Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)

7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)

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C0UR.S D ANALYSE



L a uc h

Professeur à 1’Ecole Polytechnique

et 3. la FacultÇ des Sciences de Paris

MATHÉMATIQUE

o u

profes à I’Ecole Polytechnique Paris

I I



@HERhMNN, PARIS 1967

Tous droits de reproduction, rn&ne fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, Y compris

photographie, photocopie, microfilm, bande magn&ique, disque, ou autre, x-~serv~ s pour tous

Pays.

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non expressknent autorisSe, constitue une contmfaçon

passible des peines pr&wes par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d’auteur.



TABLE

Chapi t r e

VI

CALCUL DI FFERENTI EL EXTERI EUR

1

Appl i cat i ons mul t i l i néai r es al t er nées.

l - l

Si gnatur e d une permut at i on

. .

1- 2

Appl i cat i ons symét r i ques et ant i sy-

mét r i ques

.

1-3

Mul t i pl i cat i on ext ér i eur e des f or mes

dJ f f ér ent i el l es ant i symét r i ques

. . . *

1- 4

Pr odui t s ext ér i eur s d . appl i cat i ons

mul t i l i néai r es

. .

1- 5

Al gèbr e extér i eur e deË

.

2

Or i ent at i on d un espace vect or i el de di men-

si on f i ni e sur l R .

2- 1 Pr em èr esdéf i ni t i ons . .

2- 2

Aut r es mÇt hodes d or i ent at i on d un

espace vect or i el

.

2-3

Pr opr i ét es des +- f or mes ant i symét r i -

ques

. . .

3

For mes di f f ér ent i el l es sur un espace af f i ne

3-1

Déf i ni t i ons et pr em er s rÇsul t at s .

3-2

Pr odui t ext er i eur de f or mes di f f ér en-

t i el l es . . .

3-3

For me di f f ér ent i el l e associ ee a l a dé-

r i vée d une f onct i on . .

3-4

I mage r éci pr oque d une f or me di f f éren-

t i el l e par une appl i cat i on

. .

3-5

For mes di f f ér ent i el l es sur une var i ét é

abst r ai t e . . . .

3-6

For mes di f f ér ent i el l es et champs dans

un espace eucl i di en Or i ent é

. . . . . . . . .

15

24

26

27

29

33

40

40

J 6

48

50

58

58



VI I I

4

Cobor d ou di f f ér ent i el l e ext ér i eur e d' une

f or me di f f Çr ent i el l e ext ér i eur e

4 1

Déf i ni t i ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4- 2 Extensi on au cas abst r ai t

. . . . . . . . . . . .

4 3

I nt er pr ét at i on mécani que de l a di ver -

gence

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4

Cal cul en coordonnees pol ai r es dans R3

4 5

Pr i m t i ve ext ér i eur e d' une f or me

di f f érent i el l e

. . *. . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Or i ent at i on des var i ét és di f f er ent i abl es sur

l e cor ps des r éel s

5- 1

5- 2

5- 3

5- 4

5- 5

5- 6

5- 7

5- 8

5- 9

5- 10

5- 11

Syst eme cont i nu d' or i ent at i on d' une

var i et é

. .

Compar ai son de deux syst èmes cont I nus

d' or i ent at i on

. . . .

Or i ent abi l i t é et or i ent at i on d' une

var i ét é

. . . . . .

Or i ent at i on d' l var i ét é par des car t es

CO- or i ent abl es

. . . . . . . .

Or i ent at i on d' l var i ét é par des champs

de vect eur s cont i nus . . . . . . .

Or i ent at i on d' une var i ét é par l e si gne

des f or mes di f f ér ent i el l es r Çel l es .

Exempl e d' une var i ét é non or i ent abl e,

l a cei nt ur e de I bi us , . . . , . . . . . . . . . .

Or i ent abi l i t é des var i ét es. compl exes. .

Or i ent at i on t r ansver sal e d' une var i et e

de di mensi on N - 4 dans un espace

af f i ne de di m N

. .

Or i ent at i on t r ansver sal e par l es champs

cont i nus de vect eur s nor maux .

Par t age de l ' espace en r égi ons par une

hyper sur f ace

. . .

61

61

69

73

76

78

87

87

90

91

92

93

94

95

99

99

102

105



I X

5- 12

Or i ent at i on t r ansver sal e d une hy-

persur f ace et par t age de l espace

en r égi ons . . .

5- 13

Rel at i on ent r e l or i ent at i on t r ans-

ver sal e et l or i ent at i on t angent i el l e

5- 14

Not r e uni ver s physi que est une var i e-

t e or i ent abl e . . .

110

113

120

6

I nt Çgr at i on d une f or me di f f ér ent i abl e sur une

var i ét é Or i ent ée

6- 1

Mesur e de Radon

. .

6- 2

I nt Çgr al e d une f or me di f f ér ent i el l e

de degr ém sur une var i ét é Or i ent ée

de df r n. n.

6- 3

Pr opr i ét es 616ment ai r es de l i nt Çgr al e

6- 4

Cal cul pr at i que de l i nt Çgr al e

6- 5

Maj or at i on de l i nt égr al e

. .

6- 6

Appl i cat i on aux cal cul s pr at i ques .

6- 7

Cas d une hypersurf ace d un espace

eucl i di en . . .

6- 8

Transf or mat i on par di f f éomorphi sme .

6- 9

I nt égr al e d une f or me di f f ér ent i el l e. .

6- 10 Propr i et Gs de l i nt égr al e d une f or me

di f f er ent i el l e sur une var i ét e s i n-

gul i èr e . . . . .

6- 11 I nt égr al e de f or mes di f f ér ent i el l es sur

des var i ét és prÇsent ant des si ngul ar i t Çs

6- 12 I nt Çgr al e cur vi l i gne

. . .

6- 13

I nt Çgr al e cur vi l i gne sur un chem n ar -

bi t r ai re de l ongueur f i ni e. . . . . . . . . . .

122

122

128

128

129

130

134

140

142

144

146

147

149

152

7

For mul e de Stokes

156

7- 1

Var i et és avec bor d . . . . .

156

7- 2

Var i et es avec pseudo- bor e

158

7- 3

Or i ent at i on du pseudo- bord

. .

159



7- 4

Théor ème de Stokes el ément ai r e .

7- 5

Theor ème de St okes génér al

. .

7- 6

Cas par t i cul i er n = 4 . . . .

7- 7

Cas par t i cul i er 1 = Z . . . . . . . . . . . . . .

7- 8

Formul es i nt Çgr al es remarquabl es en

anal yse vector i el l e . . . . * . . . . .

7- 9

Règl es de t r ansf or mat i on des i nt Çgr al es

en anal yse vector i el l e . .

8

Appl i cat i on de l a t hÇor i e des f or mes di f f ér en-

t i el l es à l a t opol ogi e al gébr i que

8-1

8- 2

8- 3

8- 4

8- 5

8- 6

8- 7

8- 8

8- 9

8- 10

8- 11

8- 12

8- 13

8- 14

I nt égr al es aes f or mes di f f ér ent i el l es

f er mees sur l es var i ét és compact es

sans bord . . . . . .

I nt Çgr al e d' un cocycl e sur un cycl e

.

Dét er m nat i on d' une f or me di f f &en-

t i el l e cont i nue par ses i nt égr al es. .

Theor eme de De Rham

. . .

Appl i cat i on aux f onct i ons ar gument s'

dans R2

. . . . . ‘

Opér at i on d' addi t i on sur l es cycl es .

Cycl es homol ogues à 0

. . .

Homol ogi e des cycl es . . .

Homot opi e

. . . . . . .

Rel at i on ent r e l ' homot opi e et l ' homol o-

gi e

. . . .

. .

Espaces si mpl ement connexes

. . . . . . . . .

La f or me di f f ér ent i el l e ' Angl e sol i de'

Homol ogi e dans l e compl ément ai r e d' un

ensembl e f i ni d' un espace af f i ne . .

Expr essi on g&&al e des cl asses d' ho-

mol ogi e . . . . . .

161

167

176

178

180

185

188

188

190

192

194

199

201

202

206

211

219

225

230

236

237



X I

8 - 1 5

n d i c e' u ny c l eei m e n s i o n- 4

p a ra p p o r t no i n t

. - . . . . . . . . . .

2 4 7

8 - 1 6

n v a r i a n c e e' i n d i c ea ré f o r -

m a t i o no n t i n u e

. .

2 4 9

8 - 1 7a r i a t i o n e' i n d i c eu a n dnr a -

v e r s e' i m a g e uy c l e.

2 5 2

8 - 1 8

p p l i c a t i o n aé t e r mi n a t i o n e s

i n d i c e sa n se si v e r s e sé g i o n s

5 5

8 - 1 9

l a s s e sé s i d u e l l e s' u no c y c l e

s i n g u l a r i t é ss o l é e s

. . .

2 5 8

8 - 2 0

e g r Ço p o l o g i q u e' u n ep p l i c a t i o n

c o n t i n u e

. . .

2 6 0



XI I

I NDEX

Al ember t ( Theorèmede d ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Al gèbr e ext ér i eur e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Angl e sol i de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c n homol ogi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cm homotopi e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Car t e coor i ent abl e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cl asses r ési duel l es d un cocycl e à si ngul ar i t Çs

i sol ées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cobor d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cocycl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cohomol ogi e ( Espace vect or i el de)

. . . . . . . . . . . . . . .

Cycl e

{-

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Homol ogue a zér o

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Décomposabl e ( For me de degr Ç k) . . . . . . . . . . . . . . . . .

Di f f ér ent i at i on ext ér i eur e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Di f f ér ent i el l e ext ér i eur e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Di f f ér ent i el l e f er mée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Di mensi onnel l ement négl i geabl e ( var i ét é)

Di ver gence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

For me di f f ér ent l el l e

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

sur une var i ét é abst r ai t e

WF

or me f ondament al e d un espace Or i ent é

. . . . . . . . . .

Gr adi ent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

axi al e

Gr andeur

1

d espèce i mpai r e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t or due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Homot opi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

à zér o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

263

26

230

202

212

92

258

61

68

208

160

202

19

68

Gl

68

148

70

40

58

33

69

39

39

39

211

220



XI I I

I ndi ce d un cycl e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

247

I nt egr al e cur vi l i gne

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

I nt Çgr al e d une f or me di f f ér ent i el l e . . . . . . . . . . . .

128

Lapl aci en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mesur e pol ai r e sur une var i ét é

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Msbi us ( cei nt ur e de)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

OpÇr at i on Cobord

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Or i ent at i on

l

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- t r ansver sal e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

- du pseudo bor d . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Par t age d un espace

l

par une hypersur f ace

en r égi ons

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Poi ncar é

( Theor eme de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pot ent i el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pr i m t i ve ext Çr i eur e d une f or me di f f Çr ent i el l e

d espaces

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pr odui t ext Çr i eur

1

d appl i cat i ons mul t i l i neai r es

de f or mes di f f Çr ent i el l es . . .

Pseudo var i ét és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

De Rham ( Theor ème de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ri emann

( For mul e de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rot at i onnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rouche ( Theorème de)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Schander ( Theorème de)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Si mpl ement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

St okes ( For mul e de)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Syst eme cont i nu d or i ent at i onsd une var i et t ?

. . . . .

Travai l d un champ de vect eur s

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

127

95

68

27

99

159

105

106

79

181

78

15

24

46

148

194

178

71

263

266

225

161

87

180



XI V

Var i ét h à poi nt s si ngul i er s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Var i t h avec bor d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Var i été avec pseudo bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Vol ume al gÇbr i que d' un par al l èl i pi pède

. . . . . . . . . .

33



x v

DEFI NI TI ONS ET AXI OMES

FORMES SYMETRI QUES ET ANTI SYMETRI QUES : E' j

F

symét r i que si ,

pour t out e per mutat i on G dans EN

:

CO c

4 t

OU/

- 4

ant i symét r i que si

ORI ENTATI ON

On di t qu' on a Or i ent é l ' espace vect or i el 2 si l ' on a di s-

t i ngué l ' une des cl asses de bases Or données de E comme Gt ant

l a cl asse posi t i ve ou di r ecte,

( et l ' aut r e comme ét ant l a cl asse

nÇgat i ve ou r ét r ogr adej .

FORME DI FFERENTI ELLE

On appel l e f or me di f f ér ent i el l e de degr Ç , t G, ur un ouver t

J

d' un espace af f i ne

E

al eur s dans un espace vect or i el nor -

mé F une appl i cat i ons? de f i dans l ' espace

appl i cat i ons / V -

9; ( Ëq; F) des

l i néai r es ant i symét r i ques cont i nues de ËT

dans 7.

ORI ENTATI ON ET ORI ENTABI LI TE

- On appel l e syst eme d' or i ent at i ons d' une var i ét é

V u

choi x, pour chaque CL de

V

' une or i ent at i on de

l ' espace vect or i el t angent T+( a;

V I

-

n di t qu' i l est cont i nu en un poi nt CL el at i vement à

une car t e 3 dont l e but r ecouvre GL

y

i l a f onct i on 0

( qui vaut & 1 sel on qu' à l a cl asse posi t i ve de RR cor -

r espond par @ l a cl asse posi t i ve ou négat i ve de?( &; v) )

est cont i nue au poi nt M = CD- ' ( k)

.



XVI

- On di t qu' une var i ét é V

de cl asse C4

de di mensi on 1%

est or i ent abl e, si el l e pksède au moi ns

t i nu d' or i ent at i ons.

& syst ème con-

On di t qu' el l e est Or i ent &e si con a

f i xé un t el syst ème cont i nu,

qui s' appel l e al or s une

or i ent at i on de 11

.

-

n di t qu' un syst èmef i d' or i ent at i ons t r ansver sal es d' une

var i ét e 2 est cont i nu en un poi nt

de c si , pour t out

champ de vect eur s F: x -

? Cef i ni sur c , ont i nu

au poi nt a et t r ansver sal ,

l e si gne du vect eur F(Z) ,

par rappor t à l ' or i ent at i on t r ansver sal e 3% ( ~1

est une

f onct i on cont i nue au poi nt d , ' est - à- di r e const kt e

dans un voi si nage de a

.

PARTAGE EN REGI ONS

- On di t qu' un espace t opol ogi que connexe E est par t age par

Y

ensembl e A en - & r égi ons, si l e compl ément ai r e de a

CompoSant eS connexes .

VECTEUR TRANSVERSAL RENTRANT.

x hyper sur f ace de cl asse

C’

d' un espace af f i ne E ouver t

de E t el que c nvsoi t f ermé et par t age v en deux r egi ons %$

et

Uz *

Soi t a un poi nt de x adhér ent à l a f oi s à 1 et uz.

- On di t qu' un vect eur F de Ï ? t r ansver sal en d a Z

est r ent r ant par rappor t à l a kgi on v, de v s' i l est

l e vecteur ' vi t esse i ni t i al e" pour une t r aj ectoi r e de

cl asse C. '

, M :

( - k )~ 0 $ t < t o, ent i èrement Si t &e

dans l a r égi on ' l J , de u pour t 1 0 , avec M ( O) = b,

I NTEGRABI LI TE D' UNE FORME DI FFERENTI ELLE

Si 7 est une var i ét é de di mensi on n et de cl asse ( ' ,

Or i ent ée,

et si z est une f or me di f f ér ent i el l e cont i nue, de

degr é Q, sur v ,

n di t que z est i nt égr abl e sur V si , [ z] ~.

ét ant l a mesur e de Rc don

assoc iée à V

et w

,

st i nt égr abl e

par r appor t a [ Z- J ; ; on not e al or s l ' i nt égr al e

1

Z:

V



XVI I

HOMOTOPI E

- On di t que deux appl i cat i ons sont homot oves s i l exi st e

une dÇf ormat i on cont i nue de l une dans 1 aut r e.

- On di t qu une appl i cat i on est homotope a si el l e est

homot ope à une appl i cat i on const ant e.

ESPACE SI MPLEMENT CONNEXE

On di t qu un espace topol ogi que x est si mpl ement connexe,

si t out e appl i cat i on cont i nue d une ci r conf ér ence du pl an dansx

est homot ope à 0



TABLE

Chapi t r e VI I

FONCTI ONS DE VARI ABLES COMPLEXES

§

1

§ 2

3

DERI VABI LI TE PAR RAPPORT AU CORPS DES REELS

ET AU CORPS DES COMPLEXES

R dér i vabi l i t é et c der i vabi l i t h .

I nt r oduct i on des symbol es

b E

Fonct i on har moni que . . .

278

THEORI E ELEMENTAI RE DES FONCTI ONS HOLOMORPHES

D' UNE VARI ABLE COMPLEXE : FORMULES I NTEGRALES

DE CAUCHY

Pr em er e f or mul e i nt égr al e de Cauchy .

281

Pr i m t i ve d' une f onct i on hol omor phe

.

284

Thdorème de Poi ncarÇ . . .

288

Deuxi eme f ormul e i nt égr al e de Cauchy .

289

CONSEQUENCES DE LA 2ème FORMULE I NTEGRALE

DE CAUCHY

Pr opr i ht ds g al es des f onct i ons hol omor -

phes

. . . . .

I n al i t és de Cauchy . . .

271

275

295

299



XI X

DÇvel oppement en sér i e de Tayl or . . . *. .

303

Fonct i ons anal yt i ques .

305

Theorème de l a moyenne .

310

Maxi ma r el at i f s l ar ges

.

311

Fonct i ons ent i er es . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .

323

Theor ème de conver gence de Wei erst r ass. .

326

4

FONCTI ONS MEROMORPHES. POLES ET POI NTS SI NGULI ERS

ESSENTI ELS. THEORI E DES RESI DUS. CALCUL DES I NTE-

GRALES PAR LA METHODE DES RESI DUS.

Devel oppement de Laur ent .

Comport ement d' une f onct i on au voi si nage

d' un poi nt si ngul i er essent i el

. . . . . . . . .

Conservat i on des r i dus des f or mes di f -

f ér ent i el l es par c- di f f domor phi sme .

Sur f ace et sphère de Ri emann .

329

336

346

348

Gendr al i sat i on de l a l èr e f or mul e de

Cauchy

.

350

Gener al i sat i on du t héor ème des rési -

dus .

350

I nt er pr Çt at i on des rési dus sur l a

sphere

. . *. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

C. N. S. de m omorphi e dans c

. . . . . . .

355

358

Z os et pôl es d' une f onct i on mkomorphe

359

Ext ensi on aux sur f aces de Ri emann .

367

Prem er pr obl eme de Cousi n dans l e pl an

compl exe

.

369

DÇvel oppement de

l - ? n

b&?lT~ c.&q

l

-*

372

4

Sommat i on des ski es de Ri emann _

-llSf

376

Nombr es de Ber noui l l i .

378

Prem er pr obl eme de Cousi n sur une sur f ace

de Ri emann

.

379



x x

Deuxi eme pr obl ème de Cousi n sur une

sur f ace de Ri emann . . . .

DÇvel oppement de hk n

3

en pr odui t .

Theor eme d' Hadamar d . .

5

APPLI CATI ONS DU THEOREME DES RESI DUS AU CALCUL

D' I NTEGRALES DEFI bJ I ES.

j

- 2 7 r

Exempl e 1 :

X ( c 0 df -

r at i onnel l e

. .

Exempl e 2 : nt égr al es sur l a dr oi t e r éel l e .

Théor ème 32 :

al cul de val eur pr i nci pal e de

Cauchy

. .

Appl i cat i on au pr odui t de convol ut i on

. . . . . . . .

I nt r oduct i on de f act eur s exponent i el s

. . . . . . . .

Appl i cat i on à l a t r ansf or mat i on de Four i er .

Exempl e 3 :

I nt égr al es de 0 à + cw sur l a

dr oi t e

. . .

6

FONCTI ONS ELLI PTI QUES ( Voi r f asci cul e)

7

COMPLEMENTS DE TOPOLOGI E GENERALE. THEOREMES

D' ASCOLI ET DE MONTEL.

Espaces sem - mÇt r i ques . . .

Cont i nui t e, cont i nui t e uni f or me . . . , . . . . .

St r uct ur e uni f or me, l i pschi t zi enne

.

Sui t es de Cauchy, espaces séquent i el l ement

compl et s

. . .

Espaces vect or i el s sem - nor més

:

Exempl e 1 :

onvergence si mpl e

. .

Exempl e 2 :

onvergence uni f orme . . . . . . . . .

Exempl e 3 :

convergence compact e . .

Exempl e 4 :

space de f onct i ons ddr i vabl es

Exempl e

5 :

Espaces de f onct i ons hol omorphes

382

385

388

390

392

397

398

404

411

421

425

428

430

432

434

4%

441

442

443

444



XXI

Ensembl es bor nés dans un e. v. t .

. . . . . . . . . . . . . .

Ensembl es 6qui cont i nus d appl i cat i ons et l es

t héor emes d Ascol 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

er t h6or eme d Ascol i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2ème t héorème d Ascol i . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Compl ément s t opol ogi ques - Théor èmes de Bai r e

et Banach- St ei nhaus

Theor ème de Banach St ei nhaus . . . . . . . . . . . . . . . . .

3ème theorème d Ascol i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pr opr i ét e de Mont e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Theor ème de Mont e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Appl i cat i ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

447

449

45

452

457

463

47

471

473



XXI I

I NDEX

Ber noui l l i ( Nombr e de)

Cauchy- Ri emann ( Condi t i ons de)

Cor ps de Banach

Cousi n : r em er pr obl ème

deuxi ème pr obl ème

Sur une sur f ace de Ri emann

Ent our age

Equi l i pschi t zi en

Espace

:

e Bai r e

sem - mét r i que

séquent i el l ement compl et

uni f orme

uni f or m sabl e

Fam l l e f i l t r ante

Fonct i ons C mol omor phes

ent i èr es

K

nal yt i ques

mér omor phes

I v -

val ent es

r éel l es harmoni ques Conj uguées

For mes di f f ér ent i el l es hol omornhes sur une sur f ace

de Ri emann

Formul es :

l èr e

i nt égr al es de Cauchy : h m

Gel f and

Hadamar d

Har moni que

Xn al i t és de Cauchy

Laur ent ( Sér i es de)

Li m t e l ocal ement uni f or me

3

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

i

4

2

3

3

3

3

2

349

2

2

3

3

2

2

3

4



XXI I I

Li ouvi l l e

322

Li pschi t z- équi val ence de deux t opol ogi es

43

Logar i t hme

285

Mazur - Ul am

325

Mor er a

297

Moyenne ( Th6or me de l a)

31

Par t i e mai gr e

456

Pi card ( Théor ème de)

338

Poi nt r egul i er

334

Poi nt s i ngul i er essent i el

334

Pol e d' or dr e m

334

R i dus :

heor ème ext ér i eur

344

Théor ème i r kt ér i eur 339

334

i e s

Res

Sem - boul e

Sem - di st ance

S i es de Ri emann

Spect r e d' un opérateur dans un espace

Spect r e d' un él ement d' une al gèbr e de

Sphere de Rl emann

Sur f ace de Ri emann

de Banach

Banach

Uni f orme- équi val ence de deux t opol ogi es

Wei er st r ass

:

hhor eme de conver gence

t heor eme r el at i f au poi nt si ngul i er

essent i el

r el at i f au 2eme pr obl ème de Cousi n

Zer o mul t i pl e

d' or dr e

+

336

426

425

376

323

324

352

348

43

326

337

382

43



COMPLEMENT SUR LA CONVERGENCE SI MPLE ET

UNI FORME DE LA SERI E ET DE L' I NTEGRALE DE

FOURI ER

' L eh a p iX I I ,

a s a n a l

q u o iu r bo

a p p a rn b a l% ' ée

e t u g m e

r é p ao u ra r al t

s o u so r m ee i v r em p r

0 t

a u mp

c i a l e

Chapi t r e XXI I

ESPACES HI LBERTI ENS

5 1 FORMES SESQUI LI NEAI RES

2

ESPACES PREHI LBERTI ENS

L E

HEOREME DE PROJ ECTI ON

4

APPLI CATI ONS AUX SOUS- ESPACES VECTORI ELS

FERMES D' UN ESPACE HI LBERTI EN

§ 6 SOMMES DI RECTES HI LBERTI ENNES, BASES

e

HI LBERTI ENNES

$ 7 ADJ OI NT D' UN OPERATEUR

$ 8 OPERATEURS COMPACTS

1 Si 23

16

28

44

58



C LCULDIFFÉREiiTIELEXTÉRIEUR

1 APPLICATIONS MULTILINÉAIRES ALTERNÉES

Soi t J un ensembl e f i ni ,

G

l ' ensembl e de ses permut a-

t i ons,

c' est - - di r e des bi j ecti ons de. J sur l ui - même.

