PHYSIQUE - Ecole Préparatoire en Sciences et...

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de La Recherche Scientifique

Ecole Préparatoire en Sciences et

Techniques de Tlemcen

PHYSIQUE VIBRATIONS

Cours et problèmes résolus Classes préparatoires en sciences et techniques

Présenté par Dr Fouad BOUKLI HACENE

Dr Mohamed MEBROUKI

Année Universitaire : 2015-2016

Deuxième édition

Avant propos

Ce document est destiné aux étudiants de la deuxième année des filières

scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il

répond au programme officiel du module « Vibrations» enseignés en deuxième année

des filières Sciences et techniques et Sciences de la matière.

Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations

avec un rappel de cours.

Le manuscrit est divisé en cinq chapitres. Le premier chapitre porte sur

l’utilisation du formalisme de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes

physiques. L’étude des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à

un degré de liberté est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le

mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottement de type visqueux

proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux

oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite

les vibrations de systèmes à plusieurs degrés de liberté. Les analogies entre les

systèmes électriques et mécaniques sont présentées dans les cinq chapitres.

Chaque chapitre est suivi d’une série de problèmes avec solutions détaillées

permettant aux étudiants de mieux assimilés les phénomènes étudiés. Aussi, le

manuscrit est enrichi par deux travaux pratiques en relation avec les sujets traités.

SOMMAIRE

Chapitre 1 : Généralités sur les vibrations

1.1 Définitions

1.2 Exemples d’application

1.3 Modélisation physique

1.4 Nombre de degrés de liberté

1.5 Energie totale d’un système mécanique

1.5.1 Equilibre stable

1.5.2 Equilibre instable

1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques

1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation

1.7.1 Principe de conservation de l’énergie mécanique

1.7.2 La loi de la dynamique de Newton

1.7.3 Formalisme de Lagrange

1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action

1.7.3.2 Contraintes

1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange

1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs

1.7.3.3.b Cas de forces de frottement dépendant de la vitesse

1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh

1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps

Exercices

Travail pratique : Conservation de l’énergie mécanique – Roue de Maxwell

Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire à un degré de liberté

2.1 Définitions

2.2 Exemple d’oscillations mécaniques (masse+ ressort)

2.3 Bilan énergétique

2.4 Applications

2.4.1 La chute libre (Le Bungee)

2.4.2 Pendule simple

2.4.3 Oscillation non linéaire

2.4.4 Pendule pesant

2.4.5 Pendule de torsion

2.5 Oscillations électriques

Exercices

Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté

3.1 Définitions

3.2 Modélisation mathématique

3.2.1 Cas d’un amortissment fort

3.2.2 Cas d’un amortissment critique

3.2.3 Cas d’un amortissment faible

3.3 Aspects énergétiques

3.4 Système électrique équivalent

Exercices

Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique

à un degré de liberté

4.1 Définitions

4.2 Cas d’une force extérieure constante

4.2.1 Cas d’un amortissment faible

4.2.2 Cas d’un amortissment critique

4.2.3 Cas d’un amortissment fort

4.3 Cas d’une force extérieure sinusoïdale

4.3.1 Etude de l’amplitude en fonction de la pulsation extérieure

4.3.1.a Dangers de la résonance

4.3.2 Etude de la phase en fonction de la pulsation extérieure

4.4 Bande passante

4.5 Cas d’une force périodique non-sinusoïdale

4.6 Energies mises en jeu


4.8 Effet Pogo

4.9 Système électrodynamique : le haut parleur

Travail pratique : Système amorti forcé- Pendule de Pohl

Exercices

Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique


5.1 Définitions

5.1.1 Système mécanique à plusieurs sous systèmes découplés

5.1.2 Système mécanique plusieurs sous systèmes couplés

5.2 Types de couplages

5.2.a Couplage par élasticité

5.2.b Couplage par viscosité

5.2.c Couplage par inertie

5.3 Battements

5.4 Oscillations forcées d’un système mécanique non amorti à deux degrés de liberté

5.5 Analogies électromécaniques

5.6 Modes propres de vibration d’un système mécanique à trois degrés de liberté

Exercices

Chapitre 1 : Généralités sur les oscillations

PAGE 1

VIBRATIONS

Chapitre 1:

Généralités sur les oscillations


PAGE 2

1.1 Définitions:

La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement

autour de sa position d’équilibre. Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il

existe des mouvements qui se répètent : le mouvement d'une balançoire, le mouvement

alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Aussi, les ailes d'une moustique vibrent

à une cadence de 100 battement par seconde et produisent un son audible. Après un

tremblement de terre, celle-ci continue à vibrer à raison d'une oscillation par heure. Le

corps humain est le lieu de plusieurs phénomènes de vibrations: le coeur bat, les

poumons oscillent, on tremble lorsqu'on a froid, et on ne peut entendre ni parler que

grâce aux vibrations du tympan et des larynges. Tous ces mouvements ont un trait

commun : une répétition du mouvement sur un cycle.

Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se

renouvellent toujours dans le même ordre. Prenenos à titre d'exemple le cycle à quatre

temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre étapes (admission,

compression, explosion, échappement) qui se répètent durant un cycle moteur.

On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque cycle

se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période T, et mesurée en

seconde s. Aussi, on définit la fréquence d’oscillations f comme le nombre

d’oscillations qui ont lieu pendant la période T :

Tf

1 (1.1)

mesurée en s-1 ou en Hertz (Hz). En multipliant la fréquence f par 2 on obtient

l’expression de la pulsation :

f 2 (1.2)

mesurée en rad.s-1

Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la

mécanique est celui d'un objet qui se déplace à partir de sa position d'équilibre et y

revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.


PAGE 3

Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement oscillatoire.

Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un pendule ou les

vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de mouvements oscillatoires.

Il est à noter que les vibrations peuvent représenter un risque pour la santé des

salariés. On distingue deux modes d’exposition: les vibrations transmises à l’ensemble

du corps, notamment lors de la conduite d’engins, et les vibrations transmises aux

membres supérieurs, lors de l’utilisation de machines portatives.

En général les corps n'oscillent pas entre des limites précises à cause des forces

de frictions qui dissipent l'énergie du mouvement. On ne peut pas donc éliminer la

friction des mouvement périodiques mais on peut enlever son effet d'amortissement en

introduisant une force extérieure (une énergie compensatrice).

1.2 Exemples d’applications :

Les vibrations transmises à l’ensemble du corps par les véhicules et les engins

(chariots de manutention, engins de chantier…) et certaines machines industrielles

fixes (tables vibrantes, concasseurs…).

Figure 1.1 : Les vibrations dues aux engins mécaniques

Les vibrations transmises aux membres supérieurs par des machines portatives,

guidées à la main (pilonneuses, plaques vibrantes…) ou par des pièces travaillées

tenues à la main (polissage...).

http://www.inrs.fr/accueil/risques/phenomene-physique/vibration/vibration-corps-entier.html

http://www.inrs.fr/accueil/risques/phenomene-physique/vibration/vibration-corps-entier.html


PAGE 4

.Figure 1.2 : les vibrations transmises par les machines portatives

Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus

complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un amortisseur et

une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle mécanique", est décomposé à

la figure 1.3 en plusieurs sous-systèmes "masse-ressort-amortisseur" représentant la

tète, les épaules, la cage thoracique et les jambes ou les pieds.

Figure 1.3 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.

1.3 Modélisation physique :

Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes physiques un

système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle représentatif pour étudier

les oscillations (voir figure 1.4).


PAGE 5

Figure 1.4: Schéma masse-ressort

F(t) est la force de rappel proportionnelle à l’allongement x(t). La constante k est

appelée la constante de raideur.

Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, (voir figure 1.5):

Figure 1.5 : Différentes configurations pour le système masse-ressort

La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :

En parallèle, on a la figure (1.6):

Figure 1.6: Ressorts en parallèle

La constante de raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que :

21// kkkeq

(1.3)


PAGE 6

En série, on a la figure (1.7):

Figure 1.7: Ressorts en série

La constante raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 est telle que :

21

111

kkkeqs

(1.4)

1.4 Nombre de degrés de liberté:

On définit n le nombre de degrés de liberté comme étant le nombre de mouvements

indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations

différentielles du mouvement.

A chaque degré de liberté du système mécanique on fait correspondre une coordonnée

généralisée q qui peut s’identifier à une distance comme elle peut être représentée par

un angle.

1.5 Energie totale d’un système mécanique:

L’énergie totale du système est définie par la somme de deux types d’énergie.

L’énergie cinétique d’un système mécanique qui s’écrit sous la forme :

n

i

jiiijc qqqmE1 2

1

(1.5)

où iij qm sont les coefficients d’inertie qui dépendent généralement des coordonnées

générales. Dans une première approximation, il est possible de faire en sorte que les

coefficients d’inerties soient constants. Cela permet de déboucher sur un système

d’équations linéaire de mouvement.

L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir d’un développement

limité de la fonction énergie potentielle autour de sa valeur à l’équilibre :


PAGE 7

...2

10,,0,,

2

1,1

1

ji

eqji

pn

ji

i

n

i eqi

p

pnp qqqq

Eq

q

EEqqE

(1.6)

0,,0 pE est une constante qu’on peut prendre nulle en choisissant convenable une

référence pour l’énergie potentielles. Aussi, l’équilibre du système est caractérisé par:

0

0

iqi

p

q

E (1.7)

Ce sont là des conditions d’équilibre qui servent à simplifier l’expression de l’énergie

potentielle.

Un mouvement oscillatoire est dit harmonique si l’allongement est faible. A cet effet,

on se contente des termes quadratiques dans l’énergie potentielle :

ji

eqji

pn

ji

np qqqq

EqqE

2

1,

12

1,, (1.8)

où

eqji

p

ijqq

Ek

2

sont les coefficients de rigidité.

On distingue pour les systèmes mécaniques deux types d’équilibre :

1.5.1 Equilibre stable:

Un système mécanique une fois déplacé de sa position d’équilibre tend à la

retrouver en faisant des oscillations. Il est représenté par la figure 1.8. Dans le cas d’un

système à un seul degré de liberté, l’équilibre stable est mathématiquement obtenu

lorsque

02

2

eq

p

q

E

(1.9)

Ceci est aussi la condition d’oscillation du système autour de sa position d’équilibre.

Dans le cas d’un système à n degré de liberté, la condition d’oscillation est obtenue

lorsque la matrice construite à partir des dérivées deuxièmes de l’énergie potentielle


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par rapport aux coordonnées généralisées prises à l’équilibre est définie positive

(toutes ses valeurs propres sont réelles positives).

eqn

p

eqn

p

eqn

p

eq

p

q

E

qq

E

qq

E

q

E

2

2

1

2

1

2

2

1

2

(1.10)

Figure 1.8: équilibre stable

1.5.2 Equilibre instable : si cette condition n’est pas remplie le système une fois

écarté de cette position s’écroulera. On dit qu’on est en présence d’un équilibre

instable, représenté sur la figure 1.9.

Figure 1.9: équilibre instable


PAGE 9

Dans ce cas, la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement et

s’oppose au mouvement telle que:

n

j

j

eqji

p

i

p

q qqq

E

q

EF

i

1

2

2

1 (1.11)

Dans le cas d’un système simple à un degré de liberté, l’énergie potentielle s’écrit sous

la forme suivante:

2

2

1kxE p (1.12)

où k est la constante de raideur du ressort, et la force de rappel s’écrit :

kxF (1.13)

C’est la loi de Hooke.

Pour le pendule de torsion l’énergie de potentielle s’écrit alors :

2

2

1DE p (1.14)

où D est la constante de torsion. Ainsi, le moment de rappel s’écrit alors :

tDtM )( (1.15)

1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques:

On démontre qu'un champ de force F

est conservatif si et seulement si le rotationnel

du champ vectoriel F

est nul. Ceci vient du fait que le rotationnel d'un gradient est

toujours nul

0

U (1.16)

où U est un potentiel à l’origine de la force F

, telle que

UF

(1.17)

Le travail d'une force conservative est indépendant de la trajectoire et ne dépend que

de la valeur du potentiel U aux points de départ et d'arrivée et est égal au gain

d'énergie cinétique de la particule (énergie cinétique finale moins énergie cinétique

initiale) alors que le travail des forces non conservatives est égal au gain d'énergie

totale de la particule.


PAGE 10

Toute force qui dépend de la vitesse n'est pas conservative. C'est le cas d'une force

de résistance au mouvement, causée soit par la viscosité, la turbulence ou le

frottement. On peut définir deux types de forces non conservatives:

- Les forces dites dissipatives, qui s'opposent au mouvement, comme celles

causées par la viscosité, la turbulence et le frottement dynamique.

- Les forces de contrainte, qui sont toujours perpendiculaires à la vitesse de

l'objet.

Comme les forces dissipatives sont grosso modo opposées à la vitesse, et leur travail

est négatif et elles ne peuvent que diminuer l'énergie mécanique de la particule. Par

contre, les forces de contrainte ne peuvent exercer aucun travail, car elles sont toujours

perpendiculaires au déplacement.

La force magnétique

BvqF

, (1.18)

quoiqu'elle ne soit pas considérée habituellement comme une force de contrainte, entre

dans cette catégorie. La force de frottement statique entre aussi dans cette catégorie,

car elle s'applique en l'absence de déplacement. En résumé, les forces dissipatives vont

diminuer l'énergie totale d'un objet, alors que les forces de contrainte (incluant la force

magnétique) vont la conserver (même si elles ne sont pas appelées conservatives.)

1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation:

Le calcul de l’équation du mouvement pour un système conservatif peut être

déterminé par trois méthodes :

1.7.1 Principe de la conservation d’énergie totale :

0tan dt

dEteConsEEE T

pcT

(1.19)

où TE est l’énergie totale du système.

1.7.2 La loi de la dynamique de Newton :

La seconde loi de la dynamique s’écrit sous la forme:

1i

ii

dt

pdF

(1.20)


PAGE 11

Où ip

est la quantité de mouvement de la masse im . Une équation importante

(théorème du moment cinétique) découlant de cette même équation est la suivante:

1

//

i

i

Oi

Odt

JdM

(1.21)

où i

OM /

est le moment de la force appliquée sur la masse im et

iJ

le moment cinétique

associé à la masse im .

1.7.3 Méthode de Lagrange-Euler:

1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action :

La dynamique de Newton repose sur l'idée que l'action d'une force agissant sur un

objet consiste à changer sa quantité de mouvement. Leibniz, un contemporain de

Newton, avait plutôt tendance à mesurer le changement en énergie causé par la force,

et a, de ce fait, déplacé l'intérêt en la quantité de mouvement et le travail vers l'énergie

cinétique et l'énergie potentielle.

Les méthodes variationnelles établies par Lagrange et Hamilton, sont basées sur

l'analyse de l'énergie, et le système est traité comme un ensemble au lieu de parties

isolées. Il s'est avéré qu'il est plus facile de suivre l'évolution de l'énergie, quantité

scalaire, que de suivre des quantités cinématiques telles que les vitesses ou les

accélérations.

Prenons le cas d'un objet lancé en l'air et repérons deux points de sa trajectoire en deux

instants quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant

la nature n'en choisit qu'une seule. Qu'est ce qui distingue cette courbe- la trajectoire

physique- de toutes les autres?

En 1744, Pierre-Louis Moreau de Maupertuis se posa cette question. Intuitivement il

pressentit que les phénomènes physiques répondaient à un premier, fondamental, selon

lequel la nature choisissait toujours, parmi toutes les possibilités qui s'offraient à elle,

celle qui était la plus efficace qui s'exprimait par un minimum de vitesse pour un

minimum de chemin parcouru. Il baptisa ce principe, le principe de moindre action.


PAGE 12

Mathématiquement, Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit. Si

l'on considère le mouvement d'un corps entre deux points A au temps At et B au

temps Bt . Pour une énergie totale E donnée, la trajectoire sélectionnée par la nature

est celle pour laquelle la grandeur

B

A

t

t

B

A rdvmK

. (1.22)

est minimale.

En remarquant que

dtvrd .

on obtient alors:

B

A

B

A

t

t

t

t

B

A dttvTdtvvmK ,2..

(1.23)

où tvT ,

est l'énergie cinétique du corps.

Quelques années plus tard, et à partir d'une intuition semblable à celle de Mapertuis,

Euler parvient à un énoncé très similaire de l'action mais en partant de l'idée que les

corps tendent à adopter un état où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler

s'exprimait en fonction de l'énergie potentielle trU ,

au lieu de l'énergie cinétique.

En faisant la synthèse de ces deux démarches, Lagrange a eu l’idée de proposer une

nouvelle action qui s’écrivait sous la forme :

B

A

t

t

B

A dttrUtvrTS ,,,

(1.24)

où la quantité

trUtvrTtvrL ,,,,,

est connue sous le nom de Lagrangien dus sytème.

La méthode de Lagrange compare les actions correspondant à différentes trajectoires

possibles et choisit le chemin pour lequel l’action est minimale. Ce critère débouche, à

l’aide du calcul variationnel, aux équations dites d’Euler-Lagrange gouvernant le

mouvement des corps rigides.

1.7.3.2 Contraintes :

En dehors des forces agissant sur un système lors de son mouvement, il existe dans la

plupart des problèmes de la dynamique des restrictions sur le mouvement, connues


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sous le nom de contraintes, et qui sont dues à la nature du système et de son

environnement. Ces contraintes sont exprimées sous formes de relations entre

certaines coordonnées, leurs taux de variation, etc.

Ces contraintes exercent des forces sur le système et ainsi vont affecter l'évolution

dans le temps des coordonnées du système. Ce sont là des forces de contraintes ou

réactions. Dans la formulation du mouvement, basée sur les lois de Newton, les forces

appliquées sur le système ainsi que les forces de contraintes doivent toutes

incorporées. Ces dernières ne sont pas connues au préalable, puisque leurs valeurs

dépendent du mouvement lui-même. C'est précisément cela qui fait que les équations

du mouvement dans le formalisme de Newton sont difficiles à résoudre.

1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange

Considérons une particule ponctuelle de masse m se déplaçant sans frottement sur une

courbe plane comprise dans le plan xOy et dont les coordonnées vérifient les

conditions suivantes :

0),(

0

yxf

z

Cette particule possède un seul degré de liberté. On choisit une variable q ; appelée

coordonnée généralisée pour repérer sa position.

Soit r

le vecteur de position de la particule qui s’exprime en fonction de q comme

suit : )(qrr

On considère F

la résultante de toutes les forces s’exerçant sur la particule. La relation

fondamentale de la dynamique s’écrit alors :dt

vdmF

, où

dt

rdv

est le vecteur de la

vitesse de la particule.

Soit dw le travail fournie par la force F

lors d’un déplacement infinitésimale rd

comme suit :

rdFdw

.

Le déplacement rd

peut s’écrire comme suit :


PAGE 14

dqq

rrd

Dans ce cas dw peut se mettre sous la forme :

dqq

r

dt

vdmdq

q

rFdw

.

(1.25)

On appelle qF la force généralisée conjuguée de q ; où q-composante de la force, la

quantité qF définie par :

dq

dw

q

rFFq

D’où :

dqFdw q

(1.26)

D’autre part, on a :

q

r

dt

dv

q

r

dt

vd

q

rv

dt

d

Sachant que :

q

v

dt

rd

qq

r

dt

d

On obtient alors :

dq

vdv

q

rv

dt

d

q

r

dt

vd

(1.27)

On a :

qq

r

dt

q

q

r

dt

rd

On obtient alors :

q

vv

q

vv

dt

d

q

r

dt

vdet

qd

v

q

r

Sachant maintenant que :


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q

vvvv

qv

q

et

q

vvvv

qv

q

..2

1

2

1

..2

1

2

1

2

2

On obtient :

22

2

1

2

1. v

qv

qdt

d

q

r

dt

vd

L’expression du travail peut alors s’écrire comme suit :

dqvq

vqdt

dmdw

22

2

1

2

1

(1.28)

avec : 2

2

1mvEc est l’énergie cinétique de la masse m ; on obtient finalement :

dqFdqq

E

q

E

dt

detdq

q

E

q

E

dt

ddw q

cccc

On en déduit l’équation de d’Alembert pour un système à un degré de liberté :

q

cc Fq

E

q

E

dt

d

(1.29)

1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs :

Pour les systèmes conservatifs, la force appliquée au système dérive d’un potentiel pE

et elle s’écrit :

q

EF

p

q

(1.30)

L’équation d’Euler- Lagrange devient alors :

q

E

q

E

q

E

dt

d pcc

(1.31)

Sachant que l’énergie potentielle pE ne dépend pas de la vitesse tel que :

0

q

E p

Finalement l’équation d’Euler-Lagrange peut alors s’écrire sous la forme suivante:

pc EELavecq

L

q

L

dt

d

0

(1.32)


PAGE 16

où on a introduit la fonction de Lagrange (ou lagrangien du système) qui est la

différence de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.

Pour un système conservatif à plusieurs degrés de liberté (nombre n), l’équation

d’Euler-Lagrange s’écrit comme suit :

niq

L

q

L

dt

d

ii

,...10

(1.33)

1.7.3.3.b Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse :

Considérons une situation physique dans laquelle la particule est soumise à des

forces de frottement de viscosité dont la résultante frf

est de la forme :

vf fr

(1.34)

où est le coefficient de frottement et v

le vecteur vitesse de la particule.

Pour calculer la force généralisée pF

correspondante, nous utilisons la définition du

paragraphe précédent :

22

.

q

ravecq

t

q

q

r

q

rfF frp

Si en plus des forces qui dérivent d’un potentiel, le système est soumis à des forces de

frottement de viscosité, l’équation d’Euler-Lagrange s’écrit alors :

pc EELavecqq

L

q

L

dt

d

(1.34)

Pour un système dissipatif (non conservatif) de plusieurs degrés de liberté l’équation

du mouvement déterminée comme suit :

o Système en translation :

niFq

L

q

L

dt

dext

ii

,...1

(1.35)

où extF

sont les forces extérieures appliquées au système.


PAGE 17

o Système en rotation

niMq

L

q

L

dt

dext

ii

,...1

(1.36)

où extM

sont les moments extérieurs appliqués au système. Dans ce cas les forces

extérieures ne dérivent pas d’un potentiel.

1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh:

Calculons le travail frdw fourni par la force de frottement pendant un intervalle de

temps dt lors d’un déplacement rd

:

dtvrdfdw frfr

2

(1.37)

La quantité de chaleur dQ gagnée par le système en interaction avec la particule est

telle que :

dtvdQ 2 (1.38)

On définit dP la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur

comme suit :

22 xvPd (1.39)

Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction de q par :

2

22

2 qt

q

q

r

dt

rdvPd

(1.40)

Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi-puissance dissipée et s’écrit

comme suit :

2

2

1

2

1qPD d (1.41)

En général, et pour un système à n degré de liberté, la fonction de dissipation pour

des frottements de type visqueux (vitesses faibles) a la forme quadratique des vitesses

généralisées :

j

n

ji

iij qqD

1,2

1 (1.42)

où ij sont appelés les coefficients de frottements visqueux.


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La iq -composante iqF de la force de frottement peut alors s’écrire :

i

qq

DF

i

(1.43)

Finalement, l’équation d’Euler- Lagrange s’écrit alors :

niq

D

q

L

q

L

dt

d

iii

,,1

(1.44)

1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps

Considérons le cas plus général d’une force extérieure dépendant du temps agissant sur

un système soumis à des forces de frottement ‘dérivant ‘ d’une fonction dissipation D.

Soit extF la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation d’Euler-

Lagrange peut s’écrire sous la forme suivante:

pcext EELavecFq

D

q

L

q

L

dt

d

(1.45)

Dans le cas général d’un système à plusieurs degrés de liberté, il y a autant d’équations

de Lagrange que de degrés de liberté. Ainsi, si le système possède n degrés de liberté,

il est nécessaire d’avoir n coordonnées généralisées pi (i = 1, 2, ...., n). Nous aurons

ainsi n équations d’Euler-Lagrange comme suit :

ext

i

iii

Fq

D

q

L

q

L

dt

d

(1.46)

où ext

iF est la force extérieure qui fait varier la coordonnée généralisée iq .


PAGE 19

Applications


PAGE 20

Exercice de rappels mathématiques:

1- donner le module et la direction du nombre complexe 354 j .

2- Donner les parties réelle et imaginaire du nombre

54

2

j

Aetj

sachant que A et sont réels.

3- écrire les nombres complexes suivants sous la forme jba : jjZ et

83.0jZ .

Solution:

1- on calcule directement :

543454.54.54543

jjjjj

Le module du nombre complexe est égal à :

23.965434542

23

j

L’argument du nombre complexe est égal à :

4

543arctg

2-

)54(2

sin2

cos4154

2

jtjtA

j

Aetj

)54()cos()sin(4154

2

jtjtA

j

Aetj

La partie réelle du nombre complexe est égale à :

)cos(5)sin(441

ttA

La partie imaginaire du nombre complexe est égale à :


PAGE 21

)sin(5)cos(441

ttA

3- Le nombre complexe

k

j

kjj eejZ

22

22

est

kjkj

eejZ

2

283.0

83.0

2283.0

Problème 1:

Soient les systèmes physiquses représentés sur les figures 1.10 (A-B-C)

(A)

(B)


PAGE 22

(C)

Figure 1.10 : Différents types de systèmes mécaniques.

Déterminer pour chaque système :

Le nombre de degré de liberté

L’énergie cinétique et l’énergie potentielle

En déduire le Lagrangien totale.

Solution

Figure 10.1-A :

Le système possède trois coordonnées ,, 21 xx et on a sin2 lx . Ce qui veut

dire que les composantes ,2x sont dépendantes. Donc, Le nombre de degrés

de liberté de ce système est égal à 2.

L’énergie cinétique s’écrit :

22

1 2

1i

i

ic xmE

L’énergie potentielle se calcule comme suit :


PAGE 23

2

1

22

212

1cos)(

2

1

i

iip xkmglxxkE

Le Lagrangien s’écrit alors :

2

1

22

21

22

1 2

1cos)(

2

1

2

1

i

iii

i

ipc xkmglxxkxmEEL

Les coordonnées de ce système sont 21, qui sont indépendantes. D’où le

nombre de degré de liberté est égal à 2.

Le Lagrangien du système :


2m2

2m1c 21

Vm2

1Vm

2

1E

En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :

))sinsin(ly

)coscos(lx(V)

)cos(cosly

)sin(sinlx(mO

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

2211m

2211mm

21m

21m

2

11m

11mm

1m

1m

1

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

D’où :

2m

2m

2m

2m

2m

2m

222

111

yxV

yxV

Après calcul, l’énergie cinétique s’écrit alors:

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1E 2121

22

22

22

21

221c

Pour l’énergie potentielle on a :

)cos(cosglmcosglmE 21211p

Le Lagrangien devient alors:

)cos(cosglmcosglm

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1L

21211

21212

222

22

21

221


PAGE 24

Figure 10.1-C :

Le nombre de degré de liberté :

On définit les petits déplacements comme suit :

dépendantssontx,x,xlx,lx,lx 321332211

Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ

Pour l’énergie cinétique on a :

2233

2222

2211

2ii

1i

c lm2

1lm

2

1lm

2

1xm

2

1E

L’énergie potentielle s’exprime:

cosglmkl2

1kl

2

1E 33

222

221p


cosglm)l(k2

1lm

2

1EEL 33

22

1i

i

3

1i

2i

2iipc


PAGE 25

Problème 2 :

Soient deux systèmes physiques représentés par la figure 11.1

Figure 1.11: pendule simple et pendule oscillant

Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du pendule simple.

En déduire l’énergie totale du système.

En appliquant le principe de conservation de l’énergie totale, déterminer

l’équation différentielle du mouvement.

En appliquant la loi dynamique de Newton, déterminer l’équation

différentielle du mouvement du ressort.

Solutions :

Pour le pendule simple : Figue 1.12-A:

Le vecteur de position s’exprime comme suit:

sinly

coslxv

cosly

sinlxmo

D’où :

2222lyxv


222c ml

2

1mv

2

1E

Pour l’énergie potentielle on a:


PAGE 26

cosmglEp

Alors, l’énergie totale du système s’écrit :

cos2

1 22 mglmlEEE pcT

En appliquant le principe de conservation de l’énergie totale pour un

système conservatif ; on a :

0cos2

10 22

mglml

dt

d

dt

dET

D’où :

0sin0sin2 glmglml

On obtient alors l’équation différentielle pour des petites oscillations

comme suit :

sin0)( avectl

g

Pour le ressort ; (Figure 1.12-B) on applique la loi dynamique de

Newton :

amF

Figure 1.12 -B : Etat du système en équilibre et en mouvement


PAGE 27

En appliquant les différentes forces au système ; on obtient :

amFp

En projection sur l’axe Ox ; on obtient :

xmkxkxmgxmxxkmg

0

00 )(

Finalement l’équation différentielle du mouvement pour des petites oscillations

s’écrit :

0)( txm

kx

Problème 3 :

Une poulie de masse M, de moment d’inertie J, et de rayon R, suspendue au

point O par un ressort de raideur k. Le fil inextensible glisse sur la poulie sans

frottement relié par une masse m (voir figure 1.13.)

Déterminer le nombre de degré de liberté

Etablir l’énergie cinétique et l’énergie potentielle

En déduire le Lagrangien du système

Etablir l’équation différentielle du système par le principe de Lagrange

Figure 1.13: Mouvement oscillatoire de la polie


PAGE 28

La figure 1.13-a représente l’état d’équilibre du système et la figure 1.14-b

représente l’état du système en mouvement.

Les paramètres, (X01, X02) et (X1, X2) représentent respectivement les positions

des masses M et m en état d’équilibre et en mouvement.


La longueur du fil l est la même en mouvement et en équilibre tel que:

En équilibre :

)XX(RXDl 010201

En mouvement :

)XX(RXDl 121

Apres l’égalité des deux équations, on obtient :

dépendantssontx,xx2x 2112

Le nombre de degré de liberté est alors égal à 1 qui est représenté par x1.

L’énergie cinétique s’exprime:

22

21

21c xm

2

1J

2

1xM

2

1E


PAGE 29

Pour l’énergie potentielle:

21p kx

2

1E


21

212pc kx

2

1x)

R

Jm2M(

2

1EEL

L’équation différentielle s’exprime comme suit:

0x)

R

Jm4M

k(x0

x

L)

x

L(

dt

d1

2

111

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0xx0x)

R

Jm4M

k(x 1

2011

2

1

Avec :

2

20

R

Jm4M

k


PAGE 30

TRAVAIL PRATIQUE

Conservation de l'énergie mécanique –


PAGE 31

Roue de Maxwell

Mots clés :

Roue de Maxwell, énergies cinétiques de translation et de rotation, énergie potentielle,

énergie mécanique, moment d'inertie, vitesse angulaire, vitesse instantanée.

