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DEPARTEMENT DE GENIE DE LA PRODUCTION AUTOMATISEE

GPA-783 ASSERVISSEMENT NUMERIQUE EN TEMPS REEL

NOTES DE COURS

par

PASCAL BIGRAS

RDIG: Juillet 1999 REVIS: t 2011

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Table des matires

TABLE DES MATIRES ............................................................................................................................ ILISTE DES TABLEAUX ............................................................................................................................ VLISTE DES FIGURES ............................................................................................................................... VICHAPITRE 1 CONVERSION ET CHANTILLONNAGE DES SIGNAUX .................................... 1

1.1 INTRODUCTION ................................................................................................................................. 11.2 CONVERTISSEUR NUMRIQUE ANALOGIQUE .................................................................................. 2

1.2.1 Rsolution du convertisseur .................................................................................................... 41.2.2 Valeur Maximum .................................................................................................................... 41.2.3 Gain du convertisseur N/A ...................................................................................................... 41.2.4 Linarit du convertisseur ...................................................................................................... 51.2.5 Circuit R-2R invers ............................................................................................................... 5

1.3 CONVERTISSEUR ANALOGIQUE NUMRIQUE .................................................................................. 51.3.1 Convertisseur approximation successive ............................................................................. 61.3.2 Gain du convertisseur A/N ...................................................................................................... 71.3.3 Encodeur incrmental ............................................................................................................. 8

1.4 CONVERTISSEUR A/N ET CHANTILLONNEUR ................................................................................... 91.4.1 Thorme dchantillonnage ................................................................................................ 121.4.2 Filtre anti-repliement............................................................................................................ 16

1.5 CONVERSION N/A ET BLOQUEUR DORDRE ZRO ............................................................................ 161.5.1 Fonction de transfert du bloqueur dordre 0 ........................................................................ 181.5.2 Rponse en frquence du bloqueur dordre 0 ....................................................................... 19

CHAPITRE 2 TRANSFORME EN Z ................................................................................................ 202.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................... 202.2 DFINITION DE LA TRANSFORME EN Z ........................................................................................... 202.3 SRIE GOMTRIQUE ....................................................................................................................... 212.4 QUELQUES EXEMPLES DE TRANSFORME EN Z ................................................................................ 222.5 TRANSFORME EN Z DE FONCTIONS DE TRANSFERT EN S ................................................................. 24

2.5.1 Fractions partielles pour des ples simples .......................................................................... 25

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2.5.2 Fractions partielles pour des ples multiples ....................................................................... 262.6 UTILISATION DES TABLES ............................................................................................................... 282.7 PROPRITS DE LA TRANSFORME EN Z .......................................................................................... 302.8 TRANSFORME EN Z DU BLOQUEUR DORDRE ZRO ........................................................................ 352.9 TRANSFORMATION DES SCHMAS BLOCS HYBRIDES ....................................................................... 35

2.9.1 Procdure de transformation des systmes hybrides ............................................................ 38CHAPITRE 3 TRANSFORME EN Z INVERSE .............................................................................. 46

3.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................... 463.2 DFINITION DE LA TRANSFORME EN Z INVERSE ............................................................................. 463.3 UNICIT DE LA TRANSFORME EN Z INVERSE .................................................................................. 463.4 MTHODE DES QUATIONS RCURRENTES ...................................................................................... 473.5 RALISATION DES CONTRLEURS ................................................................................................... 56

CHAPITRE 4 COMPENSATEURS PI, PD ET PID ........................................................................... 614.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................... 614.2 FONCTIONS DE TRANSFERT DISCRTE DU PI .................................................................................... 61

4.2.1 Approximation rectangulaire ................................................................................................ 624.2.2 Approximation rectangulaire devance ................................................................................ 634.2.3 Approximation trapzodale ................................................................................................. 644.2.4 Fonction de transfert du PI avec lapproximation trapzodale ........................................... 65

4.3 FONCTIONS DE TRANSFERT DISCRTE DU PD .................................................................................. 664.4 FONCTIONS DE TRANSFERT DISCRTE DU PID ................................................................................. 684.5 IMPLANTATION DU COMPENSATEUR PI ........................................................................................... 694.6 IMPLANTATION DU COMPENSATEUR PD .......................................................................................... 704.7 IMPLANTATION DU COMPENSATEUR PID ........................................................................................ 724.8 CALCUL DES GAINS: MTHODE DE ZIEGLER-NICOLS ...................................................................... 73

CHAPITRE 5 ERREURS EN RGIME PERMANENT .................................................................... 795.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................... 795.2 SYSTME DE COMMANDE TYPIQUE .................................................................................................. 795.3 TYPE DUNE FONCTION DE TRANSFERT ........................................................................................... 81

5.3.1 Fonction de transfert continu ............................................................................................... 815.3.2 Fonction de transfert discrte ............................................................................................... 82

5.4 CALCUL DES ERREURS EN RGIME PERMANENT .............................................................................. 825.4.1 Entre chelon ...................................................................................................................... 835.4.2 Entre rampe ........................................................................................................................ 845.4.3 Entre parabole .................................................................................................................... 86

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5.5 CHOIX DU COMPENSATEUR ............................................................................................................. 925.6 SYSTME DE COMMANDE DOUBLE RTROACTION ........................................................................ 92

CHAPITRE 6 CONCEPTION DES COMPENSATEURS ................................................................. 966.1 INTRODUCTION ............................................................................................................................... 966.2 SPCIFICATIONS TRANSITOIRES ...................................................................................................... 97

6.2.1 Rponse lchelon des systmes de premier ordre ............................................................. 976.2.2 Rponse lchelon des systmes de deuxime ordre .......................................................... 98

6.3 TRANSFORMATION CONFORME DU PLAN S AU PLAN Z ....................................................................1016.3.1 Transformation de la rgion de stabilit .............................................................................1026.3.2 Transformation des ples dun systme de premier ordre ...................................................1036.3.3 Transformation des ples dun systme de deuxime ordre ................................................103

6.4 CONCEPTION PAR IMPOSITION DES PLES ......................................................................................1046.5 ANNULATION PLES ZROS ............................................................................................................1096.6 IMPOSITION PARTIELLE DES PLES .................................................................................................111

6.6.1 Imposition des ples dominants ...........................................................................................1116.6.2 Imposition dun dpassement nul ........................................................................................114

6.7 IMPOSITION DUN MODLE DE RFRENCE .....................................................................................1156.7.1 Modle de rfrence ............................................................................................................1156.7.2 Transformation du modle de rfrence dans le domaine de z ............................................1166.7.3 Compensateur anticipatif et imposition dun modle de rfrence .....................................119

6.8 SUIVI DE TRAJECTOIRE ...................................................................................................................1286.8.1 Gnration de trajectoire ....................................................................................................1286.8.2 Conception du compensateur ..............................................................................................129

CHAPITRE 7 COMPENSATEURS POLYNOMIAUX ....................................................................1497.1 INTRODUCTION ..............................................................................................................................1497.2 QUELQUES NOTIONS DALGBRE ...................................................................................................149

7.2.1 quation de Diophantine .....................................................................................................1497.2.2 Existence de la solution de lquation de Diophantine ........................................................152

7.3 STRUCTURE DU COMPENSATEUR POLYNOMIAL ..............................................................................1547.3.1 Fonction de transfert en chane ferme ...............................................................................1557.3.2 Imposition des ples ............................................................................................................1567.3.3 Gain du systme en chane ferme .......................................................................................1577.3.4 Conception par la mthode dimposition des ples .............................................................158

7.4 AJOUT DUN INTGRATEUR DANS LE COMPENSATEUR ...................................................................1687.5 IMPOSITION DUN MODLE DE RFRENCE .....................................................................................1707.6 SUIVI DE TRAJECTOIRE ...................................................................................................................173

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CHAPITRE 8 STABILIT DES SYSTMES CHANTILLONNS .............................................1758.1 INTRODUCTION ..............................................................................................................................1758.2 TUDE DE STABILIT PAR LE CALCUL DES PLES ...........................................................................1758.3 TUDE DE STABILIT LAIDE DU CRITRE DE JURY ......................................................................177

8.3.1 Critre de jury pour les systmes de deuxime ordre ..........................................................1798.3.2 Critre de jury pour les systmes de troisime ordre ..........................................................179

CHAPITRE 9 IDENTIFICATION DES SYSTMES .......................................................................1829.1 INTRODUCTION ..............................................................................................................................1829.2 IDENTIFICATION PAR MOINDRE CARR ...........................................................................................183

RFRENCES ..........................................................................................................................................195

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Liste des tableaux

Tableau 2-1 : Transformes en z ...................................................................................................... 44Tableau 4-1 : Gain des compensateurs ........................................................................................... 76Tableau 5-1 : Calcul des erreurs en rgime permanent ................................................................. 88Tableau 8-1 :Tableau de Jury .......................................................................................................... 178