Si l ' on appel l e r ? l a Composée TO 7J des permut at i ons

6 et T,

G

on sai t que l a l oi de composi t i on( cT' , +C- ( TT

f ai t de un gr oupe,

appel é groupe des permut at i ons de J .

l ' héor eme 1 -

I l exi st e une appl i cat i on 6 et une seul e, C- 6

o- '

CiU

grou e

6 des per mut at i ons d' un ensembl e f i ni J , dans

l ' ensembl e a deux él ément s + 1 , -1

i

, ayant

l es

pr opr i ét és sui vant es :

1 est l a per mut at i on i dent i que

3’ I Efl =- 1

, cT est une t r ansposi t i on, c' est -

a- di r e une

er mut at i on l ai ssant t ous l es el ément s i nva-

Change l ' un avec l ' aut r e.

L' ensembl e des deux él ément s +- l - 1

, muni de l a

l oi de mul t i pl i cat i on,

est un gr oupe dont 1 él ement + 4

est l ' él ément neut r e.

La condi t i on 1“) et l a condi t i on 2' )

expr i ment al or s que l ' appl i cat i on E

r espect e l es st r uc-

t ures de groupe de 6 et de {+{

, _l} .

El l e r espect e en



4

ef f et l a l oi de mul t i pl i cat i on et l ' él ément neut r e; el l e

r espect e al or s aussi l e passage l ' i nver se, car on a

nhessai r ement :

PM J

E~-lfir - c-lr = y

1 ,

ce

qui pr ouve que BV_l

c' est - à- di r e égaux) .

et e sont i nver ses l ' un de l ' aut r e

Démonst r at l on - Tout d' abor d l ' unl ci t é de l a f onct i on

est evi dent e; el l e est en ef f et connue sur t ous l es cl ément s

6 qui sont des t r ansposi t i ons de

J

comme al or s t out e

per mut at f on est pr odui t d' un nombr e f i ni de t r ansposi t i ons,

l a cof i di t i on

él ément s de

6?

' ) mont r e que 0 est connue pour t ous

l es

, et par conskquent uni que. I l nous r est e

donc à démont r er l ' exi st ence de l a f onct i on .

Pour cel a, nous pouvons t ou, j our s supposer que l ' ensembl e

est l ' ensembl e 1, ~

i

9. a. 9

N

1

Consi dér ons al or s l e pr odui t

:

(J r,1SI

P

=.n

.Q

&,j*ST,L~

-it)

sic? :i

+r&= F(G) , est une per mut at l on de J , nous

@r,l;3~

poserons

:

On a al ors évl demment l a r el at i on

@L, 1; 4)

6

P) = P

, avec

où V( 6) est ce qu' on peut appel er

de

l a per mut at i on c , c est - - di r e

( i , j ) t el s que

1 ei -c j < t4

et

On en dédul t al or s que,

si 4 est

que de l ' ensembl e des N. pr em ers

meme, on a aussi

:

une appl i cat i oi quel con -

ent i ers 2~4

dans l ui -

b

+,y,

l e nombr e d' l nver si ons

l e nombre

de

coupl es

que 6 > 5



5

Si al or s c, z- ,

sont deux per mut at i ons, on a l es r el at i ons :

b<

3

d' où l ' on dÇdui t l a r el at i on 1 ) .

La condi t i on 2O) est t r l vl al ement vér l f i ée.

La condi t i on

3’

l ' est aussi . Si en ef f et cr est une

t r ansposl t l on échangeant l es deux ent l er s 4 t fi et

l ai ssant t ous l es aut r es i nvar i ant s, et si l ' on suppose

par exempl e d L J 3 ,

on voi t quec n' i nt r odui t

pas

d' i nver si on pour l e coupl e ( LJ 1 ) SI i et j sont t ous

l es deux c q ou t ous l es deux z

J ;

I l i nt r odui t

une i nver si on pour l e coupl e ( H , k) et pour l e coupl e

( - k, f ) si M - = k L f i

.

Tout ceci , j usqu' i ci , i nt ro-

dui t donc un nombr e pai r d' i nver si ons; si , enf i n, nous

consi dér ons l e coupl e w, p , I l subi t exact ement une ’

i nver sl on pui squ' i l devi ent l e coupl e ( / , q ) .

I l exi st e donc au t ot al un nombr e i mpai r d' i nver sl ons,

et 6c

vaut bi en- 1 ,

si c est une t r ansposi t i on.

La ouant i t e Ef l ’ ppel l e l a si gnat ur e de l a per mut a-

t i on 6 . C' est don: & nombr e Çgal a f 4 4 i l vaut

+1ou-1 ,

sel on que 6 peut s' expr i mer comme

produi t d' un nombr e pai r ou d' un nombr e I mpai r de

* En pr enant t ous l es t ermes du pr odui t du l er membr e,

on obt i ent en ef f et une f ol s et une seul e t ous ceux du

produi t du 2eme membre, au si gne pr ès; l e nombre des

changement s de si gne est pr éci sément 9 ( o- )

.

**

Zn appl i quant ( VI , l ; F) , A condi t i on d' y r empl acer

par cr et 6 par 7

.

4



6

t r ansposi t i ons;

ce qui prouve que l a par i t é du nombre de

t r ansposi t i ons dont l a composi t i on donne a est , pour b

f i xge, t ouj our s l a même *

.

Si & = + 1

( r esp - 4 ) ,

on di t que r

est une per mut at i on pai r e ( r esp i mpai r e)

Soi ent

E

t eux ensembl es quel conques, N un ent i er

2 1, et

4

une appl i cat i on de E N

ans F

i

l or s 6

est une per mut at i on de l ' ensembl e d' ent l er s 1, 2

. ,

; ; n; p; el l e t r ansf or mée de 4 par cY l ' appl l cat i onr ] de

E

,

éf i ni e par l a f or mul e :

On a

On di t que l ' appl i cat i on, de E Nans F st symét r i -

sue, si el l e est i nvar i ant e par t out e per mut at i on T ;

aut r ement di t , si , quel l e que Soi t ( 7 E @

J r $ = +;

ou encor e si , quel s que soi ent z, ,a~~,..., scN E ,

CT

, ona:

Si mai nt enant F

l ' appl i cat i on

T

est un espace vect or i el , on di t que

de EN dans Test ant i symét r i que, si

-

-

l ' on a l a r el at i on

* Cel a n' est pas du t out évl dent a pr i or i ; i l n' est pas

évi dent qu' on ne pui sse pas obt eni r l ' i dent i t é comme

pr odui t d' un nombr e i mpai r de t r ansposi t i ons convenabl e -

ment choi si es; c' est seul ement l e t héor ème 1, c' est - à-

di r e l ' exi st ence de l a f ' oncti on si gnat ur e & , qui l e

prouve



ou encore,

si

et

cc6

l ' on a, quel s que

, . l a r el at i on

soi ent =, , , =

L. . . . ,

cN dans E

-

Cel a r evi ent t i di r e que c = -

7 pour t out e

t r ansposi t i on 6 . Car al or s,

SI ~ e?5t Le permut at i on 4

quel conque,

el l e e t un pr odui t de t r ansposi t i ons,

f

et r j

est l e pr odui t de

par une pui ssance de ( - 1 ) égal e au

nombr e de ces t r ansposi t i ons,

c' est - &- di r e pr éci sement

par &r .

-

4

On appel l e symét r i sée

d' une appl i cat i on

S

de EN

dans un espace vect or i el

, l a f onct i on déf i ni e par

ou encor e

ou encor e :

Théor ème 2 - Pour qu' une appl i cat i on de EN dans un espace

vectori el F soi t symet r i que ( r esp. ant i symet r i que) , i l

f aut et i l suf f i t qu' el l e soi t l a sy- mét r i sée ( r esp. Tan-

t i symét r i sée) g' une appl i cat i on de EN dans F .

Démonst r at l on - Donnons par exempl e l a démonst r at i on dans

l e cas ant i symét r i que. Tout d' abor d une f onct i on ant i symé-

t r i que est egal e à

f oi s l ' anci symét r i séed' el l e-

même.



8

On a en ef f et ,

( vI , l ; g) ,

Ci’GU

pour t out e permut at i on c

, l a rel at i on

dant aux N

en addi t i onnant l es f or mul es cor r espon-

per mut at i ons, l a f or mul e

Mont r ons ensul t e que Yant i symét r i sée d' une f onct i on est

t ouj our s ant i sym6t r l que.

Si en ef f et T est une per mut at i on de l ' ensem i l e des

N pr em er s ent l er s, on a l a f or mul e

:

ce qui pr ouve not r e af f i r mat i on.

On di t qu' une appl i cat i on de

EN

dansF est al t er nee,

si el l e pr end l a val eur 0 pour t out syst me de N él ément s

X

1 ’

X ,..., =fq

,

de

E

dont deux cobci dent .

Théor ème 3 - Pour qu' une appl i cat i on mul t i l i n~ai r edeËN dan. sF,

r et 7 sont des espaces vect or i el s sur l e cor ps K

des réel s ou des compl exes, soi t ant i symét r i que, i l f aut

et i l suf f i t qu' el l e soi t al t ernke.

D6monst r at l on

- Vont r ons d' abor d que t out e appl i cat i on

ant l symc5t r i que

dans un espace

en ef f et X,

et si

35. =

t i

t l on :

de EN

, OÙE est un ensembl e quel conque,

vect or i el r

, est t ouj our s al t er née. Si

, =a >**O>=N

,

sont des Gl ément s de E ,

33.

2

, al or s on a nécessai r ement l a r el a-

* L' opi r at eur

est l i néai r e, donc

Car ,

l or sque 6 par cour t G , 70- par cour t ( 3 une

f oi s et une seul e.



9

SI 1'

09 appel l ec l a t r ansposi t i on échangeant l es deux

616ments + et '

1

et l ai ssant l es aut r es ent i er s i nvar i ant s;

mai s, d' apr ha l a r el at i on d' ant i symét r i e, on doi t avoi r

aussi

ce qui pr ouve que l es deux

membres sont nul s.

Mont r ons mal nt enant que t out e appl . i cat i on mul t i l i ai r e

Ut ernée de

Ë’

dansF , o

Ë

et r sont t ous l es deux des

espaces vect or i el s,

est nécessai r ement ant i symét r l que.

Si en ef f et

sont des vect eur s

quel conques de Ë

K

Fz l . . TN

on a,

l a r el at i on ( où 1 < j

en ver t u de l a mul t i l i néar i t é de

)

:

4

O r,+; 9)

Mai s, pu3. squer

est Supposée al t er née, un cer t ai n nombr e

des t er mes Çcr i t s sont nul s, et on en dédul t l a r el at i on

qui prouve quer change de si gne quand on

f ect ue une

t r ansposl t l on sur l es var i abl es, donc que

est ant l symé-

t r l que, ce qui démont r e l e t hhor kme.



10

SiË etF

sont des espaces vect or i el s,

et kï i Z est

une appl i cat i on +

- 1i néai r e ant i symét r l que

de zf

dans. 7,

on pr endr a sozent l ' habi t ude d' i nscr l c l e nombr e p

au- dessus de &L

,

et de l a not er aI nsi &

.

On di r a

aussi que Z est une

d. e degr é & , Sur Ë

- f or me exter i eur e, ou f or me,

, à

val eur s d2ns- T - * .

,

*

-

~i et F ~~I I L normes, l ' ensembl e A

p(r’;F Ides

appl i cat i ons p - 1i neai r es ant i symét r i ques cont i nues de

Ëj ' dansF est évi demment un espace vect or i el , qui esL

un sous- espace vect or i el de l ' espace vect or i el J ?( Ë F)

% t out ezl es appl i cat i ons f - l i neai r es cont i nues de

Epdans F .

Dans l e cas par t i cul i er OÙFest l e cor psK des

scal ai r es, au l i eu de A& on écr i t aussi A

P J

E ;

n' est aut r e que E’ , dual de E

.

Un

él ement deE' s' appel l e aussi un CO- vect eur Sur Ë .

Un el ement de A’p s' appel l e= al or s un+ - covect eur

sur ËT ; un el esent de AxV( zr ; F) un+

- covect eur sur E

C val eur s dans F

.

Pour += 0 , on convl endr a que AgO ( ?; F) est

l ' espace vect or i el r l ui - même, et par consequent l e cor ps

es

scal ai r es sl F= K

Soi t Ë- un espace vect or i el de di mensi on N, de

él ément de ËN , et appel ons X-

l a j - l &me Coor donnée

du i - i cme vect eur ?; .

*>d

”

-

*

f orme est I ci un abus de l angage, pui squ' une f orme est

habl t uel l ement a val eur s scal ai r es. Pour +, = 4

, cel a

r evi ent à di x- 2 qu' on appel l e 1 - f or r _ne f or me sur

Ë

val eur s dans F un 6l émeQt de &

( E ;

FJ . Not er aussi

qu' on

di t + - f or me . sur E , et non sur gp, ce qui est aussi

une si mpl i f i cat i on de l angage.



Al or s l ' ant i symet r i s6e de l a f or me t. l 1i néai r e ( scal ai r e)

n' est aut r e que l a f onct i on dét er m nant , qui , a chaque

syst eme de N vect eur s, f ai t cor r espondr e l e dét er m nant de

l eur s coor donm r appor t à l a base consl der 6e.

Démonst r at i on -

Cet t e ant i symét r i sée est déf i ni e par l a

f or mul e :

qui est l a déf i ni t i on mèm du dét erm nant , donnee en mat hé-

mat i ques sp, éci al es. Dans l a sui t e, nous not er ons ce dét er m -

Théorème 5 -

SI Ë et 7 sont des espaces vect or i el s, . sJ r est de

dl mensi or f i nzN et muni d' une base, une appl i cat i ons? der p

dansr est+- l i néai r e ant i symét r i que,

si et seul ement si el l e

s' expr i me sous l a f orme :

tt

où l es quant i t es zj , , i L, , . , , j J

; Ont des el ément s de r _.

Cet t e expr essl on est al or s uni q e, e on a

MA

f orment donc une base de J ' espace , q' F'

j

s f or mes_ / L- l i n64ai r esant l symet r i aues sur r P



1 2

S i Êt 7o n to r ma o r u

-

c

e s

t i e ni n e ae F ) r

?Ë

a i n s iu ea i j eé c

D Ç m o n

d ' é c r

L e a ru le

o ù a o m ms tt e ni U Se sy "

j ,

N a i s ,

I

e we e sn d

o g

s i o nr o u vs tu l lu ls tl

D o n n oo u sl o rn eu iù e uc

i n d i co n tn e gt a na rr e r

s a n t e

, s . .e v

é l

l e se r m eo u re s q

t l o ne

t

' i ,

,...,i’

e s n

c o m: a e

t o u se s

o nao

E n a i s an s ua re y sj .

o b t i ei e na o r mV Iv a e

I n v e r' a i

o uo ne a

s o nr bs v

: l ls n f

p r o

e t o u sv o nu l u sa uu ee e s

m u l t in t io nn



13

Enf l n une expr essi on t el l e que ( VI , l ; 23) est

uni que, aut r ement di t on a nécessai r ement ( V1

-

st hement

, 1; 24) . .

Si,

pour

n ef f et ,

dans ( VI , l ; 23) on f ai t -X-i

zjc.

1,

( symbol es de Kr &ecker ) , ce qui donne bi en

,ü(ë-

, ë-k

L

Supposons Z et ? nor més.

CommeË

est de di mensi on f i ni e,

t out e appl i cat i on mul t i l i néai r e de Ë* dansr est cont i nu

( page 104 du Cour s de 2ème Di vi si on) . Donc z cz

Aap( f";F 1,

Le nombre des d.

-

JpjzV**,j+.

est l e nombr e des par t l es h

p él 6ment s de {I , % .., NJ1

syst &me de zi , , j&,,.,,j?

est donc un

et l a corr espondance ent r e l e syst kme des zs

est donc bi en une bi j ect i on de i

F) f"

' sur A +(Ff;F)

Cet t e bi j ect i on est t r i vi al ement l l néal r e.

El l e est cont i nue, car

Où

11

~,&*~**,jp

l

est l a norme de l a f orme

P

- 1i néai r e

A*

j,~l ****~ &

;

cet t e nor me

est

f i ni e, car I l s' agi t

d' une f or me +, - l i n&ai r e sur ËY

de di mensi on f i nl e,

donc cont l nue.

On a donc une maj orat i on du t ype

donc l a bi j ect i on est cont i nue.



14

La bi j ect i on r Çci pr oque est aussi cont i nue, car

< const ant e X I l &

et l e t hborème est demont r e.

Remar que -

Nous venons donc de mont r er

que,

si

l ' on

l

i

l

i dent i f i e c au syst ème de ses coef f î cl ent s

ai , , ;

.

, .,

L ’

on déf i nl t . une I dent i f i cat i on ent r e A&?( Ë{$; ?i &T( F) "

qui r espect e l as st r uct ur es vect or i el l es, et l es nor mes

B une equi val ence prS. 5.

Nat ur el l ement ,

cet t e i dent l f i cat i oa n' est pas canoni que,

el l e depend du choi x d' une base dans E .

Exempl e -

Prenons l e cas += 2;

en changeant l es not at i ons,

on vol t que l ' expr essi on l a pl us génexal e d' une appl i cat i on

bi - l i nt 5ai r e ant l symet r i que de pdans F est , SI E est muni

d' une base

:

Cor ol l al r e 1 - Tout e appl i cat i on _+ - 1i neai r e al t er née

deË?dansF est nul l e, SI b > n ; al or s l ' espace

4- 6

AA, , ( Ef ; F ) se r edul t à l ' él ement 0 .

Cor ol l ai r e 2 -

Tout e f or meN - l i neai r e ant i symét r l que de

N

E

dans F est l e pr odui t du dét er m nant ( déf l nl au t héo-

r ème

par un vect eur f i xe de F. La f onct i on "det eE; ; n; ; t

d' un syst ème de N vect eur s par r appor t à une base"

seul e appl i cat i on N - 1i néai r e ant i symét r i que de FN dans l e

c- u1 pr enne l a val eur a, our l e sys-

t ème des N vect eur s de l a base.

La di mensi on de l ' espace ANË

est égal e à 1.



La di mensi on de l ' espace A+Ë'

est cel l e

-

Ai nsi l es di mensi ons successi ves des espaces

A0 Él j = K

,

A’Ë’= Et,,_.,

ApË' , . . , , ANËi , , , sont es nombr es

l=

Ci

= Ci,,,..

, c;,... I= CL ,o, o,...

Supposons d' abor d quel soi t l e cor ps des scal ai r es.

Soi ent a, , a ,..., q,, +

1

f or mes l i néai r es sur E .

On peut const r ui r e,

à par t i r de- ces f or mes, un: f or me

+- l i r kai r e ant i symét r i que sur

E? ,

à savoi r 1 ant i symét r i -

sée de l a f or me+- l i nÇai r e

Cet t e ant l symét r i sée est déf l ni e par l a f or mul e :

On convl endr a de désl gner cet t e f orme par l a notat i on de

' pr odui t ext ér i eur

** hi / , t i %I I . . . % /

P

, d' où l a

f ormul e

:

* Nous_avons ut i l l sé, pour démont r er l e cor ol l ai r e

3 une

base de E

mai s aucun changement de base; donc uni quement

l es pr opr i i t és r ésul t ant i mmédi at ement de l a déf l nl t l on des

espaces vect or i el s. Donc l e cor ol l ai r e 3 peut ser VI r . k dÇmon-

t re r que t out es l es bases ont l e mgme nombre d' él ément s;

ce nogbr e,

l a di mensi on N

AN+ E' +] .

est l e pl us pet i t ent i er t el que

wt Ce pr odui t s '

pel l e

pr odui t ext ér l eur ,

car i l n' est

pas- dans l ' espace

F

' des f act eur s,

mal s dans un aut r e espace

II?E .



16

On a, en par t i cul i er , pour 2 f or mes l I neai r es 4, 4 , I Y ,

sur Ë

a f ormul e :

Consl dérons mai nt enant J o +

q

I A .

1 ’

az ,.*- 4+ , v, ,cz ,... 4

On peut al or s def I ni r l es t r oi s

f or mes l i neaI r es

.

pr odui t s

Appel ons G' ( r esp GM) l e sous- gr oupe de 6 const i t ue

par l es per mut at i ons qui l al ssent l nvar i ant s

' 1%~ q er ni er s

nombr es ent l ers, et ne permut ent ent r e eux que l es+ pr emer

( r esp. l e sous- gr oupe de cel l es qui l ai ssent i nvar l ant s l es

+ pr emer s ent i er s, et ne ver mut ent ent r e eux que l es

q

der ni er s) . On di r a al or s qu une per mut at i on o- appar t i ent

à l a cl asse d' une per mut at i on 7, SI el l e peut s écr i r e

c= ?G' 0- w

, Où : fl’e @Y , rflc w,

Chaque cl asse ai nsl const l t uée compr end F 4 permut a -

t l ons; al or s l a somme5 peut aussi s' écr i r e E

, _ou

8

U ’

ar cour t @ , c' par cour t &' , et où 7 par ~o%~

,

un

ensembl eT de permut at i ons,

cont enant une permut at i on et une

seul e dans chaque cl asse.



7

Mai s al or s on peut écr i r e, d' apr ès l a dÇf i ni t i on

même de l a f or me

?

- 1i nkai r e w et de l a f or me q - 1i néai r eV;

=

ix C T & (

TCT

Mai s b ,

6t ant ant i symét r i que,

ant i symét r l sée,

et V vaut aussi L

( I i

On peut donc écr l r e

:

vaut

f oi s

son

f oi s

;

i on ant i symét r i &e.

( =, 1; 32)

zn ut i l i sant de nouveau t out es l es per mut at i ons,

Cel a pr ouve quewest l ' ant l symét r i sée de l a f or me

( - t ++q

) l i nbai re



Kous sommes donc amenés G. poser l a déf i ni t i on sui vant e :

Si * ( r esp W

)

est une f or meA- l i néai r e ( r espq - 1i néai r e)

ant i symét r i que sur

ËV

( r esp Eq )

al or s on appel l e pr odui t

ext Çr i eur de ces f ormes, et on noi e U, A 0 , l a f or me

déf i ni e comme l ' ant i sym~t r i s~e de

est - &- di r e déf i ni e par l a f or mul e

scal ai r e deK, f i A Q

si + = 0, donc si t i est un

est l a f or me , w f l

pr odui t de

l a f or mef l par l e scal ai r e&

;

de même pour 9' 2 0

.

I l r ésul t e de cet t e déf i ni t i on que, si t e est un pr odui t

AA/ , t i z A

..,A .4A/

F ’

et si V est un pr odui t V, ~ f l zA . . AQ

al or s , 4b A V est t out si mpl ement l e pr odui t , déf i ni di r ee-

t ement ,

G, A +, A l ** A w

Y

fi O,AeY~A...A,lr

9

.

De l a même mani r e,

si hb V, t i , sont r espect i vement

des f ormes +, -

symkt r i ques, on

comme l a f or me

f oncti on

l i néai re , q - 1i néai re , b- l i néai r e, ant i -

déf i ni r a l eur pr odui t extér i eur w A V A WY ,

j--+ Cj +b )

- l i néai r e, ant i symét r i sée de l a

et par conséquent déf i ni e par l a f or mul e



Supposons cpeË soi t de di mensi on f i ni e N , et soi t

è, , &y.*,

c

une base de E .

Appel ons al or s l a

f or me l i néai r e

' i - ème Coor donnée' ,

qui f ai t cor r espondr e,

a t out vect eur de2

, sa i - ème Coor donnée. Al or s on voi t

que l e pr odui t ext ér i eur ( ki , jA (Ei>A...A(E

)

n' est aut r e

que l a f or mep- l i neai r e ant i symét r i que A.

j +

l a f or mul e (v1,1;23), qui ,

$, &>. . . , j i _ de

& chaque syst eme de? vect eur s

~, , ~~, . *&.

f ai t cor r espondr e l e dét er m nant de l eur s

Coordonnées de r angs

La f or me - 1i néai r y:

r epr ésent ée b l a f ormul e

(v1,1;23),

peut désor ma

aussi s ecri r e :

On di t qu' une f orme de degr é l + est décomposabl e, si

el l e est un pr odui t ext ér i eur de

?

f or mes l i neai r es; on

a al or s :

Thbor ème

6 -

Si Ë est de di mensi on f i ni e, t out e f or me {t - l i n&-

ai r e ant symét r i que sur ËT est une comoi nai son l i néai r e

f i ni e de f ormes dÇcomposabl es. Si l es 1 Lorment une base

l es 5 A F A

%r r ki Ü?ï ë b&&e d&' ~~~, . y,

E. 613. s

j, pjz?.**j

j+ > j,q2~-*<j,_/

Desi gnons par J une par t i e quel conque a+ él ément s de

l ' ensembl e d' ent i er s 4, 2. , . . , , t 4 . Appel ons ( i J

t

) l e

pr odui t ext er i eur ( ~ , ~ ( t j Lj A . ..A tjpj

, avec

t ous él ément s deJ

; et appel ons aussi

l a f or mul e ( VI , l ; $) peut

*

Où j3+ (A)

est l ' ensembl e des par t i es b f él ément s

de l ' ensembl e A .



