PajaritaDes cocottes et des maths

Avril 2016

Pavage : définitions

Recouvrement d'un espace affine donné, à l'aide de figures ou de motifs identiques, ayant en commun deux à deux uniquement des parties de leurs frontières.

Larousse

Mathématiquement c'est un recouvrement complet du plan sans trou ni superposition. Le motif de base s'appelle une "tuile". Le principe est ensuite de recopier la tuile et de la déplacer pour compléter le pavage. 6

APMEP

Pourquoi travailler les pavages ?

Des pavages partout et à toutes les époquesChacun, dans son expérience quotidienne, a croisé des pavages et des frises, naturelles ou artistiques. Travailler sur le thème des pavages permet une entrée culturelle différente de la plupart des objets étudiés par les élèves de nos classes. Ils seront naturellement amenés à « faire des maths » pour comprendre, mais resteront en lien fort avec l’art et l’histoire : un pavage permet l’exercice des mathématiques, y compris à très haut niveau, en restant en lien avec l’humain, le sensible, l’artistique.

Des entrées diverses pour toucher des profils mentaux différentsObserver un pavage, pouvoir en décrire certains éléments est accessible et facilité par leur attractivité artistique. Mais pour dépasser la seule perception, il faut comprendre. Le geste mental de compréhension (de cum prehendere, prendre avec soi) consiste à faire sien un objet d’apprentissage, et passe souvent par l’établissement de liens de comparaison, de hiérarchisation. Or les pavages permettent des classifications de multiples ordres, des entrées de natures très diverses : par époque, par type de motif, par source (monde végétal, animal), par des critères mathématiques, etc.L’entrée par les mathématiques permet une différenciation importante et des tâches très variées et nombreuses, de l’école primaire à l’enseignement universitaire.

Un thème transdisciplinaireCe thème, par « son ancienneté, son caractère d’universalité »1, peut mobiliser les enseignants d’arts plastiques, d’histoire et géographie, de mathématiques, de technologie, de lettres, de langues anciennes, de langues vivantes… On pourra prolonger le travail par l’étude d’œuvres de l’art gothique à l’art contemporain, de travaux tels que ceux d’Escher, la conception de jardins, les sangakus2, etc.Travailler sur les pavages permet une utilisation enrichissante des nouvelles technologies, par exemple pour visualiser les déplacements des formes pour paver le plan, ou pour en concevoir4.

Le motif de type pajarita

Le mot "pajarita" peut être traduit par « cocotte en papier ». A Grenade, le motif figure dans l’Alhambra, sur des murs du patio de los Arrayanes. La figure de base de la pajarita est le triangle équilatéral.

Les étapes d’une construction possible de la pajarita sont proposées sur la page suivante.

La figure de base est le triangle équilatéral On place les milieux de chaque côté du triangle

On trace une première médiatrice, celle d’un « demi-côté ».

On procède de même pour les autres côtés du triangle de base.

Les médiatrices se coupent deux à deux, définissant trois points d’intersection.

Ces points d’intersection sont les centres d’arcs de cercles intérieurs au triangle

équilatéral, limités par les « demi-côtés ».

Chaque intersection « arc de cercle-médiatrice » définit un point qui est lui aussi le centre d’un arc de cercle, de même type mais

extérieur au triangle équilatéral. On peut aussi envisager cet arc comme l’image du précédent

par une rotation.Le motif est achevé.

Exemples d’activités

Les activités proposées ici sont toutes construites à partir des scénarios du document de l’inspection pédagogique régionale de mathématiques de Guyane. 6

La première activité est assez détaillée et suivie d’une analyse de sa mis en œuvre (partielle) en classe.Les autres activités sont des idées de prolongements, sans détails ni analyse.

Liens avec les programmes de mathématiques :Les activités que l’on peut élaborer à partir du motif de la pajarita couvrent un grand nombre de notions au programme, dans le domaine de la géométrie plane, des nombres et calculs, des grandeurs et mesures. On peut tout aussi bien parler de racine carrée, de translation, de proportionnalité, d’angles et de parallélisme qu’installer ou consolider des notions fondamentales comme le cercle, la médiatrice, les unités de mesure. Selon le type d’activité retenue et le public concerné, on peut les aborder à différents niveaux. En tout cas, une très grande partie des programmes de cycles 3 et 4 en géométrie plane peut être abordée par la pajarita.

Chacune des compétences est également mobilisée au fil de l’étude de la pajarita : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer et communiquer sont naturellement convoquées au travers du voyage de notre cocotte. Les élèves auront l’occasion de chercher, d’émettre des hypothèses, de confronter leurs idées, de valider ou pas un modèle, pourront s’engager dans l’exercice de démonstration, mesurer, manipuler.

