MPSI DS N°3 : Sujet S2I DS N°3 - cahier-de-prepa.fr

MPSI DS N°3 : Sujet S2I

Lycée Claude Fauriel sur 14

DS N°3 Aucun document autorisé

Calculatrices autorisées

Le devoir comporte 2 problèmes

Durée 3h

Problème N°1 : Télescope à 2 satellites (inspiré de X ENS PSI 2015)

I. Mise en situation

I.1. Présentation du système

La perspective de concevoir des systèmes

d'observation de l'espace de plus en plus

performants amène les industriels à envisager la

conception de télescopes constitués de deux

satellites, un satellite cible et un satellite chasseur.

Cette innovation permet de disposer de distances

focales très grandes tout en bénéficiant des

conditions privilégiées d'observation depuis

l'espace. Elle impose de maitriser parfaitement le

positionnement relatif de deux satellites en attitude 1

et en position. Pour effectuer le pointage et

l'observation d'un astre, l'axe de pointage du satellite

cible, l'axe de pointage du satellite chasseur et l'axe

de pointage de l'astre doivent être confondus comme

le montre la figure 1. Des manœuvres d'alignement

très précises des deux satellites doivent donc être

réalisées dans l'espace.

Lorsque le satellite chasseur et le satellite cible doivent pointer sur un nouvel astre, les axes de pointage des deux

satellites sont initialement confondus avec l'axe de pointage de l'ancien astre. Une première manœuvre permet de

faire coïncider les axes de pointage des deux satellites avec l'axe de pointage du nouvel astre (figure 2(a)).

La manœuvre débute par une modification d'attitude simultanée des deux satellites réalisée à l'aide de la même loi

de commande (figure 2(a)). L'attitude des satellites est connue avec une très grande précision grâce à des « stars

trackers 2 ». Les corrections d'attitude sont obtenues à l'aide des tuyères.

La figure 2(a) montre que la modification de l'attitude des satellites entraîne un désalignement des axes de

pointage qui doit être compensé tout au long de la manœuvre. Il faut alors que le satellite chasseur se déplace

continuellement en translation pour assurer l'alignement des axes de pointage des deux satellites. Le déplacement

du satellite chasseur se fera toujours perpendiculairement à son axe de pointage.

A la fin de la manœuvre, la figure 2(b) montre la coïncidence obtenue entre les deux axes de pointage des deux

satellites et le nouvel axe de pointage de l'astre. La phase d'observation peut commencer.

1 : Orientation d'un repère lié au satellite par rapport à un repère de référence

2 : Capteurs qui donnent l'attitude du satellite à partir d'une cartographie des étoiles préenregistrée.

Figure 1 : pointage d’un astre par la couple de satellites



Figure 2 : Réalignement des satellites

I.2. Problématique

Afin de valider par des essais au sol cette manœuvre, un banc de test doit être conçu et validé. Il permet de

reproduire le déplacement du satellite chasseur en fonction du désalignement mesuré par rapport au satellite cible.

La figure 4 présente un diagramme partiel des cas d'utilisation du banc de test.

Figure 3 : Diagramme des cas d’utilisation du banc de test

I.3. Cahier des charges et objectifs

Les exigences de conception du banc de test sont regroupées dans le diagramme des exigences présenté ci-dessous.

Objectif : l'objectif de cette étude est dans un premier temps de déterminer les différentes relations entre les paramètres géométriques du mécanisme et les déplacements à imposer pour élaborer la loi de commande du satellite chasseur. Dans un deuxième temps, il s'agira de valider la cinématique et la commande du banc de test vis-à-vis des exigences 1.1.1 et 1.4bis.



Figure 4 : Diagramme des exigences



II. Modélisation cinématique du banc de test

L'architecture du banc de test est représentée sur la figure 5. Il est constitué de deux robots qui se font face, le

robot chasseur qui porte le satellite chasseur et le robot cible qui porte le satellite cible. Dans la configuration de la

figure 5, les deux satellites présentent un alignement satisfaisant (début de manœuvre). Lors de la manœuvre,

l'attitude des deux satellites est pilotée avec la même loi de commande. Un capteur optique placé sur le satellite

chasseur relève en permanence la distance s, norme du vecteur 𝑆 mesurée selon 𝑦4 (figure 6), correspondant au

désalignement des axes de pointage des deux satellites. Au fur et à mesure de la manœuvre, le robot chasseur doit

corriger ce désalignement en le maintenant à zéro, simultanément à la modification d'attitude des deux satellites.

