Méthode des différences finies Approche stationnaire...

NF04 - Automne - UTC 1Version 09/2006 (E.L.)

Cours 2

Méthode des différences finies Approche stationnaire

• Technique de discrétisation en 1D• Construction du système• Prise en compte des conditions aux limites• Notion de convergence• Extension au 2D


Méthode des différences finies

Méthode : écrire sous forme discrète (i-1, i, i+1 …) tous les termes dedérivées présents dans l’équation d’équilibre appliquée en iainsi que dans les C.L.

Objectif : transformer une équation « continue » valable sur un domaine continu en un système à N équations pour N inconnues associées à un domaine discret appelé maillage

2

2( , , ...) 0u uL u fx x∂ ∂

+ =∂ ∂

+ conditions aux limites

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

k k k u fk k k u fk k k u f

=


Différences finies 1D : méthode générale( ) [ ]

2

2 0, 0,d T xk f x Ldx

+ = ∀ ∈

( 0) 30T x = =

Reprenons l’exemple de thermique 1D régi par :

1. On discrétise le domaine en « N » nœuds (maillage) :

2. On applique alors cette équation au nœud « i » :

A ce stade, il nous faut donc discrétiser le terme de dérivée seconde !

2

2 0 1,...,ii

d Tk f i Ndx

+ = ∀ =

A domaine discret, équation « discrète » !

( ) ( )( )( ) extdTq L k L h T L Tdx

= − = −


Discrétisation des termes de dérivées

Utilisation des développements limités :

On combine ces deux équations. Par exemple, la somme de (1) et de (2) :

permet d’isoler : ( ) ( )2

2

22

1 2 ( ) 1...)(

i

T i T i T id Tdx

xx

+ −+

− += ∆

∆

( ) ( )

( ) ( )

2 2 3 3

2 3

2 2 3 3

2 3

4

4

1 ( ) ...) (1)2 6

1 ( ) ...) (2)2 6

(

(

i i i

i i i

dT d T x d T xT x x T i T i x

dx dx dx

dT d T x d T xT x x T i T i x

dx dx dx

x

x

∆ ∆+ ∆ = + = + ∆ + + +

− −∆ ∆

∆ − −= = ∆ + +

∆

∆

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2

41 1 2 ( ) ...)2

2 ( 1 2i

d T xT i T i T i

dxx∆

+ − = + ++ ∆ +

notation indicielle

représentatif de l’ordre de tous les termes tronqués


Principales formes discrètes à connaître

En combinant de différentes manières, on obtient ainsi les approximations discrètes suivantes :

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

1

1

21 1

2 2

1 1

(1)

(2)

21 2

1 2

...

...

...

.2

..

i i

i

i i

i

i i i

i

i i

i

T TdTdx x

T T

x

x

x

x

dTdx x

T T Td Tdx x

T TdTdx x

+

−

− +

− +

−→ ≈

∆

−→ ≈

∆

− ++ → ≈

∆

−− → ≈

+

∆

∆

+∆

+∆

+∆

Décentré droit

Décentré gauche

Centré

Centré

Termes tronqués

Type

Précision du schéma

Nouvelle notation : T(i+1)=Ti+1


Interprétation graphique

Discrétisation centrée :relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré (noeud i) sont équivalentes.

Discrétisation décentrée :relation dans laquelle les contributions des valeurs nodales de part et d'autre du point considéré (noeud i) ne sont pas équivalentes.


Construction globale du système

La relation discrète finalement obtenue s’écrit :

Elle est applicable seulement aux nœuds i=2, …, N-1 :

1 12

2 0i i ii

T T Tk fx

− +− ++ =

∆

ou encore :2

1 12i i i ixT T T fk− +

∆− + = −

2

1 2 3 2

2

2 3 4 3

2

2 1 ( 1)

