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Asservissement PCSI / MPSI - 1 - DS2 : Asservissement - Corrigé ROBOT D’EXPLORATION DE LA PLANETE MARS (X-ENS PSI 2005) DIMENSIONNEMENT DU MOTEUR POUR VERIFIER LE CRITERE DE VITESSE DE TRANSLATION Pour que le robot se déplace à 0,5 m/s, la roue doit tourner à la vitesse angulaire de 2,5 rad/s. Le réducteur, situé entre le moteur et la roue, diminue la vitesse angulaire d'un facteur 180. Le rayon de la roue est de 200mm. Q1 : Sélectionner un moteur qui vous semble satisfaire le critère de vitesse de translation du robot, parmi les 3 proposés dans le tableau suivant : Moteur A B C Vitesse angulaire maxi (tr/min) 2000 4000 6000 Si la vitesse du robot est de 0.5 m/s, alors la vitesse angulaire de la roue est de 2.5 rad/s. Cette roue est entrainée par un moteur (de vitesse ) puis un réducteur (de vitesse é ) de rapport = . Ainsi la vitesse minimale du moteur doit etre = ૡ ∗ ࣓ A.N. : = ૡ ∗ . = / = = /. Ainsi seul le moteur C tourne suffisamment vite pour assurer le critère de performance en vitesse désiré. MODELISATION DU MOTEUR Q2 : A partir des 4 équations précédentes compléter le schéma-bloc du moteur sur le document réponse et préciser les grandeurs physiques. FS1 : permettre au robot de se déplacer par rapport au sol Fonction Critère Niveau FS1 Vitesse de translation du robot 0.5 m/s Erreur en régime permanent en vitesse 0 m/s (théorique) Erreur en régime permanent en position 0 mm (théorique)

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Asservissement PCSI / MPSI

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DS2 : Asservissement - Corrigé ROBOT D’EXPLORATION DE LA PLANETE MARS (X-ENS PSI 2005)

DIMENSIONNEMENT DU MOTEUR POUR VERIFIER LE CRITERE DE VITESSE DE TRANSLATION

Pour que le robot se déplace à 0,5 m/s, la roue doit tourner à la vitesse angulaire de 2,5 rad/s. Le réducteur, situé entre le moteur et la roue, diminue la vitesse angulaire d'un facteur 180. Le rayon de la roue est de 200mm.

Q1 : Sélectionner un moteur qui vous semble satisfaire le critère de vitesse de translation du

robot, parmi les 3 proposés dans le tableau suivant : Moteur A B C

Vitesse angulaire maxi (tr/min) 2000 4000 6000

Si la vitesse du robot est de 0.5 m/s, alors la vitesse angulaire de la roue est de 2.5 rad/s. Cette roue est entrainée par un moteur (de vitesse 흎풎풐풕풆풖풓) puis un réducteur (de vitesse 흎풓é풅풖풄풕풆풖풓) de rapport ퟏ

ퟏퟖퟎ= 흎풓풆풅풖풄풕풆풖풓

흎풎풐풕풆풖풓.

Ainsi la vitesse minimale du moteur doit etre 흎풎풐풕풆풖풓 = ퟏퟖퟎ ∗ 흎풓풆풅풖풄풕풆풖풓 A.N. : 흎풎풐풕풆풖풓 = ퟏퟖퟎ ∗ ퟐ.ퟓ = ퟒퟓퟎ 풓풂풅/풔 = ퟒퟓퟎ ∗ ퟔퟎ

ퟐ흅= ퟒퟐퟗퟕ 풕풓/풎풊풏.

Ainsi seul le moteur C tourne suffisamment vite pour assurer le critère de performance en vitesse désiré.

MODELISATION DU MOTEUR Q2 : A partir des 4 équations précédentes compléter le schéma-bloc du moteur sur le

document réponse et préciser les grandeurs physiques.