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Liste des figures

Figure 1.1 : Systme de commande par ordinateur ......................................................................... 2Figure 1.2 : Principe de fonctionnement du convertisseur N/A .................................................. 3Figure 1.3 : Convertisseur R-2R invers ........................................................................................... 5Figure 1.4 : Convertisseur approximation successive .................................................................. 6Figure 1.5 : Exemple de conversion d'un convertisseur 3 bits ................................................... 7Figure 1.6 : Encodeur incrmental .................................................................................................... 8Figure 1.7 : Convertisseur A/N synchronis avec une horloge .................................................. 10Figure 1.8 : Modlisation du convertisseur A/N .......................................................................... 10Figure 1.9 : Symbole d'un chantillonneur ..................................................................................... 11Figure 1.10 : Signaux l'entre et la sortie de l'chantillonneur ............................................... 11Figure 1.11 : Exemple de transformation de Fourier d'un signal................................................ 13Figure 1.12 : Rponse en frquence d'un systme de premier ordre .......................................... 15Figure 1.13 : Convertisseur N/A synchronis avec une horloge ................................................ 16Figure 1.14 : Modlisation du convertisseur N/A ........................................................................ 16Figure 1.15 : Filtre idal pour la transformation d'un signal chantillonn en signal continu.17Figure 1.16 : Fonctionnement du bloqueur d'ordre 0 .................................................................. 17Figure 1.17 : Modle d'un convertisseur N/A usuel ..................................................................... 18Figure 1.18 : Rponse impulsionnelle du bloqueur dordre 0 ...................................................... 18Figure 1.19 : Rponse en frquence d'un filtre de transformation dun signal chantillonn en

signal continu idal et du bloqueur d'ordre 0 ........................................................................ 19Figure 2.1 : Signal avec retard ........................................................................................................... 34Figure 2.2 : Schma blocs dun systme hybride. .......................................................................... 36Figure 2.3 : Systme hybride de base ............................................................................................... 37Figure 2.4 : Transformation de base. ............................................................................................... 38Figure 2.5 : Exemple de systme hybride ....................................................................................... 39Figure 2.6 : Systme transform ....................................................................................................... 39Figure 2.7 : Exemple de systme avec un chantillonneur virtuel .............................................. 40Figure 2.8 : Systme transform ....................................................................................................... 40Figure 2.9 : Schma-blocs hybride de l'exemple 2.9.1 .................................................................. 41

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Figure 2.10 : Schma-blocs de l'exemple 2.9.1 avec un chantillonneur virtuel ....................... 42Figure 2.11 : Parcours associs l'exemple 2.9.1 ........................................................................... 42Figure 2.12 : tape 3) de la procdure de transformation pour l'exemple 2.9.1 ....................... 43Figure 3.1 : Signaux chantillonns ................................................................................................. 47Figure 3.2 : Sous-systme pour la mthode des quations rcurrentes ...................................... 47Figure 3.3 : Systme hybride ............................................................................................................. 49Figure 3.4 : Systme chantillonn .................................................................................................. 49Figure 3.5 : Rponse de systme ...................................................................................................... 52Figure 3.6 : Algorithme de simulation ............................................................................................. 53Figure 3.7 : Systme chantillonn .................................................................................................. 54Figure 3.8 : Rponse du systme ...................................................................................................... 55Figure 3.9 : Algorithme de simulation ............................................................................................. 56Figure 3.10 : Systme de contrle .................................................................................................... 57Figure 3.11 : Algorithme de ralisation du compensateur............................................................ 58Figure 3.12 : Exemple d'un compensateur de 2ime ordre ......................................................... 59Figure 3.13 : Algorithme de ralisation du compensateur............................................................ 60Figure 4.1 : Schma blocs du compensateur PI. ............................................................................ 62Figure 4.2 : Approximation rectangulaire. ...................................................................................... 63Figure 4.3 : Approximation rectangulaire devance. ..................................................................... 64Figure 4.4 : Approximation trapzodale. ....................................................................................... 65Figure 4.5 : Schma bloc en z du compensateur PI. ..................................................................... 66Figure 4.6 : Schma bloc du compensateur PD. ........................................................................... 67Figure 4.7 : Approximation de la drive. ...................................................................................... 67Figure 4.8 : Schma blocs en z du compensateur PID. ................................................................ 68Figure 4.9 : Ordinogramme de l'implantation d'un compensateur PI. ....................................... 70Figure 4.10 : Ordinogramme de l'implantation d'un compensateur PD. ................................... 72Figure 4.11 : Ordinogramme de l'implantation d'un compensateur PID. ................................. 74Figure 4.12 : Rponse lchelon du systme en boucle ouverte. .............................................. 75Figure 4.13 : Paramtres a et L de la mthode Ziegler-Nicols. ................................................... 75Figure 4.14 :Systme en chane ouverte. ......................................................................................... 76Figure 4.15 : Rponse lchelon du systme en chane ouverte. .............................................. 77Figure 4.16 : Systme en chane ferme avec le compensateur PI .............................................. 78

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Figure 4.17 : Rponse lchelon du systme en chane ferme. ................................................ 78Figure 5.1 : Schma bloc d'un systme de commande. ................................................................ 80Figure 5.2 : Systme de commande transform. ............................................................................ 80Figure 5.3 : Systme de commande simplifi. ................................................................................ 81Figure 5.4 : Erreur en rgime permanent pour un chelon ......................................................... 83Figure 5.5 : Erreur en rgime permanent pour une rampe. ......................................................... 85Figure 5.6 : Erreur en rgime permanent pour une parabole. ..................................................... 86Figure 5.7 : Contrle proportionnel d'un moteur cc ..................................................................... 89Figure 5.8 : Schma-bloc transform .............................................................................................. 89Figure 5.9 : Contrleur proportionnel intgrale d'un moteur cc ................................................. 90Figure 5.10 : Schma-bloc transform ............................................................................................ 91Figure 5.11 : Systme de commande double rtroaction .......................................................... 93Figure 5.12 : Premire tape de la transformation du systme double rtroaction ............... 93Figure 5.13 : Schma bloc impliquant seulement des fonctions de transfert en z. ................... 94Figure 5.14 : Schma bloc simplifi. ................................................................................................ 95Figure 5.15 : Schma bloc pour le calcul des erreurs en rgime permanent. ............................. 95Figure 6.1 : Rponse l'chelon d'un systme premier ordre ..................................................... 98Figure 6.2 : Rponse l'chelon d'un systme deuxime ordre ................................................ 100Figure 6.3 : Ples d'un systme de deuxime ordre dans le plan s. ........................................... 101Figure 6.4 : Transformation du plan s au plan z. ......................................................................... 102Figure 6.5 : Transformation de la rgion de stabilit du plan s au plan z. ............................... 102Figure 6.6 : Schma blocs hybride d'un contrleur PI appliqu un moteur CC. ................. 106Figure 6.7 : Schma blocs dans le domaine de z. ........................................................................ 107Figure 6.8 : Schma blocs du sysme dans le domaine de z. ..................................................... 109Figure 6.9 : Schma blocs aprs l'annulation ple zro. ............................................................. 110Figure 6.10 : Rponse lchelon de 2 120( 1) ( 10)( 12)s s s+ + + et de 2

1( 1)s+ . ............................................. 112

Figure 6.11 : Transformation du modle de rfrence. .............................................................. 117Figure 6.12 : Boucle de commande avec compensateur anticipatif. ......................................... 120Figure 6.13 : Schma bloc transform de la boucle de commande. ......................................... 120Figure 6.14 : Boucle de commande avec compensateur anticipatif en avant. ......................... 121

