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PhénomènesVibratoires et Optiques

Tél: 02 32 95 37 43

Email: [email protected] Faculté de Sciences et Techniques

Université de Rouen

L3 - GSI Maîtrise d’énergie

Kuan Fang REN

2016-2017

Plan du cours

GSI ME L3 2016-2017 K. F. Ren -2-Phénomènes vibratoires et optiques

1. Oscillations (1.5h)

2. Fondamentaux des Ondes (4.5h)

3. Diffraction et interférences (3h)

4. Optique géométrique (3h)

5. Émission et détection (3h)

( ) cos( )u t A t

( , ) cos( )f x t A t kx

'

11

'

1

fOAOA

0(sin sin )p m

0 , LI I e E h

Introduction

Phénomènes vibratoires et optiques K. F. Ren -3-

Oscillations

Mécaniques :

- Ressorts

- Pendule simple ou complexe

- Bateaux ancrés

- Pistons dans les moteurs automobiles

- Cordes de guitares, de violons, de pianos, instruments de percussion …

- Diaphragmes des téléphones et des haut-parleurs

- Turbines, perceuses, toutes machines qui vibrent ……

Électroniques :

- Cristaux de quartz

- Circuit LC

- Électrons circulant dans les antennes de radio et de TV

- Courant électrique, champ électrique …

Oscillations à vouloir ou Oscillations à éviter – il faut les maîtriser !

On se limite à l’étude d’oscillateurs unidimensionnels pour lesquels le vecteur

position ne dépend que d’une seule variable spatiale .

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OndesLes oscillations qui se propagent


Tout point (matériel ou grandeur physique) dans une

onde vibre à sa « position » d’équilibre.

Mécaniques :

oscillation des points matériels du milieu

- Son

- Séisme

- Ondes de surfaces liquides

- Cordes d’instruments musicaux

Électromagnétique :

oscillation des grandeurs physiques E ou H dans un milieu ou

dans le vide

- Champs électriques

- Champs magnétiques

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Chapitre 1 Oscillations

- Oscillation harmonique,

- Equation d’oscillation

- Représentations d’oscillations

- Superposition d’oscillations

- Oscillation amortie et Oscillation forcée

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1.1 Ressort

Force de rappel :

Équation d’oscillation:

1.2 Pendule simple

Force de rappel :

Équation de oscillation:

1.3 Circuit LC

tension sur la condenseur:

Équation de oscillation:

u

x

l

( )F k x l ku

( ) cos( )u t A t

Remarques:

• On peux utiliser aussi la fonction sinus :

Ces deux représentations sont tout à fait équivalentes à une différence de phase initiale près.

• u(t) est la position par rapport à sa position d’équilibre.

• u(t) peut être une grandeur quelconque (déplacement, angle, pression, courant, …)

0( ) cos( )t t

sinF mg

C LC

qu

C

0( ) cos( )q t q t

1. Oscillateurs harmoniques libres

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( ) sin( )u t A t

2. Équation d’oscillation


( ) cos( )u t A t

• u (t) représente le « déplacement » par rapport à sa position d’équilibre

• Trois grandeurs sont nécessaires et suffisantes pour décrire une oscillation

harmonique:

: pulsation, un caractéristique propre de l’oscillateur.

Exemple: pour un ressort k: raideur, m: masse

A : amplitude, A et dépendent des conditions initiales.

: phase initiale,

Exemple 1: à t=0, u(0)=D, v(0)=0 A=D et 0.

Exemple 2: à t=0, u(0)=0, v(0)=v0 A=v0/ et π/2.

• Relations entre

la pulsation (rad/s)

la fréquence f (Hz)

et la période T (s)

Équation horaire :

2 f 1

Tf

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/k m

3. Représentations d’oscillations


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

phi=0 phi=-60phi=90°

3.1. Représentation en fonction réelle

( ) cos( )u t A t

t+2 4

/2

/3

t

A

A

cos( /3)A t cos( / 2)A t

T

cos( )A tReprésentation graphique

3 méthodes

1. Quelques points particuliers:

calcule la période: T=2/,

F t pour t = 0, T/4, T/2, 3T/4, ...

2. Tracer la courbe cosinus et placer l’axe

à et indiquer la période : 2 T.

3. Tracer directement avec la calculatrice

pour t = 0 ... T, ou 2T .

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Une oscillation harmonique est représentée

par un vecteur tournant dans le plan dont

- la longueur est l’amplitude,

- la pulsation est la vitesse angulaire

- la phase initiale est l’angle du vecteur par rapport à l’abscisse à la date t=0.

On la représente conventionnellement à t = 0.

3. Représentations d’oscillations


j( )

tu t Ae

Re

Im

t

t qcq

u(t)=Acos(t

3.2. Représentation en fonction complexe

3.3. Représentation de Fresnel

( ) cos Rej t

u t A t Ae

La grandeur physique est représentée par la

partie réelle de sa représentation complexe.

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4. Superposition d’oscillations


1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( )u t u t u t A t A t A t

2 2cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )

4.1. Fonction réelle

On étudie la superposition d’oscillation de fréquence identique.

Il suffit de déterminer l’amplitude A et la phase de l’oscillation résultante.

1. Par représentation graphique :

u(t) est la somme de u1(t) et u2(t)

à chaque instant (voir la figure).

2. Par le calcul analytique:

Si A1=A2 , on trouve par des

formules trigonométrique :

1. Cas particulier :

2 , 2 '

(2 1) , 0

: entier

p A A

p A

p

2 1

12 cos2

A A

2 1

2

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2 1

4.2 Fonction complexe


1. Par le calcul de fonction complexe :

2. On trouve l’amplitude et la phase de l’oscillation résultante:

1 2( ) ( ) ( )

1 2 1 2( ) ( ) ( ) j t j t j tu t u t u t Ae A e Ae

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

exp( ) cos sin cos sin

exp( ) ( cos cos ) ( sin sin )

exp ( )

u u u j t A jA A jA

j t A A j A A

A j t

A A A A A

A A A A

A A A A

( cos cos ) ( sin sin )

(cos cos sin sin )

cos( )

1 1 2 2

2

1 1 2 2

2

1

2

2

2

1 2 1 2 1 2

1

2

2

2

1 2 2 1

2

2

1 1 2 2

1 1 2 2

sin sinIm( )tan

Re( ) cos cos

A Au

u A A

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2 2

1

cos , sin

tan ( / )

jz x jy re

x r y r

r x y

y x

4.2 Fonction complexe


1. Deux oscillations en phase: l’intensité résultante est maximale.

2. Deux oscillations de phases opposées: l’intensité résultante est minimale.

3. Deux oscillations de même amplitude: A1=A2=A’

L’amplitude résultante dépende de la différence de phase des deux oscillations:

2 2

1 22 , ( )p I A A A

En phase: 2 alors 2 '

Phases opposées: (2 1) , 0

p A A

p A

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Cas particuliers

2 2

1 2(2 1) , ( )p I A A A

2 112 cos

2A A

: entierp

4.3 Construction de Fresnel


Par la construction de Fresnel:

addition des deux vecteurs A1 et A2 (tournants):

A1A2

A

x

y

1

2

)cos(2

)sinsin()coscos(

)()(

1221

2

2

2

1

2

2211

2

2211

2

21

2

21

AAAA

AAAA

AAAAA yyxx

tanIm( )

Re( )

sin sin

cos cos

A

A

A A

A A

y

x

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( )u t u t u t A t A t A t

Résultats identiques à ceux qui sont obtenus par la fonction complexe.

Ax

Ay

A2x

A2x

A1y

A2y

A1y

A1x

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5. Oscillations amorties


1. Régime pseudopériodique :

< 0, T > T0 donc la période est plus longue.

0 : ( ) cos tu t Ae t <

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1Régime pseudo-périotique

temps

u(t

)

2 2 2 2

0 0

0 : ( )t ttu t e Ae Be

0 : ( ) tu t At B e 2. Régime critique :

3. Régime apériodique :

apériodique

Pseudopériodique

critique

2 2

0 La pulsation d’une oscillation amortie: est facteur d’amortissement.

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6. Oscillations forcées et résonance


Pour maintenir les oscillations malgré l’amortissement, il

faut apporter d’énergie au système.

Lorsque la force exercée est dans le sens du déplacement de

l’oscillation, son travail est moteur .

L’application d’une force externe périodique à un système

qui peut osciller, produit des oscillations forcées.

Régime permanent : lorsque le travail fourni est égale au

travail du frottement, l’oscillation se stabilise.

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6. Oscillations forcées et résonance


On applique une force périodique,

si sa fréquence est égale ou proche

de la fréquence propre de

l’oscillateur, l’amplitude accroît.

1. Régime transitoire:

l’amplitude accroît.

