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LES TICE EN GEOMETRIE DE L’ESPACE : LOGICIELS 3D OU LOGICIELS 2D ?

François COLMEZIrem de Paris 7, équipe DIDIREM

REPERES - IREM. N° 76 - juillet 2009

1. Exemple

Nous allons préciser le sens de cettequestion en étudiant comment aborder lesujet expérimental n°29 de l’année 2008,avec un logiciel 3D, puis avec un logiciel2D. L’énoncé donné ci-dessous résumecelui de l’épreuve :

L’espace est rapporté au repère orthonor-mé (O,i,j,k). Placer les points A(0,6,0) ; B(0,0,8) ;C(10, 0, 8). M est un point du segment [0B].Le plan V passant par M et perpendiculaire

On sait que les examens ont une rétroactionsur l’enseignement qui y prépare. L’intro-duction d’une épreuve pratique en termina-le S est l’occasion d’aborder la question sui-vante : on dispose maintenant de logicielsdynamiques de géométrie de deux sortes, 2D(comme Cabri II ou GeoGebra)1 et 3D (commeCabri3D ou Geospace) ; quels sont leursapports respectifs dans l’enseignement de lagéométrie de l’espace ?

Résumé : Au moment où se met en place l’épreuve pratique de mathématiques au baccalau-réat en section S, il est légitime de comparer l’apport des logiciels 2D et 3D à l’enseignementde la géométrie de l’espace. A travers des exemples, cet article tente de montrer que les logi-ciels 2D demandent aux élèves davantage de réflexion géométrique que les logiciels 3D, quijouent plutôt le rôle de maquettes. Il explique aussi comment construire avec un logiciel 2Dun cadre adapté pour simuler un logiciel 3D.

En accompagnement de cet article, huit illustrations sont manipulables dans une page webavec un navigateur. Elles se trouvent dans un dossier accessible à partir du sommaire en lignedu numéro sur le site de Repères IREM :

Portail des IREM : http://www.univ-irem.fr/spip.php

sous la rubrique «Document annexe» figurant au dessous du titre de l’article.

1 Pour les dessins que nous voulons réaliser ; le logiciel Geo-plan est moins commode.


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à la droite (OB) coupe la droite (AC) en P, ladroite (OC) en N et la droite (AB) en Q.

Dessiner la figure et étudier la variationde l’aire du quadrilatère MNPQ en fonctionde la position du point M sur [OB] ; en parti-culier, déterminer son maximum.

Utilisation d’un logiciel 3D

Quand on ouvre un logiciel 3D, la fenêtreprésente le dessin d’un RON (Repère Ortho-Normé). Pour dessiner les points A, B, C il suf-fit d’écrire leurs coordonnées dans la fenêtreouverte par la macro ad hoc. Après avoir tracéles six segments joignant les quatre points O,A, B, C on place le point M variable sur le seg-ment [OB].

On peut alors définir le plan V en notifiantqu’il passe par M et qu’il est perpendiculaireà la droite (OB). On obtient les points N, P etQ en demandant l’intersection de ce plan avecles droites (OC), (CA), (AB). Il reste à dessi-ner le quadrilatère MNPQ pour terminer ledessin.

Le logiciel fournit l’aire du quadrilatèreMNPQ. En déplaçant le point M sur le seg-ment [OB], on constate que ce quadrilatère estaplati et que son aire est nulle quand M esten O ou en B ; cette aire semble maximale quandM est au milieu de [OB].

Bilan de cette activité

S’il faut une bonne familiarité avec lelogiciel pour conduire cette construction, parcontre aucune connaissance mathématique n’estmise en œuvre par l’exécutant.

Cependant le logiciel peut «montrer» cer-taines propriétés de la figure, à conditiond’avoir l’occasion de s’y intéresser.

De plus, il est possible de faire bougerl’ensemble du dessin, pour observer la figu-re de l’espace sous différents angles. On dis-pose ainsi d’une maquette virtuelle.

