Rappels de mécanique

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Rappels de mécanique Plan des séances n°1 et 2

1 - Notions d ’action mécanique et de force

2 - Notion de moment

3 - Principe fondamental de la statique

4 - Principe d ’action réciproque

5 - Les différents types de liaisons et d ’appuis

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1 - NOTIONS D’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (1/3)

On désigne par action mécanique toute action capable de :

- déformer un corps (fléchissement d’une poutre),

- mettre en mouvement un objet,

- modifier le mouvement d ’un objet (accélération, freinage, arrêt).

3

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (2/3)

Il existe deux types d ’actions mécaniques (AM) :

Les AM de contact qui peuvent être déclinées en 3 catégories

- les AM réparties sur une ligne,

- les AM réparties sur une surface.

- les AM ponctuelles ou concentrées,

marbre

15

Toc!

Bang !

4

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.1 Définition d ’une action mécanique (3/3)

Les AM à distance qui peuvent être déclinées en 3 catégories

- les AM électriques,

- les AM de GRAVITATION.

- les AM magnétiques,

Boum !

5

- sa direction ou support (),

()

1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.1 - Définition d ’une force

C ’est une AM particulière que l ’on pourra représenter par un vecteur. Ce vecteur sera caractérisé par :

- son point d ’application (A)

x

A

- son sens

- son intensité (norme)

F mesure algébrique

F

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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.2 - Unité (1/3)

Unité de mesure d ’une force : Newton (symbole N)

Autres multiples utilisés (daN, kN, MN)

Exemple (calcul d ’une force de pesanteur):

Force exercée sur le crochet de la grue par la benne à béton ?

Données complémentaires :

- Masse volumique du béton 2500 kg/m3

- Volume de la benne 1,5 m3

- Masse de la benne 500 kg

P = 41,7 kN

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- direction

- point d ’application

- sens

- intensité


Correction :

X G

centre de gravité de la benne (G)

verticale

descendant

P = m . g

P

9,81 m/s²

m = (2500 . 1,5 + 500 ) = 4250 kg

P = 41 692,5 N # 41,7 kN

8

De façon courante nous simplifierons les calculs en considérant que : g # 10 m/s²


ATTENTION !

1 kg sera assimilé à 1 daN

Principales conséquences :

Surcharge d ’exploitation Q = 250 kg/m² 2,5 kN/m²

G

P

X

P = m . g = 42,5 kN

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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.3 - Décomposition d ’une force

Dans un plan, en choisissant un repère orthonormé (oxy), il est possible de décomposer une force en deux vecteurs orthogonaux.

O X

Y

A

F

FX

FX

Avec :

Norme de Fx = F . Cos ()

FY

FY Norme de FY = F . Sin ()

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1 - NOTIONS D ’ACTION MECANIQUE ET DE FORCE 1.2 Notion de force 1.2.4 - Notion de résultante (1/6)

Dans un premier temps, nous étudierons uniquement le cas particulier où toutes les directions des forces sont concourantes en même point sur le solide (S) .

!

AX

(S)

F1

F2F3

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La résultante R représente l ’équivalent de l ’action simultanée de plusieurs autres efforts, elle caractérise un effort global.

Exemple : cargo en remorque

1 - La méthode graphique

2 - La méthode algébrique

La résultante d ’un système de forces F1,F2,…,Fn, concourantes en un seul point est égale à la somme vectorielle des n forces considérées.

Elle peut être obtenue en utilisant deux méthodes :

12


1 - La méthode graphique :

(1)

XA

F1

(2)

F2

O X

Y

F1

F2F3

AX 1

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Étape n°1 : définir une échelle graphique

(1 cm équivaut à x Newton)

Étape n°2 : tracé du dynamique

F3

(3)

R

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2 - La méthode algébrique :

F1

AX

O X

Y

F2F3

123

Pour connaître la résultante R, il faut :

RX

1 - Déterminer sa composante Rx

Rx = Fi . Cos(i) i = 1

n

RY

2 - Déterminer sa composante Ry

Ry = Fi . Sin(i) i = 1

n

R 3 - Additionner Rx et Ry

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Exemple n°1 : Remorquage d ’un cargo

X

AR1

R2

Cargo

T1

T2

T1 = 30 000 daN

T2 = 40 000 daN

15 °

45 °

500

m

5000 m

PortQuestions :

1 - Calculer l ’intensité de la force résultante qui entraîne le cargo

2 - En conservant ces conditions de remorquage, le cargo risque t ’il d ’arriver à bon port ?