Le robot chasseur est piloté de manière à asservir la distance s à la valeur 0.

Le robot chasseur est monté sur un rail lui permettant de se déplacer sur des distances importantes selon l'axe 𝑥0

pour se rapprocher du robot cible si cela est nécessaire.

Le déplacement X du satellite chasseur selon 𝑥0 est obtenu exclusivement à l'aide du robot chasseur sur

le rail (paramètre (t) ). L'axe associé à ce déplacement en translation sera appelé axe X.

Le déplacement Y du satellite chasseur selon 𝑦0 est obtenu exclusivement à l'aide de deux articulations

du robot chasseur (paramètres 1(t) et 2(t) ). La commande combinée de ces deux articulations permet

d'obtenir un déplacement purement vertical. Les axes associés aux paramètres 1 et 2 seront appelés

respectivement axe 1 et axe 2.

La correction de l'attitude est obtenue à l'aide de l'articulation du robot permettant le mouvement de 4 par

rapport à 3 (paramètre (t)). L'axe associé à cette rotation sera appelé axe A.

Figure 5 : Modélisation cinématique du banc de test avec les deux satellites alignés (début de la manœuvre)



Figure 6 : Réalignement des deux satellites par translation selon 𝒚𝟒

III. Elaboration des consignes de pilotage

Lors d'une phase de pointage (figure 6), un capteur appréhende la distance s de désalignement des axes de

pointage. Il faut alors que le satellite chasseur se déplace pour obtenir un alignement satisfaisant.

Objectif : L'objectif de cette partie est de déterminer les consignes C, 1C et 2C qui doivent être imposées aux trois axes du robot chasseur pour assurer un positionnement satisfaisant du satellite.

Paramétrage :

On note : 𝑂0𝑂1 = (t) 𝑥0 + 𝑎 𝑦0 ; 𝑂1𝑂2

= 𝐿 𝑥2 ; 𝑂2𝑂3 = 𝐿 𝑥3

La position courante du point O3 durant la manœuvre est définie par : 𝑂0𝑂3 = 𝑋(𝑡) 𝑥0 + 𝑌(𝑡) 𝑦0

Au départ de la manœuvre à t = 0 :

la position du point O3 est définie par : 𝑂0𝑂3 |

𝑟𝑒𝑓= 𝑋𝑟𝑒𝑓 𝑥0 + 𝑌𝑟𝑒𝑓 𝑦0

la position du point O1 est définie par : 𝑂0𝑂1 |

𝑟𝑒𝑓= 𝑟𝑒𝑓 𝑥0 + 𝑎 𝑦0

1 = 1𝑟𝑒𝑓 𝑒𝑡 2 = 2𝑟𝑒𝑓

Pour assurer l'alignement des axes, et optimiser la rapidité, le point O3 doit se déplacer selon le vecteur

𝑆 = 𝑠 y4 = 𝑂0𝑂3 − 𝑂0𝑂3

|𝑟𝑒𝑓

= 𝑋 𝑥0 + 𝑌 𝑦0 (figure 6)



Hypothèses :

Le déplacement X est obtenu à l'aide de l'axe de translation du robot (paramètre ). Le déplacement Y est

obtenu à l'aide des articulations du robot (paramètres 1 et 2). La variation des paramètres 1 et 2 ne doit pas

entraîner de déplacement selon l'axe 𝑥0. Les attitudes des deux satellites sont gérées à partir d'un processus de

commande indépendant qui impose la valeur des paramètres et .

III.1.Analyse géométrique

Q1. Réaliser un graphe de liaisons du mécanisme composé des solides 0, 1, 2, 3 et 4.

Q2. Donner la relation entre et permettant de maintenir les deux satellites à la même attitude durant toute

la manœuvre conformément à la configuration illustrée sur la figure 6 (attention aux signes).

Q3. Donner les expressions des déplacements X et Y en fonction de s et .

Q4. En utilisant la fermeture géométrique : 𝑂0𝑂0 = 𝑂0𝑂1

+ 𝑂1𝑂2 + 𝑂2𝑂3

+ 𝑂3𝑂0 = 0 , écrire les relations

géométriques directes liant les paramètres X, Y , L, a, , 1 et 2.

