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DS PCSI MPSI, novembre 2019, durée 2h

Corrigé sur le site : http://perso.numericable.fr/starnaud/ Problème 1 Système InSIGHT (INP MP 19) L'étude proposée porte sur la réplique terrestre du système InSIGHT (Interior exploration using Seismic Investigations, Geodesy and Heat Transport), projet du CNES (Centre National d’ÉtudesSpatiales) qui a pour but de déployer une station d'étude de la structure interne de la planète Mars. La station de mesures doit effectuer une campagne de mesures de l'activité sismique afin d'établir des informations sur l'épaisseur de la croûte martienne, de ses manteaux et des zones de subduction, voire des impacts des météorites. Le support technologique de la mission est un atterrisseur similaire à celui de la mission Phoenix qui a été utilisé avec succès en 2007 pour étudier le sol glacé près du pôle nord de Mars. Seul le sous-système SEIS sera l’objet de l’étude proposée. Il est basé sur un instrumenthybride composé : D'un système de déploiement (DPL). D'une sphère comportant trois capteurs sismiques à très larges bandes et leurs

capteurs de température. D'une boîte électronique d'acquisition dont la structure est donnée par le diagramme

de définition des blocs.

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Validation du positionnement du module SEIS Objectif : Valider les réglages de la commande des trois actionneurs linéaires associés

aux pieds, afin de respecter les exigences liées à leur positionnement. On limite l’étude à un des trois actionneurs. On donne la chaîne structurelle de l’actionneur électrique :

Modélisation de la motorisation On donne les équations de fonctionnement du moteur à courant continu

Equation électrique : )()(.)(.)( tedt

tdiLtiRtu

Équations de couplage : )(.)( tKte e et )(.)( tiKtC cm

Equation dynamique : )()(.)()(. tCtftCdt

tdJ rm

Avec : Moment d’inertie équivalent total ramené sur l’arbre moteur : J= 0,00004 kg⋅m2. Coefficient de frottement visqueux du moteur : f = 0,002 N.m.s/rad. Résistance et Inductance du moteur : R = 1 Ω et L = 20 µH. Constante de couple : Kc = 0,35 N⋅m⋅A−1. Constante de force contre électromotrice : Ke = 0,35 V.s/rad. Tension et courant moteur : u(t) [V] et i(t) [A]. Vitesse de rotation et position angulaire en sortie moteur : ω(t) [rad/s] et θ(t) [rad]. Force contre électromotrice : e(t) [V]. Couple moteur : Cm(t) [N.m] et Couple résistant ramené sur l’arbre moteur : Cr(t) [N.m].

On donne dans le document réponses la structure du schéma bloc du moteur. Question 1 Compléter le schéma bloc donné dans le document réponses. On se place dans le cas particulier où Cr(p) = 0

Question 2

Donner l’expression de la fonction de transfert en boucle fermée )()()(1 pU

ppF .

La mettre sous forme canonique.

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On donne dans le document réponses les résultats expérimentaux de l’évolution de la vitesse de rotation ω(t) suite à l’application d’un échelon de tension u(t) d’une amplitude

de 12 V. On pose pT

FpUppF

.1)()()(

0

02

Question 3 Justifier le choix d’une fonction de transfert d’ordre 1 pour modéliser le comportement du moteur à partir des essais expérimentaux. Effectuer les constructions graphiques nécessaires sur le document réponse afin de déterminer la valeur du gain statique F0 et de la constante de temps T0 de F(p). Question 4 Justifier une hypothèse simplificatrice permettant de justifier le passage à l’ordre 1 de F1(p) par rapport à F2(p). Étude de l’asservissement en position du vérin Objectif : Choisir un correcteur approprié permettant de satisfaire le cahier des charges

vis-à-vis des exigences. La mesure de la distance est obtenue grâce à un capteur à ultrason permettant de délivrer, sous la forme d’impulsions, une image de la distance entre la structure sur SEIS et le sol. Cette information est ensuite traitée afin de générer un signal image de la distance parcourue par la tige du vérin. L’étude précédente a permis d’obtenir un modèle de comportement du moteur intégré dans le schéma bloc de l’asservissement présenté ci-dessous pour lequel Cr(p) = 0.

Notations et spécifications Gain du capteur : Kcapt = 588 impulsions/m. Gain de l’ensemble réducteur et vis-écrou : Kred = 19,1.10 −6 m/rad. Vitesse linéaire de la tige du vérin : V(t) [m.s−1]. Déplacement linéaire de la tige du vérin : d(t) [m]. Correcteur : C0(p). Gain du hacheur : KH = 1,163.

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Tout d’abord, le correcteur est considéré unitaire : C0(p) = 1. Question 5 Donner l’expression littérale de M(p) et, pour garantir un bon asservissement, l’expression littérale de Kadapt . Question 6 Déterminer l’expression littérale de la fonction de transfert en boucle ouverte GBO(p).