Des mathématiques, cependant

L’utilisation du logiciel n’obligeant pas l’exé-cutant à faire preuve de connaissances mathé-matiques, si l’on veut qu’il fasse intervenir detelles connaissances, il devient nécessaire delui demander une démonstration pour laquel-le, si possible, l’utilisation du logiciel appor-te des éléments heuristiques.

Voici un exemple de question qui semblerépondre à cette exigence.

«Le logiciel indique que si le point M est aumilieu de [OB] l’aire du quadrilatère MNPQest 15 cm2. Justifier cette valeur.»

En effet, si on fait tourner la figure onpeut «voir» que le quadrilatère MNPQ estun rectangle, ce qui facilite le calcul deson aire. Il faudra le démontrer en faisantappel aux théorèmes sur les droites et lesplans parallèles ou perpendiculaires utili-sés plus bas. En outre les droites (MN) et(MQ) sont des «droites des milieux» dans lestriangles OBC et BOA.

Utilisation d’un logiciel 2D 2

Il est possible d’obtenir la même mobili-té du dessin qu’avec un logiciel 3D, en procurantà l’exécutant le dessin en projection orthogo-nale d’un RON 3 (voir sa construction, § 2)

2 Huit figures manipulables sont disponibles sur le site RepèresIrem (Portail des Irem : http://www.univ-irem.fr/spip.php). 3 dessin numéro 01 (Repere 3D)


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Pour que le dessin soit cohérent et suivela transformation du RON, il faut que tous leséléments de l’objet à dessiner soient repéréspar rapport à ce RON.

Alors que les logiciels 3D procurent desoutils de construction, avec un logiciel 2D ilfaut traduire en dessin 2D la construction del’espace qu’on veut réaliser, ce qui fait inter-venir des connaissances géométriques.

Un logiciel 2D nécessite donc l’utilisa-tion explicite de propriétés mathématiques,ainsi que nous le détaillons maintenant.

Mise en place des données 4

Nous utilisons le fait que la projection ortho-gonale est une application affine de l’espacesur le plan du dessin, si bien que toutes lespropriétés affines de la figure de l’espace sontconservées sur la figure projetée.

Placer le point A de coordonnées (0,6,0),

c’est traduire la propriété : ; laméthode la plus simple est la construction dutransformé du point j par l’homothétie decentre O et de rapport 6.

Pour le point B de coordonnées (0,0,8),même méthode.

Pour le point C de coordonnées (10,0,8),il faut d’abord construire le point de coor-données (10,0,0), puis construire le dernier som-met d’un parallélogramme5. La droite (BC) est

OA 6 Oj=

parallèle à la droite (Oi), dans l’espace et surle dessin.

Construction raisonnée du dessin du quadrilatère MNPQ

Le plan V est perpendiculaire à la droi-te (Ok) ; il est donc parallèle au plan Oij. Sonintersection (MQ) avec le plan OAB est paral-lèle à (OA). Son intersection (MN) avec leplan OBC est parallèle à (Oi), donc à (BC).

En projection parallèle sur le plan dudessin ces deux parallélismes sont conser-vés, ce qui permet de construire les points Qet N en utilisant l’outil «droite parallèle».

Puisque le plan V est parallèle à la droi-te (BC), son intersection avec le plan ABC estparallèle à (BC). De même, son intersectionavec le plan OAC est parallèle à (OA).

dessin 1

O

B

C

A

M

ij

k

N

Q

4 dessin numéro 02 (RON pour figures)5 Il est possible, en vue d’une utilisation dans d’autres figures,de définir une macro qui, à partir de trois nombres,construit l’image d’un point dans un RON, avec comme inter-médiaires trois homothéties et deux parallélogrammes. Onretrouve alors une commodité voisine de celle d’un logiciel3D. Mais cette macro est le résultat d’une réflexion sur le

passage d’une figure de l’espace à sa projection affine surun plan ; de plus chacune de ses utilisations réactive lesconnaissances en jeu, car les objets initiaux sont les don-nées du RON (4 points ou 1 point et 3 vecteurs, au choix)et les 3 coordonnées.