2. Régime permanent constante:

Énergie fournie= énergie consommée

u(t)

F(t)

Résonance:

Si la fréquence propre est égale la

fréquence d’animation, l’amplitude

est maximale.

Régime permanent: force et oscillation

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Chapitre 2 Fondamentaux des Ondes


Fonction d’onde

Polarisation et loi de Malus

Superposition d’ondes et ondes stationnaires

Principe de Huygens-Fresnel

Energie et intensité d’ondes

Ondes sonores (décibel)

Axe de

polarisation

Onde polarisée Ip

( , ) cos( )f x t A t kx

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Introduction


Le transport de l’énergie et de la quantité de mouvement se fait

uniquement par deux mécanismes fondamentaux:

Déplacement des particules (matériel, bois, charbon, carburant …)

Propagation d’ondes (mécanique ou EM, radio, TV …)

Le son et la lumière sont deux phénomènes physiques fondamentalement différents qui possèdent

néanmoins plusieurs propriétés communes : ils se comportent tous les deux sous forme d’ondes

tt+t

x

Chaque point matériel vibre aux alentours de sa

position d’équilibre

Seule se propage la déformation, cette vitesse de

propagation est appelée célérité de l’onde c

La direction de propagation est perpendiculaire

(parallèle) à la direction de vibration au point

considéré – onde transversale (longitudinale).

Sens de propagation

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1. Fonction d’onde


Hypothèses :

• la célérité dépend seulement du milieu dans lequel se propage l’onde.

Elle est un caractéristique du milieu:

ex. Onde sur une corde: - onde sonore dans l’air: c = 340 m/s

T: tension, µ: masse linéique - lumière dan le vide: c = 3108 m/s

• la propagation a lieu sans amortissement: l’onde à un instant est la

même qu’à un instant précédent, translatée de la distance parcourue

entre ces deux instants

Fonction d’onde f(x,t):

fonction qui donne la valeur de la perturbation en chaque point x du

milieu de propagation, à chaque instant t.

A priori, c’est une fonction de deux variables : au point d’abscisse x, à la date tEx : à un instant donné t0, f(x,t0) décrit la surface de l’eau ou le profil de la corde,

à un point donné x0, f(x0,t) décrit la vibration du point à x0 .

Tc

µ

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1. Fonction d’onde


Dans les deux cas, la fonction d’onde de deux variables x et t se

ramene à une fonction d’une seule variable couplant x et t:

f (x, t) = g ( x – vt ) et f (x, t) = h ( t – x/v )

Remarques

1. Pour une propagation 1D vers x<0, la source étant à l’origine de l’axe et la vitesse

de propagation toujours notée v, il suffit de remarquer que l’onde est représentée

par f (x, t) = h ( t + x/v )

2. Toute fonction pouvant être écrite sous forme f(tx/v) ou f(x vt) décrit une onde

(d’amplitude) constante.

3. S’il y a amortissement, alors f (x, t) h ( t x/v )

On peut aussi se référer à la vibration à l’origine (x=0):

L’onde à l’abscisse x est celle à x=0 qui arrive x/v plus tard.

f (x, t) = f( 0, t – x/v )

x=0

f(t)x/v

x

t

t=0f(x)

vt

t

x

On peut se référer la perturbation à des dates (t = 0) :

L’onde à la date t est celle de l’origine des dates translatée de vt.

f (x, t) = f (x – vt, 0)

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animation

https://www.youtube.com/watch?v=iJ3-bt0VM3M

2. Fonction d’Ondes sinusoïdales


2 2k

vT v

Les ondes sinusoïdales sont les ondes les plus simples.

( , ) cos[ ( ) ) cos( )x

v

xu x t A t A t kx

( , ) cos[ ( ) ) cos( )x

v

xu x t A t A t kx

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Pour une onde se propageant :

( , ) sin( )v x t A t kx

2( , ) cos( )a x t A t kx

Vitesse:

Accélération:

L’état de vibration (position, vitesse …) d’un point est complètement

déterminé par la phase:

t kx F

2. Fonction d’Ondes sinusoïdales


Les signes devant t et x sont

• opposés si l’onde se propage dans le sens +x,

• identiques si l’onde se propage dans le sens x

La période T définit la période temporelle:

u(x,t)=u(x, t+pT) (p entier)

La longueur d’onde est la distance parcourue pendent une

période, la périodicité spatiale :

u(x,t)=u(x +p, t).

k est le nombre d’onde, module du vecteur d’onde k qui dirige

vers la direction et le sens de propagation de l’onde.

On distingue bien la célérité et la vitesse du point matériel.

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( , ) cos( )u x t A t kx

2 2k

vT v

2.1. Représentation temporelle f(t) – vibration en un point donné


t

T =1 s, =2 m

• Représentation de vibrations en x = 0 et x = 0.5 m: f(0, t)et f(0.5, t)

• Déphasage entre les deux points: x/4, /2

( , ) cos(2 /3)f x t A t x

(0, ) cos(2 /3)f t A t (0,5, ) cos(2 0,5 /3)f t A t

T

Exemple:

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2.2. Représentation spatiale f(x) – portrait d’onde


T =1 s, =2 m

• Représentation de la forme d’onde à t=0 et 0.2 s.

• L’ensemble de l’onde se déplace de vt = 0,4 m = /5, le long de l’axe x.

mais tout point vibre de sa position d’équilibre.

( , ) cos(2 /3)f x t A t x

x

( ,0) cos( /3)f x A x ( , 0,2) cos(0,4 /3)f x A x

/5

Exemple:

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3. Polarisation


3.1 Ondes longitudinalesLa vibration s’effectue dans la même direction que celle de la propagation

Une onde se propage sur un ressort

– onde unidimensionnelle

Une onde sonore se propage dans l’air – chaque

molécule vibre à sa position équilibre

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3.2 Ondes transversales


Champ

électrique E

Champ

magnétique B

z

xy0

0

cos( )

cos( )

x

y

E E t kz x

H H t kz y

Une onde plane se propageant selon z,

champ électrique E polarisé selon x, B selon y:

Exemples:- Onde sur une corde

- Onde de surface d’eau

- Ondes électromagnétiques

3. Polarisation

La vibration s’effectue dans la direction perpendiculaire à celle de la propagation.

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3.3 Polarisation linéaire et loi de Malus (TP)


Onde transversale

Incidente polarisée

Direction de propagation

Direction

de vibration

Amplitude A

Intensité I0=A2:Amplitude Acos

Intensité I=A2cos2

Direction

de vibration

Analyseur

Loi de Malus: 2

0 cosI I

Vibration incidente

Axe de l’analyseur

Acos

A

Vibration

incidente

Vu

de

face

Polarisation linéaire: la vibration est dans une seule direction.

Polariseur = analyseur: Il laisse passer seulement la vibration dans la direction de son axe.

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3.4 Onde non polarisée


AnalyseurPolariseur

Onde non

polarisée I0

Axe de

polarisation

Onde polarisée Ip

Onde

sortant Is

L’intensité de l’onde sortant du polariseur d’une onde incidente non polarisée:

Ip I0/2

L’intensité de l’onde sortant du analyseur dépend de l’angle entre les axes du

polariseur et de l’analyseur :

= 0° : Is = I0/2 est maximale,

= 45° : Is = I0/4,

= 90° : Is est nulle,

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4. Superposition de deux ondes


2 1 2 1 1 2 1 2

1 0 1 1 2 0 2 2

0 2 2 2 2

cos( ), cos( )

2 cos( )cos( )r r r r

f A t kr f A t kr

f A k t k

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1. Amplitude résultante:

2. Déphasage :

2

0, 4

(2 1) / 2, 0

p I A

p I

2 1 2 1

0 2 2

2 1 2 1

2 cos ,

dépend de = et de

r rA A k

A r r

r1

r2

f2

f1

f

2 1Dans le cas: 0

2

0 2 1

2 1

4 si

0, si (2 1) / 2

I A r r p

I r r p

4. Ondes stationnaires


Deux ondes de

(1) même fréquence

(2) même amplitude

(3) se propageant dans les sens

inverses.

1 2

1 2 2 1

2 2

cos( ) cos( )

2 cos( )cos( )

A kx t A kx t

A kx t

1 2 2 11 2 2 2

cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )

Chaque point vibre à son endroit.