20

Theor Gme

7 -

La mul t i pl i cat i on ext ér i eur e des f or mes mul t i l i né-

ai r es est une opér at i on mul t i l i neai r e et associ at i ve.

Démonst r at i on

mul t i l i neai re,

- Quand nous di sons que l ' appl i cat i on est

nous voul ons di r e, par e empl e, _que 1' ppl i -

cat i on ( *, V, w) - u4 WA w de ( AP& x Aq E' x A% )

dans l e cor ps des scal ai r es K

néai r e;

est une appl i cat i on t r i l i -

aut r ement di t , que l ' on a l es r el at i ons

:

Cet t e pr opr i ét é est évi dent e.

Quand nous voul ons par l er de l ' associ at i vi t e de l a

mul t i pl i cat i on ext ér i eur e,

nous voul ons di r e que l ' on a,

par exempl e, si , w, c, t i

49

sont des f or mes mul t i l i nkai r es

ant i symét r i ques,

des f ormul es du t ype sui vant

:

Cet t e f or mul e est évi dent e si , Q, , v, ~, , sont des f or mes

décomposabl es, c' est - &- di r e si chacune est un pr odui t

ext ér i eur de f or mes l i néai r es du t ype :



21

En ef f et , dans ce cas,

t ous l es t er mes écr i t s dans

( v1, 1; 38) sont égaux à

Mai s par ai l l eur s nous avons vu au t héor ème 6, dans l e

cas où Ë est ae di mensl on f i ni e, que t out e

f or me mul t i l i -

néai r e ant l symét r i que est une combl nai son f l ni e de f or mes

décomposabl es;

or l es di f f ér ent s membr es de ( v1, 1; 38) dépen-

dent t ous mul t i l i néai r ement de ~, v, w, 3

; étant égaux

l or sque ces f or mes sont décomposabl es, i l s sont aussi égaux

dans t ous l es cas. Nous ne donnerons pas l a démonst r at l on

l or squer est de di mensi on i nf i ni e; on se r amène t r ès f aci -

l ement au cas de l a di mensi on f i ni e.

Théorème 8 -

Le pr odui t ext ér i eur des

f or mes mul t i l i neai r es

ant i symét r i ques est ant i

et si w est 4 - l . i neal re,

est déf i ni par l a f or -

k ~r i st r at i on - Le pr em er membr e

( VI , l ; 30) . Mai s,

si nous appel ons 7 l a per mut at i on

qui f ai t passer de 1, 2, . . . , ~, l ~t l , . . . , ~+q, ~t~,qt L,,..,q++,4,2,...,q,

1 on voi t que cet t e per mut at i on a l a si gnat ur e ( - 1 ) P' ,

A& .

car el l e possede +q i nver si ons.

I l en r ésul t e que l ' on peut aussi déf i ni r l e pr em er

t erme de ( ~1, 1; 41) aut r ement , en t enant compte de ce que

si 6 par cour t

@

-fv+q 9 (7-r

l e par cour t une f oi s et une

seul e:



Cor ol l ai r e 1 -

Si &t , et O' sont des f or mes l i néai r es,

pl us ghhr al emen~si z sont des f ormes+, - l i n&ai r e e?

4 - l i néai r e, OÙ~Q s q gent i mpai r s, on a l a f or mXë:

Si , au cont r ai r e,

pai r ,

l ' un au moi ns des ent i er s+, q est

on a l a f ormul e

:

Cor ol l ai r e 2 - Soi ent L,

,,4,bz,...,4,t,

F' +

f or mes l i néai r es,

et soi t ( T une per mut at i on de l ' ensembl el , &, , . . , . , ,

Al or s

on a l a f ormul e

:

Pour + = q z 1

c' est une conséquence t r i vi al e de

( VI , l ; 29 bi s) .



D é m o n u p p

' au e o n

s i t i oe e u xn t io nl a o

( V I , l' Ç c

e t l l es tl o rv i da rn e e '

e l l ee v i e u . i & k ii + e u

a u t r eu ea o r m

v 1 ,

O n a s s el o ru a s' ue ru,

e n e m a ru ' es to uo '

f i n ic r a ne e ul éo q

l a p a r

u o m be e sr as r

l a a r l te e o r o o me h

e n x p r iu ea u l tx e

l i n Ç as tn ep Ç rn t l

a l t e rt h é) ,o n

C o r o l n r o dx te l

l i n é ao n te u xo nr o s é

m e n tu l .

N a t u re é s ue u ba i '

a f f a i

n r o dx te o re e

P a rx e m pi o u so nn s e

N = 4,

ayant pour base < z2 < z4

et s i

n

a p p e la

f o ré fa r

s o na r r ex t é' e sa su lt '

D ' a i l

o u re e g r

o ’

s e o

s c a l at e a r r' uc a' a

n u l



2 4

T h é o r o u ru e +o ri nu n s

r i e l Ëo i en d é

l a t l u

l e u rr o dx t éo i

D é m o n

' )u p' au e

U , 7

Z 9 . '

aY r

s o i en dn e

t r o u ve c t

,

?p...J

, Cie E ,

t

l ' o ni te se l a

@C~;M\

hi bai ~ = ~~,~

,

Où 6..

e s te e n se r on l

( V I , 3a o r m

( % 1 ; 5

, AL . .

Z

,

F

,

q u ir o u vu ee r o dx ts

2 ' )u pu o e

d é p e n

l o r' uu o i' l

e x e m pi

p

s tn eo mi e u

s a v o i

W,l; 51)

9

= Cl w, + czAbz +- -0 + c A& _,

+-’

+

O n l o r' a pa o re i

+ - '

( w , d ;&,lwzA...A~

?= xl

c; &,A kLzA... A

AA/

+_,A% *

i-l

e t h a c ue se r ms tu ln e u od

t h é o r.

l l ~ ~

ia i no u su pu ei s n p

+ , 1 i n én t le p a

n

c a t i o

- 1 i nn t

e

Ë ? a

e f f e ce u rr o dx t.

( B



k une appl i cat i on bi l i néai r eB deF x

dans un espace

f onct i on

c' est - h- di r e dÇf i ni e par l a f or mul e

I l n' est pi ds questi on i ci , en génGr a1, d' associ at i vi t é, ni

de r hgl e d' ant i commut at i vi t é de ce pr odui t . I l en ser a

cependant ai nsl dans l es deux cas par t i cul i er s sui vant s,

qui sont l es pl us i mpor t ant s dans l a pr at i que

l / Si r est un espace vect or i el sur l e cor ps des r éel s w ,

si r , c, E sont l e cor ps des compl exes a?

, consi déré comme

espace vect or i el de di mensi on 2 sur R, et si l ' appl i cat i on

1i néai r eB est l a mul t i pl i cat i on or di nai r e du cor ps des

compl exes, al or s on a 1 associ at i vi t é et l ' ant i commut at i vi t é

comme pr écédemment ; l es pr odui t s ext Çr i eur s d' un nombr e f i ni

quz; co$que de f or mes mul t i l i néai r es ant l symét r i ques t i val eur s

, sat i sf ont à t out es l es f or mul es pr écédent es.

En out r e, l a mul t i pl i cat i on ext ér i eur e est même mul t l l 5-

néai r e par r appor t au corps des compl exes, en ce sens que

l a der ni èr e

2' / Supposons

i dent i que B

f or mul e ( VI , l ; 3' 7 bi s) est encor e vrai e pour

compl exes.

que c soi t l e cor ps des scal ai r esK, que;

soi t

L

et que l ' appl i cat i on bi l i néai r eB soi t l a

mul t i pl i cat i on habl t uel l e d- un vect eur par un scal ai r e. On

voi t al or s qu' on peut ef f ec. t uer un pr odui t ext ér i eur de

pl usi eur sLor mes mul t i l i néai r es, l ' une d' el l es ét ant A va-

l eur sdans F

, t out es l es aut r es ét ant B val eur s scal ai r es,

et que l es pr odui t s ai nsi f ' or més sat i sf ont aux f or mul es

pr écédent es.



26

Exempl es

- Donnons un exempl e du pr em er cas, en pr enant

pour : ,

ussi bi en que pour F ,

l e corps des compl exes C' ,

consi dér é comme espace vect or i el G deux di mensi ons sur R.

Si al or s on appel l e 5 et 11 l es f or mes ' pr em èr e et

cl euxi hme Coor données" ,

c' est - &- , di r e cel kes qui f ont cor -

r espondr e a un nombre compl exe

Z X3 ?b

r espect i vement

sa par t i e r éel l ex et sa par t i e i magi nai r e

Y

on peut

aussi consi dér er l es appl i cat i ons E - l i neai r es dans @ , :

= . A ~

t T= J - ~I I ,

qui sont déf i ni es par l es

f ormul es :

On a a ors l es f ormul es sui vant es

:

Nous avons déf i ni A? E' , our E1 dual de Ê

. Mai s,

si Ê est un espace de di mensi on f i ni e, i l peut et r e r on- .

si dér é c o m m ee dual de É'

; n peut donc déf i ni r A? r

( qui sera l ' espace des f ormes p

- 1i néai r es ant i symét r i ques

sur+ ) . L

a st r uct ur e al gÇbr i que de l ' al gèbr e ext ér i eur e

de Ë est anal ogue t i cel l e de E' . n 6l ément de Af r

s' appel l er a un +- vect eur .

I l y a l i eu t out ef oi s de por t = une t r ès gr ande at t en-

t i on au cor ps des scal ai r es.

sur P. ,

si E est un espace vst or i el

i l déf i ni t a f or t i or i un espace vectori el E~sur E

Mai s l e dual p

s ace des appl i cat i ons c- l i néai r es de

Ë dans c) n' a pas de r appor t avec ( ÊRI ' , ( espape des

appl i cat i ons R- l i nÇai r es de Ë dans R ) .

Donc Ak E et

* ( est aussi c- l i n&ai r e, mai sT ne l ' est pas.



27

AY E

9

ne sont pas I dent i ques,

et mêmz leurs di mensi ons

ne son

pas l es mèmes; par exempl e, si E a l a di mensi on

-

-

compl exe n ,

donc l a di mensi on r éel l e 2r ~ , A2 E

a l a

di mensi on compl exe

1x ,n-lJ

2

donc l a di mensi on r éel l e

n (n- i ) , al or s que A'

ËR

a l a di mensi on r éei l e

2t i z , l +&_d)2

.

D' ai l l eur s, s i ëE F

, -z

et i Z

sont dépendant s sur a?, donc e Ac i z =- Ô théo-

r ème 9) ;

mai s i l s sont i ndépendant s sur R , donc

ê 4R i ê C.

On ut i l i se syst émat i quement l es, h- f or mes, mai s peu

l es

?

- vecteur s.

g2 ORI ENTATI OND' UNESPACEVECTORI ELDEDI MENSI ON

FI NI ESURR

aappel ons que - s i t i est une appl i cat i on l i néai r e d' un

espace vect or i el E de di mensi on?% dans l ui - même, on peut

par l er du @ er m nant de t i ; si on consi dere une base quel -

conque de E ,

l ' appl i cat i on , i & st déf i nl e, r el at i vement 5

cet t e base,

par une mat r i ce, et l e dét er m nant de& est l e

dét er m nant de cet t e mat r i ce, quel l e que soi t l e base choi si e.

Le det erm nant du pr odui t ( ou composé) de 2

appl i cat i ons

l l néai r es est l e pr odui t des dét er m nant s; l e dét er m nant de

l ' appl i cat i on i dent i que est 1, et l es dét er m nant s de deux

bi j ect i ons r éci pr oques sont i nver ses.

Tout ceci est vsl abl e, quel que soi t l e cor ps des scal ai r es.

Dans ce paragr aphe, Ê est un espace vect or i el de di mensi on

N sur l e cor ps des r <el sR.

S' i l est donné comme espace

vect or i el de di mensi on n, &r l e corps des compl exes Q? , on

l e consi dèr era comme espace vect or i el de di mensi on N = 2~

sur l e cor ps des r 6el sR.

Rappel ons qu' on appel l e base ordAnnee deË une appl i cat i on

e de l ' ensembl e 4, 2, , , . , , } dans E , & savol r k L

i

z ,

*a

t el l e que l es vect eur s ( ?J i _ , z N soi ent i ndépendant s dans E .

- , ,.-.,

Nous ét abl l r ons al or s, dans l ' ensembl e de ces bases, une

r el at i on d' équi val ence. Nous di r ons que l a base 19' est

équi val ent e 2 l a base & , si l e dét er m nant de e' par r appor t

à 63 est > 0

* ce dét er m nant sst l e @ er m nant de

l ' uni que appl i cai i on l i néa: i r e de E dans E

l ' i mage de chaque z<

soi t 8 .

pour l aquel l e

I l s ' i gi t bi en d' une

1

r el at i on d' équi val ence.



28

E n f f e

1 ’ l l es té f l i

' = & , e é

est 4 > 0

.

2 ' )l l es ty m é

e é te a a

r a p p o a a s e s t' iu é

b a s ea ra p p a a s

’ ,

p u e o

m i n a ne p p lé cI ', i

e n s to n ce ê m ee ' a

3O E l l es tr a nI ? '"

d o n n ée l ?

s o r -

l ' a pi ke a

z ; u r

s te r oe ' ai

a m è n e

u i? t e e lu im è:

l e é t e iV a ra p

s ud

a cz est l e pr odui t du

d é t e re t a ra p

t u ee

p a ra p p o

f

i o ne se ue é

sont 5. 0 ,

i l n s te ê mu r

L a e l a' é qr ét

s e m b le o u te sa sr de

, eXaCtmnc?nt deux

c l a s s

T o u t' a bn f f

n e ur a

n o nq u i v< Z z t % e

t e ' e s tn eè m ea s eé te "

C ? t ' o no u ru o te é te '

a

ke,

qui est - =0

m i n a ns t

d o n' uu o ed

' 0 )

? j ;

q u

oi t a e

, s

à e1 *.

O n i tu ' o r i e' ee

d i s t i' u ne e sl ae a r

c o m m eb a na l a so su i t '

e t a n ta l a sÇ g au e t

R e m a r

' )l x i se ur io

S I n er i ee s th o

' r

c e l l eu io n s p po sa l

q u ' o np p e= & ga na r e'

t a t i op p ol s ts so yi a

& l & ? ~e h oe r ie -

, a i su l s tr éa e a

v e c t oe i m e,

e h oo l

c e l l ee sa s er d où e e ue

à a a u cu r e m

* ' e s ta u ' ie a iu e o

e s t I l



L

I l est bi en évi dent qu' i l s ' agi t l à d' une st upi di t Ç par -

f ai t e. La not i on de dr oi t e et de gauche est une not i on pur e-

ment physi que,

ayant . un sens dans une r égi on r el at i vement

r est r ei nt e de l ' uni ver s où nous vi vons *

, mai s, . ét ant

donne un espace vect or i el 8 deux di mensi ons sur l e cor ps des

r Çel s, i l n' exi st e dans cet espace ni dr oi t e ni gauche.

Si , par exempl e, on consi dèr e l ' espace vect or i el B deux

di mensi ons des pol ynomes ensde degr és L 1, i l est evi demment

i mpossi bl e,

si l ' on consi der e l e syst ème des deux pol ynômes

X,

1+3' =

de di r e si l e deuxi ème est b l a gauche ou a l a

dr oi t e du pr eker .

dl ces

cel l e

de l a

même,

( WG

2' ) Si c est une per mut at i on de l ' ensembl e d' i n-

{

1, 2, . . .

,

N }

+ a cl asse de l a base , i zf l L est

de l a base i - e

; i mul t i pl i ée par l a si gnat ur e &c

per mut at i on 6 .

3 O

I & est une bi j ect i on l i r éai r z deË sur l ui -

et s i ( <, ) i z,

2

I

- * -

N

est une base de E , l a base

h l , , .

st de même cl asse ou non, sui vant que

l e dét er m nant de k est z- 0

ou- =o. On di t souvent

que c' est l à une i nt er pr ét at i on géomét r i que' du si gne du

dét er m nant ;

c' est assez i nexact ,

car l ' or i ent at i on n' est

pas une not i on géomét r l que qui va de soi , el l e r Çsul t e

j ust ement des pr opr i ét es des dÇt er m nant s des appl i cat i ons

l i néai res .

Consi dér ons d' abor d un espace vect or i el de di mensi on 1

sur l e cor ps des r Çel s;

al or s deux él &ment s quel conques#O

sont pr opor t i onnel s , et l eur r appor t est B 0

ou<o*

On peut donc évi demment par t ager l e compl émentai r e de 0

dans l ' espace vect or i el , en deux cl asses, en di sant que

deux él ément s sont Çqui val ent s ou de l a même cl asse, si

l eur r appor t est > 0 Qr i ent er l ' espace vect or i el c' est

choi si r une de ces deu. < i l asses pou2 l ' appel er l a cl asse

50 On r emar que al or s que, si E est un epace vect or i el

de di meksi on f i ni e N quel conque, i ' espaoe ANEt des f or mes

N

l i neai r es ant i symét r i ques sur E est de di mensi on 1

( cor ol l ai r e 2 du t heor ème

5 ,

t au' i l peut en conséquence

êt r e Or i ent é. Une or i ent at i on de E est al or s, par déf i ni t i on,

une or i ent at i on de l ' espace vect or i el de di mensl on l , ANE' .

*

Si nous communi qui ons avec des Pol yt echni ci ens d' une

Pl anèt e di st ant e de l a nôt r e de 1 m l l i ar d d' annÇes- l um èr e,

comment l eur I ndi quer i ons- nous ce que nous ent endons par

dr oi t e et gauche ?



30

Or i ent er E

c' est f i xer cel l es des f or mes

N

- 1i néai r es

ant i symét r i ques 0

, qu' on consl dér er a comme posi t i ves.

Mont r ons qu' i l y a bi en équi val ence ent r e l es deux méthode

I ndi quées pour or i ent er un espace vect or i el .

Soi t en ef f et 19 une base;

el l e déf i ni t des f oncti ons coor -

données

5;) ,

et par conséquent une N- f orme pr odui t ext é-

r i eur ( 5, ) t , ~% A. . . A( ~, J . De l a même mani ère, si e' est

une aut r e base,

on, peut l ui associ er canoni quement une aut r e

N - f or me ( 5: ) A ( ~z) A. . . A( j j J . Dési gnons par A l e det er m nant

de l a deuxi gme base par r appor t a l a pr em er e. D' apr ès l a

déf l ni t l on même du pr odui t ext ér i eur des f or mes ( f or mul es

v1, 1; 35 bi s) ) , on a l es deux f or mul es :

Ceci pr ouve que l ' on a, ent r e l es N - f or mes ( nÇcessai r ement

pr opor t i onnel l es) assocl ées aux deux bases, l a r el at i on :

Al or s deux bases sont équl val ent es, au sens de l a r el at i on

d' équi val ence ét abl i e pl us haut ent r e l es basesI s et

seul ement si l es N - f ormescor r espondant es sont de r apport

=- 6

donc equi val ent es, au sens de l a r el at i on d' équi -

val enci Çt abl i e ul t ér l eur ement dans l ' espace des N

- f or mes.

Or i ent er l ' espace, au sens du choi x de l a cl asse posi t i ve

des bases, r evi ent donc a l ' or i ent er , au sens du choi x de

l a cl asse posi t i ve des N - f ormes; l a N - f or r ne(~, ~~~~~~~. . . *(

associ ee a une base e : è, , zL,...,zN ,

appar t i ent a l a

cl asse posi t i ve des N - f or mes, si et seul ement ~16% appas-

t i ent b l a cl asse posi t i ve des bases.

21t i est uneN- f or me 0 ,

posi t i ve pour l ' or i ent at i on

deE

,

on pour r a écr l r e w > 0

.

On ecr i r a al or s u 2 0

,

si %L=

0 out i >o

.

Cet t e not i on de si gne d' uneN- f orme

Sur Ë n' a de sens que s i r est or i ent e.

Nous

avons vu pl us haut que, sur un2space vect or i el , i l

exi st e deux or i ent at i ons possi bl es,

aucune n' et ant pr i vi l é-

gi 6c par r appor t 0 l ' aut r e; au cont r ai r e nous al l ons voi r

qu’il

n' en est pas ai nsi sur un espace vect or i el sur l e

cor ps des compl exes.



I héor ème 10 -

Soi t r un espace vect or i el de di mensi ons sur l

cor ps des compl exes @ . Soi t

<

, q,,,,, zm

’ UEE Qz

: base de i ? . Al = z , i < , ëz , i êz, . . . , , , .9 i - ë, *

est

uneR

- base de r ( consi dére comme espace vect or i el de di mensi on

27~ sur l e cor ps des r éel s) . La cl asse de cet t e J l ?- base est

i ndependant e du choi x de l a G- base i ni t i al e.

l \ vant de donner l a démonst r at i on du t héor &me, nous

voyons qu' i l si gni f i e bi en l ' exi st ence d' une or i ent at i on

pr i vi l égi ée sur un espace vect or i el sur l e cor ps des

compl exes; à par t i r d une a? - base on peut f ormer une& ?

- base, et , l a cl asse de toutes l es& ' - bases ai nsi f or mées

et ant t out j our s l a

même

on peut l a déf i ni r comme et ant

l a cl asse posi t i ve.

L or i ent at i on ai nsi déf i ni e s' appel l e

or i ent at i on canoni que de l ' espace vect or i el sur l e cor ps

des compl exes. Cel a r evi ent natur el l ement t i donner a un

espace vect or i el de di mensi on 1 sur l e corps des compl exes,

l ' or i ent at i on dans l aquel l e l a base z, i z, est posi t i ve,

Zetant un vect eur # ï Y

quel conque de l ' espace vect or i el ;

en par t i cul i er , l ' or i ent at i on du cor ps des compl exes 6

l ui - même est cel l e dans l aquel l e l a base f ormée du nombr e

1 et du nombr e 6 est posi t i ve.

Démonst r at i on -

La P- base consi dér ée déf i ni t des f ont -

t i ens coordonnÇes compl exes, nous l es appel l er ons

<, , Iz f’..> X,% ’

LaR- base associ ée déf i ni t des

f onct i ons Coordonnées r éel l es, que nous appel l er ons

5, 7 ‘1,) t& > Q***J t,L 97,* -

On a d' ai l l eur s 1. = tj+i,q ,p;p%j.

Soi t une deuxi ème

des Coordonnées {t

~, ' , ~~, . . . , ~, ' , déf i ni ssant

Nous voul ons al ors démont r er que :

( TI , 2; 3)

D ét ant Te dét erm nant de l a deuxi ème& - base, associ ée

& l a deuxi ème @ - base, par r appor t & l a pr em èr e.

Or , on peut l ' écr i r e, d' apr ès ( VI , l ; 56)

:



32

Mai s i l se t r ouve que l es f or mes l i néai r es x.

sont

1

non- seul ement R- l i néai r es, mai s @? - 1i néai r es; i l en

r Çsul t e al or s que l es f or mes pr odui t s ext Çr i eur s

nel l es, avec un r appor t de pr opor t i onnal i t e compl exe

:

l e

cal cul qui a ét é f ai t ù l a f or mul e ( VI , 2; 1) peut encor e se

r ef ai r e, en r ai sonnant mai nt enant sur l e cor ps des com l exes

comme nous avi ons r ai sonné sur l e corps des r eel s, et 1 on

voi t que :

OÙA est l e det er m nant de l a c- base des 2 par r apport

J

B l a c- base des ë.

L

;

on a donc f i nal ement l a f ormul e

qui démont r e not r e af f i r mat i on.

Remar que - La f or mul e D =

1 Ai2

s' ét end nat ur el l ement

aux dét e. r m nant s j acobi ens.

soi t +

une appl i cat i on d' un

espace af f i ne E ,

de di mensi onm sur l e cor ps des compl exes,

dans un espace af f i ne F

, de di mensi ons% sur l e cor ps des

compl exes; et supposons que t soi t der i vabl e, par r appor t

au cor ps des compl exes. El l e est al or s aussi a f or t i or i

dér i vabl e par r appor t au cor ps des r éel s.