Principe de l'expérience :

Une roue massique, pouvant se dérouler avec son axe le long de deux cordes, est

en mouvement dans le champ gravitationnel. Les énergies potentielle, de translation et

de rotation sont converties les unes aux autres et sont déterminées en fonction du

temps.

Liste du matériel:

Pied de support en A

Tige carrée , l = 1000 mm

Noix double

Mètre de démonstration, l = 1000 x 27 mm

Curseur pour mètre, rouge, plastique, la paire Roue de Maxwell

Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, rouge, l = 100 cm

Fil de connexion, fiche 4 mm, 32 A, bleu, l = 100 cm

Barrière optique avec compteur

Dispositif d´arrêt avec déclenchement Bowden

Porte-plaque, ouverture 0...10 mm

Adaptateur, fiche BNC / douille 4 mm

Condensateur 100 nF/250 V

Alimentation 5 V DC/2,4 A avec fiches 4 mm

Objectifs :

1- Déterminer le moment d'inertie du disque de Maxwell.

2- A l'aide de la roue de Maxwell, déterminer, en fonction du temps:

a- l'énergie potentielle,

b- l'énergie de mouvement,

c- l'énergie de rotation.


PAGE 32

Montage:

Le dispositif expérimental est indiqué sur la figure ci-dessus. L'axe de la roue de

Maxwell est attaché de part et d'autre à deux fils qui peuvent s'enrouler pendant que la

roue ait un mouvement vers le bas. A l'état déroulé, l'axe doit être aligné

horizontalement. Une broche reliée à un commutateur de déverrouillage et pouvant

s'introduire dans un trou de la circonférence du disque, est utilisée pour libérer le

disque mécaniquement et ainsi démarrer le compteur afin de déterminer la distance et

le temps du mouvement de la roue. La densité d'enroulement doit être à peu près égale

des deux côtés. En outre, le fil doit toujours être enroulé dans le même sens pour le

démarrage.

Étude théorique:

L'énergie totale E de la roue de Maxwell, de masse m et de moment d'inertie autour de

l'axe de rotation zI , est la somme des énergies suivantes: potentielle pE , de

translation tE et de rotation rE .

1- Montrer que l'énergie totale s'écrit comme:

22

2

1

2

1zImvlgmE


PAGE 33

où g

est l'accélération due à la gravité, l

la hauteur du centre de la roue par rapport à

un point choisi, v

la vitesse linéaire du centre de la roue et

la vitesse angulaire

parallèle à l'axe de rotation.

2- Montrer que rv

où r

est le vecteur position d'un point sur la

circonférence de l'axe de rotation de la roue relatif à son centre.

3- En faisant la projection sur un axe approprié, montrer que l'énergie totale s'écrit:

2

22

1v

r

ImmglE z

En supposant que l'énergie totale est conservée et en utilisant les conditions initiales

appropriées, montrer que :

t

r

Im

mgtv

z

2

et

2

2

t

r

Im

mgtl

z

Étude expérimentale:

On donne la masse de la roue m=0.436 kg et le rayon de son axe r =2.5 mm.

a- Étude de la variation de la hauteur en fonction du temps:

Pour différentes valeurs de tl , mesurer les temps moyens de parcours et reportez-les

sur le tableau suivant:

st

22 st

ml

1- Tracer sur un papier millimétré lln en fonction de tln .

2- En se proposant une loi de puissance entre la hauteur tl et le temps t sous la

forme,

kttl .


PAGE 34

en déduire les valeurs de et de l'exposant de l'équation, k.

3- Quelle est la nature du mouvement?

4- Tracer sur un papier millimétrique la courbe tl en fonction de 2t et déterminer

la pente de la courbe (n'oubliez pas les rectangles d'erreur!).

5- En déduire la valeur de l'accélération a et le moment d'inertie de la roue zI

(n'oubliez pas les unités). On prend 2.81.9 smg .

6- Conclusion

a- Étude de la vitesse en fonction du temps:

Pour différentes valeurs de tl , mesurer les temps moyens de passage t de

l'axe de la roue et reportez-les dans le tableau suivant:

st

ml

st

1. smv

1- Tracer sur un papier millimétrique la courbe tv en fonction de t et

déterminer la pente de la courbe.

2- En déduire la valeur de l'accélération a et le moment d'inertie de la roue zI

(n'oubliez pas les unités).

3- Que peut-on conclure?

Étude de la conservation de l'énergie totale:

En utilisant les résultats précédents, remplissez le tableau suivant pour différentes

valeurs de tl .

avec ;

l'énergie potentielle: lgmE p ..

L'énergie de translation: 2.2

1vmEt

l'énergie de rotation: 2

2.

2

1v

r

IE z

r

et l'énergie totale rtp EEEE


PAGE 35

ml

st

12 . smv

mNE p .

mNEt .

mNEr .

mNE .

1- Comparer les valeurs des énergies tE et rE .

2- Tracer sur un papier millimétré les courbes des énergies pE , rt EE et

E en fonction de t.

3- Comparer les courbes pE et rt EE .

4- Que peut-on conclure à propos de l'énergie totale E .

5- Si on abandonne la roue en mouvement d'une hauteur fixe pendant un temps

plus long, va-t-elle s'arrêter? Expliquer.

Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire libre à un degré de liberté

PAGE 36

Chapitre 2 :

Mouvement oscillatoire libre



PAGE 37

2.1 Définitions:

Un système isolé oscillant à un degré de liberté est déterminé par la coordonnée

généralisée q(t) représentant l’écart d’amplitude par rapport à l’équilibre stable.

On définit l’oscillation harmonique par l’équation différentielle linéaire du second

ordre à coefficients constants suivante :

0)()( 2

0 tqtq

(2.1)

où ω0 est la pulsation propre du système.

On définit la période propre T0 comme suit :

0

0

2T

(2.2)

La solution de cette équation différentielle est de la forme sinusoïdale telle que :

)sin()cos()( 0201 tAtAtq (2.3)

dont la forme souligne que les solutions forment un espace vectoriel, et permet plus

facilement de mettre en place les conditions initiales.

L’équation horaire ci-dessus peut aussi se mettre sous la forme :

)cos()( 0 tAtq (2.4) où les constantes A et ϕ représentent respectivement l’amplitude des oscillations et le

déphasage qui sont déterminées par les conditions initiales suivantes :

0

0

)0(

)0(

qtq

qtq

L’allure de la solution q(t) ainsi que la vitesse du mobile sont représentées dans la

figure 2.1. Il faut signaler que toutes les oscillations de faible amplitude autour de la

position d’équilibre peuvent être assimilées à des mouvements linéaires et l’énergie

potentielle peut s’exprimer sous forme quadratique de la coordonnée généralisée q.

En revanche, au-delà d’une certaine amplitude l’oscillation devient non linéaire.


PAGE 38

Figure 2.1: Mouvement oscillatoire harmonique

2.2 Exemple d’oscillations mécanique (masse + ressort)

Un ressort étiré, dont la longueur passe de l à l+x , exerce une force pour revenir à sa

longueur initiale proportionnelle à l’allongement algébrique x.

Le vecteur de position est égal à :

ixvixmo


22c xm

2

1mv

2

1E

(2 .5)

Figure 2.2 : Mouvement rectiligne oscillatoire horizontal d’un ressort


PAGE 39

L’énergie potentielle pour des petites oscillations s’écrit sous la forme:

22c xm

2

1mv

2

1E

(2.6)

Le Lagrangien du système prend donc la forme suivante:

22

2

1

2

1kxxmEEL pc

(2.7)

L’équation de mouvement est de la forme :

kxx

Lxm

x

L

x

L

x

L

dt

d

0

D’où

00 2

0 xxmkxxm (2.8)

La pulsation propre est égale :

m

k0 (2.9)

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :

)cos()( 0 tAtx

1.2.3 Bilan énergétique :

L’approche par l’énergie est très importante pour la compréhension du phénomène

physique. En effet, l’énergie totale du système ci-dessus s’écrit comme suit :

teconskxxmEEE pcT tan2

1

2

1 22

(2.10)

Au cours d’une oscillations harmonique, l’énergie totale se partage en proportions

variables entre l’énergie potentielle Ep et l’énergie cinétique Ec. C’est une propriété de

tout mouvement sous l’effet d’une force qui dérive d’un potentiel. L’allure de

l’énergie totale en fonction de x(t) est représentée sur la figure (2.3).


PAGE 40

Figure 2.3 : Energie potentielle et cinétique d’un oscillateur harmonique libre en

fonction de l’écart x par rapport à sa position d’équilibre

2.4 Applications :

2.4.1 La chute libre (Le Bungee ):

Le saut à l'élastique, aussi appelé benji, bungie, bungy jumping ou encore bungee, est

une activité ludique et sportive de plein air qui consiste à se jeter dans le vide avec une

corde élastique accrochée aux chevilles ou au torse, destinée à ralentir puis stopper la

chute. L’objectif visé est de restituer les sensations "fortes" ressenties lors d'une chute

libre.

On considère un fil élastique de longueur l en équilibre. Lors de la chute libre le fil

s’allonge jusqu’à la longueur l1 telle que la nouvelle position est y(t) ; comme le

montre la figure 2.4:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corde

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lastique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chute_%28accident%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chute_libre_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chute_libre_%28physique%29


PAGE 41

Figure 2.4: La chute libre : Le Bungee

Il est possible de modéliser le problème par un ressort de raideur k et une masse m

comme le montre la figure 2.5:

Figure 2.5: Modèle physique de la chute libre

En effet, il est facile d’obtient l’équation différentielle suivante :

0)()( tXm

ktX

(2.11)


PAGE 42

A l’équilibre on a :

k

mgll 1

Avec les conditions suivantes initiales

000

0

2)0(

)0(0

glvetvX

lXetlxt

2.4.2 Pendule simple :

Le pendule simple est constitué d’une masse ponctuelle m attachée à un fil

inextensible et de masse négligeable. L’amplitude des oscillations est repérée par

l’angle θ(t) que fait le fil avec la position verticale. La position d’équilibre correspond

à θ=0. On écarte la masse d’un angle θ(t) et on la lâche sans vitesse initiale. On

cherche l’équation différentielle vérifiée par θ(t) .

Le pendule simple a une importance historique du fait que Galilée l'a étudié de

façon détaillée et scientifique.

Figure 2.6 : Mouvement oscillatoire d’un pendule simple

Pour écrire son équation de mouvement, nous utilisons un repère local en coordonnées

polaires planes (c.-à-d. cylindriques) avec comme origine le point d'attache de la tige.

La tige pointe alors dans la direction ru

, l'angle entre la tige et la verticale est et le

pendule est en mouvement alternativement dans la direction u

. La position du

pendule est alors rulr

. L'équation du mouvement est

gmTrm

(2.12)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Galil%C3%A9e_%28savant%29


PAGE 43

Rappelons que les vecteurs unitaires ru

et u

s'écrivent dans le système de

coordonnées cartésiennes comme

jiur

cossin

(2.13)

et

jiu

sincos

(2.14)

D’autre part, on a

ul

dt

udlr r

(2.15)

et

rululr 2

(2.16)

Aussi, on a

ruTT

(2.17)

et

uumggm r

sincos (2.18)

Par identification, deux équations différentielles apparaissent

cos

sin22 mgTml

mgml

(2.19)

Il faut souligner que le mouvement oscillatoire du pendule simple est régi par le

moment de rappel

)( mgl .

La deuxième des deux équations ci-haut n'est donc pas immédiatement utile, alors que

la première peut s'écrire comme suit:

0sin l

g (2.20)

C’est une équation différentielle du second ordre non linéaire à coefficients constants.

Il est possible d’obtenir cette même équation de mouvement en utilisant le formalisme

de Lagrange.


PAGE 44

En effet, l’énergie cinétique du pendule simple s’écrit :

222c ml

2

1mv

2

1E

(2.21)

et l’énergie potentielle s’exprime:

cosmglEp

(2.22)

ce qui permet d’écrire le Lagrangien du système sous la fomre:

cosmglml2

1EEL 22

pc

(2.23)

L’équation différentielle du mouvement s’écrit :

sinmglL

mlL

0L

)L

(dt

d 2

(2.24)

Ce qui après réarrangement, donne

0sin l

g (2.25)

Dans la limite de petites oscillations on a :

sin

Finalement l’équation du mouvement devient:

0)( tl

gt (2.26)

dont la solution, appelée équation horaire, est de la forme :

)cos()( 0 tAt

(2.27)

où l

g0

est la pulsation propre du mouvement dont l’expression est indépendante

de l’amplitude. C’est une caractéristique des oscillateures dit isochrone.

A

et

sont des constantes à définir par les conditions initiales.


PAGE 45

2.4.3 Oscillation non linéaire:

Cependant, pour des amplitudes assez grandes, la pulsation n’est plus indépendante de

l’amplitude du mouvement. Pour la calculer, on fait un bilan énergétique tout en

profitant de la conservation de l’énergie totale du système (elle est la même en tout

point de la trajectoire). En effet,

teconsmglmlEEE pcT tancos2

1 22

(2.28)

Figure 2.7: Mouvement oscillatoire du pendule simple pour les

grandes amplitudes

On choisit deux points particuliers sur le chemin de la masse : le point à partir duquel

on lâche la masse sans vitesse initiale

00

et auquel correspond l’énergie totale

lT mglE cos

(2.29)

et un point quelconque du chemin auquel corrspond l’énergie totale suivante :

cos2

1 22 mglmlET

(2.30)

Les deux expressions sont donc égales, ce qui donne

lmglml coscos2

1 22

ou encore

)cos(cos2 2

0

2

l

(2.31)


PAGE 46

Avec

dt

dtet

l

g )(2

0

On obtient alors :

l

l

l

l

T

ddt

)cos(cos2

2

0

0

(2.32)

Après calcul, on obtient :

l

l l

l dT

2sin

2sin

2

1

222

0

(2.33)

En introduisant le changement variable suivant :

2sinsin

2sin l

On trouve alors :

2

0 22

0

sin2

sin14

l

l dT

(2.34)

L’intégrale de cette formule est régulière et se prête aux développements en série.

On trouve après calcul la formule de la période de grandes amplitudes donnée comme

suit :

..

161

2

0l

l TT

(2.35)

Cette expression est appellée la formule de BORDA.

2.4.4 Pendule pesant :

On appelle pendule pesant tout solide mobile de masse M autour d'un axe (en

principe horizontal) ne passant pas par son centre de gravité et placé dans un champ de

pesanteur (voir la figure 2.8). Déplacé de sa position d'équilibre (stable) dans laquelle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pesanteur


PAGE 47

le centre de gravité est à la verticale de l'axe, le solide se met à osciller de part et

d'autre de cette position dite d'équilibre.

Quelques exemples dans la pratique quotidienne constituent des pendules

pesants : un balancier d'horloge, une balançoire, etc. Le pendule simple est le cas

particulier du pendule pesant.

Figure 2.8: Mouvement oscillatoire du pendule pesant

Pour un pendule pesant quelconque, l'effet de l'inertie sur la rotation ne peut pas

être ramenée à une masse ponctuelle placée au centre de gravité. C’est l'ensemble du

solide qui tourne, et son inertie est caractérisée par son moment d'inertie par rapport à

l’axe de rotation (trace en O ) noté OI et la distance L0 du centre de gravité à l'axe de

rotation.

Si la seule force externe en présence provient d'un champ gravitationnel uniforme g

,

alors le couple total s'exerçant sur le système est

1i

ii gmr

(2.36)

où ir

et im sont le vecteur position par rapport à l’origine et la masse d’un élément de

la grande masse M du pendule pesant.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Oscillation

http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_d%27inertie


PAGE 48

Puisque le vecteur g

est le même partout sur la masse M, on peut écrire

grmi

ii

1

gRM cm

(2.37)

où cmR

est le vecteur position du centre de masse par rapport à l'axe de rotation.

Autrement dit, la gravité produit un couple sur l'objet comme si toute la masse de

l'objet était concentrée en son centre de masse. Ceci n'est valable que parce que le

champ gravitationnel est le même partout dans l'objet. Autrement dit, pour fins de

calcul du couple, on peut considérer que la force gravitationnelle agit à la position du

centre de masse, pourvu que g

soit uniforme.

La grandeur de ce couple, par rapport au pivot (axe des z sortant de la page), est donc

sin0MgLz (2.38)

où est l'angle d'inclinaison entre la verticale et la position du centre de masse par

rapport au pivot. La composante zJ du moment cinétique évaluée au pivot O est

donnée par :

Oz IJ (2.39)

où OI est le moment d’inertie de la masse M par rapport au point de pivot O , qui,

selon le théorème de Huygens (Steiner), est égal à

2

0MLII GO (2.40)

où GI est le moment d’inertie de la masse M par rapport à son centre de masse G .

L'équation du mouvement est donnée par

zz

dt

dJ (2.41)

ou encore

sin0MgLIO (2.42)

Ce qui donne

sin0

OI

MgL (2.43)

Ce résultat peut être obtenu en utilisant le formalisme de Lagrange.


PAGE 49

En effet, l’énergie cinétique est donnée par :

2

2

1Oc IE

(2.44)

alors que l’énergie potentielle s’écrit :

mgzE p

(2.45)

où :

)cos1(0 Lz

(2.46)

Le Lagrangien est alors égal à:

)cos1(2

10

2 mgLIEEL Opc

(2.47)

L’équation différentielle du mouvement du système est écrite comme suit :

00 2

00

OI

mgL (2.48)

La pulsation propre est indépendante de l’amplitude est égale à :

OI

mgL02

0

La solution de l’équation différentielle a la forme :

)cos()( 0 tAt

(2.49)

2.4.5 Pendule de torsion :

Un corps rigide de moment d’inertie 0J

oscille autour d’un axe avec une constante de

Torsion tk

(voir figure 2.9). L’énergie cinétique s’écrit :

20c J

2

1E (2.50)

L’énergie potentielle est donnée par:

2tp k

2

1E

(2.51)


PAGE 50

Figure 2.9: Mouvement oscillatoire de torsion

Le Lagrangien du système s’écrit alors:

2t

20pc k

2

1J

2

1EEL

(2.52)

L’équation différentielle du mouvement du système s’écrit :

t0 kL

JL

0L

)L

(dt

d

d’où :

0)(0

tJ

kt (2.53)

La pulsation propre s’écrit alors :

0

t20

J

k (2.54)

La solution de l’équation différentielle est de la forme :

)tcos(A)t( 0

(2.55)

Quelques exemples d’applications qui décrivent les oscillations de torsion reportés

dans la figure 2.10


PAGE 51

Figure 2.10: Mouvement oscillatoire de torsion

du pont de Tacoma aux U.S.A –Le 7 novembre 1940.

2.5 Oscillations électriques

On considère un circuit (Lind, Cap) parcouru par un courant i(t) représenté par la figure

comme suit :

Figure 2.11: Circuit (Lind, Cap) oscillant.

D’après la loi des mailles du Kirchhoff , le bilan de tension s’écrit comme suit :

0)()(

ap

indC

tq

dt

tdiL

(2.56)

Sachant que le courant i(t) pendant un temps dt apporte une charge dq tel que :

dt

tdqti

)()(

On obtient alors l’équation différentielle du mouvement comme suit :


PAGE 52

0)(

)( ap

indC

tqtqL

(2.57)

On remarque que cette équation est équivalente à l’équation d’un mouvement

oscillatoire harmonique.

0)()(0)(

)( txm

ktx

CL

tqtq

apind

(2.58)

On obtient ainsi la pulsation propre et la période propre comme suit :

apind

pind

CLTetCL

21

0

2

0

La solution générale de l’équation s’écrit alors:

)cos()( 0 tAtq

(2.59)

En faisant l’analogie entre le système mécanique et le système électrique, on aura :

kc

1

)t(x)t(q

mL

ap

ind

Il faut retenir que :

L’oscillation harmonique est régie par

0)()( 2

0 tqtq

La solution de cette équation différentielle est de la forme :

)sin()cos()( 0201 tAtAtq

La période propre T0 est donnée comme suit :

0

0

2T

où ω0 est la pulsation propre du système.

Il faut signaler que l’énergie totale du système conservatif est

constante dans le temps.


PAGE 53

Applications


PAGE 54

Problème 1:

Un système hydraulique de forme U constitué de deux tuyaux cylindriques de sections

S1, S3 reliés par un autre cylindre de section S2 et de longueur B qui contient un liquide

de masse volumique. Le système est équivalent à un ressort de raideur ke et de masse

Me. A l’équilibre le liquide a la hauteur H, figure 12.2.

Figure 12.2: Mouvement oscillatoire d’un liquide dans un tube

Dans le cas des oscillations linéaires, déterminer pour chaque système :

Le nombre de degré de liberté.

L’énergie cinétique, l’énergie potentielle.

En déduire le Lagrangien.

L’équation différentielle du mouvement.

La période propre.

Solution:

Le système en équilibre se présente comme suit:


On a la conservation du volume d’eau déplacé dans le tube en forme U

D’où,

sdépendantesontxxxscoordonnéelesxSxSxS 321332211 ,,

Donc le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par x1.


PAGE 55

Le Lagrangien du système:

A partir de L’énergie cinétique, on calcule la masse équivalente

du système:

21e

3

1i

2iic xM

2

1xm

2

1E

D’où :

2

1

2

33

2

22

2

112

1

2

1

2

1

2

1xMxmxmxmE ec


PAGE 56

Avec

332211

2

1

3

1

2

11

2

1

,,

)1(

HSmBSmHSm

et

xMS

S

S

S

H

BHSx e

Après l’identité, on déduit la masse équivalente du système comme suit :

)1(3

1

2

11

S

S

S

S

H

BHSM e

On calcule la constante de rappelle à partir de l’énergie

potentielle, on a alors :

PSxkFxkE eep 11

2

12

1

Avec

h

xxgSF )( 311

D’ou

1

3

11 )1( x

S

SgSF

Après l’identité, on détermine la constante de raideur équivalente

du système comme suit :

)1(3

11

S

SgSke

Le Lagrangien du système s’écrit alors :

21e

21e

1i

2ii

2ii

1i

pc

xk2

1xM

2

1xk

2

1xm

2

1L

EEL

L’équation différentielle est de la forme :

0)(0)()( 1

2

0111 txxtxM

kx

e

e

La pulsation propre ω0 est égale à :


PAGE 57

)1(

)1(

3

1

2

1

3

1

2

0

S

S

S

S

H

BH

S

Sg

M

k

e

e

Problème 2:

La résonance de Helmholtz est un phénomène de résonance de l’air dans une

cavité. Les constructeurs automobiles peuvent utiliser ce dispositif à des fins

cosmétiques, pour rendre le bruit d'un véhicule plus sportif lors des accélérations.

On définit le système par un gaz parfait de pression P0, de volume V0 à l’équilibre

thermique, enfermé dans une enceinte reliée par un piston de masse m qui oscille sans

frottement suivant l’axe Ox comme le montre la figure (13.2) ci-dessous :

Figure 2.13: Modélisation physique du mouvement-Résonateur d’Helmholtz

L’ensemble du système évolue en opération adiabatique.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement en appliquant la loi

fondamentale de la dynamique.

En déduire la pulsation propre du système et la solution générale.

Solution:


PAGE 58

En appliquant la méthode des forces on obtient :

1i

rapixmPS

Ox:SuramFPamF

Puisque l’opération est adiabatique, on a:

SxV

PP

V

V

P

PtetanconscPV

0

0

00

L’équation différentielle s’écrit alors :

0xx0x)mV

SP(x 2

00

20

La pulsation propre est de la forme :

mV

SP

0

2

02

0

La solution générale est de la forme:

)tcos(A)t(x 0

Problème 3 :

Calculer la pulsation d'oscillation du système mécanique constitué d’une plaque

de masse M et de longueur L (sa largeur est très petite devant sa longueur)

pivotant autour d'un axe passant par son extrémité.

Figure 2.14: Plaque oscillante

Solution:

Rappelons que si la seule force externe en présence provient d’un champ

gravitationnel uniforme g, alors le couple total s’exerçant sur un pendule réel

est donné par :

gRMM cmo

/


PAGE 59

où cmR

est le vecteur position du centre de masse par rapport à l’axe de

rotation. Par projection sur l’axe Oz, considéré normal à la page, on obtient :

sin2

LMgM z

Ce moment de force donne lieu à une variation dans le temps du moment

cinétique du système donné par :

0IJ z

où 0I est le moment d’inertie de la plaque par rapport à l’axe de rotation,

donné par :

2

02

LMII G

où GI est le moment d’inertie de la plaque par rapport à son centre de masse

donné par :

. 2

12

1MLIG

Le calcul donne enfin

2

03

1MLI

L’équation du mouvement s’écrit donc :

sin23

1 2 LMgMLM

dt

dJz

z

où encore

0sin2

3

L

g

On peut faire l’approximation des faibles oscillations et remplacer sin par ;

ce qui débouche sur l’équation du mouvement linéaire suivante:

02

3

L

g

et la pulsation propre du système s‘écrit

L

g

2

30


PAGE 60

Problème 4:

Une masse ponctuelle m est astreinte à se déplacer sur une courbe dans un plan

vertical d’équation

2axy

1- Énumérer les contraintes appliquées sur le mouvement de la masse.

2- En déduire le nombre de degré de liberté du système, et la coordonnée

généralisée correspondante.

3- Calculer les énergies cinétique et potentielle du système, et en déduire le

Lagrangien du système.

4- Écrire l'équation différentielle de son mouvement, en supposant les

frottements négligeables.

5- Faire l'approximation des déplacements de faibles amplitudes pour linéariser

cette équation et la résoudre.

6- Donner alors la période de ce mouvement.

Solution:

Puisque la masse se déplace dans le plan Oxy , sa coordonnée suivant z est constante.

C'est une première contrainte.

Les coordonnées x et y sont reliées par la fonction 02 axy , ce qui représente une

seconde contrainte.

Le système peut être représenté par 3 coordonnées cartésiennes, avec deux contraintes.

On dit donc que le système est 1 degré de liberté. On peut choisir la coordonnée

cartésienne x comme coordonnée généralisée.

Le Lagrangien du système s'écrit donc:

2222412

1mgaxxxamUTL

Puisque le système est libre (sans frottement ni force extérieure), l'équation d'Euler-

Lagrange pour une seule coordonnée généralisée x s'écrit:

0

x

L

x

L

dt

d

Aprés dérivation, on trouve

02441 2222 mgaxxxmaxxam


PAGE 61

Pour des oscillations de trés faibles amplitudes (x petit), on pourrait négliger les termes

d'ordre supérieur à 2dans l'équation différentielle, qui devient alors linéaire:

02 mgaxxm

La solution se présente sous la forme:

tCtx 0cos

où C et sont des constantes à définir par les conditions initiales, et

ga20

la pulsation propre du système. La période propre du système est donné par :

gaT

2

22

0

0

Problème 5:

Soient les systèmes mécaniques constitués par une tige de masse négligeable, de

longueur l reliée par un ressort de raideur k représentés dans la figure 13.2 : A-B-C

comme suit:

Figure 2.16: Couplage pendule ressort

Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système de la figure (13.2):

Le Lagrangien.


La pulsation propre et la solution générale.

Interpréter les résultats.


PAGE 62

Solutions:

Système A :

Pour les faibles oscillations, on a la relation suivante :

ax

Les deux variables x, θ sont linéairement indépendant, d’où le nombre de degré de

liberté est égale à 1, représenté par la variable θ

L’énergie cinétique :

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m


222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle s’exprime comme suit :

axaveccosmglkx2

1E 2

p


cosmgl)a(k2

1ml

2

1EEL 222

pc


PAGE 63

L’équation différentielle du mouvement est :

0)ml

mglka(0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est égale à :

2

22

0ml

mglka


)tcos(A)t( 0

Système B :

L’énergie cinétique

On calcule le vecteur de position et la vitesse de la masse m :

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m

D’où l’énergie cinétique s’exprime comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle pour le deuxième système est égale à :

axaveccosmglkx2

1E 2

p



PAGE 64

cosmgl)a(k2

1ml

2

1EE),(L 222

pc


0)ml

mglka(0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est :

2

220

ml

mglka


)tcos(A)t( 0

Système C:

L’énergie cinétique

sinly

coslxmoV

cosly

sinlxmo m

D’où l’énergie cinétique s’écrit comme suit :

222mc ml

2

1mV

2

1E

L’énergie potentielle s’écrit :

2p kx

2

1E


PAGE 65


222pc )sina(k

2

1ml

2

1EEL


0ml

ka0

L)

L(

dt

d2

2

La pulsation propre est :

2

220

ml

ka


)tcos(A)t( 0

Problème 6:

Le fléau est un instrument agricole utilise pour le battage des céréales. On

modélise le système par une tige métallique de masse négligeable, de longueur l

portant deux masses m et M, tournant sans frottement autour de son axe au point fixe

O comme le montre la figure 14.2. A l’équilibre la barre est horizontale.

Figure 2.17: Modèle physique du Fléau

Déterminer dans le cas des petites oscillations:

Le Lagrangien du système

L’équation différentielle du mouvement,

La pulsation propre et la période propre.


PAGE 66

La solution générale avec les conditions initiales suivantes :

0)0( t et 0)0( t

Application numérique :

On prend : m=M=1Kg, k=20N/m

Solution:

Le Lagrangien :

On a les déplacements infinitésimaux comme suit :

dépandantssontx,x4

l3x,

4

lx 2121

On a donc un seul degré de liberté représenté par θ(t).

L’énergie cinétique s’exprime :

4

l3x,

4

lxavec)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1xM

2

1xm

2

1E 21

2222

21c


22p )

4

l(k

2

1)

4

l(k

2

1E


222pc )

4

l(k)l

4

3(M

2

1)l

4

1(m

2

1EEL

D’où :

222

)4

l(k)mM9(

16

l

2

1),(L

L’équation différentielle du mouvement :

0M9m

k20

L)

L(

dt

d

Respectivement, la pulsation propre ω0 et la période propre T0 sont de la

forme :

M9m

k2

2Tet

M9m

k2O

20


)tcos(A)t( 0


PAGE 67

Problème 7 :

En physique, un pendule de torsion est un dispositif constitué d'une barre horizontale,

de longueur l de moment d’inertie J0, fixée à un support par l'intermédiaire d'un fil de

torsion. Ce fil d'acier exerce un couple de rappel, proportionnel à l'angle de torsion. On

appelle D la constante de torsion du fil. Sur la barre, on positionne deux masselottes

identiques m de façon symétrique comme le montre la figure 15.2.

