NF04 Cours5 A

SYS852 - Hiver - ETS 1Version 03/20068(A.S.)

Cours 5-a

Problèmes scalaires instationnairesd’ordre 1 en temps

• Domaines d’application• Notions de schémas explicite, implicite• Critère de stabilité


Domaines d’applications (1/2)

Exemple 1 : échauffement instationnaire d’un disque de frein

Source : www.espci.fr

Source : fr.wikipedia.org

Source : univ. LyonSimulation champ de température

T(x,t)

Temps (s)20°C

500°C

Phase transitoire Phase stabilisée = stationnaire

1ère partie du cours de NF04 !

Relev

é signa

l d’un

e son

de

Condition Initiale =

ZOOM Modèle physique

Modèle numérique


Domaines d’applications (2/2)Exemple 2 : transport d’une concentration (polluant …) dans un lac

temps

Lignes d’iso-concentration


Modèles mathématiques

Thermique :

Transport d’un polluant :

( )stationnaire

. ( , , ) 0, ( , )( ,, , ) 0p vk T xT x y y t f x y VtC tt

ρ + ∇ − ∇ − = ∀∂

∀ ∈∂

≥

diffusion transport( ...)

. ( , , ) ( , ) ( , , ) 0,( ( , ), , ) 0,v

productionchimie

C x y k C x y tt tt

V x y C x y t f x y V∂∀ ≥

⎛ ⎞⎜ ⎟+ ∇ − ∇ + − = ∀ ∈⎜⎝∂ ⎟

⎠

Capacité calorifique

Vitesse d’écoulement


Modèle simplifié : pas de variable d’espaceEvolution de la concentration dans un réservoir

Condition initiale : eau+polluant, C(t=0)=CoLe processus consiste à purger le réservoir avec de l’eau pure (C=0)On a :

V : volume du réservoir [litres]C(t) : concentration homogène (mélangeur) [gr/litre]q : débit [litres/sec.]

Mélangeur (utile pour avoir une concentration homogène)

Volume V

Concentration C(t)

q q

Litre/sec.En

trée

Sort

ie


Modèle mathématique (purge du réservoir)

Bilan de matière entre deux instants :

Soit la relation :

En prenant la limite pour :

Condition initiale : C(t=0)=Co

quantité à t+Δt quantité à t quantité perdue

( ) ( ) ( ) unités=[gr]V C t t V C t q C t t× + Δ − × = − × × Δ

( ) ( ) ( ) 0C t t C t V q C tt

+ Δ −× + × =

Δ

0tΔ →

( ) ( ) 0dC tV q C tdt

+ × =


Discrétisation de la dérivée en temps

Utilisation d’une formule de discrétisation décentrée à l’ordre 1 :

( )1( ) ...

n ndC t C C tdt t

+ −= + Δ

Δ

( ) ( )1 ,n nC C t t C C t+ = + Δ =Notations :

Instant inconnu où la pente approximée est confondue avec la pente exacte !


Schémas de discrétisation en temps

On injecte la discrétisation en temps :

Remarque : cette discrétisation est exacte si est connu !

impossibilité de déterminer ! Il est alors nécessaire de faire un choix.

Principaux choix :1. (instant n)2. (instant n+1/2)3. (instant n+1)

1

0 avecn nC C q C

t Vt t tτ τ

+ −+

Δ= ≤ ≤ + Δ

τ

τ

tτ ≡2ttτ Δ≡ +

ttτ Δ≡ +

MAIS


Principaux schémas utilisés

Instant n :

Instant n+1/2 :

Instant n+1 :

Schéma EXPLICITE

Schéma SEMI-IMPLICITE ou de Cranck-Nicholson

Schéma IMPLICITE

1

0n n

nC C q Ct V

+ −+

Δ=

1 11/ 2 1/ 2

20 avec

n n n nn nC C q C CC C

t V

+ ++ +− +

+ =Δ

=

11 0

n nnC C q C

t V

++−

+Δ

=


Ecriture généraleIl est possible de regrouper tous les schémas en une seule expression fonction d’un paramètre α variable. On écrit :

pour aboutir à :

avec :

α=0 : schéma explicite

α=1/2 : schéma de Cranck-Nicholson

α=1 : schéma implicite

( ) 11 n nC C Cτ α α +− × + ×=

( )1 1n nV t qV q t

C Cα

α+ − Δ −

+ Δ=

Question : une fois retenu le choix du schéma, quelle valeur donner à Δt ?


Choix du Δt conditionné par la stabilité du schéma

Ecriture générale de la forme récurrente :

1 ...n nGC C+ = × +Coefficient d’amplification

=0 dans le cas présent

Important !

Un schéma est dit :

• Stable sans oscillation si :

• Stable avec oscillation si :

• Instable si :

0 1G≤ ≤

1G ≤

1G >

En déduire une valeur maximale pour Δt afin d’assurer la stabilité numérique du schémaIdée !


Illustration de la stabilité

0 1G≤ ≤

Stable sans oscillation1G ≤

Stable avec oscillation 1G >

Instable


Preuve du critère de stabilitéLa stabilité d’un schéma est évaluée par une méthode de perturbation de la solution.

1. Introduction d’une perturbation à l’instant n : εn

2. Calcul de l’évolution de la perturbation à l’instant n+1 : εn+1

Forme générale de la relation de récurrence :

On considère les perturbations :qui insérées conduisent à :

1 resten nC G C+ = × +

1 1 1 etn n n n n n

devient

C C C Cε ε+ + +→ + → +

( )1 1

1 1

1

=0 !

reste

reste

n n n n

n n n n

n n

C G C

C G C G

G

ε ε

ε ε

ε ε

+ +

+ +

+

+ = × + +

⇔ − × + + = ×

⇔ = ×

•Le « reste » n’influence pas la stabilité•La perturbation est régie par la même relation de récurrence

A retenir !

Preu

ve

Stable si εn+1≤ εn


Application au schéma explicite

L ’évolution est régie par la relation :

Une stabilité sans oscillation requiert :

Soit :

Une stabilité avec oscillation requiert :

Soit :

1 1n n

G

t qV

C C+

=

=Δ

−

0 1G≤ ≤

1 1 1 d'où : 0 (toujours vérifié)t qG tV

Δ≤ ⇔ − ≤ Δ ≥

0 0 1 soit critt q VG t tV q

Δ≤ ⇔ ≤ − Δ ≤ Δ =

1 ou 1 1G G≤ − ≤ ≤

2critVt tq

Δ ≤ Δ =

Cond

itio

ns d

e st

abili

té


Application au schéma implicite

L ’évolution est régie par la relation :

Pour ce schéma, le critère de stabilité sans oscillation est toujours vérifié.

Le schéma est dit inconditionnellement stable !

Remarque : de manière générale, pour une équation linéaire, un schéma implicite sera toujours inconditionnellement stable !

1 1

1

n n

G

t q C

V

C +

=

+=

Δ

0 1G≤ ≤


Illustration des solutions explicite et implicite


Choix du type de schéma à utiliser

transitoires lents

transitoires rapides

(chocs …)

Utilisation préconisée

Plus « lourd » àprogrammer (matrice àinverser)Souvent moins précis

Inconditionnellement stable

IMPLICITE

Stable sous conditionPas de temps

minimum pouvant être pénalisant

Facile à programmer (pas de matrice àinverser)Très précis

EXPLICITE

(-)(+)

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