Il n’y a plus de propagation

l’onde stationnaire

Ventres:

Nœud:

1 2

2cos( ) 1, 2Vkx A A

1 2

2cos( ) 0, 0Nkx A

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4. Ondes stationnaires


Fréquence de résonance et

mode de vibration:Les valeurs de longueur d’onde et de

fréquence possibles pour l’onde stationnaire

sont donc reliées à la longueur de la corde

par

Fréquence de résonance:

T: tension, µ: masse linéique

Fréquence fondamental: f1=v/2L

Condition aux limites:

2 1(0, ) 0

( , ) 0 , : entier

u t

u L t kL p p

, 1, 2, 3, ... 2 2

p

Tvf p p p

L L

Corde fixée aux deux extrémités

2 , 1,2,3,...n

Lp

p

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5. Principe de Huygens-Fresnel


5.1 Surface d’onde

A. Surface du front d’onde :

La surface sur laquelle tous les

points du milieu de propagation

oscillent en phase.

➙ la phase est la même sur tous

points de la surface.

B. Différence de phase:

F [k(r2-r1) - (t2- t1)+2- 1]

C. Différence de marche:

Dans même milieu:

|r2 - r1|

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5.2 Le principe de Huygens – Fresnel


(1) La contribution de Huygens (1678)

L’onde se propage de proche en proche. Chaque élément de surface

atteint par elle se comporte comme une source secondaire qui émet

des ondelettes sphériques dont l'amplitude est proportionnelle à cet

élément et l’enveloppe définit le nouveau front d’onde.

t+t

t

(2) La contribution de Fresnel (1818)

L'amplitude complexe de la vibration en un point est la somme

des amplitudes complexes des vibrations produites par toutes

les sources secondaires. On dit que toutes ces vibrations

interfèrent pour former la vibration au point considéré.

Fente très grande devant la longueur

d’onde, l’effet de difractions non évident.

Ouverture très petite/,

l’effet de diffractions

évident.

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5.3 Application : interférence


r=0/2

3/2

/2

2 3/2

2

1 1

2 2

( , ) cos( )

( , ) cos( )

u r t A t kr

u r t A t kr

Deux sources :

2 1 2 1( , ) 2 cos cos2 2

r r r ru r t A k t k

Onde résultante:

2 1

2 1

ou 2 , 2 ' : entier

1/ 2 ou (2 1) , 0

r r p p A A p

r r p p A

F

F

2 1L'amplitude est maximale si cos 12

r rk

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6. Réflexion et réfaction


La célérité v dépend de l’indice de réfraction n du milieu:

nc

v n0

absolu

cn n v 1 2relatif 21

2 1

v n

n n v n

Chemin optique dans un milieu homogène d’indice n:

=n d

La différence de phase due à la différence du chemin optique:

0 0

2 2 2nd dk

6.1 Indice de réfraction

Exemples:

Dans le vide (air): c= 3108 ms-1 , 0=0,6328 µm

neau=1,33 veau=2,26108 ms-1 , eau=0,4758 µm

nverre=1,5 vverre=2,00108 ms-1 , verre=0,4219 µm

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6.2 lois de Snell-Descartes


sin sin

i r

AB i AB rt

v v

sin

sin

i

r

vi

r v

sin sini rn i n r

r

r

i

Front d’onde à la date t

Front d’onde à la date t+t

iB

A

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Réflexion totale:

1. ni> nr

2. nisini nr

c-à-d:

nr

ni

1sin rl

i

ni

n

Application : lame à faces parallèles


Un rayon lumineux rencontre une lame à faces parallèles

d’épaisseur e et d’indice n avec un angle d’incidence i0 . La face

supérieure de la lame baigne dans un milieu n0, la face inférieure dans

un milieu d’indice n’<n0.

1. Déterminer la relation entre l’angle d’incidence i0

et l’angle d’émergence i’ dans le milieu d’indice n’.

2. Pour quelles valeurs de l’angle i0 y a-t-il réflexion

totale sur la face inférieure de la lame ?

3. Dans le cas où n’ = n0 = 1, montrer que le rayon

émergent est parallèle au rayon incident.

4. Calculer la différence de chemin optique L entre les

rayons réfléchis par les dioptres inférieur et

supérieur. On prend en compte le déphasage

supplémentaire égal à qui intervient lorsque la

lumière pénètre dans un milieu plus réfringent.

n0

n

n’

i0

G

12

er

I

H

i’

KJ

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Solution – voir annexe

L = (IKG) – (IH) +(/2) = 2 n e cos(r) +(/2)

6.3 Formules de Fresnel


Les taux de réflexion r et de réfraction t pour les polarisations perpendiculaire et parallèle

au plan d’incidence* sont donné par les formules de Fresnel :

/ /

tancos cos

cos cos tan

r i tt i i t

i i t t i i t

E n nr

E n n

/ /

2 cos 2sin cos

cos cos sin cos

t i i i t

i i t t i i t i t

E nt

E n n

sincos cos

cos cos sin

i ti i t tr

i i i t t i t

n nEr

E n n

2 cos 2sin cos

cos cos sin

t i i i t

i i i t t i t

E nt

E n n

i t

i t

n nr

n n

Incidence normale:

2 i

i t

nt

n n

Lorsque nt>ni, r<0, perte

de demi longueur d’onde.

* Le plan d’incidence est défini par le rayon incident et la normale de la surface réfléchissante.

ki kr

kt

Ei Er

Et

Polarisation parallèle:

ki kr

kt

Ei Er

Et

Polarisation perpendiculaire:

GSI ME L3 2016-2017

6.4 Formules de Fresnel


Partie interditen’>n

n

réflexion totale

Angle limite

Tau

x d

e ré

flex

ion I

/I0

Angle d’incidence

Angle de Brewster: i+r=/2

||

||

Taux de réflexion Ir/Ii=|r|2 pour les deux polarisations et || :

n

n’<n

GSI ME L3 2016-2017

7. Énergétique des ondes


Intensité d’une onde :

Onde sphérique:

P: puissance totale émise par la source,

r: distance du point d’observation.

24

PI

r

2 I A

Exemple: Une lampe de 100 W:À 1 m: I1=8 W/m2

À 3 m: I3= I1 /32=0.88 W/m2

GSI ME L3 2016-2017

8. Ondes acoustique


Caractéristiques du son:

• Fréquence: 20Hz - 20 000 Hz

• Vitesse: dans l’air : 340 m/s (dépendante de T et P)

dans l’eau : 1440 m/s (20°C)

• Intensité : I = 10-12 W/m2 (audible) ~ 1 W/m2 (douleur)

La sensation auditive du volume sonore (intensité sonore) dépende du spectre de

fréquence, de la durée et surtout de l’intensité du son.

Spectre sonore :Décomposition d’un son, analyse (de Fourier) des ondes sinusoïdales

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1

( ) cos(2 ) cos(2 ) cos(2 ) ...

cos(2 )n n n

n

u t A f A f A f

A f

La qualité d’un appareil sonore (radio, Hifi, haut-parleur, microphone … ) dépend de son spectre sonore.

GSI ME L3 2016-2017

8. Ondes acoustique


Échelle décibel :

L’unité W/m2 n’est pas adaptée à la sensibilité de l’oreille humaine. On définit

une échelle logarithmique pour mesurer le niveau d’intensité du son. L’unité est

le bel ou plutôt décibel (1 dB=0,1 bel):

où I0 = 10-12 W/m2 (audible)

Quelques exemples:

Fusée puissante: 180 dB

Concert de rock: 120 dB (1 W/m2)

Rue de ville: 80 dB

Chuchotement: 20 dB

0

(en dB) 10logI

I

Le diagramme de Fletcher

GSI ME L3 2016-2017

8. Ondes acoustique


Application :

Considérons 10 violons identiques, chacun de niveau 70 dB.

Quel sera le niveau sonore s’ils jouent ensemble? (log2=0.301)

Solution:

L’intensité varie de I, à 2I, à 3I, … jusqu’à 10 I.

Deux violons: En doublant l’intensité, le niveau sonore augmente de 3 dB

Dix violons jouent ensemble:

Le niveau sonore passe de 70 dB à 80 dB ! (non pas à 700 dB)

10

0 0

1010log 10log10 10log 10 70 80

I IdB

I I

2

0 0

210log 10log 2 10log 3 70

I IdB dB

I I

GSI ME L3 2016-2017

Fin Chapitre 2

Phénomènes vibratoires et optiques K. F. Ren -44-GSI ME L3 2016-2017

Chapitre 3 Diffraction et interférence

GSI ME L3 2016-2017 Phénomènes vibratoires et optiques K. F. Ren -45-

1. Diffraction par une fente

2. Diffraction par un disque (Critère de Rayleigh)

3. Interférence de deux ondes (Young)

4. Réseaux de diffraction;

5. Lames fines et Michelson

3/a 2/a /a O /a 2/a

3/a

sin

I

1. Diffraction par une fente fine


2

0

sin uI I

u

La différence de marche de l’élément dx par rapport au rayon passé par le centre :

sinx La contribution à l’amplitude complexe ds par l’élément dx :

sinik ikxds Ae dx Ae dx

L’amplitude complexe totale à un point sur l’écran est

l’intégrale de ds sur toute la largeur a de la fente :

sinau

3/a 2/a /a O /a 2/a 3/a

sin

I

Largeur de la tache

centrale ( petit)

0

2D

a

0

2s D

a

dx

x

D

0 si et 0

d'où sin

I u p p

pa

Rappel de la sommation de 2 ondes (diapo. 29).