2: 2

3: 2

1: 2N N N N

xi T T T fkxi T T T fk

xi N T T T fk− − −

∆= − + = −

∆= − + = −

∆= − − + = −

M

1

2

2 2

2

3 3

2

1 1

0 0 0 0 ... 0 0 0 0

1 2 1 0 ... 0 0 0

0 1 2 1 ... 0 0 0

0 0 0 0 ... 1 2 1

0 0 0 0 ... 0 0 0 0

N N

N

T

xT f kxT f k

xT f kT

− −

∆− −

∆ − − =

∆ − −

MM M

Écriture sous forme matricielle


Condition à la limite de type DIRICHLET

1

2

2 2

2

3 3

2

1 1

0 0 0 ... 0 0 0

1 2 1 0 ... 0 0 0

0 1 2 1 ... 0 0 0

0 0 0 0 ... 1 2 1

0 0 0 0 ... 0 0 0

3

0

1 0

N N

N

T

xT f kxT f k

xT f kT

− −

∆− −

∆ − − =

∆ − −

MM M

Méthode : on ajoute :1. un terme unité « 1 » sur la diagonale du nœud concerné 2. la valeur connue dans le 2nd membre

1( 0) 30T x T= = =On a la condition suivante :


Avec noeud fictif : plus long mais précis !

( ) ( )( )( ) extdTq L k L h T L Tdx

= − = −

Méthode : on discrétise le terme de dérivée présent dans la condition à lalimite (aussi appelée condition de type « flux »).

Condition à la limite de type CAUCHY (1/2)

On a la condition suivante :

( )1 1

2N N

N extT Tk h T T

x+ −−

− = −∆

2

1 1: 2N N N Nxi N T T T fk− +

∆= − + = −

2

12 2 2 2N N N exth x x xT T f h Tk k k−

∆ ∆ ∆ ⇔ − + = − −

avec noeud fictif !

On applique la relation d’équilibre discrète en N car le nœud N+1 existe :

( )1 1 2N N N exth xT T T Tk+ −∆

⇔ = − −


Sans noeud fictif : rapide mais perte en précision !

On a recours à une formule décentrée pour la CL :

conduisant ainsi à :

Condition à la limite de type CAUCHY (2/2)

( )1N NN ext

T Tk h T Tx

−−− = −

∆

1 1N N extx xT h T h Tk k−

∆ ∆ − + = −

sans noeud fictif !

+ : rapide à mettre en oeuvre

- : on diminue la précision globale du schéma

(précis ordre 1)


Système final à résoudre

12

22

2

33

2

11

2

1 0 0 0 ... 0 0 0 30

1 2 1 0 ... 0 0 0

0 1 2 1 ... 0 0 0

0 0 0 0 ... 1 2 1

0 0 0 0 ... 0 2 2 2 2

NN

N N ext

Txf kTxf kT

xf kTh x x xT f h Tk k k

−−

∆− − ∆ − − = ∆ − − ∆ ∆ ∆ − + − −

M MM

Rem : ce système est basé sur le traitement de la CL avec nœud fictif


Affichage et post-traitement de la solution

Pour des systèmes de tailles supérieures à 3-4, on a généralement recours à des outils informatiques dédiés à la résolution et l’affichage.

Apprentissage de l’outil Matlab lors des séances TP de NF04


Pour résumer …

Mailler le domaine

Discrétiser l’équation d’équilibre et les conditions aux limites :En remplaçant toutes les dérivées par leur forme discrète

Construire le système globalEn appliquant les équations discrètes sur les nœuds concernés

Résoudre le système (voir TP et TD encadrés sous Matlab)

Post-traiter : Tracer la solutionCalculer les variables dérivées : flux (thermique), contrainte (méca) …


Fiabilité du modèle : notion de convergence

Erreur introduite en négligeant les termes des développements limités à partir d’un certain ordre

( )2

2 0d T xk fdx

+ =

Modèlemathématique

(continu)

Modèlenumérique

(algébrique)

1 12

2 0i i ii

T T Tk fx

− +− ++ =

∆

Question : comment s’assurer que l’équation discrète est représentative,en termes de phénomènes physiques, de l’équation de départ ?

Méca. Flu., thermique : transport, diffusion …MMC : traction, flexion, dynamique …

Idée : le comportement du modèle numérique doit converger vers le comportement du modèle mathématique (censé être proche du réel …).


Notion de convergence

Méthode : s’assurer de la propriété de CONVERGENCE de l’équation discrète.