Figure 2.18: Mouvement oscillatoire d’un Pendule de Torsion

On considère les petites oscillations. A l’équilibre l’angle θ=0

Déterminer le Lagrangien du système

Etablir l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre et la solution générale

Solution:



4

lm2JJavecJ

2

1E

2

02

c


http://fr.wikipedia.org/wiki/Physique

http://fr.wikipedia.org/wiki/Acier

http://fr.wikipedia.org/wiki/Couple_%28physique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Angle


PAGE 68

2p D

2

1E


22

2

1

2

1),( DJEEL pc

L’équation du mouvement est de la forme:

0)(00)( 2

0

t

J

DLL

dt

d


J

D20

La solution générale est de la forme :

)tcos(A)t( 0

Problème 8 :

Soit un disque de masse M, de moment d’inertie J lié par deux ressorts, l’un au centre

O, l’autre au point A distant de (R/2) du point O se glissant sans frottement suivant

l’axe Ox comme le montre la figure 16.2 :

Figure 2.19: Mouvement oscillatoire d’un disque

Etablir le Lagrangien du système.

Déterminer l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre du système ainsi que la solution générale

Solution:


PAGE 69

Le degré de liberté :

On a le déplacement infinitésimal comme suit :

dépendantssont,xRx

Le système a un seul degré de liberté représenté par x



RxavecxM2

1J

2

1E 22

c


22p )

2

Rx(k

2

1)x(k

2

1E

Le Lagrangien du système s’écrit alors comme suit :

22

2kx

4

13

2

1x)

R

JM(

2

1)x,x(L


PAGE 70

L’équation différentielle s’écrit sous la forme :

0)(0)(4

13

0)( 2

0

2

txxtx

R

JM

k

xx

L

x

L

dt

d


2

20

R

JM

k4

13

La solution générale s’écrit alors :

)tcos(A)t(x 0

Problème 9 :

Soit un système électrique (Lind, Cap) en série représenté dans la figure 2.19 comme

suit :

Figure 2.19: Circuit L.C Libre

A partir des lois du Kirchhoff, établir l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre du mouvement.

Solution:

La loi des mailles :


PAGE 71

indLap

L

i

i jLZavec0C

q)t(iZ0V

indind

D’où l’équation du mouvement s’écrit :

0C

q

dt

)t(diL

apind

L’équation différentielle devient alors :

dt

dq)t(iavec0)t(q

C

1qL

ap

ind

On a l’équivalence du système mécanique-électricité comme suit :

0)t(kxxm0)t(qC

1qL

apind

D’où :

kc

1

)t(x)t(q

mL

ap

ind

La pulsation propre du mouvement s’écrit sous la forme :

apind

2

0CL

1

Problème 10 :

Soit un ressort de constante de raideur k , de longueur au repos b , et un point matériel

de masse m (voir figure 2.20). La masse est fixée à l'extrémité du ressort et peut

coulisser sans frottement sur l'axe horizontal des x .

La masse est abandonnée sans vitesse initiale à la distance a de O , tel que ba .

1- établir une équation différentielle du premier ordre relative au mouvement de la

masse.

2- calculer la période T du mouvement de la masse en fonction de a , b , m et k .

3- montrer en quoi les oscillations de la masse sont différentes de celles d'un

oscillateur harmonique.

On donne l'intégrale définie :


PAGE 72

311.1

sin1

2

02

0

x

dxI

Figure 2.20: Oscillateur anharmonique

Solution:

Pour une x quelconque on a :

2222

2

1

2

1xxbkxmET

pour ax on a 0x et

222

2

1aabkET

Puisque l'énergie totale est supposée conservée, on écrit

2222

222

2

1

2

1

2

1aabkxxbkxm

Puisque ba et donc bx , on peut faire l'approximation suivante

b

ab

b

abab

2

111

2

22

Ce qui est aussi vrai pour 22 xb .

Après réarrangement on trouve

042

1

2

1442

2

b

a

b

xkbxm

Ou encore

44

2

2

4

1xa

m

k

bx


PAGE 73

Ce qui permet d’écrire

44

2

1xa

m

k

bdt

dx

On inverse l’équation ci-dessus

44

12

xak

mb

dx

dt

On fait l'intégration 4

0T

t et 0 ax ; pour cela on choisit le signe moins car en

lâchant la masse du point ax la masse se déplace dans la dirction négative de l’axe

x :

a

a

T

xa

dx

k

mb

xa

dx

k

mbdt

044

0

44

4

0

22

En utilisant le changement de variable ua

xsin , on tombe sur l’équation suivante :

a

u

du

k

m

a

bT

02sin1

2

4

Ou encore, la période du mouvement

k

m

a

bT 48.10

On voit clairement que la période T dépend de l'amplitude du mouvement, a , ce qui

n'est pas le cas des oscillations harmoniques. Ce sont là des oscillations

anharmoniques.


PAGE 74

Problèmes supplémentaires

Problème 11 :

Déterminer la fréquence propre à partir de l’écrasement x0 du système de la

suspension.

Figure 2.21: Fréquence propre des plots anti-vibratiles

Problème 12:

Soient deux ressorts de même raideur k ont une longueur à vide l0. La figure 19.2

représente une masse m reliée à leurs extrémités peut glisser sans frottement suivant

l’axe Ox

Figure 2.22: Mouvement oscillatoire transversal

Déterminer dans le cas des petites oscillations:

Le Lagrangien du système.



PAGE 75

La pulsation propre, la période propre et la solution générale.

Problème 13:

On considère un gaz ionisé, un plasma, formé d’ions et d’électrons ayant une

charge globale nulle. On négligera les mouvements des ions beaucoup plus

lourds que les électrons. On suppose que les électrons ne se déplacent que

parallèlement à l’axe Ox. Au repos, le plasma est homogène et contient n0,

nombre d’électron par unité de volume. On considère une tranche de plasma dx,

les électrons situés respectivement en position x et x +dx se déplacent par les

quantités s(x, t) et s(x+dx), la figure 20.2:

Figure 2.23: Mouvement Oscillatoire du plasma

En utilisant l’équation de poisson, déterminer l’équation différentielle du

mouvement.

En déduire la pulsation propre du système.

Problème 14:

On se propose d’étudier la stabilité vibratoire d’un pendule inversé. On considère un

pendule simple constitué d’une tige indéformable, de masse négligeable et de longueur


PAGE 76

l. cette tige est fixée à une extrémité sur un ressort de torsion de constante de raideur K

permettant une liaison rotoide parfaite. A l’autre extrémité une masse m. Le système

est illustrée dans la figure 2.23.

Figure 2.24: Pendule simple inversé-Ressort de torsion

Etablir le Lagrangien du système

Déterminer l’équation différentielle du mouvement

En déduire la pulsation propre ω0

Chapitre 3: Mouvement oscillatoire amorti à un degré de liberté

PAGE 77

Chapitre 3 :

Mouvement amorti



PAGE 78

3.1 Définitions :

En réalité tous les systèmes physiques interagissent avec le milieu environnant. Dans

ce chapitre on doit tenir compte de l’influence de la force de frottement de type

visqueux vf fr

sur les oscillations du système, où est le coefficient de

frottement et v

la vitesse de la masse du système. Ceci est une bonne description dans

le régime de faibles vitesses.

Au-delà de cette situation, la force devient progressivement proportionnelle au carré

de la vitesse. Ce type de mouvement est appelé mouvement amorti. Pour un système

mécanique (par exemple un ressort avec une masse), la représentation de la force de

frottement est comme suit :

Figure 3.1: Schéma d’un amortisseur mécanique

En fait, l’effet d’amortissement est représenté par le symbole en piston auquel on

associe un coefficient de frottement , et le déplacement vertical est repéré par la

coordonnée x (coordonnée généralisée).

3.2 Modélisation mathématique:

La deuxième loi de la dynamique s’écrit dans ce cas (en terme de la coordonnée

généralisée du système) :

)()()( tqtkqtqm

(3.1)

ou encore

0)()(2)( 2

0 tqtqtq

(3.2)


PAGE 79

Avec

m

ket

m2 2

0

où est un coefficient positif appelé facteur d’amortissement. Ceci est une équation

différentielle du second ordre homogène à coefficients constants.

On se propose une solution à l’équation différentielle sous la forme :

rtetq )(

(3.3)

où r

est une constante à définir. En remplaçant dans l’équation différentielle, on

obtient l’équation caractéristique suivante :

0)2( 2

0

2 rre rt

(3.4)

Le discriminant ’est donné par:

20

2'

(3.5)

Il existe trois types de solutions selon la valeur de ce discriminant, à savoir :

3.2.1 Cas d’un amortissement fort: 00

Dans ce cas, les solutions réelles négatives de l’équation caractéristique sont données

par:

2

0

2

2,1 r (3.6)

Ainsi, la solution générale de l’équation différentielle est la superposition des deux

solutions correspondantes à 1r et

2r , à savoir:

trtreAeAtq 21

21)( (3.7)

Où A1 et A2 sont des coefficients à déterminer par les conditions initiales :

)0(

)0(

tq

tq

Il est utile de noter que la solution ci-dessus ne contient aucun terme représentant un

mouvement d’oscillation. On dit alors que le système a un mouvement apériodique.

En effet, le système une fois lâché de sa position d’équilibre ne fait que revenir à sa

position d’équilibre sans faire d’oscillation, tellement l’amortissment appliqué est fort.


PAGE 80

Sur la figure 3.2, des mouvements apériodiques pour différents cas de conditions

initiales sont représentés.

Figure 3.2: Mouvement amorti apériodique

3.2.2 Cas d’un amortissement critique : 00

Dans ce cas, une seule solution de l’équation caractéristique existe :

rrr 21 (3.8)

C’est à dire un seul terme pour la solution de l’équation différentielle. Il nous manque

donc un deuxième terme. Pour cela, on se propose une solution sous la forme :

tretutq )( (3.9)

En remplaçant dans l’équation différentielles si-dessus, on obtient:

treAtAtq )()( 21

(3.10)

où A1 et A2 sont des coefficients à déterminer par les conditions initiales :

)0(

)0(

tq

tq

Encore pas de terme dans l’équation horaire qui indique une oscillation du système.

On dit que le système a un mouvement amorti critique. Un fois lâché d’une position

hors d’équilibre, le système ne fait pas d’oscillation, bien qu’il revient plus rapidement

à sa position d’équilibre. Sur la figure 3.3, sont tracés les allures de mouvements

critiques pour différentes conditions initiales.


PAGE 81

Figure 3.3: Mouvement amorti critique

3.2.3 Cas d’un amortissement faible: 00

Dans ce cas, les solution complexes sont données par:

22

02,1 ir (3.11)

Ainsi, la solution générale de l’équation différentielle s’écrit sous la forme :

trtreAeAtq 21

21)( (3.12)

ou encore

ttt aa eAeAetq 21)( (3.13)

où

22

0 a (3.14)

est la pseudo-pulsation du système, et A1 et A2 des coefficients à déterminer par les

conditions initiales :

)0(

)0(

tq

tq

Il est possible de réécrire la solution ci-dessus sous une forme réelle :

)cos()( tAetq a

t (3.15)

où A et sont des constantes à déterminer par les conditions initiales.

On voit bien que le système fait des oscillations ( à cause de la présence dans la

solution du terme cosinus) avec une pseudo-pulsation a , sauf que, contrairement au

cas d’un système libre (absence d’amortissment), où l’amplitude de mouvement est


PAGE 82

constante, l’amplitude de mouvement, en présence d’amortissment (faible), décroit en

exponentielle avec le temps. Ceci est une caractéristique du mouvement d’un système

mécanique soumis à une force de frottement de type visqueux.

Figure 3.4: Mouvement oscillatoire amorti

On définit aussi la pseudo-période du mouvement comme suit :

22

0

22

a

aT

(3.16)

Cette appellation de pseudo-période vient du fait que le système, lors de son

mouvement, ne revient pas à sa position initiale, à cause des effets d’amortissement

qui font perdre au système de l’énergie, l’empêchant ainsi à terminer so cycle.

On définit le décrément logarithmique qui représente la décroissance de l’amplitude

après une seule pseudo-période du système comme suit:

TTtq

tq

)(

)(ln

(3.17)

3.3 Aspects énergétiques:

Un système mécnique soumis à des forces de frottement voit sont énergie totale

diminuer au cous du temps. Cela est dû au travail fait par ces mêmes forces de

frottement. Prenons le cas d’un oscillateur mécanique pour lequel l’équation du

mouvement s’écrit comme suit (en terme de déplacement x ):

xkxxm .

(3.18)


PAGE 83

On multiplie les deux membres de l’équation, on obtient :

2.

xxkxxxm (3.19)

ou encore

dtxkxdxxdxm 2.

(3.20)

Ce qui peut se mettre sous la forme suivante :

dtxkxxmd

TE

222

2

1

2

1

(3.21)

où TE est l’énergie totale du système. Ce résultat montre que, contrairement au cas

d’un système libre où l’énergie totale était constante, la variation de l’énergie totale

dans le temps n’est plus nulle. En fait, le signe moins dans le second membre dans

l’équation ci-dessus indique la diminution de l’énergie totale.

Finalement on obtient :

0)( 2 x

dt

tdET

(3.22)

D’autre part le travail des forces du frottement se calcule comme suit :

dxxrdfW frfr

(3.23)

où encore

dtxW fr

2 (3.24)

Cela indique que la variation dans le temps de l’énergie totale est égale à la puissance

dissipée par la présence de forces de frottement.

3.5 Système électrique équivalent:

Soit un circuit oscillant RLC en série représenté sur la figure 3.5 comme suit :

Figure 3.5: Circuit oscillant R.L.C


PAGE 84

L‘application des lois de Kirchhoff donne l’équation suivante:

0)()(1)(

tRidttiCdt

tdiL

ap

ind

(3.24)

Sachant que le courant i(t) pendant un temps dt apporte une charge telle que :

dt

tdqti

)()(

(3.25)


0)(

)()( ap

indC

tqtqRtqL

(3.26)


oscillatoire amorti représenté comme suit:

0)()()(0)(

)()( txm

ktx

mtx

CL

tqtq

L

Rtq

apindind

(3.27)

Pour des oscillations faibles, la solution générale de l’équation s’écrit alors:

)cos()( tAetq t

(3.28)

En constatant la similitude entre les équations différentielles gouvernant un système

mécanique d’une part et le système électrique d’autre part, on peut faire les analogies

électromécaniques suivantes:

Ret

kc

txtq

mL

ap

ind

1

)()( (3.29)

L’effet critique est caractérisé par :

ap

indcr

C

LR (3.30)


PAGE 85


L’oscillation amortie est régie par

0)()(2)( 2

0 tqtqtq

Il existe 3 types de solutions :

Cas où le système est fortement amorti : 0

2

0

2

2,1

2121)(

r

eAeAtqtrtr

Cas où l’amortissement est critique : 0

rrr

eAtAtqtr

21

21 )()(

Cas où l’amortissement est faible : 0

22

0)cos()( avectAetq t

On définit le décrément logarithmique qui représente la décroissance

de l’amplitude à une seule période du système comme suit:

TTtq

tqLn

)(

)(

Il faut signaler que le système subit une perte d’énergie totale due au

travail des forces de frottements.


PAGE 86

Applications

Problème 1:


PAGE 87

On définit un oscillateur amorti régi par l’équation différentielle suivante :

0kxxxm.

Avec m est la masse du corps, k est le coefficient de rappel et x est le déplacement du

corps. On lance le système avec une vitesse initiale v0=25cm/s.

Donc on a : t=0, x=0 et 0vx

Calculer la période propre du système,

Sachant que : m=150g et k=3.8N/m.

Montrer que si α=0.6kg/s, le corps a un mouvement oscillatoire amorti.

Résoudre dans ce cas l’équation différentielle.

Calculer le pseudo-période du mouvement.

Calculer le temps mt au bout duquel la première amplitude mx est atteinte. En

déduire mx .

Calculer la vitesse d’une pseudo-période.

Solution:

L’équation du mouvement amorti est de forme :

20

20

..

m

ket

m2avec0xx2x0kxxxm

La période propre du système est T0:

s25.1

m

k

2T

s/rad5m

k

O

0

L’équation différentielle du mouvement se transforme en :

21

Avec

021'

0r2r

220

20

2'

20

2

Le corps m a un mouvement oscillatoire amorti.

La résolution de cette équation différentielle est de forme :


PAGE 88

)tcos(Ae)t(x t

En appliquant les conditions initiales :

20cos0x,0t

2avec

vAvx,0t 0

0

La solution finale sera exprimée comme suit :

tsinev

)t(x)tcos(Ae)t(x t0t

La figure 6.3 représente le mouvement oscillatoire amorti.


La pseudo-période se calcule comme suit :

s37.12

T

Le temps de la première amplitude mt

Il faut que :

Arctg

t0dt

)t(dx)tt(x mttm m

D’où :

4

Ts25.0tm

Problème 2 :


PAGE 89

On donne l'équation du mouvement d'un système amorti (une masse m attachée

verticalement à un ressort de raideur k avec un coefficient d'amortissement de type

visqueux, ) sous la forme:

tjtjt aa eBeAetx

~~~

A~

et B~

étant deux constantes complexes, et a la nouvelle pulsation du système et

m2

.

1- Quelle est la nature du mouvement du système?

2- Écrire l'équation différentielle du mouvement du système.

3- En déduire l'expression de la pseudo-période d'oscillation du système.

4- Écrire A~

et B~

en fonction des conditions initiales (déplacement 00 xx et

vitesse 00 vv ).

5-En déduire la partie réelle de tx~ . Que représente-t-elle physiquement?

Solution :

1-Le mouvement est oscillatoire car la solution proposée contient un terme qui

représente une oscillation, à savoir tj ae et amorti car contenant le terme

te

2- L’équation différentielle du mouvement d'une masse attachée à un ressort en

présence de forces de frottement de type visqueux xF f est donnée par:

xkxxm .

En divisant les deux membres de l'équation par m, l'équation différentielle

devient:

022

0

.

xxx

avec

m

ket

m2 2

0

L'équation du mouvement du système en notation complexe s'écrit sous la

forme:

tjtjt aa eBeAetx

