− − =K x x m xα

ou encore :

0 0+ + = ⇒ + + =Km x K x x x x xm m

αα

On pose ensuite : 20 2= =

K etm m

αω λ

ωo est la pulsation propre de l’oscillateur ; elle correspond à la pulsation avec laquelle il

oscillerait de façon sinusoïdale si les frottements étaient négligeables. On a donc :

202 0+ + =x x xλ ω [3.7]

Il s’agit d’une équation différentielle de second ordre avec second membre nul on passe à

l’équation caractéristique : 2 202 0+ + =r rλ ω

On calcule ensuite le discriminent Δ :

2 204 4Δ = −λ ω



La forme de la solution dépend du signe du discriminent :

1) Si Δ > 0 λ > ω0 Deux racines réelles. Cela correspond au cas où le coefficient de

frottement est grand. L’amortissement est fort.

2) Si Δ < 0 λ < ω0 Deux racines complexes. Cela correspond au cas où le coefficient de

frottement est petit. L’amortissement est faible.

3) Si Δ = 0 λ = ω0 Une racine double réelle. Cela correspond au cas où l’amortissement

est intermédiaire aux deux amortissements précédents. On parle d’amortissement critique.

Le coefficient de frottement a alors une valeur particulière dépendante de la raideur k du

ressort et de la masse m.

3. Oscillateur à frottement faible

3.1. Expression de l’élongation x(t)

C’est le cas où les frottements ne sont pas très importants et où le discriminent de l’équation

caractéristique est négatif. On a dans ce cas :

λ < ω0 22

K K mm m

α α⇒ < ⇒ <

En introduisant l’imaginaire pur i tel que i2 = -1, le discriminent peut s’écrire sous la forme de :

( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 04 4 4 4 2i iλ ω ω λ ω λ ω λΔ = − = − − = − = −

Les solutions de l’équation caractéristique sont :

2 20 2 2

1 0

2 20 2 2

2 0

2 22

2 22

ir i

ir i

λ ω λλ ω λ

λ ω λλ ω λ

⎧ − − −⎪ = = − − −⎪⎨

− + −⎪= = − + −⎪⎩



Posons 2 20Ω = −ω λ (avec λ = α/2m)

On a donc : 1

2

– r ir i

λλ

= − Ω⎧⎨ = − + Ω⎩

La solution générale de l’équation est :

x(t) = e-λt [A cosΩt + B sin Ωt]

A et B sont deux constantes qui peuvent être déterminées à partir des conditions initiales.

Exemple de calcul pour la détermination des constantes :

Supposons qu’à t = 0 :

( 0) ( 0) 0= = = =Mx t X et x t

Nous avons :

-( ) [ cos sin ] = Ω + Ωtx t e A t B tλ

- -

- -

( ) - [ cos sin ] [- sin cos ]

( ) [- ] cos - [ ] sin

⇒ = Ω + Ω + Ω Ω + Ω Ω

⇒ = + Ω Ω + Ω Ω

t t

t t

x t e A t B t e A t B t

x t e A B t e B A t

λ λ

λ λ

λ

λ λ

En remplaçant t par 0 dans les deux équations, nous obtenons :

MM

MM

A = Xx(0) = A = X X- X + B = 0 B =

⎧⎧ ⎪⇒⎨ ⎨Ω⎩ ⎪ Ω⎩λλ

Par conséquent :

- tM

x(t) = X e [cos t + sin t]Ω ΩΩ

λ λ [3.8]



3.2. Le régime pseudo périodique

Dans le cas de faible amortissement, l’équation [3.8] peut aussi s’écrire sous la forme de :

( )- tMx(t) = X e cos t +Ωλ ϕ [3.9]

La figure 3 représente l’allure de la variation de x(t) en fonction du temps.

Figure 3 : Mouvement d’un oscillateur amorti par frottement fluide dans le cas d’un

amortissement faible. L’amplitude des oscillations décroit de façon exponentielle (traits

pointillés). Le régime est pseudo périodique, T représente la pseudo période.

* La fonction cosinus varie entre -1 et +1, l’oscillation va donc être comprise entre x(t) = XM e-λt

et x(t) = - XM e-λt. Ces deux exponentielles représentent l’enveloppe du mouvement de

l’oscillateur, c’est à dire les positions extrémales prises par x au cours du temps.



* La décroissance de la fonction exponentielle est guidée par le coefficient λ = α/ 2m qui traduit

l’amortissement plus ou moins prononcé du mouvement.

Si α = 0, le mouvement est non amorti et on retrouve le cas de l’oscillateur harmonique libre

(Leçon n°2).

