Chapitre 11 : Mouvement harmonique et oscillations

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Chapitre 11 : Mouvement harmonique et oscillations

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Chapitre 11 : Mouvement harmonique et oscillations

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1. Mouvement du ressort

• Mise en équation : égaler la loi de Hooke et la loi de Newton

• Ressort attaché à une masse :

F = !kx = ma

m

a = !

k

mx

d2x

dt2= !

k

mx équation différentielle

Un mouvement harmonique considère toujours une accélération proportionnelle à -x

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• Solution : d2x

dt2= !

k

mx = !!

2x

x = A cos(!t + ") ! =

!

k

m

• Animation :

k1 k3k2< <

vérifier la solution dans l’équation

• Paramètres de la solution : - Amplitude- fréquence angulaire- phase !

A

ω =2π

T

[m][Hz] [s

−1]

[rad]

fréquence des oscillations

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• Oscillations anharmoniques :

rebonds d’une balle

va-et-vient!v

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• Effet de la gravité :

m

m

!F

!F

m!g

mg ! kx = ma

!kx = ma

g ! !2x =

d2x

dt2

!!2x =

d2x

dt2

z = x ! g/!2

!!2z =

d2z

dt2La fréquence de vibration ne change pas !

C’est la position d’équilibre qui se déplace.

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2. Pendules• Pendule simple :

m!g

!T

!

!

g

Lsin ! =

d2!

dt2

sin ! ! !

pendule presque harmonique

approximation (petites oscillations)

−mg sin θ = md2s

dt2

s

arc : s = Lθ

ω =�

g

L

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• Pendule double :

chaotique !

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3. Energie d’un oscillateur harmonique• Prenons le ressort comme oscillateur harmonique modèle :

K =1

2mv

2

U =1

2kx

2 x = A sin(!t + ")

v = A! cos(!t + ")

E = U + K =1

2kA2

!

sin2(!t + ") + cos2(!t + ")"

!2= k/m

E =1

2kA

2

car

L’énergie totale d’un oscillateur est constante et proportionnelle au carré de l’amplitude.

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• Représentation graphique :

U

K

E1

2kA

2

t0 T

2

T 3T

2

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4. Oscillations amorties• Ajout d’une force de frottement visqueuse :

m!F !V

!kx ! !dx

dt= m

d2x

dt2Newton :

on pose :

solution :

V = !!dx

dtfréquence propre : !0 =

!

k

m

amplitude décroissante

x = A exp

!

!

!t

2m

"

sin

#

$

%

"20!

!

!

2m

"2

t + #

&

'

nouvelle fréquenceconstante

vérifier la solution dans l’équation différentielle

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A exp(...)

sin(...)

x

t

régime oscillatoire

régime apériodique

régime critique ω0 = λ/2m

ω0 > λ/2m

ω0 < λ/2m

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5. Résonance• Oscillateur amorti forcé : ajout d’une force excitatrice

m!F !fe

fe = B cos(!et)on pose :

Newton : !kx ! !dx

dt+ B cos("et) = m

d2x

dt2

x = A(!e) sin(!et + "(!e))solution :

A =B

!

(m!2e! k)2 + "2!2

e

amplitude :

fréquence propre :

amplitude maximale quand !e = !0

!0 =

!

k

m

!V

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!e = !0!e < !0 !e > !0

amortissement faible

amortissement élevé

!0

A

!e

Un transfert d’énergie maximal est obtenu lorsquela sollicitation a la même fréquence que la fréquence propre.

C’est la résonance.

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• Oscillateurs couplés :

• Pendules couplés :

t

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• Le pont de Tacoma : 7 novembre 1940

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• Le pendule de Wilberforce :

position verticale

vitesse de rotation

t

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• Le verre à vin :