Q5. Donner les expressions de X et Y permettant de rétablir l'alignement entre les deux axes de pointage

en fonction des paramètres L, a, Xref, Yref, , 1 et 2.

III.2.Analyse cinématique

On cherche ici à déterminer l'expression de la vitesse ��(𝑂3/0).

Q6. Donner la nature du mouvement de 1/0 (translation ou rotation) et en déduire ��(𝑂1/0).Que vaut le

vecteur rotation de 1/0 ?

Q7. Déterminer l’expression la plus simple de la vitesse ��(𝑂3/0) en fonction des paramètres 𝐿, , 𝜃1𝑒𝑡 𝜃2 .

On note : ��(𝑂3, 3/0) =𝑑

𝑑𝑡/0(𝑂0𝑂3

) = 𝑉𝑥 𝑥0 + 𝑉𝑦 𝑦0

Q8. Déterminer les expressions de Vx et de Vy en fonction des paramètres cinématiques et géométriques.

Vérifier votre résultat à partir des relations déterminées Question 4

III.3 Détermination des lois de commande

On fait l'hypothèse que lors de la manœuvre : 𝜃1 = − 𝜃2

2

Q9. En exprimant la condition que la vitesse Vx selon 𝑥0 ne doit dépendre que de et en utilisant l’hypothèse

sur les vitesses de rotation, Donner la relation liant 1 et 2. En déduire une relation liant 1ref et 2ref.

Q10. En déduire l'expression de la vitesse 𝑉𝑦 = �� en fonction de 𝜃1, 𝜃1 et des paramètres géométriques

Q11. Exprimer les consignes 1C et 2C à imposer dans l'asservissement en fonction de Y , a, Yref et L.

Q12. Exprimer Xref en fonction de ref puis donner l'expression de la consigne C en fonction de X et ref .



IV.Validation du banc d'essai Objectif : Valider la cinématique et la loi de commande du banc de test vis-à-vis de l'exigence de performances (Id. 1.1.1) et de l'exigence de positionnement de l'axe X (Id. 1.4bis).

IV.1.Validation de la commande en position de l'axe X

La démarche mise en place par les équipes

d'ingénieurs pour concevoir le banc de test

respecte le cycle en V représenté sur la figure 7.

Dans la phase d'intégration et de validation, les

algorithmes de commande sont implantés et

testés sur le système réel. Un essai est alors

réalisé en envoyant une consigne de position en

échelon d'amplitude 10 mm sur l'axe X. La

réponse à cette consigne du système est relevée

sur la figure du document réponses..

Q13. Evaluer les écarts entre les performances spécifiées et les performances mesurées. Soyez précis et

effectuez les tracés nécessaires sur le document réponse. Conclure.

Le capteur de position qui a permis l’enregistrement de la réponse présente un niveau de bruitage assez élevé. On

le voit par les nombreuses oscillations présentes sur la courbe du document réponse, même en régime permanent.

Q14. Proposer un filtre analogique permettant de « lisser » la courbe du document réponse. Vous donnerez sa

fonction de transfert harmonique ainsi qu’une estimation de sa fréquence de coupure.

IV.2. Validation de l'exigence d'accélération minimale

Q15. Calculer (𝑂3/0). 𝑦0 en fonction de 1 et 2, de leurs dérivées et des paramètres géométriques.

L'hypothèse de la partie précédente ( 𝜃1 = −

𝜃2

2 ) ne sera plus considérée dans cette question.

Pour ne calculer que la projection de l’accélération de O3 sur l’axe 𝑦0, on utilisera le résultat suivant :

(𝑂3/0). 𝑦0 =𝑑

𝑑𝑡(𝑉 (𝑂3/0). 𝑦0 ) − 𝑉 (𝑂3/0).

𝑑

𝑑𝑡/0𝑦0

Pour une cinématique de référence (choisie pour tester le banc d'essai) et avec les conditions initiales 𝜃1(0) = 𝜋 et

𝜃1(0) = 0, l'évolution simulée de Y et de ses dérivées est donnée sur la figure du document réponses.