Mettre celle-ci sous la forme canonique ).1.(

)(0 pTp

KpG BOBO

.

Donner l’expression littérale de BOK , faire l’application numérique. Quelques soit les résultats précédent, utiliser pour la suite du sujet l’expression

numérique suivante : )1.0002,0.(

02,0)(

pp

pGBO

On désire quantifier la rapidité du système à la suite d’une sollicitation en échelon. On donne les relations permettant de calculer le temps de réponse à 5 %, noté t5%, pour un système d’ordre deux (avec z le facteur d’amortissement et ωn la pulsation propre du

système non amorti) : Pour 2

1z , on a

nzt

.3

%5 ,pour 2

1z , on a

n

zt.6

%5 .

Question 7

Calculer la fonction de transfert en boucle fermée )()()(

pDpDpG

c

BF .

La mettre sous forme canonique 1..2)(

2

2

pzpKpG

nn

BFBF

.

Déterminer ses coefficients caractéristiques. En déduire le temps de réponse de l’asservissement en vitesse. Conclure sur le respect des exigences Id004 « Rapidité » et Id005 « Précision ». Afin d’améliorer les performances de l’asservissement, on choisit un correcteur proportionnel de gain KD tel que C0(p) = KD. On impose un temps de réponse à 5% de 5 secondes et un facteur d’amortissement z supérieur à 1.

Question 8

Calculer la fonction de transfert en boucle fermée )()()(

pDpDpG

c

BF . La mettre sous

forme canonique, déterminer ses coefficients caractéristiques en fonction de KD.

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À partir des équations liant le temps de réponse, le facteur d’amortissement et la pulsation propre ainsi que de l’expression numérique de GBF(p), donner une expression liant t5% et KD. En déduire la valeur de KD permettant de respecter la contrainte imposée en termes de rapidité. On donne ci-dessous les tracés de la sortie du système asservi à la suite d’un échelon de consigne de 10 cm pour KD1 = 200000 et KD2 = 60.

Question 9 Commenter les courbes (respect des exigences) et choisir le correcteur qui vous paraît le plus pertinent.

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Problème 2 : Grue porte conteneur. (Centrale PSI 13) Le rôle des ports dans le transport mondial des marchandises Le transport des marchandises (hydrocarbures, charbon, agroalimentaire, ciment, matériaux de construction, biens de consommation. . .) à travers le monde est incontournable dans l’économie moderne. Excepté les matières premières, ces marchandises sont envoyées par conteneurs. Les conteneurs sont des boites standardisées, d’une masse maximale de 40 tonnes, permettant de transporter des marchandises du fournisseur au client par navire, train, camion, voire par avion, sans déballer la marchandise. Les navires « post-panamax » sont les plus gros navires de transport et peuvent embarquer jusqu’à 13 000 conteneurs.

Pour rejoindre sa destination finale, un conteneur changera plusieurs fois de navire. Il sera déchargé puis rechargé par des grues dans des plateformes portuaires, véritables « hubs » du réseau maritime. Le temps d’immobilisation des navires à quai est donc un paramètre important du cout du transport. Ainsi les deux prestations principales attendues pour la grue sont la sécurité des hommes et des marchandises et la cadence de transfert. Le contexte est celui du port de Fos, l’un des deux quais de déchargement du port de Marseille. Il est équipé de 13 grues de chargement déchargement, pour cargos de type « post-panamax », fonctionnant 23 heures sur 24, 7 jours sur 7. Il y a quelques années, les équipements étant devenus vétustes, le port a engagé la modernisation des chaines de motorisation et des systèmes de commande des grues pour en améliorer la fiabilité et la cadence. Élaboration d’une commande automatisée de déchargement Le port de Marseille souhaite offrir à ses clients les installations parmi les plus modernes au monde. Aussi, une étude prospective envisage l’automatisation des grues pour un chargement et un déchargement toujours plus efficaces et rapides. Le service technique de la Société portuaire souhaite implanter un nouveau système de commande, sans modifier la partie opérative couteuse (alimentation des moteurs, motorisation et chaine de transmission de puissance).

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Un extrait du cahier des charges du système de commande automatisé est donné : Stabilité : système stable, dépassements de moins de 10% (en réponse à un échelon). Rapidité : temps de réponse à 5% inférieur à 10 s (en réponse à un échelon). Précision du positionnement de la charge sur le camion : 10 cm. Sensibilité aux perturbations : aucune en régime permanent pour une perturbation due

à un vent constant. Asservissement de position du chariot Objectif : Modéliser le procédé et choisir la loi de commande en position du chariot pour

assurer les performances nécessaires au positionnement du conteneur. Le comportement global de la grue est directement dépendant de la qualité de la commande du chariot.