Si , dans

E

et dans

F

, on a choi si des r ef ér ent i el s par

r appor t au corps des compl exes,

cel a donne aut omat i quement

des r ef ér ent i el s par r appor t au cor ps des r Çel s, d' apr ès

l a mÇt hode que nous avons déf i ni e pour associ er uneR - base

a une @ base. Al or s on peut consi dér er , d' une par t l e

det er m nant j acobi en

J

de 4 en un poi nt CL, par r apport

aux ref ér ent i el s sur l e cor ps des compl e. xes, et d aut r e

par t son dét er m nant j acobi en J R

par r appor t aux r éf é-

r ent i el s sur l e cor ps des r Çel s.

Ci s dét er m nant s SOJ J t

l es dét er m nant s des i mages par

' ( w) des bases de

E

par r appor t aux bases de F .

i?

Ce que nous venons donc de demont r er S' Çcr i t i ci :

* Not r e cal cul ant ér i eur ét ai t f ai t dans l e cas

JC 0 .

Nai s , s i

JC=0 ,

l ' appl i cat i on

' ( a, ] appl i que

Ë

sur un sous- espace vect or i el de 7

, di st i nct de F ,

al or s J = 0

.



Soi t e une base or t honormal e posi t i ve de Ë .

El l e def i ni t une=- f or me ( f , J A( E~~A. . . A( E~~. Si c' est

une aut r e base ort honormal e posi t i ve de

Ë

l a f or mul e

( VI , 2; 1) mont r e que l ' on a

:

En ef f et , l e det er m nant de l a deuxi ème base par r appor t

l a pr em èr e vaut necessal r ement k 1, pui squ' i l s' agi t

de deux bases or t honormal es, donc + 1, pui squ el l es appar-

t i ennent t out es l es deux B l a cl asse posi t i ve.

et r ement di t , l a

N

- f or me \ t j h ( ' E' A*. . A t N) , associ ée

à une base or t honor mal e posl t i vi deE

, est i ndépendant e

de cet t e base. Cet t e N - f or me,

det er m née une f oi s pour

t out es par l a seul edonnée de l a st r uct ur e eucl i dI enne et

deJ ' or i ent at i on de E , s' appel l e 1aN - f or me f ondament al e

deE . ,

Nous l ' appel l er ons t . I l est d' ai l l eur s f aci l e

de pr ecl ser sa val eur sur un syst ème deN vect eur s

7 . .

TZ ... FN .

Cet t e val eur est en ef f et , d' apr ès

( VI , l ; 35 bi s) , l e dét er m nant des

N

vect eur s par - r appor t G

n' i mpor t e quel l e base or t honor mal e posi t i ve de E

.

Sa

val eur absol ue n' est aut r e que l e vol ume du par al l él épi pède

de sommet or i gi ne def i ni par ces N vect eur s ( cor ol l ai r e

5 bi s du t heor ème 102 du chapi t r e I V) ; et , si ce vol ume

n' est pas nul ,

son si gne n' est aut r e que l a cl asse de l a

base def i n e par ces N vect eur s, par r appor t a l ' or i ent at i on

donnee de

c

On di t souvent que cet t e val eur est J e

vol ume al gébr i que du par al l el epi pède def i ni par X Xz7_ . zN

dansË or l ent é ( mai s un t el vol ume al gébr i que ne peut se

une def i ni t i on cor r ect e de l a not i on

L' exi st ence de l a N - f orme f ondament al e va nous permet t r e

d' et abl i r des cor r espondances r emar quabl es ent r e vect eur s

et f ormes

:



34

l“/

On peut Çt abl i . une bi j ect i on l i néai r e de l ' espace des

N - f or mes sur E sur l e cor ps des r éel sR

; il

s u f f i t

de f ai r e cor r espondr e

k t out e N - f or me l e r appor t de

cet t e f orme et de l a N - f orme f ondament al e. On associ e

ai nsi l e nombr e r éel X et l e N - covect eur X 8 .

2"/ A t out syst eme de N vect eur s <

, FL ,..,,

TN s

on peut

f ai r e cor r espondr e un nombr e r Çel , appel é pr odui t m xte

dz ces vect eur s;

c' est t out si mpl ement l a val eur

1 ( ? , , Fz, . . . , Q

, sur l e syst ème de vect eur s donnés, de

l a N - f orme f ondament al e;

c' est encor e l e det er m nant du

syst ème des vect eur s par r appor t a n' i mpor t e quel l e base

or t honor mal e posi t i ve,

ou vol ume al gébr i que du par al l é-

l épi pède_deAN vect surs.

L' appl i cat i on ' pr odui t m xt e' ,

qui , a x, ,

xz,..., XN >

f ai t cor r espondr e l eur pr odui t

mxte ,

est une

N

- f or me sur Ê, qui n' est aut r e que 1

.

Pl us génér al ement ,

?, , ~2, . . . , ~~, de~ ,

ét ant donné un syst ème de b vect eur s,

on peut l ui f ai r e cor r espondr e une

( N - k ) - f orme @T 7 x def i ni e comme sui t

:

1’ z_J*-*7 y

La val eur de q~

sur un syst ème de

N-k)

vect eur s y

est l e pr odui t m xt e des N

vecteurs

* :

La f onct i on

bi en une f orme

‘ TT 7

ai ns i déf i ni e sur

ËN_‘est

?_ ‘ ,

lu

NL’p

) - l i néai r e ant i symét r i que,

donc

est bi en un él ément de / I ~_~Ë' .

En out r e, .

l ' appl i cat i on f i ui , aux * vect eur s

f ai t cor r espondr e l a f or me associ ée,

c' est -

à- di re l ' appl i cat i on ?, ,

2

2,...,y+-o(+ +

z

est une

appl i cat i on t u

- 1i néai r e ant i symét r i qu~ d?' $~ da k AN- f ' E) .

*

On aurai t pu choi s i r l ' ordre z , , ?L, . . . , ?p

,T,Fb,...,yN

Cel a r evi endr ai t à mul t i pl i er par ( - I ) I * ( ~_~

. Ce choi x

- Y

sera payé pl us t ar d, par l a pr ésence de pui ssances de- 1

dans cer t ai nes f or mul es; mai s l ' aut r e choi x donner ai t des

pui ssances de- i dans d' aut r es f or mul es

i



3 5

Pour A+=N

, on obt i ent bi en une appl i cat i on N -

l i n6ai r e Ae FN

dans AoF' ,

qui n' est aut r e que l e cor ps

des scal ai r es

:

c' est l a cor r espondance qui , A

N

e

f ai t cor r espondr e l eNur pr odui t m xt e, c ' est - A- di r e l ' appl i -

cat i on f ondament al e 5

Ist une base or t honormal e

posi t i ve de r ,

et si l ' on pr end, pour ? vect eur s, l es

vect eur s ê

f or me cor r espondan e est déf i ni e, comme on l e voi t ai sé-

+,, Y”-: G ,

de l a base el l e- même, l a

ment d' apr ès ( VI , 2; 9) , par :

N_++I e

N-

si 3 est une par t t e de

j

1, 2, . . , ,

N\

, d' él émect s

, j , c %<. . . <&, et si k(= [ J ' él ément sk, - gkz<. . . < c~_? ,

al or s

d ù

st l a si gnat ur e de l a per mut at i on qui t r ansf or me

1, 2, . N , en

&, , - k% . . . , J ?

N-f+, , ja >..., jF

En par t i cul i er , pour + = 1

, on a l a f or mul e :

Si al ors 2 est un vect eur de coor données Xe

1

, ona:

Cet t e f or mul e mont r e que l ' appl i cat i on

4

st , pour k = 1 ,

une bi j ect i on l i nÇai r e de

Ë

sur

ANs’Ë’.

Remarque - Les cor r espondances 1' et 2' ne dépendent pas,

en f ai t , de l a st r uct ur e eucl i di enne et de l ' or i ent at i on,

mai s de l a donnée de l a f orme f ondament al e E

.

Si,

sur

un espace Vect or i el Ë de di mensi on N , on s' est donné U J

f or me f ondament al e

g#o

( c' est - h- di r e une mesur e des



vol umes et une or i ent at i on sans st r uct ur e eucl i di enne)

1' et 2' subsi stent . s i on mul t i pl i e

l e N- covect eur f onda-

mental par un nombre r éel &

par 4.

, *on mul t i pl i e l ' opér at eur cX

Si onNa choi si da; s E un r éf ér ent i el quel conque,

et si OA pose 5 . ( z, , &. . . , eN) = h, ou ~=A( ~) A( ~~~A. ~. ~( Q,

l es f or mul es ( VI , 2; 11; 11 bi s. $ 11 t er ) r est egt exact esI &

condi t i on de mul t f pl i er l e 2ème membr e par A .

3' / On sai t qu*i l est possi bl e,

dans un espace vect or i el eucl i -

di en Or i ent é a t r oi s di mensi ons, cJ e f ai r e cor r espondr e, a

t out syst ème de deux vect eur s X , Y

, un t r oi s1ème vect eur ,

appel é pr odui t vect or i el des deux pr em er s. Cet t e pr opr i ét é

se général i se comme sui t

:

SiË

est un espace eucl i di en or i ent é de di mensi onN

, on

peut f ai r e cor r espondr e à t out syst eme deN- 1 vect eur s,

un nouveau vect eur z, appel e pr odui t ve

et que l ' on pour r a not er par

Y

I l se déf i ni t de l a mani èr e sui vant e : Au syst ème des

N

- 1 vect eur s cor r espond,

d' apr ès l a cor r espondance i ndAqu&e

a 20

, une l - f or me,

c' est - à- di r e une f or me l i nÇai r e sur E ;

et nous avons vu au chapi t r e 11 ( f or mul e ( I I I , l : l g) ) qu' on~

peut al or s f ai r e cor r espondr e & t out e f or me l i nÇai r e sur E

ou él gment du dual Ë’

, un Gl ément bi en dét erm néz deg

.

C' e

cet él ément ? qu' on appel l e l e pr odui t vect or i el des

N - 1 v

t eur s. L' appl i cat i on qui ,

àN 1

vect eur s, f ai t cor r espondr e l e

pr odui t vect or i el , est ( N- l ) - 1i néai r e ant i symét r i que de ËN

dans Ë .

La f or me o( ; 2

x

zt "*> , . J L~

st I CI déf i ni e de l a mani èr e sui vant e

Si? est un' bect eur quel conque de Ë , ona:

b I,2jlZ~

% F

1'

z,*--,

7

N l

(5 = ; 7,

FI

CL,...&_,) .

Or l e vect eur 2 est dexi ni par l e f ai t que, SI . ~ est un

vect eur quel conque de E , on a l a f or mul e ( 111, l ; l g) :

Cet t e f or mul e s1gni f l e que l a pr odui t > xt e deT, r , , . . . , yN_,

coXnci de avec l e pr odui t scal ai r e de Y avec l e pr odui t

vect or i el Z= [ T

t dompt e t enu del s not at i ons,

ant i commut at i on, on a :

Cet t e not at i on est asse peu cor r ect e. On ne doi t , en

pr i nci pe, ut i l i ser l e pr odui t ext ér i eur A que pour des pr odune dépondant pas d' une st r uct ur e eucl i di enne et d' une or i ent a

t i on .



37

Donnons une const r uct i on géomét r i que de ce pr odui t

vect or i el . Tout d' abor d, s i l es N - 1 vect eur s consi dér és

sont dépendant s, l a f orme qT 7

, T_

s' annul e, car

l e deuxi ème membr ede ( VI , 2; &r ' ei t &A~ quel que soi t 7

;

dons, dans ce cas, 2 s' annul e aussi . Et r écl pr oquement ,

si 2 est nul , c' est que 0( ~ 3

2

est nul l e * , et

al or s l es vect eur s 2.

7_ . > -

son; necess\ i r ement dépendant s; si ,

en ef f et ,

i l s ét ai en?i ndependant s on pour r ai t t r ouvsr

une base deË f ormée des vect eur s ?*

et d' un vect eur Y; al or s

l e

second membr e de l a f ormul e ( $1, 2; 12) Ser ai t # 0 ,

ce qui ser ai t cont r adi ct oi r e avec l e f ai t que47

1> z, *. &- ,

est nul l e. Ai nsi l e pr odui t vect or i el deN - 1 vect eur s est

ns,

si et seul ement si ces vect eur s sont dépendant s.

Supposons donc l es vect eur s xl

il

i ndépendant s.

Si 7 est dans l e sss- espace vect or i el qu' i l s engendr ent ,

al ors Ny 2

(VI , 2; 12) I i

; ( ~) ~st _nécessai r eme~t nul l e, d apr ès

Gn~ aû%&i

( 2

1 Y ) ;

donc Zzst or t hogonal

au sous- espace vect or i el déf i ni par l es Xi

Choi si ssons al or s l e vsct eur y or t hogonal au sous- espace

vect or i el déf i ni par _l es*Xs&de l ong2eur 1, et de t el l e

mani èr e que l a base 9 , X, ~x~, , . , , x~_, , soi t posi t i ve

par r appor t a l ' or i ent at i on de

Ë

.

Le det er m nant de cet t e

base ( par r appor t aux bases or t honor mal es posi t i ves) , qui

est donc z== est al or s l e vol ume du par al l él épi pède

def i ni par v et ' l es ??.

du chapi t r e I V) ; cI es

( corol l ai re

5

bi s du t héor ème 102

donc aussi l e pr odui t de l ' ai r e de

l a base par l a l ongueur de l a haut esr

( t héor ème 104 du

chapi t r e I V) . Comme, par hypot hèse, v 6st uni t ai r e, ce dét er -

m nant z' est utre que l ' ai r e de l a base. Or ce dét er m nant

vaut ( 2 1 T- j

, ce qui mont r e que zest égal au pr odui t

de 7 par un nombr e P 0 Çgal à l a ( N- - ai r e du

cral l él épi pède def i ni pa; l es vecteur s ?.

d l

Si nous consi dérons dansr une base ort honormal e posi -

t i ve quel conque,

i l est f aci l e de t r ouver l es composant es

du pr odui t vect or i el de N - 1 vect eur s. Si on desi gne par 2.

ces composast es,

et par y* l es composant es d' un vect eur

d

quel conque y , si d' aut r e' par t , comme t ouj our s, on appel l e

x.

Lj . $

l es Coor données de y; , on a l a f ormul e :

Nous

avons vu, page

179

du Cour s de 2e4e Di vi si on, que

l a cor r espondance ent r e ~2 2

et 2 est bi j ect i ve.

’

27

”



c e u io n tu eZ ; ,e o ee .

d é v e lu é t

Y,

Y2 . ..

YN

x

. ,

1 , ’

, 2

, N

x x

2 , ’

, 27 . , N

d a

s u i v ae sl é me a r ei n

f o r m u

a

T o u se sé s u

e ' é p a o e

t u r eu c lt

d e' oe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .

O n e u tÇ s ue u ir éo u

T h é o r1 i r

s t

n s pu cr

s i o n

x i sa nn e

f o

f o r m eo o ra ra p

o r t h oo s i

l x in i

d e ' e s p' % re sf ou e o-

l a i r ea i to r r o ul f ok l

avec 3

.

I l s i sn ep p-

M

t r i q ue E ?a n sN e e fa V

( v 1 , 2v 1 ,i ,

L ,

o

-

. _

_ N e c t ee e ur oi xs n o



39

FJ’ -

u encore au determ nant des

vect kur s par r appor t a t out e base or t honor mal e Posi t i ve;

l ' appl i cat i on pr odui t m xt e est une f or me l i néai r e ant i -

symet r i que sur EN, qui n' est aut r e que f .

Le pr odui t

vectori el de ?, , Tz, . . . , yN_, est un vecteur z=[ ?, A?zA. . .

A ?J,

nul si et seul ement si ces vect eur s sont dépendant s; s' i l s

sont i ndépendant s, z est or t hogonal au sous- espace vect o-

r i el qu' i l s déf i ni ssent , dans un sens t el que 2) r , , gz , . . . , F, , _

zoi t une base posi t i ve,

et sa l ongueur est l ' al r e du

par al l él épi pede déf i ni par l es N- l vecteur s. L' appl i cat i on

(N- l ) - l l néai re ant l -

symet r i que de

composant es du produi tes

vect or i el , par r appor t a une base or t honor mal e posi t i ve,

sont donnees par v1,2;16).

Remarques 1' ) Si , par exempl e, ? est un espace Ve CtOrtel

ze di mensi on 2 eucl i di en Or i ent é,

on peut f ai r e l e pr odui t

vect or i el [ 7 ) d' un seul vect eur

;tN-d=d ;

d' apr es

l a déf i ni t i on,

c' est si mpl ement un vect eur zobt enu

par

r ot at i on de: de - 2 *

.

2' ) Ce qui a ét é déf i ni dans ce paragr aphe dépesd,

en génér al ,

non seul ement de l a st r uct ur e eucl i dI enne deE ,

mai s aussi de son or i ent at i on. Si on r empl ace l ' or i ent at i on

deË par son opposee,

on change de si gne l a N - f or me f onda-

ment al e,

l e pr odui t m xt e de

N

vecteur s, l a N-+ ) - f or me

associ ée a? vect eur s,

l e pr odui t vectori el de N- 1

vect eur s. Au cont r ai r e,

l ' assosi at i oa ent r e vecteur s et

f or mes ( bi j ect i on l i néai r e de E sur E' , vue page 179 du

Cour s de 2ème Di vi si on) ne dépend que de l a st r uct ur e

eucl i di enne,

et non de l ' or i ent at i on; de même, pl us si mpl e-

ment ,

l e pr odui t scal ai r e de 2 vect eur s On di t souvent que

l e pr odui t scal ai r e de 2 vect eur s est une gr andeur pol ai r e,

ou dr oi t e, ou d' espkce pai r e, t andi s que l e pr odui t m xt e de

N vect eur s est une gr andeur axi al e , ou t or due ( si c ) , ou

d' espèce i mpai r e.

*

At t ent i on :

t at i on

l a not i scJ ' angl e or i ent e =Ose sur l ' or i en-

Si 2

vect eur s U V

d' un pl an eucl i di en or i ent e

sont or t hogonaux,

l a base Ü

,T,

on di t qu& l ' angl e( f l , y) est +$- , s i

est posi t i ve.



4

5 FORMES DIFFERENTIELLES SUR UN ESPACE AFFINE

~ So1t . l - L un ouver t d' un espace af f i ne nor mé E , et soi t

F un espace vect or i el nor mé. On appel l e f or me di f f ér en -

t i el l e de degr é + sur J ?.

2 val eur s

cat i on Gj G+ deI LL dans l ' espace A. &

c~t l ons+- l i nÇai r es

ant i symét r i ques cont i nues de Ë dans

F.

Cet t e appl i cat i on f ai t - donc cor r espondr s, àJ out

poi nt = de f i

,

un él ément _m ( CC) de

A ?(

E J ; F ,

c' est -

à- di r e un p- covect eur sur E , A. val eur s dans

F ; on

peut

donc encor e aussi di r e qu' une f or me di f f éxent i el l e de

de

P

r é + est un champ de&

- covect eur s sur E à val eur s dans

- 3

champ def i ni sur f i . POUr + = 0

, c' est donc un

champ de vect eurs deF

,

c' est - &- Ai r e sl m~ ement .

I X- l e

f onct i on sur a

, à

val eur s dans F ; si F= K

, c' est

/

un

champ de scal ai r es ou une f onct i on scal ai r e. Pour

Si E

est de

di mensi on N

r ent i el l e de degr é +,

w

On abr èse souvent ' f or me di f f Çr ent i el l e de degr ék '

par f or me i e degrÇ + +- f or me de sor t e que cel a' i nt r o-

dui t une conf usi on en% l es . j + f or mes, déf i ni es au par a-

gr aphe 1, et l es f or mes di f f er ent i el l es, qui sont des

champs de t el l es~- f or mes ou appl i cat i ons e 0, dans un

espace de+- f or mes. Pour évi t er t out e conf usi on, i l sera

en génér al

Dr éf 6r abl e d' ut i l i ser l a dénom nat l on de + -

covect eur s pour l es+- f ormes r encont r ées au paragr aphe 1,

et de+- f or mes di f f ér ent i el l es pour cel l es qui sont r en-

cont r ees au pr esent par agr aphe.

* On met

unexl èche sur w

a val eur s dans F ;

parce que c' est une f orme

on n' en mkt t r a pas si F

est l e

cor ps des scal ai r es. Dans ce cas par t cul i er & est une

f oncti on sur J . 2 a

val eur s dans / ?

Ë' , ou un champ

3e +- covect eur s, déf i ni dans f i

.



41

On di t qu' une

- f or me di f f ér ent i el l e est l wf oi s

dér i vabl e ( r esp d cl asse Cl n ( I R& 0 ) ) , si 3 est une

f oncti on m oi s dér i vabl e ( r esp de cl asse C' *) sur f i ,

à val eur s dans l ' espace vect or i el nor mé

A k(Fp;F) a

Théoreme 12 -

Si E est de di mensi on f i ni e N et muni d' un

réf érent i ëï ,

et si l ' on dési gne par 5. ) l a f orme

l i neai r e 1- &me coor donnée? al or s t uut eL+- f or me di f f e-

r ent i el l e s ' expr i me d' une mani er e uni que par une f or mul e

dans l aquel l e l es z- T

sont des f onct i ons sur f i à val eur s

dans ? . Cet t el % f or me di f f ér ent i el l e est TII f oi s dér i va-

e7aes sur i wl à val eur s dans p , son= f oi s

de cl asse c ) , si et seul ement si l es f onct i ons

dér <vLbl es ( r esp de cl asse Cl ' * .

-

DÇmonst r at i on -

I l suf f i t d' écr i re, pour t out poi nt X,

que Z( X) est un?- covect eur à val eur s dans 7 , et

d' appl i quer al or s l es f or mul es ( v1, 1; 23) et ( ~I , l ; 36) -

et l a r emarque qui sui t l e t héorème 5

k% ~~?~~e~~éci sément que l ' espace vect or i el Asf ( ' ?, r )

peut êt r e i dent i f i é &u pr odui t de ( t ) espaces vect or i el s

nor més i dent i ques à F; or on sai t , d' apr es l e t héor ème

8 quar t o du chapi t r e I I I , qu' une f onct i on t i val eur s dans

un pr odui t d' espaces vect or i el s nor més est de cl asse Cm

si et seul ement si chacune de ses composant es est de

cl asse Cm ;

cel a si gnAf i e exact ement que l ' appl i cat i on LZ

e fi dans A&p( z?; F) est de cl asse Cl ' , si et seul e-

ment si chacune des f onct i ons GI

, déf i ni es sur f i &

val eur s dans F

, est de cl asse Cm . En out r e, t ouj our s



4 2

d ' a E re ê m eh é ou h aI o

d e + _ ao u ro m pe sd ro

d e sJa u t ri t

t i o n' i n

s i P s tn y

d e é r i v

p f o r1 1

l n

E n a r t in ,

o ue sé ra

p a ra p p ou xo o ra o r

ax k

Au l i eu de ( t i ) e ( EJ j o n o to e a

s e r o nu e sl u sa r de o

e m v l oy s te pl a i

q u l l er ê t n ee gn nu r

d é s l g

a

_ è m eo o' ue

c e e c t o

l o ru ea l,

é

f o r m ei n ér u i h ae e

c o r r ea - l eo oe o ul

f o r m u

E l l ee u tu s sI ' oe u

é sa o

t l e l le e g r u ro na a n o

e s ta o r mi n éu ra iot

v e c t ee Ea - l to oe o ul

f o r m u

L a o n f un t re r ee ne ; e

d e r n ik n ea no ue h e o

r e n t lu xl u sr ar ra o

d e u x it e r o l' ea sr r

q u ee ' e sa o n fn t, é e

e t , é s ln eo n

o ng



43

A l o r s' e xa l ué n'

d i f f éu rI ,

A v a a ,

l a u i v a

l /u ra r o ié e lo ri f

d e g r é

s tn eo n cu r a l U

f o r m ei r f ée e g ' < a ù

e

u n eo n c tu r R a l ea n t ' ,

t o u te c t ee Ra o r

2 ' /u r' e s p e u xi m e,

n o i

t i e l le e g r s tn eo nn o i

l e e e g r é ' é c

S a a l e uu o i n~,y ) d e Ru e e

e s to n n éa r

* r o d ue ( = )

ar l e scal ai r e r éel X . Si

L R ,

o r pe sc a

' ei

A X\ER



44

Une forme df f f ' érent i el l e de degr é 2 s' écr i t :

et sa val eur au poi nt ( % y ) deR' , sur l e coupl e de deux

vecteurs

X,,Y,) ~ Xl,Yz)

de R' , est donnh par l a

f ormul e :

On a nawr el l ement l a r el at i on d' ant i commut at l on

3" / Sur l ' espace S. t r oi s di mensl onsR3,

de degr é 0 est une f onct i on.

une f or me di f f ér ent l el l e

degr é 1 s' écri t

:

Une f or me di f f Çr ent i el l e de

Qr , 3; 13)

Une f or me di f f ér ent l el l e de degr é 2 s' écr l r a génér al ement

sous l a f or me sui vant e,

ut i l i sant l es per mut at i ons cl r cu-

l ai r es

:

* La f or mul e ( VI , T: 6) condui r ai t . Cut l l i ser &A

et dhj f i L3 On pr éf kr e i ci ut i l i ser Pl ut Ôt

. a; a; ; eu de C LG~ d3

pour des ral sons de symét r i e cl r cu-



Sa val eur au poi nt ( =, 1, 3

deE3, sur l e syst ème de deux

vect eur s ( X, , Y, , Z, ), ( Xz , Y2 , 2 ) de R3 j

est donnÇe

par l a f or mul e :

On a natur el l ement l es r ègl es d' ant i commut at i on

Enf i n l l ne f or me dl f f hr ent i el l e de degr Ç

3 est

donnée ar

l a f or mul e :

Sa val eur au poi nt ( y, 3 ) deR3, sur un syst ème de t r oi s

vect eur s :

est donnée par l a f ormul e :



Les formes dlfféren&&elles de degré p sur un ouvertfi

de E

, à valeurs dans F , forment elles-mêmes un espace

vectoriel. C'est d'ailleurs dans le sens de l'addition

dans cet espace vectoriel qu'est écrit le signe x

dans

une formule telle que (VI.3:6)

Siw etGJ sont deux formes différentielles de degré+

sur J-L , et siE est muni d'un rfferentiel par rapport

auquel ces formes s'expriment par x W,kJ ,s sJ dx, ,

I

on a les formules évidentes :

J

J

(If,3 ;20)

2 +G =c(0,+~,)~~,~w=~(k5)“,,9escalaire.