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Le point P doit être commun à la droite(AC) et à ces deux intersections, ce qui per-met de n’en construire qu’une

Le quadrilatère MNPQ est donc un paral-lélogramme (dans l’espace et sur le dessin) etcomme dans l’espace (Oi) et (OA) sont per-pendiculaires, c’est un rectangle de l’espace.

Mais une réflexion plus poussée, qui serad’ailleurs utile pour l’étude de l’aire du qua-drilatère, conduit à une autre méthode, pluséconomique en tracés.

dessin 2

En appliquant le théorème de Thalès oula conservation des rapports par projection onmontre que :

Cela permet la construction suivante: on mesure avec la macro «distance» OMet OB sur le dessin ; on calcule le nombrek, rapport OM / OB ; ce rapport est lemême sur le dessin et dans l’espace, puisquela projection parallèle est une application

OMOB

ONOC

APAC

AQAB

= = =

P

O

B

C

A

M

ij

k

N

Q

affine. Le point P peut être construitcomme l’image de C dans l’homothétie decentre A et de rapport k.

Il est intéressant d’enregistrer cetteconstruction comme macro car elle sert trèssouvent. (cf. Macros de report, plus bas). Cettemacro permet évidemment de construire lespoints N et Q.

La variation de l’airedu polygone MNPQ 6

Le dessin obtenu grâce au logiciel 2D estune projection parallèle de l’objet de l’espa-ce. Le rapport de l’aire du dessin d’un poly-gone de l’espace à l’aire de ce polygone estun nombre qui ne dépend que de l’angle duplan du polygone avec le plan du dessin(en fait le cosinus de cet angle). Ce qui veutdire que si des polygones de l’espace sontsitués dans des plans parallèles entre eux,leurs aires sont proportionnelles aux airesde leur dessins.

On n’a pas besoin de connaître ce rap-port pour étudier la variation de l’aire durectangle de l’espace MNPQ, car il suffit d’étu-dier la variation de l’aire du parallélo-gramme MNPQ du dessin, qui lui est pro-portionnelle. Cette dernière aire est donnéepar le logiciel 2D .

On peut dessiner un graphique dansun coin de la fenêtre, de manière coor-donnée avec le dessin principal, en por-tant k (i.e. OM / OB) en abscisse et l’airedu parallélogramme en ordonnée. Commeavec un logiciel 3D, on y voit un maximum,pour la valeur 1/2.

6 numéro 03 (sujet29airedessin)


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Justification par le Calcul

On pose, comme plus haut, k = OM / OB.L’aire du parallélogramme MNPQ est :

MN.MQ.sin( ).

Or l’angle NMO ne varie pas et le théo-rème de Thalès dans les triangles OBC etCOA donne MN = k BC et NP = (1 – k) OA .Il en résulte que l’aire de MNPQ est le pro-duit d’une aire constante par k.(1 – k).

En fait, le même raisonnement appliquédirectement à la figure de l’espace donne pourl’aire du rectangle MNPQ : 10 cm × 6 cm ×k(1 – k) ; et, pour k = 1/2, on obtient : 15 cm2 .Ensuite, soit en appliquant des connaissancessur les paraboles, soit en calculant la dérivée,on montre la véracité de la conjecture.

2. Indication pratique (numéro 1) :

Dessin d’un RON mobile avec un logiciel 2D 7

Il s’agit de construire le dessin en projectionorthogonale d’un RON Oijk. Les trois des-sins présentés ici sont des dessins coordonnésà l’intérieur d’une même fenêtre Cabri 2Dou GeoGebra.

Les dessins 3 et 4 permettent de piloterla position du RON par rapport au plan du des-sin, qu’on peut imaginer vertical. Le dessin3 permet de faire tourner le RON autour deson axe (Ok), en déplaçant le point i.

Le dessin 4 est fait dans un plan per-pendiculaire au plan du dessin principal,dans lequel se trouve la droite (Ok). Il montre

^NMQ

également la trace du plan Oij dans ce plan.Il permet de régler l’angle a de (Ok) avec leplan du dessin, en déplaçant le point k. Cetangle est ici de 32°.

