Logique combinatoire

Introduction

Pour le transistor en commutation, on a montré qu’il existe deux états différents (état bloqué, état saturé (chap. 1)).

Le transistor conduit VCE= VCEsat= 0.2 V ---- état ‘0’ Le transistor bloqué VCE = VCC= 5V ---- état ‘1’Les opérations faites sur les signaux continus opérations analogiquesLes opérations faites sur les signaux discontinus (discrets) opération numériqueEn numérique, on définit un certain nombre d’axiomes algèbre de Boole (en1854, G. Boole), Dans cette algèbre les variables sont 0 et 1Une variable booléenne ne peut prendre que deux valeurs 0 ou 1.

Algèbre de Boole

Axiomes

A, B et C sont des variables booléennesA+0=ÀA*1=A

CommutativitéA+B=B+CA.B = B.A

Associativité(A + B)+ C =A+(B + C)(A.B).C = A.(B.C)

DistributivitéA.(B + C) = A.B + A.C(B • C) = (A + B).(A + C)

IdempotenceA+A+A…+A=A pas d’exposantA.A.A A….A=A

Complément

Théorème de Morgan

Relations fondamentales (dérivées des axiomes précédents)

D’après l’algèbre de Boole, il y a deux opérations internes + et(+,.) dans la base 10 (décimal), les chiffres sont (0,1,2,4,5,6,7,8,9)(±,.) dans la base 2 (binaire), les chiffres sont (0,1)Un nombre N dans la base 10 est noté N10.

Passage de binaire en décimalExemple :

Exemple:N 101101= 1.25+0.24+1 .23+1 .22+0.21+1 .20= 45Dans la base 10 , on a + et .Dans la base 2 ---- définir les fonctions logiques

Fonctions logiques

Une fonction logique est une fonction de variables booléennes prenant pour valeurs soit O ou 1.

Fonction ET (intersection) : AND

f(A,B) A.B

Fonction OU: f(A,B) = A + B(addition logique) : OR

Fonction OU barrée : NOR

Table de véritéSoit f(x1,x2,..., xn)---- sa table de vérité est

23= 8Exemple

Exemple de résolution pratique:

Fonction OU à base des diodes

Fonction OU à base des transistors

Fonction ET à base des diodes

Fonction ET à base des transistors

Fonction barre à base des diodes

Fonction ET barre base des transistors

Réalisation de f à partir des portes 1ogique Soit b table de*vérité de f(x1,x2,x3)

Exemple 1 :

Exemple 2:

Réalisons maintenant f à partir des portes logiquesRemarque: fonction inverseuse

On simplifie la fonction f pour réduire le nombre de portes logiquesréalisant cette fonction.

Simplification de la fonction logiqueToutes les méthodes de simplifications sont basées sur les propriétésSuivantes :

A est la partie inchangée lorsqu’on passe de xi â i --xi est éliminéB est la partie 1nchangée de la fonction

Table de Karnaugh:soit f(x1,x2,x3), pour une fonction de trois variablesexemple

exemplePour une fonction de 4 variables

Caractéristique de la table de Karnaugh : Lors du passage d’une case à la case suivante, une seule variable change de valeur.

f= 1 ----10 termes

11 y a 4 formes simplifiées de cette fonction f.

ConclusionLa forme simplifiée de la fonction logique n’est pas unique

Remarque:* Chaque case correspond à une ligne pour la table de vérité* Les combinaisons interdites sont notées par X. Au moment de la simplification, il est intéressant de donner à X la valeur 0 ou 1 de façon à obtenir l’expression la plus simple possible.