FS1 : permettre au robot de se déplacer par rapport au sol Fonction Critère Niveau

FS1

Vitesse de translation du robot 0.5 m/s

Erreur en régime permanent en vitesse 0 m/s (théorique)

Erreur en régime permanent en position 0 mm (théorique)

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On se place dans les conditions de Heavy-side : 푪풎(풕) = 풌. 풊(풕) ⟹ 푪풎(풑) = 풌. 푰(풑) 풆(풕) = 풌.흎풎(풕) ⟹ 푬(풑) = 풌.훀풎(풑)

풖(풕) = 풆(풕) + 푹풊(풕) + 푳풅풊(풕)풅풕

⟹ 푼(풑) = 푬(풑) + (푹 + 푳.풑). 푰(풑)

푪풎(풕) − 푪풓(풕) –풇흎풎(풕) = 푱풅흎풎(풕)풅풕

⟹ 푪풎(풑) − 푪풓(풑) –풇.훀풎(풑) = 푱.풑.훀풎(풑)

Q3 : Le schéma-bloc du moteur représente-t-il un système asservi ? Justifier votre réponse. Bien qu’il y ait une boucle de retour, il ne s’agit pas d’un système asservi. En effet, la boucle de retour ne traduit pas une mesure de la sortie pour adapter la consigne de la commande mais elle traduit le comportement électromécanique du moteur à courant continu.

Q4 : Tracer le schéma-bloc en poursuite.

En poursuite, on s’intéresse au suivi de la consigne par le système, i.e. on considère que les perturbations sont nulles. Donc 푪풓(풑) = ퟎ, ainsi le schéma-bloc en poursuite a la forme suivante :

Q5 : Calculer la fonction de transfert 푯ퟏ(풑) = 휴풎(풑)푼(풑)

(forme canonique)

Par application de la formule de Black (formule du schéma-bloc), on obtient :

퐇ퟏ(퐩) = 훀퐦(퐩)퐔(퐩) =

풌(푹+ 푳.풑)(풇+ 푱.풑)

ퟏ+ 풌ퟐ(푹 + 푳.풑)(풇+ 푱.풑)

=풌

(푹 + 푳.풑)(풇 + 푱.풑) + 풌ퟐ

⟹퐇ퟏ(퐩) =풌

풌ퟐ + 풇.푹 + (푳.풇 + 푹. 푱).풑+ 푳. 푱.풑²

⟹퐇ퟏ(퐩) =훀퐦(퐩)퐔(퐩) =

풌풌ퟐ + 풇.푹

ퟏ+(푳.풇 + 푹. 푱)풌ퟐ + 풇.푹 .풑 + 푳. 푱

풌ퟐ + 풇.푹 .풑²

Q6 : Tracer le schéma bloc en régulation. En régulation, on s’intéresse à l’influence des perturbations sur le système. Pour cela, on considère que l’entrée est nulle. Donc 푬(풑) = ퟎ, ainsi le schéma-bloc en poursuite a la forme suivante

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Il faut bien remarquer la transformation du signe de l’entrée du comparateur pour assurer la cohérence « mathématique » du schéma-bloc. Ainsi en réarrangeant la disposition des blocs nous obtenons le schéma suivant :

Q7 : Calculer la fonction de transfert 푯ퟐ(풑) = 휴풎(풑)푪풓(풑)

(forme canonique)

Dans ce cas, il est nécessaire de prendre en compte le changement de signe pour la formule de Black. Nous allons exploiter les relations du schéma-bloc pour déterminer cette fonction de transfert. L’objectif est d’établir une relation entre la grandeur d’entrée et la grandeur de sortie du schéma-bloc (et uniquement ces 2 grandeurs !!). En écrivant la sortie en fonction des blocs et de l’entrée nous obtenons :

훀풎(풑) =ퟏ

푱.풑 + 풇∗ − 푪풓(풑)−

풌푹 + 푳.풑

∗ 풌 ∗ 훀풎(풑)

⟹ ퟏ푱.풑 풇

∗ 푪풓(풑) = − 풌ퟐ

(푹 푳.풑)(푱.풑 풇) + ퟏ 훀풎(풑) = − 풌ퟐ (푹 푳.풑)(푱.풑 풇)(푹 푳.풑)(푱.풑 풇) 훀풎(풑)

⟹퐇ퟐ(퐩) = 훀퐦(퐩)퐂퐫(퐩)

= −(푹 + 푳.풑)

풌ퟐ + (푹 + 푳.풑)(푱.풑+ 풇)

⟹퐇ퟐ(퐩) = 훀퐦(퐩)퐂퐫(퐩)