On considère une onde secondaire émise par l’élément dx:

dS = Aei(krt) dx = ds exp[i(kr0t)]

avec ds = Aeikdx, et = rr0

Largeur des taches

secondaires ( petit)

2. Diffraction par un disque/trou (ouverture circulaire)


Amplitude sur l’écran:

Intensité:

21

0sinsin

J

II 2r/

Critère de Rayleigh:Le premier minimum de J1(x) s’obtient pour x=3.832; donc :

1.22

D

D

écran

A1

A2

distinct

Non distinct

3. Interférence d’Young (calcul de à détailler)


Deux fentes identiques parallèles

sin tany

b b bD

3.1. Les fentes sont infiniment fines – sources ponctuelles, traitement par interférence.b: distance entre deux fentes, D: distance fentes-écran, très grand devant b et CM, est donc petit.

La somme des deux ondes :

= S2M S1M

L’intensité sur l ’écran :

Elle est maximale si =p et cette intensité est constante.

Interfrange:

1 2( ) ( ) ( )2 cos( / 2)i t k S M i t k S M i tS Ae Ae A k e

2 24 cos ( / 2)I A k

3.2. Les fentes ne sont pas infiniment fines et

l’intensité maximale n’est pas constante

mais modulée par la diffraction d’une fente

– traitement par diffraction.

Di

b

4. diffraction par un réseau


22

0

sin sin( )

sin( )

ua N udI I

ua N ud

sinu

d = a, N=4

4.2 Les fentes ne sont pas infiniment fines et l’intensité

maximale n’est pas constante mais modulée par la

diffraction d’une fente – traitement par diffraction.

4.1 Les fentes sont infiniment fines, l’intensité maximale est

constante – traitement par interférence.

La différence de marche entre deux fentes consécutives :

sind

L’interférence est constructive lorsque les ondes émises

par deux fentes consécutives sont en phase :

d

ou entierm m

L’intensité maximale se trouve à l’angle :

arcsinm

m

d

m dépend de , principe

du spectromètre.

sind m

4. Diffraction par un réseau


4.4 Pouvoir de résolution :

R mN

m: ordre de diffraction

N : nombre total de lignes du réseau

L : largeur du réseau éclairée

d : pas du réseau, n: nombre traits/mm

/R mN mL d mnL

4.3 Incidence inclinée d’un angle 0 par rapport à la normale du réseau.

La différence de marche entre deux fentes consécutives :

0 0(sin sin )s d

L’interférence est constructive lorsque les ondes

émises par deux fentes consécutives sont en phase :

ou entierm m

La déviation est minimale lorsque :

min 2 mD

d

0

s

0

0D 0

min2 sin( / 2)d D

m

0(sin sin )d m

1. Eq. de réseau : dsin=m (pour I max), par la dérivation:

dcos =m = m/(dcos)

2. Intensité diffractée est max si:

C-à-d

Donc le demi-angle du pic: k=1 ‒ k=0

3. Finalement

L: largeur de la partie éclairée (mm),

n: nombre de traits/mm,

m: ordre de diffraction. Partie supplémentaire

sin' , sin( ) 0 avec N ud m ud u

'sin avec 0

m k

N Nd m k N < <

1 0(sin sin ) cos /md d N

R mN mnL

5. Interférence avec les lames minces


5.1. Différence de marche pour une lame mince

2 cos2

ne r

n0

n

i0

G

12

er

I

H

5.2 Lame à faces parallèles : franges d’égale inclinaison

Angle r petit et varie:

Franges lumineuse :

Rayon angulaire :

Cas Michelson :

2cos 1 / 2r r

2 cos ( / 2)mne r m

2 2 (1)2

2m

mr

n e

2 2mr me

Mir

oir

mo

bil

e

Miroir fixe

5.3 Lame d’épaisseur variable : franges d’égale épaisseur


Angle r petit, e varie:

Franges lumineuse :

Position des franges :

Coins d’air (e=x), les positions des franges :

cos 1r

2 ( / 2)mne m

2 (1)

2m

me

n

2 1

2m

mx

Mesure de déformation

variation de l’indice ou

d’épaisseur

Applications:

Franges de la lumière blanche avec

un défaut de surface

Mir

oir

mo

bil

e

Miroir fixe

Chapitre 4. Optique géométrique


Fondamentaux de l’optique géométrique

• Rayons lumineux, Miroir plan,

• Lois de réflexion et de réfraction; Image, objet et système optique,

• Applications au dioptre plan et à la fibre optique

Formation d’images par lentille mince

Axe et centre optiques, foyers, distances focales, Construction

géométrique; Relation de conjugaison et grandissement

Systèmes de lentilles

Œil; Projecteurs; Objectif, oculaire et profondeur de champ; Appareil

photographique

1. Fondamentaux de l’optique géométrique


Les éclipses du Soleil et de la Lune

TerreSoleil

Lune

cône de

pénombreCône d’ombre

éclipse totale

éclipse partielle

384000 km

150106 km

Propagation rectiligne

dans un milieu homogène:diaphragme

1.1 Le modèle des rayons lumineux

La dimension de l’objet est très grande devant la longueur d’onde

L ≫

?

Image à travers un trou

bougie

1.2 Réflexion et réfraction

Lois de Snell-Descartes

'i iI

in

(S)

R

i’

Surface réfléchissante

objet image

* Le plan d’incidence est défini par le rayon incident et la normale de la surface réfléchissante.

A. Réflexion

• Première loi : le rayon d’incidence et le rayon réfléchi sont contenus

dans le plan d’incidence*

• Deuxième loi : l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence


B. Réfraction


sin 'sin n i n r

• Première loi : le rayon incident et le rayon réfracté sont contenus

dans le plan d’incidence.

• Deuxième loi : les angles d’incidence et de réfraction sont tels que

I

i

r

n

n’>n

R’

R

i’

Milieu plus

réfringent

Dioptre ou

surface réfractante

Angle de

réflexion totalen

n’<n

Angle limite

Partie interditen’>n

n

Réflexion totale: si n’ < n, Angle limite: il = arcsin(n’/n)

1.3 Loi de retour inverse


• Les rayons d’incidence, de réflexion et de réfraction

sont tous dans le même plan – plan d’incidence

• Le produit de l’indice de réfraction et le sinus de

l’angle entre le rayon et la normale de la surface est

constant.

n sin i = cst.

L’inversion du sens de propagation de la

lumière ne modifie pas le chemin qu’elle suit.

Lois de Descartes

Application: Effet de mirage


n1

n2

n3

n4

...

np

Propagation d ’un

rayon lumineux

dans une milieu

stratifié:

n1>n2 >n3 >… >np

Effet de mirage

grad T grad n

A

A’

1.4 Fibre optique


Un dispositif pour canaliser la lumière

• L ’angle maximal:

2

2

2

10 arcsin nn

• L ’ouverture numérique:

2

2

2

1 nnON

Longueur de chemin optique: =n1L/cos

Le durée du trajet: t =n1L/(c cos

L=1 km, n1=1.5, t=3.5 µs entre 0 et 45°

• Il y a réflexion totale en I si

1

2sinn

ni

• Application de la loi de réfraction

à la face d’entrée:

2

2

2

1

2

11 sin1cossin nninin

n2

n1

i

I

Face d ’entréen=1

gaine

cœuraxe’


• Taux de réflexion sur les surfaces : cas particulier des formules de Fresnel.

- rapport d’amplitude :

- rapport d’intensité :

- Exemple : nt=1.5, ni=1.0, T=0.96

L

sortie entréeP P e

2 i

i t

nt

n n

2

2

4t i t

i i t

n n nT t

n n n

Année Pertes (dB/km) Longueur d’onde entreprise Exemple

1970 20 Corning, Glass Work 1/100 au bout d’un km

1979 0,20 1 550 NTT 1/100 au bout de 100 km

2002 0.1484 1570 Sumitomo 1/100 au bout de 135 km

• Atténuation :

α est le coefficient d’atténuation linéaire (1/m ou 1/km),

le coefficient αdB exprimé en dB/km et relié à α par : 10 10

log 4.343ln10

sortiedB

entrée

P

L P

Quelques records de la fibre optique :

lnlog

ln10

xx

1.5. Objets et mages


A. Systèmes optiques

Pour tout système optique, un point objet est défini comme

l’intersection de rayons incidents sur le système et son point

image, s’il existe, comme l’intersection des mêmes rayons

émergents du système.