Les deux cercles des dessins 3 et 4 ont pourrayon l’unité de longueur du RON. Le dessin5 montre comment est obtenu le dessin du RON.On construit les images du point O par les trois

translations de vecteurs : .

Les points i et j sont les transformés despoints M et N par l’affinité dont l’axe est ladroite perpendiculaire à (Ok) passant par Oet le rapport est le sinus de l’angle α.

Il reste à masquer les constructions.

dessin 3

dessin 4

32,0 °

k

plan Oijw?

O

i

ju

v

w,v,u��

7 dessin numéro 04 (RON construction)


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dessin 5

Si l’angle α est nul les segments [Oi] et[Oj] sont portés par la droite perpendiculai-re au segment [Ok] qui a la longueur unité ;si de plus le point i (resp. j) est confondu avecle point O le plan Ojk (resp.Oik) est dessinéen vraie grandeur. Si l’angle α est droit le pointk est en O et le plan Oij est dessiné en vraiegrandeur.

Le rapport de projection orthogonaledu plan Oij sur le plan du dessin est sin α .En conséquence, si un polygone est conte-nu dans un plan parallèle au plan Oij(comme le quadrilatère MNPQ de l’exerci-ce), l’aire de ce polygone de l’espace estobtenue en divisant par le nombre sin al’aire du dessin de ce polygone qui est four-nie par le logiciel 2D. 8

3. Utilité du travail avec un logiciel 2D à partir d’un tel repère.

Il n’est pas question de demander d’embléeà des élèves de Lycée de construire le dessind’un RON avec Cabri ou GeoGebra. Mais onpeut le leur fournir comme cadre de départ àl’instar de ce que font les logiciels 3D

0,53

k

ij

uv

w

M

N

O

sinus :α

La différence fondamentale est que lelogiciel 2D nécessite des constructions rai-sonnées mettant en oeuvre des propriétésgéométriques, tandis qu’un logiciel 3D faitles constructions sans qu’on ait à les maîtri-ser d’un point de vue géométrique.

La mobilité du repère permet de savoir sila construction est cohérente, c’est-à-dire si lafigure se déplace en bloc avec le repère. C’estla rétroactivité du dispositif 2D qui n’existepas avec un logiciel 3D pour lequel tous leséléments construits suivent le repère, que laconstruction soit correcte ou non.

Réussir à faire le dessin avec un logiciel2D, c’est résoudre une suite de questions plusou moins élémentaires qui peuvent mêmeaboutir à la solution de l’exercice lui-même,ou en tout cas donner des indications heu-ristiques pour le résoudre.

Cette démarche se rapproche de celle quenous avions suivi au début des années 80, avecBernard Parsysz, quand nous avions com-mencé à étudier l’enseignement de la géo-métrie de l’espace.

Nous fournissions aux élèves une maquet-te sur laquelle la propriété à démontrer deve-nait évidente ; la difficulté pour les élèvesconsistait à réaliser un dessin sur lequels’appuyer pour écrire la démonstration.

Il n’y avait pas alors de logiciels de des-sins géométriques et les dessins se faisaientaux instruments. Aujourd’hui on peut rem-placer les dessins aux instruments par l’uti-lisation d’un logiciel 2D et les maquettespar l’utilisation d’un logiciel 3D qui donne unmodèle du dessin à obtenir. Quand on tra-vaille sur les polyèdres, on peut même faci-lement avoir recours à une maquette maté-

8 dessin numéro 05 (sujet29airespace)


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rielle car les logiciels 3D fournissent despatrons.

Bref, les logiciels 3D sont remplis demathématiques cachées, qu’il n’est pas faci-le de débusquer. Les utilisateurs d’un logiciel2D doivent apporter leurs connaissances degéométrie de l’espace.