~~~

En remplaçant dans l'équation ci-dessus, on trouve


PAGE 90

0~~

0~ BAx et 0

~~~~0~ vBAjBAx a

Après un calcul simple, on trouve :

aj

xvxA

22

~ 000 et

aj

xvxB

22

~ 000

et la solution générale s'écrit:

t

xvtxetx a

a

a

t

sin

~~cos~~ 00

0

Remarquons que toute quantité physique mesurable, par exemple un

déplacement ou une vitesse, est une quantité réelle; d'où l'équation du

mouvement du mobile est la partie réelle de tx~ :

t

xvtxetxtx a

a

a

t

sincos)(~Re 00

0

qui peut encore s'écrire comme:

tCetx a

t cos

avec

2

002

0

a

xvxC

et

ax

xvtg

0

00

C'est le mouvement périodique amorti avec une nouvelle pulsation a .

L'amortissement est assez faible pour que des oscillations autour de la position

d'équilibre aient lieu. Mais l'amplitude des oscillations diminue au cours du

temps pour tendre vers zéro quand t est grand. Le mobile finit toujours par

revenir à sa position d'équilibre.

Problème 3 :


PAGE 91

Soient les systèmes mécaniques représentés dans les figures 7.3 et 8.3 comme suit :

figure 3.7: Mouvement oscillatoire amorti

en rotation

Figure 3.8: Mouvement oscillatoire

amorti en translation

Pour des petites oscillations, déterminer pour chaque système :

Le Lagrangien


La pulsation propre

La solution générale pour un faible amortissement.

Solution:

Le Lagrangien :


222

2

1

2

1mlmvEc

Et l’énergie Potentielle:

2

lsin

2

lxaveccosmglkx

2

12E 2

p

Le Lagrangien s’écrit sous la forme :


PAGE 92

cos)2

(2

1),( 222 mgl

lkmlEEL pc

Après calcul, l’équation différentielle est donnée par:

0ml

mgl)2

l(k2

mM

L)

L(

dt

d2

2

ext

D’où :

2

2

2

0

2

0

)2

(2

,2

02

ml

mgll

k

m

Avec

La solution générale est dans le cas d’un faible amortissement de la forme:

)tcos(Ae)t( t

Le Lagrangien :

L’énergie cinétique on a:

22c xm

2

1mv

2

1E

L’énergie Potentielle s’écrit :

22p )x(k

2

1kx

2

1E


22

2

1),( kxxmEExxL pc

Après calcul, on obtient l’équation différentielle du mouvement comme suit :

0xm

k2x

mxF

L)

L(

dt

dext

D’où

m

k2,

m2

0xx2x

Avec20

20

La solution générale pour un faible amortissement est de la forme :

)tcos(Ae)t(x t

Problème 4 :


PAGE 93

On considère un système mécanique amorti oscillant autour d’un axe passant par O

représenté par une tige métallique de longueur l de masse négligeable reliée par un

ressort de constante de raideur k au point l/2 comme le montre la figure 3.9:

Figure 3.9 : Mouvement oscillatoire amorti

A l‘équilibre la barre est horizontale. Dans le cas des petites oscillations :


Déterminer l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre du système.

Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle du

mouvement avec les conditions initiales suivantes :

0)0t(,0)0t(

Solution:

Le Lagrangien :

Le système a un seul degré de liberté représenté par θ


222

2

1

2

1mlmvEc


2

lsin

2

lxaveckx

2

1E 2

p

Le Lagrangien s’écrit :


PAGE 94

222 )2

(2

1

2

1),(

lkmlEEL pc

L’équation différentielle est :

0ml

4

lk

mM

L)

L(

dt

d2

2

ext

D’où :

2

2

2

0

2

0

4,2

02

ml

lk

m

Pour un faible amortissement la solution s’écrit sous la forme :

)cos()( tAet t

Avec les conditions initiales, on a

0

0

A,2

,0,0t

avec

Alors, la solution générale s’écrit :

tet t

sin)( 0

Problème 5:

Soit une boule de masse m suspendue à une tige de longueur l, de masse négligeable et

plongée dans un liquide. Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse

dont le coefficient de frottement est , comme le montre la figure (3.10).


Déterminer l’équation du mouvement.

Résoudre dans le cas de faible amortissement l’équation différentielle.


PAGE 95

Figure 3.10: Mouvement oscillatoire amorti du pendule


Sachant on a: m=1Kg, l=50cm, g=10m/s. Calculer la valeur maximale que

ne doit pas atteindre pour que le système oscille.

On prend la valeur de égale à 10N.s/m :

Calculer le temps nécessaire τ pour que l’amplitude diminue à ¼ de sa valeur.

Solution:


Le système est à un seul degré de liberté représenté par θ(t)

L’énergie cinétique s’exprime :

22

2

1mlEc


cosmglE p

D’où le Lagrangien s’écrit comme suit :

cos2

1),( 22 mglmlEEL pc

L’équation différentielle s’écrit comme suit:

l

g

m

Avec

2

0

2

0

,2

02


PAGE 96


)cos()( tAet t

La valeur maximale de max :

m/s.N94.8l

gm20 max

2

0

2

Le temps τ :

s28.04ln

e4

1Ae t)t(

Problème 6:

L'oscillateur, représenté sur la figure (3.11), est constitué d'une masse m attachée à

deux ressorts de constante de raideur 2

k. La masse se déplace sur un plan horizontal

sur lequel la force de frottement fR n'est pas négligeable.

A l'instant st 0 la masse est déplacée d'une distance 0X puis abandonnée sans

vitesse initiale.

1- Écrire l'équation différentielle du mouvement du système.

2- En déduire la solution générale du mouvement.

3- Tracer la courbe représentant la distance parcourue par la masse en fonction du

temps.

4- Que peut-on conclure?



PAGE 97

Solution:

1- L'équation du mouvement du système s'écrit:

fRkxxm

avec 1 si la masse se déplace dans le sens positif des x, et 1 dans le

cas contraire.

En introduisant m

k2

0 , on aura:

m

Rxx

f 2

0

2- La solution générale s'obtient en ajoutant à la solution de l'équation sans

second membre (solution homogène):

tAtxh 0cos

la solution particulière Cx p (car le second membre est constant). En

remplaçant dans l'équation générale on trouve:

k

Rx

f

p

La solution générale s'écrit donc:

tAtx 0cos

A et seront définies par les conditions initiales.

3- A l'instant 0t la masse est déplacée d'une longueur 0X puis abandonnée

sans vitesse initiale.

1ère partie du mouvement : 2

0T

t

La masse m se déplace dans le sens négatif des x: 1 , et l'équation du

mouvement s'écrit:

tAtx 0cos

Avec les conditions initiales 000 XAx et 00 x on a:

tXtx 00 cos

et

tXtx 000 sin


PAGE 98

qui s'annule à 2

Tt , où

0

2

T .

A l'instant 4

Tt l'élongation tx est égale à , alors que dans le cas de

l'oscillateur non amorti on avait mx 0 .

A la fin de cette première partie 2

Tt : 201 XXtx . L'amplitude a

diminué de 2 .

2ème partie du mouvement : TtT

2

La masse se déplace à présent dans le sens positif, donc 1 , et l'équation du

mouvement s'écrit:

tAtx 0cos

Avec les conditions initiales 22

0

X

Tx et 0

2

Tx on a:

tXtx 00 cos3

Et

tXtx 000 sin3

qui s'annule à Tt .

A l'instant Tt l'élongation 401 XATx .

Au bout d'une pseudo-période, l'amplitude a donc diminué de 4 , et ça sera le

cas pour chaque pseudo-période.

La courbe qui représente le mouvement est formé d'arcs de sinusoïdales dont les

sommets 0A , 1A , 2A ,... se placent respectivement sur une droite.

Le système s'arrête lorsque la force de rappel devient plus faible que la force de

frottement, c’est à dire: fp RkX .


PAGE 99

On peut remarquer que, contrairement au cas d'un frottement de type visqueux

où l'enveloppe de décroissance des amplitudes était exponentielle, la

décroissance des amplitudes est dans ce cas linéaire. Aussi, la masse ne change

pas de pulsation par rapport au cas libre.


Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté

PAGE 100

Chapitre 4 :

Mouvement Oscillatoire forcé

d’un système mécanique à un degré de

liberté


PAGE 101

4.1 Définitions:

Les vibrations mécaniques sont à l’origine d’une grande partie des problèmes

industriels. Ces vibrations sont symbolisées par un ensemble d’oscillateurs constitués

de masse, de ressorts et d’amortisseurs. Une oscillation forcée concerne tout système

en mouvement sous l’action d’une force extérieure. Pour un système mécanique le

modèle physique est représenté sur la figure (4.1).

Figure 4.1: Schéma d’un mouvement forcé

L’équation de mouvement du système ci-dessus est donnée par :

)()()()( tFtxtkxtxm (4.1)

où )(tkxFr est la force de rappel du ressort, )(txF fr la force de frottement et

tF

force extérieure appliquée au système, respectivement. L’équation différentielle

ci-dessus devient :

m

tFtxtxtx

)()()(2)( 2

0

(4.2)

Avec

m

ket

m 2

02

Ceci est une équation différentielle linéaire du second ordre non homogène à équation

à coefficients constants

.


PAGE 102

4.2 Cas d’une force extérieure constante :

A l'instant 0t l'oscillateur mécanique est soumis à une force constante F constante.

La masse initialement au repos en 0x et sans vitesse initiale se déplace sous l'action

de la force F . L'équation différentielle du mouvement du système s'écrit donc:

m

Ftxtxtx )()(2)( 2

0 (4.3)

La solution de cette équation est composée de deux termes: une solution sans second

membre (homogène) )(txh que nous avons déjà obtenue, et une solution particulière

)(tx p

qui a la même forme que le second membre de l'équation différentielle, c'est à

dire une constante :

)()()( txtxtx pg (4.4)

La solution particulière s'obtient en remplaçant une constante )(tx p $x_p$ dans

l'équation différentielle ci-dessus, ce qui donne:

k

Fx

m

Fx pp 2

0

La solution générale s'écrit donc:

k

Ftxtx g )()( (4.5)

La solution sans second membre prend trois formes selon le degré d’amortissement

appliqué sur le système :

4.2.1Cas d’un amortissment faible ( 0 )

La solution de l’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

k

FtCetx a

t )cos()( (4.6)

En utilisant les conditions initiales suivantes :

0)0( x

et

0)0( x

On obtient

)cos(11)(

2

2

textx a

t

a

p (4.7)


PAGE 103

avec

a

tg

(4.8)

Le premier terme de la solution tend vers zéro et peut être considéré comme nul après

un temps donné, et donc la solution générale elle-même tend vers k

F.

4.2.2 Cas d’un amortissment critique ( 0 ) :

L'équation de mouvement s'écrit

k

FeBtAtx t )()(

(4.9)

En appliquant les conditions initiales 0)0( x

et

0)0( x , on trouve:

t

p etxtx )1(1)(

(4.10)

où la masse, sans oscillation et après un temps donné, s’immobilise à la position px .

4.2.3 Cas d’un amortissment fort ( 0 ) :

La solution de l’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

k

FBeAeetx ttt )( (4.11)

avec 2

0

2

En utilisant les conditions initiales suivantes : 0)0( x

et

0)0( x

, on obtient

)cos(11)(

2

2

textx a

t

a

p (4.12)

avec

a

tg

(4.13)

Le premier terme de la solution tend vers zéro et peut être considéré comme nul après

un temps donné, et donc la solution générale elle-même tend vers k

F.


PAGE 104

Figure 4.2: Superposition du régime transitoire et du régime permanent

4.3 Cas d’une force extérieure sinusoïdale:

Dans le cas où l’excitation est sinusoïdale de type :

tFtF cos)( 0

(4.14)

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

tm

Ftxtxtx cos)()(2)( 02

0 (4.15)

La solution générale de l’équation différentielle est donnée par :

txtxtx psssm )()(

(4.16)

où )(txsssm est la solution sans second membre, déjà obtenue dans le cas d’un système

amorti, alors que txp est la solution particulière qui a la même forme que le second

membre de l’équation différentielle ci-dessus. Dans le cas d’un faible amortissement,

la solution sans second membre a la forme générale suivante

tCetx a

t

sssm cos)(

(4.17)

Alors que la solution particulière est donnée par :

tAtx p cos)(

(4.18)


PAGE 105

où A est l’amplitude du mouvement de la masse en réponse à la force extérieure et

le déphasage de la masse par rapport à la force extérieure.

Ces deux constantes ne peuvent être simplement obtenues par les conditions initiales.

représente l’amplitude de la solution totale et le déphasage. Finalement la solution

générale se met sous la forme :

tAtCetx a

t coscos)(

(4.19)

Selon cette expression, la masse exécute un mouvement complexe (qui n’est pas

harmonique simple) avec deux pulsations : a et . Remarquons aussi que la solution

sans second membre s’annule au bout d’un certain temps à cause de la présence du

terme exponentiel. Avant que cela se passe, le système est dit dans le régime

transitoire. Une fois cette solution s’annule, le mouvement de la masse devient

sinusoïdal simple avec une amplitude constante A , avec la même pulsation sque la

force extérieure mais avec un déphasage . Le système est donc dans le régime

permanent. Cette situation est indiquée sur la figure 5.2.

Pour obtenir les expressions de A et il serait utile de passer à la notation complexe

de la solution proposée pour le régime permanent, à savoir :

tj

p eAtx ~

)(~

(4.20)

oùAeA

~, en supposant que le système est soumis à une force extérieure a la forme

complexe suivante

tjeFtF 0 (4.21)

En remplaçant cette solution dans l’équation différentielle suivante :

tjem

Ftxtxtx 02

0 )(~)(~

2)(~

(4.22)

on obtient

m

FAj 02

0

2 ~2

(4.23)

L’amplitude s’écrit donc sous la forme :

jm

FeAA j

2

1~2

0

2

0

(4.24)


PAGE 106

dont le module a l’expression:

2222

0

2

0

4)(

1

m

FA

(4.25)

avec

2

0

2

2

arctg (4.26)

La solution en régime permanent s’écrit donc comme suit : tjAetx )(~

(4.27)

Mais la solution réelle qui correspond à un système mécanique soumis à une force

réelle est donnée par

tAtxtx cos)(~Re

(4.28)

4.3.1 Etude de l’amplitude en fonction de

:

L’amplitude

A

est maximale quand son dénominateur, ou plus encore son carré est

minimum.

Étudions donc la fonction

2222

0

2 4)( h (4.29)

La variation de la fonction ci-dessus:

08)(4)( 22

0

2

d

dh (4.30)

On obtient ainsi deux solutions:

22

002

01

2

0

r (4.31)

Ce sont là les extremums de la fonction h(Ω). Le signe de la deuxième dérivée

détermine le maximum et le minimum de cette même fonction, en l’occurence:

)2(41288)(4)( 22

0

2222

0

22

d

hd

Pour la première pulsation 01

on a :

0

01

2

2

d

hd (4.32)


PAGE 107

La pulsation 01

présente donc un minimum pour l’amplitude

A

Pour la deuxième pulsation 02

on a :

0

02

2

2

d

hd (4.33)

La pulsation 02

présente donc un maximum pour l’amplitude

A

Donc pour la pulsation r 02

, la réponse du système est maximale. Ce

phénomène est appelé la résonnance. Il est utile de noter qu’au voisinage de r

on

peut avoir de très grandes oscillations qui peuvent détériorer le système.

A la fréquence de résonnance l’amplitude est donnée par:

22

0

0

2222

0

2

0max

4)(

1)(

F

m

FAA

rr

r

(4.34)

Pour de très faibles amortissements (0

), l’amplitude maximale est égale à :

0

0max

FA (4.35)

La figure 4.3 illustre la variation du rapport de l’amplitude en fonction du rapport de la

fréquence pour différentes valeurs de ξ.

On définit le déplacement efficace comme suit:

2)(

1 max

0

2 Axdttx

Tx

eff

T

eff

(4.36)

Lorsque la fréquence des oscillations amorties est égale à la fréquence des oscillations

forcées on assiste à des phénomènes de résonance.

La figure (4.4) représente la variation la phase en fonction du rapport de la fréquence

pour différents valeurs de ξ .


PAGE 108

Figure 4.3 : L’amplitude du mouvement du système soumis à une force extérieure

4.3.1.a Dangers de la résonance :

Par l'accroissement considérable de l'amplitude des vitesses du résonateur, la

résonance présente de graves inconvénients; en voici quelques exemples:

- les irrégularités de la route produisent secousses sur une voiture, à des

intervalles concordant avec l'une de ses périodes d'oscillation propre sur ses

ressorts d'où risques de rupture.

- Rupture d'arbres de machines: une machine mal équilibrée peut, en rotation,

fonctionner comme système excitateur.

- Une pièce de machine ne doit pas vibrer à une fréquence trop proche de sa

fréquence de résonance (sinon il peut y avoir rupture).


PAGE 109

- L'effondrement du pont suspendu Tacome: un vent violent crée un ensemble

complexe de forces qui engendrent des oscillations de torsion de fréquence

correspondant à la fréquence de résonance du pont.

- Rupture du pont d'Angers en 1852 sous l'action d'une troupe au pas cadencé.

4.3.2 Étude de la phase en fonction de

:

En régime permanent l'oscillation présente une différence de phase

par rapport à

la force excitatrice

tF .En effet ,

2

0

2

2

tg (4.37)

En dérivant l’équation ci-dessus, on obtient

22

0

2

2

0

2

22

0

2

2

0

2 2222

d

dtg (4.38)

Mais on a aussi

d

d

d

dtg

d

dtg

(4.39)

ou encore

22

0

2

2222

0

2

2

0

2

222

0

2

2

0

2

41

12

1

12

tg

d

dtgd

dtg

d

d (4.40)

Sur la figure (4.4), on trace la variation de la phase

opour différentes valeurs

d’amortissement. On doit noter qu’à faibles pulsations extérieures la réponse est

presque en phase avec la force extérieure, alors qu’elle augmente lorsque la pulsation

augmente jusqu’à atteindre sa valeur maximale

.


PAGE 110

Figure 4.4 : La phase de la réponse par rapport à la force extérieure.

4.4 Bande passante:

On définit la largeur de la bande passante comme suit:

12

(4.41)

où Ω1 Ω2 sont des pulsations correpondantes à une amplitude égale à:

2

)(max rA

Le facteur de qualité Q pour un faible amortissement est donné par:

12

rQ

(4.42)


PAGE 111

4.5 Cas d’une force extérieure périodique non-sinusoidale:

Dans le cas d’une excitation F(t) quelconque mais périodique de période T, il est très

utile d’utiliser le théorème de Fourier qui permet d’écrire toute fonction périodique

satisfaisant à certaine conditions analytiques (pratiquement toujours réalisées en

physique) sous la forme d’une série trigonométrique (ou série de Fourier) dont les

termes ont des fréquences multiples de la fréquence de la fonction donnée, à savoir :

1

0 sincos2

)(n

nn tnbtnaa

tF (4.43)

où T

2

et les coefficients a0, an et bn sont déterminés comme suit :

T

T

n

T

n

T

tdttFT

b

et

tdtntFT

a

dttFT

a

sin)(2

cos)(2

)(1

0

,

0

0,

(4.44)

Si la fonction étudiée

)(tF

n'est pas périodique, car, par exemple, définie juste sur un

intervalle, on peut construire une fonction périodique

)(tf

(faire un prolongement)

définie dans l'intervalle

,

, et qui contient la partie repésentant

)(tF

.

La deuxième étape dans notre étude de la réponse d’un système mécanique (électrique)

linéaire à une excitation non sinusoidale mais périodique est de faire recours au

principe de supersposition qui consiste à faire en sorte que la réponse d’un système

linéaire à une somme d’excitations extérieures soit la somme des réponses du même

système à chacune des excitations décomposant la force extérieure.


PAGE 112

4.6 Énergies mises en jeu :

L'excitateur lors d'un déplacement

dx

fournit au système (masse+ressort) l'énergie:

dtdt

dxtFdxtFdW )().(

(4.45)

où

)().()( txtFtP

est la puissance instantanée en régime permanent qui s'écrit :

)sin()cos()( 0 tAtFtP (4.46)

On calcule la moyenne temporelle de la puissance de la manière suivante :

sin2

)sin()cos()(1

)( 0

0

0

0

AFdttt

T

AFdttP

TtP

TT

(4.47)

avec

2T

D’autre part, on sait que

21sin

tg

tg

et

2

0

2

2

tg

Ce qui nous amène à écrire

2222

0

2

22

00

4sin

2)(

m

FAFtP

(4.48)

On peut montrer que la puissance moyenne fournie par l'excitateur (ou puissance à

l'entrée) est égale à la puissance perdue par frottement moyenne dans le temps. Pour

cela on utilise à l'équation différentielle du système amorti forcé:

)cos()()()( 0 tFtkxtxtxm (4.49)


PAGE 113

multiplions les deux membres de l'équation par

)(tx :

)()cos()()()()()()( 0 txtFtxtxktxtxtxtxm (4.50)

qui peut être écrite sous la forme:

)()()cos()(2

1)(

2

1 2

0

22 txtxtFtkxtxmdt

d

(4.51)

où

)(2

1)(

2

1 22 tkxtxmET

est l'énergie totale du système (l'énergie emmagasinée dans le système), pouvant

s’écrire sous une forme plus explicite :

)(cos2

1)(sin

2

1 22222 tkAtAmET

(4.52)

L’énergie totale n’est pas instantanément conservée.

Prenons la moyenne sur une période T de l'équation ci-dessus :

dttxtxtFT

dtdt

dE

T

TT

T

0

2

0

0

)()()cos(11

(4.53)

Le premier membre de l’équation ci-dessus s’écrit

0)0()(1

0

TT

T

T ETEdtdt

dE

T (4.54)

D’autre par

dttAttAFT

dttxtxtFT

TT

0

222

0

0

2

0 )(sin)sin()cos(1

)()()cos(1

Le premier terme du second membre de l'équation ci-dessus représente la puissance

moyenne fournie par l'excitateur, déjà calculée. Le second terme représente la

puissance moyenne dissipée par le frottement. Le calcul mathématique nous permet de

de vérifier que le second memebre est nul.


PAGE 114

Donc la puissance moyenne fournie par l'excitateur est égale à la puissance

moyenne dissipée par frottement. Alors que la puissance instantanée fournie par

l'excitateur est différente de la puissance instantanée dissipée par frottement :

l'énergie stockée par l'oscillateur n'est pas constante au cours du temps mais en faisant

sa moyenne sur une période T on trouve qu'elle est constante.


Les deux systèmes d’oscillation :mécanique (masse+ ressort avec une force de

frottement de type visqueux et soumis à une force extérieure sinusoidale) et électrique

(RLC en série soumis à une tension sinusoidale) sont régis par deux équations

différentilles de même nature (équation différentielle linéaire non homogène à

coefficients constants). Cette similitude nous permet d’établir une analogie entre les

éléments du système mécanique et celui du système électrique.

En effet, on considère le circuit oscillant R.L.C alimenté par une source de tension

sinusoïdale U(t) telle que :

tieUtU 0)(

(4.55)

La figure 4.5 illustre le schéma du circuit oscillant R.L.C en série alimenté par une

source de tension extérieure U(t).

Figure 4.5 : Circuit oscillant R.L.C alimenté par une source de tension

extérieure

Le bilan des tensions s’écrit :

)()()(1)(

tUtRidttiCdt

tdiL

ap

ind

(4.56)


PAGE 115

Sachant que le courant i(t) pendant un temps dt apporte une charge telle que :

dt

tdqti

)()(


)()(

)()( tUC

tqtqRtqL

(4.57)


oscillatoire forcé, à savoir:

m

tFtx

m

ktx

mtx

L

tU

LC

tqtq

L

Rtq

)()()()(

)()()()(

On peut conclure que l’analogie entre le système mécanique et le système électrique

est de la forme suivante:

)()(1

)()(tFtU

Ret

kc

txtq

mL

ap

ind

4.8 Effet POGO

L'effet POGO est, en mécanique des structures, un phénomène oscillatoire

longitudinal instable qui peut se produire dans les étages à ergols liquides d'un lanceur

générant des chocs pouvant détruire le lanceur ou sa charge. Cet effet est provoqué par

des fluctuations de poussée du moteur qui engendrent des vibrations de structure et des

colonnes du carburant liquide qui, à leur tour, se répercutent sur l'alimentation du

moteur. Lorsque ce cycle de perturbations entre en résonance, les oscillations

augmentent et peuvent détruire les structures. Le nom provient du jeu appelé Pogo

stick. Cet effet a été à l’origine de la destruction de plusieurs fusées et satellites,

http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_des_structures

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ergol

http://fr.wikipedia.org/wiki/Lanceur_%28astronautique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Vibration

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9sonance

http://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A2ton_sauteur

http://fr.wikipedia.org/wiki/B%C3%A2ton_sauteur


PAGE 116

Figure 6.4 : Le jouet POGO-Stick

Figure 7.4 : Mécanisme rencontré dans un réservoir de liquide

Soumis à des vibrations

Considérons le système mécanique suivant :

00 )0()0(

)()()(

vxetxx

tFtkxtxm

Sachant que F(t) représente l’excitation permanente et (x0 ; v0) représentent les

conditions initiales en position et en vitesse.

Pour une excitation permanente de forme sinusoïdale, on a :

tFtF sin)( 0


PAGE 117

La solution de l’équation différentielle est de la forme:

tm

F

tx

sin)(2

0

2

0

On remarque que la solution prend une valeur infinie lorsque Ω=ω0 d’où l’apparition

du phénomène de résonance de POGO.

Figure 8.4 : Evolution temporelle de x(t)

On peut citer un autre exemple du phénomène de résonnance. Il s’agit d’un ventilateur

accroché au plafond d’une pièce tournant à une vitesse de rotation ω0. Il apparaitra

dans ce cas le phénomène de résonance si le mode propre des vibrations du plafond est

très proche de la pulsation ω0 et se traduira par un bruit désagréable.


PAGE 118

4.9 Système électrodynamique: le haut-parleur

Le haut-parleur est constitué d'une membrane qui, en vibrant, fait osciller les

molécules d'air. C'est ainsi que le son est créé, se propage jusqu'à l'oreille et fait vibrer

le tympan. Le coeur du haut parleur est constitué d'un aimant qui crée un champ

magnétique et d'une bobine de fil conducteur électrique. Ainsi lorsque le courant passe

dans la bobine celle-ci bouge et fait bouger la membrane du haut parleur.

Ainsi, si on branche le haut-parleur à une source d'énergie électrique, on observe un

déplacement de la membrane sous l'action de la force (dite Force de Laplace). Cette

force résulte de l'action du champ magnétique sur le courant électrique qui traverse la

bobine.

Figure 4.9 :Schéma d’un haut parleur

Dans la réalité c'est un courant alternatif qui est utilisé pour faire osciller la membrane

et créer le son.

Le haut parleur est un dispositif électro-mécanique qui transforme un signal électrique

en une vibration mécanique (vibration sonore). Il est appelé transducteur

électromagnétique qui transforme une énergie mécanique en une énergie électrique ou

inversement.


PAGE 119

Le système comporte une bobine de masse , d'inductance propre , susceptible de se

translater le long d'un axe . La bobine est insérée dans un circuit électrique (courant

électrique i )pouvant comporter un générateur de tension de valeur et une

résistance R (incluant la résistance de la bobine). D'un point de vue mécanique, la

bobine, placée dans un champ d'induction magnétique radial B

, est reliée à la

membrane du haut parleur. Elle subit de ce fait :

- une force motrice: BilFm où l est la longueur du fil électrique.

- une force de rappel: kxFr exercée par la membrane.

- une force de freinage: xF f .

Le champ magnétique stationnaire uniforme créé dans l'entrefer d'un aimant annulaire

possédant une symétrie de révolution autour de l'axe z : le champ créé est de la forme

ruBB

Figure 4.9 : Champ magnétique dans la bobine

Quand la bobine est alimentée par )(tE , le courant qui y circule lui fait subir une force

de Laplace et la bobine se déplace engendrant alors un mouvement de la membrane, «

excitée » par la seule bobine, et qui émet alors des ondes sonores: c'est le

fonctionnement en haut-parleur. Inversement, en l'absence de générateur, une force

exercée sur la membrane provoque le déplacement de la bobine et la création d'un

courant par induction: c'est le fonctionnement en microphone.


PAGE 120

La bobine subit une force de Laplace donnée par:

zrL uilBuuidlBBldiF

(4.58)

La longueur l représente la longueur totale du fil bobiné, soit aNl 2 , si la bobine

comporte N spires de rayon a .

L'équation du mouvement de la partie mobile de masse $m$ est donc:

Bilkzzzm

soit

Bilvdtkzzm (4.59)

où v est la vitesse de la bobine.

D'autre part, la bobine est le siège d'une (f.e.m) donnée par:

vBluuuvBdludluBuvldBvebobine

rz

bobine

rz

bobine

i

.

(4.60)

La loi d'Ohm permet d'écrire:

Ridt

diLeU i

(4.61)

U est la différence de potentiel aux bornes de la bobine et ie la force électromotrice

induite (f.e.m) par le déplacement d'un fil conducteur (bobine) dans un champ

magnétique.

On peut voir la chose de la manière suivante: le flux coupé par un élément de longueur

dl du fil au cours d'un déplacement dz de la partie mobile est Bdldz et le flux total:

Bldzd (4.62)

Il en résulte une (f.e.m) induite:

Blvdt

dei

(4.63)

L'équation de la somme des tensions dans le circuit fermé s'écrit donc:

Ridt

diLBlvU


PAGE 121

Soit

Ridt

diLBlvU

(4.64)

Les deux équations ci-dessus couplent les variables v et i du problème.

Si la d.d.p (différence de potentiel) est une fonction sinusoïdale du temps:

tjeUtU 20 (4.65)

le courant s’écrit

tjtj eIeIti 22 0

)(

0

(4.66)

et la vitesse de la bobine:

tjtj eVeVtv 22 0

)(

0

(4.67)

En remplaçant v et i par leurs valeurs on obtient:

00 IBlVm

kjjm

(4.68)

La représentation complexe a permis de mettre en évidence l'impédance mécanique:

m

kmjZ m

(4.69)

On peut alors écrire:

mZ

IBlV 0

0

(4.70)

L'équation ci-dessus devient:

IRjLZ

IlBU

m

22

(4.71)

RjLZ est l'impédance électrique de la bobine. D'où

IZZ

lBU

m

22

(4.72)


PAGE 122

Notons que m

motZ

lBZ

22 a les dimensions d'une impédance électrique; c'est

l'impédance motionnelle. On peut écrire

IZU e (4.73)

eZ est l'impédance d'entrée du haut parleur, égale à jLZ

lBR

m

22

ou encore

jL

m

kmj

lBRZ e

22

(4.74)

Nous pouvons alors définir une « efficacité » du haut-parleur comme le quotient:

emZZ

Bl

U

V

(4.75)

Cette efficacité dépend de la fréquence, ce qui indique que le haut -parleur ne restitue

pas toutes les fréquences (donc tous les sons) de la même façon.


PAGE 123


L’oscillation forcée est régie par l’équation différentielle :

)()()(2)( 2

0 thtptptp

Il existe deux régimes :

Le régime transitoire :

La solution totale du système est :

)t(p)t(p)t(p pg

Où )t(pg et )t(p p représentent respectivement la solution générale la solution

particulière

Le régime permanent caractérisé par le phénomène :

« La résonance »

la solution du système est de la forme :

)()( tptp p

Il faut signaler que la force extérieure absorbe les pertes du

système due aux forces de frottements.


PAGE 124

Travail pratique

Système amorti forcé : pendule de Pohl

Mots clés :

Fréquence angulaire, fréquence caractéristique, fréquence de résonance, pendule de

torsion, vibrations de torsion, couple et le couple de rappel, oscillations libres amorties

et non amorties, oscillations forcées, coefficient d'atténuation, décrément,

constante d'amortissement, décrément logarithmique, cas apériodique, cas limite

apériodique.

Principe de l'expérience:

Si on laisse un système oscillant osciller librement, on observe que la diminution des

amplitudes maximales successives est fortement dépendante de l'amortissement. Si le

système oscillant est excité par un couple extérieur périodique, on observe qu'à l'état

d'équilibre l'amplitude dépend de la fréquence et de l'amplitude, du couple extérieur

périodique et de l'amortissement. La fréquence caractéristique des oscillations libres