Eléments conjugués par un système optique = couple objet - image

Point

objet

Système

optiquePoint

image

L’objet et l’image peuvent être réels ou virtuels:• réel = intersection des vrais rayons lumineux

• virtuel = intersection de la prolongation de rayons

1.5. Objets et mages


Transformation miroir

Le miroir plan est situé sur x=0 (plan Oyz).

L’objet et l’image se situent respectivement à :

+x et x

Symétrie des éléments conjugués par rapport au miroir,

stigmatisme rigoureux

objetimage

x

B. Miroirs plans

2. Lentilles minces


V

Divergente

Convergente

C2 S1C1S2

C2 S1 S2C2 S1 S2

C1

Biconvexe Plan-convexe Ménisque convergent

C2 S2C1S1

C2 S2 S1C1 S1 S2

C2

Biconcave Plan-concave Ménisque divergent

A. Lentille mince:

Conditions de lentille mince: e<<|R1|, e<<|R2| et e<<|R1 -R2 |

B. Axe optique, centre optique

Toutes les mesures algébriques sont comptées sur l’axe de symétrie

orienté par le sens de propagation de la lumière

2.1 Définition

C. Foyer objet et distance focale objet


• Foyer principal objet : FTous rayons passent par le foyer objet, après traverser

la lentille, sont parallèles à l’axe optique.

• Distance focal objet : f = OF

Lentille

convergente:

f < 0 F OF O

• Plan focal objet : FTous rayons provenant d’un point sur le plan foyer objet,

après traverser la lentille, sont parallèles entre eux.

• Foyer secondaire : points sur ]F

FO

V

Lentille

divergente:

f > 0 FO

V

D. Foyer image et distance focale image


• Foyer principal image : F’Tous rayons parallèles à l’axe optique,

après traverser la lentille, passent par le

foyer image.

• Distance focale image : f = OF’

• Plan focal image : F’’ Tous rayons parallèles, après traverser la

lentille, passent par un même point sur le

plan foyer image.

• Foyer secondaire : points sur ]F’’ ]

F’ O

V

F’ O

V

'

F’O F’

O

'Lentille

convergente:

f ’ > 0

Lentille

divergente:

f ’ < 0

E. Relation entre les distances focales : f = f’


F’ O

V

FF O F’

Lentille convergente: f < 0, f ’ > 0 Lentille divergente: f > 0, f ’ < 0

F. Vergence d’une lentille :

1

'C

f

La vergence d ’une lentille convergente est positive,

La vergence d ’une lentille divergente est négative .

dioptrie (): 1 = 1 m1

2.2 Conditions de Gauss :


Conditions de Gauss + Lentille mince• Stigmatisme approché: l ’image d’un point est un point;

Les rayons sont proches de l’axe optique.• Aplanétisme approché: l’objet axe optique image axe optique.

Les angles des rayons incidents par rapport à l’axe optique sont petits.

F

F

Par rapport à l’axe optique, les rayons sont

1° peu écartés 2° peu inclinés

2.3 Relation de conjugaison


F O

F’

A

B

A’

B’

'

11

'

1

fOAOA

J

I

Grandissement

transversal :

' ' 'A B OA

AB OA

Toutes les valeurs sont

algébriques

Relation de

conjugaison:

Si OA=, OA’=f’

Si OA’=, OA= f ’

positif: image directe

négatif: image inverse

2.4 Construction géométrique


FO F’ F

O

V

F’

A. Généralité:

• Trois rayons particuliers :- le rayon passe par le foyer objet F, après traverser la lentille, est parallèle à l’axe optique.

- le rayon passe par le centre optique O, après traverser la lentille, ne dévie pas,

- le rayon parallèle à l’axe optique, après traverser la lentille, passe par le foyer image F’.

• Convention des signesToutes les mesures sont algébriques :

- positives vers le sens de propagation,

- négative dans le sens inverse.

• Respect des traits continus et discontinus :- pour les rayons réels

- pour la prolongation des rayons

+

B. Image d’un objet -- lentille convergente


Objet réel:

objet OA 2 'OA f < < '2 fOA 2 ' 'f OA f < < 'OA f ' 0f OA < <

Image ' 'OA f ' ' 2 'f OA f< < ' 2 'OA f 2 ' 'f OA< < 'OA ' 0OA <

Image réelle Image virtuelle

F

O

F’A’ A

5

9,'

5

4','

9

4 fOAfOA

F O

F’

A

A’

2,'3','5,1 fOAfOAExemples:

C. Image d’un objet -- lentille convergente


Objet virtuelle

F O

F’

AA’

F O F’A’ A

Conclusions:

avec une lentille convergente

• On n’obtient une image virtuelle

que lorsque l’objet est entre le foyer

objet et la lentille.

• Dans tous les autres cas, on obtient

une image réelle

10

0'

0

:entgrandissem

:réelleimage

:uelobjet virt

<<

OA

OA

D. Image d’un objet -- lentille divergente


Objet réel

Avec une lentille divergente on n’obtient jamais une image réelle d ’un objet réel.

FOF’ A A’

F

OF’ A’A FOF’

A’A

FO

F’A

A’

Objet virtuel

3. Systèmes de lentilles


3.1 l’Œil

Œil au repos Œil accommodant:

le cristallin est bombé

PR (punctum

remotum

PP (punctum

proximum

Dm

dmPlage d’accommodation

Domaine de « vision » nette d ’un œil

Plan de

la rétine

Schéma de l’œil réduit

A. Modèle optique de l’œil

B. Défauts de l ’œil et correction

Phénomènes vibratoires et optiques K. F. Ren -74-GSI ME L3 2016-2017

R P

Œil myope au repos

Œil myope corrigé

Œil myope non corrigé

Œil hypermétrope au repos

Œil hypermétrope non corrigé

Œil hypermétrope corrigé

PR= PP

Application: Œil myope


1. Entre quelles limites la distance focale de cet œil varie-

t-elle?

2. Déterminer la vergence de la lentille cornéenne qu’il

faut lui adjoindre pour lui permettre une bonne vision

de loin?

3. Où le punctum proximum de l’œil corrigé est-t-il alors

placé?

Un œil myope a son punctum proximum à 12 cm et son

punctum remotum à 1,2 m. Le centre optique de la lentille

équivalente est à 15,2 mm de la rétine.


3.2 Appareil photo


Zoom - Objectif à focale variable

Objectif à focale fixe

OA OA’

f’

'

11

'

1

fOAOA

1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1 et

' ' ' 'p p f e d p d f

e

d film

A. Objectif

1

1 1

'

'

pe d

p d p

3.2 Appareil photo


Objectif fixe

Standard: f ~ diagonale du « film »

qualité/prix est meilleur.

Zoom (Objectif à focale variable): Le grandissement est variable.

fmin: 28 mm, 24 mm, voire 18 mm !!! Aberration / distorsion !!!

fmax: 150 mm, 300 mm, 600 mm, !!! L’appareil doit être TRES stable !!!

Standard Téléobjectif

format Dim image Diag. image Focale standard

Capteur 1318 13 mm 18 mm 22.20 mm 24 mm

APS 16.7mm25.1mm 30.15 mm 28 mm, 35 mm

Capteur 1824 18 mm 24 mm 30.00 mm 28 mm, 35 mm

135, 2436 24 mm 36 mm 43.27 mm 50 mm, 45 mm

Plan film 4 5 4” 5” 162.64 mm 150 mm

3.2 Appareil photo


B. Focale d’un objectif :

Angle du champ visé : (objet à l’infini)

f

L film

12 tan2

L

f

Exemples:

1. L=36 mm, f=28 mm =70°

2. L=36 mm, f=300 mm =3.4°

C. Diaphragme ou ouverture: n=f’ / D D : diamètre d’ouverture

f/2, f/2.8, f/4, f/5.6, …, f/32

Progression en 2, la surface double, donc I.

Un bon photographe doit savoir le choisir pour un effet particulier.

3.2 Appareil photo


D. Profondeur de champ:

Pour deux distances extrêmes à photographier a

et r (netteté e en rad):

On obtient la distance objet p et diaphragme n

maximal à régler et profondeur de champ:

1 1 1 1 et

n n

a p f r p f

e e

2 2

2 ( ) et

2

2

( / ) ( )

ar f r ap n

a r ar

nfr a

f p n

e

e

e

ra e

E. Vitesse d’obturateur:

- Classique : (en secondes)

1/2000, … 1/250, 1/125, 1/60, …, B, T,

- Caméra numérique :

de 0.3 ms jusqu’à qqs min.

3.3 Projecteur


Feuille transparente

L

MiroirÉcran

1. A quelle distance faut-il placer la feuille transparente à projeter afin

d’obtenir une image nette sur l’écran ?