L’asservissement en position )(y tch doit être stable, précis, sans dépassement et rapide devant la période de balancement du conteneur (temps de réponse à 5% de moins de 5 s). Le déplacement du chariot est réalisé par un câble s’enroulant sur un tambour, entrainé par un moteur associé à un réducteur. Le rapport de réduction du réducteur est 1/20r . Le diamètre du tambour m54,0d .

On a (t).=(t) mR r et (t).2

= RdYch

Le moteur de direction est une machine à courant continu et aimants permanents modélisée par les équations de comportement :

)()(.)(.)( tedt

tdiLtiRtu dttdJtC m

m

)(.)(

)(.)( tiKtC mm )(.)( tKte mm

)(tu et )(ti : tension et courant aux bornes de l’induit.

)(te : force contre-électromotrice.

)(tCm et )(tm : couple et vitesse de rotation du moteur.

17,0R et mHL 7,3 : résistance et l’inductance de l’induit.

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2.20 mkgJ : moment d’inertie équivalent de la chaine de transmission ramené à l’arbre du moteur.

1..2 AmNKm : constante de couple (égale à la constante de force électromotrice).

Le modèle du moteur est intégré dans le schéma-bloc du document réponse, correspondant à la chaine d’asservissement en position du chariot. Q1 : Compléter le schéma-bloc du document réponse.

Q2 : Exprimer littéralement la fonction de transfert )()()(

pUppH m

m

Un correcteur proportionnel PKpC )(2 est adopté, avec 3PK .

Le capteur est modélisé par un gain unitaire.

Q3 : Exprimer littéralement la fonction de transfert )(

)()(pYC

pYpHch

chdir .

Préciser son ordre et son gain statique. Après application numérique, la fonction de transfert admet des racines réelles, on peut donc

la mettre sous la forme :

)5,1

1).(4,3

1).(41

1(

1)( ppppH dir

.

Q4 : Expliquer pourquoi on peut considérer que : )5,1

1).(4,3

1(

1)( pppH dir

Mettre )( pH dir sous forme canonique

et déterminer ses coefficients caractéristiques

Tracer la réponse à un échelon unitaire. Déterminer le temps de réponse à 5% en utilisant l’abaque fourni dans le document réponses. Les performances du cahier des charges de stabilité, rapidité et précision sont elles respectées ?

Élaboration d’une commande en boucle fermée avec correcteur Objectif : Piloter le mouvement du conteneur à travers une boucle fermée et ajuster le

correcteur pour satisfaire les performances du cahier des charges.

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Un modèle simplifié est adopté : L’équation différentielle liant (t) et

(t)chy est admise :

2ch

2

2

2

dt(t)d1=(t).

dt(t)d y

LLg

L = 52,5 m désigne la longueur EG3.

Un schéma d’asservissement à deux boucles est proposé, figure suivante : Une boucle d’asservissement du chariot en position (p)chY .

Une boucle d’asservissement de la position du conteneur (p)Y (incomplète).

Notations :

C(p)Y : consigne de déplacement de la charge. (p)Y : déplacement de la charge.

(p)CchY : consigne de déplacement du chariot.

(p)chY : déplacement du chariot.

(p) : angle d’inclinaison de la charge.

(p)mes : valeur mesurée par le capteur d’angle de la charge.

(p)c meshY : valeur mesurée par le capteur de déplacement du chariot.

(p)mesY Ymes(p) l’image de la position (p)Y du conteneur, issue d’une combinaison

des mesures (p)mes et (p)c meshY .

(p)1C et (p)2C les fonctions de transfert des deux correcteurs.

50AK le gain de la chaine de puissance du moteur.

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On a )().()( pYLppY meschmesmes Q5 : Compléter le bloc vide du schéma-bloc du document réponse.

Compléter le schéma-bloc du document réponse pour réaliser la seconde boucle d’asservissement en Y(p).

Le schéma-bloc est simplifié et remplacé par celui de la figure suivante.

Pour la suite, l’expression simplifiée pT

pH dir .11)(

est adoptée, où T = 0,67 s.

Q6 : Montrer que la fonction de transfert 1.

1)(2

p

gLpH processus .

Pour rappel, l’erreur s’écrit )()()( tytyct .

Q7 : Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée : )(

)()(1 pYCpYpH .

Déterminer l’expression de l’erreur )( p en fonction de )( pYC et )(1 pH .

Déterminer l’erreur en réponse à un échelon unitaire.

En déduire la condition que doit vérifier (p)1C pour que l’erreur en réponse à un échelon en régime permanent soit nulle.

Par la suite, le correcteur p

ppC.01,01

.5)(1 est adopté.

Q8 : Les courbes de réponses indicielles suivantes sont obtenues après réglage du

correcteur (p)1C , en boucle fermée et en réponse à un échelon de consigne d’amplitude 10 mètres. Conclure vis-à-vis du cahier des charges du système de commande.

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Problème 1 Système InSIGHT Question 1

Question 3

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Problème 2 : Grue porte conteneur. (Centrale PSI 13) Question 1

Question 4

Question 5