= −푹 + 푳.풑

풌ퟐ + 풇.푹 + (푹푱+ 푳풇)풑+ 푹푱.풑²

⟹퐇ퟐ(퐩) = 훀퐦(퐩)퐂퐫(퐩) = −

푹풌ퟐ + 풇.푹

∗ퟏ + 푳

푹 .풑

ퟏ+ 푹푱 + 푳풇풌ퟐ + 풇.푹 .풑+ 푳푱

풌ퟐ + 풇.푹 .풑²

Q8 : Justifier la relation suivante : 휴풎(풑) = 푯ퟏ(풑).푼(풑) +푯ퟐ(풑).푪풓(풑). Sous l’hypothèse de SLCI, on peut appliquer le théorème de superposition pour déterminer la fonction de transfert totale du moteur. Ainsi on a bien : Ω (p) = H (p). U(p) + H (p). C (p)

On définit 2 constantes de temps : mécanique 휏 = et électrique 휏 = .

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Q9 : Montrer que, si 푹푱 ≫ 푳풇, le dénominateur des fonctions 푯ퟏ(풑) et 푯ퟐ(풑) s’écrit sous la forme : ퟏ+ 흉풎풑 + 흉풆흉풎풑ퟐ. Les deux constantes précédentes sont telles que 흉풎 ≫ 흉풆. Simplifier alors les fonctions de transfert.

Les 2 fonctions de transfert ont pour dénominateur commun : ퟏ + 퐑퐉 퐋퐟퐤ퟐ 퐟.퐑

.퐩 + 퐋퐉퐤ퟐ 퐟.퐑

.퐩². Or si

퐉 ≫ 퐋퐟 , alors 훕퐦 = 퐑퐉 퐋퐟퐤ퟐ 퐑퐟

≈ 퐑퐉퐤ퟐ 퐑퐟

donc le dénominateur devient : ퟏ+ 퐑퐉퐤ퟐ 퐟.퐑

.퐩 + 퐋퐉퐤ퟐ 퐟.퐑

.퐩² soit ퟏ + 훕퐦퐩 + 훕퐞훕퐦퐩ퟐ De plus si 훕퐦 ≫ 훕퐞 ⇒ ퟏ + 훕퐦퐩 + 훕퐞훕퐦퐩ퟐ ≈ ퟏ + (훕퐦 + 훕퐞)퐩 + 훕퐞훕퐦퐩ퟐ = (ퟏ+ 훕퐞퐩)(ퟏ + 훕퐦퐩) 훕퐦 ≫ 훕퐞 cela revient donc à négliger la constante de temps électrique devant la constante de temps mécanique. Ce qui est une hypothèse classique dans l’étude des asservissements. En effet d’un point de vue physique, les temps d’établissement du courant dans un circuit électrique s’effectuent de façon instantanée par rapport au démarrage mécanique des pièces mises en jeu dans un système. Ainsi la rapidité d’un système sera déterminée par la capacité de mise en mouvement de sa partie mécanique.

⟹퐇ퟐ(퐩) = 훀퐦(퐩)퐂퐫(퐩) ≈ −

퐑퐤ퟐ + 퐟.퐑

∗ퟏ + 훕퐞.퐩

(ퟏ + 훕퐞퐩)(ퟏ + 훕퐦퐩) =≈ −퐑

퐤ퟐ + 퐟.퐑∗

ퟏ(ퟏ + 훕퐦퐩)

⟹퐇ퟏ(퐩) =훀퐦(퐩)퐔(퐩) ≈

퐤퐤ퟐ + 퐟.퐑

.ퟏ

(ퟏ + 훕퐞퐩)(ퟏ + 훕퐦퐩) ≈퐤

퐤ퟐ + 퐟.퐑.

ퟏ(ퟏ + 훕퐦퐩)

Pour la suite on considère que le couple résistant 푪풓(풕) est nul. Cela revient donc à

considérer que la fonction de transfert du moteur s’écrit de la forme suivante :

퐻(p) =훺 (푝)푈(푝)

= K

1 + Tp

Q10 : Dans ce cas déterminer les expressions littérales de K et T.

Par identification avec la question précédente, on trouve :

퐊 =풌

풌ퟐ + 풇.푹 풆풕 푻 = 훕퐦 =

푹푱 + 푳풇풌ퟐ + 푹풇

≈푹푱

풌ퟐ + 푹풇

Q11 : Déterminer 흎풎(풕) lorsqu’on soumet le moteur à un échelon de tension d’amplitude U0.