Q16. Dans ces conditions particulières, conclure sur la plage de variation de 1 permettant de respecter

l'exigence 1.1.1bis. Vous devez préalablement identifier parmi les 3 courbes celle correspondant à

l’accélération

Figure 7 : cycle de conception en V



Problème N°2 : Orthèse d’épaule portable (extrait Centrale PSI 2010)

Le support de cette étude est une orthèse portable (figure 1), de type exosquelette, qui

contribue, entre autres applications, au développement de la tonicité musculaire de

l’épaule et du bras. Elle vient en aide aux kinésithérapeutes.

Le type d’orthèse retenu pour cette étude est un système poly-articulé à quatre axes de

rotation entraînés par des moteurs à courant continu, dont un modèle numérique est

représenté sur la figure 2.

Figure 2 : représentation 3D de l’exosquelette

Le schéma cinématique de l’exosquelette est

donné figure 3 ci-contre.

Figure 3 : schéma cinématique spatial de l’exosquelette

Question 1 : À partir du modèle de la figure 2 et du schéma cinématique figure 3 ci-dessus, compléter le graphe

des liaisons de l’orthèse (hors motorisation) donné sur le document réponse. Vous préciserez les caractéristiques

de chacune des liaisons.



Question 2 : Compte tenu des liaisons Dos/Omoplate, Omoplate/Clavicule et Clavicule/Bras, quelle est la liaison

appelée liaison cinématiquement équivalente entre Dos et Bras ?

La définition et la conception de la loi de commande de l’actionneur nécessitent d’étudier précisément la

dynamique de la transmission depuis le moteur jusqu’à l’axe de l’articulation mise en mouvement. La figure 4 (en

annexe) donne une représentation 3D de la transmission utilisée, dont le schéma de principe proposé en figure 5

(en annexe) peut se décomposer en quatre sous-ensembles :

l’axe du moteur est relié par l’intermédiaire de deux joints de Cardan et d’une tige cylindrique

intermédiaire I à l’axe 24 d’une petite roue dentée ;

par un système de courroie crantée 25, la petite roue dentée entraîne une grande roue dentée fixée sur l’axe

16 du dispositif hélicoïdal ;

le dispositif hélicoïdal assure la transformation du mouvement de rotation de l’axe 16 en un mouvement de

translation du câble 4 ;

le câble 4 par l’intermédiaire de plusieurs poulies entraîne en rotation l’axe que l’on souhaite commander.

Étude du premier sous-ensemble de la transmission (axe moteur/axe 24)

On s’intéresse tout d’abord à la transmission du mouvement de rotation entre l’axe du moteur et l’axe 24 de la

petite roue dentée par l’intermédiaire des deux joints de Cardan. Il est donc nécessaire de déterminer la relation

cinématique d’entrée-sortie dans un seul joint de Cardan dont le schéma cinématique est donné sur la figure 6 avec

le paramétrage suivant imposé :

• l’arbre d’entrée E est en liaison pivot d’axe (𝑂𝐸 , 𝑦𝐸) avec le bâti fixe associé au repère (OE,��, ��, �� ), avec

𝜃𝐸(𝑡) = (��, ��𝐸) = (𝑧, 𝑧𝐸) ;

• l’arbre de sortie S est en liaison pivot d’axe (𝑂𝑆, 𝑦𝑆 ) avec le bâti fixe associé au repère (OS, 𝑥∗, 𝑦∗, 𝑧∗ ), avec

𝜃𝑆(𝑡) = (𝑥∗, ��𝑆) = (𝑧∗ , 𝑧𝑆) ;

• on note l’angle constant que forment les axes des deux arbres qui sont reliés par le joint de Cardan, avec

= (��, 𝑥∗) = (��, 𝑦∗) ;

Le joint de Cardan se compose :

• d’une fourchette FE, liée à l’arbre d’entrée E, d’axe (𝑂𝐸 , 𝑦𝐸), disposant de deux alésages (trous cylindriques)

d’axe commun (𝐼, 𝑧𝐸) ;

• d’une fourchette FS, liée à l’arbre de sortie S, d’axe (𝑂𝑆, 𝑦𝑆 ), disposant de deux alésages d’axe commun (𝐼, 𝑥𝑆 ) ;

• d’un croisillon C, en liaisons pivots d’axes (𝐼, 𝑧𝐸) et (𝐼, 𝑥𝑆 ) respectivement avec les fourchettes FE et FS.



