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Exercices de Math´ ematiques Racines carr´ ees, cubiques, quatri` emes ´ Enonc´ es ´ Enonc´ es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Calculer les racines carr´ ees de Z =4ab + 2(a 2 - b 2 )i (avec a, b r´ eels). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Dans l C, r´ esoudre l’´ equation z 4 - (5 - 14i)z 2 - 2(5i + 12) = 0. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Dans l C, r´ esoudre l’´ equation z 3 - i = 6(z + i). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Dans l C, r´ esoudre l’´ equation z 2 - 2iz +2 - 4i = 0. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Trouver les racines quatri` emes de Z = -119 + 120i. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] R´ esoudre l’´ equation z 6 - 2z 3 cos 3θ + 1 = 0. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] Soit Z = -1+ i 4 . Calculer les racines cubiques de Z . Montrer qu’une seule d’entre elles a une puissance quatri` eme r´ eelle. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´ eserv´ es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ ee sont interdites.
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Exercices de Mathematiques
Racines carrees, cubiques, quatrie`mes
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
Calculer les racines carrees de Z = 4ab+ 2(a2 b2)i (avec a, b reels).
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
Dans lC, resoudre lequation z4 (5 14i)z2 2(5i+ 12) = 0.
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Dans lC, resoudre lequation z3 i = 6(z + i).
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Dans lC, resoudre lequation z2 2iz + 2 4i = 0.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Trouver les racines quatrie`mes de Z = 119 + 120i.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Resoudre lequation z6 2z3 cos 3 + 1 = 0.
Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ]
Soit Z =1 + i
4. Calculer les racines cubiques de Z.
Montrer quune seule dentre elles a une puissance quatrie`me reelle.
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Exercices de Mathematiques
Racines carrees, cubiques, quatrie`mes
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
Les racines carrees de Z sont z = (a+ b) + i(a b) et z.
Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
On utilise bien sur le changement de variable Z = z2.
Les solutions de lequation initiale sont donc 1 i,1 + i, 3 2i,3 + 2i.
Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
On factorise par z + i. Les solutions sont donc i, 12(i 33) et 1
2(i+ 3
3).
Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Les solutions sont z1 = 1 + 3i et z2 = i (1 + 2i) = 1 i.
Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
On calcule les racines carrees des racines carrees de Z.
On trouve z1 = 3 + 2i, z2 = 2 + 3i, z3 = 3 2i et z4 = 2 3i.
Indication pour lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
On factorise z6 2z3 cos 3 + 1 en (z3 e3i)(z3 e3i).Les solutions sont les zk = exp
(2ikpi3
), avec 0 k 2.
Indication pour lexercice 7 [ Retour a` lenonce ]
Les racines cubiques de Z sont : z1 =12exp ipi4 , z2 = jz1 et z3 = j
2z1.
Seule la puissance quatrie`me de z1 est un nombre reel.
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Exercices de Mathematiques
Racines carrees, cubiques, quatrie`mes
Corriges
Corriges des exercices
Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
Si = a ib, alors 2 = a2 b2 2iab, donc 2i2 = 4ab+ 2i(a2 b2) = Z.Or 2i = (1 + i)2. On en deduit Z = ((1 + i)(a ib))2 = (a+ b+ i(a b))2.Ainsi les racines carrees de Z sont z et z, avec z = (a+ b) + i(a b).
Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
On resout Z2 (5 14i)Z 2(5i+ 12) = 0 puis on prend les racines carrees des solutions.Le discriminant est = (5 14i)2 + 8(5i+ 12) = 75 100i = (5 10i)2.On trouve Z1 =
1
2(5 14i 5 + 10i) = 2i, et Z2 = 1
2(5 14i+ 5 10i) = 5 12i.
Les racines carrees de Z1 sont z1 = 1 i et z1 = z1.Les racines carrees de Z2 sont z2 = 3 2i et z2 = z2.Les solutions de lequation initiale sont donc 1 i,1 + i, 3 2i,3 + 2i.
Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
On constate que le premier membre est factorisable par z + i :
z3 i = 6(z + i) z3 + i3 = 6(z + i) (z + i)(z2 iz 1) = 6(z + i) (z + i)(z2 iz 7) = 0
Le discriminant de z2 iz 7 est = 1 + 28 = 27 = (33)2.Les solutions de lequation initiale sont donc z1 =i, z2 = 1
2(i 33) et z3 = 1
2(i+ 3
3).
Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
Le discriminant reduit est = i2 (2 4i) = 3 + 4i = (1 + 2i)2.
Les solutions de lequation sont donc
{z1 = i+ (1 + 2i) = 1 + 3i
z2 = i (1 + 2i) = 1 i
Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
Il faut bien sur calculer les racines carrees des racines carrees de Z.
Posons z = x+ iy, avec (x, y) IR2. On constate qye |Z| = 1192 + 1202 = 169.
z2 = Z x
2 y2 = 1192xy = 120x2 + y2 = 169
x
2 = 25y2 = 144xy = 60
{(x, y) = (5, 12)ou (x, y) = (5,12)
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Exercices de Mathematiques
Racines carrees, cubiques, quatrie`mes
Corriges
On doit maintenant trouver les racines carrees de 5 + 12i et de 5 12i.Or 5 + 12i = (3 + 2i)2. Une racine quatrie`me de Z est donc z1 = 3 + 2i.
Toutes sobtiennent en multipliant z1 par les racines quatrie`mes de 1, donc par 1, i,1,i.
Finalement les racines quatrie`mes de Z sont
{z1 = 3 + 2i z2 = 2 + 3iz3 = 3 2i z4 = 2 3i
Corrige de lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
On a la factorisation z6 2z3 cos 3 + 1 = (z3 e3i)(z3 e3i).On a z3 = e3i z {ei, jei, j2ei}, et z3 = e3i z {ei, jei, j2ei}.Finalement, les solutions sont les zk = exp
(2ikpi3
), avec 0 k 2.
Corrige de lexercice 7 [ Retour a` lenonce ]
On a 1+i4 =24 exp
3ipi4 = 2
3/2 exp 3ipi4 . Les racines cubiques de Z sont :
z1 =12exp ipi4 , z2 = jz1 =
12exp 11ipi12 , z3 = j
2z1 =12exp 19ipi12
Les puissances quatrie`mes de ces nombres sont :
z41 =14 exp ipi =
14 , z
42 = jz
41 = 18 j, z43 = j2z41 =
14 j
2
Effectivement, seule la puissance quatrie`me de z1 est un nombre reel.
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