4. Indications pratiques (numéro 2) :Macros de report

Report d’une droite sur une autre

Le problème est le suivant : étant donnédeux points A et B et un point C de la demi-droite [AB) on veut reproduire la dispositionrelative de ces trois points pour les points D,E et F ; les points D et E sont donnés et jouentles rôles de A et B ; il faut construire F.

dessin 6

Dire que les dispositions relatives despoints (ou que les configurations) A, B, C etD, E, F sont les mêmes, c’est dire que leshomothéties de centre A transformant B enC, et de centre D transformant E en F, ont lemême rapport k. Pour calculer k on mesureAB et AC et on calcule AC/AB ; on obtient ensui-te F par la seconde homothétie.

Les éléments initiaux de cette macrosont A, B, C, D, E et l’unique élément finalest F.

A C B

DEF

Remarque d’utilisation

Les trois premiers points à cocher sontnécessairement distincts (et alignés). Pourque la macro fonctionne, il faut que les deuxderniers points soient distincts des précé-dents.

dessin 7

Comment faire si, par exemple, le quatrièmepoint est le même que le deuxième ? Il suffitde marquer temporairement un quatrièmepoint distinct du deuxième, puis quand lamacro a fait son office de redéfinir le quatrièmepoint en l’assimilant au deuxième.

dessin 8

Adaptations

Pour faire un report dans le plan (passerd’un repère affine à un autre repère affine, enconservant les coordonnées) il faut pouvoir repé-rer des points sur la droite entière et traiterle cas où le rapport d’homothétie est négatif.Cela se fait en utilisant l’angle BAC.

Avec Cabri il suffit de multiplier AC/ABpar cos(BAC). Mais cette macro ne fonction-ne pas si C est en A .

A C B

E

F

A C B

D

E

F


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Avec GeoGebra on utilise une condition. Aprèsavoir créé les variables angle ABC, b (=AB)et c (=AC), on écrit :

si[angleBAC < 90°, c/b, – c/b].

Une nouvelle variable est alors créée qui vautAC/AB quand C est sur la demi-droite [AB)et – AC/AB sinon.

Report d’un plan sur un plan

Pour passer du point M repéré par rap-port à OIJ au pont M’ repéré par rapport à O’I’J’,on projette M sur (OI) et (OJ), on reporte lespoints obtenus sur (O’I’) et (O’J’), puis on ter-mine le parallélogramme en construisant lesymétrique de O’ par rapport au milieu desdeux points obtenus.

dessin 9

Attention !

Si on construit la macro du plan en uti-lisant la macro de la droite, les deux logicielsne se comportent pas de la même façon. Cabriintègre la première macro dans la deuxième,qui peut donc être chargée et fonctionnerindépendamment de la première. GeoGebran’intègre pas le premier outil dans le second,

IO

J MO'

I'J'

M'

si bien que ce dernier ne peut pas être char-gé tant que le premier ne l’est pas.

On peut avoir intérêt à construire unoutil GeoGebra d’un bout à l’autre, sans faireappel à des outils déjà définis.

Nous avons déjà utilisé la première macropour construire les points N, P, Q de l’exer-cice. Donnons des exemples de l’utilisation dela deuxième macro

Pour dessiner un triangle ABC dans le planOij du RON, on dessine (dessin 10) ce tri-angle en vraie grandeur dans un coin de lafenêtre accompagné d’un repère orthonorméplan O’i’j’.

On applique la macro aux deux repèresO’i’j’ et Oij et, successivement, aux trois som-mets A, B, C.

dessin 10

En dessinant le triangle dont les som-mets viennent d’être construits par la macro,on obtient le dessin 11 dans lequel le trianglese déplace avec le RON Oijk. 9

O '

i '

j '

A

B

C

9 dessin numéro 06 (objetduplan)


69


A l’inverse, en utilisant la macro pourpasser du dessin 11 au dessin 10 on peutsavoir si un point est bien dans le plan Oij :son image par la macro doit rester fixe quandle RON Oijk varie.

dessin 11

5. Deuxième exemple : projeté orthogonal d’un point sur un plan

Le premier exemple mettait en scène desthéorèmes sur le parallélisme ; celui-ci met enscène l’orthogonalité. Les propriétés utiliséestournent toutes autour du théorème fonda-mental cité ci-dessous ; on retrouvent ces pro-priétés dans les trois autres épreuves de géo-métrie de l’espace de la session expérimentale2008 de l’épreuve pratique.