ainsi que la courbe de résonance des oscillations forcées pour différentes valeurs

d'amortissement seront déterminées.

Liste du matériel:


PAGE 125

Pendule de torsion selon Pohl

Transformateur réglable 25V AC / 20V DC, 12A

Redresseur en pont, 30 V AC / 1 à cc

Multimètre numérique 2010

Chronomètre numérique, 1 / 100 s

Fil de connexion, 32 A, 750 mm, rouge

Fil de connexion, 32 A, 750 mm, bleu

Fil de connexion, 32 A, 250 mm, jaune

Figure 4.9 : montage du pendule de Pohl

Objectifs:

A. Oscillation libre amorties:

1- Déterminer la période d'oscillation et la fréquence caractéristique dans le cas

d'oscillations non amorties.

2- Déterminer la période d'oscillation et la fréquence caractéristique

correspondante pour différentes valeurs d'amortissement. Les amplitudes


PAGE 126

maximales successives et unidirectionnelles seront représentées graphiquement

en fonction du temps. Le coefficient d'atténuation, la constante d'amortissement

et le décrément logarithmique correspondants seront calculés.

3- Réaliser le cas apériodique et le cas limite apériodique.

B. Oscillation forcée:

1- Déterminer et représenter graphiquement les courbes de résonance à l'aide des

valeurs d'amortissement de l’amplitude.

2- Déterminer les fréquences de résonance et les comparer avec les valeurs de la

fréquence de résonance déjà calculées.

3- Observer le déphasage entre le pendule de torsion et le couple extérieur de

stimulation pour une faible valeur d'amortissement, pour autant que, dans un

premier cas, la fréquence de stimulation soit largement inférieure à la fréquence

de résonance et que, dans un autre cas, elle soit largement supérieure.

Montage:

Un pendule de Pohl est constitué d'un:

1- disque en rotation autour de son centre.

2- ressort spiral, qui exerce un couple mécanique qui tend à ramener le disque vers

sa position d'équilibre.

3- pointeur placé sur le disque qui permet de repérer les écarts angulaires.

4- moteur, relié au ressort spiral, qui force les oscillations à une fréquence

ajustable par l'utilisateur.

5- frein électromagnétique, permettant de régler l'effet d'amortissement (par

courants de Foucault).

L'unité d'alimentation en énergie est connectée à un moteur à courant continu. Le frein

à courants de Foucault doit être également connecté à une tension continue. Pour cette

raison, un redresseur est inséré entre la sortie de l'unité d'alimentation et l'entrée du

frein à courants de Foucault. Le courant continu fourni au frein à courants de Foucault,

BI , est indiqué par l'ampèremètre.

Étude théorique:

A. Oscillation libre amortie:


PAGE 127

Le système est modélisé comme un système libre amorti, où un disque de moment

d'inertie zI par rapport à l'axe de rotation passant par son centre subit:

a- un couple mécanique d'un ressort spiral proportionnel à l'angle de rotation .

b- un couple de freinage électromagnétique proportionnel à la vitesse angulaire .

1- Montrer que l'équation différentielle de mouvement du disque s'écrit comme:

0 CDI z

où D est un coefficient de proportionnalité qui dépend du courant alimentant le

freinage du disque et C le coefficient de torsion du ressort.

2- En définissant les quantités suivantes:

- facteur d'amortissement: zI

D

2 .

- pulsation propre du système non amorti: zI

C0

montrer que l'équation de mouvement ci-dessus devient:

02 2

0

3- Quels types de solutions cette équation admet-elle?

4- Montrer que la solution de l'équation ci-dessus s'écrit sous la forme ( 0 ):

tet a

t cos0

avec 22

0 a .

5- Quel sens physique peut-on donner à: a , 0 et .

6- Commenter le comportement du système.

7- Montrer que le rapport entre deux amplitudes consécutives est donné par:

aT

n

n eK

1

où a

aT

2 est la pseudo-période et K . On définit le décrément logarithmique

comme:


PAGE 128

a

n

n TK

1

lnln

B. oscillation forcée:

Le pendule est maintenant soumis à un couple périodique tMtM a cos0 .

1- Montrer que l'équation différentielle du mouvent s'écrit:

tI

M

z

cos2 02

0

2- Montrer qu'en régime permanent la solution de cette équation s'écrit:

tAtp cos

avec

22222

0

0

4

1

zI

MA

et

22

0

2

arctg

Étude expérimentale:

1- Détermination de la fréquence propre du système

Pour déterminer la pulsation propre 0 du pendule de torsion sans amortissement BI ,

le temps pendant une oscillation complète est mesuré à trois reprises pour trois

différentes valeurs d'amplitudes (18 , 14 et 10) et la valeur moyenne de la période 0T

est calculée.

N° MoyT0 MoyT0

sT0

1- Écrire la valeur de la pulsation propre sous la forme: 0 (unité).

2- La valeur mesurée de 0 représente-t-elle la valeur exacte de la pulsation

propre du système? Expliquer.


PAGE 129

3- La valeur de 0 est-elle la même pour les trois amplitudes? Que peut-on

conclure?

2- Oscillation libre amortie :

De la même manière, les fréquences caractéristiques pour les oscillations amorties sont

mesurées en utilisant les intensités suivantes pour le frein à courants de Foucault:

VUAIB 4,25.0

VUAIB 8,55.0

VUAIB 12,90.0

Pour déterminer les valeurs d'amortissement pour les cas mentionnés ci-dessus la

baisse en amplitude (en unité de graduation) est mesurée en déviant à la main le

pointeur du pendule à la valeur 18 tout en prélevant les valeurs des amplitudes

successives de rotation ainsi que les temps de passage jusqu'à ce que le mouvement du

disque s'évanouisse complètement.

Au départ, il faut veiller à ce que le pointeur du pendule au repos coïncide

avec la position zéro de l'échelle. Ceci peut être réalisé en faisant tourner le disque

excentrique du moteur.

1- Pour chaque valeur de l'intensité du courant, compléter le tableau suivant:

temps

t

2- Tracer sur la même feuille millimétrée les amplitudes d'oscillations en fonction

du temps pour chaque valeur d'intensité du courant électrique.

3- Que peut-on dire de la nature du mouvement exécuté par le système?

4- Vérifier si le dispositif à votre disposition peut permettre au disque d'exécuter

un mouvement apériodique.

5- Proposer une méthode graphique qui permet de mesurer la valeur de en se

basant sur les valeurs du tableau ci-dessus.

6- Compléter le tableau suivant:

AIB sTa K 1s a

0.25


PAGE 130

0.55

0.90

3- Oscillation amortie forcée :

Pour l'étude de la réponse du système à une excitation externe, on utilise un moteur à

courant continu qui va fournir un moment de force à une amplitude constante et une

fréquence réglable. La tension U de l'unité d'alimentation en courant continu doit être

réglée au maximum. La fréquence d'excitation est augmentée au moyen d'un

potentiomètre de calibres différents. La tension motU délivrée par le moteur est prise

comme échelle de variation des fréquences du moteur.

\begin{enumerate}

1- Pour les valeurs d'intensité suivantes 40.0,25.0BI ampères, varier les valeurs

des fréquences du moteur et reporter les amplitudes de rotation du disque

dans le tableau suivant:

VU mot

1. srad

2- Vérifier que le disque met du temps avant de passer à un mouvement

harmonique de pulsation égale à celle de la roue du moteur. Qu'appelle-t-on ce

régime?

3- Tracer sur la même feuille millimétrée les amplitudes d'oscillations en fonction

de pour chaque valeur d'intensité BI .

4- Définir pour chaque cas d'amortissement la valeur de pour laquelle

l'amplitude est maximale.

5- Qu'appelle-t-on cette pulsation?

6- Dans le cas d'un amortissement nul, faites exécuter au système un mouvement

forcé à une pulsation égale à la pulsation propre du système. Que peut-on

conclure?


PAGE 131

7- Proposer une méthode pratique pour la mesure du déphasage entre l'excitation

du moteur et la réponse du disque.


PAGE 132

Applications

Problème 1:


PAGE 133

Soit un immeuble A modélisé par le système physique représenté par une masse m et

un ressort de raideur k subit à un mouvement sismique sinusoïdal d’amplitude A de la

forme tAxs cos représenté dans la figure 9.4 comme suit:

Figure 9.4 : Modélisation d’un mouvement sismique

Déterminer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système.

En déduire le Lagrangien du système.

Etablir l’équation différentielle du système

Quelle est dans ce cas la réponse du système. Justifier le résultat.

Solution: Le Lagrangien du système :

L’énergie cinétique s’écrit:

22c xm

2

1mv

2

1E


2sp )xx(k

2

1E


22 )(2

1

2

1),( sxxkxmxxL

L’équation différentielle est de la forme :

tm

Atx

m

ktxF

LL

dt

dext

cos)()()(

D’où :


PAGE 134

m

k

em

ARtxtx

avec

tj

e

2

0

2

0 )()(

La solution de cette équation est de la forme :

)(

0)()( tj

p eXtxtx

En remplaçant dans l’équation de mouvement, on détermine l’amplitude de la

réponse comme suit :

2

0

20 )(

m

a

X

Le système présente une singularité au point 0 comme le montre la figure (4.10):

00 )( lorsqueX

Figure 4.10: Phénomène de résonance.

Singularité à la fréquence propre du système

L’immeuble va s’effondrer face au séisme car le système oscille à sa pulsation

propre. On appelle ce phénomène la résonance. On se propose dans ce cas-là de

mettre en place un moyen d’amortir les oscillations extérieures du système qui

se traduit par une force de frottement visqueuse.

Un exemple d’application est illustré dans la figure 4.11


PAGE 135

Figure 4.11: Phénomène de résonance du pont de Tacoma aux U.S.A –

Le 7 novembre 1940. « Effondrement du pont »

Problème 2:

Soit le circuit forme par l’association parallèle R, Lind, Cap et alimente par une source

de courant sinusoïdale délivrant un courant d’intensité tcos2i)t(i 0 comme le

montre la figure 4.12 ci-dessous.

Figure 12.4 : Circuit R.L.C en parallèle

Exprimer la tension complexe u aux bornes de l’association parallèle en

fonction de, i0, et des paramètres du circuit.

On pose les constantes suivantes :


PAGE 136

apind

2

0CL

1 ,

0

x

Et on définit le facteur de qualité du circuit comme suit :

0apRCQ

Exprimer le module de la tension u aux bornes de l’association parallèle en

fonction de R, i0, Q et x.

Montrer que u passe par un maximum maxu pour une valeur de x à

déterminer.

Représenter sommairementmaxu

u)x(f en fonction de x.

Que retrouve t- on ?

Calculer la largeur de la bande passante.

Solution :

La tension complexe u du système est de forme :

)t(iZ~

)t(u équi

D’ou le courant est égale a :

équiZ~

)t(u)t(i

Soit équiZ~

l’impédance complexe équivalente du circuit R.L.C en parallèle

qui se calcule comme suit :

Avec :

indap

équi jL

1jC

R

1

Z~

1

D’où la tension est égale à :

)1

(1

)()(

ind

apL

CjR

tRitu

Le module de la tension s’écrit alors :

22

0

)x

1x(Q1

2Ri)t(u


PAGE 137

On constate que :

1xlorsque2Riuu 0max

Le schéma de la fonction maxu

u)x(f est représenté dans la figure 4.9

comme suit :

22max)

x

1x(Q1

1

u

u)x(f

On obtient la résonnance lorsque x=1, c'est-à-dire :

Résonance1xsi1)x(f

Figure 4.13: Phénomène de résonnance en tension

dans le circuit R.L.C en parallèle

La bande passante se calcule comme suit :

12 xxx

En résolvant l’équation paramétrique suivante :

22 )x

1x(Q1

1

2

1

Après transformation on obtient la largeur réelle de la bande passante devient

alors:

RC

1où'dx0


PAGE 138

Problème 3:

On considère un système de réception radio modélisé par un circuit R, Lind, Cap en série

et alimenté par une source de tension sinusoïdale d’intensité tcosu)t(u 0 comme

le montre la figure 14.4 ci-dessous.

Figure 4.14: Circuit R.L.C en Série

Déterminer l’impédance totale du système.

En déduire le module du courant parcourue par le circuit en fonction des

paramètres R, Lind, Cap et ω.

Etudier les variations du module de courant en fonction de ω

Trouver la fréquence de résonance. En déduire le courant maximum.

Etablir la bande passante et le facteur de qualité en fonction des paramètres du

circuit R, Lind , Cap et ω.

Donner une explication du fonctionnement de ce système.

Solution:

Le circuit est en série. On peut donc le schématiser comme suit :


PAGE 139

Figure 4.15: Circuit RLC en série équivalent

L’impédance équivalente totale est égale à :

)C

1L(jRZ

~

apindéq

Le module du courant s’écrit :

2

apind

2

0

éq

0

)C

1L(R

u

Z~

)t(u)(I

Les variations du module du courant sont :

le module du courant maximum est égale à :

R

uI 0

max0

Lorsqu’on a le module du dénominateur est minimum, c'est-à-dire :

0C

1L

apind

On obtient alors la valeur de r

apind

0rCL

1

Où r est appelée la pulsation de résonance qui ne dépend que de l’inductance

et de la capacité.

La figure (4.14) représente l’allure I0 en fonction de ω :


PAGE 140

Figure 4.16: Phénomène de résonance en courant

dans le circuit R.L.C en série

La bande passante est définie comme:

12

En résolvant l’équation paramétrique suivante:

2

apind

2

0max0

)C

1L(R

u

2

I

On obtient :

ind12

L

R

Le facteur de qualité s’écrit

R

LQ 0ind0

L’application technique de ce phénomène est la sélection des fréquences de

résonance pour différentes stations de radio.

Problème 4:

On définit le modèle d’un oscillateur harmonique, montré sur la figure 4.17,

représentée par une masse m placée dans un potentiel élastique de type : 2

2

1kxEp

Cette masse est soumise à une force de frottement visqueuse et dont le coefficient de

frottement est α.


PAGE 141

Figure 17.4 : Modèle physique d’un amortisseur

Parti A ::

Dans le cas des oscillations libres

Déterminer le Lagrangien du système.

Etablir l’équation du mouvement.

En déduire la solution générale avec les conditions initiales suivantes :

x(t=0)=0 et 0v)0t(x .

Partie B:

On admet que les frottements existent, la masse m effectue des oscillations forcées

sous l’effet d’une force sinusoïdale de la forme :

tFtF cos)( 0

On admet que la vitesse du mobile est de forme :

)tcos(v)t(v 0

Établir l’équation du mouvement.

Résoudre l’équation différentielle en régime permanent.

Déterminer l’impédance mécanique complexe définie comme le rapport entre la

force appliquée et la vitesse du mobile.

Comparer le résultat avec le système électrique.

Solution:

Mode libre :

Le Lagrangien du système s’écrit :



PAGE 142

2c xm

2

1E

Et pour l’énergie cinétique on a

2p kx

2

1E

Alors, le Lagrangien du système s’écrit :

22

2

1

2

1),( kxxmxxL

L’équation du mouvement :

m

kavectxxkxxm 2

0

2

0 0)(0


tsinv

)t(x 0

0

0

Mode forcé :

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme:

)(tFkxxxm

D’où

m

k

mavec

m

tFxxx

2

0

2

0

2)(

2

C’est une équation différentielle inhomogène linéaire, d’un mouvement force.

La résolution de cette équation différentielle en régime permanent est :

)t(j

ep AeR)tcos(A)t(x)t(x

Soient A l’amplitude de la solution et son argument.

En remplaçant dans l’équation différentielle et après le calcul, on obtient

Le module d’amplitude suivant :

222

0

2

0

)2()()(

m

F

A

Et la phase du mouvement comme suit :


PAGE 143

20

2

2tan

Les variations de )(A sont déterminées par :

22r 20

d

)(dA

Cette pulsation est appelée la pulsation de résonance.

L’impédance complexe est définit comme suit :

)(

)(~

tv

tFZmécani

En remplaçant dans l’équation du mouvement, on obtient:

)k

m(jZ~

mécani

Pour le système électrique, le résultat est donné comme suit:

)C

1L(jRZ

~

)t(i

)t(uZ~

apindélectriélectri

On conclue donc les équivalences entre le système mécanique et le système

électrique comme suit :

ap

ind

C

1k

Lm

R

Problème 5:

Lorsqu’un moteur électrique fonctionne, il présente des vibrations naturelles qu’il est

nécessaire d’amortir pour éviter de les transmettre a son châssis. On prévoit donc un

système de suspension.

Le moteur est assimile au point matériel m de masse m pouvant se déplacer

parallèlement à l’axe vertical Oz. La suspension le reliant au châssis est modélisée par

un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k en parallèle avec un amortisseur

exerçant sur le moteur une force de freinage zfr uzf

Le châssis reste fixe dans un référencier galiléen et on note le champ de pesanteur g


PAGE 144

Figure 18.4 : Etude des vibrations d’un moteur

Mode A :

Le moteur ne fonctionne pas et il est immobile.

Déterminer dans ce cas la longueur l du ressort. On prend la référence z=0 au

point m.

Mode B :

Le moteur étant toujours arrêté, on l’écarte de sa position d’équilibre puis on le laisse

évoluer librement.


Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par z(t).


m

k2

0 et 0m2

Donner la forme de la solution générale z(t) en fonction des paramètres ν et ω0,

on suppose que ν<1.

Comment appelle-t-on ce régime ?

Écrire l’expression de l’énergie totale ET en fonction de z(t) et dt

)t(dz

Que vaut-t-il la valeur de l’expressiondt

dET . Le système est-il conservatif ?

Mode C :


PAGE 145

Le moteur fonctionne, et tout se passe comme s’il apparaissait une force

supplémentaire de forme : z0 utcosF)t(F

Établir la nouvelle équation du mouvement vérifiée par z(t)

En régime permanent, on cherche des solutions de la forme

)tcos(V)t(etV)tcos(z)t(z 00

Donner l’expression de la grandeur ieVV 0

Exprimer l’amplitude V0 en fonction de ω et des paramètres v, ω0 et F0/m.

Donner l’allure de V0 (ω).

Application numérique: la pulsation ω vaut 628 rad/s, le moteur a une masse

m=10kg. On dispose de deux ressorts de raideurs k1=4 106n/m et k2=106n/m.

lequel faut-il choisir pour réaliser la suspension ?

Solution :

Mode A :

Le système est en équilibre

La longueur du ressort :

k

mgll0F 0

1i

i

Mode B :

Le système est en mouvement amorti


22 kz2

1zm

2

1L

L’équation différentielle :

0kzzzm0z

L

z

L

dt

d

D’ou :

0

20

200

m2m

kAvec0zz2z

La résolution de l’équation du mouvement :

10j)1()(

0r2r

222

0

2

0

2

0

2

00

2


PAGE 146

Le système a un mouvement oscillatoire amorti.

La solution est de la forme :

)tcos(Ae)t(zt0

l’énergie totale du système s’écrit sous la forme:

22T kz

2

1)

dt

dz(m

2

1)t(E

A partir de l’équation du mouvement, on obtient :

0zdt

)t(dE]zkzzm[z 2T

Le système n’est pas conservatif car il y a déperdition de l’énergie totale. Cette

diminution est due au travail des forces de frottement.

Mode C :

Le système est en mouvement forcé

L’équation du mouvement s’écrit :

)t(Fkzzzm

D’où :

m

)t(Fzz2z 2

00

Avec :

0

20

m2m

k

La solution de l’équation différentielle est :

)t(zj)t(zj

)t(z)t(zAvec

eVR)tcos(V)t(V)t(z )t(j0e0

En remplaçant dans l’équation du mouvement on obtient alors :

tj

2

20

0

0

e

)1(j2

m

F

)t(V

Le module de la vitesse est de la forme :


PAGE 147

2

2

2022

0

0

0

)1()2(

m

F

)(V

L’étude des variations du module de la vitesse :

0r

max00V)(V

0d

)(dV

Pour cette pulsation on a le phénomène de résonance.

L’allure de la courbe V0(ω) est de la forme :

Figure 4.19: Phénomène de la résonance du moteur


02

01

01

02

02

0022max

2022r

01

0011max

1011r

)(V

)(V

m2

F)(V

m

k

m2

F)(V

m

k


PAGE 148


Problème 6 :

La machine d’Atwood est schématisée par un disque de masse négligeable enroulé par

un fil inextensible et non glissant, comme le montre la figure 20.4 ci-dessous :

Figure 4.20: Mouvement forcé du disque

Mode libre :

Dans le cas des oscillations libres


Etablir l’équation différentielle du mouvement.

En déduire la pulsation propre

Donner la solution générale avec les conditions suivantes :

0)0t( , 0)0( t .


PAGE 149

Mode forcé :

On admet que les frottements existent, la masse m1 effectue des oscillations forcées

sous l’effet d’une force sinusoïdale :

tFtF cos)( 0

Etablir la nouvelle équation du mouvement.

Déterminer le module de la solution permanente de l’équation différentielle.

Quelle est la fréquence pour que le module de l’amplitude soit maximum.

Donner la bande passante et le facteur de qualité Q pour les faibles

amortissements.


On donne m1=2Kg, m2=1Kg, k=10N/m et =0.1N.s/m. Calculer Q.

Problème 7:

Une machine mécanique tournante constitue des sources de vibrations très courantes.

De petites irrégularités dans la distribution des masses des parties en rotation causent

des niveaux vibratoires importants. On schématise une machine de masse m

comportant une masse m0 en rotation à une distance R de son centre. Un guidage sans

friction autorise seulement un mouvement dans la direction x, comme le montre la

figure 21.4.

On considère la vitesse de rotation R constante. On a tsinRx RR .


PAGE 150

Figure 4.21: Excitation d’une machine suspendue par une masse en

rotation


Ecrire l’équation différentielle du mouvement.

On pose la variable :

0

r

On cherche des solutions de la forme :

)tcos(A)t(x

Déterminer l’amplitude du déplacement en fonction de r.

Interpréter le résultat.

Problème 8 :

Un sismographe est un instrument de mesure équipé d’un capteur des mouvements du

sol ; le sismomètre ; capable de les enregistrer sur un support visuel ; le sismogramme.

Un sismographe simple est constitué d’un ressort de raideur k et de longueur naturelle

l0 ; d’un amortisseur de coefficient de frottement α et d’une masse m considérée

comme ponctuelle. Le ressort et l’amortisseur sont fixés à un cadre C rigide et

solidaire du sol S. l’amortisseur exerce sur la masse m une force de frottement fluide

proportionnelle à la vitesse relative de m par rapport au cadre C. Un stylet reproduisant

les déplacements verticaux de la masse m par rapport au cadre est fixé au niveau de la

masse m. On considère que l’axe Oz vertical est un des axes du référentiel galiléen. La

figure 4.20 illustre le dispositif du sismographe.


PAGE 151

Figure 4.22: Sismographe

Sa secousse transmet au support un mouvement oscillatoire tAtZ cos)( dans le

référentiel terrestre. En l’absence de secousse Z=0.


Déterminer l’équation différentielle que vérifie Z ; l’écart entre la longueur l du

ressort à l’instant t et sa position d’équilibre.

Déterminer en régime permanent l’expression de l’amplitude Zm de Z(t).

Étudier dans ce cas l’allure de la fonction de Zm. Tracer le graphe Zm en

fonction de ω. Commenter le résultat.


PAGE 152

Mini projet -1

Dans tous le problème, on considère une machine mécanique assimilée au point matériel m de

masse m pouvant se déplacer parallèlement à l’axe vertical Ox. La suspension le reliant au

support est modélisée par un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k en parallèle avec un

amortisseur exerçant sur la machine une force de frottement vf fr

Le support reste fixe dans un référencier galiléen et on note le champ de pesanteur g

Figure 4.23: Modélisation mouvement de la machine

Partie 1 :


PAGE 153

On écarte la machine de sa position d’équilibre et puis on la laisse évoluer librement.



0

20

m2et

m

k

Établir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par x(t).

On suppose que 1 . Donner la forme de la solution générale x(t) en fonction des

paramètres et ω0 avec les conditions initiales suivantes :

0)0(0)0( vtxettx

Comment appelle-t-on ce régime dans ce cas-là ?

Calculer le décrément logarithmique δ

Montrer que la diminution de l’énergie totale ET du système est due au travail des

forces de frottement

Partie 2 :

La machine mécanique maintenant m est excitée par l’intermédiaire des supports de

suspension la montre la figure 24.4 :

Figure 4.24: Excitation de la masse par le support vibrant

On suppose que le support possède un déplacement harmonique de forme :

tcosB)t(y



On cherche une solution de la forme :

)tcos(A)t(x


PAGE 154

Déterminer le rapport des modules d’amplitudesB

AT en fonction des paramètres ,

ω0 et ω.

On pose la variable suivante:

0

r

.

Tracer la courbe T(r) et interpréter les résultats.

Solutions :

Le mouvement du système est schématisé dans la figure 25.4 comme suit :

Figure 4.25: Mouvement forcé de l’ensemble (support + machine)



2c xm

2

1E

Pour L’énergie potentielle on a :

2p )yx(k

2

1E

D’où le Lagrangien du système s’écrit :

22 )yx(k

2

1xm

2

1)x,x(L

L’équation du mouvement s’écrit sous la forme :

)]t(y)t(x[)]t(y)t(x[k)t(xmFx

L)

x

L(

dt

dext


PAGE 155

D’où :

)t(ky)t(y)t(kx)t(x)t(xm

C’est une équation différentielle non homogène.

La solution de l’équation différentielle:

En posant les constantes suivantes :

0

2

0 2

met

m

k

L’équation du mouvement se réécrit avec les nouvelles constantes :

)()(2)()(2)( 2

00

2

00 tytytxtxtxm

On considère que le support possède un déplacement sinusoïdal :

tjBeRetcosB)t(y

On chercher des solutions de la forme :

)t(jAeRe)tcos(A)t(x

L’équation du mouvement devient alors :

BjAej j )2()2( 2

00

2

00

2

Le rapport des modules des amplitudes s’écrit sous la forme:

2

1

2

0

22

0

2

2

0

2

0)2()(

)2(

B

AT

En posant la constante :

0

r

,

La courbe de la fonction T(r) est décrite comme suit:

2

1

222

2

)2()1(

1)2(

rr

r

B

AT


PAGE 156

Figure 4.26: Rapport de transmissibilité en déplacement en fonction de la

pulsation réduite

On a vu que la solution particulière pouvait représenter seule la solution

stationnaire


PAGE 157

Mini projet -2

On se propose d’étudier le comportement vibratoire de matériaux en caoutchouc afin

de l’utiliser dans la construction, représenté dans la figure 4.27.

Figure 4.27: Modélisation physique du mouvement oscillatoire du caoutchouc

Nous assimilons l’élasticité du matériau à celle d’un ressort de raideur k, de longueur à

vide l0 et les pertes énergétiques par frottement à celle ayant lieu dans un amortisseur

de coefficient. Le ressort ainsi considérés sont associés en parallèle. On néglige le

poids du caoutchouc devant les forces mise en jeu.


PAGE 158

Partie A :

On place un bloc de masse m=1t sur le caoutchouc qui se comprime d’une

distance d et prend une valeur de l. Après une compression supplémentaire, on relâche

le système oscillé autour de sa position d’équilibre qu’on le repère par la coordonnée

x(t) comme le montre la figure 4.28.

Figure 4.28: Mouvement oscillatoire du « caoutchouc +le bloc »

Le système est en équilibre :

Déterminer l’énergie potentielle.

En déduire la compression d=l-l0.

Le système physique maintenant oscille.

Déterminer l’énergie cinétique.

En déduire le Lagrangien du système

Etablir l’équation différentielle du mouvement de la masse m

Donner la solution générale de la solution x(t) sachant que le mouvement a un

mouvement oscillatoire amorti.

Donner l’expression du décrément logarithmique δ.

L’intervalle de temps, t=0.2s qui sépare le premier et le sixième maximum.

Correspond à la diminution d’amplitude de 60%.

Déterminer les valeurs de k et.

On refait la même expérience avec un autre caoutchouc. On trouve

’=4.5103Kg/s. Au bout de combien de temps, t’, obtient-on la même

diminution d’amplitude que dans l’expérience précédente ?


PAGE 159

Quel est le matériau le plus adéquat pour la construction ?

Partie B :

On prend dans cette partie un caoutchouc de caractéristiques physiques

suivantes : k=25106N/m et =104Kg/s qui sera utilisé dans la construction d’un pont

d’autoroute, de masse m=12.5t.

On assimile l’effet du passage des véhicules sur le pont à celui d’une force

sinusoïdale F(t) d’amplitude F0=10kN et de pulsation ω, appliquée

perpendiculairement au pont comme le montre la figure 29.4

Figure 4.29: Modélisation physique du mouvement du pont


Exprimer l’équation différentielle du mouvement du pont pour la coordonnée

x(t) donnant son déplacement par rapport à l’état d’équilibre.

Déterminer l’expression de la solution x(t) en régime permanent.

Déterminer la fréquence de résonance fr


PAGE 160

Donner l’expression de l’amplitude maximale à laquelle le pont peut vibrer.

Quelle est la phase correspondante dans ce cas-là ?

Calculer l’énergie communiquée au pont pendant un intervalle de temps égale à

une période, lorsque le passage des véhicules le fait vibrer à la fréquence de

résonance.

Déterminer l’énergie dissipée par la force de frottement pend la même période.

Interpréter le résultat.

Solution:

Partie A


)()(2

1 2 xdmgxdkE p

En équilibre on a:

00

0

mgkdx

E

x

p

D’où la compression est égale à :

k

mgd

Le système est en mouvement ; L’énergie cinétique devient:

2

2

1xmEc

D’où le Lagrangien s’écrit alors

)()(2

1

2

1 22 xdmgxdkxmEEL pc

L’équation différentielle du mouvement est égale à :

xmgkdkxxmxx

L

x

L

dt

d

0

)(

D’où :

02 2

0 xxx

Avec les constantes :

m

ket

m 2

02


PAGE 161

Puisque le mouvement est de nature oscillatoire amorti ; la solution est de la

forme :

)cos()( tAetx t

D’où la pulsation du mouvement est égale à :

22

0

Ainsi, le décrément logarithmique est calculé comme suit :

TTtx

tx

)(

)(ln

La décroissance après cinq périodes on a :

183.05

4.0ln5

4.0

1ln

)5(

)(ln

TTtx

tx

La période T’après intervalle de temps Δt est égale à :

sTsTt 04.02.05

Le coefficient d’amortissement α est déterminé à partir de δ :

131510.92

2

kgsT

mT

mT

La constante de raideur k est obtenue à partir de la pulsation ω :

222

0

22

0 m

k

D’où :

met

Tavec

mTm

k

2

2

4

42

22

2

Alors on a :

16

2

22

2

910.244

4 NmmT

mk

Le rapport d’amplitude qui correspond à la même diminution est donné

comme suit :

'

'''

)(

4.0ln

4.0

1lnln

'''

'

ttAe

Ae

tt

t

Avec :


PAGE 162

m2

''

Alors le temps Δt’ est égale à :

sm

t 407.04.0ln2

'

''

Dans la deuxième expérience ; on obtient la même diminution d’amplitude

au bout d’un temps deux fois plus long. Le premier matériau amortit plus les

vibrations. Donc il est le mieux approprié pour la construction.

Partie B

Le Lagrangien s’écrit comme suit :

)()(2

1

2

1),( 22 xdmgxdkxmEExxL pc

L’équation différentielle du mouvement s’écrit comme suit :

)()()(

0

tFxmgkdkxxmtFxx

L

x

L

dt

d

D’où :

m

tFx

m

kx

mxtFkxxxm

)()(

C’est une équation différentielle linéaire nom homogène. Elle admet une

solution générale et une solution particulière.

La solution de l’équation différentielle :


m

ket

m 2

02

L’équation différentielle devient alors :

m

tFxxx

)(2 2

0

En supposant que la forme de f(t) est sinusoïdale :

)cos()( 0 tFtF

En régime permanent la solution particulière est de la forme suivante :

)(

00 )cos()( ti

e eARtAtx


PAGE 163

D’où

)(

0)( tjeAjtx

)(

0

2)( tjeAtx