Exprimer le résultat en fonction de K, T et U0. Il s’agit d’un résultat classique du cours (réponse indicielle d’un système du 1er ordre). La démonstration s’effectue en réalisant une décomposition en éléments simples.

훚퐦(퐭) = 푲.푼ퟎ. ퟏ − 풆풕푻 .풖(풕);풂풗풆풄 풖(풕)풇풐풏풄풕풊풐풏 풅풆 푯풆풂풗풚− 풔풊풅풆

Q12 : Tracer 흎풎(풕) et justifier les valeurs particulières suivantes de 흎풎(풕) sans utiliser

l’expression de 흎풎(풕): Valeur à l’origine Valeur en régime permanent Pente à l’origine

La réponse temporelle d’un système du 1er ordre à un échelon a l’allure suivante (résultat classique du cours) : Pour déterminer les valeurs particulières il faut appliquer les théorèmes de la valeur initiale et finale à bon escient :

Valeur à l’origine, théorème de la val. init. 흎풎(ퟎ) = 퐥퐢퐦

풕→ퟎ흎풎(퐭) = 퐥퐢퐦

풑→풑.훀풎(퐩)

흎풎(ퟎ) = 퐥퐢퐦풑→

풑.퐊

ퟏ + 퐓퐩.푼ퟎ

퐩= ퟎ

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Valeur à rég. Perm., théorème de la val. finale

흎풎(+∞) = 퐥퐢퐦풕→

흎풎(퐭) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑.훀풎(퐩)

흎풎(+∞) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑.퐊

ퟏ + 퐓퐩.푼ퟎ

퐩= 푲.푼ퟎ

Pente à l’origine, théorème de la val. init.

흎′풎(ퟎ) = 퐥퐢퐦풕→ퟎ

풅흎풎(퐭)풅

= 퐥퐢퐦풑→

풑. 풑.훀풎(퐩)

흎 풎(ퟎ) = 퐥퐢퐦풑→

풑ퟐ.퐊

ퟏ + 퐓퐩.푼ퟎ

흎 풎(ퟎ) = 퐥퐢퐦풑→

푲.푼ퟎ.풑ퟐ

퐓.퐩ퟐ=푲.푼ퟎ

Pour la suite on prendra :

퐻(p) = 훺 (푝)푈(푝)

=4

1 + 5. 10 p

On choisit d’imposer un signal sinusoïdal d’entrée : 푢(푡) = 푈 . sin (휔. 푡), avec 푈 = 5푉 et

휔 = 20 푟푎푑. 푠 . Attention 흎풎(풕) et 흎 ne représente pas la même grandeur physique !!

Q13 : Tracer sur le document-réponse le signal d’entrée avec ses caractéristiques.

Q14 : Même si l’analyse fréquentielle n’est pas au programme du DS, donner la définition du

gain en décibel et de la phase d’une fonction de transfert H(p). (question de cours !!). 푮풅푩(흎) = ퟐퟎ. 퐥퐨퐠(|푯(풋흎)|)

흋(흎) = 풂풓품(푯(풋흎))

Q15 : Sur le document-réponse, superposer au signal d’entrée la réponse du système, i.e. le signal de sortie 흎풎(풕), en régime permanent. Préciser notamment son amplitude 휴ퟎ et son déphasage φ. (On rappelle que |푯(풋흎)|est le gain réel du système pour une pulsation donnée).

|퐇(퐣훚)| est le gain réel du système, ainsi on a |퐇(퐣훚)| = 푺ퟎ푬ퟎ

= ퟒퟏ ퟓ.ퟏퟎ ퟐ퐣훚

= ퟒ

ퟏ ퟐퟓ.ퟏퟎ ퟒ훚²

En effectuant l’application numérique pour 흎 = ퟐퟎ 풓풂풅.풔 ퟏ, on obtient :

T = 0.31 s

+5V

-5V

Caractéristiques de la fonction 풖(풕) = 푼ퟎ . 퐬퐢퐧 (흎. 풕), avec 푼ퟎ = ퟓ푽 et 흎 =ퟐퟎ 풓풂풅. 풔 ퟏ :

푻 = ퟐ흅흎

= ퟐ흅ퟐퟎ

= ퟎ.ퟑퟏ 풔 Amplitude = 5V = umax = -umin

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푺ퟎ푬ퟎ

=ퟒ

√ퟏ + ퟐퟓ.ퟏퟎ ퟒ ∗ ퟒퟎퟎ=

ퟒ√ퟐ

≈ ퟐ.ퟖퟑ ⇒ 푺ퟎ = ퟏퟒ.ퟏퟓ 푽

L’amplitude est Mesurable en régime permanent donc sur la 2ème ou 3ème sinusoïde mais surtout pas sur la 1ère !!