2. En déduire le grandissement et la nature de l’image.

3. Si l’on veut une image sur l’écran 10 fois plus grande que l’objet, où

faut-il placer la feuille transparente ?

Un rétroprojecteur est constitué d’une

lentille mince convergente L, de distance

focale image de 48 cm et d’un miroir plan

incliné à 45° et placé à 10 cm de L (voir

figure). La distance séparant le centre

optique de la lentille de l’écran

d’observation est de 2,3 m.


Chapitre 5 Émission et détection


1. Lumière :

• Sources

• Modèles

2. Photométrie

• Angle solide

• Grandeurs de la photométrie

3. Lois de base

• Loi de l’inverse du carré, loi de cosinus

• Corps noir et loi de Planck, loi de Wien

• Loi de Beer

4. Détecteurs

• Généralité

• Caractéristiques des détecteurs optiques

• Effet photo-électrique

• Détecteur: CCD, photodiode, photomultiplicateur

• Couleurs, image en N&B, en couleur et en fausse couleurs

Ampoule à

ioniseur

R

dS

n

O dΩ

• Sources thermique : soleil, feu, lampes à incandescence …le spectre est continu – corps noir

• Sources spectrale : lampes à décharges (faible ou haute pression)

plusieurs raies larges, longueur de cohérence: L2/ ~ mm

• Diodes électroluminescentes : (DELou LED en anglais)

• Laser :- mono-chromatique : L2/ ~ m

- faisceau collimaté : w0: µm ~ mm

- intense : ~ 106 W/m2

• Synchrotron.

1. Lumière

1.2. Source lumière

1.1 Qu’est-ce que la lumière ?

Usuelle: Forme d’énergie susceptible d’impressionner notre œil

(certains appareils ayant le fonctionnement similaire).

Scientifique : Onde électromagnétique, Photons


1.3 Modèles


A. Optique géométrique – rayon lumineux

La lumière est associée à des trajectoires décrites par l’énergie

transportée par la lumière : rayons lumineux

Propagation : rectiligne dans un milieu homogène

Condition : l’objet >> la longueur d’onde

Applications : miroir, lentille, lunette …,

image, télescope, microscope …

B. Modèle ondulatoire

La lumière est décrite comme une onde électromagnétique se

propageant à une vitesse c (3.108 m/s dans le vide, c/n dans un

milieu d’indice de n)

visible : 0,4 µm ~ 0,8 µm

Application : Interférence , diffraction …

1.3 Modèles


C. Modèle corpusculaire - Photons:

• La lumière est interprétée comme de «grains» d’énergie appelés « photons »,

• Chaque photon porte une quantité d’énergie :

où h = 6.62 10-34 J.sec est la constante de Planck

1eV=1,6022 10-19 J, E=0,45µm = 4,4 10-19 J = 2,76 eV, E0,6328µm = 3,14 10-19 J = 1,96 eV,

• Les photons se déplacent à la vitesse de la lumière :

c =3.108 m/s dans le vide, c/n dans un milieu d’indice de n

• Un faisceau lumineux peut être considéré comme un vent de « photons »,

– le « vent » est autant plus fort que les photons sont nombreux,

– l’intensité est proportionnelle au flux des photons.

hc

E h


Spectre visible400780 530580650

Spectre électromagnétique

2. Photométrie


2.1. Introduction

• La sensibilité de l’œil dépend de la longueur d’onde

• Les détecteurs aussi.

Énergie émise(W) efficacité V()

Flux lumineux(lm)

760

380

( ) ( )

nm

nm

P V d

683 lm /W

Photométrie

énergétique

Photométrie

lumineuse

2.1. Introduction


Les courbes scotopique Vs et photopique

peuvent être approchées respectivement par

les fonctions gaussiennes :

• La sensibilité de l’œil dépend de la longueur d’onde

– L’œil présente un maximum de sensibilité vers 555 nm

– Autour de cette longueur d ’onde la sensibilité décroît et s’annule vers 380nm

et 760nm

– 1 watt (W) émis à 555 nm vaut 683 lumens (lm)

– Une lampe de 100 W n’est pas forcément plus lumineuse (+lx) qu’une autre de 50 W

• Les détecteurs aussi.

Sensibilité en longueur d’onde

La sensibilité de certains détecteur est

similaire à celle de l’œil.

Donc :

Photométrie énergétique

Photométrie visuelle

2 2507 555

55 601700 [lm/W] et 683 [lm/W]sc phV e V e

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

350 400 450 500 550 600 650 700 750

longueur d'onde

se

ns

ibil

ité

ab

so

lue

(lu

me

n/W

)

Courbe

scotopique

(vision nocturne)

Courbe photopique

(vision diurne)

507nm

2.2. Angle solide


Définition : l’aire de la surface interceptée sur une sphère de rayon unitaire.

unité: stéradian (sr)

Exemple 1:

L’angle solide d’espace incluant tout l’espace :

Exemple 2:

L’angle solide d’espace d’un cône à base circulaire = 21cos

Pour des petits: = 2

2

cosdSd

R

R

dS

n

O dΩ

4

lR

l

R

R

2

S

R

S’S

Ex : Le diamètre angulaire du soleil : 0,5°=8,7 10-3 radians

L’angle solide du soleil : 6 10-5 stéradians.

1e. Énergie (rayonnante) Qe :

Unité: Joule (J, kJ …), kWh

on paie l’énergie consommée : kWh à EDF, litres d’essence …

2e. Flux énergétique ou puissance Fe :

Définition :

Unité: Watt (kW, …)

•Une lampe : qqs W

•Un laser continu : mW~W

•Centrales thermiques/nucléaires :

qqs 108 W

2.3 Grandeurs de la photométrie


Source énergétique

F

FE

A

A

Qe

F

ee

dQF

dt



v

v

dQF

dt

Source lumineuse

F

FE

A

A

Qv

F

1v. Quantité de lumière Qv :

–Unité: lumen-seconde (lm.s)

2v. Flux lumineux Fv :

–Définition :

–Unité: lumen (lm)

Plus l’ouverture F d’un appareil

photo/télescope est grande, plus le

flux lumineux est important .

–appareil photo professionnel F ~ cm

–télescope astronomique F ~ m



v

v

dFE

dA

ee

dFE

dA

récepteur

F

S (m2)

F sur 2π stéradians

Surface récepteur

3e. Éclairement énergétique ou densité de flux énergétique Ee :

Définition :

L'éclairement énergétique correspond à un

flux énergétique reçu par unité de surface:

Unité: W/m2, A : aire

– Ee = F/A, éclairement constante.

3v. Éclairement lumineux Ev :

–Définition :

–Unité: lux = lumen.m2

Note : usage conventionnel mais pas stricte : intensité de la lumière I=E ici.



Source lumineusenon-ponctuelle

F

S (m2)

F sur 2π stéradians

S source

ee

dFM

dA

vv

dFM

dA

4e. Exitance énergétique Me :

Définition :

A : aire

Unité: W/m2,

4v. Exitance lumineuse Mv :

–Définition :

–Unité: lux = lumen.m2



Source lumineuse

F

F

I

e

e

dFI

d

v

v

dFI

d

le candela (cd)1 cd = 1 lm/sr

5e. Intensité énergétique Ie :

– Définition :

– Unité : W.sr-1

5v. Intensité lumineuse Iv :

– Définition :

– Unité :



cos

e

e

dIL

dA

cos

v

v

dIL

dA

normale

I()

Luminance =appar

I

A

dA

6e. Luminance énergétique Le :

– Définition :

– Unité :

W.m-2.sr-1

6v. Luminance lumineuse Le :

–Définition :

– Unité :

cd.m2, lm.sr1.m2



I I

Surface apparente: A Surface apparente a

L1 I

AL2

I

a

Illustration

1 2 L L<

A. Luminance des deux ampoules de puissance identique

B. Source Lambertienne :

II0cos

I0

0 cos( ) constante

cos

KdA IL

dA



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

500 680 847 1000

Wavelength [nm]

Irra

dia

nce

lampe halogène

Tube néon/Lampe ioniseur

7e. Efficacité électrique (%) :

7v. Efficacité lumineuse (lm/W) : Puissance électrique

Pin

ContinuRaies (ou bandes)Mixtes

Puissance Émise Fr ()

Spectre I0

( )re

in in

F dF

P P

e

0( ) ( )

685 lm/W

rv

m

e e

m

F V dFK K

F F

K

Une lampe consomme 100 W électricité,

émet un flux d’énergie de 80 W et un

flux lumineux de 2000 lm.