Alors l’amplitude s’écrit sous la forme :

m

FjeA j 02

0

2

0 2

Le module s’écrit :

2222

0

2

00

4)(

/)(

mFA

Et l’argument sous la forme :

2

0

2

2

Artg

La fréquence de résonance est déterminée lorsque la réponse du système est

maximum ; d’où :

0)(0

d

Ad

Alors la fréquence de résonance s’exprime comme suit :

1

22

012.7

2

2

sf r

En remplaçant dans l’amplitude la pulsation de résonance, L’amplitude

maximale s’écrit alors:

)2(4)2(

/)(

22

0

222

0

22

0

0

max0

mFA r

D’où :

0

0

0

max0 23.22

)(

aveccmF

A r

La phase correspondante dans ce cas-là est exprimée comme suit :

2

2)(

2)(

2

2

2

0

2

0

2

mM

ArtgArtg r

r

rr

La puissance fournie est exprimée comme suit :

)sin(cos)()()()( 0000 ttAFtPtxtFtPf

Ainsi que l’énergie communiquée est égale :


PAGE 164

T

ff

T

f dtttAFEdttPE0

0000

0

)sin(cos)(

D’où

JAFETAFE ff 6.7002

sin00000

Par contre la puissance dissipée se calcule comme suit :

)(sin)()()()()( 0

222

0

2 tAtPtxtxtFtP dfrd

Ainsi l’énergie dissipée est égale à :

T

dd

T

d dttAEdttPE0

0

222

0

0

)(sin)(

D’où :

6.3982

2

0

22

00 AEA

TE dd

On remarque que dd EE

On peut en conclure que l’énergie communiquée au pont pendant une

période se dissipe complétement dans l’amortisseur.


PAGE 165

Mini projet -3

On définit un sismomètre comme un système physique appelé capteur qui comprend

un support et une masse m relié par un ressort et un amortisseur disposés en parallèle,

la figure 30.4. La masse, de centre de gravité G, ne peut se déplacer que verticalement.

Le support, le ressort et l’amortisseur ont une masse négligeable.

Figure 4.30: Modélisation d’un sismomètre

Le ressort a une longueur à vide l et une rigidité k. La constante de frottement est. On

précise que si, les extrémités A et B d’un amortisseur appartenant à un système

mécanique, décrivent un axe Δ parallèle à l’axe Ox avec des vitesses respectives av et


PAGE 166

bv , l’amortisseur exercice sur le reste du système en point A une force i)vv( ab

et

en point B une force i)vv( aa

où i

est le vecteur unitaire.

Partie A :

Le support est immobile par rapport au repère (R0).

Calculer l’abscisse x0 du centre d’inertie de la masse en équilibre.

Ecrire l’équation différentielle du mouvement de la masse écarté de sa position

d’équilibre.

Que devient cette équation quand on pose x=x0+X.


m

k2

0 , Cf avec km4f 2

c .

Montrer que l’équation différentielle s’écrit sous la forme suivante :

0xxx...

Calculer α* et β* en fonction de λ et ω0.

On donne λ= 0.5, ω0=10 rad/s. A l’instant initial, X=1 cm et 0X .

Déterminer X pour t= 0.2s.

Partie B :

On suppose maintenant que le support est solidaire du carter d’une machine animé

d’un mouvement sinusoïdale verticale tsinbx1 par rapport au repère (R0),

comme le montre la figure 4.31. On suppose que b est positif.


PAGE 167

Figure 4.31: Système en mouvement forcé

Ecrire l’équation de la masse par rapport à (R0).

Montrer que l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme suivante :

tsinbCXxAvec

tsinHxxx...

Déterminer H et C, que représente X ?

Etudier la solution en régime permanent

)tsin(B)t(X

Avec B positif.

Calculer le rapport b

B et tan en fonction de λ et

0

.

Tracer l’allure du graphe de B en fonction de μ tel que B=f ().

On suppose que λ=0.5 :

Montrer que si μ est supérieur à une certaine valeur μ1, 1b

B est inférieur à

10-2. Calculer dans ce cas μ1.

En déduire une condition pour que l’appareil puisse fonctionner en capteur

d’amplitude.


PAGE 168

Solution:

Partie A : Le support est immobile par rapport au repère (R0).

A l’équilibre, l’abscisse x0 s’écrit comme suit :

)al(k

mgx0F 0

1i

i

L’équation différentielle du mouvement est de forme :

En appliquant la loi dynamique

xmg))al(x(kxm

D’ou

XxXxoù'd

Alors :

0kXXXm

La nouvelle équation du mouvement s’écrit alors :

200

200

2Avec

0XX2X

La résolution de cette équation différentielle :

22

0

22

0

2

00

2

15.0

)1(

0r2r

La solution est de la forme :

2

00

1

)sincos()( 0

XBXAAvec

tBtAetXt

Le système a un mouvement oscillatoire amorti.

La valeur de X est : X=0.15m

Partie B : Le support est mobile par rapport au repère (R0).

La relation dynamique du mouvement :


PAGE 169

tsinbXxxetxXxoù'd

)xx(mg))al(xx(kxm

211

11

L’équation du mouvement devient alors :

bHAvec

tbXXX

2

22

00 sin2

La solution totale de l’équation différentielle en régime permanent est :

)tsin(B)t(X)t(X p

En notation complexe on aura la forme suivante :

)2

t(j

p Be)t(X~

)t(X~

En remplaçant dans l’équation différentielle, on obtient alors :

0

2222

2

Avec

1

2tan

)2()1(

bB

Les variations de B=f(μ) :

2

1si

21

10

0d

dB2

mm

Ainsi, on peut distinguer deux cas :

2

1 Amortissement faible Résonance

2

1 Amortissement important

On peut en déduire que :

bB

0B0

Pour =0.5, on aura :


PAGE 170

05.7où'd101)1(

si101b

B

2pourb15.1BB

12

21

21

21

12

mmax

On peut conclure que l’appareil reproduit les oscillations du carter si la

pulsation ω est importante. Il fonctionne alors en capteur d’amplitude.

Mini projet -4

Un véhicule est modélisé par un bloc de centre de gravité G et de masse M = 1000 kg,

reposant sur une roue de rayon R par l‘intermédiaire de la suspension. Celle dernière

peut être représentée par un ressort de raideur k = 105 N/m et d'une longueur à vide l0,

et un amortisseur de coefficient d'amortissement α (voir figure 4.32)


PAGE 171

Figure 4.32: Modélisation physique d’un véhicule

Partie A : La position verticale du véhicule est repérée par Gy dans un référentiel

ayant comme origine le point de contact de la roue avec le sol. On note y, la distance

entre le centre de la roue et l'origine. On note que g

est l'accélération de la pesanteur.

Déterminer la position d'équilibre Geqy de G lorsque le véhicule est au repos.

On cherche à établir l'équation différentielle du mouvement vertical amorti du

véhicule. Pour cela, on suppose que l‘amortissement est de type visqueux et que, suite

à un choc soudain, le véhicule se met à osciller verticalement (on néglige les autres

mouvements).

On étudie le mouvement par rapport à la position d'équilibre établie précédemment, en

considérant GeqG yyy comme une coordonnée généralisée suffisante à l'étude du

mouvement vertical.

Écrire l‘expression de l'énergie cinétique du véhicule.

En posant le zéro de l’énergie potentielle en Geqy .

Écrire l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur et l'expression de

l’énergie potentielle élastique.



PAGE 172

Partie B : On rappelle que la fonction de dissipation D est, dans ce cas,

proportionnelle au coefficient d'amortissement ainsi qu'au carré de la différence de

vitesses des deux extrémités de l'amortisseur. Écrire l‘expression de la fonction de

dissipation D.

En déduire l'équation d'Euler-Lagrange appropriée.

Montrer que l'équation différentielle du mouvement

0 kyyyM

Quelle est l'unité de α ?

Donner la valeur numérique de α pour laquelle le système aura un mouvement

critique?

Quel sens physique peut-on donner à cette valeur numérique de α ?

Partie C : Le véhicule se déplace maintenant à une vitesse horizontale constante v sur

une route ondulée (voir la figure 4.33). L'ondulation est représentée par une fonction

sinusoïdale de période spatiale L et d'amplitude A. La distance ry est calculée à partir

d'un niveau moyen de la route et a comme expression :

tARyr cos

Figure 4.33: Mouvement oscillatoire du véhicule

Solutions :

Partie A :

La position d’équilibre de G lorsque le véhicule est au repos, s’écrit comme

Première méthode:


PAGE 173

La masse est soumise à son poids dirigé vers le bas : MgP

La Force de rappel exercée par le ressort dirigé vers le haut :

)( 0llkF

Avec rGeq yyl est la longueur du ressort à l’équilibre.

A l’équilibre les deux forces se compensent:

MgyylkllkF rGeq )()( 00

Ce qui donne :

k

Mgyly rGeq 0

Deuxième méthode:

À l’équilibre statique, la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à la

coordonnée généralisée est nulle. L’expression de l’énergie potentielle est

donnée par :

CsteMgylyykE rGp 2

0 )(2

1

Avec

GeqG yyy

D’où :

CsteMgylyyykE rGeqp 2

0 )(2

1

Avec la condition d’équilibre, on a :

0

0

y

p

y

E

Après dérivation et on remplace la valeur de y par zéro, on trouve ainsi:

0)( 0 Mglyyk rGeq

Ce qui donne aussi:

k

Mgyly rGeq 0



PAGE 174

222

2

1)(

2

1

2

1yMyyMyME GeqGc

Car est une constante.

L’énergie potentielle de pesanteur est donnée comme suit:

MgyE p 1

Sachant que Geqy est choisie comme la référence de l’énergie potentielle.

L’énergie potentielle élastique se calcule comme suit :

2

0

2

02 )(2

1)(

2

1lyyyyklyykE rGeqGeqGrGp

Avec :

k

Mgyly rGeq 0 et GeqG yyy

Ce qui donne:

2

2 )(2

1

k

MgykE p

L’énergie potentielle totale s’écrit donc :

Mgyk

MgykEEE ppp 2

21 )(2

1


22

2

1

2

1),( kyyMEEyyL pc

Le Lagrangien est donné à une constante près qui n’affecte pas le résultat final.

Partie B :

La fonction de dissipation D est donnée dans le cas d’une force de frottement de

type visqueuse sous la forme:

2

2

1yD

L’extrémité inferieure de l’amortisseur étant fixe.

L’équation d’Euler Lagrange est donnée dans le cas d’un système amorti par :

y

D

y

L

y

L

dt

d


PAGE 175

Après dérivation on trouve l’équation différentielle du mouvement du système

s’écrit:

0 kyyyM

On peut noter que le terme y a la dimension d’une force, c'est-à-dire, qu’il a

l’unité2

.

s

mkg , ce qui donne l’unité de comme

s

kg..

La solution de l’équation différentielle est de la forme rte , d’où l’équation

caractéristique est obtenue comme suit :

02 M

kr

Mr

Pour que cette équation ait une solution double (caractéristique du mouvement

critique), il faudra que son discriminant soit nul, d’où:

)(4)( 2

M

k

M

Ce qui donne :

skgkM /10.22 4

Cette valeur numérique de représente le degré d’amortissement pour lequel

le système est sur le point de passer d’un mouvement oscillatoire vers un

mouvement apériodique (pas d’oscillation) et vice versa. rappelons que pour

cette valeur de , le système n’oscille pas encore mais revient plus rapidement

vers sa position d’équilibre.

Partie C :

Le véhicule se déplace à une vitesse constante. Le temps nécessaire pour que

ce dernier se déplace sur une longueur est: v

LT d’où la vitesse angulaire

est donnée par :

L

v

T

2

2

L’équation d’Euler-Lagrange de ce système amorti force:

)(tFy

D

y

L

y

L

dt

de


PAGE 176

Où est la force généralisée, qui dans ce cas est donnée par :

)cos()( tkAtFe

Dans ce cas la fonction de dissipation D est donnée par :

2)(2

1ryyD

Avec

Le Lagrangien du système s’écrit toujours :,

22

2

1

2

1),( kyyMEEyyL pc

Après dérivation, on trouve:

)cos( tkAykyyyM r

Finalement l’équation différentielle du mouvement s’écrit alors :

)cos()sin( tkAtAkyyyM

En notation complexe l’équation différentielle s’écrit sous la forme suivante :

tjtj kAeAedt

dykyyM )(~~~

Après simplification on obtient :

tjtj AeM

kAej

Mty

M

ky

My

)(~~~

Il faut noter que )(~ ty n’est pas la solution de l’équation différentielle du

système étudié, mais plutôt sa partie réelle

On se propose de résoudre l’équation différentielle. On pose donc la solution

sinusoïdale sous la forme suivante :

jtj CeCAveceCty ~~

)(~

Où etC sont respectivement l’amplitude de la solution et le déphasage

entre la réponse et l’excitation, respectivement.

En remplaçant la solution dans l’équation différentielle ci-dessus, on trouve :


PAGE 177

)(~

)( 2

M

kj

MAC

Mj

M

k

Ce qui nous donne l’amplitude en notation complexe comme suit:

Mj

M

kM

kj

MAC

2

~

Le module de l’amplitude serait :

222

22

)()(

)()(~

MM

k

M

k

MAC

Le déphasage entre la réponse et l’excitation:

)()(2

Mkarctg

karctg

La solution finale mesurable de l’équation différentielle du mouvement du

système est la partie réelle la solution complexe et s’écrit comme suit :

)cos(~

Re)(~ )( tCeCty tj

Chapitre 5: Mouvement oscillatoire à plusieurs degrés de liberté

PAGE 178

Chapitre 5 :

Mouvement oscillatoire

d’un système mécanqiue à plusieurs degrés

de liberté


PAGE 179

5.1 Définitions

Les systèmes à plusieurs degrés de liberté sont des systèmes qui nécessitent

plusieurs coordonnées indépendantes. Le nombre de degré de liberté détermine le

nombre d’équations différentielles régissant l’évolution dans le temps de ces

coordonnées.

En fait, il existe deux types de systèmes :

5.1.1 Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés :

La position de la masse m sur la figure 5.1 est repérée par deux coordonnées

cartésiennes indépendantes 1x et

2x , car se déplaçant, sans frottement, dans un plan.

Figure 5.1: Mouvement oscillatoire non couplé à deux degrés de liberté

Pour calculer le Lagrangien du système, on suppose qu’à l’équilibre les ressorts sont

lâches avec une longueur à vide 0l . L’énergie cinétique du système s’écrit sous la

forme :

2

2

2

12

1

2

1xmxmT (5.1)

L’énergie potentielle du système s’écrit sous la forme :

2

0

2

02

2

12

2

0

2

01

2

212

1

2

1

llxxkllxxkU

Pour de faibles oscillations, on peut avec une bonne approximation négliger les termes

en

2

0

1

l

x,

2

0

1

l

x tout en gardant les termes

0

1

l

xet

0

2

l

x . L’expression ci-dessus de

l’énergie potentielle devient


PAGE 180

2

0

0

2

2

0

2

2

0

102

2

0

0

1

2

0

1

2

0

201 12

2

112

2

1

l

l

x

l

x

l

xlkl

l

x

l

x

l

xlkU

En utilisant un développement limité, les termes au carré dans l’expression di-dessus

s’écrivent sous la forme :

10

0

10

0

1

2

0

1

2

0

20 112 xl

l

xl

l

x

l

x

l

xl

et

20

0

10

0

2

2

0

2

2

0

10 112 xl

l

xl

l

x

l

x

l

xl

Ce qui permet de réécrire l’expression de l’énergie potentielle sous la forme suivante :

2

22

2

112

1

2

1xkxkU (5.2)


2

22

2

11

2

2

2

12

1

2

1

2

1

2

1xkxkxmxmL (5.3)

En effet, ce Lagrangien peut s’écrire sous la forme d’une somme de deux Lagrangiens

indépendants (l’un en fonction de 1x set

1x et l’autre en fonction de 2x set

2x ) sans qu’il

y ait un terme qui les relie :

2

22

2

2

2

11

2

12221112

1

2

1

2

1

2

1,, xkxmxkxmxxLxxLL

C’est là un système composé de deux sous systèmes indépendants et découplés. Le

système différentiel s’exprime alors sous la forme:

0

0

0

0

222

111

22

11

xkxm

xkxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

(5.4)

On obtient un système différentiel découplé qui s’exprime comme:

0

0

2

2

022

1

2

011

xx

xx

1

12

02

1

12

01 ,m

k

m

kavec


PAGE 181

Les deux solutions des sous-systèmes indépendantes sont de la forme:

)cos()(

)cos()(

2022

1011

tBtx

tAtx (5.5)

Pour un système forcé, on a le modèle représenté dans la figure 2.5 :

Figure 5.2: Mouvement Forcé non couplé à deux degrés de liberté

Les équations différentielles du système sont données comme suit :

)(

)(

2222

1111

tFkxxxm

tFkxxxm

(5.6)

On constate que l’équation différentielle est de type linéaire. Ainsi, on peut appliquer

le théorème de superposition qui consiste à écrire la solution globale x(t) sous la forme

suivante:

)()()( 21 txtxtx

avec

)()()( 21 tFtFtF

5.1.2 Système complexe (couplé):

C’est un système constitué par plusieurs sous-systèmes couplés comme le montre la

figure (5.3).


PAGE 182

Figure 5.3: Mouvement oscillatoire d’un système couplé

à deux degrés de liberté

Le Lagrangien du système en mouvement sans frottement s’écrit comme suit :

2

1

22

21

22

1

21212

1)(

2

1

2

1),,,(

i

iii

i

i xkxxkxmxxxxL (5.7)

Le système d’équations différentielles s’écrit :

0)(

0)(

0

0

12222

21111

22

11

kxxkkxm

kxxkkxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

(5.8)

Pour résoudre ce système d ‘équations différentielles linéaires, on peut se proposer des

solutions sinusoidales (en se basant sur notre expérience à résoudre des systèmes

linéaires à un degré de liberté), où les masses oscilleront à la même pulsation p avec

des amplitudes différentes et des phases différentes ; en l’occurence:

tj

tj

p

p

eAtx

eAtx

22

11~

)(

~)(

(5.9)

avec

2

1

22

11~

~

j

j

eAA

eAA (5.10)

En remplaçant les solutions proposées dans le système différentiel, on obtient le

système d’équations algébriques suivant :

0~~

)(

0~~

)(

122

2

2

211

2

1

AkAkkm

AkAkkm

p

p

(5.11)


PAGE 183

qui peut s’écrire sous la forme matricielle suivante :

0

0~

~

2

1

1

2

1

1

2

1

A

A

kkmk

kkkm

p

p

(5.12)

Le système admet une solution non triviale si seulement si le déterminant de la matrice

22 est nul, d’où :

02

2

2

1

2

1

kkmk

kkkm

p

p

(5.13)

L’équation bicarrée (paramétrique) s’écrit donc :

0)1()( 22

2

2

1

22

2

2

1

4 Kpp (5.14)

avec :

1

12

1m

kk ,

2

22

2m

kk et

))(( 21

22

kkkk

kK

où le paramètre K est appelé le coefficient du couplage. Ce dernier peut prendre des

valeurs entre 0 et 1 selon la valeur de la constante de raideur du ressort de couplage k .

En effet, si 0k (le couplage entre les deux sous systèmes est lâche) K aura une

valeur nulle 0K . Alors que si k (le ressort de couplage se comporte comme une

barre rigide par rapport aux autres ressorts du système), on aura 1K .

En faisant un changement de variable 2

ppz , l’équation ci-dessus devient :

0)1()( 22

2

2

1

2

2

2

1

2 Kzz pp (5.15)

Le discriminant de cette équation s’écrit :

22

2

2

1

2

2

2

1

4

2

4

1

22

2

2

1

22

2

2

1 42)1(4)( KK

ou encore

04 22

2

2

1

22

2

2

1 K

Les deux pulsations propres sont donc :

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

12

2

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

12

1

4)(2

1

2

4)(2

1

2

K

K

p

p

(5.16)

Les deux pulsations propres du système sont positives ( pp 21 ) et leurs valeurs

dépendent de la valeur du coefficient de couplage K .


PAGE 184

En effet, pour 0K , les pulsations propres sont égales à :

2

1

2

2

2

1

2

2

2

12

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

12

1

2

)(

2

2

)(

2

p

p

Ce résultat nous impose à prendre 12 . D’autre part, pour 1K , les pulsations

propres sont égales à :

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

12

2

2

2

2

1

2

2

2

12

1

2

)(

2

02

)(

2

p

p

Entre les deux valeurs extrèmes de K , les valeurs des deux pulsations suivent les

allures montrées sur la figure ci-dessous.

Figure 5.4: Pulsations propres du système en fonction du coefficient de couplage

On voit bien sur la figure (5.4) que l’effet de couplage est d’augmenter l’écart entre les

pulsations propres du système.

Le fait que les formes sinusoidales proposées pour le mouvement des deux masses

sont solutions du système d’équations pour seulement deux valeurs de p à savoir p1


PAGE 185

et p2 nous amène à conclure que parmi toutes les formes possibles (pas forcément

simples) de mouvement de masses il existe seulement deux manières d’oscillation où

les masses oscillent de façon harmonique simple avec une seule et même pulsation : ce

sont là les deux modes de vibration des masses où celles-ci passent en même temps

par leurs positions d’équilibre.

Dans chaque mode d’oscillation de pulsation normale définie p1 ou p2 les masses

oscilleront en phase ou en opposition de phase selon la valeur des grandeurs 1

~A et 2

~A .

En effet, pour le mode 1, correspondant à la pulsation propre p1 , les amplitudes de

mouvement s’obtiennent en remplaçant p par p1 dans l’une des équations

algébriques ci-dessus. Ce qui donne :

2

1

1

2

1

2

1

~~)( A

m

kAp

ou encore

)(~

~

2

1

2

111

2

1

1

pm

k

A

A

(5.17)

On a rajouté un indice 1 aux amplitudes pour signifier que ces derniers correspondent

au premier mode. Le rapport des amplitudes s’écrit donc sous la forme :

0

4)(

2~

~

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

11

1

2

1

1

Km

k

A

A

Ce qui donne

12

11

1

2

1

1

1

2

1

1~

~

j

eA

A

A

A

où 1

1A et 1

2A sont les valeurs absolues des amplitudes de mouvement des deux masses.

Les phases 1

1 et 1

2 doivent être, dans ce cas, égales (ou différentes d’un angle 2 ).

Les masses oscillent en phase.

Pour le mode 2 , correspondant à la pulsation propre p2 , les amplitudes de

mouvement s’obtiennent en remplaçant p par p2 dans l’une des équations

algébriques ci-dessus. Ce qui donne :

2

1

1

2

1

2

2

~~)( A

m

kAp


PAGE 186

ou encore

)(~

~

2

2

2

112

2

2

1

pm

k

A

A

(5.18)

On a rajouté un indice 2 aux amplitudes pour signifier que ces derniers correspondent

au premier mode. Le rapport des amplitudes s’écrit donc sous la forme :

0

4)(

2~

~

2

2

2

1

222

2

2

1

2

2

2

11

2

2

2

1

Km

k

A

A

Ce qui donne

22

21

2

2

2

1

2

2

2

1~

~

j

eA

A

A

A

où 2

1A et 2

2A sont les valeurs absolues des amplitudes de mouvement des deux masses.

Les phases 2

1 et 2

2 doivent être différentes d’un angle . Les masses oscillent dans

ce cas en opposition de phase.

Les solutions générales s’écrivent sous la forme d’une superposition des deux modes

propres, à savoir :

222

121

212

111

2

2

1

22

2

1

1

11

)(~

)(~

tjtj

tjtj

pp

pp

eAeAtx

eAeAtx (5.19)

Tenant compte des relations obtenues entre les amplitudes de mouvement des masses

pour chaque mode de vibration ainsi que celles qui existent entre les phases, il est

possible de réécrire les solutions sous la forme suivante :

212

111

212

111

)()()(~

)(~

2

2

2

112

1

2

1

2

111

12

2

1

1

11

tjptjp

tjtj

pp

pp

ek

mAe

k

mAtx

eAeAtx (5.20)

Les constantes 1

1A , 2

1A , 1

1 et 2

1 seront définies par les conditions initiales appliquées

sur le système.

Remarque: puisque que les mouvements des masses du système sont des quantités

mesurables donc réelles, il serait utile de prendre la partie réelle des solutions

complexes ci-dessus, à savoir :


PAGE 187

2

12

2

2

2

112

1

1

11

2

1

2

111

12

2

12

2

1

1

11

1

11

cos)(

cos)(

)(~

coscos)(~

tk

mAt

k

mAtx

tAtAtx

p

p

p

p

pp

5.2 Types de couplage:

En fait, il existe plusieurs types de couplage :

a- Couplage par élasticité où deux sous systèmes mécaniques (pendules simples)

sont assemblés à travers un ressort, ou encore, leurs analogues électriques, à

savoir deux sysèmes électriques (circuits LC) qui sont reliés par un

condensateur.

b- Couplage par viscosité où on utilise un amortsisseur (résistance pour un

système électrique) pour coupler deux pendules simples (circuits LC).

c- Couplage par inertie représenté par l’exemple d’un pendule double et où son

équivalent électrique serait deux circuits LC reliés par une bobine d’inductance.

Figure 5.5: Couplage équivalent, Résistance-Force de frottement

Figure 5.6 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort

5.3 Battements :

Reprenons l’exemple du système de deux masses identiques m attachées

horizontalement à trois ressorts de raideur identique k et se déplaçant sans frottement

sur une droite d’un plan horizontal.


PAGE 188

Pour le couplage les deux sous-systèmes identiques, on a :

Figure 5.6: Mouvement oscillatoire couplé

de deux sous-systèmes identiques

Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit :

02

02

122

211

kxkxxm

kxkxxm

(5.21)

On se propose pour un mode de vibration des solutions sous la forme sinusoïdale:

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x

(5.22)

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, on obtient un système linéaire

symétrique suivant :

0)2(

0)2(2

2

kABkm

kBAkm

p

p

(5.23)

Le système admet des solutions non triviales si seulement si le déterminant de sa

matrice est nul, d’où :

02

22

2

kmk

kkm

p

p

(5.24)

On obtient alors l’équation paramétrique suivante :

0)2( 222 kkm p (5.25)

Les deux pulsations propres sont :


PAGE 189

m

km

k

p

p

32

2

2

1

(5.26)

Les solutions générales sont la superposition des deux modes propres et sont de de la

forme suivante :

)cos()cos()(

)cos()cos()(

2221112

2221111

tBtBtx

tAtAtx

pp

pp (5.27)

Pour le premier mode correspondant à la pulsation propre p1 , on a :

m

kpp 1

et en remplaçant dans l’une des équations du système algébrique ci-dessus on trouve

ABAkBAkm p 1111

2

1 0)2(

Figure 5.8: Etat du système pour le premier mode.

« En phase »

Dans ce mode les deux masses oscillent à la même pulsation m

kp 1 avec la même

amplitude A , en phase.

Pour le deuxième mode correspondant à la pulsation propre p2 , on a :

m

kpp 32


PAGE 190

et en remplaçant dans l’une des équations du système algébrique ci-dessus on trouve

BBAkBAkm p 2222

2

2 0)2(

Figure 5.9 : Etat du système pour le deuxième mode.

« En opposition de phase »

Dans ce mode les deux masses oscillent à la même pulsation m

kp

32 avec la même

amplitude B , en opposition de phase.

Les solutions générales deviennent alors:

)cos()cos()(

)cos()cos()(

22112

22111

tBtAtx

tBtAtx

pp

pp (5.29)

Où les constantes A , B ,1 et

2 seront définies par les conditions initiales.

Pour le besoin de notre étude du phénomène dit de battement il s’avère utile

d’appliquer les conditions initiales suivantes :

0)(0)(

0)()(

22

101

txtx

txXtx

(5.30)

Cela signifie qu’à 0t on écarte une masse de sa position d’équilibre d’une distance

0X tout en gardant l’autre masse à sa position d’équilibre ensuite on les lâche sans

vitesse initiales. Après remplacement dans les solutions générales, on obtient les

quatre équations suivantes:


PAGE 191

40sinsin

30sinsin

20coscos

1coscos

2211

2211

21

021

pp

pp

BA

BA

BA

XBA

L’addition des équations 1 et 2 d’une part et les équations 3 et 4 donne :

60sin

52

cos

1

01

A

XA

en sommant les carrés des équations 5 et 6 on obtient :

2

0XA , et de 6 on déduit que 01 .

De même, la soustraction des équations 1 et 2 d’une part et les équations 3 et 4

donne :

80sin

72

cos

2

02

B

XB

en sommant les carrés des équations 7 et 8 on obtient :

2

0XB , et de 8 on déduit que 02 .

On en arrive donc aux équations horaires du mouvement qui s’écrivent comme suit:

ttX

tx

ttX

tx

pp

pp

210

2

210

1

coscos2

)(

coscos2

)(

(5.31)

Ce résultat est très important car il nous renseigne sur le fait que le mouvement des

deux masses, soumises aux conditions initiales précédentes, est la superspoition de

deux mouvements sinusoïdaux simples de pulsations différentes. C’est un mouvement

complexe où les deux modes propres d’oscillation contribuent équitablement au

mouvement du système. Dans ce cas, on dit que les deux modes propres d’oscillation

du système sont excités. Cependant, la forme mathématique donnée des solutions n’est

pas si intuitive au point de nous permettre de concevoir, grosso modo, la manière avec

laquelle les masses vont osciller. Pour ce faire, il est utile de réarranger les formes


PAGE 192

mathématiques des solutions, en ayant recours à des relations trigonométriques bien

connues, à savoir :

2cos

2cos2coscos

bababa

et

2sin

2sin2coscos

bababa

ce qui permet de réécrire les solutions ci-dessus sous la forme :

ttXtx

ttXtx

pppp

pppp

2sin

2sin)(

2cos

2cos)(

2121

02

2121

01

Un changement de notation nous permet d’écrire :

2

12

mod

pp

dite pulsation de modulation et

2

21 pp

moy

dite pulsation moyenne.

De nouveau, les solutions s’expriment sous la forme condensée suivante:

ttXtx moy cos.cos)( mod01 (5.32)

et

ttXtx moy sin.sin)( mod02 (5.33)

Ces deux formes de solutions sont plus intuitives à expliquer, car il est possible de voir

le mouvement des masses comme un mouvement ‘ sinusoïdal simple’ de pulsation

moy mais avec une ampliude tX mod0 cos (pour la première masse) qui change

sinusoïdalement dans le temps à une pulsation mod . On dit que l’amplitude du

mouvement est modulée.


PAGE 193

Figure 5.10: Phénomène de battement pour la première masse

On trace sur la figure 5.10 l’évolution de tx1 et on voit que la masse fait un

mouvement complexe (l’amplitude part de zéro, atteint son maximum puis retrouve sa

valeur nulle) qui se répète après chaque intervalle de temps égal à 2

modTTbattement , où

mod

mod

2

T est la période de modulation de l’amplitude du mouvement. Ce mouvement

est appelé battement. D’autre part, on définit moy

moyT

2 comme la période

d’oscillation de la masse. Dans le cas où les deux pulsations propres p1 et p2 sont

très proches l’une de l’autre, l’amplitude tX mod0 cos ne varie que très lentement

comparée aux oscillations rapides de tmoycos et la masse exécuterait un mouvement

presque sinusoïdal. La deuxième masse, lâchée à partir de sa position d’équilibre,

exécute un mouvement semblable avec une seule différence : elle est en quandrature

de phase avec la première masse (voir figure 5.11).


PAGE 194

Figure 5.11: Phénomène de battement pour la deuxième masse

Au moment où l’une des deux masses s’immobilise, l’autre masse est à son

maximum ; toute l’énergie du système étant transférée vers cette denière.

Une période de battement est donc le temps que fait l’énergie de vibration dans son

aller-retour complet entre les deux masses.

5.4 Oscillations forcées d’un système non amorti à deux degrés de

liberté :

Reconsidérons le système mécanique symétrique ci-dessus, et on applique une force

extérieure de forme sinusoïdale au premier sous système qui s’exprime comme suit :

tj

e eFRtFtF 00 cos)( (5.34)

Les équations d’Euler-Lagrange qui correspondent à cette situation physique

s’écrivent comme suit :

0

cos

22

0

11

x

L

x

L

dt

d

tFx

L

x

L

dt

d

(5.35)


PAGE 195

La seconde équation ne contient pas de terme de force extérieure car cette dernière

s’applique directement sur la deuxième masse. Après dérivation on obtient :

02

cos2

122

00211

kxkxxm

eFRtFkxkxxm tj

e

(5.36)

Pour résoudre le système d’équations différentielles ci-dessus on suppose que le même

système mécanique est maintenant soumis à une force complexe tjeFtF 0 . Après

résolution, on revient à notre cas physique en prenant la partie réelle de la solution

obtenue. En effet, on a

0~~2~

~~2~

122

0211

xkxkxm

eFxkxkxm tj

(5.37)

Dans le régime permanent, les solutions ont la même forme que le second membre, à

