CHAP1 - Rappels Math

download CHAP1 - Rappels Math

of 37

Transcript of CHAP1 - Rappels Math

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

MATHEMATIQUES FINANCIERES

Objet du cours (plan)CHAPITRE 1 : Rappels essentiels de mathmatiques CHAPITRE 2 : Les intrts simples CHAPITRE 3 : Les intrts composs CHAPITRE 4 : Les emprunts indivis CHAPITRE 5 : Les rentes CHAPITRE 6 : Les emprunts obligataires

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques

1. Les puissances1.1 Dfinition

Pour n entier, suprieur ou gal 1, on appelle puissance nime du nombre rel a, le produit de n facteurs gaux a. On crit le produit : a x a x a x ax a, de n facteurs sous la forme de an : a x a x a x ax a = an n facteurs

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques

1. Les puissances1.2 Oprations sur les puissances

an x ap = an + p (a x b)n = an x bn (an)p = an.p

an a = n b b

n

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques

1. Les puissances On rappelle,

a0 =11 m =a m a

am mp =a p an

a =a1n

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques

2. Les logarithmes On appelle logarithme nprien de la variable relle x, la fonction qui tout x, positif non nul, fait correspondre une image relle ln(x) et qui possde les proprits suivantes :

ln (1 ) = 0Logarithme dun produit de rels strictement positifs :

(1)

ln ( ab ) = ln ( a ) + ln ( b )

(2)

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques

2. Les logarithmes Logarithme dune puissance dun rel strictement positif :

ln ( a n ) = n ln ( a )

(3)

Logarithme dun quotient de rels, strictement positifs :

a ln = ln ( a ) ln ( b ) b 1 ln = ln ( a ) a

(4)

(5)

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques2. Les logarithmes Par dfinition, le nombre x ayant pour logarithme 1 (cest dire tel que x soit solution ln(x) = 1), est not e.

ln ( e ) = 1;

e 2, 71828

(6)

Ces proprits peuvent tre tendues :

ln

(q

n

a = ln ( a 1 n ) =q 1 p

)

1 ln ( a ) nq p

ln

(

p

a

) = ln (( a ) ) = ln ( a

q ) = p ln ( a )

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques2. Les logarithmes

La fonction rciproque de la fonction ln (x), cest dire la fonction permettant de calculer x, connaissant ln (x), est appele fonction exponentielle de x. Elle est note e x . On a :

x=e

ln( x)

(7)

NB : Dans tout ce quon va voir, on utilisera la fonction logarithme nprien.

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques3. Les suites arithmtiques

Dfinition On utilise frquemment des suites de nombres rangs dans un ordre dtermin : U1, U2, , Un. La suite est dite de terme gnral Un. On appelle suite arithmtique toute suite numrique dont chaque terme est obtenu en ajoutant au prcdent une constante note r et appele raison de la suite arithmtique.

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques3. Les suites arithmtiques

Exemples La suite 1, 3, 5, 7, est une suite arithmtique de 1er terme 1 et de raison 2. La suite 10, 7, 4, 1, -2, est une suite arithmtique de 1er terme 10 et de raison -3. De faon gnrale : Un = Un-1 + r

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques3. Les suites arithmtiques

Proprits En notant U1 le premier terme, Un le terme gnral de rang n, et r la raison, une suite arithmtique possde les proprits suivantes : - Calcul du terme gnral dune suite arithmtique en fonction du premier terme de la raison : Un = U1 + (n-1) r - Dans une suite arithmtique, la somme de deux termes Up et Uq quidistants des extrmes est gale la somme des extrmes : Up + Uq = U1 + Un

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques3. Les suites arithmtiques Proprits

- La diffrence entre deux termes conscutifs dune suite arithmtique est gale la raison : Un Un-1 = r - Calcul de la somme Sn des n termes dune suite arithmtique :

n Sn = U1 +U2 + ... +Un = (U1 +Un ) 2

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques4. Les suites gomtriques

Dfinition On appelle suite gomtrique une suite numrique dont chaque terme est obtenu en multipliant le terme prcdent par une constante note q et appel raison de la suite gomtrique. Exemples La suite 1, 2, 4, 8, 16, est une suite gomtrique de 1er terme 1 et de raison 2. La suite 36, 12, 4, 4/3 est une suite gomtrique de 1er terme 36 et de raison 1/3. De faon gnrale : Un = Un-1 . q

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques4. Les suites gomtriques

Proprits En notant U1, le premier terme, Un le terme gnral de rang n et q la raison, une suite gomtrique possde les proprits suivantes : - Calcul du terme gnral dune suite gomtrique en fonction du premier terme et de la raison : Un = U1 . qn-1 - Dans une suite gomtrique, le produit de deux termes Up et Uq quidistants des extrmes, est gal au produit des extrmes : Up . Uq = U1 . Un

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques4. Les suites gomtriques

Proprits - Le quotient de deux termes conscutifs dune suite gomtrique est gal la raison :U n = q U n 1

- Somme des n premiers termes dune suite gomtrique :

qn 1 1 qn Sn = U1 +U2 +... +Un = U1 = U1 q 1 1 q

ENCG Fs2010-2011

A. ALAOUI TAIB

CHAP 1 : Rappels essentiels de mathmatiques4. Les suites gomtriques

Proprits - Suite gomtrique illimite raison positive. Deux cas de figure sont considrer selon que la raison est suprieure ou infrieure 1. Premier cas (raison suprieure 1) La somme des n premiers termes est : Sn =U1 +U2 +...+Un . Si q > 1 , lorsque n +, alors Sn +. Second cas (raison positive et infrieure 1) Si 0 < q