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Figure 6.15 :Commande par ordinateur d'un moteur CC l'aide d'un PI et de compensateur

anticipatif. ................................................................................................................................. 122Figure 6.16 : Transformation du compensateur anticipatif ....................................................... 123Figure 6.17 : Schma blocs en z du systme. ............................................................................... 124Figure 6.18 : Boucle de commande en cascade avec compensateur anticipatif. ..................... 127Figure 6.19 : Boucle de commande simplifie. ............................................................................ 128Figure 6.20 : Trajectoire linaire portions quadratiques. ......................................................... 130Figure 6.21 : Compensateur anticipatif idal. ............................................................................... 131Figure 6.22 : Systme de compensateurs pour un suivi de trajectoire rel. ............................. 132Figure 6.23 :Suivi de trajectoire avec conditions initiales. .......................................................... 133Figure 6.24 : Transformation du compensateur anticipatif. ...................................................... 133Figure 6.25 : Transformation des conditions initiales. ................................................................ 134Figure 6.26 : Transformation de sparation. ................................................................................ 134Figure 6.27 : Transformation de la boucle infrieure. ................................................................ 135Figure 6.28 : Simplification ............................................................................................................. 135Figure 6.29 : Schma blocs de l'erreur de suivi. ........................................................................... 136Figure 6.30 : Simplification du schma blocs de l'erreur de suivi. ............................................ 136Figure 6.31 : Rponse impulsionnelle d'un systme de deuxime ordre. ................................. 137Figure 6.32 : Satellite commander. .............................................................................................. 138Figure 6.33 : Systme de commande par ordinateur. .................................................................. 140Figure 6.34 : Schma blocs en z du systme. ............................................................................... 140Figure 6.35 : Schma blocs simplifi. ............................................................................................ 141Figure 6.36 : Schma blocs sous une forme qui permet le suivi de la trajectoire. .................. 142Figure 6.37 : Boucle de dynamique de l'erreur. ............................................................................ 143Figure 6.38 : Schma SIMULINK sans compensateur anticipatif. ........................................... 145Figure 6.39 : Rsultats de simulation sans le compensateur anticipatif. ................................... 146Figure 6.40 : Schma SIMULINK avec le compensateur anticipatif. ...................................... 146Figure 6.41 : Rsultats de simulation avec le compensateur anticipatif. .................................. 147Figure 6.42 : Erreur de suivi en prsence du compensateur anticipatif. .................................. 147Figure 6.43 : Erreur de suivi en prsence du compensateur anticipatif. .................................. 148Figure 7.1 : Schma blocs du compensateur polynomial ........................................................... 154Figure 7.2 : Systme quivalant dans le domaine de z. ............................................................... 155

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Figure 7.3 : Systme quivalant. ..................................................................................................... 155Figure 7.4 : Schma de fonctionnement d'une presse mtal en feuille .................................. 160Figure 7.5 : Schma de blocs d'une presse mtal en feuille commande par un contrleur

polynomial. ............................................................................................................................... 160Figure 7.6 : Schma blocs en z. ...................................................................................................... 162Figure 7.7 : Premire transformation du schma blocs. ............................................................. 162Figure 7.8 : Deuxime transformation du schma blocs. ........................................................... 163Figure 7.9 : Dernire transformation du schma blocs. ............................................................. 163Figure 7.10 : Schma blocs SIMULINK du systme. ................................................................. 167Figure 7.11 : Rponse un chelon de 0.001m en considrant des conditions initiales de

0.005m. ..................................................................................................................................... 167Figure 7.12 : Schma blocs du compensateur polynomial augment dune intgrale ............ 168Figure 7.13 : Schma blocs quivalent dans le domaine de z. ................................................... 169Figure 7.14 : Schma blocs quivalent. ......................................................................................... 169Figure 7.15 : Schma blocs du compensateur polynomial accompagn du compensateur

anticipatif. ................................................................................................................................. 170Figure 7.16 : Systme quivalent dans le domaine de z. ............................................................. 171Figure 7.17 : Schma blocs quivalent. ......................................................................................... 171Figure 8.1 : Rgion de stabilit des systmes chantillonns ..................................................... 175Figure 8.2 : Ples de lexemple 8.2.1. ............................................................................................ 176Figure 8.3 : Schma-blocs de lexemple 8.2.2 ............................................................................... 177Figure 9.1 : Principe d'identification par moindre carr. ............................................................ 182Figure 9.2 : Identification d'un systme en fonction. .................................................................. 183Figure 9.3 : Systme inconnu dans une boucle de commande. ................................................. 186Figure 9.4 : Entres-sorties du systme inconnu. ........................................................................ 187Figure 9.5 : Schma SIMULINK pour valider le modle. ......................................................... 189Figure 9.6 : Sorties du systme inconnu et du modle d'ordre 1 identifi. .............................. 189Figure 9.7 : Sorties du systme inconnu et du modle d'ordre 2 identifi. .............................. 190Figure 9.8 : Schma blocs du systme. .......................................................................................... 191Figure 9.9: Schma blocs aprs l'annulation ple-zro. .............................................................. 191Figure 9.10 : Simulation du systme avec la nouvelle conception du compensateur. ............ 193Figure 9.11 : Sortie du systme avec la nouvelle conception du compensateur. .................... 194

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CHAPITRE 1 Conversion et chantillonnage

des signaux

1.1 Introduction La notion de convertisseur numrique analogique (N/A) et analogique numrique (A/N)

est essentielle dans un cours dasservissement numrique (Phillips, 1995, page 111). En effet,

comme lindique la Figure 1.1, ces deux composants font partie de linterface qui est utilise

par lordinateur pour communiquer avec le procd commander. Le convertisseur A/N

est utilis pour transmettre le signal de sortie mesur de lappareil de mesure vers lordinateur

tandis que le convertisseur N/A est utilis pour transmettre le signal de commande de

lordinateur vers lentre du procd. Les convertisseurs sont synchroniss avec une horloge

qui oscille une frquence fixe appele frquence dchantillonnage. Les signaux des

convertisseurs sont donc chantillonns. La thorie des signaux chantillonns sera par

consquent brivement couverte dans ce chapitre. En particulier, nous verrons comment un

convertisseur A/N peut tre modlis laide dun simple chantillonneur et comment un

convertisseur N/A peut tre modlis laide dun mcanisme appel bloqueur dordre zro.


Figure 1.1 : Systme de commande par ordinateur

1.2 Convertisseur numrique analogique Le convertisseur numrique analogique N/A est utilis pour convertir les signaux

numriques (chantillonns) en signaux analogiques (continus) (Phillips, 1995, page 111).

Comme lindique la Figure 1.1, ce convertisseur sera gnralement utilis pour transmettre le

signal de commande calcul par lordinateur au procd physique qui doit tre contrl. Le

principe de fonctionnement du convertisseur N/A est illustr par la Figure 1.2. Dans le

schma lectrique de la Figure 1.2, les bits qui constituent lentre numrique en format

binaire sont nots de a0 an-1 o a0 est le bit le moins significatif (BMS) tandis que an-1 est le

plus significatif (BPS).

A/NAppareil

demesure

N/A Procd

Rf

ren

ce

Compensateur

Erre

ur

Com

man

de

Sorti

e

Mes

ure

Ordinateur Interface Procd et mesure

horloge


Figure 1.2 : Principe de fonctionnement du convertisseur N/A

Chaque bit de lentre binaire peut prendre la valeur zro ou un. Ainsi, chaque interrupteur

lectronique est en position gauche ou droite selon la valeur du bit correspondant ( gauche

si le bit est zro et droite sil est un). La tension de sortie de chaque interrupteur est

donc donne par la relation suivante :

1,,0pour niVaV Rii (1.1) Aussi, selon le schma lectrique du convertisseur, la sortie Vs du sommateur est donne par

la relation suivante:

1

0021 2

1242

n

iiinnnns VVR

RVR

RVR

RV (1.2)

En remplaant la relation (1.1) dans la relation (1.2), on obtient la sortie du convertisseur en

fonction de son entre et de la tension de rfrence VR :

1

0

1

0

1

02

21

221 n

i

iinR

n

i

n

iin

iRRiins aV

aVVaV (1.3)

On peut galement rcrire la sortie du convertisseur sous la forme suivante :

bRns EVV 21 (1.4)

o Eb est la reprsentation entire du nombre binaire lentre :

1

02

n

i

iib aE , (1.5)

+

-

R

2R 4R 2nR

an-2 a0

Vs

-VR

Sortie analogique

Rfrence

Entre numrique

an-1

Vn-1 Vn-2 V0


1.2.1 Rsolution du convertisseur La rsolution du convertisseur N/A est le plus petit incrment que la sortie peut subir pour

une tension de rfrence donne. Selon les relations (1.4) et (1.5), la rsolution en

pourcentage est donc obtenue en considrant le plus petit nombre binaire lentre; cest

dire (a0 = 1 et an-1 = an-2 = = a1 = 0) :

nR

s

VVrsolution

21%100

)min(%100 (1.6)

o n est le nombre de bits du convertisseur.

1.2.2 Valeur Maximum Une particularit importante des convertisseurs N/A est que leur sortie ne peut atteindre la

tension de rfrence VR. En effet, Selon les relations (1.4) et (1.5) la valeur maximum de Vs

est atteinte lorsque tous les bits de lentre sont 1 :

1

0

1221212

21)max(

n

i

nnR

inRs VVV

En multipliant de part et dautre par 2, on obtient

nRsn

nRs

nnR

nnR

nnRs

VVVV

VVVV

211)max(12

21)max(

1221221

21222

21)max(2 12

do

nRs VV 211)max( (1.7)

1.2.3 Gain du convertisseur N/A Le gain du convertisseur N/A peut facilement tre dduit partir de la valeur maximale de

sa sortie sur la valeur maximale de son entre :

nR

n

nR

ANV

VK

212211

/

(1.8)


1.2.4 Linarit du convertisseur La prcision du convertisseur dpend de la prcision des rsistances de son circuit lectrique

et de la perfection des caractristiques de lamplificateur oprationnel. On appelle linarit du

convertisseur, la diffrence maximale entre la valeur thorique (qui est calcule en

considrant des rsistances de prcision absolues et un amplificateur oprationnel idal) et la

valeur relle de la sortie du convertisseur divise par la tension de rfrence VR.