Par construction, les deux axes du croisillon sont orthogonaux.

Question 3 : Exprimer les vecteurs Sx

et Ez

dans la base ( zyx ,, ) puis traduire par une équation vectorielle que

les deux axes du croisillon (C) sont orthogonaux. En déduire une équation liant les deux paramètres angulaires

E(t), S(t) et l’angle constant .

Question 4 : En déduire la relation exprimant la vitesse angulaire de sortie 𝜔𝑆(𝑡) = 𝜃��(𝑡) en fonction de la

vitesse angulaire d’entrée 𝜔𝐸(𝑡) = 𝜃��(𝑡), de l’angle (constant) et de la tangente de l’angle E(t). Tracer

l’allure de S en fonction du temps, dans le cas où E est constante ; on précisera les valeurs minimale et

maximale de S au cours du temps en fonction de et E .

Dans la transmission étudiée, les deux joints

de Cardan sont reliés par une tige cylindrique

intermédiaire I selon la géométrie de la figure

7. Les axes du moteur et de la petite roue

dentée sont parallèles, de sorte que l’axe de la

tige cylindrique I soit contenu dans le plan

caractérisé par les deux axes précédents, et

forme un angle avec chacun de ces axes.

Photo d’un joint de cardan

Figure 6 : Schéma cinématique d’un joint de cardan et paramétrage associé

Figure 7 : disposition des

deux joints de cardan dans

la transmission étudiée



Question 5 : À l’aide des résultats de la question 4, exprimer le rapport des vitesses angulaires :

•M

I

, où II et MM sont respectivement les vitesses angulaires de la tige intermédiaire I et du

moteur ;

• P

I

, où PP est la vitesse angulaire de la petite roue dentée liée à l’axe 24.

En déduire la relation simple entre M et P . Conclure sur l’intérêt d’employer deux joints de Cardan dans cette

configuration spécifique plutôt qu’un seul, et caractériser par un seul mot la propriété ainsi réalisée par les deux

joints de Cardan.

Étude du deuxième sous-ensemble de la transmission (axe 24/axe Avant-bras)

La solution permettant de satisfaire le cahier des charges de cet exosquelette nécessite la définition et la mise en

place d’une loi de commande des différents axes. Cette loi de commande repose sur le calcul des couples (efforts)

à imposer aux axes des articulations en prenant comme entrées les angles des articulations. La définition de cette

loi de commande ne fait pas partie de cet extrait de sujet. Pour délivrer le couple nécessaire aux différentes

articulations, il est nécessaire de disposer d’un ensemble {actionneur + transmission} capable de fournir à

l’articulation un couple égal au couple de référence déterminé par la loi de commande de l’exosquelette.

Le fonctionnement de l’articulation de l’Avant-bras peut se modéliser par la structure asservie en couple ci-

dessous :

Ic est l’intensité de consigne (proportionnelle au couple de consigne donné à l’Avant-bras).

Cext représente les couples perturbateurs au niveau l’axe de l’Avant-bras (le coude)

b est l’angle réalisé et observé entre Bras et Avant-bras (rotation 4 figure 1)

Figure 8 : Schéma-blocs de la commande de l’actionneur de l’Avant-bras (rotation 4)

Pour mener à bien l’étude de l’asservissement de cette commande de l’actionneur, il est nécessaire de déterminer

le rapport de transmission noté 𝟏

𝑵 dans le schéma bloc ci-dessus. Ce rapport relie la rotation du moteur (voir

annexe) à celle du coude (angle Avant-bras / bras).

La question 5 a permis de montrer que la rotation de l’axe numéroté 24 (voir Annexe) est égale à tout instant à

celle du moteur. 𝜔𝑀 = 𝜔𝑃 avec 𝜔𝑀 vitesse du moteur et 𝜔𝑃vitesse de la petite poulie.

Ce mouvement de rotation va dans un premier temps être réduit par le système poulies/courroie crantées.



Question 6 : Les poulies crantées ayant respectivement 19 et 57 dents, déterminer la valeur du rapport de

réduction 𝜔𝐺

𝜔𝑃 de ce système. 𝜔𝐺 étant la vitesse de rotation de la grande poulie et 𝜔𝑃, celle de la petite. Consulter

l’annexe sur la transmission par poulie/courroie pour répondre.