Théorème : Si une droite D est orthogo-nale à deux droites non parallèles entre ellesd’un plan P, elle est alors orthogonale àtoutes les droites de ce plan.

Énoncé de l’exercice :

Étant donné un RON Oijk on marque lepoint A sur [Oi), le point B sur [Oj) et lepoint C sur [Ok). construire le projetéorthogonal H du point O sur le plan ABC.

A

BC

O

i

j

k


Si on utilise un logiciel 3D, après avoir défi-ni le plan ABC, on demande au logiciel deconstruire la droite perpendiculaire à ce planpassant par O, puis l’intersection H des deuxobjets.


Analyse mathématique

Avant de construire un dessin avec un logi-ciel 2D, il y a lieu d’analyser une figure telleque celle qui est représentée par le dessin12 10, dans lequel on a marqué les points O, A,B, C et le point H.

Soit Q le plan déterminé par les troispoints O, C, H. Ce plan contient les deuxdroites sécantes (OC) et (OH). La droite (OC)est perpendiculaire au plan OAB, donc ortho-gonale à la droite (AB). La droite (OH) est per-pendiculaire au plan ABC, donc orthogonaleà la droite(AB). Il en résulte que la droite(AB) est perpendiculaire au plan Q.

L’intersection I du plan Q et de la droite(AB) se construit en traçant la doite (CH).

Finalement, les droites (CI) et (OI) sontles intersections du plan Q avec les plansABC et OAB ; ces droites sont donc perpen-diculaires à la droite (AB) ; ce sont des hau-teurs respectivement du triangle ABC et dutriangle OAB. Dans le dessin 13 on a construitles points J et K analogues à I. H est l’ortho-centre du triangle ABC ; I, J, K sont les piedsdes hauteurs issues de O des triangles respectifsOAB, OBC et OCA.

10 La disposition des points est arbitraire ; mais, commeil résultera de l’étude en cours, elle fixe les rapports deslongueurs de l’espace : OA, OB, OC.


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En sens inverse, on montre que pourconstruire le dessin à partir du RONOijk et des longueurs OA, OB, OC del’espace, il suffit de construire deux despoints I, J ou K, comme pieds des hau-teurs issues de O dans les triangles rec-tangles OAB, OBC ou OCA.

dessin 12

dessin 13

On peut bien sûr construire aussi le troi-sième point, à titre de contrôle.

O

AB

I

C

JK

H

O

AB

I

C

H

Recherche expérimentale du projetéorthogonal avec un logiciel 2D 11

L’expérimentation présentée ci-dessous per-met de mettre en évidence les propriétés uti-lisées dans le paragraphe précédent.

On met en place la figure évoquée dansle paragraphe précédent, en plaçant les pointsA, B, C sur les trois demi-droites [Oi), [Oj),[Ok). Le tâtonnement utilise le fait que si leplan ABC est parallèle au plan du dessin, letriangle ABC est dessiné en vraie grandeuret les dessins du point O et de son projeté sontconfondus

On prépare la manipulation en marquantun point J sur [BC] et un point H sur [AJ]. Onvérifie que le point H ainsi marqué reste bienen place dans le plan ABC, quand on faitvarier le RON mobile.

A partir des coordonnées des points A, B,C on calcule les longueurs AB, BC, CA des seg-ments de l’espace. On demande au logiciel d’indi-quer les longueurs des segments correspon-dants du dessin. Il s’agit de faire coïncider cesmesures.