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Exemple n°2 : Équilibre d ’un nœud d ’assemblage

A

30 °

60 °

F1

F2

F3

F1, F2 et F3 sont uniquement des efforts de traction ou compression

Hypothèses :

La structure est au repos

R = F1 + F2 + F3 = 0

= 300 daN

?

?

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2 - NOTION DE MOMENT 2.1 Définition (1/4)

Les effets d ’une force sur un solide dépendent de la position de la force par rapport au corps

G X1er casF

Mouvement rectiligne de translation

G X2ème cas

F d

Translation+

Rotation

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Le moment d ’une force F par rapport à un point O est par définition égal à :

MoF = OF F

P

O X FX

F

OF

d

y

x

z

MoF

MoF = OF . F . Sin()

= F . d

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Ce qu ’il faut retenir :

A chaque vecteur-moment il sera associé :

- un signe (+) ou (-) fonction du repère retenu

- une intensité MoF = d . F

(notée ultérieurement MoF = d . F)

Unité :MoF = d . F

[m] [N][N.m][kN.m],[MN.m]

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Cas particulier :

Vecteur-moment nul

?Bras de levier (d) = 0

ou

intensité F =0

G X

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2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (1/2) (1/4)

Le moment résultant par rapport à un point O, d ’un système de vecteurs-forces, correspond à la somme géométrique des vecteurs-moments de chacun des vecteurs forces par rapport à ce point.

Exemple :

O X

P

F 1

F2

Étape N°1:

Définir un sens de rotation positif (exemple : M>0 dans le sens trigonométrique)

Étape N°2:

Calculer la norme du vecteur-moment de chaque force par rapport à O en lui affectant un signe

Étape n°3:

Sommer tous ces vecteurs

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2 - NOTION DE MOMENT 2.2 Moment résultant d ’un système de forces (2/2) (1/4)

Exemple : Courroie de transmission

Poulie

Arbre

10°

15°

Rayon R d ’enroulement = 100 mm

T = 120 daN

t = 40 daN

Brin tendu

Question:

Calculer le couple disponible sur l ’arbre de transmission

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2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (1/2)

Définition d ’un couple de forces :

2 forces égales en intensité mais de sens opposées ayant des supports parallèles.

P

()

( ’)F ’

F d

Le moment engendré par ce couple de forces est constant. Et ceci quelque soit le point du plan considéré, il est égal à :

Mc = F . d ou (F ’. d)

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2 - NOTION DE MOMENT 2.3 Moment d ’un couple (2/2)

Exemple : Actions exercées sur une clé en croix

F = 150 N

F ’ = 150 N

Les forces F et F ’ schématisent les actions exercées par l ’opérateur sur la clé.

Question :

Calculer le moment résultant des deux forces aux points suivants :

AA

BB

Largeur totale de la croix = 400 mm

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O X

(S)

3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.1 Définition du PFS

Un solide (S) soumis à plusieurs forces est en équilibre si et seulement si :

F1 F2

F3Fn

1 - La résultante :

R = F1 + F2 + … + Fn = O

2 - Le moment résultant :

M/o = M/OF1 + M/OF2 + … + M/OFn = O

La deuxième équation est valable quelque soit le point considéré!

ET

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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.2 PFS dans l ’espace

O

x

z

y

Xi = On

i=1 à n

Yi = On

i=1 à n

Zi = On

i=1 à n

Xi, Yi, Zi (avec i = 1 à n) sont les projections des forces Fi sur les axes Ox, Oy, Oz.