Ces activités permettront aussi de faire des liens avec l’histoire, l’art, la géographie, d’utiliser différents outils (les outils de construction, des appuis logiciels, etc.).

Activité pajarita, partie 1Reproduction à l’identique

Voici un motif, appelé pajarita. Nous parlerons bientôt de l’histoire de ce motif, du mot « pajarita ».

Ne dessine rien, n’écris rien sur ce motif-ci. Il est ta référence.

Le but de l’activité est que tu reproduises ce motif, sans le décalquer, et à l’aide des instruments de géométrie. Au final, tu devras être capable de tracer le même motif, mais de n’importe quelle taille (à différentes échelles).

Sur ces représentations, tu peux dessiner, tracer, écrire tout ce que tu veux qui t’aide à comprendre la construction :

Pour point de départ, je te propose ce triangle.

Si tu en as besoin, tu peux venir chercher au bureau un autre triangle. Tu peux aussi aller chercher du brouillon.

Activité pajarita, partie 2Reproduction à l’identique

En utilisant ton travail précédent, reproduis la pajarita en utilisant geogebra.

Activité pajarita, partie 3Reproduction à l’identique

En t’appuyant sur ton travail précédent, propose un programme de construction du motif de la pajarita. Tu peux le présenter comme tu le souhaites.Ton programme de construction sera ensuite proposé à des élèves d’une autre classe de sixième. Tu auras un retour de sa mise en application, qui te permettra si c’est nécessaire de corriger, de faire évoluer ou de perfectionner ton programme de construction.

Activité pajarita, partie 4Reproduction à l’identique

Réfléchis à une autre façon de tracer la figure, en conservant les mêmes contraintes : sans décalquer, à l’aide des instruments de géométrie, sans se limiter à une dimension précise.

Bilan de l’activité pajarita, parties 1 et 2

Cette activité a été proposée à des élèves de sixième, en classe entière, en tout début de troisième trimestre.Le cercle, le triangle équilatéral avaient déjà été abordés, tôt dans l’année.Nous venions de travailler sur la symétrie axiale, et nous avions réactivé la notion de médiatrice, déjà abordée différemment plus tôt dans l’année.

La classe est organisée en sept îlots de quatre élèves.

Après un moment de flottement, les élèves ont cherché à faire correspondre le triangle équilatéral avec le motif. Cette étape n’a pas posé de difficulté. Tous les groupes ont tracé le triangle sur le motif initial.

Comme la taille du triangle n’était pas celle correspondant à la représentation du motif sur la consigne, deux groupes ont préféré tracer « leur » triangle équilatéral, de sorte qu’il corresponde aux dimensions du motif.

La question épineuse pour tous a été « comment trouver le centre des arcs de cercle ? », parfois précédée par « Est-ce qu’il s’agit bien d’arc de cercle ? ». Différentes stratégies ont été mises en œuvre par les élèves :

Chercher à tracer les arcs de cercle intérieurs ou extérieurs, selon les groupes, en pointant le compas au milieu des demi-côtés. Malgré de nombreuses tentatives, impossible. La situation s’est débloquée par une remarque « on dirait que c’est pas loin, juste un peu plus bas, comme si on faisait le symétrique ».

Pointer le compas aux endroits qui semblent « raisonnables ». Ces élèves ont été amenés, plus ou moins rapidement, à relier les trois centres pressentis. Ils ont vu apparaître les médiatrices, en les nommant ou pas, mais en identifiant leurs caractéristiques.

Un groupe a longuement et silencieusement réfléchi, avant de mettre ses idées en commun et de tracer deux cordes d’un arc, les médiatrices de ces cordes, et d’identifier leur point d’intersection comme le centre. Ils ont ensuite procédé comme le groupe précédent.

Un groupe, une fois le centre d’un arc identifié, a procédé naturellement par transformations, en alternant rotation et symétrie centrale, évidemment sans utiliser ce vocabulaire, mais par « D’abord on tourne comme ça hop, et après paf, on retourne complètement. »

Un groupe a quadrillé son triangle équilatéral, pour au final se placer dans un hexagone régulier. Ces élèves ont réussi à finaliser leur construction, de façon très compliquée pour l’observateur extérieur, mais en maîtrisant vraiment bien leur (long) programme de construction et en le trouvant « beaucoup plus simple que ceux des autres ».

Les groupes qui ont commencé par les arcs « rentrant » ont facilement trouvé le centre des arcs sortants. Pour les autres, la réciproque s’est avérée fausse.

La définition du cercle et la celle de médiatrice sont les deux notions qui ont été le plus appelées et discutées, mais à des degrés d’expertise très différents.