1.2.5 Circuit R-2R invers Pour amliorer la linarit du circuit de la Figure 1.2, on utilise souvent un circuit de

conversion R-2R invers illustr par la Figure 1.3 (Phillips, 1995, page 112). Les

caractristiques principales de ce circuit sont de nutiliser que des rsistances de valeur R et

2R et dassurer un courant constant travers la source de tension VR indpendamment de la

valeur de lentre. Ces caractristiques amliorent significativement la linarit du

convertisseur spcialement lorsquil est intgr dans une puce.

Figure 1.3 : Convertisseur R-2R invers

1.3 Convertisseur analogique numrique Le convertisseur analogique numrique A/N est utilis pour convertir les signaux

analogiques (continus) en signaux numriques (chantillonns) (Phillips, 1995, page 113).

Comme lindique la Figure 1.1, ce convertisseur sera gnralement utilis pour transmettre le

signal de mesure de la sortie du procd lordinateur. Il existe plusieurs mthodes de

conversion des signaux analogiques en signaux numriques. Parmi ces mthodes, la plus

usuelle est sans doute celle utilisant le principe dapproximation successive

+

-

R

2R

an-2 a0

Vs

-VR

Entre numriquean-1

R R 2R

2R 2R

Sortie analogique

Rfrence


1.3.1 Convertisseur approximation successive Le principe de fonctionnement du convertisseur A/N approximation successive est illustr

par la Figure 1.4. Dabord, lentre analogique Ve est compare la sortie du convertisseur

N/A Vs : Si Ve est suprieure Vs la sortie du comparateur est un un logique, si non, elle

est un zro logique. Bas sur cette comparaison, le registre approximation successive

(RAS) prend n coups dhorloge, partir du moment ou le signal de dbut de conversion est

vrai, pour excuter la conversion. Au premier coup dhorloge, la sortie numrique est remise

zro. Le dernier bit (le plus significatif) est alors plac un. Puis, selon la valeur de sortie

du comparateur, ce bit est maintenu un (si es VV ) ou remise zro (si Vs > Ve). Au deuxime coup dhorloge, lavant dernier bit est plac un. Puis, selon la valeur de sortie

du comparateur, ce bit est maintenu un (si es VV ) ou remise zro (si Vs > Ve). Ce mcanisme dapproximation successive se rpte jusquau bit le moins significatif. La

conversion seffectue donc en n coups dhorloge o n est le nombre de bits du convertisseur.

Figure 1.4 : Convertisseur approximation successive

+

-

ConvertisseurN/A n bits

Vs

Sortienumrique

VR

VeEntre

analogique

horlogeFin de laconversion

RAS

dbut de laconversion


Pour mieux comprendre le principe de fonctionnement de ce convertisseur, la Figure 1.5

montre un exemple de signaux associs un convertisseur approximation successive de 3

bits. Deux conversions sont ralises dans cet exemple : une avec une tension dentre de

3/8 VR et lautre avec une entre de 5/8 VR.

Figure 1.5 : Exemple de conversion d'un convertisseur 3 bits

1.3.2 Gain du convertisseur A/N Parce que la tension dentre du convertisseur A/N ne peut excder la tension maximale de

la sortie du convertisseur N/A soit nRV 2/11 et parce que la sortie du convertisseur A/N est un entier qui ne peut excder 2n - 1, le gain du convertisseur A/N est donn par la

relation suivante

horloge

2/8 VR

4/8 VR

0 VR

6/8 VR

VR

Dbut de la conversion

a2

a1

a0

Fin de laconversion

Ve Vs


Rn

nR

n

NA VVK 2

2/1112

/ (1.9)

1.3.3 Encodeur incrmental Certains signaux peuvent tre convertis du domaine continu au domaine discret sans utiliser

de convertisseur A/N. La position du rotor dun moteur en est un exemple. En effet il existe

plusieurs capteurs ddis mesurer la position du rotor dun moteur directement dans le

domaine numrique. Le moins dispendieux de ces capteurs est lencodeur incrmental (Kuo,

2010, page 195).

Lencodeur incrmental peut mesurer le dplacement angulaire du rotor dun moteur

lectrique. Le principe de fonctionnement de ce capteur est illustr par la Figure 1.6. Le

disque en rotation est branch mcaniquement avec le rotor du moteur. Ainsi, parce que les

disques renferment des rgions opaques et des rgions transparentes, selon la position du

rotor, les faisceaux lumineux peuvent ou ne peuvent atteindre les senseurs photolectriques.

Les signaux fournis par ces senseurs sont par consquents parfois une valeur maximum

lorsque la lumire passe et parfois une valeur minimum lorsque la lumire est bloque.

Connaissant le nombre de rgions transparentes sur les disques, le dplacement du rotor

peut tre obtenu en comptent le nombre de valeurs maximales du signal A ou du signal B.

Figure 1.6 : Encodeur incrmental

Sourceslumineurses

disque en rotation disque fixe

Senseursphotolectriques

A

B

Signal A

Signal B

90

rgiontransparente

rgionopaque


Comme lindique la Figure 1.6, les sources lumineuses et les senseurs A et B sont placs de

faon ce que les signaux provenant de ces capteurs soient en quadrature; cest dire,

dphass de 90 degrs. Cette particularit nous permet de dterminer le sens de rotation du

rotor. En effet, lorsque le rotor tourne dans un sens, le signal B est en avance sur le signal A

tandis que lorsquil tourne dans lautre sens, B est en retard sur A. Le dcodage des signaux

A et B peut donc se faire en utilisant un compteur branch sur le signal A ou B qui

sincrmente si B est en avance sur A et qui se dcrmente si B est en retard sur A. Pour

augmenter la prcision de la mesure par un facteur de quatre, il est galement possible de

compter tous les transitions des signaux A et B. Le gain du capteur est alors donn par :

rad2

tour14 tE NK (1.10)

o Nt est le nombre total de rgions transparentes sur les disques de lencodeur incrmental.

Le dsavantage de lencodeur incrmental est que la position mesure est toujours relative

la position du rotor du moteur au moment o le systme a subi une remise zro. Pour

contourner ce problme, il est frquent que lencodeur incrmental possde un troisime

signal produisant une impulsion une seule fois par tour. Ce signal peut alors nous permettre

de prvoir un mcanisme dinitialisation permettant de placer le rotor une position connue

lors de la remise zro. Il existe galement dautre type dencodeur permettant de fournir

directement la position du rotor du moteur et non son dplacement. Ces encodeurs

beaucoup plus dispendieux sont appels encodeurs absolus.

1.4 Convertisseur A/N et chantillonneur Comme lindique la Figure 1.7, le convertisseur A/N est synchronis avec une horloge ayant

une priode fixe T appele priode dchantillonnage. Le convertisseur excute les

conversions chaque priode dchantillonnage. Pour cette raison, le signal la sortie du

convertisseur nest valable qu ces priodes prcises. Ainsi, on dit que le signal de sortie du

convertisseur est chantillonn. Pour distinguer le signal dentre, on dit quil est continu.


Figure 1.7 : Convertisseur A/N synchronis avec une horloge

Comme le montre la Figure 1.8, pour modliser le convertisseur, on le spare en trois

parties : le gain; leffet de quantification et lchantillonnage.

Figure 1.8 : Modlisation du convertisseur A/N

Le gain du convertisseur peut facilement tre dtermin grce la relation (1.9) o (1.10)

lorsquil sagit dun encodeur incrmental. Le quantificateur quant lui limite le nombre de

valeur possible sa sortie. En effet, la sortie du convertisseur ne peut prendre de valeur des

intervalles plus petits que la rsolution du convertisseur. Ainsi, selon la relation (1.6), leffet

indsirable du quantificateur diminue rapidement lorsquon augmente le nombre de bit du

convertisseur. Pour cette raison, on nglige souvent le quantificateur dans le modle du

convertisseur. Lchantillonneur est un lment important du convertisseur : il reprsente le

passage du signal du monde continu (procd) au monde chantillonn (ordinateur).

Lchantillonneur est symbolis par un interrupteur qui se ferme brivement chaque

priode dchantillonnage. Comme lindique la Figure 1.9, cette symbolisation illustre bien la

transformation du signal continu f(t) en signal chantillonn f*(t).

ConvertisseurA/N

Sortiesignal chantillonn

Entresignal continu

Horloge

TEntresignal continu


KA/N

Gain Quantificateur chantillonneur


Figure 1.9 : Symbole d'un chantillonneur

Pour bien comprendre le fonctionnement de lchantillonneur, la Figure 1.10 illustre le signal

de sortie de lchantillonneur correspondant un signal dentre donn (Kuo, 1980, page

54).