흋(흎) = 풂풓품ퟒ

ퟏ + ퟓ.ퟏퟎ−ퟐ퐣훚= −풂풓품(ퟏ + ퟓ.ퟏퟎ−ퟐ퐣훚) = −풂풓풄풕풂풏(ퟓ.ퟏퟎ−ퟐ ∗ 훚) = −

흅ퟒ

Graphiquement, on trouve un retard de 0.04s, i.e. un déphasage de −ퟐ흅 ∗ ퟎ.ퟎퟒퟎ.ퟑퟏ

≈ − ퟐ흅ퟖ

=− 흅

ퟒ (cohérent avec le calcul effectué!!!)

PERFORMANCES DE L'ASSERVISSEMENT EN VITESSE On désire asservir en vitesse la rotation du moteur. La solution retenue est d'utiliser une

génératrice tachymétrique, de gain 퐾 = 1, qui délivre une tension proportionnelle à 흎풎 qui est comparée à la consigne. L'amplificateur de puissance est A = 5 V/rad/s. La fonction de transfert du correcteur est notée C(p), et celle du moteur H(p).

Q16 : Exprimer la fonction de transfert en boucle fermée 푯ퟑ(풑) = 휴풎(풑)

휴풄(풑) du schéma bloc ci-

dessus en fonction de C(p), A, H(p) et Kg. Calculer la valeur numérique du gain du système asservi et de la constante de temps, si 푪(풑) = ퟏ.

On peut appliquer la formule de Black :

퐇ퟑ(퐩) = 훀퐦(퐩)훀퐜(퐩)

=푭푻푪푫(풑)

ퟏ + 푭푻푪푫(풑) ∗ 푭푻푪푹(풑) =푪(풑) ∗ 푨 ∗ 푯(풑)

ퟏ + 푪(풑) ∗ 푨 ∗ 푯(풑) ∗ 푲품

Si on développe les calculs nous obtenons (Rappel : 푯(풑) = 퐊ퟏ 퐓퐩

= ퟒퟏ ퟓ.ퟏퟎ ퟐ퐩

):

퐇ퟑ(퐩) =푪(풑) ∗ 푨 ∗ 퐊

ퟏ + 퐓퐩

ퟏ + 푪(풑) ∗ 푨 ∗ 퐊ퟏ + 퐓퐩 ∗ 푲품

si 퐂(퐩) = ퟏ, on a alors :

+14.15 V

0.04 s

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퐇ퟑ(퐩) = 푨 ∗ 푲

ퟏ+ 퐓퐩 + 푨 ∗ 푲 ∗ 푲품=

푨 ∗ 푲ퟏ+ 푨 ∗ 푲 ∗ 푲품 + 퐓퐩

=푨 ∗ 푲

ퟏ + 푨 ∗ 푲 ∗ 푲품∗

ퟏ + 퐓ퟏ+ 푨 ∗ 푲 ∗ 푲품

퐇ퟑ(퐩) est de la forme d’un 1er ordre : 퐊ퟑퟏ 퐓ퟑ퐩

Ainsi le gain statique du système vaut alors 푨∗푲ퟏ 푨∗푲∗푲품

⟹푨.푵. ∶ ퟓ∗ퟒퟏ ퟓ∗ퟒ∗ퟏ

= ퟐퟎퟐퟏ

= ퟎ.ퟗퟓퟐ (sans unité)

On prend tout d'abord 퐶(푝) = 1.

Q17 : Par le calcul, déterminer l'erreur en régime permanent de la réponse en vitesse du système soumis à une consigne 흎풄(풕) de type échelon d’amplitude 흎풄ퟎ. En déduire la précision du système.