Le mouvement de rotation de la grande poulie crantée est transmis (encastrement) à une vis d’une liaison

hélicoïdale. L’écrou, bloqué est rotation mais pas en translation (axe numéroté (16) et galets (20)) se translate donc

à une vitesse notée 𝑣𝐸 .

Question 7 : Le système vis/écrou (liaison hélicoïdale) ayant un pas réduit de P = 0.5 mm/rad, donner

l’expression de la vitesse de l’écrou (par rapport au bras) 𝑣𝐸 .en fonction du pas réduit P et de la vitesse du

moteur 𝜔𝑀.

Cet écrou est fixé au câble (4) qui roule sans

glisser sur les différentes poulies lisses du

mécanisme.

Ce qui permet d’obtenir une rotation du coude

(Bras /Avant-bras) à une vitesse notée 𝜔𝐵 = ��𝐵.

Question 8 : Les poulies lisses ayant un rayon R=25mm, donner l’expression de la vitesse de rotation de l’Avant-

bras par rapport au bras (𝜔𝐵) en fonction de R et 𝑣𝐸 . Aidez-vous de l’annexe sur la transmission par

poulie/courroie pour répondre.

Question 9 : Donner enfin l’expression du rapport de transmission de l’ensemble noté 1

𝑁=

𝜔𝐵

𝜔𝑀. Faire

l’application numérique de N.

Sur le schéma-bloc figure 8 :

Les grandeurs autres que la variable de Laplace sont des constantes.

On prendra la fonction de transfert C(p) égale à 1

La perturbation en couple Cext est considérée nulle

Le frottement visqueux (coefficient f ) est considéré nul

On néglige l’inductance de l’induit du moteur (Lm = 0 (H)) et on considérera les constantes de vitesse et de

couple du moteur égales (Kc = Ke)

On néglige la constante de temps du capteur de courant ( t = 0 (s))

Question10 :(Bonus) Donner l’expression de la fonction de transfert Laplacienne 𝜃𝑏(𝑝)

𝐶𝑀(𝑝) en fonction des différents

constantes apparaissant sur le schéma bloc et de la variable de Laplace.

Question11 :(Bonus) Donner l’expression de la fonction de transfert Laplacienne 𝜃𝑏(𝑝)

𝐼𝑐(𝑝) en fonction des différents

constantes apparaissant sur le schéma bloc et de la variable de Laplace.

Angle

B



ANNEXES

Figure 4 : Représentation 3D de la transmission utilisée

Figure 5 : Schéma de principe de la transmission



Transmission par poulies/courroies et chaînes

Les systèmes poulie-courroie sont utilisés pour transmettre

un mouvement de rotation sur des distances importantes

(qui nécessiteraient plusieurs trains d'engrenage par

exemple). Ils sont utilisés dans de nombreux domaines,

comme l'automobile, la bureautique (commande de

scanner), la robotique, les vélos (transmission par chaîne)...

Ils possèdent un fonctionnement identique à un système à

chaîne.

Du fait de l'inextensibilité de la courroie, les vitesses de tous ses points ont la même norme. Si la courroie ne glisse

pas sur les poulies, alors on en déduit que le rapport de réduction :

2

1

/1

/2

R

R

bâti

bâti

Cette relation n'est valable que s'il y a non glissement entre la courroie et les poulies ce qui nécessite un coefficient

de frottement non nul et un système permettant de tendre constamment la courroie.

Pour augmenter le couple transmissible par un tel système, on utilise des courroies à section trapézoïdale (la

surface de contact augmente ce qui améliore l'adhérence) ou des courroies crantées qui suppriment le glissement

(les rayons sont proportionnels au nombre de crans ou dents).

Le non glissement de la courroie sur les poulies et son inextensibilité permettent de lier la vitesse linéaire des

tronçons rectilignes de la courroie aux vitesses de rotation des poulies.

|𝑉𝑐𝑜𝑢𝑟𝑟𝑜𝑖𝑒/𝑏â𝑡𝑖| = 𝑅1. |𝜔𝑝𝑜𝑢𝑙𝑖𝑒1/𝑏â𝑡𝑖| = 𝑅2. |𝜔𝑝𝑜𝑢𝑙𝑖𝑒2/𝑏â𝑡𝑖|

Schéma cinématique système poulie courroie

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