Figure 1.10 : Signaux l'entre et la sortie de l'chantillonneur

Le signal chantillonn f*(t) peut alors sexprimer mathmatiquement de la faon suivante :

0

)()()2()2()()()0()()(*k

kTfkTtTfTtTfTtfttf (1.11)

o (t) est une fonction de Dirac et f(t) est le signal continu. La relation (1.11) sera dune importance capitale lorsque viendra le temps de faire lanalyse des systmes chantillonns.

En effet, au Chapitre 3, la transforme de Laplace de la relation (1.11) permettra de dfinir la

transforme en z qui sera loutil par excellence pour lanalyser de ce type de systmes.

TEntresignal continu f(t) f*(t)


Entresignal continu

Sortiesignal chantillon

f(t) f*(t)

t t

T

T 2T 3T 4T 5T 6T 7T0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T08T 8T


1.4.1 Thorme dchantillonnage En observant la Figure 1.10, on remarque que lorsquun signal est chantillonn, une partie

de linformation quil contient est perdu. Le thorme dchantillonnage permet de choisir la

priode dchantillonnage de faon viter la perte dinformation essentielle lors de

lchantillonnage. De faon gnrale, la transforme de Fourrier permet de transformer

nimporte quel signal continu en une somme de signaux sinusodaux. La Figure 1.11 illustre

un exemple de cette transformation dans lequel un signal continu est transform en une

somme de quatre signaux sinusodaux. Bas sur cette transformation, Shannon arrive la

conclusion que, pour ne pas perdre dinformation essentielle, un signal doit tre

chantillonn avec une priode dchantillonnage infrieure la moiti de la priode du

signal sinusodal de plus haute frquence. Il tablit donc la rgle suivante (Phillips, 1995,

1980, page 101) :

max21f

T (1.12)

o T est la priode dchantillonnage et fmax est la frquence la plus leve de la

dcomposition du signal en une somme de signaux sinusodaux. Ce rsultat est

communment appel thorme dchantillonnage.


Figure 1.11 : Exemple de transformation de Fourier d'un signal

1.4.1.1 Application du thorme dchantillonnage En pratique, le thorme dchantillonnage est souvent difficile appliquer de faon stricte.

En effet, la plupart des signaux qui existent dans notre monde sont constitus dune somme

infinie de signaux sinusodaux. Dans ce cas, la frquence fmax est infinie de sorte que la

priode dchantillonnage doit tre nulle, ce qui est videmment irralisable. Dans ce

contexte, on considre fmax non pas comme la frquence la plus leve de la somme des

-1

0

1

-0,5

0

0,5

-1

0

1

-0,2

0

0,2

-0,2

0

0,2

+

+

+

=


signaux sinusodaux mais la frquence du signal sinusodale partir duquel on considre que

lamplitude est ngligeable (Leigh, 1992, page 154). Par exemple, on sait quune fonction de

transfert de premier ordre de la forme suivante :

c

c

wsw

ssG 1

1)(

o wc = 1/ est la frquence de coupure en rad/s, une rponse en frquence telle quillustre par la Figure 1.12. une frquence de 4wc, lamplitude de la rponse est

denvirons 12 db soit le quart de lamplitude maximale. En gnrale, on considre que

lamplitude est ngligeable au-del de cette frquence. On pose donc

22

24

4max ccc wwff Ainsi, selon la relation (1.12), la priode dchantillonnage T doit tre choisie en respectant

lingalit suivante :

448

12

1

max

cc wff

T (1.13)

o fc est la frquence de coupure du systme de premier ordre en Hz, wc est sa frquence de

coupure en rad/s et est sa constante de temps en secondes. En utilisant les mmes arguments, on arrive la conclusion que la sortie dun systme de deuxime ordre de la

forme suivante :

222

2)(

nn

n

wswswsG

o on suppose que 1 , devrait tre chantillonne avec une priode dchantillonnage qui respecte le critre suivant :

nw

T4

o wn est la frquence naturelle du systme en rad/s et est son facteur damortissement. Lorsque plusieurs systmes sont cascads, on choisit normalement la priode

dchantillonnage en se basant sur le systme qui la bande passante la plus faible. Ainsi,

),min(4

,cjni

jiww

T (1.14)


Par exemple, pour le systme suivant:

4

1)( 2 sssG

on choisirait T de faon respecter lingalit suivante:

84

nwT

tandis que pour le systme suivant:

141)( 2 ssssG on choisirait plutt T de faon respecter lingalit suivante:

4)1,4min(4),min(4

cn wwT

Figure 1.12 : Rponse en frquence d'un systme de premier ordre

10-1 100 101-20

-15

-10

-5

0

20 lo

g(|G

(jw)|)

w/wc

4

-12


1.4.2 Filtre anti-repliement Pour viter que des signaux parasites des frquences plus leves que fmax dtriorent

linformation chantillonne par le convertisseur A/N, on ajoute souvent un filtre passe-bas

son entre. Ce filtre est communment appel filtre anti-repliement (Leigh, 1992, page 12).

1.5 Conversion N/A et bloqueur dordre zro Comme lindique la Figure 1.13, le convertisseur N/A est synchronis avec une horloge

ayant une priode dchantillonnage T. chaque priode dchantillonnage, le convertisseur

transforme le signal du monde chantillonn (ordinateur) au monde continu (procd).

Comme pour le convertisseur A/N, le convertisseur N/A peut se modliser laide de trois

sous-systmes : un filtre; un gain et un quantificateur. La Figure 1.14 illustre se modle.

Figure 1.13 : Convertisseur N/A synchronis avec une horloge

Le gain du convertisseur peut facilement tre dtermin grce la relation (1.8). Comme

pour le convertisseur A/N, le quantificateur peut la plupart du temps tre nglig.

Figure 1.14 : Modlisation du convertisseur N/A

ConvertisseurN/A

Entresignal chantillonn

Sortiesignal continu

Horloge



KN/A

Filtre Quantificateur Gain


Le filtre doit pour sa part transformer le signal chantillonn en signal continu. Il joue donc

le rle inverse de lchantillonneur. Selon Shannon, un signal chantillonn en respectant le

critre du thorme dchantillonnage peut tre parfaitement transform en un signal

continu dorigine laide dun filtre ayant la rponse en frquence illustre par la Figure 1.15

(Kuo, 1980, page 62). Un tel filtre est videmment irralisable.

Figure 1.15 : Filtre idal pour la transformation d'un signal chantillonn en signal

continu.

En ralit, le filtre qui est utilis en pratique pour transformer le signal chantillonn en

signal continu est le bloqueur dordre zro (Kuo, 1980, page 66). chaque priode

dchantillonnage, le bloqueur mmorise la donne son entre, la transfert sa sortie et la

maintient jusqu la prochaine priode dchantillonnage. La Figure 1.16 illustre le

fonctionnement du bloqueur dordre 0.

Figure 1.16 : Fonctionnement du bloqueur d'ordre 0

f (Hz)12T

1

|Filtre(j2f)|


f(t)

tT 2T 3T 4T 5T 6T 7T0 8T

Entresignal chantillon

f*(t)

tT 2T 3T 4T 5T 6T 7T0 8T

B0


Le bloqueur dordre 0 est en ralit une partie intgrante du convertisseur N/A qui est

ralise grce un registre qui garde la valeur convertir entre chaque priode

dchantillonnage. Le modle du convertisseur N/A usuel prend donc la forme illustre par

la Figure 1.17.

Figure 1.17 : Modle d'un convertisseur N/A usuel

1.5.1 Fonction de transfert du bloqueur dordre 0 Comme le montre la Figure 1.16, le bloqueur dordre 0 transforme le signal chantillonn en

signal continu mais ne reconstitue pas le signal continu dorigine. Pour cette raison, nous

devront dans les chapitres qui suivent toujours en tenir compte. Ainsi, nous allons

maintenant obtenir le modle du bloqueur dordre 0 dans le domaine de Laplace. Pour ce

faire, nous allons appliquer la dfinition mme dune fonction de transfert soit, la

transforme de Laplace de la sortie du systme sur la transforme de Laplace de son entre.

La Figure 1.18 montre la sortie du bloqueur dordre 0 lorsquune impulsion est applique

son entre.