L’erreur en régime permanent εS de la réponse en vitesse du système soumis à une consigne 훚퐜(퐭) de type échelon d’amplitude 훚퐜ퟎ est définie par la relation suivante :

휺푺 = 퐥퐢퐦풕→

(훚퐜(퐭) −훚(퐭)) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑 ∗ (훀퐜(퐩) −훀(퐩)) (푻풉.푽풂풍.풇풊풏풂풍풆)

휺푺 = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑 ∗훚퐜ퟎ

풑−

퐊ퟑ

ퟏ + 퐓ퟑ퐩∗훚퐜ퟎ

풑= 퐥퐢퐦

풑→ퟎ풑 ∗

훚퐜ퟎ

풑∗ ퟏ −

퐊ퟑ

ퟏ+ 퐓ퟑ퐩= (ퟏ − 퐊ퟑ) ∗ 훚퐜ퟎ

휺푺 = ퟎ.ퟎퟒퟖ ∗ 훚퐜ퟎ

On voit que 휺푺 est non nul, donc le système n’est pas assez précis !!

On prend ensuite 퐶(푝) = . Q18 : Montrer que la fonction de transfert en boucle fermée peut s'écrire sous la forme :

휴풎(풑)휴풄(풑)

= 푲ퟏퟏ ퟐ흃

흎ퟎ.풑 ퟏ

흎ퟎퟐ.풑ퟐ

. Exprimer numériquement K1, 흃 et 흎ퟎ en fonction de Kc.

On reprend le calcul précédent :

퐇ퟑ(퐩) =

푲풄풑 ∗ 푨 ∗ 퐊

ퟏ + 퐓퐩

ퟏ+ 푲풄풑 ∗ 푨 ∗ 퐊

ퟏ + 퐓퐩 ∗ 푲품

= 푨 ∗ 푲 ∗ 푲풄

퐩 + 퐓퐩ퟐ + 푨 ∗ 푲 ∗ 푲품 ∗ 푲풄

⇒ 퐇ퟑ(퐩) = 푨 ∗ 푲 ∗ 푲풄

푨 ∗ 푲 ∗ 푲품 ∗ 푲풄∗

ퟏ+ 퐩푨 ∗ 푲 ∗ 푲품 ∗ 푲풄

+ 퐓퐩ퟐ푨 ∗ 푲 ∗ 푲품 ∗ 푲풄

⇒ 퐇ퟑ(퐩) = ퟏ푲품

∗ퟏ

ퟏ + ퟏ푨 ∗ 푲 ∗ 푲품 ∗ 푲풄

.퐩 + 퐓푨 ∗ 푲 ∗ 푲품 ∗ 푲풄

.퐩ퟐ=

퐊ퟏ

ퟏ+ ퟐ훏훚ퟎ

.퐩 + ퟏ훚ퟎ

ퟐ .퐩ퟐ

Ainsi on en déduit : 푲ퟏ = ퟏ

푲품= ퟏ (sans unité)

ퟐ훏훚ퟎ

= ퟏ푨∗푲∗푲품∗푲풄

⟹ 훏 = ퟏퟐ∗ ퟏ푨∗푲∗푲품∗푲풄

∗푨∗푲∗푲품∗푲풄

푻= ퟏ

ퟐ∗ ퟏ

푻∗푨∗푲∗푲품∗푲풄= ퟏ

ퟐ∗ ퟏ

푲풄

ퟏ훚ퟎퟐ

= 퐓푨∗푲∗푲품∗푲풄

⟹훚ퟎ =푨∗푲∗푲품∗푲풄

푻⟹훚ퟎ = ퟐퟎ ∗ 푲풄

(Ne pas oublier les constructions graphiques pour justifier les résultats !!)

La réponse indicielle à un échelon unitaire est donnée sur le document réponse

Q19 : Identifier K1, 흃 et 흎ퟎ à partir de la réponse indicielle ci-dessus. En déduire KC. La courbe ci-dessous correspond à La réponse indicielle à un échelon unitaire, i.e. 훚퐜ퟎ = ퟏ.