Convergence = consistance + stabilité

Théorème de LAX :

Comportement numérique proche du « réel » Absence d’oscillations

parasites


Notion de consistance

Définition : on appelle erreur de troncature τ, l’ensemble des termes négligés dans les développements limités lors de l’obtention d’une équation (ou schéma) discrète

0

0x

lim τ∆ →

=

Définition : un schéma est dit consistant si son erreur de troncature tend vers 0 lorsque le pas ∆x tend vers 0

Il est en effet possible d’écrire :

Équation continue = Équation discrète + τ


Exemple de calcul de l’erreur de troncatureConsidérons les développements limités suivants :

que l’on injecte dans l’équation discrète.

2 2 3 3 4 4

2 3 4

2 2 3 3 4 4

2 3 4

51

51

...)2 6 24

...)2 6 24

(

(

i i i i

i i i i

i i

i i

dT d T x d T x d T xT T x

dx dx dx dx

dT d T x d T x d T xT T x

dx dx dx dx

x

x

+

−

∆ ∆ ∆= + ∆ + + +

∆ ∆ ∆= − ∆ + −

+ ∆

+ − ∆

Conclusion : le schéma est bien consistant avec l’équation de départ

2

1 12i i i ixT T T fk− +

∆− + = −

Remarque : la solution par différences finies sera mathématiquement exacte dans ce cas précis. La solution math. est quadratique d’où τ = 0 !

2 4

2 4

22

Equation continue en Erreur de troncature

112

... 0i i

i

i

d T d Tdx dx

xk f xk

+ ∆

+ + ∆ = 14243 14444244443

2 4 4

2 4

22 6 ...)

12(

i i

id T d T xdx dx k

xx x fk

∆+

∆∆ + ∆ = −Ce qui conduit à :

soit :


Effets « visibles » de l’erreur de troncature

Le schéma est dit DISPERSIF si des dérivées impaires apparaissent.Effets néfastes pouvant entraîner l’instabilité des résultats

Le schéma est dit DIFFUSIF si des dérivées paires apparaissent.Effets bénéfiques mais pouvant diminuer la précision des résultats

Le comportement graphique de la solution est un indicateur des effets de l’erreur de troncature


« Notion » sur la stabilité d’un schéma

Définition : la stabilité est la propriété de contrôler toute perturbation (numérique dans notre cas) introduite de manière accidentelle.

Concrètement, apparition d’oscillations parasites (changement du signede la pente d’un nœud à l’autre).

(L’étude de la stabilité sera développée ultérieurement.)

Un schéma est dit STABLE si la perturbation diminue ou mieux, disparaît.Un schéma est dit INSTABLE si la perturbation augmente.


Extension à 2 dimensions (2D)Thermique : exemple d’une plaque rectangulaire soumises à différentes

conditions aux limites.

[ ]0 ( )T T K= Dirichlet

( ) 2. / ( )extq n h T T W m = − − r r Cauchy

2. / ( )q n W mϕ = r r Neumann

x∆ y∆

Rem : est le flux normal à la paroi (normale vers l’extérieur) .q nr r

Définition du contour du domaine et génération d’un maillage quadrillé :


Différences finies 2D :

L’équation de la chaleur 2D est la suivante :

La loi de comportement est :

Insertion de éq.(2) dans éq.(1) :

{ ( ). 0, , (1)Divergence

q f x y S∇ − = ∀ ∈r r

{ ( ), (2)Flux thermique

q k gradT k T x y= − = − ∇uuuuur rr

( ) ( ) [ ]2 2

2 2

, ,0, 0,

T x y T x yk f x L

x y ∂ ∂

+ + = ∀ ∈ ∂ ∂

( )2

, , , 22 2

,

1 12. . .i i ij j j

i j

T T TT xx x

− +− +∂≈ + ∆

∂ ∆( )

2, , , 2

2 2,

1 12. . .i i i

j

j

i

j jT T TT yy y

− +− +∂≈ + ∆

∂ ∆

1, , 1, , 1 , , 1,2 2

2 20,

2,..., 1, 2,..., 1

i j i j i j i j i j i ji j

T T T T T Tk f

x yi N j M

− + − +− + − + + + = ∆ ∆

∀ = − ∀ = −

,, i jT x y T

=


Construction du système

Balayer les lignes les unes après les autres et appliquer l’équation discrète si possible

Appliquer les conditions aux limites discrètes

Résoudre et post-traiter les solutions

1,1

1,2

1,3

, 1

,

N M

N M

T

T

T

T

T

−

=

MK F

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