On commence par AB, en faisant tournerle RON autour de l’axe (Ok) (dessin 14). Lacoïncidence des mesures est obtenue quandle segment [AB] sur le dessin est horizontal,c’est-à-dire perpendiculaire à (Ok). Puis on faitpivoter le RON par la deuxième commande.La longueur AB ne varie pas. Les deux autreslongueurs coïncident en même temps (dessin15). Le triangle est bien placé ; on déplace Jpour que [AJ] passe par O, puis on fait glis-ser H jusqu’en O (dessin16).

11 Dessin numéro 07 (tatonnement)


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BAO

C

H

J

i

j k

O

H

triangle

O

H

i

jk

triangle

A

O

B

C

J

H

k

ji

A B

C

O

J

H

i j

k

A B

C

H

J

k

i jO

dessin 14 dessin 15

dessin 16dessin 17

dessin 18dessin 19


72


On constate alors que la droite (AJ) esthauteur du triangle ABC, puis en déplaçantle RON (dessins 17 et 18) que la droite (OH)est bien perpendiculaire au plan ABC et enfin(dessin 19) que (OJ) est hauteur du triangleOBC.

La manipulation est assez précise ; en effet,les angles marqués comme droits ont un écartde moins de 1° avec 90°.

Cette manipulation et les propriétésqu’elle montre donnent des indications heu-ristiques pour l’analyse mathématique duparagraphe précédent.

Voici deux méthodes pour construirele point I.

La première méthode (cf. dessin 20) consis-te à marquer les points A’ et B’ tels que OA’ = OA et OB’ = OB, grâce à la macro dereport ; la diagonale du parallélogrammereprésentant le rectangle OA’PB’ est la hau-teur issue de O.

Mais le point I étant déterminé commeintersection de deux droites, la constructionéchoue quand les points O, A, B sont alignés(ie α = 0).

La deuxième méthode consiste à construi-re le point I comme image du point B parl’homothétie de centre A et dont le rapport k 12

se calcule, à partir des longueurs OA et OB :

k = ,

car .AIAO

AOAB

=

AIAB

AIAO

AOAB

OA

AB

OA

OA AB

2

2

2

2 2= × = =+

Cette deuxième construction est préfé-rable, car elle est valable pour toutes les posi-tions du RON.

6. Considérations heuristiques

Il y a encore d’autres façons d’aborder leproblème du projeté orthogonal d’un pointsur un plan. On peut ainsi commencer parl’étude du cas particulier d’un triangle ABCéquilatéral. Voici un texte d’exercice qui estinspiré du sujet 62 de la session expérimen-tale 2008.

L’espace est rapporté au RON (O,i,j,k).En choisissant le nombre positif a pour que

dessin 20

dessin 21

O

A B

I

O

A B

I

A'

B'

P

12 le calcul qui suit montre que , ce qui justifiela note précédente.

AIIB

OA

OB

2

2=


73


la figure soit lisible, placer les pointsA(a,0,0) ; B(0,a,0) ; C(0,0,a). M est unpoint du segment [AB]. le point L est le pro-jeté orthogonal du point O sur la droite (CM).L’objectif est de déterminer le lieu du pointL quand M décrit le segment [AB].En s’appuyant sur un dessin papier-crayon, réfléchir aux questions suivantes— Comment montrer que CO 2 = CL.CM ?— Le point I étant le milieu de [AB], onappelle H le projeté orthogonal de O sur[CI].Quelle est la nature du triangle CLH ?Conséquence pour le lieu de L ?— Comment montrer que la droite (OH)est perpendiculaire au plan ABC ? Quelest le rôle du point H pour le triangleABC ?— Utiliser ces propriétés pour dessiner avecun logiciel 2D, à partir d’un RON mobi-le, le triangle ABC et le point H.— Quel est le lieu du point L ?

Dessin avec le logiciel 2D 13

Il est facile de montrer que le point H, pro-jeté orthogonal de O sur le plan ABC est unpoint L particulier, de même que les milieuxJ et K des côtés [CB] et [CA]. En s’appuyantsur les considérations heuristiques de l’expé-rimentation et les éléments développés endébut du paragraphe 5 on montre que le pointH est l’orthocentre du triangle ABC. Il est doncen même temps centre de gravité, centre ducercle circonscrit et centre du cercle inscrit ;on le construit aisément, en tant que centrede gravité (propriété affine).