J

Mais, en outre,

il existe une opération de multiplication

extérieure des formes différentielles. Nous allons nous

borner, pour cette multiplication, aux cas qui ont déj& été

étudiés au paragraphe 1;

ou bien il s'agit de formes diffé-

rentielles scalaires (F est le corps desscalairesa( );

ou bien, le corps des scalaires étantW, F est le corps

des complexes c considéré comme espace vectoriel èi deux

dimensions sur E; ou bien on effectue un produit extérieur

de formes différentielles dont une est B valeurs vectorielles,

toutes les autres étant A valeurs scalaires.

Nous écrirons les quelques formules suivantes en supposant,

pour simplifier, les formes différentielles toutes scalaires.

Soient donc u et L des formes différentielles scalaires

de degrés respectifs + etq surfi

. On définit alors leur

. .

produit extérieur L A 4 comme suit :

On dit que sa valeur au pointr est le (f ?+ q )-COVeC-

teur égal au p

$

oduit

q-

covecteur (2):

extérieur du+-covecteur t& (x) et du

W.3;21) (AAuvV)(x~=U(r)h~(r).

On voit que, dans ce sens là, ce que nous avons écrit

&Xi, A &y . . .

/i &, est bien un produit extérieur, si

dP

on considère les &; comme des formes différentielles de

degré 1 suivant le formule (VI,j;5).



47

On voit même que, dans la formule

(v1,3;6),

une expres-

sion telle que q,,àL,.,V,dti

&a,~ &d A...A &ip peut bien

s'interprêter comme un prouuit extzrieur de Jr-+1

formes :

,forme différentielle vectorielle de degré 0 , et

formes diffdrentielles scalaires de

symboles de somme et de produit

employé; dans la formule (v1,3;6) sont maintenant entiérement

justifiés, alors que jusqu'à présent ils n'avaient qu'une signi-

fication purement formelle. Par contre le symbole d, ne sera

vraiment justifié que plus tard (6 4). Naturellement la

multiplication extérieure des formes différentielles est une

opération multilinéaire associative, et satisfaisant h la

règle d'anticommutativité (theorèmes 7 et 8 et formule

(vI,1;41) >.

Exemples - Dans l'espace vectoriel à trois dimensionsR3,

Gï a les formules suivantes :

(n,3;22)

=

(BC'-CB') dy A d‘a + (CA'-AC')+ dm +(AB'-BA')hdj;

+y$ +Bq

~doc+C~~cR)~(A'drtB'Y/jtC'~)

= (AA'

+ BB'+CC') &c A dy A dj ;

(Adr+B(jtC~~)h(A'dz+B'lytC'~)n(A"dr+B"~+C"diá)

A B C

A'

B' C'

A" B" C"



5i-p me fonctixl dérivable sur fi c E

, a valeurs

dans F . Alors ce que nous avons appelé,sa &érivée au

point d-> j'(h),

est un élément. de &(

E j F ) ,

c'est donc

yyxs,;~ sur~ouàs"~lre~~,adar;Sé~ au paragraphe 1, une forme

et par suite la fonction

dérivée{' définit une-forme diffirentielle de degre l-su

Ln

à valeurs dans F ,

(cIeSt bien ainsi

ou application defi dansA(

E;

6

tion dérivée de f ?

ue nous avons toujours considéré la fonc-

) * .

Cette forme différentielle $

est donc définie par la formule :

Il est czmmode

de note;

p?.r q, cette forme différen-

tielle.

SiE est de dirciension finie

N.et

s'il est muni d'unérentiel et de fonctions coordonnées, la différentielle

admet, suivant (VI,>:G), l'expression :

7

On retrouve donc la notation de la formule (111,:;18) du

c'est ce qui explique la notation

Avec cette notation l'expression&.apparait comme

entièrement justifiée. Si l'on appelle*%. la fonction définie

sur

E

qui fait correspondre à chaque peint de E sa i-ème

coordorkée alors la forme différentielle de degré 1

associée b La fonction dérivée n'est autre que la forme

différentielle doc;,satisfaisant à la formule (VI,3;5).

Nous étendrons cela au 5 4. Naturellement cela nous suggère,

au lieu d'écrire toujours une

forme

différentielle par une

formule du type (VI,j;6), de pouvoir éventuellement utiliser

des formules du type :

* Par contre, la dérivée d'ordre+3 2 de+ est une appli-

cation dea dans

symétriques deË? dans

des applications + -linéaires

elle ne définit donc pas une

forme différentielle.



49

Où ,>

$ ;e

,**a >

eN ’

sont des fonctions scalaires dérivables

sur .a dont les dérivées en chaqus point soient des

formes linéaires indépendantes sur E .

Théorème 12 -

si -p, 9 &,.**&

sont des fonctions scalaires

dérivables sur JJ, , alors la forme différentielle

&t,~ ~#&A...A qt- peut,par rapport L un référentiel de E,

s exprimer sous la forme

Demonstration - Il suffit en effet

(v1,1;23), en remplaçant

(formule (VI,1;35 bis) );

d'où le résultat.

On peut d'ailleurs le réobtenir directement : on remplace

, et on effectue le produit en

* D'après la définition même de la multiolication exté-

rieure des formes, formule (VI,1;29).



50

Exemples -

Expresslon d'une forme différentielle dans&

en coordonn6es polaires h,8, Cp

Nous nous plaçons naturellement sur l'ouvert fi

complémentaire du demi-plan

Y=

0,~30.

Nous prendrons

h>O,Oie<X,O<cp<ZTT.Onpeutconsidérer~,e,~,

comme des fonction2 de classe C" suriL, et l'on sait

comment on peut exprimer leurs différentielles A,

dO,dq,

en fonction de &x,q,Lj

et vice versa. On a les formules :

i

d/x. = ch /s*me ticpt h-w~d ctiqde -h sh0bhq dy

= C&L CO/S~

- b&8di3

on a alors, par exemple, la formule :

Dans cette formule,& A dy A d5

est la J-forme dlffé-

rentielle fondamentale.

Dans le troisième membre on a une expression dans

laquelle L, 8 , q sont considérées comme des fonctions

de3CpZJ,3 ,

et dans laquelle &,dO,dC/,sont les

formes différentielles de degré 1 définies ar les dhl-

vées des fonctions h, 8 , v de (ce ,,l, yd 7 . Naturelle-

ment Il Importe de bien respecter 1 o dre des termes

écrits; ainsi d+. n, d 8 A d q? vaut - de I\ & A dq .

On remarquera combien facilement s'effectuent les calculs

sur les formes différentielles Y ils sont automatiques en

utilisant la multllinéarit~, 1 associavIt et l'anticommu-

tativith de la multlpllcatlon extérieure.

lI#~W~Ili#I~C~~~~~lilIWUI~il~~Cllliw#i~~~~~~~l#~Ill~~l~~~lli~~i~~~L~~

Soientfi un ouvert de E ,a

un ouvert d'un espace

affine normé E, ,

et H une appli:ation dérivable de 0,

dansa.

On a alors vu qu on peut, pour toute fonction

définie sur fi b valeurs dans

4

un ensemble quelconque, er,



51

définir une Image réciproque par f-l , soit H* {= -/

o

H ,

qui est une fonction surfi, & valeurs dans cet'ensemble * .

Mais, plus généralement, nous allons définir, pour toute

forme différentielle z de degré +, sur Sz 6. valeurs dans

F,

une image réciproque H

*23

, forme différentielle

de degré? sur fio & valeurs dans F . Cette forme sera

entièrement définie par_sa valeur en un poinqs defi,,sur

un système de vecteurs X, , Y

2 ,"')

T(,,, , de E, . Cette

valeur sera, par définition,

celle de3 au point Image

H (JC), sur le système des images des XL par l'application

dérlvde H'(x) :

@I,3;30)

(H*++(~, ,~L,...,~p)=W(H(x)).(H'(z).ji;,Hjz).<,..., H[+i&

Vérifions qu'on définit bien ainsi H* 0 comme une forme

différentielle de degré + sur 0, & valeurs dans r .

Fixons x . Si Ti, ,-XL,...

,x

v-

sont des wcteurs de z0 ,

le second membre a bien un sens, on d6finit donc bien

( H"

w' ) (*) comme une fonction sur FOp

. Cette fonction

est manifestement +-linéaire antisymétrique, parce que

z(H W)

est une fonction

sur EY,

et ee l'apgication

+ -linCaire antisymétrique

H (x) est une application

linéaire de E, dans E .

On a donc bien

d6fl i ( H* s

sur& à valeurs dans

?

et

) (a) comme un?-covecteur

par conséquent on a défini

H*ih3e-

(H*z) (b> , comme une forme différentielle

de degré p sur fi, à valeurs dans 7 .

Pour += 0

on considère conventionnellement que

cette formule se hduit 6.

* Pour cela, H peut être une application quelconque.

Mais pour pouvoir calculer l'image réciproque d'une forme

différentielle de degré B 0 , H

doit être dérivable.



52

et redonne tout simplement l'image rbciproque des fonctions.

La notio: d'image rhciproque d'une forme diff6rentielle se

rv&ne d ailleurs toujours è celle d'image rbciproque

d une fonction. En effet H

, application de fiO dansa ,

définit aussi une application G de a, y

Ër

par :

dansa x

Ëk,

Cu,3;32) (r-,;z,,T,,...,qJ -

(~(=),tib~X, , ++Si, ,...> H’(x).?+

Si l'on associe à la forme diffërentielle w

à valeurs dans 7

surfi,

, la fonction w 7 dhfinie sur fi x

ËT,

à valeurs dans 7 , par la formule :

Gr,3;33)

2 (7

,Y Y

, z ,..., TF, = W($.(Yy,~ ,...> Y& ,

et B son image réciproque, forme différentielle H*z

définie sur fin, à valeurs dans F , la fonction analogue

(H*z )”

alors (H*z)*

définie sur fi, x

Ëop

, b valeurs dans 7,

fonction ~5

n'e2t autre queJ'image rbciproque de la

par H:(H*G)*=H($).

Remarque - SiH est un C’ -difféomorphisme de fiO surfi,

on peut aussi définir l'image directe par H d'une forme

diffdrentielle GO définie surfi ; c'est une forme

diffbentielle sur fi , définie par

GT,3:33bb)

Hzo= (H-')*y .

.

Alors, si JC E fl,,et si

~,,~,,...,x

k'

sont des

vecteurs deË6 :



55

Enfin, pour démontrer (VI+,3;35 os),

on remarquera que,

si 3c c a,

, et. si X, ,X,

,.. . ,X+

sont+

-k

vecteurs

de E, , on a :

KoHk++ X, ,x,,...,x,

=

(H*(K*~))b+(X(,?, ,..., FF ,

d'où la conclusion.

Corollaire 1 -

SI une forme différentiellez s'exprime sousla forme (VI;3;25),où les #; sont des fonctions scalairesdérivables, son Image

r6clbroque

s'exprime sous la forme :

(XL,3;3R)

sont les Images réciproques des

, c'est-a-dire sont simplement

et o H

4

L

.



soitv une variété, au moins de classe C’ , de dimen-sion n, contenue dans un espace affineE de dimension N,ou même abstraite. On peut alors définir sur cettevarlétb

le notionde

forme différentielle on sait eneffet ce que sont les vecteurs tangents

E, cette variété.En nous

bernant

par exemple au cas d une variété deE

,on voit qu'on peut encore déflnir un k -covecteur en unpoint

oo

de V , a valeurs dans T commeu

e applicationp--inéaire antisymétrique de (*(X;V))

9 dans F ,

où T(x,V) est l'espace vectoriel tangent au pointa=

à la vzrlété V . On peut sors définir de la même maniere

une forme différentielle w de degré + sur V , à valeursdans un espace vectoriel normé F,, comme un champ de+-covecteurs sur V é valeurs dans F , c’est-u-dire commeune application qui,

a

c&aque point-de V , fait corres-pondre un F -cpvecteur W(X) au polntr de V . 2

valeurs dans F .

Il

n'y a aucune difficulté à définir alors la sommeet le produit extérieur des formes

différentielles.et

la plupart des propriétés antérieurement vues s'étendentsans grande difficulté. Nous parlerons souvent, dans lasuite, de formes différentielles sur une Variété V,sans

spécifier sa nature.On pourra se borner à supposer V

dans un espace affine E et les formes définies sur unvoisinagefi de V dans 'E .

1 )

Donnons nous, dans un espace euclidien E , une formedif'férentlelle réelle de degré 1; c'est un champ decovecteurs. Mais on a vu,Divlsion,qu'on

peut fairepage 178 du Cours de 2ème

carres ondre

bi-univoquement,a tout

covecteur,

un élément de 2 ;

on peut donc fairecorrespondre, à la forme différentielle de degré 1, unchamp de vecteurs. Par rapport

à

un référentielorthonor-

mal, si la forme dlfferentielle est définie parx A;h;,

le champ de vecteurs est définiparx.

-(A,(=),Azk4

...>

AN(x))

Cette correspondance dépend seulement de la structureeuclidienne de E et non de son orientation



si nous oon”enons

ainsi établies entrea :

60

de noter par rv * les correspondancesformes différentielles et champs, on

0%3;43)

N

w

=~~Al dr ~*A=( A, , AL, . . . , AN)

; e

d r , h dm A. . . A CLX,

rv 4

w'= & Wjdoc,A dx,A...j=,

(

ndccj~,ndmj+,n...n&,

)

N- Z

Remarquesl')-

La correspondance&

prdcédente

commuteavec la

multiplication

par une fonction scalaire. Par

exemple, si& WA

une fonction réelle surfi

cE

.

2O) Il peut être utile, dans certains casd'étudierdette

correspondance en prenant, pourcha&e

point de E, une base variable avec ce point; c'est ceque nous ferons en coordonnées polaires, page

j ) Ces correspondances ont,partiellement,un

caractère8.

la fols acrobatique etarchaxaue.

Elles rendentsouvent de grands services mais moins qu on ne le croit,car elles sont aussi des

restesde

lathborie

des formesdlff6rentielles

n'existait pas encore.

*

LanotationN

n'est pas courante, nous l'employons ici,

sans souci degénéralit6.

Cette notation peuth?me

êtredangereuse; si N= 2

,onal-:N-i

, donc la

lère

et la?ème

formule feront toutes les deux correspon-dre 6. une forme de degré 1 des champs de vecteurs,

qui

sontorthogonaux, et qu'illa même manière.

serait peu recommandé de noter de



62

Consid&ons

maintenant une forme différentielle dedegré 1 sur un ouvert deIfP' . On aura :

Si ensuite, nousconsldkrons

une forme différentiellede degr6 2, on aura :

Naturellement le cobord d'une forme de degré N

étant de degré N +4

, est nécessairementsurfi

,

nu.

identiquement

Théorème15

-

L'oDeration

possede les auatre

d6finie

Dar

la formule(VI,4;1)

pro iZ;tés suivantes :

1') Si$ est une fonction dérivable

forme différentielle dedegré

0

sur , , considérée comme

tielle de degré 1, associée à la'(VI,3,23).



pémonstratlon - Lespropriétés

1. et 2O sont évidentes.Avant c

ientrer 3”. remarquons que la formule de defi-

nltion

(VI,4;l).est

encore.valable,

si l'on suppose aueëst une suite d'élhments

j, ,j

non nécessairementcroigsante.

2. . ...'j$Si en ef et,

dé1,2;...,N,

nous dhalgnona par j: . j: ,,.., j;dans ce cas,

la suite des mêmes

616ments.

maisrang6s

parordré'de

grandeur croissante,et si noua appelonsQ

.la signature de la permutation del'ensemble d kl6menta

h ' aqui amène ces

bléments respectivement surnécessairement

L'application directe de la formule (VI,4;1) donne alorsle résultat

encore s'écrire

cequi

montre notre affirmation.

Démontrons maintenant 3").Soient;

etÜ des formes diffé-rentielles sur 0,

et s'écrivant sous'la formed6rlvables,de degrhs respectifs + et q ,

Alors;ct

A

la forme :'*'

7

, qui est de degré k+ 4 ,s'kcrit

sous



65

En vertu de la remarque faite ci-dessus, l'opération d&

s'effectue très simplement sur ce produit, bien que, quandon considère le produit dxJ A dx, , la suite des 616 -

ments #, , il ,..., jP , k,,$2,...,hq , de J U K , ne soit

pas rangee par ordre de grandeur croissante. On a, detnute façon,la formule :

Ceci s'écrit alors, en appliquant la formule de dérivationd'une fonction bllinéaire continue (théorème 12 du ChapitreIII) :

=

+

et ceci démontre 3”).

Démontrons maintenant 4 ).

Soit z une forme différentielle de degré? , deux foisderlvable surn ; on a alors successivement les formules :

* Le signe(-ljf

vient de ce que dx, A dr, = (-l)‘dr,AdzJ

(formule d'anticommutativité (VI,1;41)).



66

Naturellement, dans cette somme,les systèmes u, 1 , J

on ne conservera que, pour lesquels ti+ j3 et pour

lesquels aucun des deux élémentsd

,fi , n'appartient

LJ, sans quoi dra A

dr, A dr, = o . si pour un même

système (x, A , avec u L

B

, nous réunissons les termes

en d r,

A dssB

A dr, etdr,

A dr, Adr, nous obtenons une

expression qui est nulle, en vertuSde la proprié>A desymétrie des dérivées partielles &QJJ

- DXP

= 3 *J

-arp-b=k

(théorème 16 du chapitre III). Ceci achève la démonstrationdu théorème * .

Corollaire 1 - g u, w, w, sont des formes différentiellesscalaires de degrés +, 9 , & , on :

(Dr

L;dda (tihv~w) = d,u /~rrAur + (-~)+~A d,,yAtc

r+‘l

+C I)

uA vAdRu

On obtient en effet cette formule en posant

UAVAW = (uAv)hw , et en appliquant 2 fois la propriété3 du théoréme.

Corollaire 2 - sw est une forme dérivable sur .C J ,et

s'exprimant sous la forme (VI,S, j‘2' ?OU lesw.

sont dérivables, etoti

les 4.

d,'

a*,..., &

sont des fonctions scalaires2 fois dérivables, alors on

$

la formule :

* Par des methodes plus délicates, on démontre la formule

d ,d aW=O , m@me quand 0

n'est.pas

2 fois dérivable,

pourvu que w' et d@G? soient toutes deuk de classe C’

.



67

Démonstration

On a en effet :

d'après les

d&dJ.

gp

=

dR da

dko'ntre le

propriétés l , 2O, 3”; mais on a en même temps

f

a% =0 d'après la

propristg

li , ce qui

corollaire.

ThéOr&me

16 - ( Iéciproque duthéoreme

15) - L'opération A& 9

qui fait correspondre à toute forme différentiellez,

dcrivable,definie

sur Sz ,valeursv e c t o -riel

norméT

de degré+

,une forme differentielle dela seule opération ci posseder les

proprié-

O, 4" du théorème 15.

Ddmonstration -

Soit en effet 3 une opération quelcon-

que possédant ces propridtés.

Siz

est une forme diffé-rentielle exprimée sous la forme v1,3;6), par rapport auréférentiel R.

, on a nécessairement, d'après la linéarité

(propriété 2" ) :

D'autre part, d'après la formule relative au produit(propriété 3” ,

ceci peut nécessairement s'écrire



68

IP -

D'après la propriétel,le~bW~~,~~,,,,,~~ sont les formes

différentielles dz,

f,> i* ,... I if. de de& 1 associées aux

dérivées des fonctions 3a,

'&

#y

; de même d% = 3zg .

Enfin, d'après la proprieté 4 , l esSdrJ

=

ùbsk

sont

nulles. On en déduit bien que l'on a nécessairement

hiL? = d&W >

ce qui démontre le théorème.

Corollaire-

L(opération & , définie a partir du référen-

tiel& , est indépendante de ce référentiel; c'estopération

intrinseque

d,qui,une

a toute forme différentielleG dérivable,définie sur Ll c E

de degré+,fait correspondre unea valeurs dans F

finie sur a

a valeurs dans

formé dlfferentielle, @i

satisfaisant i toutes les prop~ét%$+2°~::0' Iia duthéorème 15.

Demonstration -

deE .Donnons nous deux reférentielsa et&'

Chacune des opérationsd@ etdw , satisfait aux

propriétés 1' -

2O

- 3" - 4 - du théorème 15; or le théorè-me 16 dit qu'il n'existe qu'une seule o kration satisfai-sant a ces propriétés, on a donc bien

8, = dR, .

L'opérationd s'appellediffërentiation

exterieure

ouopération cobord des formes differentielles. Une forme decobord nul s'appelle forme

differentlelle

fermée *

cocycle. E

Théorème 17 -

Soient&

un ouvert deE,,n

un ouvert de E , g Hune application 2 fois

dérivable

de fi, dansa.=3

une forme différentielle dérlvable sur Ll , ; alors on a laformule de commutation de l'image réciproqueH* et du cobora

-:

d

/&4;20) dH*w = H*d3

* SiA est connexe, une forme de degré0

estfermee

siet seulement si elle est une fonction constante

(theoiéme

22 du chapitre III). Une forme dérlvable de degré Nsion de

E

, est toujours fermee.

, dimen-



70

2') La divergence d'un champ de vecteurs,ti.

SI l'on considère un champ de vecteurs dérivable>on

peut lui attacher une forme différentielle dérivablede degréN -1; celle-ci possede alors un cobord, qui estune forme différentielle de degré N B laquelle on peutenfin faire correspondre une fonction scalaire.

Cette fonction, multipliéepar(-l)N-'

* s'appelle la

divergence du champ de vecteurs.

La divergence ne dépend ni de la structure euclidienne,ni de l'orientation, elle est assoclee directement a lastructure affine de E . Pour la construire, on effectueen effet 2 optrations, dépehdant du choix d'unN-covecteur

fondamental \ # 0 sur Ë , et ces 2 opérations seneutralisent, comme nous le verrons i la formule (VI,4;24).

Par rapport 6. un reférentiel quelconque si les compo-santes du champ de vecteurs sont les fonctions x-. A; zc),

i

= 1 . 2,...,

N , la forme différentielle associée

est donnee,

d'après (VI,3;42 bis), par :

in51;22

o = A 2 <-I)-‘A~ dr,

ndx2A...A

ds/dzc+, A...Adr1”

;,ùo$sieyt la valeur de laN-forme 5 sur le r6ferentielN

(,pi,4;2&) A = i.(< ,é* ,..., é,, ;

:

= Ads, A dz+A...ridr,

(On pourra se borner au cas où E est euclidien oriente,et le rkferentiel orthonormal positif, alors A = ).

Son cobord est donné par :

=

A(- -‘@ )dr,~dx-,h...dJC-N ,

* La raison de ce (-I)N-'

est dans le désir d'obtenir

la formule(VI,4;24),

sans signe-

.



74

par une dérivation sous le signeiii

, manifestement

légitime si62, est bor&, et %,y,3 ,de classe C*

B ec

D(r,y,>1

Dk. yooao)partout # 0 (corollaire du théorème 115

du chapitre IV).