Tous les groupes ont commencé par des démarches assez complexes, qui comprenaient des tracés ou des mouvements inutiles. C’est dans la partie 2 qu’ils ont simplifié, en effectuant des allers retours entre leurs notes et leurs figures, et le programme réalisé sur geogebra.

La deuxième partie de l’activité a été réussie par tous les groupes, à des moments différents : ils n’ont pas réalisés la partie 1 au même rythme. Certains ont consacré une heure de plus que d’autres à la partie papier. En fin de travail, il est remarquable d’observer comme les programmes de construction élaborés sur geogebra (en général en plusieurs essais) ont permis de simplifier les procédures, et les ont partiellement uniformisés. Les élèves ayant abordé la partie 3 de l’activité ont exprimés explicitement que le passage par le logiciel leur « a mis les idées claires », « a fait voir que plein de lignes on pouvait les enlever », « j’ai mis « médiatrice » à la place de phrases longues et compliquées, que les autres comprenaient pas en plus ».Tous les groupes qui se sont engagé dans la partie 3 ont proposé des programmes qui combinent explications, consignes et schémas. Tous sauf un ont nommé les points utiles de la figure.

Des idées de prolongements, d’autres activités

Activité 2Déterminer l’aire de la figure obtenue

Intérêts : Travailler la notion d’aire d’une figure (Re)voir les unités d’aire Utiliser les outils de mesure géométrique Travailler sur les valeurs exactes et les valeurs approchées, sur la nature des

nombres Calculer l’aire d’un triangle (en se ramenant au triangle rectangle ou en utilisant

la hauteur) Déterminer la mesure de la hauteur du triangle équilatéral en fonction de son

côté Argumenter que l’aire du pajarita est la même que celle du triangle : différents

niveaux d’argumentation, jusqu’à la démonstration complète, sont possibles. Cette argumentation peut faire appel à la symétrie axiale, à la rotation, à diverses notions sur les angles (angles alternes-internes et parallélisme, somme des angles d’un triangle, etc.)

Certains élèves font le choix de calculer l’aire d’une réduction du triangle initial, de coefficient 0,5, et de multiplier par 4 l’aire obtenue ; d’autres considèrent le triangle initial comme un agrandissement d’un des petits, de coefficient 2, et en déduisent que l’aire est multipliée par 22. Pour ces élèves, on peut poser une autre question : pourquoi chaque « petit » triangle est-il équilatéral ? On peut pour cela faire appel au théorème de Thalès ou passer par les angles, par exemple.

Faire référence aux propriétés liant droites parallèles, droites perpendiculaires

Calculer l’aire peut engager vers des problèmes de grandeurs et mesures, sur le coût, par exemple, du pavage d’un mur.

Activité 3Déterminer le périmètre de la figure obtenue

Intérêts : Travailler la notion de périmètre d’une figure Différencier aire et périmètre Choisir des unités adaptées Utiliser les outils de mesure géométrique Travailler sur les valeurs exactes et les valeurs approchées, sur la nature des

nombres Introduire ou réactiver le périmètre d’un cercle (Re)découvrir le nombre π

Si on calcule la valeur du rayon des arcs de cercle, utiliser la trigonométrie dans le triangle rectangle

Travailler les notions liées aux angles, les propriétés liant angles et parallélisme Faire référence aux propriétés liant droites parallèles, droites perpendiculaires

Activité 4Paver avec nos cocottes, mais comment ?

Intérêts : Travailler le concept de pavage Découvrir ou utiliser des transformations du plan : rotation, translation Manipuler pour formaliser Organiser un travail collectif

Sources

1 Frises et pavages, comment la nature remplit-elle l’espace ?C-P BruterJournée pédagogique ARPAM, Valenciennes, 5 juin 2002

2 Architectures mathématiquesMatthieu GaudAPMEP Ile de France, 2008

3 L’histoire des arts en mathématiquesSandrine IngremeauAcadémie de Guyanehttp://webtice.ac-guyane.fr/math/IMG/pdf/alambra.pdf

4 Maths magiquesLe site de Thérèse Eveilleau http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/jeux_mat/textes/pavage_17_types.htm

5 Introduction aux pavagesÉquipe académique mathématique, C. DrouinBordeaux, novembre 2002http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/profplus/docmaths/pavages/pavage_intro.htm

6 Mathématiques arabes L'Alhambra et ses pavages APMEPhttp://www.apmep.fr/IMG/pdf/3_diapo_alhambra-12_mars.pdf

7 Sous les pavages… la translationDaniel BuretMédialog n°46, mai 2003

8 Quand les zelliges entrent dans la classe… Etude de la symétrieMarc MoyonEditions le Pommier, 2009