D’autre part, le fait que le triangle LCHest un triangle rectangle en L montre que lepoint L se trouve sur le cercle de diamètre [CH].Son lieu est l’arc de ce cercle contenu dans letriangle. Ceci se traduit en dessin :

dessin 22

dessin 23

dessin 24

A

B

C

OH

I

J

K

A

B

C

OH

M

L

I

A

B

C

O

M

L

13 Dessin numéro 08 (lieu de L)


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On peut dessiner l’ellipse représentant lecercle complet ; en effet on en connaît déjà quatrepoints : C, H, J et K ; on peut en construireun cinquième, par exemple le symétrique J’de J par rapport au milieu de [CH], qui est lecentre de l’ellipse.

On construit alors le point L comme inter-section de cette ellipse avec le segment [CM],puis le lieu de L quand M varie sur [AB].

dessin 25

Dessin avec un logiciel 3D

Si on exécute le même dessin avec unlogiciel 3D, on peut construire directement lepoint M comme intersection du segment [CM]avec le plan perpendiculaire à (CM) passantpar O et demander son lieu. On n’a aucune rai-son de construire le point H. C’est sans doutela raison pour laquelle le sujet n°62 deman-de de s’intéresser au maximum de la lon-gueur CL, qui est CH

L’importance du point H, projeté orthogonal du point O sur le plan ABC

Comme nous l’avons vu plus haut, il exis-te une autre raison d’introduire le point H, pro-

B

C

O

H

J

K

I

J'

jeté orthogonal de O sur le plan ABC commeintersection du plan ABC avec la perpendiculaireà ce plan passant par O. Si on fait pivoter leRON mobile de façon que, sur le dessin, lespoint O et H coïncident, le plan ABC est alorsparallèle au plan du dessin ; cela signifie queles éléments contenus dans le plan ABC sontdessinés en vraie grandeur.

On peut aussi réaliser la coïncidencedes dessins des points O et H avec un logi-ciel 3D, ce qui permet de formuler certainesdes conjectures que nous avons vues avec lelogiciel 2D.

Si on revient ensuite au cas général d’untriangle ABC acutangle quelconque, les mani-pulations avec le logiciel 3D restent les mêmes.Pour le logiciel 2D, il faut faire intervenir lesconsidérations développées au début du para-graphe 5, car le problème est alors de construi-re l’orthocentre du triangle ABC, donc leshauteurs issues de O de deux des triangles OAB,OBC et OCA.

7. Conclusion

Nous pensons, à travers ces deux exemples,avoir montré à quel point l’utilisation deslogiciels 2D ou 3D conduisent à des activitésdifférentes.

Les logiciels 3D contiennent beau-coup de mathématiques, mais elles sontcachées et ne se révèlent pas facilement.Un tel logiciel peut conduire à des conjec-tures, mais sans réellement mettre surla voie d’une démonstration.

Les logiciels 2D ne contiennent évi-demment pas les propriétés de la géométriede l’espace ; c’est à l’utilisateur de les appor-ter. Nous pourrions prolonger cette analyseaux deux autres exercices de géométrie de


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l’espace (n°33 et n°72) de la session expéri-mentale 2008.

Dans ces exercices, comme d’ailleurs dansbeaucoup d’exercices de géométrie de l’espa-ce (mais aussi du plan), il semble que le logi-ciel ne soit utilisé que pour construire undessin et faire émerger des conjectures. Le côté

dynamique n’est pas suffisamment utilisépour attirer l’attention des élèves, parfois partâtonnement, sur des éléments et des pro-priétés utiles à la démonstration. Certes, cen’est pas simple et les exercices qui donnentune rétroaction ne sont pas faciles à bâtir. Cepen-dant nombre d’exercices proposés dans la lit-térature pourraient être améliorés en ce sens.


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ANNEXES Les figures du site


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