Figure 1.18 : Rponse impulsionnelle du bloqueur dordre 0

La sortie du bloqueur peut alors tre exprime mathmatiquement de la faon suivante :

)()()( Ttututy



KN/A

Bloqueurd'ordre 0

Quantificateur Gain

B0

t0

B0

t0 T

Entree(t)

Sortiey(t)

(t)11


o u(t) est la fonction chelon. La fonction de transfert du bloqueur dordre 0 est alors

donne par :

)()()()()(

)()()(0 TtuLtuLtL

TtutuLteLtyLsB (1.15)

En utilisant la proprit du retard de la transforme de Laplace, la fonction de transfert du

bloqueur dordre 0 prend la forme suivante (Kuo, 1980, page 67) :

seuLetuLsB

TsTs

1)()(0 (1.16)

1.5.2 Rponse en frquence du bloqueur dordre 0 La rponse en frquence du bloqueur dordre 0 peut tre obtenue en remplaant s par j2f dans la fonction de transfert du bloqueur (Kuo, 1980, page 68). La Figure 1.19 illustre cette

rponse compare celle du filtre de transformation de signaux chantillonns en signaux

continu idal. Cette figure nous montre une diffrence significative entre la rponse du filtre

idal et celle du bloqueur. Cette diffrence nous montre de nouveau limperfection de la

reconstruction du signal continu laide du bloqueur 0 et nous incite encore davantage

prendre en compte le bloqueur dordre 0 dans les chapitres suivants.

Figure 1.19 : Rponse en frquence d'un filtre de transformation dun signal

chantillonn en signal continu idal et du bloqueur d'ordre 0

|Filtre idal( j2f )|

|B0( j2f )|

12T

1T

32T

2T

52T

3T

f (Hz)


CHAPITRE 2 Transforme en z

2.1 Introduction La transforme de Laplace est gnralement utilise pour faire lanalyse des systmes

dynamiques continus linaires paramtres invariants. En principe, elle pourrait galement

ltre pour faire lanalyse des systmes linaires chantillonns. Cependant, la transform de

Laplace des signaux chantillonns donne lieu des sommes infinies de fonctions

exponentielles, ce qui alourdit considrablement les manipulations. Pour palier ce

problme, on dfinit la transforme en z qui permet danalyser beaucoup plus facilement les

systmes de commande chantillonns. Dans ce chapitre nous verrons que la transforme en

z peut-tre utilise pour analyser des systmes comprenant non seulement des sous systmes

discret mais galement des sous-systmes continus et des chantillonneurs. La mthode pour

analyser ce type de systme hybride consistera transformer les diffrents sous-systmes

dans le domaine discret de faon obtenir un systme quivalent entirement transform

dans le domaine de z. Des schmas blocs comportant uniquement des fonctions de transfert

dans le domaine de z pourront alors tre manipuls avec les mmes rgles que ceux

comportant uniquement des fonctions de transfert dans le domaine de s.

2.2 Dfinition de la transforme en z Comme nous lavons dj mentionn dans le chapitre prcdant (quation 1.11), un signal

chantillonn )(* tf peut toujours sexprimer sous la forme suivante

0

* )()()(n

nTfnTttf (2.1)

o f(t) est le signal continu, (t) est une impulsion de dirac et T est la priode dchantillonnage. En gnral, dans le domaine de la commande continue et

chantillonne, on suppose que les signaux considrs sont causaux; cest dire que

les signaux sont nuls lorsque le temps est ngatif ( f(t) = 0 si t < 0 ). Dans le texte qui

suit, cette hypothse sera maintenue moins quil en soit prcis autrement. En prenant la


transforme de Laplace de part et dautre de la relation (2.1), on obtient le signal

chantillonn dans le domaine de Laplace qui sexprime de la faon suivante :

00

** )()()()()()(nn

nTfnTtLnTfnTtLtfLsF

Grce la proprit du retard de la transforme de Laplace, ce signal devient (Kuo, 1980,

page 78) :

0

** )()()(n

nTsenTftfLsF (2.2)

La relation (2.2) est gnralement lourde utiliser puisquelle renferme une somme infinie de

fonctions exponentielles. Pour allger les manipulations associes cette relation, on dfinit

la variable complexe z de la faon suivante (Kuo, 1980, page 79) :

Tsez (2.3) Cette transformation complexe peut galement tre inverse de faon exprimer s en

fonction de z de la faon suivante

)ln(1 zs T (2.4) La transforme en z est alors dfinie par la relation suivante (Kuo, 1980, page 79):

)ln(

*1

)()()(zs T

tfLzFtfZ (2.5) o Z est loprateur de la transforme en z. En remplaant la relation (2.2) dans la relation

(2.5), la transforme en z peut galement sexprimer sous la forme suivante :

0

)()()(n

nznTfzFtfZ (2.6)

La relation (2.6) reprsente une srie de puissance qui peut tre rsolue sous certaines

conditions. cette fin, le paragraphe suivant prsente un bref rappel sur la rsolution des

sries gomtriques.

2.3 Srie gomtrique De faon gnrale, la srie gomtrique se prsente sous la forme suivante :

0

21n

nrrrS (2.7)

o r est une variable complexe. Si la condition suivante est vrifie,

1r (2.8)


o r est le module de r, alors, la srie gomtrique comme solution la relation suivante

(Kreyszig, 1988, page 187) :

r

S 11 (2.9)

En effet, parce que 1r , 0lim n

nr . Ainsi,

111 3232 SrrrrrrrS do la relation (2.9).

2.4 Quelques exemples de transforme en z Considrons maintenant quelques exemples de transforme en z que nous solutionnerons en

utilisant la srie gomtrique.

Exemple 2.4.1 : Transforme en z de atetf )( Selon la dfinition de la transforme en z donne par la relation (2.6),

0

1

0 n

naT

n

nanTat zezeeZ

Cette relation reprsente une srie gomtrique de la forme de celle donne par la relation

(2.7) avec 1 zer aT . La solution de cette srie, donne par la relation (2.9), nous permet alors dobtenir la transforme en z sous la forme rationnelle suivante :

aTaTat ez zzeeZ 11 1 condition que 11 ze aT ou de faon quivalante condition que aTez . La rgion dfinie par aTez est appele rgion de convergence. Cette notion ne sera pas considre dans le cadre de ce cours. Dans les exemples suivants, cette condition ne sera pas prise en

compte.

Exemple 2.4.2 Transforme en z de attetf )( Selon la dfinition de la transforme en z donne par la relation (2.6),

211

0

1

0

2 zeTzeTzenTznTeteZ aTaTn

naT

n

nanTat


En multipliant de part et dautre par 1 ze aT , on obtient

31211 2 zeTzeTteZze aTaTataT

En faisant la soustraction des deux dernires relations, nous obtenons

0

121111n

naTaTaTataT zeTTzeTzeTteZze

Le membre de droite de cette relation reprsente une srie gomtrique de la forme de celle

donne par la relation (2.7) avec 1 zer aT . La solution de cette srie, donne par la relation (2.9), nous permet alors dobtenir la relation suivante :

111111 1111

ze

zTeze

TzTeTze

TTteZze aTaT

aT

aT

aTataT

do

2211

1 aTaT

aT

aTat

ezzTe

zezTeteZ

Exemple 2.4.3 Transforme en z de )sin()( wttf Selon lidentit de Euler,

jeewt

jwtjwt

2)sin(

Ainsi, selon la dfinition de la transforme en z donne par la relation (2.6),

0

1

0

1

0 21

2)()sin(

n

njwT

n

njwT

n

nnjwTnjwT

zezej

zjeewtZ

Cette relation reprsente une somme de deux sries gomtriques de la forme de celle

donne par la relation (2.7) avec 1 zer jwT et 1 zer jwT . La solution de ces sries, donne par la relation (2.9), nous permet alors dobtenir la transforme en z sous la forme

rationnelle suivante :

21

1

21

1

11

11

11

)cos(21)sin(

2/21)2/(

1111

21

11

11

21)sin(

zwTzzwT

zeezjeez

zezezeze

jzezejwtZ

jwTjwT

jwTjwT

jwTjwT

jwTjwT

jwTjwT


Finalement, en multipliant au numrateur et au dnominateur par z2, on obtient,

1)cos(2

)sin()sin( 2 wTzzzwTwtZ

Exemple 2.4.4 Transforme en z de atmettf )( Sachant que

matmatm aeettf )( , lapplication de la transforme en z donne par la relation (2.6) nous donne

atmmnn

anTm

mn

nm

anTmatm eZ

aze

az

aeetZ

00

Selon le rsultat de lexemple 2.4.1, on obtient finalement

aTmmatm ez zaetZ

2.5 Transforme en z de fonctions de transfert en s Lorsque viendra le temps de faire lanalyse des systmes hybrides renfermant des fonctions

de transfert continues et discrtes, il sera avantageux de transformer les fonctions de

transfert continues en fonctions de transfert discrtes (Kuo, 1980, page 103). Il sera donc

trs utile dappliquer la transforme en z directement sur des fonctions de transfert dans le

domaine de Laplace. Un abus de langage est alors couramment utilis. En effet, pour tre

consistant avec la dfinition de la transforme en z dcrite par la relation (2.5), la

transforme en z dune fonction de transfert en s devrait se faire en utilisant la notation

suivante :

)()()( 1 sFLZtfZzF (2.10) o L-1 est loprateur de la transforme inverse de Laplace. Mais pour simplifier lcriture, on

utilise souvent la notation suivante :

)()( sFZzF (2.11) en gardant toujours lesprit que cest la dfinition dcrite par la relation (2.10) qui doit tre

applique. Parce que la transformation des fonctions de transfert du domaine de s celui de


z passe par une transforme de Laplace inverse, il est souvent souhaitable dutiliser des

fractions partielles pour effectuer cette opration.