* Le terme cos(Ωt + φ) traduit la périodicité du mouvement s’il n’y avait pas d’amortissement.

* Le mouvement n’est plus périodique puisqu’au bout d’un temps T l’élongation de l’oscillateur

ne reprend plus la même valeur : x(t) ≠ x(t + T) : l’amplitude des oscillations diminue avec le

temps. On parle de mouvement pseudo périodique.

* La grandeur Ω s’appelle la pseudo pulsation et elle est inférieure à la pulsation propre ω0. En

effet : 2

2 20 0 02

0

1Ω = − = − <λω λ ω ωω

* La pseudo période T correspond à l’intervalle de temps qui sépare deux passages successifs par

la position x = 0 ou deux maximas consécutifs. Elle est donnée par la relation :

2 20

2 2= =

Ω −T π π

ω λ avec λ = α / 2m

La pseudo période peut s’exprimer en fonction de la période propre T0 de l’oscillateur

harmonique (absence de frottement) :

0 02 2 2 20

2 20 0

22 2

1 1= = = =

Ω − − −

TT π ωπ π

ω λ λ λω ω

La pseudo période est supérieure à la période propre. En effet, à cause des frottements, la masse

m met un peu plus de temps pour faire un aller et retour et l’amplitude de son mouvement

diminue.



Dans le cas où l’oscillateur est très faiblement amorti (λ << ω0) il est possible de donner une

expression approchée de la pseudo-pulsation et de la pseudo-période. En faisant l’approximation :

(λ << ω0) on a :

12 22

0 02 20 0

11 12

⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω = = − ≈ − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

λ λω ωω ω

Et la pseudo période T devient :

12 22

0 02 20 0

11 12

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ≈ + ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

T T Tλ λω ω

4. Oscillateur à frottement fort

4.1. Expression de l’élongation x(t)

C’est le cas où les frottements sont plus importants, c'est-à-dire lorsque le coefficient

d’amortissement vérifie la condition :

λ > ω0 22

⇒ > ⇒ >K K m

m mα α

Le discriminent Δ est positif et il existe alors deux solutions réelles pour l’équation

caractéristique. On a :

( ) ( )2 22 2 2 2

0 04 4 2 2Δ = − = − =λ ω λ ω β

Les solutions seront donc :



( )

( )

12 2

0

2

2 2 02

2 2 202

− −⎧ = = − + <⎪⎪ = − =⎨ − +⎪ = = − − <⎪⎩

ravec et

mr

λ β λ βαβ λ ω λ

λ β λ β

La solution générale de l’équation différentielle est alors :

( ) ( )− − − ++t tx(t) = Ae C eλ β λ β

Reprenons les conditions initiales les plus souvent utilisées pour déterminer les valeurs des

constantes A et C : ( 0) ( 0) 0= = = =Mx t X et x t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + − − − ++ ⇒ − − − +t t t tx(t) = Ae C e x(t) = A e C eλ β λ β λ β λ βλ β λ β

( ) ( )( 0) A C( 0) 0 A C 0

12

12

= = ⇒ + =⎧⎪⎨ = = ⇒ − − − + =⎪⎩

⎧ ⎛ ⎞= +⎪ ⎜ ⎟

⎪ ⎝ ⎠⇒ ⎨⎛ ⎞⎪ = −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

M M

M

M

x t X Xx t

XA

XC

λ β λ β

λβ

λβ

Finalement l’élongation x(t) s’écrit sous la forme de :

( ) ( )1 12

− − − +⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

t tMXx(t) = e eλ β λ βλ λβ β

[3.10]



4.2. Le régime apériodique

La Figure 4 donne l’allure de la fonction x(t) pour un amortissement fort avec les conditions

initiales du paragraphe précédent. Il n’y a pas plus d’oscillations : l’oscillateur retourne vers sa

position d’équilibre sans osciller. L’élongation x(t) garde toujours le même signe. Le régime est

dit apériodique = absence de période.

Figure 4 : Cas d’un amortissement fort (pointillé) et critique (trait plein)

La décroissance d’une exponentielle − r te est caractérisée par le temps 1=

rτ au bout duquel

l'exponentielle est divisée par « e ». Après une durée de l’ordre de 4 à 5 τ, l’exponentielle est

pratiquement nulle.



Le temps caractéristique ou temps de relaxation de l’oscillateur en régime apériodique va être

déterminé par l'évolution de l'exponentielle la plus lente parmi les deux exponentielles

décroissantes qui interviennent dans l'expression de x(t).

Comme :│r1│ = (λ - β) et │r2│ = (λ + β) on a donc : :│r1│ < │r2│ τ1 > τ2

C’est le plus grand qui correspondra au temps de relaxation de l’oscillateur c'est-à-dire τ1.