Calculons cette dérivke pour t = t, On a alorsles formules suivantes, pour t voisin de't,

:

(q; 29qu. l rq

I

Jz

=

J=O

1+ a t - t a + . . . = l + Zo( t - t J + . . .

k

=

-a*=

( t

-

t , ) +

ay0

byobt

=

t

- L, ) , .

.

0

It (t-t,) + ...

0

t-t.)+..-

0

+ t-t,),

0

D<z, )

(=. 4;Wnto)

D(a>yO,%o)

= b7 t t )+...‘3x - O

,+- t-t,)+...

’d

à ? J+...

G-L)+

0

I+ (Ltq+

0

En ne retenant que les termes en t-t, , on voit que

d'où



75

On a donc finalement la formule

Mais l'instant t, ne joue aucun rôle particulier; laformule

(VI,4;23

octave)

se transporte Immédiatement&

un instant t quelconque :

dt étant la mesure des volumes dans l'espace euclidienE.

On appelle dilatation du fluide, en un pointM

de E ,

a l'instant t

, la limite de la dérivée logarithmique

dV

du volume, + d , prise a cet instant t ,lorsque l'ouvert

fit

considéré "converge uniformément"

vers cepointtl

.

La dilatation enM a

l'instant t est donc donnée par :

C'est delh

que vient le nom de "divergence". On exprimeraque le fluide est incompressible en écrivant

qu'u

chaqueinstant t le champ des vitesses a une divergence nulle.

Ces résultats montrent bien de nouveau que la divergen-ce ne dépend que de la structure affine de E . Car lesvolumes sont connus-dès qu'on s'est fixé une forme fon-damentale 5 sur E

, m a i s c e l l e - c i s'élimine pour la

considération de dV

77'

* Raisonnement déjà vu au corollaire 6 du théorème 102du chapitre IV.



Les vecteursSP

z 7-P

xi-' btJ'aLp

' ont été calculés page

w2 du Cours de 2J%me Division, et on a la formule (IV,

4;94).

Gardons l e s m ê m e s n o t a t i o n s . S o i t a l o r st

une

fonction scalaire de classeC'

dansW3.

si l'on appelle

of

04

14

=G'oB

aq

'

les dérivées partielles en if, 0, ip de

la composée top

, ce sont aussi tout simplement les

dérivées de4

suivant les trois vecteursi,k

En effet,par exemple :

le théorème des fonctions composées donne,

Mais alors cesdérivees

ne sont autres,d'aprPs

laformule

(111,3;21),

que les produits scalaires deg=#

avec les vecteurs considérés:a la formule :

de sorte que finalement on

et par suite l'expression dugradient

enCoordonn&es

polaires:



Son cobord est donné par :

(n,6;38)

(*An+/1~~)a~B+( ;u,B+~~nLR-8)~+hùC r r\deh dq,

bY

1d'où la divergence *

(VI,4;35)

:en utilisant la correspondance

Calculons maintenant le laplacien d'une fonctionscalaire.

On a la formule(VI,4;27)

. Il sut'flt alors d'appli-quer

SuCCeSSiVement

les formules(VI,4;32)

et(vI,4;jg)

pour trouver :

On voit que les méthodes Indiquées ici sont beaucoup pluscommodes que celles qui ont été indiquées au chapitre III(Cours de 2time

Division, page 230); cela tient a ce qu'icinous calculons le laplacien en utilisant son caractèreIntrinsèquement lié à la structure euclidienne.

Soit 2 une forme différentielle continue de degré? suri2c E à valeurs dans 7

Cil une prlktive extérieureA quelle condition existe-

dé 3dJff&entielle

Q

de degré#

- 1, c'est-à-dire une formesur CL à valeurs dans

-F 9

au moins declasse

C' , telle que d& =

W ?

N2turellement

cela n'est possible que si le degré p

de w est 2 1.

* Le facteur(-ljN-'

, qu'il faut prendre pour cal-

culer la divergence (page 70 ),vaut + 1 pour

N =3.



- 8 0

Les conditions que nous donnons pourfi sontévioemment

trèrestrictives; elles sont satisfaites, par exemple, sisZ estun pave ouvert dont les côtés sont parallèles aux vecteurs debase d'un référentiel. ou si c'est une boule ouverte

relatlve

ment à une norme raisonnable sur E .

On volt en tous cas facilement que, s'il est vrai que

les restrictionsDrécCdentes

sont beaucoup tropfortes.certaines restrictions de nature topologi&e

sür&

sontIndispensables. Supposons par exemple que E soit le plan

W'

que0

soit la forme différentielle de degré 1courakent

appel&

polaire".dq,

c'est-à-diredifférentielle de l'argument ou angle

( L;u)

dq = zdy-yd=.

2

2 +d

Alorso est une forme différentielle de degré 1 declas-

SeC ,

dans le complémentairea

de l'origine. Par ailleurselle est fermée :

dw

=

0 . Cependant on volt Ïacile -

ment qu'elle n'est pas, dans fi , le cobord d'une fonction

(autrement dit la différentielle ordinaire d'une fonctionde classe C' sur

G

).

Soit Aun point deR'

. Pour toutpolntkl

deR' appelons &(A; M)

l'angle dont ilfaut faire to&nerA autour de l'origine, pour l'amenersur la demi-droite OM

j il est détermln~ de manitre

uniquesl

on lui Impose la restriction-

71

<

@(A;

M)<

T

Appelonsu(Il'ensemble

des pointsM de fi pour lesquels

- fi c <P(A,M) c x ;

c'est un voisinage ouvert de A dansa.

Dans ce voisinage de A , Il y a des primitives de 0 ,

à savoir les fonctions cp (M)=cp, t g(A ; M);

ce sont

les seuls,'IY

étant connexe. Mais il n'.y a Das de Drimitive

dansa tout entier, il n'y a pas de détermination unll'orme

continue de l'angle Dolaire. En effet, toute primitivedans

fi est a fortiori une primitive dans v i

doncelle

*, lorsque M tend, en.nt IVI,

tel que@

(A;M,)=-n,

est dans u de la forme ci-dessu?: Orrestant dans u

vers un poj

mais de part et d'autre de la demi-droite AM, , ip

(Mltend vers Cp.- X

etCpO

+X

respectivement, ont

ip nepeut pas se prolonger en une fonction continue sur J2. .

On

voit, par cet exemple, que la dénominationdtf est

une erreur, puisque lJ

n'est pas le cobord d'une fonction;cette dénomination n'est valable que dans un ouvert pluspetit, tel queW

où unefonctionip

est définissable.

Naturellement, sl'fi ne vérifie pas des propriétés suffi-santes pour l'existence d'une primitive de la formedifférentielle Tj

on peut toujours affirmer que tout

pointa. dea

po.&ède

un voisinagew

dansa

, dans lequel

une telle primitive existe; il suffit en effet de prendrepour voisinage un pavé ouvert ou une boule ouverte.



Cette intégrale possède bien un sens. En effet, pour tout

Point

CC, ,x,, ,..., 9~~~ de

JJ

, le segment joignant ce point

au point (0,~~

I... , 2zN

) >

appartient entièrement a fi ,

et en conséquenceL Y est parfaitement définie et continue.

Pour

X,,X4>...>?CN , fixés, la quantité qui figure

au 2ème membre sous le signe1

est une fonction continue

de 5 à valeurs dans A“cp

( Ef’-‘; 7 ) . Comme ? est

supposé complet, Ad: <Ëf’: F)P-4

est un Banach, donc l'inté-

grale a un sens, et définit bien A (z

unélement

de A ,J Ë?-‘;F) ,A=&,...>

3cN)comme

, donc A comme une forme

différentielle dedegré-+

-.I

.surfl

a

valeurs dans F .

On volt bien alors que h

par rapport à s, ,admet une dérivée partielle

qui n'est autre que L .

estOn voit en outre que, siL est de classe C'tn1.31, il ende même de h . En effet, toute dérivée

partielle deh

, ne faisant pas intervenir la dérivation

partielle & ,

1

se fait directement sous le signe

tre4.

enver&

du corollaire du théorème 115 du chapi-

Toute dérivée partielle contenant la dérivation

partielle -&- s'obtient en dérivant par rapport aux1

variables ocz,..., ocs , sous le signe1

, tandis

qu'au contraire la dérivation partielle par rapport h oc,

se fait en utilisant la dérivee d'une lntegrale par rap-port

a

sa borne supérieure(theorème

89 du chapitre IV).

7

En particulier,~ étant toujourssupposee

de classe C',est aussi de classe C' , et admet un cobord dñ ,

qui 88 calcule par la formule :

&4;45)

d/j-=dOC,h



84

On a donc,48 bis)

:

d'après

(VI,4:46)

et la. première formule (VI,4;

w,r;49)

dx

(=, ,

L

Donc, non seulement T est de classe Cm mais dl\ aussi'- -% .

est de classe Cm(ce qui ne sanifie nullement que A soit

de classeCm+' le cobord dA ne fait Intervenir qu'une

partie des dérivées partielles de K Par exemple uneforme de degré maximum et de classe C' est toujours fermée.

donc son cobord, nul, est de classeC

, ce qui ne prouverien sur la forme elle-même).

On a donc l'égalité suivante (à cause de (VI,4;42) et(VI,4;49)) :

Si nous pouvons prouverquel

est le cobord d'une forme

différentielle de degré b- 1,

cobord de x ,

comme il en est de &me de dh,

il en sera de même de w . De plus, ir étant

de classe Cm, nous devons montrer qu'il est le cobord d'une

forme différentielle de classe C .

Mais

p est une forme diffkentielle où n'interviennentnizl ni&,; en effet, dans M , & n'intervient pas, et

on prend sa valeur en (0,5~%,...,33~

' ),doncm n'intervient.

pas non plus.(VI,4;48) :

Elle

est fermée, car, d'aprtis

la2\me

formule

(ar,4;54)

dP = d’M = 0’.



86

cq4;5z)

Corollaire 1-

Pour que des fonctions A,,Aù,...,AN,E

c l a s s e C’ , dffinies

sur un ouverts d'un espace affine

de dimension N ayant la propriété énoncée dans le théorème,

a valeurs dans un espace de Banach r , soient les d6rivées

partielles X$ = 2

-&

d'une fonction

r

de classe C'

définie sura a valeurs dans 7 , il est nécessaire et

suffisantqU'elles

vérifient les relations de compatibilité

&

aA) .

dXj

dx

“,t

=1

,..., N .

Dans ce cas, la fonction% est déterminée a une constanteI

additive

U~?S

q,

, et de classeC2

. En outre, si les fonctionssont de classe

C”‘,

la fonction-est de classe Cm+' *4

SI E est un espace euclidien affine orienté de dimension

3, on a,suivant :

en utilisant les champs de vecteurs, le corollaire

corollaire

2-

afi un ouvert d'un espace affine euclidienorienteth6orème.

de dimension 3, ayant la propriété énoncée dans le

1°/

Pour qu'un champ de vecteurs,defini

sura

et de classe

C' 9

soit le gradlent d'une fonction réelle de classe C' ,

il faut et il suffit que sonrotationnel

soit nul; dans cecas, la fonction j est définie a une constante additive

près. I

* Comme nous l'avons dit, note * page 79, il n'est pasnaturel du tout de supposer les A. de classeC'

, Nous

verrons, entheorie

desdistributions,ce

qui remplace lacondition de compatibilité (VI,4;52), si elles sont seu-lement continues.



2'/ Pour qu'un champ de vecteurs, défini sura et de classe

c' , soit le rotationnel d'un champ de vecteurs de classe

C’,

il faut et il suffit que sa divergence soit nulle;dans

ze

cas, le champ dont il est le rotationnel estdéfini à un champ de vecteurs prbs, qui est le gradient

d'une fonction arbitraire de classe C2 .

3”/Toute fonction de classe C' , definie sur fi , est la

divergence d'un champ de vecteurs de classe C' ; ce champ&-vecteurs est défini à un champ de vecteurs près, qui

soit de classe Cl et rotationnel d'un champ de vecteurs declasse Cl .

85 ORIENTATIONDESVARIETESDIFFERENTIABLES SURLECORPSDESREELS

SoltV une variéte, de dimensionn. , de classe C' , contenuedans un -space affine E de dimension N .

Qu'entendons-nous par orientation de la variété V ?

Soit a. un point de V ; alors V possède en a un sous-espacevectoriel tangent de dimension n. , que nous avons noté

ii

a;V) ; c'est un espace vectoriel sur le corps des

réels; il est donc susceptible d'une orientation.

Mous appeilerons alors système d'orientations & de lavariété V un choix, pour chaque a,de V , d'une orientation

de son espace vectoriel tangent T(d;V) . Un syst&me d'orien-tationsde V est donc une fonction 6

définie sur V , qui ,en chaque point d de V

prend sa valeur &(a) dans un ensem-ble ù deux éléments,

deT(a; V ) .

à Savoir les deux orientations possibles

Nous evons maintenant dire ce que nous entendons par unsystème 8 continu d'orientations de V (ou d'une partie de V >.

On conçoit tout de suite que ce n'est pas là la notion habl-

tuelle de fonction continue, car un système d'orientationsn'est pas une fonction du type habituel, puisque l'ensembledans lequel elle prend sa valeur, en chaque point a, dépenddu point& .



88

soit

+ :9

+

14)

, une représentation paramé-

trique vraie, de classe C' , de dimension TL, d'un ouvert

@(fi) deV

. Soit 4 le point de & tel que @(CC) = a.

Nous savons que l'application derivée

+'(a)

établit une

bijection linéaire de@

surT(a;V)

. Il enresulte

qu'elle met en correspondance les deux classes de bases

deRn

, et les deux classes de bases de ?(a;V)

* .

Nous appellerons alors O(N; a;

g)

=

8(a;+)=&~)la

quantité

égale a +1 si 4 met en correspondance la classe positive

deR (pour son orlen+tation canonique habituelle) avec

la classe positive de T(a;V) pour g(a) f

et égale

à-1 dans le cas contraire. Ainsi la carte @ définit une

fonction 0 : a -, @(a; @), définie sur l'ouvert (s , h

valeurs dans l'ensemblea

deux éléments + 1 -

1. Laconnaissance de cette fonction 8 sur

l'ouveit

(9 determine

complètement le système d'orientationsconsidére

sur la

partie @(o)deV . Mais, cette fois ci, la fonction0

prend ses valeurs dans un ensemble 6. deux éléments qui esttoujours le même, a savoir l'ensemble

{

+l,

-

l}

On dira alors qu'un système 6 d'orientations de V estcor1t1nu SI, un point a , relativement 2 uns carte S& dont

l ’ i m a g e r e c o u v r e a , si la fonction0 associée tr ce systeme

d'orientations eta

4> est continue au pointa

. Commecette fonction prend ses valeurs dans l'espace discret a

deux élémentst

+II

-

'1

'

dire qu'elle est continue au

point U , c'est dire qu'elle est constante dans tout unvoisinage de

d

.

On dira que le système d'orientations6

est continu,relativement à a, sur tout l'ouvert

Q, (fi) ) SI la

fonction8 associ6e à Cp est continue sur tout l'ouvert & .

* Il est en effe-t clair qu'une&ijectlon linéaire u d'unespace vectoriel E sur un autreF transforme 2 bases e, e',

de même classe (resp. de classes opposées) en 2 bases

U(Q) >

u(e'),de même classe (resp. de classes opposées).En effet, le

determinant

de CL(&') par rapport à U(C) est

égal à celui deP,'

par rapport à e .



Donc elles sont de mème signe ou de signe contraire, suivantque le

dftermlnant

jacoblen

dét @,ca., est > 0 ou x0.

Mais le signe du déterminant jacobien estevidemment

cons-tant au voisinage du point a, , puisque la fonction

@*,

est de classe C', et que son determinant jacobien. qui estdonc continu,ne s'annule pas. Si donc le signe de 8, reste

constant au voisinage de d, , celui de 8, reste aussi

constant au voisinage de c(, , cequi

démontre letheoréme.

Ceci nous autorise alors à poser la définition suivante :

3n

dit

qu'unsyst&me

e

d'orientations de V est continu

au pointa, s il est continu au point G relativement à

toute carte de la variété, dont l'image recouvre a ; un

sYsteme

'6

d'orientations de V est continu sur une oame

A e V ou sur V elle-même, s il est continu rn toutpoi nta- A-V.

Considérons deux systèmes d'orientations G

4

2

>

d'unevarlétév

. Alors, en tout pointu , onpourra'barler

durapport be ces deux systèmes d'orientations, égal 6 + 1 ou

21, selon que les deux orientations 6,(a) , '6*(~),de

T(a;

v)

t

définies par ces deux systèmes, sont

égales ou opposées.

Le rapport de deux systkes d'orientations d'une varlétél'

est donc une fonction définie sur la variété, à valeursdans l'ensemble a deux éléments

{+l,

-1).

Théorème 21 - ~,~fz,, d'une

varieté V sont continus au point& , le rapport de ces

dew.

systèmes d'orientations est une fonction constante danstout un voisinage de

LL

* . Réciproauement,

si ce rapportest une fonction constante dans un voisinage de a,-l'un des deux systèmes d'orientations est continu

ena

,l'autre est aussi continu en a.

* Ce n'est pas aussi évident qu'il le parait : un systèmed'orientations continu n'est pas une fonction continue ausens habituel, puisque est dans un ensem-

ble variable avec a .sa valeur, en Q

On ne sait donc pas immédiatement quele rapport de 2 telles "fonctions continues" soit continu.



Si en effet nous considérons une carte @

dont l'image

CPW)

contienne le point a , le rapport des deux systkmes

d'orientations au point r= de V n est autre que

4

et 0,.

étant les fonctions attachées à Q, et aux 2systèmes d'orientation. On en déduit Immédiatement lesconclusions.

Corollaire 1-

Si deux systèmes d'orientations d'une variétév sont continue en a. et co'fncident en CL , ils coTncident

dans tout un voisinage du point d .

Corollaire 2 - Si la variété V est connexe, deux systèmescontinus d'orientations de V sont identiques sur V toutentiere, ou 0

pogdstoute

entière.

En effet, leur rapport est une fonctionccntinue

sur V ,

a valeurs dansj

+1,

-1) ;

l'image réciproque, par cette

fonction de {1) ou de {-l]

est à la fois ouverte et

fermée, donc vide ou identique & V .

Définition-

On dit qu'unevariét6

V

, de classeC'

, dedimension n , est orientable, si elle possède au moins

z

système continu d'orientations. On dit qu'elle est orientée,si l'on a fixé un tel système continu, qui s'appelle alorsÜÏ% orientation de V . Si V est connexe et si elle estorientable, elle possède deux orientations possibles, et lafixation de l'orientation de l'espace vectoriel tangent, enun point particulier, fixe l'orientation de la variété touteentière. Par exemple, un espace affine est une variété orien-table : orienter l'espace affine équivaut d'ailleurs ici

orienter son espace vectoriel associé, puisqu'il est l'es-pace vectoriel tangent en n'importe quel point de la variété.

Dans ce qui suit, nous allons donner certains exemples devariétés orientables, et de variétés non-orientables.

Par convention, si une variété est de dimension 0 c'est-

h-dire si c'est un espace de points isoles, onconv;eniï

qu'orienter la varïéte

sïgnlf'ie af'ïecter chacun de sesPoints

du signe + ou du signe-

.



92

SI la variété est connexe, c'est-&-dire réduite 0. un seulpoint, elle possède bien encore deux orientations opposées

SiV est une vari&té

orientable, on pourra noter par7

(V surmonté d'une flkhe

couxbe)

la vari6t.é munie d'uneorientation.

?ar

convention, V désigneta alors V munie

de l'orientation opposée.

l~~agiiilii%~tji,~~;i~~~li~~~

U~rll~~~lIIC~CIIIYkuliYi#lill~iliW~',

Soient Q; et @, 2 cartes d'un atlas d'une variétéV .

On dit qu'elles sont co-orientables, si, ou bien leurs ima-ges sont disjointes, ou bien l'application @*,,= @;'~a, de

a, sur a2 (où 62; est l'image réciproque par ai de l'inter-

section0

=

+,(0,)n @*C@*) ) a un déterminant jacobien

partout>

0 .

Théorème 21 bis - Pour qu'une variété V soit orientable, il fautet il suffit qu Il en existe un atlas forme de cartes deux adeux co-orientables, la donnke d'un tel atlas fixe une orien-tation de

V

.

Démonstration-

Supposons V orientée. Soit C$ une carte,telle que c4 - soit connexe. La fonction 0 relative à

6

estalors constante sur 0 . Si cette constante est + 1 , ne

changeons rien et posonsy

=

@ ;

si elle est - 1, consi-

dérons la nouvelle cartev

définie par~(u,,u,,...,u,)=

4(-y,u2,...,un);

elle applique un ouvert deR

(qui

n'est plus8

, mais son transformé par (u,,u2,...,u~)-r(-u,,2,...,n

sur le même ouvert de v , et sa fonction 0

est mainte-

nant identique a + 1. Le système de toutes ces cartes q est

CO-orientable,

en vertu de(vI,5;l).

Comme lesy(0)

=

@((Y)

forment encore un recouvrement de V elles forment bienun atlas de cartes deux à deux co-oriktables.

Inversement, supposons donné un tel atlas. Pour un pointr

deV. si nous considérons une orientation e(z) de

T(r; V) , alors, pour toutes les cartes4

dont l'imagerecouvre z , la quantité ~($'(cc.); @) associée est la

même, an vertu de (VI,5;l) et de l'hypothèse de co-orienta-

bilité des cartes. On peut donc choisir e(l) de manièreque cette quantité soit toujours + 1. Alors on a défini



94

Remarque - Il existe toujours un système de n champs de

vecteurs tangents indépendants, u u

. ..ü >

continus

au point a de V . Il suffit decc&id&er

uk carte@

,

dont l'image recouvre a ,

par

<p'(F),

F =@-1x>

,

et de prendre pourÜi(r)

l'imagedu

l-iéme

vecteur de basedeK.

On construit ainsi, sur +((9-)

continus indépendants. Mais,un système de

IL

champsen'général,

on ne peut pasconstruire un système de n champs continus indépendantssur V tout entière, ni même toujours un seul champ continude vecteurs tangents partout # 17 . Voir

page

Théorème 23- Sa

Vune variété de classeC'

, de dlmensionn.

SupposonsV

munie d'un système d'orientations6 , Considé-rons une forme différentielle réelle w , de degré n ,définie sur V , et dont la restriction, en chaque point JC

&V , définisse une forme n -linéaire antisymétrloue nonnulle sur

TCx;V)

*

Si le système e d'orientations

de V est continu au pointa, alors le signe du n-covecteur,

Zflni

oarW

au ointz

sur7~~;

v).

relativement à

l'orientation-quelle q

(r) de cetespace, est constant pour XL

assez voisin dea.

, ue soit la formew

continueen.

Inversement si, pour une forme particulièreW

continue, alors leau pointa.

Démonstration - soit ü,, ü, ,...,ü, un système de n champsde vecteurs tangents a V , indépendants, continus en a ;

nous avons vu, b la remarque qui précède, que de telschamps existent. Alors la fonction réelle

z

- w(x).

(U,(X),üp4, . . .ün(X,)

est continue et#

0 au pointa,

donc de signe constant dans un voisinage de G . Or son

signe est le produit du signe dun

-covecteur

O(X)

etdu signe de la base

Ü,(x),

Ü*(x) ,... , Ü,(n)

de ?(X;V) ,

par rapport à l'orientation e(z) de T(r;V) . Le signe

de la forme est donc constant au voisinage de Q. , si etseulementale

signe du système de n vecteurs l'est,c'est-

h-dire,d'apres

le théorème 23, si le système d'orientationsde Vest continu au pointa .



<étant le vecteur uniqaire de l'axe des 74 et Ü le vecteurunitaire de l'axe Om, ; G= aIi . Pour y=0 , ce

segment est vertical; quand4'

augmente, il "tourne autourde la tangente au cercle moyen", de l'angle $ exactement;quand nz revient à sa position initiale, avec y= 2% , lesegment est aussi revenu dans sa position initiale, mais

s'est "retourné".

Ceci donne la représentation paramétrique de la ceinturede

Mobius

par les formules :

I

a,

-e t

donnés, 0 ç e

< a.

On remarque bien que, si l'on change q

enqt27( ,etP

en-f,

on retombe sur le même point de la ceinture. Lareprésentation precédente est donc une "représentationparametrlque impropre"; mals, localement, c'est une repré-sentation paramétrique vraie, au sens du chapitre III,

a faire varier ('p, p)

deR*

, défini par

5;4) définit un homéo-

m , de (P sur un ouvert de laceinture. Il nous suffit de démontrer que l'applicationdérivee

de<b

en n'importe qupour avoir prouve que la represt vraie.