2.5.1 Fractions partielles pour des ples simples Soit une fonction de transfert dans le domaine de s donne par la relation suivante :

)()()(

sDsNsF (2.12)

o N(s) est le numrateur et D(s) est le dnominateur de la fonction de transfert. Si les ples

de F(s) sont donns par 1, 2, , k, une dcomposition en fractions partielles permet de rcrire la fonction de transfert sous la forme suivante (Phillips, 1995, page 662) :

1 211 2

( )( ) ( ) ( ) ( )

kk n

nk n

K K K KF ss s s s

o

nsnn

sFsK )()( (2.13) La transforme en z de F(s) est alors donne par la relation suivante

k

n n

nk

n n

n

sKLZ

sKLZzF

1

1

1

1

)()()(

Sachant que

tnn

n neKs

KL

1 ,

et sachant que selon le rsultat de lexemple 2.4.1, la transforme en z de tne est donn par

Tt nn ez zeZ Il sensuit que la transforme en z de F(s) est donne par la relation suivante :

k

nT

nnez

zKsFZ1

)( (2.14)

Exemple 2.5.1

Obtenons la transforme en z de la fonction de transfert suivante :

)2)(1(

1)( sssF


Pour se faire, trouvons dabord les ples de F(s). En solutionnant lquation caractristique

suivante

0)2)(1()( sss on trouve les ples suivants :

1 = -1 et 2 = -2 Les ples sont donc simples ce qui nous permet dutiliser les quations (2.13) et (2.14) pour

obtenir la transforme en z. Ainsi,

TTn

Tn

ezzK

ezzK

ezzKzFsFZ

n 221

2

1)()(

o selon la relation (2.13),

12

1)2)(1(

1)1()()(11

111

sss sss

ssFsK

11

1)2)(1(

1)2()()(22

222

sss sss

ssFsK

La transforme en z est donc donne par la relation suivante :

TTTT

TT

TT

TT ezezeez

ezezezzezz

ezz

ezzzFsFZ 2

2

2

2

2)()(

2.5.2 Fractions partielles pour des ples multiples Soit la fonction de transfert ples multiples suivante :

)()()(

sDsNsF (2.15)

o N(s) est le numrateur et D(s) est le dnominateur de la fonction de transfert. Si les ples

de F(s) sont donns par 1, 2, , k avec respectivement les multiplicits m1, m2, , mk, une dcomposition en fraction partielle permet de rcrire la fonction de transfert

sous la forme suivante (Phillips, 1995, page 663) :

k

p

m

mm

p

pmp

sK

sF1 1

)(

o

p

p

p

p

s

mpmm

mm

ppm sFssmm

K

)()()!(1 (2.16)


La transforme en z de F(s) est alors donne par la relation suivante

k

p

m

mm

p

pmk

p

m

mm

p

pmpp

sK

LZs

KLZzF

1 1

1

1 1

1

)()()(

Sachant que

tmpmmppm net

mK

sK

L 11

)!1(

,

et sachant que selon lexemple 2.4.4,

aTmmatm ez zaetZ Nous avons

k

p

m

mTm

p

mpm

p

pezz

mK

zF1 1

1

1

)!1()( (2.17)

Exemple 2.5.2

Obtenons la transforme en z de la fonction de transfert suivante :

)2(

1)( 2 sssF

Pour se faire, trouvons dabord les ples de F(s). En solutionnant lquation caractristique

suivante

0)2()( 2 sss on trouve les ples

1 = 0, 1 = 0 et 2 = -2 Parce quil y a un ple double 0 (m1 = 2) et un ple simple 2 (m2 = 1), on doit utiliser les

quations (2.16) et (2.17) pour obtenir la transforme en z de F(s). Ainsi,

TTTp

m

mTm

p

mpm

ezzK

ezzK

ezzK

ezz

mK

zFp

p 211 211

1211

2

1 11

1

)!1()(

O

41212121)()( 0200222111 1

ssss ssssss

ssFs

sK


212121)()( 00222112 1

sss sss

ssFsK

411

212)()(

22

22221 2

sss sss

ssFsK

et o

22

1 1

111

1 T

TTT

T ezzTeTeezz

ezz

La transforme en z de F(s) est donc donne par la relation suivante :

TTTT

T

TTT

T

TT

T

ezzzTeezeT

ezzzzzzezTzezez

ezzzzezzTezzz

ezz

zzT

zzzF

22

2212

41

4122

41

41

21

22

234122

212223

41

22

2412

212

41

22

1

121

111

41

121

141)(

2.6 Utilisation des tables Quil sagisse de faire la transforme en z dune fonction dans le domaine du temps ou dans

celui de Laplace, il est gnralement plus simple dutiliser une table de transforme en z que

dappliquer la dfinition. Le Tableau 2-1 prsente un exemple de table de transforme en z

que vous pouvez utiliser. videmment, pour pouvoir obtenir une transforme en z partir

dune table, il faut que la fonction que lon souhaite transformer existe dans cette table.

Mme si cette fonction existe, on doit souvent lexprimer diffremment pour quelle

corresponde prcisment avec la table, en particulier lorsquon souhaite transformer une

fonction du domaine de s celui de z.

Exemple 2.6.1


Utilisons la table de transforme en z du Tableau 2-1 pour obtenir la transforme en z de la

fonction suivante :

1)( 2 ssKsF

En observant la table, on remarque que la fonction transforme correspond lentre 9.

On constate galement que cette fonction doit tre rcrite pour corresponde prcisment

celle de la table :

/1/1)( 2 ssKsF

Ainsi,

/1/1

/1/1)()( 22 ss

KZss

KZsFZzF

La transforme en z correspond maintenant exactement avec lentre 9 de la table si on

considre que /1a . La transforme en z de F(s) est donc donne par la relation suivante :

T

TTT

ezzTeezeTzKzF

2

///

1)(

Exemple 2.6.2

Utilisons la table de transforme en z du Tableau 2-1 pour obtenir la transforme en z de la

fonction suivante :

1,2)( 222

nnn

wswsswsF

Parce que 1 , les ples du facteur de deuxime ordre sont complexes. Ainsi, pour faire la correspondance avec la table, on doit dabord faire la compltion du carr. Pour se faire, on

pose lgalit suivante :

2222222 22 nn wswswaasswas


de sorte que

nwa 222222 1 nnn wawwwaw

La fonction de transfert prend alors la forme suivante :

2222

)(wass

awsF

qui correspond exactement lentre 16 de la table. La transforme en z de F(s) est donc

donne par la relation suivante :

TwnTw nn ezTwezz BAzz 222 1cos21 o

21

2 1sin1cos12

TweTweA nTwnTw nn

221

2 1cos1sin2

TweTweeB nTwnTwTw nnn

2.7 Proprits de la transforme en z Il existe plusieurs proprits associes la transforme en z. Ces proprits permettent non

seulement de faciliter lobtention de certaines transformes en z mais galement de faciliter

lanalyse du comportement des systmes chantillonns. En particulier, le thorme de la

valeur finale sera souvent utilis pour analyser le comportement dun systme chantillonn

en rgime permanent sans avoir faire de transforme en z inverse. Les proprits que nous

vous prsentons maintenant sont notre avis les plus usuelles (Kuo, 1980, page 95).