5. Cas limite de l'amortissement critique

5.1. Expression de l'élongation x(t)

C'est le cas très particulier où le coefficient d'amortissement prend une valeur qui annule le

discriminant de l'équation caractéristique :

22

= ⇒ =K K m

m mα α

Dans ce cas, on va avoir une racine double réelle pour l'équation caractéristique.

2 20 0

24 4 02

Δ = − = ⇒ = − = − = −r λλ ω λ ω

La solution générale de l'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur est alors :

( ) ( ) 0−= + tx t At B e ω

Avec les constantes A et B dépendantes des conditions initiales.

( ) ( ) ( ) ( )0 00

− −⎡ ⎤= + ⇒ = − +⎣ ⎦t tx t At B e x t A At B eω ωω

Si à t = 0 : 0

( 0) ( 0) 0=⎧

= = = = ⇒ ⎨ =⎩M

MM

B Xx t X et x t

A Xω



L’élongation x(t) s’écrit alors sous la forme de :

( ) ( ) 00 1 −= + t

Mx t X t e ωω [3.11]

5.2. Le régime critique

La variation de l’élongation x(t), dans le cas particulier du régime critique, est représentée sur la

Figure. 4. Là encore, il y a retour à la position d’équilibre sans aucune oscillation (l’amplitude

garde le même signe). Il faut noter que ce retour se fait plus rapidement que le régime

apériodique.

Le temps de relaxation pour le régime critique est 0

1=cτ

ω.

Compte tenu des valeurs numériques de la Figure 4, on obtient : 0 5=c . sτ . Au bout d’environ

2.5 à 3 s l’oscillateur revient à sa position d’équilibre.

De façon générale le temps de relaxation pour le régime apériodique est toujours plus important

que celui du régime critique. Si on désire un retour rapide à l’équilibre (pour les amortisseurs

d’une voiture par exemple) on a un intérêt de se rapprocher le plus possible du régime critique.

6. Oscillations forcées d'un système avec amortissement : étude de la

dynamique du mouvement

Dans beaucoup d'applications, les forces d'amortissement sont proportionnelles à la vitesse du

mobile comme c'est le cas pour les phénomènes de viscosité.

Les seules forces participant au mouvement de la masse selon l’axe (ox) sont :

− la force de rappel du ressort : Kx−

− la force sinusoïdale de mise en oscillation forcée (excitateur) : oF cos tω



− la force d'amortissement proportionnelle à la vitesse (le terme α est souvent appelé

"coefficient d'amortissement") : v− α (α > 0)

En considérant uniquement les projections algébriques sur un axe horizontal et en appliquant la

seconde loi de Newton on a :

2

2 cos odx d xK x F t mdt dt

− + ω − α =

ce que l'on peut écrire encore en divisant par m et en posant 20 2= =

K etm m

αω λ

2 002 cosFx x x t

mλ ω ω+ + = [3.12]

6.1. Solution de l’équation différentielle

La solution générale de cette équation différentielle est la somme de deux termes :

- La solution générale de l’équation sans second membre (correspondant au régime

transitoire)

- Une solution particulière de l’équation avec second membre (correspondant au régime

permanent).

6.1.1. Le régime transitoire

Ce premier terme correspond à la solution de l’équation différentielle de l’oscillateur libre qui a

été étudié précédemment. Il existe donc trois régimes possibles :

- Le régime pseudo-périodique pour lequel l’amplitude des oscillations décroît

exponentiellement

- Les régimes apériodique et critique pour les quels il y’a retour à l’équilibre sans

oscillation.



Dans les trois cas il y’a toujours un retour à l’équilibre au bout d’un temps , plus ou moins bref

selon les conditions expérimentales. La solution x(t) tend vers zéro.

La solution générale de l’équation sans second membre correspond donc à un régime transitoire

(qui ne dure qu’ « un certain temps »).

6.1.2. Le régime permanent

Lorsque le régime transitoire a pratiquement disparu il ne reste plus que la solution particulière

qui correspond alors au régime permanent (le régime « qui subsiste »). Le système adopte alors

un mouvement de type sinusoïdal, non pas à da pulsation propre ω0 ou à une pulsation Ω

caractéristique de l’amortissement, mais avec une pulsation ω imposée par la force excitatrice.

Les oscillations de la masse ne sont pas forcément en phase avec la force excitatrice et présente

un déphasage ϕ .

Comme dans le cas de l'oscillation forcée sans amortissement, nous résolvons de façon "intuitive"

l’équation différentielle [3.12] en supposant une solution sinusoïdale pour le déplacement de la

masse :

( ) 0 cos( )x t X t= ω + ϕ

Ce qui revient à dire, là encore, qu'il y a synchronisation entre l'excitateur et l'oscillateur (masse-

ressort-amortisseur).

