1

Les oscillations libres d’un pendule élastique

Oscillations libres non amorties

Série d’exercices corrigés

Exercice 1 :

On considère l'oscillateur horizontal (Figure 1) constitué par un ressort de raideur

K auquel est accroché un corps (C) supposé ponctuel de masse m = 100g.

Lorsque C est en équilibre, son centre d’inertie G se trouve sur la verticale du

point 0 et le ressort n’est ni allongé ni comprimé.

On écarte le corps (C) de sa position d'équilibre (d'abscisse x = 0) et on le lâche

sans vitesse initiale à t = 0.

1- Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d’inertie G du

corps (C). 2- L'enregistrement du mouvement de (C) donne la courbe x = f (t).

figure 2

2

a- Ecrire l'équation horaire du mouvement de (C), en précisant

l'amplitude Xm, la pulsation propre ω0 et la phase initiale ϕx

b- Calculer la valeur de la constante de raideur K du ressort.

3-

a- Exprimer l'énergie mécanique E du système {corps (C), ressort} à

un instant t quelconque lorsque (C) passe une position d'abscisse x

à la vitesse v. b- Déduire que l'énergie mécanique E du système est constante au

cours du mouvement.

Calculer sa valeur. c- Exploiter la conservation de l'énergie pour montrer que

𝒗𝟐 = −𝟒𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝟒. 𝟏𝟎−𝟐

d- Avec quelle vitesse le corps (C) passe-t-il pour la première fois par

la position d'abscisse x = 2,4 cm?

4- On donne la courbe Ep = f (t), représentant l’énergie potentielle du

système (Figure 3).

3

a- Comparer la période T de l’énergie potentielle Ep à la période propre T0

de l’oscillateur.

b- Représenter clairement sur le document suivant les courbes Ec = f (t)

représentant l’énergie cinétique du corps C, et E = f (t) représentant

l'énergie mécanique E du système {corps(C), ressort}.Justifier

4

Exercice 2 :

Un ressort à spires no jointives de masse négligeable et de coefficient de raideur

k = 20 N.m-1 est disposé sur un plan horizontal, l’une de ses extrémités est fixe,

on accroche à l’autre extrémité un solide (S) de masse m = 0,2 Kg. Ce solide

peut se déplacer sans frottement le long d’un axe horizontal (x’x). A l’équilibre,

le centre d’inertie G du solide (S) coïncide avec l’origine O du repère R (O,𝑖)

On allonge le ressort vers la droite, le point G occupe la position G0 telle que

𝑂𝐺0 = 𝑥0 = 2,5 𝑐𝑚 et à l’instant t = 0, on lâche le solide avec une vitesse

initiale v0 =0,25 ms-1.

1-

a- Etablir l’équation différentielle qui régit le mouvement de (G).

b- En déduire l’expression de la pulsation propre 𝜔0 des oscillations de

(G).

c- Vérifier que quelque soient les valeurs de Xm les valeurs et 𝜑,

l’équation horaire 𝑥(𝑡) = 𝑋𝑚sin (𝜔0𝑡 + 𝜑) est solution de l’équation

différentielle précédente.

2-

a- Déterminer la valeur de l’amplitude Xm et celle de la phase

initiale𝜑.

b- En déduire l’expression de la vitesse instantanée v(t) de solide (S)

en fonction de temps.

c- Trouver la date pour laquelle le solide passe par sa position

d’équilibre pour la 5ème fois.

5

3-

a- Donner l’expression de l’énergie mécanique de cet oscillateur.

b- Montrer que cette énergie se conserve au cours de temps.

c- En déduire son expression en fonction de K, m, x0 et v0. Calculer

sa valeur.

Exercice 3 :

Un solide (S) de masse m peut glisser, sans frottement, sur un plan horizontal.

Le solide est lié à l’une des extrémités d’un ressort (R) à spires non jointives de

masse négligeable et de raideur K. A l’origine des temps, on communique au

solide (S) pris dans sa position d’équilibre une vitesse initiale V0 = - 0,5 ms-1, il

se met alors à osciller de part et d’autre de sa position d’équilibre O origine du

repère (O,𝑖)

Au cours de son mouvement, le centre d’inertie G du solide est repéré par son

abscisse x(t).

1.

a- En appliquant la RFD, établir l’équation différentielle vérifiée par

l’abscisse x du solide et en déduire la nature du mouvement du solide.

b- Montrer que 𝑥(𝑡) = 𝑋𝑚sin (𝜔0. 𝑡 + 𝜑𝑥) est solution de l’équation

différentielle si 𝜔02 =

𝑘

𝑚

c- Déterminer l’expression de la vitesse instantanée du solide v(t).

6

2. Les chronogrammes de la figure-2- représentent les courbes de

variation en fonction de temps de l’abscisse x(t) et de la vitesse

v(t) du solide.

a- Déterminer graphiquement le déphasage = 2- 1 entre les deux

courbes.

b- En déduire que la courbe (1) correspond à x(t).

c- Déterminer à partir du graphe :

- L’amplitude de mouvement Xm

- L’amplitude de la vitesse Vm et justifier que v0 = -Vm

- La phase initiale x

d- En déduire la période propre T0 du pendule.

3. La courbe de la figure-3- représente les variations de l’énergie

potentielle élastique du système en fonction du carré de sa vitesse

EP = f (v²)

7

a- En admettant que le système (S, R) est conservatif d’énergie mécanique

totale 𝑬𝒎 =𝟏

𝟐𝑲. 𝑿𝒎

𝟐 , établir l’expression de l’énergie potentielle en

fonction de m, k, v et Xm.

b- Déterminer à partir de la figure-3- la masse m du solide.

c- En déduire la raideur K du ressort.