Proprit 1 : Addition et soustraction

)()()()( 2121 tfZtfZtftfZ


Dmonstration La dmonstration est vidente si on applique la dfinition de la transforme

en z donne par la relation (2.6). En effet,

)()()()()()()()( 210

20

10

2121 tfZtfZznTfznTfznTfnTftftfZn

n

n

n

n

n

Proprit 2 : Multiplication par une constante

)()( tfaZtafZ Dmonstration Une fois de plus la dmonstration se fait en appliquant directement la

dfinition de la transforme en z donne par la relation (2.6) :

)()()()(00

tfaZznTfaznTaftafZ nn

n

n

Proprit 3 : Translation (Retard)

)()(1 tfZztfZz

nTtfZ nn

Dmonstration En appliquant la dfinition de la transforme en z donne par la relation

(2.6), on obtient

)(00

)()()( nknk

k

kzznTkTfznTkTfnTtfZ

On considre ensuite le changement dindice m = k n de sorte que

mnm

nmn

nmzmTfzzzmTfnTtfZ

)()()(

Finalement, parce que f(t) = 0 si t < 0,

)()()(0

tfZzzmTfznTtfZ nmm

n

Proprit 4 : Translation complexe

aTzezat tfZtfeZ )()( Dmonstration En appliquant la dfinition de la transforme en z donne par la relation

(2.6), on obtient


aTzeznaTn

n

n

anTat tfZzenTfznTfetfeZ

)()()()(

00

Proprit 5 : Thorme de la valeur finale

)(1lim)(lim1

zFz

zkTfzk

Dmonstration Considrons les squences suivantes :

n

k

nk znTfzTffzkTf0

1 )()()0( (2.18)

n

k

nk zTnTfzTfzfTfzTkTf0

21 )()()0()(

Puis, parce que f(t) = 0 si t < 0,

n

k

nk zTnTfzTfzfzTkTf0

21 )()()0( (2.19)

En comparant (2.18) et (2.19), on trouve que

1

00

1n

k

kn

k

k zkTfzzTkTf

de sorte quen prenant la diffrence entre (2.18) et (2.19) avec z se rapprochant de 1, on

obtient

1

00

1

00

1

1)(lim

n

k

n

k

n

k

kn

k

k

znTfkTfkTfzkTfzzkTf

Si on considre maintenant que n tend vers linfini,

)(limlimlim 100

1

1nTfzkTfzzkTf

n

n

k

kn

k

k

zn

En permutant les limites, on obtient finalement,


)(1lim)(1limlimlimlim)(lim

1

1

100

1

1

1

00

1

1

zFz

ztfZzzkTfzzkTf

zkTfzzkTfnTf

zzk

k

k

k

z

n

k

kn

k

k

nzn

Exemple 2.7.1

Trouvons la transforme en z du signal suivant

)2(1)( /)2( Ttuetf sTt Ce signal, illustr par la Figure 2.1, peut tre rcrit sous la forme suivante

/1)(,)2()( tetgTtgtf de sorte quen utilisant la Proprit 3 et lentre 8 de la table de transforme en z du Tableau

2-1, on obtient

/

/

/

/

22 11

111)(1)2()( T

T

T

T

ezzze

ezzze

ztgZ

zTtgZtfZ

Remarquez que le dlai ne fait quaugmenter lordre de la fonction de transfert obtenue; il

nintroduit pas de fonction non rationnelle. Cette caractristique des systmes chantillonns

est trs avantageuse par rapport aux systmes continus. En effet, selon la proprit du retard

de la transforme de Laplace, la transforme de Laplace du signal f(t) est donne par la

relation suivante :

assaetgLetfL TsTs

22 )()(

Cette relation contient une fonction non rationnelle qui est gnralement difficile

manipuler. cause de cette caractristique, lanalyse des systmes avec retard est

gnralement beaucoup plus simple dans le domaine chantillonn que dans le domaine

continu.


Figure 2.1 : Signal avec retard

Exemple 2.7.2

La transforme en z du signal de lexemple 2.7.1 est donne par la relation suivante :

/

/

11)( T

T

ezzzezF

On veut obtenir la valeur en rgime permanent de ce signal sans avoir faire une

transforme en z inverse pour obtenir le signal dans le domaine du temps. Pour ce faire, il

suffit simplement dutiliser le thorme de la valeur finale donne par la Proprit 5. Ainsi,

11lim111lim)(1lim)(lim /2/

1/

/

11

T

T

zT

T

zzk ezze

ezzze

zzzF

zzkTf

Ce rsultat peut facilement tre confirm en observant la Figure 2.1 qui illustre le signal F(z)

dans le domaine du temps.

f(t)

t2T

0,63

1,00

2T+


2.8 Transforme en z du bloqueur dordre zro Dans le prochain paragraphe, la transformation des schmas-blocs hybrides en schmas-

blocs impliquant que des fonctions de transfert en z sera prsente. Cette transformation

sera alors utilise pour transformer des systmes de commande chantillonns faisant

gnralement intervenir un convertisseur N/A et un procd dans le domaine continu. Lors

de cette transformation, nous aurons trs souvent faire la transforme en z dun procd

prcd dun bloqueur dordre zro. Pour cette raison, nous allons maintenant utiliser

certaines proprits de la transforme en z pour simplifier ce calcul. Selon la relation (1.16),

la transforme en z dune fonction de transfert G(s) prcd dun bloqueur dordre zro

Bo(s) est donne par la relation suivante :

)(1)()( sG

seZsGsBoZ

Ts

Selon la Proprit 1 de la transforme en z,

ssGeZ

ssGZsGsBoZ Ts )()()()(

Puis, selon la Proprit 3 de la transforme en z et la proprit du retard de la transforme de

Laplace,

ssGZ

zssGZsGsBoZ )(1)()()(

do (Kuo, 1980, page 108)

ssGZ

zzsGsBoZ )(1)()( (2.20)

2.9 Transformation des schmas blocs hybrides Les systmes linaires de commande continus sont souvent prsents sous forme de

schmas blocs forms dun ensemble de blocs reprsentant chacun une fonction de transfert

dans le domaine de Laplace. Lalgbre des blocs peut alors tre utilise pour manipuler et

analyser ces schmas. Lorsquil sagit de systmes linaires de commande chantillonns, le

schma blocs renferme gnralement des fonctions de transfert continues (convertisseur

numrique analogique, procd commander et mesure), des fonctions de transfert

discrtes (compensateur) et des chantillonneurs (convertisseur analogique numrique). Ce


type de systme est appel hybride parce quil contient des signaux continus et

chantillonns. La Figure 2.2 illustre un tel systme dans lequel les gains des convertisseurs

ont t incorpors dans le procd et la mesure et les quantificateurs ont t ngligs.

Figure 2.2 : Schma blocs dun systme hybride.

Lanalyse de ce type de systme dans sa forme hybride est relativement complexe. En effet,

lalgbre des blocs ne peut gnralement pas tre utilise pour manipuler ces systmes. Pour

cette raison, il est souvent prfrable de transformer les systmes hybrides de faon ce

quils sexpriment entirement dans le domaine chantillonn. videmment, seules les

variables chantillonnes feront alors partie intgrante du schma blocs transform.

Lavantage de cette mthodologie est que lalgbre des blocs peut alors tre applique sans

restriction.

La transformation des schmas blocs hybrides en schma blocs dans le domaine

chantillonn utilise une seule transformation de base (Kuo, 1980, page 104-105). Pour

obtenir cette transformation, considrons dabord le systme hybride lmentaire illustr par

la Figure 2.3.

Gp(s)R* E*

+-

M*Gc(z)

CBo(s)

H(s)T

Procd

Mesure

ConvertisseurN/A

ConvertisseurA/N

CmCm*

Compensateur


Figure 2.3 : Systme hybride de base

Dans ce systme, le signal C(s) peut sexprimer de la faon suivante :

00

)()()()()(*)()(n

nTs

n

nTs sGenTfenTfsGsFsGsC

Trouvons le signal C dans le domaine du temps :

0

1

0

11 )()()()()()(n

nTs

n

nTs sGeLnTfsGenTfLsCLtc

La proprit du retard de la transforme de Laplace nous permet alors dcrire :

0

1 )()(,)()()(n

sGLtgnTtgnTftc

Le signal chantillonn C*(s) peut alors sexprimer de la faon suivante :

0 00 00

)()()()()()(*n k

kTs

k

kTs

nk

kTs nTkTgnTfeenTkTgnTfekTcsC

Puis, en posant le changement dindice r = k n, on obtient,

00

)( )()()()()(*n nr

rTsnTs

n nr

Tsnr rTgenTferTgnTfesC

Parce que g(t) = 0 si t < 0, il sensuit que

0 00 0

)()()()()(*n r

rTsnTs

n r

rTsnTs rTgenTferTgenTfesC

Ainsi, selon la dfinition dun signal chantillonn,

)(*)(*)(* sFsGsC

G(s)T

ConvertisseurA/N

C(s) C*(s)F*(s)


En appliquant la dfinition de la transforme en z dcrite par la relation (2.5), on obtient

finalement la transformation de base dun systme hybride un systme chantillonn :

)()()(*)(*

)(*)(*)(*)(*)(

)ln()ln(

)ln()ln()ln(

11

111

zFzGsFsG

sFsGsCtcLzC

zszs

zszszs

TT

TTT

o

)()(*)()ln(1

sGZsGzGzs T

Cette transformation est illustre par la Figure 2.4.

Figure 2.4 : Transformation de base.

2.9.1 Procdure de transformation des systmes hybrides Llment de base pour transformer les schmas-blocs hybrides en schma-blocs comportant

uniquement des fonctions de transfert en z est videmment la transformation illustre par la

Figure 2.4. Il faut cependant remarquer que dans le schma-blocs transform, seuls les

signa

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