Pour des raisons pratiques, il est commode d’utiliser la notation complexe :

( ) ( )0

0 cos( ) i i t

X

x t A t x t X e eϕ ω= ω + ϕ ⇒ =

0X est l’amplitude complexe. Déterminer les grandeurs X0 et ϕ revient donc à chercher le

module et l’argument de l’amplitude complexe.



6.2. Etude de l’élongation x(t)

Le passage de la notation réelle à la notation complexe permet d’écrire :

( )( ) ( )( ) ( )

0

02 2

0

0( )

i t

i t

i t

i t

x t X e

x t X i e i x t

x t X e x t

F t F e

ω

ω

ω

ω

⎧ =⎪⎪ = ω = ω⎪⎨

= − ω = − ω⎪⎪⎪ =⎩

L’équation [3. 12] exprimée en notation complexe devient :

( )2 2 00 02 i t i tFi X e e

mω ωω ω λ ω− + + =

L’amplitude complexe 0X est telle que :

( )( )0

0 02 20 2

i

FmX X e

iϕ

ω ω ω λ= =

− + [3.13]

6.2.1. Réponse en amplitude

L’amplitude X0 de l’oscillateur s’obtient en exprimant le module de l’amplitude complexe :

( ) ( )

0

0 0 2 22 20 2

FmX X

ω ω ωλ= =

− + [3.14]



La recherche d’un maximum éventuel de l’amplitude peut se faire en minimisant le dénominateur

D ou encore son carré ( ) ( )2 22 2 2

0 2D ω ω ωλ= − + .

Posons 2u ω= ( )22 2 20 4D u uω λ⇒ = − +

Pour minimiser D2, il faut que :

2 2 2 2

0 0 2 0 0 ou 0d D d D d u d D d Dd d u d d u d u

ω ωω ω

= ⇒ × = ⇒ × = ⇒ = =

Or :

( ) ( )222 2 2 2 2

0 04 2 4d DD u u ud u

ω λ ω λ= − + ⇒ = − − +

Cette dérivée s’annule pour : ( )2 2 20 2 0u ω ω λ= = − >

Cette solution n’est donc possible que si : 2

2 20 22 2

2K K mm m

αω λ α> ⇒ > <

Ce maximum en amplitude ne se produira donc que pour les amortissements faibles.

6.2.2. Réponse en phase

La phase de l’oscillateur s’obtient en exprimant l’argument de l’amplitude complexe. On obtient :

( ) ( )( ) ( )( )

( )( )

0

2 200 02 2

00

2 20

arg arg arg arg 22

arg 2

FFmX imi

i

ϕ ω ω ωλω ω ωλ

ϕ ω ω ωλ

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞= = = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠− +⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ = − − +



On en déduit :

( )

( )( )

22 2 2 20

2 20

2 20

2sin4 2

2arctg

tg

λ ωϕω ω ω λ λ ωϕ

ω ωλ ωϕω ω

−⎧ =⎪⎛ ⎞− +⎪ −⎜ ⎟⇒ =⎨ ⎜ ⎟−−⎪ ⎝ ⎠=⎪ −⎩

Le sinus est toujours négatif, la phase va donc varier entre π et 2π.

7. Analogie entre les phénomènes mécaniques et électriques

Il apparaît à ce stade une analogie entre les phénomènes mécaniques et électriques.

Ecrivons l'une en dessous de l'autre les deux relations :

2o2

d x dxm + a + K x = F sin tdtdt

inertie amortisseur ressort force appliquée(Newton)

ω

2o2

d q dq qL + R + = V sin tdt Cdt

induction résistance capacité tension appliquée(self)

ω

A travers ces deux relations on voit que :

- la masse en mécanique joue le même rôle que la self en électricité : ceci traduit le

phénomène d'inertie qui en électricité se traduit par la phrase que l'on prononce toujours à

l'occasion de l'étude de la loi de l'auto-induction (loi de Lenz) "la f.e.m induite s'oppose à

la cause qui lui a donné naissance".

- La force de frottement visqueux introduite par l'amortisseur correspond en électricité à

la résistance électrique, c'est dans les deux cas des phénomènes liés à des pertes d'énergie

c'est-à-dire des phénomènes dissipatifs.



- La force mécanique de rappel du ressort peut être comparée à la tension entre les

armatures d'un condensateur. Le condensateur en électricité est l'équivalent de

l'élasticité du ressort en mécanique.

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CHAPITRE III Oscillations forcées amorties Système à un ...

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