Or laderlvation

de la formule(VI,s;j)

par rapport a pnous donne :



avec

y

zn,o) =

q,q,

e t i y +*n ,o )=

> les 2 bases correspondant àq

et b

4

+2n

onts f l rement

des signes opposés.Nous aboutissons doncbien à une contradiction. Ceci traduit le fait que, si

l'onessale

d'orienter la ceinture deM8blus.

en fixantl'orientation en un point (Lp , 0) , et en la déterminant

ensuite "par oontinuité loriqu'on suit le cercle r

> on

tombe,aprbs un tour (au po1ntcy-r 2fl, 0 )), sur le point

initiai

inltialel

avec une orientation opposée à l'orientationce

qui

rend impossible une orientation de V .

La ceinture deMobius

a d'autres propriétéstopologiques

remarquables. Par exemple, si on la coupe longitudinalementsuivant le cercle moyen, elle reste en un seul morceau.

Cela

revient encore 2 dire me. sur V . le (

du cerclemoven

estencore'connexe

zomplementaire

et même connexe par l??S;

ce qui ne serait pas vrai sur une ceinture ordinaire.Cette propriété est évidente. On trouve en effet facilementun chemin joignant. dans V-F, le point M(q,, p,) au point

M(g, I

P*)

t p,

et

p,

# 0

: il suffit de faire

varier continûmentq

de 0, b y?,et p de p, à f2

SitlS

passer par 0 , si p, etf,

ont le même signe; ou, aucontrai-

re,(P de q, ti Cp2+ 2x , et p de p, à - p2 sans passer

paro , si p, et p2

sont de signes contraires.

Exercice- Démontrer directement les propriétés précédentes,sur la ceinture de Mobius définie comme variété abstraite.On considérera le rectangle AB B'A'

;

on identifiera lespoints de AB a ceux de B'A'

, en identifiant deux points

M,M' situés respectivement à la même distance de A et

de B' . On'montrera qu'on établit facilement, sur l'ensemblequotient, une structure topologique et même une structure devarieté abstraite, de dimension 2, et de classe C ; estonmontrera, d'une part, que le complémentaire de 0 0'

connexe, et, d'autre part, qu'il n'existe pas de systèmed'orientations de la variété, qui varie continuement le

longd

Naturellement Il

existe au contraire des exemplesnombreux de variétés orientales. Par exemple une sphère d'unespace affine euclidien est orientable, les

quadrlques

sont

des variétes orientables. Nous le démontrerons plus loin(corollaire 2 du théorème 30). On pourra utilement le démon-trer dès maintenant à titre d'exercice.



100

[Si l'équation de cet espace tangent estF(z)

=

o

, F

est une forme iinéaire sur E alors ces deux demi-espacesseront définis respectivement bar les inéquations F(=) ,o

et F(Y) <

o . Ces deux demi-espaces ouverts sont

donc les Images réciproques, par l'application continueF ,

des ouverts 1 > 0 et 5 < o de w , donc ils sont

ouverts dansË

et aussi dans le complémentaire del'hyperplan. Ce iomplémentaire n'est donc pas connexe. Aucontraire, chacun des 2 demi-espaces ouverts est co+ni,txe,

et même connexe par arcs. Si en effet deux points Y et2

appartiennent au

ne rencontre pasla relation :

même demi-espace, le segment qui les joint

l'hyperplan; car, F étant linéaire, on a

(VI,5,7) F(t? +(1-t

qui prouve que Fconsidéré].

On dit alors

>z) = tF(q)

+ (r-t)F(Z)

>

o

<

t <

, ,

garde un signe constant sur le segment

qu'on a orienté transversalement C aupointa,

ougue

l'on afixe

les signes respectifs dz

deux faces de X au pointa , si l'un des deux demi-espaces,

définis par'?(a;

2)

dans l'espaceË

,,a été affecté dusigne + et l'autre affecté du signe;-.D un vecteur trans-versal

en

Q

de la classe positive, on dira aussi "qu'iltraverse l'eipace vectoriel tangent à X en a "dans lesens positif, ou qu'il est sur la face positive de z en u.

Naturellement cela revient aussia

dire que l'on considère

l'espace vectoriel quotient de Ë par l'hyperplan T'Ca;z).

Cet espace vectoriel quotient est un espace a une dimensionsur le corps des réels; et dire que l'on a orla

transver-

salement V au point a, c'est dire que l'on a orienté cetespace vectoriel quotient, au sens antérieur.

On appelle système (32 '*

-2

>

d'orientations transversalesune application qui, à chaque point 3~ de ZZ , fait

correspondre une orientation transversale '%(zsC, de

C

au

point z . C est donc une fonction définie surZ

, qui,en chaque point I , prend sa valeur dans un ensemble L

deux éléments (dépendant du point x ), a savoir l'ensembledes deux o+rientat_ions posstbles de l'espace vectoriel quo-tient de E par T s;~ ).

Quand dira-t-on maintenant qu'un système d'orientations

transversales % de c est continu en un noint a de z ?

l Tangentiel et transversal commencent tous deux par lalettre t

Nous avons remplacé transversal par normal, et

designé

par4

un système d'orientationstangentielles et%

un système d'orientations transversales ou normales;iln'exi

te de normales que s'il y a une structure euclidienne.



En effet, leur rapport est continu sur C et ne peutprendre que les valeurs +l, -1: V étant c&nexe, ilest constant.

On dit pue l'hypersurface x de E est transversalementorientable, sielle admet un systze continu d'orientationstransversales: elle est dite transversalement orientee. siun tel système est donné.

SIC est connexe, et si elle est transversalement orien-table: elle admet deux orientations transversales possibles,opposees l'une b l'autre, et une orientation transversalede c est entièrement fixée par l'orientation transversaleen un point particulier de C *

Donnons maintenant quelques théorèmes sur l'orientationtransversale des hypersurfaces par l'orientation de leursnormales dans un espace affine euclidien.

Théortme 26 - Soitz une hypersurface de classe C'

dans unespace affine euclidien E . Pour tout point a dé ;- , Gexiste, dans un voisinage de a sur 2 , un champ continude vecteurs unitaires normaux.

Un système d'orientations transversaleszde C est contl-

nu au point a , si et seulement si un tel char à un si neconstant dans un voisina e de Q , ort a 1 orientatio

transversale%

.

Démonstration - D'après le corollaire du theoFème33 bis duchapitre III, Il existe un voisinage de aoù l'hypersurfaceest définie par une équation normale

(X) = 0 ,

une fonction de classe C’

où j est

défini par

_ yt;:ors le champ de vecteurs

3(Z) = vd

IIas,a &)Il

est un champ continu de

vecteurs unitaires normaux. Si un système d'orientationstransversales contlnu%est fixé au voisinage de a, alors,

d'après ladefinition

même, un tel champ, qui est continu,doit avoir un signe constant dan% un voisinage de a- , par

* L'orientation tan entielle d'une varieté, vue antérieu-ment, est une propri tsèque la varieté peut êtreabstraite. L'orientation transversale est relative à lasituation de la varieté dans l'espace ambiant. On peut deter-

miner les 2 faces d'une courbe dans le plan; mals pas d'unecourbe dans W3 , ni d'une courbe abstraite.



104

Réciproquement, si .Y - est transversalement orientée, le

champ des vecteurs unitaires normaux positifs est bien contid'après le. corollaire 1.

Corollaire2

- Toute hypersurface de classe C' d'un espaceaffine E de dimension finie, définie globalement par une

seule équation normale ~Cc,

= 0, 4 de classe cl dans Eest transversalement orientable. Toute hypersurface ferméede classe C' d'un espace affine est transversalement orienta-ble. Les sphères d'un espace euclidien sont transversalementorientables.

Dans la lère hypothèse, Il existe, si l'on met sur Eune structure euclidienne arbitraire,vecteurs unitaires normaux, a savoir

suffit donc d'appliquer le corollaire 2.

Nous avons vu (Cours de2ème

division, page738,

remar-que 2O * que toute hypersurface fermée de classe C-pou-vait être définie par une seule équation normale; elle estdonc toujours transversalement orientable. On démontre quele résultat subsiste pour la classe C’ .

Les sphcres d'un espace euclidien et le s quadriques Sans

point singulier) sont transversalement orientables, pulsqu'el

les ont une équation normale. Pour la sphère d'équation

11% - O/I’ - R* =

0

> le champ defini comme précédemment

estz

X-O

,R

champ normal "sortant", dirigé

suivant le prolongement du rayon vecteur Issu du centre. Ondit encore qu'on a orienté transversalement la sphère demanihre que les vecteurs sortants soient positifs.

Corollaire 4 -

Soit&

un système d'orientations transversa-les sur une hypersurface 7, d'un espace affine quelconque E,

de d-imension N . Si, au voisinage du point a , il existe aumoins un champ particulier continu x de vecteurs transversauqui soit de signe constant au voisinage de a par rapport

à.%

le système&

est continu au pointa .

Démonstration-

Fixons- nous arbitrairement sur E une struc-ture euclidienne, par exemple en identifiant E àWNpar

lechoix d'un référentiel. Soit

3

un champ continu de vecteursunitaires normaux-

au+voisinage

de a .Aiors

le signe du pro-duit scalaire (X 19) est lui-même continu, et par consé-

* Il s'agit lb d'un résultat très difficile b démontreret nous l'avons admis



106

Supposons, par exemple, que, dans le planl&,l'hypersur-

face Z soit le segment ouvert J O,l[ de l'axe r6elW.

Il est bien évident que cette hypersurface est encore trans-versalement orientable, mais .Z. ne partage pas l'espace endeux régions, et la méthode employée pour les sphères nepeut plus réussir.

Par contre, localement, un tel segment partage encorel'espace en deux r6gions; autrement dit, si l'on prend unpoint quelconque du segment 1 O;l[ considéré, et unpetit voisinage de ce point, ce petit voisinage est bien,s'il est convenablement choisi,deux régions.

partagé par le segment en

D6finltlon - On dit qu'un esppartagé par un ensemble A ep

si le complémentaire de A a kcomposantes connexes; et cesont ces composantes connexes au'on auoelle les réaions

définiespar-A

dans E . Dans-les cas‘ ue

nousalïons

considérer, E sera localement connexe 't

espace affine norméou ouvert d'un espace affine normé, variété), et A serafermé dans E D Dans ce cas, CA est ouvert dans E , etlocalement connexe; alors nous avons vu, dans les complémentde topologie sur les espaces connexes (théorèmes etremarque qui le suit) que chaque composante connexe de CA

est ouverte dans CA donc dans E puisquec

A est ou-verte dans E ; alors to;t revient à dire que CA est

réunion de k parties non vides, ouvertes, connexes, disjoin-tes.

Théorème 27 - Soit c une hypersurface de classe C' dans E .Quel que soit le point a de c il existe un voisinageouvert G) ) g a a E , Gant ies proprietés suivantes :

l / q est homkomorphe B uns boule ouverte;

2”/

c nv est fermé dans v,et le partage en 2 réglons

si;

vz ; chaque point de z n'-$' est adhérent & chacunede ces'2 rénions

*

i

3”/ xpossède, dans 91, une

6quation

normale $(Cc)= 0 ,&les 2 régions sont respectivement définies par les InéRa-

lités

(Z) > 0 , (X)

< 0.

lTl est bon d'avoir cer;r;e dernière

rOpriété

Si nOU8

considérons 1 ensemble fermé A

de la figure, il partage le planen 2 régions, mais il y a despoints de A ,.comme (L , qui ne sontadhérents qu a une de ces 2 régions



108

2O) Par

contre, Il est relativement simple de voir que,six

est connexe, il y a au plus 2 régions. Soient en effet

(fin, )it1 les composantes connexes de fl = C ,Y - .

Montronsque

l'ensemble des pointsdex

, qui sont

adhérents à 1 une d'entre elles fin; , està

la foisouvert et fermé dans

x

. Il est évidemment fermé dansx ,puisqu'il est l'intersection de Z avec l'ensemble fermé

fii

de E. Montrons qu'il est ouvert dans 2 . soit

en effet a un point dex adhérent à fi; . Soit9

un voisinage de a dansE

, ayant les propriétés indiquéesau

théoreme

27. Puisque a adhère àa;

, l'un au moinsdes 2 ouverts

w,

, 9, , rencontreSz; ;

si, par exemple

v,

rencontre fi;, 91, u fi; est reunion de 2 partiesconnexes d'intersection non vide, donc est connexe d'après

letheorème

38

bis des compléments de topologie sur lesespaces connexes. Mais fi;

de fi

est une composante connexe, donc, il ne peut exister aucune partie de Sz ,

connexe, strictement plus grande que fi; ; donc

&uV, = SLY , ou

91,

c .ai,

. Mals alors tous

les points voisins de a (ceux derents à U;

c n w

)

sont adhé-, donc à n; .

Comme alors2 est supposé connexe, tout point dez

est adherent à 0,; , ou aucun point de,7-

.

Mais Il est impossible qu' SZL

ne soit adhérent àaucun point de

c

. Soit en effetWL&

un point de L-l,; ;

on sait (2ème Division, page 82) qu'il existe un point a;

de ,.??

, dont la distance à fii est minima. Alors lesegment

]aL

, nG ] et

a;

sont connexes, d'intersection

non vide puisqu'ils oontiennentm$; donc encore une foisleur réunlon est connexe, et, encore une fois parce quefi4

est une composante connexe de 0, , on a nécessairement



110

La région fi2 s'appellera région des points a l'infini,ou composante connexe de l'infini dans

-définie,

reglon.lntérleure;~4 estbornez,

puisque Contenue danstoute boule

fermee

contenant x .

Orientation transversale d'une hypersurface et partage de l'es-pace en

reglons.

Il nous est possible maintenant de défiair une nouvellesorte

d'orientations

transversales,dkflnles

par2

localement dans E .a l'aide des deux régions

Définition- Soit xune hypersurface de classe C' d'un

espace affine E , etsoit

y un ouvert de E , tel quex

r> v

soit fermée, et qui soit partagé parx

nv

en deux régions

%

et sr, .Solta

un point de 2 , adhérent a la fols à

V, et UV, . Ondit

gu'un

vecteur2

z

Ë , transversal

ena , est rentrant par rapport a laregion

9, e

9

,

s Il est le vecteur "vitesse Initiale pour une trajectoire

de classe C' , M:t-M t), Os t 6 t,, entièrement

située dans la régionv,

de27

pourk

>

o

, avecM(O)

=

(L.

(SIM est une traJectoire

de classe C' , rappelonsqu=le

vecteur vitesse en un pointt

estle

vecteurdérivé

dM

;

TE

on suppose donclciMco)=

a, $J$O)

= 2 ).

Un vecteur

sortant par rapport a v, est, par définition. un vecteur

rentrant dansv,.(Il

n'est pas évident qu'un vecteur trans-

versal ne puisse pas être a la fois sortant et rentrant, ouaucun des deux Nous le verrons plus loin, theorème 29, 4'/

Voici une autredefinition

des vecteurs rentrants etsortants :

Théorème 29 - $&C une hypersurface de classeC'

d'un espaceaffine E . =a, un point de C ,v un voisinage ouvert dea

dansE

ayant lesproprlétes

Indiqu&es

dans letheorème

27.

l / Pour au'un vecteur transversal? en un point 2 & 2

n ZI

soit rentrant dans 9; , il faut et Il suffit que, pour t 7 0

assez petit, r+tx

soit dansV,

.



112

tangent, -

versal,où X ne

se-trouve

pas puisqu'il est supposé trans-donc p'(x) . x z

0

2O)+b)

- Réciproquement, SOI~ ? un vec-teur tel que p',~). X >

O

. Alors la fonction

t+ f(z+tx) est de classe C' , nulle pour t = 0 , de déri-

vée ~b,.X

z 0 pourt

=

0 ; donc elle est>

0 POUX-

t 5 0 assez petit. Donc le point 2 +t>7 est dans CU,

pour t z 0 assez petit, donc, d'après 1') a), ?

est

rentrant dans vi . Ainsi 2O) est démontré.

voit.4 ) En changeant v, en

9f2,etJ

en-{, ond'après Z'), que tout vecteur transversal est, ou

bien rentrant dans v,ou bizn rentrant dans ‘&,les deux

propriétés s'excluant : X est rentrant en 5 dans g,

(resp. dans zr,

) si g'(z) .? > 0 (resp. < 0).

L'ensem-

ble des vecteurs transversaux rentrant dans v, et l'ensamble

des vecteurs transversaux Entrant dans 9, sont les deuxdemi-espaces définis par

T(z&;

z

) dans7

, puisque

T(z ; C ) a pour équation$'

(3-).X

= 0

Appelons positive la classe des vecteurs transversaux ren-trant dans g, , ce qui dé=finit un système% d'orientationstransversales. Si X :

70+

X(z) , est un champ continu de

vecteurs transversaux, 7c + f'(5) .X,x)

est une fonction

réelle continue sur C n v , toujnurs # o , donc de signe

constant au voisinage de chaque point; celà prouve que 2

est de signe constantpour%

; donc % est continu, et 4 )

est démontré.

1') b)-

Si?

est rentrant enz

dans(u,

,

on a j'(r) .2

z 0 d'après 2 ) a). Donc xct x est

dans v, pourt

>

o assez petit, d'après ce qui a été

démontré a 2') b) . Ceci achève de démontrer 1').

classeC' , nulle

3”) b) -

Soit q

une fonction réelle desur

C

n V

,>

0

dans

si ,

, et telle

que q'(s) . X > 03

est suppos6 transversal *

;

donc

xou -2

est rentrant dans v, , d'après 4 ): dans lesecond cas, on aurait, d après j ) a) , L~'(X) .z 5 O , ce

* Onv$t

d'ailleurs facilement quel'hypothèse

q'ck).?

#O

oblige X h êtm transversal.



114

Démonstration - NOUS pouvonsorienté. Considérons alors untangentielles de V .

supposer tout de suite E

système 6 d'orientations

On en déduit un système%d'orlentations transvqrsales

comme suit. Nous dirons qu'un vecteur transversalX en I

est positif (resp. négatif) si, pour une base ïj,,ü,,...,ü,,

* T(r;

C) , positivenour

4~2)

-s

, la base T, Ü,,...,;,,

de S est positive (resp.negative)

pour l'orientation de.E.

Si cette przprlété est vraie pour une base positive particu-

lière de T(r;

C)

, elle est vraie pour toute autre base

positive.

En effet, si U : v,, ~,,...,~,-, est une base de 7,~; Z),

etU’

:U:

, ü; , . . . ,ÜL-,

une autre base, le déterminantde U' par rapport a U est égal à celui de la base 2, Üi,Ü;,...,Üd

de Ë par rapport à la base ?,Ü,,Ü2,...,Üi,-, . Ainsi la

définition que nous venonsde

donner est indépendante de labase positive choisie dans T r;C ) .

Ce que nous venons de définir est bien une orientationtransversale de

ç

au point a.~. Si en effet7

est unautre vecteur transversal quelconque au point J: on peut

. -

- i.

écrire Y = A X + ,U, + --.+ A,-, W-l ; alors Y et X sontü

ou non dans le même demi-espace défini dans E

-

par T(z;Z),

suivant que A est>

0 ,ou

<o

;%r

1. n'est autreque le determinant du système de vecteurs y, IJ , ,,.., ci,-,

par rapport à la base2,

ü,,... ,üN.,

. Donc tous les'

vecteurs d'un des deux demi-espaces sont du même signe pourla classification

précedente, et deux vecteurs de deml-espa-

ces differents sont designes contraires, ce qui prouve bienque nous venons de definir la une orientation transversalede V au

point% et par conséquent un système% d'orienta -

tlons

transversaies.

Inversement, si nous partons d'un système%d'orientations

transversales de Z , nous pourrons dire qu'une baseÜ,,...,Û,-

de T(z;x) , est positive, si la base(T,<,...,Ü,-,),de Ë

est positive par rapport à l'orientation de Ë , lorsque ?

est un vecteur transversal positif par rapport à %L<X>.



116

Si nous considerons maintenant comme hypersurface, l'hy-

perplan

2~

= 0 , l'orientation dans laquelle le système

de vecteurs-e,,...,ëA-, , ëh+r,...,eN est positif, est enoorres-

pondanceaveq

l'orientation transversale où le charnu de

vecteurs (-l)'-' TA est positif.

2O)

soit u = ü, ü2

>...

UN-,

une base de

T(r;z) . -

SiE

est euclidien orienté, on peut définir un

produit vectoriel 2 =[Ü,A Ü, ,-,...A ï?,,-, ]

(theorème 11).

qui est normal en x àx

. D'autre part, la base x,

u,,ü* ..., q.,, est positive pour l'orientation de Ë Donc U- -

est nositive nour une orientation tangentielle, si et seu-

lement

si X est positif pour l'orientation transversale

associée.

Soient 4> une carte de la variété, dont l'image recouvre

le point@ , avec4(d)

= a ,et6

un systèmed'orlenta-

tiens

de2

. Le système des vecteurs i

=

f,Z,...

N-

est l'image, par@'(a)

, du système des Gecteurs de la base

canonique deRN-';

dokson signe,dans T(a;V),est @(a;&),

si 0 est la fonction associée (page 88) au systeme 4;

d'orientations tangentielles

Donc le produit vectoriel de ces vecteurs est du même signpar rapport à l'orientation transversale associée; autrementdit, 1 orientation transversale% associée a une orientationtangentielle donnée d,est celle pour laquelle le vecteur

est un vecteur normal,positif,pour

touts carte <p et toutd

3”) Considérons le cas particulier de ladimension N = 1, et soit c un point de E,

considére

commehypersurface. La correspondance entre orientations tangentieles et transversales se définira conventionnellement commesuit.



117

Orienter c , tangentiellement,c'est l'affecter du signe +

ou du signe - ;

l'orienter transversalement, c'est donnerles signes-+ et - aux deux demi-droites définies par l'ori-gine dans E c'est-a-dire simplement orienter Ë .alors on supp;sez muni d'une orientation

donnée,nous

Si

établirons la correspondance entre l'orientation de c

dans laquelle il est affecté du signe + et l'orientaiion

transversale de c ,deË .

qui correspondea

l'orientation donnée

Corollaire 1 - La ceinture de Mobius n'est pas transversa-lement orientable dansIfP3.

En effet, nous avons vu qu'elle n'est pas orientable(théorème 23 bis). On ne peut donc pas "fixer les deuxfaces" de cette ceinture. La ceinture de Mobius est unehypersurface de

W3,

à une seuleface .Si,

par exemple,on part du point 9 = 0,

f

= 0 et qu'on appelle facepositive, en ce point,celle qui eit tournée vers l'origine,

si l'on fait varierg continuement, et qu'on revienne al'origine avec les paramètres Cp = 271, f=o , la

face positive, suivie par continuité, est devenue celle quiregarde en sens Inverse de l'origine. En un point donné,ily a bien toujours 2 faces, mais pas globalement, puisqu'onpeut passer continuement de l'une des faces en un point à

l'autre face au même point, en se déplaçant sur la surface *

Corollaire 2 - Toute hypersurface de classe C'

d'un espaceaffine de dimension finie,

definie

tout entière par une.7q

e uation normale est orientable.

ce fermee de classe C1 d'un espace affine de dimension finieest orientable, Les sphères d'un espace affine euclidien de-

dimension finie sont orientables.

* On dit qu'un barbu, ne sachant s il devait, la nuit,mettre sa barbe sur ou sous le drap, s'est acheté un drap

en ceinture de Mobius, donc n'ayant qu'un seul côté. Visi-blement, c'est la une solution inexacte du problème, car labarbe ne couvre pas la totalité du drap, et, localement,c'est-à-dire au voisinage d'un point, toute hypersurface esttransversalement orientable, et a toujours 2 faces



118

Il suffit d'appliquer le corollaire 3 du théorème26 * .

En particulier,classe C',

si,Z

est "ne hypersurface compacte de,T admet "ne orientation transversale privilégiée

(où les vecteurs sortants sont positifs. remarque 2') page113 ), donc "ne orientation tangentielle privilégiée, siE est orienté. D'après la définition de la correspondance

entre orientations transversale et tangentielledonnee

dansla démonstration du théorème, on voit qu'un système de N-l

vecteurs tangents en un point de.X

positif pour cette orientationet

indépenoants,

esttangéntielle si, quand on

fait précéder ce système de vecteurs par un vecteur "sortant:on obtient

une

hase positive pour l'orientation de Ë .

Si, en particulier, on fait N = 2, cela redonne bien l'orien

tation "directe" habituelle d'une courbe compacte de classeC'

dans un plan orienté,et l'orientation "directe" du cercletrigonométrique dansR' .

3 d”voit que toute hypersu]

C' I

d'un espace affine E de dlen 2

reglons, et est tangentiellement et transversalementorientable.