Asservissement PCSI / MPSI

- 8 -

Pour l’identification temporelle d’un système d’ordre 2 on rappelle les points suivants :

L’asymptote en régime permanent vaut 푲ퟏ ∗ 훚퐜ퟎ = ퟏ avec 훚퐜ퟎ = ퟏ Ainsi 푲ퟏ = ퟏ

푫ퟏ = 풆훑훏ퟏ 훏² = 풔풎풂풙 풔

풔= ퟏ.ퟏퟖ ퟏ

ퟏ= ퟎ.ퟏퟖ = ퟏퟖ% ⇒ 풍풏(ퟎ.ퟏퟖ) ퟐ

= 훑ퟐ훏ퟐ

ퟏ 훏ퟐ⟹ 훏 = ퟎ.ퟒퟖ

풕풑풊풄 = 훑훚ퟎ ퟏ 훏²

= ퟎ.ퟏퟖ 풔 ⇒ 훚ퟎ = 훑풕풑풊풄 ퟏ 훏²

= ퟐퟐ.ퟔퟖ 풓풂풅/풔

Il est aussi possible de déterminer 훏 et 훚ퟎ à partir des abaques :

A l’aide de l’abaque des dépassements, on trouve bien qu’à un dépassement de 18% correspond un facteur d’amortissement de 0.5 (cohérent avec le calcul !!). A l’aide du second abaque (temps de réponse réduit), pour un amortissement de 0.5, on trouve un temps de réponse réduit (풕풓 ∗ 훚ퟎ) = 5.2 ⟹훚ퟎ = ퟓ.ퟓ

풕풓= ퟓ.ퟓ

ퟎ.ퟐퟔ= ퟐퟏ.ퟏퟓ 풓풂풅/풔

Les différences entre les valeurs calculées et des abaques proviennent des erreurs de lecture des valeurs numériques sur les différentes courbes.

Q20 : Expliquer en le justifiant par le calcul, si le système est devenu précis ou non, comme le demande le cahier des charges.

On reprend le même type de calcul qu’à la question 17 mais avec une fonction de transfert d’ordre 2 de la forme : 퐊ퟏ

ퟏ ퟐ훏훚ퟎ

.퐩 ퟏ훚ퟎퟐ

.퐩ퟐ

0.18

tpic

D1

tr5%

Asservissement PCSI / MPSI

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L’erreur en régime permanent εS de la réponse en vitesse du système soumis à une consigne 훚퐜(퐭) de type échelon d’amplitude 훚퐜ퟎ est définie par la relation suivante :

휺푺 = 퐥퐢퐦풕→

(훚퐜(퐭) −훚(퐭)) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑 ∗ (훀퐜(퐩) −훀(퐩)) (푻풉.푽풂풍.풇풊풏풂풍풆)

휺푺 = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑 ∗훚퐜ퟎ

풑∗ ퟏ −

푲ퟏ

ퟏ+ ퟐ흃흎ퟎ

.풑+ ퟏ흎ퟎ

ퟐ .풑ퟐ= (ퟏ − 퐊ퟏ) ∗ 훚퐜ퟎ = ퟎ, 풄풂풓 퐊ퟏ = ퟏ

Dans ce cas le système est précis en vitesse !!

PERFORMANCES DE L'ASSERVISSEMENT EN POSITION

Q21 : Déterminer la fonction de transfert associée au réducteur : 푯ퟒ(풑) = 휴풓(풑)

휴풎(풑)

퐇ퟒ(퐩) caractérise la fonction de transfert du réducteur de rapport 1/180 (« diminution de la vitesse d’un facteur 180 » défini au début de la question 1)

퐇ퟒ(퐩) =ퟏퟏퟖퟎ

Q22 : Calculer la fonction de transfert de l’élément intégrateur 푯ퟓ(풑) = 휽풓(풑)

휴풓(풑).

푯ퟓ(풑) caractérise un intégrateur ⟹푯ퟓ(풑) = ퟏ풑

. Pour le démontrer on part de la relation physique

qui existe entre la vitesse angulaire et la position angulaire puis on la traduite dans le domaine de Laplace (Conditions initiales nulles):

흎풓(풕) =풅휽풓(풕)풅풕

⇒ 휴풓(풑) = 풑.휽풓(풑) ⟹휽풓(풑)휴풓(풑) =

ퟏ풑

Q23 : Si on désirait asservir la position linéaire x(t) du robot, avec quelle fonction de transfert

doit-on compléter le schéma-bloc ? Pour cela déterminer la relation entre le déplacement angulaire de la roue et le déplacement linéaire du robot.