Rz = O

Ry = O

Rx = O

M/Oz = O

M/Oy = O

M/Ox = O M/OXi = On

i=1 à n

M/OYi = On

i=1 à n

M/OZi = On

i=1 à n

R = O

M/O = O

Dans le cadre de l ’étude d ’une structure tridimensionnelle, il

sera possible d ’écrire 6 équations d ’équilibre

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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.3 PFS dans le plan

M/OZ = O M/OZi = On

i=1 à n

Ry = O

Rx = O Xi = On

i=1 à n

Yi = On

i=1 à n

M/O = O

R = O

Dans le cadre de l ’étude d ’une structure plane, l ’application

du PFS permet d ’écrire 3 équations d ’équilibre

y

O

xz

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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.4 Exemple

Étude de l ’équilibre d ’une poutre :

L = 6 m

L/2 L/2

45°

F = 5 kN

YBYA

XA

Déterminer les forces XA, YA et YB

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3 - PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE 3.5 Méthode de résolution

1 - Définition du repère et du sens positif pour les moments

X

Y

O

M > 0

3 - Projection des forces sur l ’axe vertical

Yi = On

i=1 à n

2 - Projection des forces sur l ’axe horizontal

Xi = On

i=1 à n

4 - Équation d ’équilibre en moment

M/OZi = On

i=1 à n

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4 - PRINCIPE D ’ACTION RÉCIPROQUE (1/3)

Soit deux solides (S1) et (S2) jointifs en A soumis respectivement à un système de forces (F) et (F) :

A(S2) F

F (S1)

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Le seul point de contact entre ces deux solides étant le point A, nous pouvons en conclure, s ’il y a équilibre du système [(S1) + (S2)], que :

A(S2) F

F (S1)A

F 2/1

F 2/1

L ’effort F2/1 exercé par le solide (S2) sur le solide (S1) est égal en intensité mais de sens inverse à celui F1/2 exercé par (S1) sur (S2).

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Remarques :

- F1/2 et F2/1 sont des efforts internes (ou intérieurs) au système [(S1) + (S2)], elles s ’annulent,

- F et F sont des efforts externes,

- F1/2 et F2/1 sont également des efforts extérieurs pour chacun des solides pris séparément.

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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.1 Généralités (1/2)

A

B

Dans le plan, le solide (A,B) possède trois degrés de liberté de mouvement :

B’A’

u

v

- deux degrés en translation u et v

B’’

- un degré en rotation

Dans l ’espace il existe six degrés de liberté de mouvement pour un solide quelconque (trois translations et trois rotations)

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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.1 Généralités (2/2)

A chaque blocage d’un degré de liberté

Génération d ’une force de liaison (inconnue )

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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.2 L ’appui simple (appui à rouleau)

La liaison appui simple bloque 1 degré de liberté

y

xo

Modélisation :

Introduction d ’une inconnue

Intensité de la réaction verticale YY

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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.3 L ’articulation

La liaison rotule bloque 2 degrés de liberté

y

xo

Introduction de deux inconnues

Intensité de la réaction verticale Y

Intensité de la réaction horizontale XY

X

Modélisation :ou

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5 - LES DIFFÉRENTS TYPES DE LIAISONS ET D ’APPUIS5.4 L ’encastrement

La liaison encastrement bloque 3 degrés de liberté

y

xo

Introduction de trois inconnues

Intensité de la réaction verticale Y

Intensité de la réaction horizontale X

Intensité du moment empêchant la rotation M

Y

X

M

Modélisation :ou

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6 - EXEMPLES

A B

L = 6,00 m

4,00 m

F = 3 kN

Calculer les réactions aux appuis A et B

6.1 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement ponctuel

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6 - EXEMPLES

6.2 Équilibre d ’une console soumise à un chargement ponctuel

Calculer les réactions au niveau de l ’appui

A

L = 2,00 m

F = 2 kN

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6 - EXEMPLES

6.3 Équilibre d ’une poutre soumise à un chargement réparti

Calculer les réactions aux appuis A et B

A B

L = 6,00 m

P = 5 kN/m

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6 - EXEMPLES

6.4 Équilibre d ’un portique métallique

Calculer les réactions au niveau des appuis A et B

F1

F2 F4F3

F1 = 200 kN

F2 = 150 kN

F3 = 200 kN

F4 = 250 kNA B

L = 18,80 m

H1

= 7

,40

m

H2

= 8

,60

m

41

6 - EXEMPLES

6.6

Calculer les réactions au niveau des appuis

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