Donc :

- e = 80/100 = 80 %

- K = 2000/80 = 25 lm/W

Spectres d’émission

Efficacité


Ampoule à ioniseur

Les données sont trouvées sur les étiquettes dans le magasin Carrefour 2008

Bilan énergétique d'une ampoule classique

• faible puissance, ampoule à vide: 2500-2600K

• moyenne à forte puissance, N2-Ar: 2700-2800K

• moyenne puissance, halogène: 2800-3000K

• lampe spéciale de studio, halogène :3200-3400K

Puissance (W) Flux lumineux Intensité lum Prix

Tungstène 40 (cousine) 420 lm 33 cd 1.85 €

40 (normale) 370 lm 29 cd 0.55 €

100 (normale) 1200 lm 95 cd 0.55 €

halogène 100 1600 lm 127 cd 4.9 €

300 4480 lm 356 cd 5.3 €

Lum.

Dirigée

40 400cd / 30° 1.5 € F=50 mm

100 1050 cd/50° 1.5 € F=80 mm

Lum.

Dirigée

halogène

20 400 cd / 36° 2.8 €

50 1200 cd /36° 2.8 €

économie 8 420 lm 33 cd 4.8 € 52.5

61.018 1100 lm 87.5 cd 4.8 €

eK (lm/W)

10.5

9.5

12

16

15



L I0

I

P

Loi de Lambert

une surface parfaitement diffusante

Source Lambertienne

0

( )( )d

II

I

L() = constante

I = I0 cos

Id = cosSource parfaitement isotrope

I = constante

Id = 1

Exemples :

• Soleil

• Source ponctuelle

• lampe isotrope

8. Indicatrice d’intensité :

3. Lois de base


2 2

1

4

PE

d d

2

1 2

2

2 1

E d

E d

d

E

A=4d2

3.1 Loi de l'inverse du carré de la distance :

– Pour une source isotrope de puissance P, éclairement E à une distance d est

constante et inversement proportionnelle à d :

– Conséquence :

L'éclairement diminue en s'éloignant de la source.

L’éclairement d’une lampe à 10 cm est 100 fois plus importantes qu’à 1 m.

3.2 Loi de cosinus :

–Flux d’énergie reçu sur la surface dA :

est l’angle d’incidence - angle entre la direction du rayonnement incident et

la normale de la surface.

–Pour une source étendue :

r – reçu, s – source

L’éclairement du soleil est beaucoup plus important le midi que le soir.

3. Lois de base


cosdF E dA

cosr r s

i i i

i i

E E E dF

Source

Plan utile

I

dA

Er=dF/dA

Es

Application : éclairement maximal d’une tableUne table ronde de rayon a=1 m est éclairée par une lampe S de 100 W

supposée ponctuelle suspendue au dessus de la table à une distance H (voir

la fig.).

1. Calculer l’intensité énergétique de la lampe.

2. Sachant que l’efficacité lumineuse est de 250 lm/W,

calculer l’intensité lumineuse de la lampe.

3. Exprimer les éclairements énergétique et

lumineux au point juste au dessous de la

lampe et au bord de la table en fonction H.

4. Pour quelle valeur de H l’éclairement au

bord de la table est maximal?

Corrigé :

• Ie :

• Iv :

• E :

• Emax :

3. Lois de base


-11008 Wsr

4eI

-1250 2000 lm.srv eI I

2 2 2 2 3 / 2 2 2 2 3 / 2

8 8 2000 2000, , ,

( ) ( )eA eB vA vB

dF d I H HE I E E E E

dA dA d H H a H H a

H

S

a

AB

0 0,71 m2

dE aH

dH

3.3 Loi de Beer

Soit un rayonnement traversant un milieu absorbant ou diffusant.

L’éclairement de ce rayonnement subit une diminution exponentielle en

fonction de la distance parcourue:

E0 est l’éclairement du rayonnement incident.

E est l’éclairement du rayonnement sortant.

α est le coefficient d’absorption (en m-1).

Exemple: Le coefficient de l’atmosphère est 0,1 1/km. Une crème solaire

« indice 5 » divise par 5 la quantité du rayonnement reçu par la peau.

Déterminer l’épaisseur d’atmosphère assurant une protection équivalente.

3. Lois de base


0( ) e lE l E

0,1

0

1 ln5e 16 km

5 0.1

lEl

E

3.4 Corps noir


500 1000 1500 2000

Longueur d’onde (nm)

L() T=7000 K

T=5800 K

T=4000 K

Pour étalonner les capteurs optiques, il est nécessaire de produire des flux lumineux parfaitement connus et reproductibles. Ceci peut être réalisé à partir du rayonnement du corps noir dont le comportement ne dépend que de la température et de constantes universelles.

Définition :

Un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique qu’il émet ne dépend que de sa température

L'objet lui-même absorbe toute la lumière extérieure qui tomberait sur lui, et ne reflète aucune radiation. En pratique, un tel objet matériel n'existe pas, mais il représente un cas idéalisé servant de référence pour les physiciens.

A. Loi de Planck :La luminance spectrale d’un solide, à la température T, est donnée par :

(montré en 1900 par Planck) :

C1 = 1.19088 1020 W.m-2.nm4, C2 = 1.439 107 K.nm

B. Loi de Stefan :L’exitance (luminance totale de toutes les longueurs d’onde dans toutes les directions)

du corps noir est donnée par :

ou représente la constante de Stefan ( = 5,67 10-8 W.m-2.K-4.).

C. Loi de déplacement de Wien :La longueur d’onde de rayonnement maximum max évolue selon la loi :

3.4 Corps noir


4

0

( ) eM L d T

max 2897 . T µm K

2

2 1 11

/5( ) (W.m .sr .nm )

1e C T

CL

e

Application


1. Estimer l’exitance et le flux total émis par le corps humain si on le

considère comme un corps noir sans couverture. Quelle est la

longueur d’onde d’émission maximale ?

- Loi de Stéfan : Me=T4= 5,67 10-8X3104= 524 W.m-2

Fe=Me A = 1.76 10-5X2 = 1047 W

- Loi de Wien : m = 2897/310 = 9,3 µm

2. Le bois brûlant et le feu dans un four peut être considéré comme

un corps noir. Estimer la longueur d’onde m sachant que leur

température est respectivement de 2000 °C et 5000°C.

Loi de Wien : m =2897/ (T+273)

=1,27 µm, 0,55 µm

4. Détecteurs


4.1 Généralité

Selon la nature des phénomènes mis en jeu on distingue deux types de détecteurs:

Détecteurs quantiques :Interaction matière rayonnement

Effets internes :Photoconduction

- semi-conducteurs (Photodiode*)

Effet photo-voltaïque

- jonction PN, PIN, avalanche, … (CCD*)Effet photo-électromagnétique

Effets externe :Photo-émission (cellule à vide,

photomultiplicateur*, …)

* À traiter dans le cours

Détecteurs thermiques:Conversion de l'énergie lumineuse

absorbée en énergie d'agitation

thermique :

• augmentation de la température du

matériau

• modification des propriétés

électriques

résistance (bolomètres)

tension (thermocouples)

charges (détecteurs

pyroélectricités)

oeil

Pyro=高温

1. Classification des détecteurs

4.3 Effet photo-électrique


Heinrich Hertz

- L’irradiation de la photocathode recouverte par un métal alcalin, peut

induire dans certains cas l’extraction d’électrons qui sautent sur l'anode et

produisent ainsi un courant électrique I détecté par le galvanomètre G.

- l'effet photoélectrique ne se produit qu'à partir d'une certaine fréquence νs

(fréquence de seuil) de la lumière incidente.

- la lumière rouge (basse fréquence), même d'intensité très élevée, n'a aucun

effet, alors que la lumière violette (haute fréquence), même de faible

intensité, produit l'effet photoélectrique.

1887

Cathode 阴极

碱性的



Fréquence du rayonnement incident,

Éne

rgie

cin

éti

que d

es

phot

oéle

ctro

ns Observations :

1. Aucun électron n’est extrait (quelque

soit l’intensité) en dessous de νs .

2. L’énergie cinétique Ec des électrons

rejetés augmente linéairement avec

la fréquence ν (indépendante de

l’intensité I)

3. A faible intensité I, les électrons sont

immédiatement éjectés si ν > νs.

4. Au dessus de νs le courant émis

dépend de l’intensité de la lumière et

non de ν

Travail d’attraction : W dépendant de matériaux, hνs = W

Énergie cinétique d’électron : Ec = hν W

Potentiel d’arrêt U0 : Potentiel inverse pour I = 0, d’où U0 = Ec



Explication d’Einstein (1905)

E= hmin

h

Photon de faible énergie

h

F F

Photon de forte énergieÉnergie

cinétique des

électrons

Énergie du photon Énergie cinétique

travail de sortie carac-

téristique du matériau.