Il faudrait rajouter la fonction de transfert associée à la roue (de rayon R) qui relie l’angle de rotation de la roue au déplacement du robot par la relation :

풙(풕) = 퐑.휽풓(풕) ⟹푿(풑)휽풓(풑) =

ퟏ푹

On conserve 퐶(푝) = , 퐾 = 1, 퐶 (푝) est à déterminer

Q24 : Calculer la fonction de transfert sous forme littérale :푯ퟔ(풑) = 휽풓(풑)휽풄(풑)

Asservissement PCSI / MPSI

- 10 -

Le schéma-bloc en pointillés a pour fonction de transfert 퐊ퟏퟏ ퟐ훏

훚ퟎ.퐩 ퟏ

훚ퟎퟐ.퐩ퟐ

(cf. Q18)

Ainsi cela revient à calculer la fonction de transfert du schéma-bloc suivant :

퐇ퟔ(퐩) = 훉퐫(퐩)훉퐜(퐩)

=

푪ퟏ(풑) ∗ 푲ퟏ

ퟏ+ ퟐ흃흎ퟎ

.풑+ ퟏ흎ퟎ

ퟐ .풑ퟐ∗ ퟏퟏퟖퟎ ∗

ퟏ풑

ퟏ+ ퟏ ∗ 푪ퟏ(풑) ∗ 푲ퟏ

ퟏ + ퟐ흃흎ퟎ

.풑+ ퟏ흎ퟎ

ퟐ .풑ퟐ∗ ퟏퟏퟖퟎ ∗

ퟏ풑

퐇ퟔ(퐩) = 훉퐫(퐩)훉퐜(퐩)

=푪ퟏ(풑) ∗ 푲ퟏ

ퟏퟖퟎ.풑 + ퟑퟔퟎ흃흎ퟎ

.풑² + ퟏퟖퟎ흎ퟎ

ퟐ .풑ퟑ + 푲ퟏ ∗ 푪ퟏ(풑)

Q25 : Enoncer la condition fondamentale de stabilité d’un SLCI

Un SLCI est stable sssi tous les pôles de la fonction de transfert sont à partie réelles strictement négatives.

2 fonctions de transfert sont possibles pour le correcteur 퐶 (푝) : 퐶 (푝) = 퐶 (푝) = 퐾

Q26 : Justifier la forme de la fonction de transfert du correcteur 푪ퟏ(풑) pour respecter le

critère de performance en position et la stabilité du système. Pour cela on peut regarder si la réponse en régime permanent converge ou non vers une valeur finie.

퐥퐢퐦풕→

훉풓(퐭) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑 ∗ 훉풓(퐩) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

풑 ∗ 퐇ퟔ(퐩) ∗ 훉풄(퐩) ,풂풗풆풄 훉퐜(퐩) =ퟏ풑

퐥퐢퐦풕→

훉풓(퐭) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

퐇ퟔ(퐩) =푪ퟏ(풑) ∗ 푲ퟏ

ퟏퟖퟎ.풑 + ퟑퟔퟎ흃흎ퟎ

.풑² + ퟏퟖퟎ흎ퟎ

ퟐ .풑ퟑ + 푲ퟏ ∗ 푪ퟏ(풑)

Cas 1 : 푪ퟏ(풑) = 푲풄ퟏ푷

퐥퐢퐦풕→

훉풓(퐭) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

퐇ퟔ(퐩) =푲풄ퟏ ∗ 푲ퟏ

ퟏퟖퟎ.풑 + ퟑퟔퟎ흃흎ퟎ

.풑² + ퟏퟖퟎ흎ퟎ

ퟐ .풑ퟑ + 푲ퟏ ∗ 푲풄ퟏ 풑= +∞⟹ 풊풏풔풕풂풃풍풆

Cas 1 : 푪ퟏ(풑) = 푲풄ퟏ

퐥퐢퐦풕→

훉풓(퐭) = 퐥퐢퐦풑→ퟎ

퐇ퟔ(퐩) =푲풄ퟏ ∗ 푲ퟏ

ퟏퟖퟎ.풑 + ퟑퟔퟎ흃흎ퟎ

.풑² + ퟏퟖퟎ흎ퟎ

ퟐ .풑ퟑ + 푲ퟏ ∗ 푲풄ퟏ 풑= ퟎ ⟹ 풔풕풂풃풍풆