savoir:

)(

22

)(

11~

)(~)(~

~)(~)(~

tj

p

tj

p

eBtxtx

eAtxtx (5.38)

avec AjAeA

~ et Bj

BeB

~

.

En remplaçant les solutions proposées dans le système différentiel, on obtient le

système d’équations algébriques suivant :

0~~

)2(

~~)2(

2

0

2

AkBkm

FBkAkm

(5.39)

avec deux inconnues A~

et B~

dont les expressions sont données par ce qui suit :

m

k

m

k

m

k

m

F

m

k

m

F

kmk

kkm

km

kF

App

3

2

))((

2

2

2

20~

22

20

2

2

22

1

2

20

2

2

2

0

(5.40)

et

m

k

m

km

kF

m

kF

kmk

kkm

k

Fkm

Bpp

3))((

2

2

0

2

~

22

2

0

2

2

22

1

2

2

0

2

2

0

2

(5.41)


PAGE 196

Tout d’abord, il est utile de remarquer que les inconnues A~

et B~

ont des valeurs réelles

négatives ou positives selon la valeur de la pulsation de la force extérieure . Cela

signifie que les valeurs des phases des masses par rapport à la force excitatrice sont

soit nulles 0A , 0B soit A, B

. En effet, si A~

et B~

sont positives, il

serait possible de les écrire sous la forme

0~ jjAeAeA A

et

0~ jjBeBeB B

où A et B sont les modules des nombres complexes A~

et B~

. Dans ce cas, les masses

oscilleront en phase avec la force extérieure. Dautre part, si A~

et B~

sont négatives, il

serait possible de les écrire sous la forme

jjAeAeA A

~

et

jjBeBeB B

~

Dans ce cas les masses oscilleront en opposition de phase avec la force extérieure. Ce

sont là les deux seules possibilités d’état de phase des masses par rapport à la force

extérieure. Si le système était soumis à des forces d’amortissment, les valeurs des

phases prendront des valeurs entre 0 et . On doit noter ici que l’état de phase d’une

masse par rapport à la force extérieure est indépendante de l’état de phase de l’autre

masse par rapport à cette même force, c’est à dire qu’on peut tomber sur un cas où une

masse oscille en phase alors que l’autre est en opposition de phase avec la force

extérieure.

Pour une valeur 0 , les amplitudes de mouvement des masses sont égales à

k

F

m

k

m

k

m

k

m

F

A3

2

3

2

~ 0

0

(5.42)

et

k

F

m

k

m

km

kF

B33

~ 02

0

(5.43)


PAGE 197

Pour une valeur infinie de , A~

et B~

deviennent nulles.

Remarquons que A~

peut être nulle aussi pour une valeur de m

k2 . C’est le

phénomène d’anti-résonance dans lequel la masse soumise directement à la force

extérieure reste immobile lorsque la pulsation de cette dernière est réglée à la valeur

m

k2 . Aussi, pour des valeurs de

m

k et

m

k3 (pulsations propres du système),

les amplitudes A~

et B~

deviennent infinies. C’est là le phénomène de résonance dans

lequel les amplitudes des deux masses deviennent infinies lorsque la pulsation de la

force extérieure est égale à l’une des pulsations propres du système. Ce résultat nous

permet de se rendre compte de l’utilité de connaitre a priori les pulsations propres du

système avant que celui-ci soit mis sous l’effet d’une force extérieure. Car en

connaissant ces pulsations on pourrait éviter au système l’effet d’une résonance

infinie. Il est utile de noter qu’en appliquant une force de frottement au système à

deux degrés de liberté, on éliminera les singularités au niveau des modes propres. La

figure (5.11) illustre bien les phénomènes de résonance et d’antirésonance sur les

allures des amplitudes de mouvement.

Figure 5.11: Phénomènes de résonance à deux degrés de liberté

Les calculs montrent aussi que les deux masses oscillent en phase pour des valeurs de

inférieures à m

kp 1 . Pour

m

k

m

k 2 les deux masses oscilleront en opposition


PAGE 198

de phase avec la force extérieure. Alors que pour m

k

m

kp

322 la masse soumise

directement à la force extérieure oscille en phase avec cette dernière alors que l’autre

masse oscille en opposition de phase. Enfin, pour m

kp

32 les états de phase des

masses s’inversent : la masse soumise directement à la force oscille en opposition de

phase alors que l’autre masse oscille en phase avec la force extérieure.

Le fait qu’une masse, malgré qu’elle soit soumise à une force extérieure, puisse

s’immobiliser est en soi un résultat intéressant, qui a débouché sur une application fort

utile dans le domaine de controle de vibration des structures (ou machines).

L’amortisseur de FRAHM en est un exemple. Sans entrer dans les détails techniques,

ce dispositif consiste à rajouter à un système mécanique, modélisé par une masse M

et un ressort K soumis à une force extérieure de pulsation connue, une deuxième

masse m avec un ressort k (et optionnellement un amortisseur ) de telle façon que

la pulsation à laquelle la masse M est théoriquement nulle soit égale (ou avoisinante)

de la pulsation extérieure. De cette manière, on est sûr que la masse M restera

immobile (ou presque) pendant que la force extérieure agit.

Figure 5.11: Modèle mécanique de l’amortisseur de FRAHM

Ce dispositif est d’autant plus efficace que la masse m est très faible que la masse M

qui elle doit être amortie.


PAGE 199

Figure 5.12: Application technique de l’amortisseur de FRAHM.

On peut citer d’autres exemples d’applications : l’oscillation des véhicules

5.5 Analogies électriques

L’analogue électrique du système mécanique libre , étudié ci-dessus, et composé de

deux masses 1m et 2m , en mouvement sans frottement ni force extérieure sur un plan

horizontal, attachées à deux ressorts 1k et 2k , et couplées l’une à l’autre par un ressort

k est un système électrique composé de deux circuits 11CL et 22CL rassemblés dans un

seul circuit électrique à travers un condensateur C . dEn partant des équations du

mouvement du système mécanique.

0

0

12222

21111

kxxkkxm

kxxkkxm

(5.44)

et en utilisant les analogies électromécaniques (analogie force-tension) suivantes:

tUtF

R

ix

qxC

k

Lm

1

(5.45)


PAGE 200

on obtient le système d’équations différentielles régissant la circulation des charges

électriques dans le circuit électrique, à savoir :

011

011

12

2

22

21

1

11

kqqCC

qL

kqqCC

qL

(5.46)

Figure 5.13: circuit analogue (analogie force tension) au système

mécanique composé de deux masses attachées horizontalement à deux

ressorts

On pouvait obtenir ces mêmes équations différentielles en utilisant les lois de

Kirchhoff.

Alors qu’en analogie force-courant, où l’on a les analogies suivantes :

titFR

Ux

xL

k

Cm

1

1

(5.47)

où est le flux à travers une bobine et une tension électrique tel que Udt .

On obtient donc :

0111

0111

12

2

22

21

1

11

dtUL

dtULL

UC

dtUL

dtULL

UC

(5.48)


PAGE 201

Figure 5.14: circuit analogue (analogie force courant) au système

mécanique composé de deux masses attachées horizontalement à deux

ressorts

Passons maintenant à un système mécanique à deux degrés de liberté composé de deux

masses 1m et 2m attachées à deux ressorts 1k et 2k soumis à des forces de frottement

de coefficients de frottement 1 et 2 , ainsi qu’à une force extérieure de type

sinusoïdale, tFtF sin0 , appliquée directement à la masse 1m . En effet, les

équations de mouvement du système mécanique montré la figure sont données comme

suit :

0

sin

122212222

022121121111

xxkxxkkxm

tFxxxkxxkkxm

(5.49)

En utilisant les analogies électromécaniques (force-tension) on obtient le système

d’équations différentielles régissant la circulation des charges électriques dans le

circuit électrique analogue:

0111

sin111

122212

1

22

022121121

1

11

qRqRqC

qCC

qL

tUqRqRqRqC

qCC

qL

(5.50)


PAGE 202

Figure 5.15: circuit analogue (analogie force tension) au système

mécanique forcé

A partir de ce système d‘équations il est possible de concevoir le circuit électrique

correspondant. L’analogie force-courant donne le circuit électrique dont les équations

différentielles s’écrivent comme suit :

011111

sin111111

1

2

2

2

12

1

22

02

2

1

2

1

1

21

1

11

UR

UR

dtUL

dtULL

UC

tIUR

UR

UR

dtUC

dtULL

UC

(5.51)

Figure 5.16: circuit analogue (analogie force courant) au système

mécanique forcé


PAGE 203

5.6 Modes propres de vibration d’un système mécanique à trois

degrés de liberté:

Considérons le système mécanique de trois masses 1m , 2m et 3m attachées entre elles

horizontalement par des ressorts 1k , 2k , 3k et 4k . Les positions des masses par rapport

à leurs positions d’équilibre sont données par les variables 1x , 2x et 3x . Le mouvement

est dans ce cas exclusivement sur une droite.

Le système d’équations de mouvement du système s’écrit sous la forme suivante :

0

0

0

2334333

331223222

2212111

xkxkkxm

xkxkxkkxm

xkxkkxm

(5.52)

Ce qui peut être écrit sous la forme matricielle suivante

0

0

0

0

0

00

00

00

3

2

1

433

3322

221

1

2

1

3

2

1

x

x

x

kkk

kkkk

kkk

x

x

x

m

m

m

ou encore sous une forme plus condensée :

0 KXXM (5.53)

où

3

2

1

00

00

00

m

m

m

M ,

3

2

1

x

x

x

X et

433

3322

221

0

0

kkk

kkkk

kkk

K

Il est possible de récrire l’équation ci-dessus sous forme

01 KXMX (5.54)

où 1M est la matrice inverse de M

En posant KMA 1 , l’équation ci-dessus devient

0 AXX (5.55)

Si la matrice A est diagonalisable (ce qui est vrai dans notre cas) , celle-ci pourrait se

mettre sous la forme :

1 PDPA (5.56)


PAGE 204

où P est une matrice dite de passage construite à partir des vecteurs propres de

A comme étant ses colonnes et D une matrice diagonale dont les éléments sont les

valeurs propres de la matrice A .

L’équation ci-dessus devient alors

01 XPDPX (5.57)

Multiplions l’équation ci-dessus par 1P :

0111 XPDPPXP (5.58)

où encore en faisant le changement de variable suivant :

XPU 1 (5.59)

avec

3

2

1

u

u

u

U , nous obtenons l’équation suivante :

0 DUU (5.60)

Cette équation est très intéressante car elle représente un système d’équations

différentielles découplé puisqu’elle fait intervenir une matrice diagonale. En effet,

l’équation ci-dessus peut se mettre sous une forme plus explicite :

0

0

0

333

222

111

uu

uu

uu

(5.61)

où 1 , 2 et 3 sont les valeurs propres de la matrice A .

Les solutions de ces trois équations différentielles sont données par :

3333

2222

1111

cos

cos

cos

tCtu

tCtu

tCtu

(5.62)

Les variables 1u , 2u et 3u sont appelées coordonnées normales puisqu’elles permettent

de découpler un système linéaire d’équations différentielles. En plus, elles représentent

des mouvements harmoniques simples du système avec trois pulsations d’oscillations :

11 , 22 et 33 ; c’est à dire les modes propres du système.

Cependant, il est intéressant d’avoir l’évolution des coordonnées 1x , 2x et 3x .


PAGE 205

Pour cela, on utilise l’équation :

PUX (5.63)

où encore

3

2

1

333231

132221

131211

3

2

1

u

u

u

PPP

PPP

PPP

x

x

x

Ce qui donne

3332321313

3232221212

3132121111

uPuPuPtx

uPuPuPtx

uPuPuPtx

(5.64)

Les mouvements des masses du système sont finalement des combinaisons linéaires de

mouvements harmoniques simples (modes propres du système) avec les pulsations

correspondantes. Ces résultats nous ramène impérativement à diagonaliser la matrice

A afin que l’étude du mouvement des masses soit complètement établie.

En guise d’exemple d’application, prenons le cas du système mécanique ci-dessus

avec des masses et des ressorts égaux. La matrice correspondante s’écrit sous la forme

210

121

012

m

kA

(5.65)

Il est facile de vérifier que les valeurs propres de cette matrice et partant les pulsations

propres du système sont données par :

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

m

k

2222

22

2222

33

22

11


PAGE 206

Avec les vecteurs propres correspondants :

1

2

1

1V ,

1

0

1

2V et

1

2

1

3V

La matrice de passage s’écrit donc sous la forme :

121

101

121

P

Il serait utile de donner une interprétation des valeurs des vecteurs propres ci- dessus.

En effet, chaque vecteur propre correspond à un mode de vibration, et plus

précisemment , chaque composante du vecteur donne le rapport d’amplitude de

mouvement des différentes masses dans un mode donné. C’est ainsi que le vecteur

1

2

1

1V , correspondant à la pulsation propre m

k221 , indique que les trois

masses oscillent toutes les trois en phase (les signes des composantes sont positives)

avec la deuxième masse qui a une amplitude 2 fois plus grande que les amplitudes

des autres masses.

Les solutions générales de mouvement des masses s’écrivent :

3

2

1

3

2

1

111

202

111

u

u

u

x

x

x

ou encore

3332221113

3331112

3332221111

coscoscos

cos20cos2

coscoscos

tCtCtCtx

tCtCtx

tCtCtCtx

(5.66)

où 1C , 2C , 3C , 1 , 2 et 3 sont des constantes à définir avec les conditions initiales.

Les formes des solutions indique que les masses, dans le premier mode, oscillent en

phase avec les mêmes amplitudes pour la première et la troisième masse, alors que

celle au milieu a une amplitude 2 fois plus grande. Dans le deuxième mode, la masse


PAGE 207

au milieu est immobile, alors que les deux autres masses oscillent en opposition de

phase mais avec les amêmes amplitudes. Dans le troisième mode, la première et la

troisième masse oscillent en phase avec la même amplitude mais en opposition de

phase avec la masse au milieu qui elle oscille avec une mplitude 2 fois plus grande.

De cette façon, tous les aspects du mouvement des masses du système sont établis ; il

ne reste qu’appliquer les conditions initiales (préparation du système) et voir comment

le système évoluera. En effet, cette procédure peut être facilement appliquée à un

système de plusieurs degrés de liberté. Il suffit juste de pouvoir diagonaliser des

matrices de plus en plus grandes, ce qui nécessite le recours à des méthodes

numériques bien établies.


PAGE 208

Applications


PAGE 209

Problème 1:

Deux pendules simples identiques O1A1 et O2A2 de masse m et de longueur l, sont

couplés par un ressort horizontal de raideur k qui relie les deux masses A1 et A2, figure

14.5. A l’équilibre, le ressort horizontal a sa longueur naturelle l0 tel que l0 = O1O2.

Figure 5.14: Couplage de deux pendules identiques par un ressort

Les deux pendules sont repérés, à l’instant t, par leurs élongations angulaires 1(t) et

2(t) supposées petites par rapport à leur position verticale d’équilibre. On désignera g

l’accélération de la pesanteur.

Modes propres :


Etablir les équations différentielles couplées vérifiées par les deux élongations

angulaires instantanées 1(t) et 2(t)

Exprimer en fonction de g, k, l et m, les deux pulsations propres 1p et 2p de ce

système.

Applications numériques :

Calculer 1p et 2p sachant que: m= 100g ; l= 80cm ; k=9.2 N/m et g= 9.8m/s2.

On lâche sans vitesses initiales le système à l’instant t=0 dans les conditions

initiales suivantes :

1=0 et 2=0

En déduire les lois d’évolution. 1(t) et 2(t) aux instants t 0.

Quel est le phénomène étudié.


PAGE 210

Modes forcés :

La masse A est soumise à une force excitatrice horizontale de forme :

)tcos(F)t(F 0

Ecrire les nouvelles équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t).

Exprimer les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2

des points A1 et A2 en régime forcé.

En déduire l’impédance d’entrée complexe1

e

V~F

Z .

Solution :


Le système a deux degrés de liberté exprimés en θ1, θ2

L’énergie cinétique on a :

2m2

2m1c 21

Vm2

1Vm

2

1E


2m

2m

2m

2m

2m

2m

22m

22mm

2m

2m

2

11m

11mm

1m

1m

1

222

111

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

yxV

yxV

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

)sinly

coslx(V)

cosly

sinlx(mO

D’où :

2i

2

1i

2c ml

2

1E


2

1i

i2

21p cosmgl)ll(k2

1E


2

1

2

21

22

1

2

2121 cos)(2

1

2

1),,,(

i

ii

i

mglllkmlL

Les équations différentielles couplées sont :

122

211

22

11

m

k)

m

k

l

g(

m

k)

m

k

l

g(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d


PAGE 211

Les pulsations propres 1p et 2p:

On considère les solutions du système de type sinusoïdal :

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(

Ae)t(

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On

obtient un système linéaire symétrique suivant :

0B)m

k

l

g(A

m

k

0Bm

kA)

m

k

l

g(

2p

2p

Le système admet des solutions non nulles si seulement si :

0det

D’où :

0)()(

2

22 m

k

m

k

l

gp


sradm

k

l

g

sradl

g

pp

pp

/142

/5.3

2

2

2

1

2

1

Les solutions générales s’écrivent :

)cos()cos()(

)cos()cos()(

22112

22111

tBtBt

tAtAt

pp

pp

En appliquant les conditions initiales, on trouve :

ttCtx

ttCtx

pppp

pppp

2sin

2sin)(

2cos

2cos)(

2121

2

2121

1

D’où les solutions générales s’expriment alors comme suit:

tettAvec

ttctx

ttctx

pppp

22

sinsin)(

coscos)(

1212

2

1

Le phénomène étudié est les battements.


PAGE 212

Modes forcés :

Les nouvelles équations différentielles couplées :

0kl)klmg(ml

tcosFkl)klmg(ml

122

0211

Les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires V1 et V2 :

Les solutions particulières sont :

22

11

lj)t(V~

lj)t(V~

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un

0V~

)m

k

l

g(V

~

m

k

em

FjV

~

m

kV~

)m

k

l

g(

22

1

tj021

2

L’impédance d’entrée complexe :

)mkl

mg(

mkl

mg

kj

V~F

Z 2

2

2

1

e

Ce système mécanique fonctionne comme un filtre de fréquence puisque son

impédance varie en fonction de la fréquence.

Problème 2 :

Partie 1 :

On considère deux circuits électriques )C,L,R( apind couplés par une capacité

représentés par la figure 15.5 comme suit:

Figure 5.15: Deux circuits couplés par une capacité


PAGE 213

Quel est le nombre de degré de liberté ?


Donner les équations du mouvement

Partie 2 :

On néglige les résistances des deux circuits. On prend les nouvelles grandeurs

physiques telles que :

indind2ind1 LLL , apap2ap1 CCC et apind

2

0CL

1 .

Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.

En déduire les pulsations propres du système en fonction de 0.

Donner les solutions générales.

Quel est le modèle mécanique équivalent ?

Solution:

Partie 1 :

Le nombre de degré de liberté est 2 car les deux courants parcourus dans les

deux circuits sont différents.

Le Lagrangien du système est exprimé comme suit :

2

1

22

21

22

1

2121

1

2

1)(

2

1

2

1),,,(ˆ

i

iiapap

i

i

iind qC

qqC

qLqqqqL

Le système différentiel s’écrit:

0qC

1q)

C

1

C

1(qL

0qC

1q)

C

1

C

1(qL

1ap

2apap2

2ind2

2ap

1apap1

1ind1


PAGE 214

Partie 2 :

Les nouvelles équations du mouvement :

0qC

1q

C

2qL

0qC

1q

C

2qL

1ap

2ap

2ind

2ap

1ap

1ind

Les pulsations propres :

On considère les solutions du système de type sinusoïdales :

)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(q

Ae)t(q


système linéaire symétrique suivant :

0AC

1B)

C

2L(

0BC

1A)

C

2L(

apap

2pap

apap

2pind


0det

D’où :

0)C

1()

C

1L( 2

ap

2

ap

2pind


apind

2p2

apind

2p1

CL

3

CL

1

Les solutions générales sont exprimées comme suit :

)tcos(B)tcos(B)t(q

)tcos(A)tcos(A)t(q

p22p112

p22p111

Le système mécanique équivalent est représenté par la figure 16.5 comme suit:


PAGE 215

Figure 5.16: Mouvement oscillatoire du système mécanique couplé

Problème 3 :

On modélise le mouvement d’une molécule triatomique (A-B-A) a un système

mécanique constitué par trois masses couplées par deux ressorts identiques de

constante de raideur k représenté dans la figure 17.5 comme suit:

Figure 17.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté


Déterminer les équations différentielles du mouvement.

En déduire les pulsations propres ainsi la nature du mouvement.

Donner la matrice de passage.


Solution:



233

222

21i1c xm

2

1xm

2

1xm

2

1E


232

221p )xx(k

2

1)xx(k

2

1E

Le Lagrangien s’exprime alors :


PAGE 216

232

221

2i

3

1i

i )xx(k2

1)xx(k

2

1xm

2

1L


0kxkxxm

0kxkxkx2xm2

0kxkxxm

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

233

3122

211

33

22

11



)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(x

Be)t(x

Ae)t(x


système linéaire suivant :

0kBC)km(

0kCkAB)k2m2(

0kBA)km(

2p

2p

2p


0det

D’ou

0]k)km)[(km( 222p

2p

Les pulsations propres sont :

m

k2

0

m

k

2p3

2p2

2p1

La matrice de passage s’écrit:

000

110

111

P

La solution générale est :


PAGE 217

)tcos(

)tcos(

)tcos(

P

)t(x

)t(x

)t(x

3p3

2p2

1p1

1

2

1

Problème 4 :

Sur un arbre OO’ horizontal et fixe, de masse négligeable, encastré à ses extrémités O

et O’, sont fixés trois disques (D1), (D2) et (D3) de centres respectifs O1, O2 et O3 et de

même moment d’inertie J par rapport à leur axe commun OO’. On désignera 1(t),

2(t) et 3(t), les angles angulaires de rotation de chacun des trois disques par rapport à

leur position de repos, figure 18.5:

Figure 5.18: Mouvement oscillatoire couplés de trois disques de torsion

Les quatre partis OO1, O1O2, O2O3 et O3O’de l’arbre ont même constante de torsion C.

On posera la constante :

J

C2

0 .

Régime libre :

Déterminer le Lagrangien de ce système.

Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les angles

1(t), 2(t) et 3(t).

En déduire les trois pulsations propres 1p, 2p et 3p de ce système en fonction

de 0.

Déterminer pour chaque des trois modes propres, les amplitudes angulaires des

disques D2 et D3 si l’amplitude angulaire du disque D1 est A= 1 radian.


PAGE 218

Calculer l’énergie mécanique totale ET de cette chaîne de trois disques, pour

chacun des modes propres, en fonction de C et de l’amplitude angulaire 10 du

disque D1.

Régime forcé :

On applique au seul disque (D1) un couple moteur de moment sinusoïdal, de pulsation

réglable et d’amplitude 0.

)tcos()t( 0 ,

Etablir en fonction du paramètre 2

0

)(X

, les amplitudes angulaires A1, A2 et

A3 de chacun des disques en régime forcé.

Pour quelles valeurs de X ce système est il en résonance ?

Solution:

Régime libre :

Le Lagrangien de ce système :


23i

22

21c J

2

1J

2

1J

2

1E


21

23

232

221p C

2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1E

Le Lagrangien s’exprime alors :

2

1

2

3

2

32

2

21

23

1

3213212

1

2

1)(

2

1)(

2

1

2

1),,,,,( CCCCJL i

i

Les équations différentielles sont :

0)2(

0)2(

0)2(

0)(

0)(

0)(

23

2

03

312

2

02

21

2

01

33

22

11

LL

dt

d

LL

dt

d

LL

dt

d




PAGE 219

)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(



0BC)2(

0CAB)2(

0BA)2(

20

20

2p

20

20

20

2p

20

20

2p


0det

Avec

0

20

2

02

20

2p

20

20

20

2p

20

20

20

2p

D’ou :

0])2()2)[(22( 220

22p

20

20

2p


22

22

2

0p3

0p2

0p1

Les amplitudes angulaires des disques D2 et D3

32120p3p

32120p2p

2320p1p

2222

2222

02

L’énergie mécanique totale ET :

21

23

232

221

2i

3

1i

T C2

1C

2

1)(C

2

1)(C

2

1J

2

1E

Régime forcé :

Les amplitudes angulaires A1, A2 et A3 :


PAGE 220

0)2(

0)2(

)tcos()(CCJ

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

ML

)L

(dt

d

23203

312202

02111

33

22

i

ext11

En régime forcé les solutions particulières sont de la forme:

tj33

tj22

tj11

eA)t(

eA)t(

eA)t(

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient le résultat

suivant :

)X22)(X22)(X2(

1

CA

)X22)(X22(

1

CA

)X22)(X22)(X2(

)X3)(X1(

CA

03

02

01

Ce système entre en résonnance pour les valeurs de X, comme suit :

22X

22X

2X

Problème 5 :

On considère trois pendules simples identiques, de masses m, de longueur l, présentés

dans la figure 19.5. Les masses sont reliées entre elles par l’intermédiaire de deux

ressorts identiques, de raideur k. A l’équilibre, les pendules sont verticaux, les trois

masses sont équidistantes sur une même, et les ressorts ont leur longueur naturelle. Le

système en mouvement est défini, à l’instant t, par les élongations angulaires θ1, θ2, θ3

des pendules avec la verticale descendante.

On posera les constantes suivantes :

m

k20 et

l

g20 .


PAGE 221

Figure 5.19: Mouvement oscillatoire couplés de trois pendules


Etablir les équations différentielles du second ordre vérifiées par les élongations

angulaires θ1(t), θ2(t), et θ3(t) pour les petites oscillations du système.

Déterminer les pulsations propres du système.


On prend : m=1kg, k=10N/m ; l=1m, g=10m s-2. Calculer les pulsations

propres.

Déterminer le rapport des amplitudes angulaires A

B et

A

C pour chacun des

modes propres de ce système.

Solution:


Le système a trois degrés de liberté représentés par : θ1, θ2, θ3.


23

222

22i

2c ml

2

1ml

2

1ml

2

1E


3

1i

i2

322

21p cosmgl)ll(k2

1)ll(k

2

1E

Le Lagrangien s’exprime comme suit :


PAGE 222

3

1

2

32

2

21

23

1

2

321321 cos)(2

1)(

2

1

2

1),,,,,(

i

ii

i

mglllkllkmlL


0)(

0)2(

0)(

0)(

0)(

0)(

2

2

03

2

0

2

03

3

2

01

2

02

2

0

2

02

2

2

01

2

0

2

01

33

22

11

LL

dt

d

LL

dt

d

LL

dt

d



)t(j

3

)t(j

2

)t(j

1

p

p

p

Ce)t(

Be)t(

Ae)t(



0BC)(

0CAB)2(

0BA)(

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

2p

Le système admet des solutions non nulles si seulement

0det

Avec :

0

0

2

0

20

20

2p

20

20

20

20

2p

20

20

20

20

2p

D’ou :

0]3)32()[( 20

20

40

2p

20

20

4p

20

20

2p

Les pulsations propres sont alors:

s/rad32.63

s/rad46.4

s/rad16.3

p20

20p3

p20

20p2

p0p1


PAGE 223

Les rapports des amplitudes sont :

1A

C2

A

B3

1A

C0

A

B

1A

C1

A

B

20

20p3

20

20p2

0p1

Problème 6:

Soit le système mécanique, constitué de deux pendules simples de longueur l et de

masses m1, m2 représentés dans la figure 20.5 comme suit :

Figure 5.20: Couplage de deux pendules simples par la masse


Donner les équations différentielles du mouvement pour les faibles oscillations.


l

g2

0 et2

1

m

m .

Déterminer dans ce cas les pulsations propres du système 1p et 2p en fonction

des paramètres et 0.

Déterminer les solutions générales

Solution:

Le Lagrangien du système s’écrit : est déjà calculé dans le problème (1.1-B)

)cos(cosglmcosglm

)cos(lmlm2

1l)mm(

2

1L

21211

21212

222

22

21

221


PAGE 224

Le système différentiel devient :

0gll

0g)mm(lml)mm(

0L

)L

(dt

d

0L

)L

(dt

d

212

12122121

22

11

D’ou :

0

0)1()1(

22012

12021

Avec :

l

get

m

m 20

2

1



)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(

Ae)t(



0B)(A

0BA)1)((20

2p

2p

2p

20

2p


0det

D’où

0)1()( 4p

220

2p

Les deux pulsations propres sont 1p et 2p exprimées comme suit :

20

2p1

20

2p1

11

1

11

1

Les solutions générales sont de la forme:

)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(

p22p112

p22p111


PAGE 225

Problème 7:

Un ressort est relié par ses deux extrémités a deux points matériels, B de masse M et P

de masse m, figure 21.5. Ce dernier peut se déplacer sans frottement le long de l’axe

Ox tandis que B est fixe à l’extrémité inferieur d’un fil inextensible, de longueur l=OA,

de masse négligeable, accroche en a un support horizontal et pouvant tourner

librement autour de l’axe Az . Le ressort a une masse négligeable, une raideur k et une

longueur a vide également négligeable. Il a la possibilité, avec P, d’être à gauche ou à

droite de B. le champ de pesanteur est de la forme yugg

et on suppose que l’angle

(t) défini par l’attitude du fil relativement à la verticale reste petit.

Figure 5.21: Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique


Déterminer les équations du mouvement


l

g20 ,

m

k21 ,

M

k22 et

21

20

2r

.

Mettre les équations du mouvement en fonction les paramètres 0, 1 et 2.

On cherche une solution de la forme :

tj

ppXex

et tj

BpYelY

.

Déterminer dans ce cas les modes propres p2p1 et

On n’admet désormais que m=M.


PAGE 226

Exprimer les deux pulsations propres p2p1 et en fonction de r et 1.

En déduire la solution générale.

Solution:



22pc )l(M

2

1xm

2

1E


cosMgl)lx(k2

1E 2

pp


cosMgl)lx(k2

1)l(M

2

1xm

2

1L 2

p22

p

Les équations du mouvement s’écrit:

0lxx

0xl)(l

0x

L)

x

L(

dt

d

0L

)L

(dt

d

21p

21p

p22

20

22

pp

Les solutions sont de la forme :

tjp Xex et tj

B YelY .



0YX)(

0Y)(X21

21

2p

22

20

2p

22


0det

D’où :

0))(( 22

21

21

2p

22

20

2p


PAGE 227


2

4)2(2

2

4)2(2

21

20

221

20

21

202

p2

21

20

221

20

21

202

p1

D’où :

21

20

21p2

21p1

2ravec

1r1r

1r1r

Les solutions générales :

)tcos(Y)tcos(Y)t(Y

)tcos(X)tcos(X)t(x

p22p11

p22p11p

Problème 8 :

Soit un pendule de masse m et de longueur l pivote autour de M qui glisse sans

frottement sur le plan horizontal, comme le montre la figure 22.5 comme suit :

Figure 5.22: Couplage pendule simple avec un oscillateur harmonique

Partie A :

Etablir l’énergie cinétique et l’énergie potentielle du système.

En déduire le Lagrangien du système ?

En déduire les équations différentielles de mouvements.


Trouver le rapport d’amplitude dans les modes normaux.


PAGE 228

Donner les solutions générales lorsque : M tend vers l’infini et l tend vers 0.

Discuter.

Partie B :

On impose au point s un mouvement sinusoïdal de type :

tsinaxs

Comme le montre la figure 23.5:

Figure 5.23: Mouvement oscillatoire forcé à deux degrés de liberté

En déduire les nouvelles équations du mouvement.

Donner le module des amplitudes.

Quelle est la nature du mouvement.

Solution:

Partie A :

Le système a deux degrés de liberté exprimés en x(t) et θ(t)

Pour l’énergie cinétique on a:

2m

2Mc mV

2

1MV

2

1E


)0y

xx(V)

0y

xx(MO

)sinly

coslxx(V)

cosly

sinlxx(mO

M

MM

M

M

m

mm

m

m

D’où :


PAGE 229

coslxm])l(mx)mM[(2

1E 22

c


cosmglkx2

1E 2

p

Figure 5.24: Différents états du système

On déduit, le Lagrangien du système comme suit:

cosmglkx2

1coslxm])l(mx)mM[(

2

1),,x,x(L 222

Arès le calcul, le système différentiel est donné comme suit :

0xmlmglml

0kxmlx)mM(

0L

)L

(dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

2

Les pulsations propres 1p et 2p:


PAGE 230

On considère les solutions du système de type sinusoïdales :

)t(j

)t(j

p

p

Ae)t(x

Be)t(



0B]gl[A

0BmlA]k)mM([2p

2p

2p

2p


0det

D’où

0ml]gl][k)mM([ 4p

2p

2p

On obtient alors :

0kgM4]klg)mM[(Avec0kg]klg)mM[(Ml 22p

4p

Il existe donc deux pulsations propres sont 2

p2

2

p1 et comme suit :

]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2

