NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 5-a

Problèmes scalaires instationnairesd’ordre 1 en temps

• Domaines d’application• Notions de schémas explicite, implicite• Critère de stabilité

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Domaines d’applications (1/2)

Exemple 1 : échauffement instationnaire d’un disque de frein

Source : www.espci.fr

Source : fr.wikipedia.org

Source : univ. Lyon

Simulation champ de température

T(x,t)

Temps (s)

20°C

500°C

Phase transitoire Phase stabilisée = stationnaire

1ère partie du cours de NF04 !

Rele

vé sig

nal d

’une

son

de

Condition Initiale =

ZOOM Modèle physique

Modèle numérique

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Domaines d’applications (2/2) Exemple 2 : transport d’une concentration (polluant …) dans un

lac

temps

Lignes d’iso-concentration

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Modèles mathématiques

Thermique :

Transport d’un polluant :

stationnaire

. ( , , ) 0, ( , )(

,, , )

0p vk T xT x y

y t f x y Vt

C tt

diffusion transport

( ...)

. ( , , ) ( , ) ( , , ) 0,(

( , ), , )

0,v

productionchimie

C x yk C x y t

tt

tV x y C x y t f x y V

Capacité calorifique

Vitesse d’écoulement

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Modèle simplifié : pas de variable d’espace Evolution de la concentration dans un réservoir

Condition initiale : eau+polluant, C(t=0)=CoLe processus consiste à purger le réservoir avec de l’eau pure (C=0)On a :

V : volume du réservoir [litres] C(t) : concentration homogène (mélangeur) [gr/litre] q : débit [litres/sec.]

Mélangeur (utile pour avoir une concentration homogène)

Volume V

Concentration C(t)

q q

Litre/sec.Entr

ée S

ort

ie

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Modèle mathématique (purge du réservoir)

Bilan de matière entre deux instants :

Soit la relation :

En prenant la limite pour :

Condition initiale : C(t=0)=Co

quantité à t+Δt quantité à t quantité perdue

( ) ( ) ( ) unités=[gr]V C t t V C t q C t t

( ) ( )( ) 0

C t t C tV q C t

t

0t

( )( ) 0

dC tV q C t

dt

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Discrétisation de la dérivée en temps

Utilisation d’une formule de discrétisation décentrée à l’ordre 1 :

1( )

...n ndC t C C

tdt t

1 ,n nC C t t C C t Notations :

Instant inconnu où la pente approximée est confondue avec la pente exacte !

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Schémas de discrétisation en temps

On injecte la discrétisation en temps :

Remarque : cette discrétisation est exacte si est connu !

impossibilité de déterminer ! Il est alors nécessaire de faire un choix.

Principaux choix :1. (instant n)2. (instant n+1/2)3. (instant n+1)

1

0 avecn nC C q

Ct V

t t t

t 2tt

tt

MAIS

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Principaux schémas utilisés

Instant n :

Instant n+1/2 :

Instant n+1 :

Schéma EXPLICITE

Schéma SEMI-IMPLICITE ou de Cranck-Nicholson

Schéma IMPLICITE

1

0n n

nC C qC

t V

1 11/ 2 1/ 2

20 avec

n n n nn nC C q C CC C

t V

11 0

n nnC C qC

t V

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Ecriture générale

Il est possible de regrouper tous les schémas en une seule expression fonction d’un paramètre variable. On écrit :

pour aboutir à :

avec :

=0 : schéma explicite

=1/2 : schéma de Cranck-Nicholson

=1 : schéma implicite

11 n nC C C

1 1n nV t q

V q tC C

Question : une fois retenu le choix du schéma, quelle valeur donner à t ?

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Choix du t conditionné par la stabilité du schéma

Ecriture générale de la forme récurrente :

1 ...n nGC C Coefficient d’amplification

=0 dans le cas présent

Important !

Un schéma est dit :

• Stable sans oscillation si :

• Stable avec oscillation si :

• Instable si :

0 1G

1G

1G

En déduire une valeur maximale pour t afin d’assurer la stabilité numérique du schémaIdée !

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Illustration de la stabilité

0 1G

Stable sans oscillation1G

Stable avec oscillation 1G

Instable

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Preuve du critère de stabilité

La stabilité d’un schéma est évaluée par une méthode de perturbation de la solution.

1. Introduction d’une perturbation à l’instant n : n

2. Calcul de l’évolution de la perturbation à l’instant n+1 : n+1

Forme générale de la relation de récurrence :

On considère les perturbations :qui insérées conduisent à :

1 resten nC G C

1 1 1 etn n n n n n

devient

C C C C

1 1

1 1

1

=0 !

reste

reste

n n n n

n n n n

n n

C G C

C G C G

G

•Le « reste » n’influence pas la stabilité•La perturbation est régie par la même relation de récurrence

A retenir !

Pre

uv

e

Stable si n+1≤ n

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Application au schéma explicite

L ’évolution est régie par la relation :

Une stabilité sans oscillation requiert :

Soit :

Une stabilité avec oscillation requiert :

Soit :

1 1n n

G

t q

VC C

0 1G

1 1 1 d'où : 0 (toujours vérifié)t q

G tV

0 0 1 soit crit

t q VG t t

V q

1 ou 1 1G G

2crit

Vt t

q

Con

dit

ion

s d

e

stab

ilité

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Application au schéma implicite

L ’évolution est régie par la relation :

Pour ce schéma, le critère de stabilité sans oscillation est toujours vérifié.

Le schéma est dit inconditionnellement stable !

Remarque : de manière générale, pour une équation linéaire, un schéma implicite sera toujours inconditionnellement stable !

1 1

1

n n

G

t qC

V

C

0 1G

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Illustration des solutions explicite et implicite

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Choix du type de schéma à utiliser

(+) (-)Utilisation préconisée

EXPLICITE Facile à programmer (pas de matrice à inverser)Très précis

Stable sous conditionPas de temps minimum pouvant être pénalisant

transitoires rapides

(chocs …)

IMPLICITE Inconditionnellement stable

Plus « lourd » à programmer (matrice à inverser)Souvent moins précis

transitoires lents