Le photon heurte un électron et lui transfert son énergie

⇒ La lumière a les propriétés de particule = jet de photons, E = hν

⇒ 1 eV = 1.60218×1019 J

Exemple :

Silicium: Eg = 1.12 eV seuil = 1.1 µm

Germanium: Eg = 0.67 eV seuil = 1.85 µm

1,24( )

( )seuil

g

µmE eV



Quelques grandeurs caractéristiques:

– Puissance énergétique de la lumière:

Pe

– Nombre de photons par seconde:

np=Pe /Ep=Pe /h

– Nombre d’électrons photo émis

ne= np

où est el rendement quantique:

Le taux du nombre des photons effectifs(reçus) np

sur le nombre d’électrons photo-émis ne.

– Courant généré:

Ie=nee

e =1.60218×1019C,

h =6,62607×1034J.s

4.4 Capteurs CCD


Principe :

Un CCD (Charge-Coupled Device ) transforme les photons lumineux qu'il

reçoit en paires électron-trou par effet photoélectrique dans le substrat semi-

conducteur, puis collecte les électrons dans le puits de potentiel maintenu à

chaque photosite. Le nombre d'électrons collectés est proportionnel à la

quantité de lumière reçue.

CCD « à transfert interligne»,

transfert de charge suivant la

flèche verte

4. Transfert horizontal

de la première ligne

3. Transfert de la

première ligne2. Transfert vers

les registres1. Acquisition

Rayonnement

4.4 Capteurs CCD


Caractéristiques :

Les dimensions courantes des capteurs CCD ou

CMOS utilisés en 2006 dans les appareils photo

numériques accessibles.

Les capteurs de plus grande définition équipent

l'équivalent des moyen format (6 x 4,5 ou 6 x 6) et

atteignent 39 mégapixels (capteur 37 x 49 mm) ;

quant au prix, il faut multiplier par 25.

1. Plein Cadre 2. Interligne

Mpixels Format Ratio L/H Largeur Hauteur Diagonale Surface Rapport

7 1/2,5" 4:3 5,1 3,8 6,4 20 6,8

10,5 1/1,8" 4:3 7,1 5,3 8,9 39 4,9

8 1/1,7" 4:3 7,5 5,6 9,4 43 4,6

8 1/1,6" 4:3 8,0 6,0 10,0 49 4,3

8 2/3" 4:3 8,8 6,6 11,0 59 3,9

8 APS-C 3:2 22,2 14,8 26,7 329 1,6

10 4/3" 4:3 17,8 13,4 22,3 243 1,9

12,4 APS-C 3:2 23,4 15,7 28,2 382 1,5

12,5 24*36 3:2 36 24 43,3 900 1,0

Filtre de Bayer RGB

Amélioration des CCD

4.6 Photomultiplicateurs


Photocathode semi-transparente

Électrodes de focalisation

Multiplicateur d’électrons

Anode

Dynodes

Trajectoires des photoélectrons

Lumière incidente

Tube photomultiplicateur

Un gain de ~ 106

Haute tension appliquée :

typiquement ~ 900 V

Avantages: - Seuil de détection très bas,

- Réponse spectrale large,

- Faible temps de réponse : ~1ns,

Inconvénients : - Fragile, encombrant, cher

Dynode中间极

4.7 Caméra infrarouge/thermique


A thermographic camera, sometimes called a FLIR

(Forward Looking Infrared), or an infrared camera less

specifically, is a device that forms an image using infrared

radiation, similar to a common camera that forms an image

using visible light. Instead of the 450–750 nm range of the

visible light camera, infrared cameras operate in

wavelengths as long as 14 µm.

Applications :

- Filmer ou photographier dans le noir

- Vérifier l’installation ou canalisation de chauffage

- Contrôler l’installation

- Opérations militaires ou policiers de nuits

Types de caméras:

• à température ambiante

• refroidie

• …


Fin de cours

Formules mathématiques

GSI ME L3 2016-2017 K.c F. Ren -116-Phénomènes vibratoires et optiques

Annexe A: Formulaire

cos sinje j

1 2 2 11 2 2 2

cos( ) cos( ) 2cos( )cos( )

cos( ) cos cos sin sin

Constantes

Lois physiques

Constante de Planck : h = 6,62·10-34 J.s

Vitesse de la lumière dans le vide: c = 3·108 m/s

Charge d’un électron : q = 1,6·1019 C

Masse d’un électron : m = 9,11·1031 kg

Fonction d’oscillation sinusoïdale: u(t)=Acos(t+)

Fonction d’onde sinusoïdale: u(x,t)=Acos(t kx+)

Relation de conjugaison:

Loi de Beer-Lambert: I=I0e-aL

Energie d’un photon: E = h hc/

Loi de Stefan: P = σST4 où σ = 5,67·10−8 W.m−2·K−4, S est la surface de la source.

Loi de Wien : λmaxT = 2898 µm.K, où λmax est la longueur d’onde du maximum.

'

11

'

1

fOAOA

lame à faces parallèles


1. Appliquons les lois de Descartes.

À l ’interface air-verre nous avons: n0 sin(i0)= n sin(r)

À l ’interface verre-eau nous avons: n sin(r)= n’ sin(i’ ) (il est évident que

l ’angle d ’incidence est égale à i2, la lame étant à face parallèles).

Nous retrouvons invariant «n sin(i) » des milieux stratifiés.

2. Puisque n0 sin(i0)= n’ sin(i’ ), réflexion totale sur la surface inférieur pour i0 >=

i0lim pour lequel i’ =90°,

D’où : n0 sin(i0lim)= n’, sin(i0 lim)=n’ /n0.

3. Puisque n0 = n’ , on a i0= i’ , donc rayon incident est parallèle au rayon

émergent.

Annexe : Solution à l’application sur

transparent n°36

n0

n

n’

i0

G

12

er

I

H

i’KJ

4. Différence de chemin optique: =(IKG)-(IH)=2n e/cos(r)

– n0 IG sin(i0) = 2n e/cos(r) –2 n0 e/cos(r) sin(r) sin(i0)

Puisque n0 sin(i0)= n’ sin(i’ ),

= 2n e/cos(r) –2n e/cos(r) sin2(r) = 2 n e cos(r) +(/2)

Cf. « Optique » Brébec p33

Pouvoir de résolution d’un réseau


1. D’une part, selon l’équation de réseau : dsin=p (pour une intensité maximale).

par la dérivation on trouve la variation de position angulaire du max

dcos =p = p/(dcos)

1. D’autre part, l’intensité diffractée:

2. Est maximale si Nud

Annexe : démonstration 49

4. Différence de chemin optique: =(IKG)-(IH)=2n e/cos(r)

– n0 IG sin(i0) = 2n e/cos(r) –2 n0 e/cos(r) sin(r) sin(i0)

Puisque n0 sin(i0)= n’ sin(i’ ),

= 2n e/cos(r) –2n e/cos(r) sin2(r) = 2 n e cos(r) +(/2)

Cf. « Optique » Brébec p33

22

0

sin sin( )

sin( )

ua N udI I

ua N ud

Œil myope



transparent n°73

Queyrel pp142-143, mais la solution est trop compliquée et n’est pas juste.

Solution:

1. Quand l ’œil est au repos, l’image l’un objet au punctum remotum se forme

sur la rétine. Donc:

de même lorsque l ’objet est au punctum proximum:

2. La lentille correctrice forme, pour un objet à l’infini, une image à PR = –

1,2m, donc f ’ C = –1,2 m, C= – 0,833 dioptrie.

3. PP non corrigé = –12 cm. Pour la lentille correctrice:

f ’=f ’C = – 120 cm, OA ’= –12 cm,

Il en résulte:

mm 15 ' '

1 1200

1 2,15

1

RR

ff

1 1 1 ' 13,49 mm

15,2 120 'P

P

ff

' ' 13,00 cm

' 'P

P

OAOA f

f OA

Rétroprojecteur



transparent n°78

Feuille transparente

L

MiroirÉcran

1. Le miroir joue un rôle de dévier les rayons

lumineux, le système est donc équivalent à une

lentille mince comme schématisé ci-dessous. On sait

donc f'=48 cm, OA'= (230+10)= 240 cm,

L'application de la relation de conjugaison donne:

OA=1/(1/240+1/48)= 60 cm. Donc document doit

être placé à 60 cm devant la lentille.

2. Le grandissement: = 240/( 60)= 4, une image

réelle, 4 fois plus grande.

4. Grandissement = OA'/OA vaut maintenant 10, c'-à-d: OA'= 10OA (l'objet

et l'image se situent à deux cotés de la lentille. La relation de conjugaison:

1/(10OA) 1/OA=1/f'. Il implique OA= 11f’/10 = 52,8 cm. Donc le

document doit être placé à 52.8 cm devant la lentille.

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