1

]kgM4]klg)mM[(klg)mM[(2

1

22p1

22p1

Les rapports d’amplitudes sont calculés comme suit :

k)mM(

ml

B

A

k)mM(

ml

B

A

2p2

2p2

2p1

2p1

p2p

p1p

Les solutions générales sont données :

)tcos(B)tcos(B)t(

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p11

p22p11

La forme des solutions générales lorsqu’on a :

M tend vers l’infini :

Le système devient alors un pendule simple représenté comme suit :


PAGE 231

Figure 5.25: système est équivalent a un pendule simple

l tend vers 0 :

Le système devient dans ce cas un simple oscillateur harmonique représenté

ans la figure 26.5:

Figure 5.26: Système est équivalent à un oscillateur simple

Partie B :

Les nouvelles équations du mouvement sont :

0xmlmglml

kaekxkxmlx)mM(2

tis

Les solutions particulières en régime permanant sont :

)t(ie)(A)t(x et )t(ie)(B)t(

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :

0B]gl[A

kaBmlA]k)mM([22

22


PAGE 232

Les modules des amplitudes sont :

))((

kaB

))((

)l

g(ka

A

2p2

22p1

2

2

2p2

22p1

2

2

Les phénomènes étudiés sont :

La résonance

p2p1quandB

A

Anti résonance.

l

gquand

tetanconsB

0A

La figure 27.5 représente les phénomènes étudiés:

Figure 5.27: Phénomène de résonance à deux degrés de liberté


PAGE 233

Problème 9 :

Partie A :

On considère une barre homogène de masse M, de longueur l, moment

d’inertie 2

g Ml12

1J , mobile d’un axe fixe à une de ses extrémités O. A l’autre

extrémité A est fixé un ressort de raideur k1comme la montre la figure 28.5:

Figure 5.28: Mouvement amorti

De plus le système est amorti par le biais d’un amortisseur au lieu de la barre G dont

le coefficient de frottement α. En position d’équilibre la barre est horizontale.

Dans le cas des petites oscillations :

Donner le Lagrangien du système.


Donner le cas d’un faible amortissement l’expression de la solution générale

θ(t) avec les conditions initiales suivantes:

θ(t=0)=0 et 0)0t( .

Tracer le graphe de θ(t)

Partie B :

On enlève l’amortisseur du milieu G de la barre, et on place un ressort k2 et une masse

m, représenté dans la figure 29.5:


PAGE 234

Figure 5.30: mouvement oscillatoire à deux degrés de liberté

Ecrire le Lagrangien du système.

On pose k1=k, k2=4k et M=3m.

Etablir les équations différentielles du mouvement.

Donner les pulsations propres.

Déterminer les rapports d’amplitudes aux modes propres du système.


En déduire la matrice de passage.

Solution:

Partie A :


Le système a un seul degré de liberté exprimé en θ

Pour l’énergie cinétique :

2O/c J

2

1E


PAGE 235

avec

2G/O/ )

2

l(MJJ


21p )l(k

2

1E

Le Lagrangien s’écrit sous la forme suivante :

221

2O/ )l(k

2

1J

2

1),(L


2

llkJM

LL

dt

d 22

1O/frot

D’ou

0J

lk

J2

l

O/

21

O/

2

Alors :

GG J

lk

J

lavec

/

2

1

2

0

/

22

022

202

La solution générale :

La résolution de cette équation différentielle est de la forme :

22

0

20 sin)cos()(

avectetAet tt

Elle est représentée dans la figure 31.5 comme suit:


PAGE 236


Partie B :


Le système actuel possède deux degrés de liberté exprimé en x et y

Pour l’énergie cinétique on a:

22O/c xm

2

1J

2

1E

Avec

2

G/O/ )2

l(MJJ


21

22p )l(k

2

1)

2

lx(k

2

1E

Le Lagrangien s’écrit alors comme suit :

lyavecyk2

1)

2

yx(k

2

1xm

2

1J

2

1)y,y,x,x(L 2

12

222

O/

Les nouvelles équations différentielles du mouvement :

0kx2ky2ym

0ky2kx4xm

0y

L)

y

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d


Les solutions sont de la forme :

tj pAex

, tj pBely

.


PAGE 237



lyavec

0kA2B)k2m(

0kB2A)k4m(2p

2p


0det

avec

0)k2()k2m)(k4m( 22p

2p

d’où

0mk5'avec0k4m6m 22224p

2

Donc, il existe deux pulsations propres:

)53(m

k

)53(m

k

2p2

2p1

Les raports d’amplitude aux modes propres sont :

51

2

B

A)53(

m

k

51

2

B

A)53(

m

k

p2

p1

2p2

2p1

Les solutions sont données comme suit:

tcos2

51Btcos

2

51A)t(x

tcosBtcosA)t(x

p2p1

p2p1

La Matrice de passage est :

2

51

2

51

11

P

Problème 10 :

Dans le montage représenté dans la figure 5.32, le pendule de longueur l= OA et de

masse m est couplé par l’intermédiaire du ressort horizontal, de raideur k1, au système

oscillant constitué d’une masse m et du ressort de raideur k2 dont l’extrémité O’ est

fixée. L’extrémité O du pendule est fixée.


PAGE 238

Figure 5.32: Couplage chariot-pendule simple

A l’équilibre, le pendule est vertical et deux ressorts ont leurs longueurs naturelles

(ressorts non déformés).

On posera les constantes suivantes :

m

k21 ,

l

g22 et

m

kc2 .

Les déplacements x1(t) du centre de masse G du chariot et x2(t) de l’extrémité H du

pendule, à partir de leur position d’équilibre, sont suffisamment petits pour admettre

que les deux ressorts demeurent pratiquement horizontaux.

Régime 1 :

Etablir Le Lagrangien du système.

Ecrire les équations différentielles du mouvement.

Déterminer les pulsations propres du système 2p1p .

Calculer en fonction des paramètres, 2p1p , 1 et 2, le rapport A

B des

amplitudes des oscillations de la masse H et du centre de masse G du chariot,

pour chacun des deux modes propres du système.

Déterminer la solution générale.

Quelle est la nature du régime 1 ?

Régime 2 :

L’extrémité O’ du ressort de raideur k maintenant soumise à un excitateur qui

lui communique un mouvement sinusoïdal d’amplitude a0 et de pulsation que

l’on peut faire varier :


PAGE 239

tatxs

cos)( 0'

Figure 5.33: Mouvement oscillatoire forcé

Etablir les nouvelles équations différentielles du mouvement.

Déterminer les amplitudes en complexes des mouvements de G et H en fonction

de la pulsation de l’excitation et des paramètres, 1, 2, a0.

On donne g= 9.8 S.I, l= 0.66 S.I m= 0.1 S.I et k2= 1 S.I.

Calculer la période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera

immobile.

Quelle est la nature du régime 2 ?

Solution:

Régime 1 :


Le système a deux degrés de liberté exprimés en x1 et x2


22

21c xm

2

1xm

2

1E


cosmgl)xx(k2

1kx

2

1E 2

12c21p

Le Lagrangien s’écrit alors comme suit

cosmgl)xx(k2

1kx

2

1xm

2

1xm

2

1L 2

12c21

22

21


PAGE 240

Figure 5.34: Mouvement oscillatoire du système « chariot-pendule simple »

Les équations différentielles du mouvement :

12

222

22

22

122

11

22

11

xx)(x

xx)(x

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d



)t(j

2

)t(j

1

p

p

Be)t(x

Ae)t(x




PAGE 241

0B)(A

0BA)(22

22p

2

2221

2p


0)()2(0det 22

21

22

21

22p

22

21

24p


))((4)2(2

1

2

2

))((4)2(2

1

2

2

22

21

22

21

2222

21

222

21

22

p2

22

21

22

21

2222

21

222

21

22p1

Le rapport des amplitudes des oscillations A

Bs’écrit :

p2p2

222

2p2

2

2

p1p2

221

2p1

1

1

A

B

A

B

La solution générale :

)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p112

p22p111

La nature du mouvement : le système a un mouvement libre couplé à deux

degrés de libertés.

Régime 2 :



cosmgl)xx(k2

1)xx(k

2

1xm

2

1xm

2

1L 2

12c2

'o122

21

Le système différentiel :

0xx)(x

tcosaxx)(x

0x

L)

x

L(

dt

d

0x

L)

x

L(

dt

d

12

222

22

0212

21

2211

22

11

Les amplitudes en complexes des mouvements de G et H :


PAGE 242

Les solutions particulières sont de type :

)t(jp22

)t(jp11

Be)t(x)t(x

Ae)t(x)t(x

En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient :

tjtj

222

22

210

2221

2

eBB~

AeA~

Avec

0B~

)(A~

aB~

A~

)(

Alors :

4222

2221

2

221j

4222

2221

2

222

221j

))((BeB

~

))((

)(AeA

~

2

1

La période T de l’excitateur pour laquelle le chariot demeurera immobile :

s26.12

T22

2

Problème 11 :

On considère une échelle de perroquet constituée d’une chaine linéaire de pendules

simples. Chaque élément est formé d’un pendule simple de longueur l et de masse m ;

ci-dessous la figure 5.35 attachés à une tige ayant un module de torsion C. Les deux

pendules des extrémités sont montés à la même tige de raideur C sur un bâti rigide.


PAGE 243

Figure 5.35: Modèle physique de l’échelle de perroquet

Etablir les énergies cinétique et potentielle du système.



l

get

ml

C 2

022

2

01

Etablir les équations différentielles du système.

Soient les solutions dans le régime libre comme suit :

3,2;1cos)( iavectAt ii


Déterminer la matrice de passage.

En déduire les solutions générales

Soient les conditions initiales suivantes :

000

00

321

1032101

tA

Montrer que seul le deuxième mode est excité.


PAGE 244

Solution:

L’énergie cinétique du système s’écrit comme suit :

2

3

22

2

22

1

2

2

1

2

1

2

1 mlmlmlEc


)coscos(cos2

1

2

1)(

2

1)(

2

1321

2

3

2

1

2

32

2

21 mlCCCCE p

Donc le lagrangien s’écrit comme suit :

)coscos(cos2

1

2

1)(

2

1)(

2

1

2

1

2

1

2

1

321

2

3

2

1

2

32

2

21

2

3

22

2

22

1

2

mlCCCC

mlmlml

EEL pc


0sin)2(

0sin)()(

0sin)2(

0

0

0

3233

2

123212

2

1211

2

33

22

11

mglCml

mglCCml

mglCml

LL

dt

d

LL

dt

d

LL

dt

d

Après linéarisation du système différentielles en posant sin pour les petites

oscillations et en remplaçant les constantes l

get

ml

C 2

022

2

01 ; on trouve :

0)2(

0)2(

0)2(

3

2

0223

2

013

2

2

02312

2

012

1

2

0221

2

011

On a un système différentiel linéaire homogène, qui a admet des solutions

harmoniques de la forme suivantes :

3,2;1cos)( iavectAt ii

D’où :

3,2;1)( 2 iavect ii


PAGE 245

Après calcul on obtient alors le système linéaire suivant :

0)2(

0)2(

0)2(

2

2

013

22

02

2

01

3

2

012

22

02

2

01

2

01

2

2

011

22

02

2

01

AA

AAA

AA

On peut l’écrire sous la forme matricielle :

0

0

0

20

2

02

3

2

1

22

02

2

01

2

01

2

01

22

02

2

01

2

01

2

01

22

02

2

01

A

A

A

Pour que ce système linéaire admet des solutions non nulles il faut que :

0det

Ainsi ; on obtient:

0202

2)2(

22

02

2

01

2

01

2

012

0122

02

2

01

2

01

2

01

22

02

2

0122

02

2

01

D’où :

0)2()2()2( 22

02

2

01

4

01

4

01

222

02

2

01

22

02

2

01

Finalement après calcul on aura les trois modes propres du mouvement comme

suit :

2

02

2

013

2

02

2

012

2

02

2

011

)22(

)22(

2

p

p

p

En appliquant les conditions initiales ; on obtient :

0cos

0cos

0coscos

0coscos

33

11

3311

3311

A

A

AA

AA

De plus on a :

0sin

0sin

0sinsin

0sinsin

33

11

3311

3311

A

A

AA

AA

D’où :

00 31 AetA

On a de plus :


PAGE 246

0sincos 232210 AetA

Avec :

1022 0 Aet

Finalement on a:

)(cos)(

0)(

cos)(

1103

2

101

ttt

t

tt


PAGE 247


Problème 12 :

Mode propre : Deux points matériels A1 et A2 de même masse m ; sont reliés entre eux

par un ressort de raideur k’. Par ailleurs ; ils sont reliés à 2 supports fixes par deux

ressorts ayant chacun la même raideur k. l’ensemble peut coulisser sans frottements le

long d’une tige horizontale fixe. On note )();( 21 txtx les élongations respectives des

points A1 et A2 ; comptées à partir de leur position d’équilibre où les ressorts ne sont ni

allongés ni contractés ; voire la figure 5.36.

Figure 5.36: Couplage de deux oscillateurs harmoniques identiques

Etablir les énergies cinétiques et les énergies potentielles du système.


Déterminer les équations différentielles qui régissent le mouvement du système.

On propose les solutions comme suit :

)()()()()()( 2121 txtxtDettxtxtS

Réécrire les nouvelles équations différentielles en fonction des

variables )()( tDettS .

En déduire les pulsations propres pp et 21

Déterminer les solutions générales )();( 21 txtx .

Mode forcé : Le point A1 est soumis à une force harmonique de type :

xutFtF

).cos()( 0

Déterminer l’amplitude AX du mouvement permanent du point A1.

Représenter la courbe )(fX en faisant ressortir les phénomènes

intéressants.


PAGE 248

Quelles conditions initiales faut-il donner à A1 pour exciter uniquement

l’un ou l’autre des modes propres.

Pourquoi il est nécessaire de supposer un amortissement très léger dans

notre étude.

Problème 13 :

Soit le modèle physique d’un véhicule de longueur l représenté dans la figure 5.37

comme suit :

Figure 5.36: Modélisation physique des oscillations d’un véhicule

Où M représente la masse du véhicule ainsi les passagers.

Les grandeurs (k1, m1) et (k2, m2) représentent successivement la raideur et la masse

des roues avant et arrière de véhicule. Les ressorts k3 et k4 décrivent un modèle simple

à toutes les vibrations extérieures.

On s’intéresse qu’aux vibrations verticales. On considère que les masses m1 et m2 sont

des points matériels.

Quel le nombre de degré de liberté ?


Déterminer les équations différentielles des mouvements.

Déterminer les pulsations propres.


PAGE 249

Problème 12 :

Lors d’un control technique, un véhicule est installé sur un banc d’essai permettant de

communiquer aux roues un mouvement vertical, identique et sinusoïdal de la forme

suivante comme le montre la figure 5.38:

tcosS)t(S 0

Figure 5.38: Modélisation d’un mouvement oscillatoire d’un véhicule

La suspension des ressorts est modélisée par deux ressorts identiques de raideur k et

deux amortisseurs identiques de coefficients de frottement. La masse du véhicule est

de grandeur m et son moment d’inertie par rapport à un axe horizontal e de gravité G

est JG. La voiture peut osciller par rapport à sa position d’équilibre, c'est-à-dire, y=0 et

θ=0.

On s’intéresse dans ce qui suit aux oscillations de tangage, c'est-à-dire, les rotations

d’angle θ autour d’un axe passant par G et parallèle à OZ et aux oscillations de

pompage, c'est-à-dire, les translations de l’ensemble parallèlement à la verticale OY.

Etablir les coordonnées des points A et B de la voiture dans le repère XOY.



PAGE 250

Exprimer les équations différentielles du système.

Déterminer les solutions totales du mouvement y(t) et θ(t).


PAGE 251

Mini projet -1

Partie A : On considère le modèle d’un oscillateur harmonique vertical représenté dans la

figure 5.39 par une masse m placé dans un potentiel élastique du type2

p kx2

1E .

Figure 5.39: Modèle de l’oscillateur harmonique.

Etablir le Lagrangien

Déterminer l’équation différentielle du mouvement du système.

Déterminer la solution générale en utilisant les conditions initiales :

0)0(0)0( vtxettx

Partie B : Le système précédent est couplé à un autre oscillateur harmonique de masse

M et de raideur K. Figure 5.40.

Figure 5.40: Couplage de deux oscillateurs harmoniques.



On propose les solutions générales de la forme :

)(

2

)(

1 )()(

titi pp BetxetAetx


PAGE 252

Déterminer les modes propres pp et 21

Donner les rapports d’amplitudes aux modes propres.

En déduire les solutions générales.

Partie C : On se propose maintenant d’étudier le fonctionnement de l’étouffeur

dynamique des vibrations, modélisé par deux masses couplées M et m oscillent à

l’horizontale comme le montre la figure 5.41. Le système est soumis à une force de

frottement visqueuse dont le coefficient de frottement est et une force extérieure sinusoïdale

de la forme :

tFtF cos)( 0 .

Figure 5.41: Modèle physique d’un étouffeur dynamique des vibrations


On propose les solutions particulières comme suit:

)(

2

)(

1ˆ)(ˆ)( titi eBtxeteAtx

Déterminer les modules d’amplitudes des solutions particulières BetA ˆˆ en

régime permanent.

Quelle est la condition pour avoir l’annulation du mouvement de la masse m.

Commenter les résultats.

Solution:

Partie A

Le vecteur de position est égal à :

ixvixmo


PAGE 253


22c xm

2

1mv

2

1E

L’énergie potentielle pour des petites oscillations, s’écrit sous la forme:

2p kx

2

1E

Alors, le Lagrangien du système est de la forme:

22

2

1

2

1kxxmEEL pc

L’équation de mouvement est de la forme :

kxx

Lxm

x

L0

x

L)

x

L(

dt

d

D’ou

0xxm0kxxm 20


m

k20

La solution de l’équation différentielle s’écrit alors :

)cos()( 0 tAtx

En appliquant les conditions initiales :

20cos0x,0t

2avec

vAvx,0t 0

0

La solution finale sera exprimée comme suit :

tv

txtAtx

sin)()cos()( 0


L’énergie cinétique du système s’écrit :

)(2

1)(

2

1 2

2

2

1 txMtxmEc

L’énergie potentielle du système s’exprime par rapport à l’état d’équilibre:


PAGE 254

2

21

2

1 )(2

1

2

1xxKkxE p


2

21

2

1

2

2

2

1 )(2

1

2

1)(

2

1)(

2

1xxKkxtxMtxmEEL pc


0

0)(

0)(

0)(

122

211

22

11

KxKxxM

KxxKkxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

On propose les solutions générales :

)(

2

)(

1 )()(

titi pp BetxetAetx

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient un système linéaire

comme suit:

0

0)(2

2

BKMKA

KBAKkm

p

p


0det

D’où

0)))((( 222 KKMkKm pp

On obtient alors :

0)(24

mM

Kk

m

kK

M

Kpp

En résolvant l’équation ; on obtient les modes propres comme suit :

mM

kK

m

kK

M

K

m

kK

M

K

mM

kK

m

kK

M

K

m

kK

M

K

p

p

4)(2

1

22

4)(2

1

22

22

2

22

1

Les rapports d’amplitudes aux modes propres :

Kkm

K

B

A

Kkm

K

B

A

p

p

pp

pp

2

22

2

2

11

1

2

1


PAGE 255

Les solutions générales s’écrivent alors :

)tcos(B)tcos(B)t(x

)tcos(A)tcos(A)t(x

p22p112

p22p111

Partie c


0

)()(

0)(

)(

122

1211

22

11

KxKxxM

xtFKxxKkxm

x

L

x

L

dt

d

Fx

L

x

L

dt

d

i

ext

D’où

0

cos)(

122

02111

KxKxxM

tFKxxKkxxm

En régime permanent, En remplaçant la forme des solutions particulières dans

le système différentiel on obtient alors le système linéaire comme suit :

0ˆˆ

ˆ)(2

0

2

BKMAK

FKBAiKkm

p

p

Les modules d’amplitudes des solutions particulières s’écrivent alors comme

suit :

)()(

ˆ

)()(

ˆ

224

0

224

2

0

M

K

mi

m

k

M

K

M

K

m

KkM

K

m

F

B

M

K

mi

m

k

M

K

M

K

m

KkM

K

m

FA

La masse m est immobile lorsque la pulsation de la force extérieure est égale à :

M

Ka

2

D’où l’amplitude A est nulle dans ce cas. Dans ces conditions, un tel dispositif

est appelé un étouffeur dynamique de vibrations.

La figure illustre les phénomènes de résonance et antirésonance.


PAGE 256

Figure 5.42: Phénomène de résonnance et antirésonance


PAGE 257

Mini projet -2

Partie A :

Deux particules m1 et m2 ponctuelles, de masses respectives m1 et m2, sont reliées par

un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, la figure 5.43. Les deux masses,

mobiles sans frottement sur une tige horizontale, sont écartées de leur position

d’équilibre puis relâchées sans vitesse ; elles sont repérées à chaque instant t par les

abscisses x1(t)=GM1 et x2(t)=GM2, où G désigne le centre de masse des particules m1

et m2.

Figure 5.43: Modélisation physique des oscillations d’une molécule diatomique


On pose la variable suivante :

X(t)=x2(t)–x1(t)

Déterminer l’équation différentielle du second ordre dont X(t) est la solution du

système.

Exprimer, en fonction de m1, m2 et k, la période T avec laquelle les masses

oscillent l’une par rapport à l’autre.

On suppose que deux masses couplées égales m1=m2=m=0.1kg oscillent avec

une période de 1s.

Calculer la raideur k du ressort de couplage.

Le système étudié modélise les vibrations longitudinales d’une molécule

diatomique d’oxyde de carbone CO dont la fréquence propre f0 est

f0=6.51013Hz.

Calculer la constante de rappelle k de la liaison carbone–oxygène.


PAGE 258


On donne : C = 12, O = 16 ; Nombre d’Avogadro N=6. 1023.

Partie B :

On veut étudier maintenant les vibrations longitudinales d’une molécule triatomique

linéaire A-B-A’ représentée dans la figure 5.44. Les atomes A, B, A’ ont pour masses

respectives m1, m2, m3 ; on désignera x1, x2, x3 les déplacements des atomes A, B, A’ à

partir de leurs position d’équilibre. On suppose que chaque atome est rappelé à sa

position d’équilibre par une force proportionnelle à l’écart, la constante de la force de

rappelle étant k pour la liaison A-B et k’ pour la liaison B-A’.

On admettra que la molécule, dans son ensemble n’est pas animée par un mouvement

de translation.

Figure 5.44: Modélisation physique des oscillations d’une molécule triatomique


Ecrire les équations différentielles du mouvement en x1(t), x2(t) et x3(t).

Ecrire les équations différentielles du mouvement en X(t) et X’(t), en effectuant

le changement des variables suivantes :

X(t)=x2(t)–x1(t) et X’(t)= x2(t)–x3(t).

Montrer que X(t)et X’(t) peuvent varier sinusoïdalement avec le temps pour

deux valeurs 01 et 02 de la pulsation propre qu’on déterminera en fonction de

k, k’, m2 et des pulsations fondamentales p1 et p2’ de chacune des vibrations

de valence des liaisons A–B et B–A’ si elle était seule (en absence de

l’interaction de couplage).


PAGE 259

Applications numériques :

Expérimentalement on détermine les fréquences propres de la molécule linéaire

d’acide cyanhydrique, soient 01 = 6,25.1014 rd/s et 02=3,951014rd/s.

Calculer les fréquences fondamentales des liaisons

H–C et CN sachant que (C-H CN).

En déduire la constante la force de rappelle de la liaison C–H de la molécule

étudiée et la comparer à celle de la liaison C–H des alcanes (k = 500 SI).

On considère maintenant que la molécule triatomique est symétrique, A-B-A, c'est-à-

dire, k=k’ et m1=m3.

Quelles sont les expressions des pulsations propres en fonction de k, m1 et m2. ?

Donner un exemple concret qui vérifie ce modèle.

Partie C

On considère maintenant une chaine linéaire à un atome par maille de côté a. La

position au repos du nième atome de masse m est nax comme le montre la figure

5.45.

Figure 5.45: Chaine d’atomes identiques

Une onde mécanique longitudinale se propageant sans amortissement le long de

l’axe Ox est caractérisée par :

)txq(jAe

On modélise le mouvement des atomes par un potentiel harmonique de type

2kx2

1comme le montre la figure 5.46 avec k est la constante de rappelle.

Figure 5.46: Modèle physique équivalent de chaine d’atomes identiques


PAGE 260

Écrire l’équation du mouvement pour l’atome de rang n, en appelant

11 ,, nnn xxx les déplacements des atomes de rang n-1, n et n+1.

On cherchera la solution de forme :

)( txqj

nnAex

Déterminer la relation de dispersion )q( .

Tracer le graphe )q( .

En déduire la vitesse de la phase.

Donner l’expression de la vitesse du groupe.

Que peut-on dire sur la nature du milieu aux grandes longueurs

d’onde.

Solutions

Partie A :


2

21

2

22

2

11 )(2

1

2

1

2

1xxkxmxmLEEL pc

Le système différentiel s’écrit :

0

0

0)(

0)(

1222

2111

22

11

kxkxxm

kxkxxm

x

L

x

L

dt

d

x

L

x

L

dt

d

En utilisant le changement des variables

X(t)=x2(t)–x1(t)

L’équation différentielle s’écrit alors :

0)11

(21

Xmm

kX

D’où :

00)( 2

0

21

21

XXXmm

mmkX

Avec

21

21

mm

mm


PAGE 261

est appelée la masse réduite du système

Le système est régi par une équation différentielle ordinaire du

second d’ordre avec la pulsation propre ω0:

)(21

210

mm

mmk

La solution est de la forme

)cos()( 0 tAtX

D’où la période des oscillations T s’’écrit comme suit :

)(2

2

21

21

0 mmk

mmTT

Pour un système couplé symétrique mmm 21la masse réduite est

égale à :

221

21 m

mm

mm

Donc la période propre d’oscillation est égale à :

k

mT

22

Alors la raideur du ressort de couplage est égale à :

2

22

T

mk

Comme application numérique on a:

1.2 mNk

La fréquence propre associée à la molécule C-O est :

0

0

cf

Comme application numérique on a:

Hzf 13

0 510.6


PAGE 262

Mini projet -3

Partie A

Nous étudions le cas, important en radioélectricité, de deux circuits )CLR( apind

identiques couplés par induction mutuelle comme le montre la figure 5.47:

Figure 5.47: Couplage mutuel en régime forcé

Dans l’un primaire, on introduit un générateur de tension sinusoïdale :

tcosu)t(u 0

Etablir les équations différentielles du mouvement

En déduire les modules des courants parcourus dans chaque circuit.

Nous voulons examiner les résultats dans un intervalle de pulsation étroit autour de la

valeur 0 de la pulsation propre aux circuits comme suit :

)1(0 .

En déduire l’impédance Z des circuits dans ce cas.

Etablir la tension V aux bornes de la capacité du deuxième circuit.

En introduisant le coefficient de couplage

indL

Mk

Et le facteur de qualité


PAGE 263

R

LQ 0ind

Exprimer la fonction de transfert F définit comme suit : u

VF en fonction de

k, Q et. En déduire son amplitude.

Etudier les variations de F en fonction de. Commenter les résultats.

Partie B :

Soient deux circuits )CL( apind identiques de résistances négligeables, figure 14.5.

Le couplage par inductance mutuelle M est caractérisé par le coefficient de

couplageindL

Mk .

On posera la constante suivante :

apind

20

CL

1 .

Figure 5.48: Couplage mutuel de deux circuits électriques L.C

Ecrire les deux équations différentielles vérifiées par les charges q1(t) et q2(t)

des condensateurs des circuits (1) et (2).

Déterminer les équations différentielles vérifiées par la somme S(t)=q1(t)+q2(t)

et la différence D(t)=q1(t)-q2(t)

En déduire les pulsations propres ’ et ’’ de ce système couplé, en fonction

des paramètres 0 et k.


PAGE 264

On admet que le couplage est faible (indL

Mk 1). A l’instant t =0 où on ferme

l’interrupteur, le condensateur du circuit (1) porte la charge q10 et celui du circuit (2)

est déchargé.

Montrer que la charge du condensateur du circuit (1) évolue au cours du temps

suivant la loi:

tcostcosq)t(q 0101

Où le paramètre sera exprimé en fonction de 0 et k.

En déduire la loi d’évolution de la charge q2(t) du circuit (2).

Quelle est la nature du phénomène étudié ? Commenter.

Partie C:

Le circuit primaire (1) (voir figure 5.49) est maintenant alimenté par un générateur

sinusoïdal de f.é.m. telle que :

tsinu)t(u 0 .

Figure 49.5 : Mouvement forcé pour un couplage mutuel

On étudie le circuit couplé en régime permanent.

Exprimer les charges q1(t) et q2(t) sous la forme

tcos)(A)t(q1 et tcos)(B)t(q2

Où on déterminera les amplitudes q1 () et q2 () en fonction de u0, Lind, 0 et k.

Déterminer la pulsation a d’anti résonance pour laquelle q1(a) = 0.

En déduire l’amplitude q2(a).

Tracer l’allure des graphes q1 () et q2 ().


PAGE 265

Solution :

Le système a deux degrés de liberté exprimés en q1 et q2

Les deux équations différentielles du système s’écrivent :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

0dt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

21ind

ap

1

En introduisant le couplage :

indL

Mk

On obtient :

0qkqq2Circuit

0qkqq1Circuit

12202

21201

En posant les nouvelles variables généralisées:

)t(q)t(q)t(D

)t(q)t(q)t(S

21

21

On obtient les nouvelles équations du mouvement représentées comme suit :

0Dk1

D

0Sk1

S

20

20

Les pulsations propres ’ et ’’ sont définies comme suit :

k1et

k1

00

Les lois d’évolution des charges q2(t) et q2(t) :

2

kAvec

tsint2

ksinq)t(q

tcost2

kcosq)t(q

0

00

12

00

11

0

0

La nature du mouvement : Les battements


PAGE 266

Figure 5.50: Phénomène : les battements

Partie B : Régime forcé :

Les charges q1(t) et q2(t) :

0dt

diM

dt

diL

C

q2Circuit

eudt

diM

dt

diL

C

q1Circuit

12ind

ap

2

tj

021

ind

ap

1

En introduisant le couplageindL

Mk , on obtient :

0qkqq2Circuit

eL

uqkqq1Circuit

12

2

02

tj021

2

01

Les solutions particulières :

tcos)(A)t(q1 et tcos)(B)t(q2

En remplaçant dans le système différentiel, on obtient alors :

0AkB)(2CircuitL

uBkA)(1Circuit

22

0

2

022

0

2

Alors après le calcul, on aura :

22222

0

2

ind

0

22222

0

22

0

ind

0

)k()(

k

L

u)(B

)k()(L

u)(A


PAGE 267

La pulsation a d’anti résonance :

2

0ind

0A0A

k

1

L

u)(B

REFERENCES

[1] P. DENEVE, « Mécanique », Edition ELLIPSES, ISBN 2-

7298-8751-2, 1987.

[2] M. TAMINE, O. LAMROUS, « Vibrations et Ondes »,

Edition OPU, ISBN 1-02-3698, 1993.

[3] J. KUNTZMANN, «Mathématiques de la physique et de la

technique », Edition HERMANN, ISBN 530, 1963.

[4] G. LANDSBERG, « Vibrations et Ondes, Optique», Edition

MIR MOSCOU, ISBN 5-03-000128-X, 1988.

[5] IAIN G. MAIN, « Vibrations and Waves in physics», Edition

CAMBRIDGE LOW PRICE, ISBN 0-521-49848-1, 1993.

[6] C. GRUBER, W. BENOIT, « Mécanique Générale», Edition

PRESSES POLYTECHNIQUE ET UNIVERSITAIRES

ROMANDES, ISBN 2-88074-305-2, 1998.

[7] R. GABILLARD, « Vibrations et Phénomène de

propagation », Edition DUNOD, 1972.

[8] M. BALKANSKI, C. SEBENE, « Ondes et phénomènes

vibratoires », Edition DUNOD, 1973.

[9] L. LANDAU ET E. LIFCHITZ, « Mécanique», Edition MIR

MOSCOU, 1966.

[10] H. GOLDSTEIN, C. POOLE, and J. SAFKO, « Classical

Mechanics», Edition World Student, 1980.

[11] F. CRAWFORD, Jr, « Waves », Berkley, 1968.

[12] Josef. TOROK, « Analytical Mechanics », Wiley

interscience pulblication, 2000.

L’ouvrage :

Ce document traite des bases fondamentales des phénomènes de vibration et

présente les outils mathématiques de compréhension permettant d’accéder à

certains concepts associés à ces phénomènes. Il est destiné aux étudiants de

la deuxième année des filières scientifiques des universités et des écoles

préparatoires d’Algérie. Les étudiants y trouveront une initiation au

formalisme de Lagrange, utilisé dans l’analyse des oscillations des systèmes

mécaniques linéaires à un et à plusieurs degrés de liberté. En plus, ils auront

l’occasion de se confronter à des exercices à difficulté variable, leur permettant

de mieux assimiler les concepts traités dans chaque chapitre. Aussi, le

document est enrichi par deux travaux pratiques en relation avec les sujets

traités.

Les auteurs :

Dr Boukli Hacène Fouad est enseignant de physique à l’école préparatoire des

sciences et technologies de Tlemcen. Il est actuellement directeur adjoint

de la pédagogie à l’école et chargé de cours du module « Ondes et vibrations ».

Ses recherches portent sur les énergies renouvelables et compte à son actif

06 publications internationales et d’autres communications nationales et

internationales dans son domaine.

Dr Mebrouki Mohamed est enseignant de physique à l’école préparatoire

des sciences et technologies de Tlemcen. Auparavant, il a assuré le cours

« Ondes et vibrations ». Il est actuellement chargé de cours du module

« Electricité» à l’école. Ses recherches portent sur l’étude numérique des propriétés

physiques des matériaux. Il compte à son actif 04 publications internationales.

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