Sic

est com acteroles tres différents

les 2 régions jouent des1 "ne des deux est bornee), il y a

Remarques l / En résumant le théorème 28 le corollaire

théorème 26, et le corollaire 2 duthkorème

30, onrface2

fermée, connexe, de classemension

finie, le partage

"ne orientation transversale canonique (vecteurs sortantseosltifs), et "ne orientation tan,gentielle

canonlq e

-E

est oriente.

2'/ Se donner "ne orientation tangentielled'une courbe de classe

Cl

c est se donner un sens deparcours de cette courbe. On considérera comme sens deparcours positif celui pour lequel, en chaque point, levecteur vitesse, s'il estl'orientation en ce point.

f0 P

est positif pour

* La ceinture de Mobius,fermée (on a pris une

inegalité

strictedefinie

par ('~1~?4 ,~$e;t pas

Si on avait pris uneinegaiitd

large - 4

<

p < k9 0x-l

n'aurait plus eu unevariete,

il y aurait eu un "bord").Mais il peut naturellement exister, dans un espace affineE de dimension

N

de dimensionn. <des variétés fermées et même compactes,

surfaces),N'- 1 (donc qui ne soient pas des hyper-

non orientables.



3”/ Orienter une variétév à deux dimensions,c'est se donner un sens de parcours pour les courbescompactes, au voisinage de chaque point. En effet, si,par exemple, nous prenons une structure euclidienne dansl'espace ambiant E , la projection orthogonale de lavariété sur son sous-espace tangent au point CL, restreinteà un voisinage9 assez petit de a , est

C'-difféomorphisme;par conséquent un sens de parcours sur les courbes compactesde la variété,contenuesdans le voisinage b\Pdupoint

a,est

équivalent a un sens de parcours sur leur projection dansle plan tangent en a à la variété. Or, d'après l'orientationde V , le plan tangent est précisément muni d'une orienta-tion, et nous venons de voir qu'une orientation d'un planoriente ses courbes compactes,donc définit sur elles unsens de parcours * .

J+O/ Soit v une variété de classe C’ dedimension n

et c une hypersurface, c'est-à-dlie une

sous-variété'de dimensionri-

1, de classe Cl

Alors tous les résultats locaux démontrés depuis

deV

.le

théorème 25 subsistent. SiV est orientable, C esttangentiellement orientable, si et seuLement si elle l'esttransversalement; siV est orientée, il y a correspondancebiunivoque entre les orientations tangentielles de x etses orientations transversales.

Mais les théorèmes globaux d'orientation ou de partageen réglons ne subsistent pas. Si .Z est fermée dans V

elle peut très bien avoir un complémentaire connexe. Parexemple, sur un tore, un cercle parallèle ou un cercle

méridien est une hypersurface compacte qui ne partage pasle tore en plusieurs réglons ; il en est de même du cerclemoyen dans la ceinture de Mobius (voir page 98 ). Dans

le complémentaire V de l'origine dans We , une demî-

droite Issue de l'origine est une hypersurface fermée, quine partage pas V en plusieurs régions. Dans chacun de cescas, l'hypersurface n est pas définissable par une seuleéquation normale g(Z) = 0 (sans quoi, comme l'a prouvé

la démonstration du théorème 28, elle partagerait V en aumoins 2 régions) ; le cercle moyen de la ceinture deMobius est tangentiellement orientable, mai s non transver-salement. Les

théorE:mes globaux énoncés sont très partlcu-

liers

aux hypersurfaces fermées d'un espace affine.T o u t e sces propriétés constituent ce qu'on appelle de la topologiealgébrique.

* Ce résultat est purement local : pour toutCL

de V , onpeut trouver un voisinage 9 de a , tel que l'orientation deV définisse un sens de parcours des courbes compactes conte-nues dans 9 . Mais, si une sphère de R3 est orientée, celà

ne donne pas un sens de parcours privilégié sur les 'grandscercles" de cette sphere.



Notre univers physique est-il une variété orientable ?

Laissons de côté le point de vue relativiste qui nousoblige à considérer un univers à quatre dimensions, malsqui n'introduit pas, pour l'orientation, de complicationsessentielles.

Prenons comme modèle du monde dans lequel nous vivons,uns variété a trois dimensions de classe C” est-elleorientable, et peut-on, d'après certaines loi: de laPhysique, la munir d'une orientation canonique ?

Supposons, pour fixer les idées, qu'elle ne soit pas orien-table. Cela signifierait qu'il existe certains chemins,analogues au cercle moyen de la ceintlwe de Mobius, telsqu'en,en partant d'une orientation initiale au point dedépart, et en prolongeant continuement cette orientatinn

le long de ces chemins, on arrive à l'orientation opposéeen revenant au point Initial * . Un être humain quisuivrait un tel chemin , et. reviendrait sur terre, setrouverait, à son retour, avoir son coeur à droite, etson foie à gauche; les livres qu'il aurait emportés aveclui en langue française, seraient a son retour, écrits dedroite a gauche; et , s'il avait emporté avec lui de l'acidetartriaue gauche. il reviendrait avec de l'acide tartrloue

droit &** Et ceia, naturellement, sans avoir jamais subi,en un point quelconque de son chemin, aucune transformation.Il se consldererait d'ailleurs comme absolument normal etinchangé, et c'est lui qui trouverait Inversés tous lesphénomones qu'il reverrait sur terre. Il lui suffirait defaire un deuxième tour pour remettre tout en équilibre.Ce simple exemple suffit 6. montrer qur quelles-bases fragilereposent toutes les notions d'orientation données dans leslivres d'enseignement élémentaire de mathématiques et dephysique :

* On peut démontrer en effet que la circonstance rencontrédans la ceinture de Mobius est générale : si une variéténo;; pas orientable, il existe des "chemins de désorlenta-

courbes compactes le long desquelles n'existe aucunsystèrke continu d'orientations de la varieté.

XX Procédé de fabrication sans valeur industrielle.



121

La règle du bonhomme d'Ampère, telle qu'elle est énoncée,est valable dans une variété a

-j

dimensions orientee,maj,s n'arigoureusement aucun sens si l'cnn'admet pas une gauche et unedroite universelles, c'est-a-dire une orientation. En regardantd'un peu plus près ce point de vue, on s'aperçoit qu'il existe,dans la d&?lnition du champ magnétique, une imperfection.L'être humain dont nous avons parlé plus haut, et qui feraitun très long voyage pour se désorienter, reviendrait, s'ilavait emporté une boussole, avec une boussole inversée, dontle pôle nord serait marqué : 5 et le pôle sud marqué : N

(la définition de ces pôles est'relative à la terre, qu'iln'aurait pas emportéeavec lui). Si cet homme avait emportéavec lui un fil électrique parcouru par un courant et uneboussole, rien n'ayant changé, pour lui, dans sa pékgrina-

tion, nous constaterions, & son retour, que sa boussole est

orientée,d'Ampère;

apparemment, en sens inverse de la règle du bonhommemais ce ne serait qu'une apparence, puisque l'indi-

cation des pôles Net S de sa boussole serait erronée. Fina-

lement on voit que le champ magndtique n'est pas un véritablevecteur, c'est un vecteur

-axial analogue à un produit vec-toriel. Il en résulte que notre viyageur,

de désorientation,après son trajet

ne trouverait quand même pas changéesleslois de l'électromagnétisme Ces lois n'obligent pas l'espacephysique à être orientable ; .

Il existe cependant certains phénomènes récemment découvertsde la physique, relatifs a la désintegration radioactive fi ,

qui

semblent Indiquer que 1' espace est orientable.

Considérons un noyau atomique ayant un spln, c'est-a-direune rotation propre donnee.

Son vecteur moment cinétique est

un produit vectoriel, donc un vecteur polaire, c'est-à-diredépendant de l'orientation. Supposons ce noyau radioactif'et

supposons prouvé par l'expérience que, dans sa désintégration

R

il ait une probabilité plus grande d'éJecter un électrondan: l'un des 2 demi espaces définis par le plan perpendicu-laire à l'axe de sa rotation que dans l'autre; un tel phénomèneest indépendant de toute orientation de l'espace. Alors onpeut définir une orientation privilégiée de l'espace, par exem-ple celle pour laquelle le demi-espace à probabilité plus faible

* La relativité ne permet pas de séparer le champ élec-

trique et le champ magnétique. Il0

a un 'champélectromagnb-tique", kenseur.antlsymétrique du 2 ordre (donc a 6 composan-

tes fondamentales), qui est, en réalité, une forme différen-

tielle de degré 2, dans l'univers d'espace temps b 4 dimensions.

On peut, dans un référentiel galiléen, faire correspondre h

rette forme un vecteurPo&ire(le champ électrique), et unvecteur axial (1e champ magnétique).



122

d'émission fi est celui qui contient le moment cinétiquedu noyau (c'est cette orientation qui correspond, surterre,

a

l'orientation droite-gauche basée sur le corpshumain,dans

l'expérience faite avec le cobalt 60 par laphysicienne Wuet Lee, en 1956).’

sur les suggestions théoriquesde Yang

Néanmoins ce phénomène physique n'est pas convainquant,car rien ne prouve que, dans des régions de trèséloignées de la nôtre,

l'univer:

il

n

existe pas un cobalt 60 .?,y- -

trique" par rapport au nôtre, et pour lequel ce soit lephénomène inverse qui se produise. Ajoutons a tout Cela

que l'idée que nous pouvons nous faire de l'univers globalest peut-être tellement loin de la réalité, que la questiond'orientabllité

n

a peut-être aucun sens.

INTfiGRATION D’UNE FORME DIFFSRENTIABLE SUR UNE

VARIaTE ORIENTGE

Mesure de Radon définie par une forme différentielle 3 , de deg

71.

, continue, sur une variété de classe C' . de dimensionn,

orientée.

Soit? une variété de classe C' de dimension n sur lecorps des réels, orientée, (abstraiie ou contenue dans unespace affine

),et dénombrable a l'infini l .

soit Q, : @

-@((Y->

une carte de V . Soit 2 une

forme diff&entielle, du degré maximum= , continue sur V , àvaleurs dans un espace de Banach 7 ** .

Considérons alors l’image réciproque de w par 0 , Q-2 .

C'est une forme différentielle continue sur l'ouvertfl

deXT

parce queO est continue, et Q> de classe C' (théorème 14 bisElle a donc pour degré la dimension n der, de sorte qu'elles’écrit sous la forme

* Nous supposerons, dans ce paragraphe, que toutes lesvaribtbs dont on parlera sont dénombrables a l'infini. Unevariété contenue dans un espace affine est dénombrable àl'infini.*+ On pourra, pour simplifier, prendre pour F le corps des

scalaires.



(W.;3)

> ou

j5 N

F2

;

c'est ce que nous allons montrer.

On a vu que +?, est de classe C' .Supposons-18

définie par

124

Comme on a 4, = @a2 o a2 , , On aura certainement

4-

'

P,

=+2

6

, si l'on a

(V;G

u 21 = q,(u) = V(u.) , ou c* = w.(uY , , u, ,..., IL); i=1.2 ..,.

L’image rhiproque par @,,,

de la forme différentielle

du ,I\ du,

A . . .A

d u , est (formule(VI,j;bO))

:

Par ailleurs

av;7) p.+du,A...Adu, ZZ Z 4,*3 = (4*

0 4*,,)* 3



12 5

De(v1,6;6)

et(v1,6:8)

on déduit, par division :

Entre les fonctions0,

et 8, , associées à 1 orientation

de V et à@,

et a2

, on a, d'après(VI,?;l)

:

Alors (VI,6;9)

et(VI,6;10)

donnent, par multiplication:

Mais, d'après la formule du changement de variables dansles intégrales multiples (corollaire 1 du théorème 102 duchapitre IV), l'image directe par

(b2,,

de la mesure de

Idét Q;,, (w) ]

du/

est la mesure dit :

En multipliant membre à membre(VI,6;11)

et ( v1, 6; 12) ,

on obtient

ce qui est bien la relation cherchée F,N F2 .

Corollaire -

Si? est une variété de dlmensionm,de classe C',

orlentee,et sio est une forme différentielle de degre 7~continue sur v , à valeurs dans un espace de Banach 7 ,

g

existe sur v une mesure de Radon [WI, =

[GI.

**V

* Pour des fonctions,/u signifie que l'on a=

, si l'on

remplace U par Q2,,(u) .

+* Ce renvoi se trouve à la page suivante.



126

et une seule, à valeurs dans F , telle que, pour chaque

carte 0, [O] soit égale, dans l'ouvert &((4)

1' Image @(F*)

, $

et; par@ .

de la mesure FG associée sur 0 $ V

Démonstration - En effet, lorsque @ parcourt toutes les

cartes possibles de V , les &((Y) forment un recouvrementouvert de V . A chacune de ces cartes est associée une mesure

NF*)

dans l'ouvert o(0) , et, dans l'intersection

de deux de ces ouverts, les mesures qui leur sont associéescoIncident. Il suffit alors d'appliquer le théorème derecollement des morceaux, théorème 17 du chapitre IV.

Remarques 1°/ La mesure[w] trouvée est 3 0 , si et seulem

si la forme différentielle scalaireG,

est+

o

,par rapportl'orientation de V .

En effet, pour voir SI[~] est positive, il suffit de levoir dans chaque ouvert @ ((4) i il suffit aussi, puisque +

est un homéomorphlsme, de voir SI la mesure PU,* est 2_

* Renvoi de la page 125 -

El

n'est qu'une notation abrégée, car la mesuredefinie par la donnée de

s

e%

, et de la variété orientee V .

En somme, la possibilit6 de définir une mesure de Radon

même de définir l'intdgrale de w sur V (formu~ee V%;~k))

[zl a

partir de 2 et d'uneorientatio>

de V

vient de ce que le changement de variables dans une forme dedegren

utilise le déterminant jacobien, que le changementde variables dans une lntdgrale multiple utilise le module dudéterminant jacobien. et que le signe du déterminant jacobienest lié a l'orientation.

Bien noter 9ue nous avons dQ utiliser ici le theorème 102

du chapitre IV (changement de variables dans les intégralesmultiples), et que la présente théorie ne permet donc oas defournir une variante de la démonstration du théorème 102 duchapitre IV.



128

m

Définition - SiV est une varieté de dimensionn et de

classe C'

deorientée,et

si 3 est une forme différentiellecontinue, degré IL sur v

sur v si,[GI;

on dit que 0 est intégrable

-

étant'lamesuré de Radonassociée7

sào 1 est intégrable par rapport à [WI ;-dans ce cas,<on IAtégrale s'appelle intégrale de w g V , et se noteks:

L'intégrale de 3 existe toujourssis

esta

support compact

surV

, et à fortiorisiv

est compacte.

Elle existera si la norme de [GI- est finie etr dedimension finie (Corollaire du théorgme 54 bis du chapitre IV

16,' L'intégrale change de signe si l'on remplace; par? , lamême variété munie de l'orientation opposée.

2O/ L'intégrale dépend linealrement de z :

(X,6;(5)

-R:

constante scalaire;

* C'est l'intégrale de 1 ou mesure deV par rapport à lamesure vectorielle [W ]-;

Nous supposons qu'elle a unsens suivant (1v,5;10) Cela'suppose quela mesure [WI, soit

de base ? II C'est toujours vrai siF est le corps desscalaires, ou

de

dimension finie (théorème 54 du chapitre IV)Mais on peut même démontrer que c'est vrai ici quel que soitF;

siV

est contenue dans un espace affine, on peut choisirdans ce dernier une structure euclidienne, et le théorème 32montrera que [f

]

est de base dS , mesure des aires ln-

dimensionnelles sur V .



l'existence du deuxième membre entrake celle du premier,pour la première formule, et lui est équivalente, pour ladeuxième (sauf si & = o , où elle l'entraene mais ne luiest pas équivalente 1).

Il suffit en effet d'utiliser( v1, 6; 13 bis), et, pour

intégrer 1 par rapport aux mesures qui Interviennent dans

ces formules, d'apliquer

la formule( 1v, 5; 16) (théorème 54ter du chapitre IV

P

.

Supposons 72 h support compact t( . On considérera unsystème fini de cartes ai , tel que les ouverts &i(t)

forment un recouvrement de K .

On désignera par C(L

une partition de l'unité subordonnée

On a alors W = C lai z) , et par suite la formulei

Il suffira donc de calculer chacune des Intégrales du derniermembre. Pour cela on remarquera qu'elle peut s'écrire, d'aprèsla definition même de la mesure prp; par ( v1, 6; 2) ,

sous laforme de l'intégrale multiple habituelle

Au lieude'la

partition de l'unité, on peut naturellementaussi décomposer la variété V en une réunion (finie ou

dénom-

brable)$J

Vi

d'ensembles disjoints[L;]?

-

mesurables, et

suffisamment petits pour que chacun d'eux soit contenu dansl'image d'une carte. SI alors Vi

on aura la formuleest contenue dans

&L(fi'),



qui nous ramène encore au calcul d'intégrales multiples habi-tuelles. Nous donnerons plus loin des exemples plus pr&?is

( pages

134

et suivantes).

Remarque - Prenons le cas particulier où la varieté V est

de dimension 0 ,

de degré 0

c'est-h-dire formée de-points isolés.Alors3,

alors, par Convention :se réduit à une fonction p ; la mesure [a] ser

le signe + ou - correspondant à l'orientation de chaquepoint a,,puisque nous avons vu qu'orienter un point c'estl'affecter d'un signe. L'intégrale est alors donnée par laformule :

Majoration de l'intégrale.

Théorème 32 - Si? est une variété orientee de classe C' , *dlmension~~, contenue dans un esuace affine euclidien E gdlmenslonN muni d'un référentiel orthonormal, si rj est

une formedlff&entielle

dedeg&n

,definie

et continueEV et mise sous la forme (VI,3;7) (où J arcourt l'en-semble de toutes les parties àn Blements de

pn

alors la mesure [W]

mesure des airesdefinie par ; sur: est de base dS,

n-dimensionnelles sFV ; on a :

6 continue surV ,

l Dans le cas de la dimension et du degré (1 , ces Signes t

paraissent, a priori,$us un embarras qu'autre chose; surV sans orientation,

w définit une mesure, par (VI,6;lp)

avec + partout, et a une intégrale ( v1, 6; 20) .

avec + partouMals les conventions adoutees nour n = o sont inévitablespour la formule de Stokes.

(the

que-nous verrons plus loinorèmes 37 et 39

.



132

on peut alors écrire

(W;25)

d7

=

qw(hw du)

avec

(%6;26)

1 D(y,, y,... > y,J

D(U) D(u,, ut,. . . , LL&)

La fonction 7 est continue sur U,

(VI,6;24), la majoration :et admet , d'après

wL6;@

119(4 L

j Iq (Q(U)) Il

Alors, + htant un homéomorphlsme de @ sur e(v) , onpeut écrire sur l'ouvert @((4) de V :

ter,6 ;Zf) [ 2 ] = j c ) ds , ;i”<x) = ;i(d h>)

La fonction-lit6 (VI,6;21).

+ est bien continue et v&lfle bien l'lnéga-

La fonctlonF est ainsi definie sur e(e), relativement

B la carte @ . Mais, et si

+,((Jt) et GP, (U,)

si +, et Q2 sont 2 cartes,

fonctionsT+ et%

ont une intersectlonfl non vide, lescorrespondantes

co'lncident

sur Sz .

Pour le voir,

a,

et

a2 aux

les notations

nous devons montrer que, si l'on restreintimages réciproques fi, et a2 de 0 , on a, avec

de la démonstration du théorème 31 :

D(z., ,Yxa* >'-' =y,,)

1

D(u, ,u+, , LLG ) D, CU)

Dc=y,zj2>... , y-) I

DC-J, 7~s v... > %) D,(v)I



134

Corollaire 1 - Dans les conditions de l'énoncé duthéortme,

si les coefficients 3, -W sont bornés en norme sur" ,etsi

a une aire finie. alors 1integrale

deG

~7

aun sens, et 1 on a la majoration

où 5 est l'aire de V .

Démonstration -

1

estintegrable

-par rapportà[s]

= i;d

si et seulement slqest dS -1ntégrable (definition,

formule(IV,5;10));

cela résulte alors du corollaire 2 dutheorème 39 du chapitre IV.

Corollaire 2 -

GW est une sous-varieté de V , de dimensio<n, elle est de mesure nulle pour la mesure [3]; associée à

la forme différentielle 3 sur 0 .

Pour simplifier, supposons V contenue dans un espaceaffine E de dimension finie. Munissons E d'une structureeuclidienne quelconque. Il résulte du corollaire 3 duthéorème 107 du chapitre IV

queW

est de mesure nulle pourla n-aire dS

Soit a calculer 1 intégrale Iw

d'une forme différentiellcontinue

3

de degréN-1,

sur une sphère c de centre origineet de

rayonR

dansRN, munie de son orientation canonique(correspondant a l'orientation transversale où les vecteurssortants sont positifs; voir corollaire 2 du théorème 30).L'équateur

zs

=

0 est une variété de dimension strictem

inférieure à celle de la sphère, et par conséquent, d'après lcorollaire 2. il peut être

néglige

dansl'integrale.

L'integr

est donc la somme des deuxment 6. l'hémisphère supérieur

rales correspondant respectil et à l'hémisphère inférieu

Où.X+ est definie par -c,, > o

del'integrale

de[31e

etC_par

sN

c

0 (l'existence

surx (parce queC est compacte)

entrake celle de ses Inté rales sur touteuartle

dS-



138

**

Renvoi de la page 137.

A ce moment, nos lecteurs étant encore innocents et nonInitiés aux mystires de l'orientation, nous n'avons pps re-

y-'

gardé si le trièdre L ,J >

C'est pour-

quoi nous avons seulement montré que valait k 1 ,

ce qui nous suffisait oour le changement de variables desintégrales multiples.

lère démonstration :tiati;nne_z ) y , 3

On calcule directement, par difpéfen-

, le jacobien, et on trouve + hAm 6>

donc L,j,h est une base positive. L'inconvénient de cetteméthode est de perdre tous les avantages acquis lors dela détermination, par voie géométrique. du module dujacobien.

2ème démonstration : Raisonnons d'abord en cocrdonnées

polaires planes , p, q . D'après le choix même du senspositif de cercle trigonométrique dans un plan orienté(sens des angles), par l'orientation tangentielle de cecercle associée a l'orientation transversale où les vecteurssortants sont positifs, la base c , c , où ü est normalsortant, et ?F tangent dans le sens direct. est positive.

Si nous passons a IF?' canoniquement orienté, on voitque le vecteur-x est soriant psy rapport à la boule, ainsi

que le vecteurE

e3 ,où es

est leJème

vecteur debase (axe*des

),

et

vecteurs et a

E = signe de 3, %#o . DO~, les $

étant tangents à la sphère, la baset,J,

a le même signe que la base E ë,> &T;

ci est de même signe que c 7, , TO, x0

mals alors+ceJle-

, ou encore-jo,

&

~7,.

a 0'

sont les projections horizontales de ,j et x.

, à des facteurs positifs près, EU et Go

(suite de ce renvoi page 139)



140

les conditions du theorème. unecontinue ,Wy , converge pour v Infini

Vers une forme diff&entielle w , uniformément sur toutcompact de V , l a m e s u r e [;S,] associee B 3 converge,localement en norme, et a fortiori Vagueme&nt. vers lamesure L3] associée à

w'

.

Démonstration - Nous disons que Ov converge vers 0 si,

dans l'expression (VI,3.7), chaque fonction (w,),

vers la fonction (W)J

converge. (Cette dé-ition suppose V donnée

dans un ouvert d'un espace afflne,w definie et continuedans cet ouvert).

alors la majorationJVI,6;2l).,applJquée a wv - 3,montre quz la fonction?, , associee a o,,converge vers lafonction

-Pr

associée à W , uniformément sur tout compact

de V . Donc, pour tout compact K de V ,

converge bien Vers 0 . Le théorème de Lebesgue (théorème35 du chapitre IV) donne d'ailleurs des conditions bienmoins restrictives pour que cette conclusion subsiste

(voir l'exemple, page 550 du Cours - lère partie) : si;,

converge simplement dS-presque partout vers W

, et admet

une majoration .$//(3,)J (X)(l$ g(s) , où % est une fonction3 0, localement dS -1ntégrable sur V , alors [O,] converge

localement en norme vers [w']

. Par ailleurs, si 4 est

b o r n ée su r V d'aire finie, le theorème deLebesgue montre que converge vers 4 _

Nous allons calculer explicitement la fonction+ de laformule ( v1. 6; 21) dans le cas d'une hypersurface C d'un

espace euclidien.

Théorème 33 -

- E un espace affine euclidien orienté dedimension N , muni d'un referentiel orthonormal positif.

Soit~ une hypersurface de classe C' & E,orientee. s

alors 2 est une forme diff&entielle continue de degréN -1 dans E >

definie par la formule :



141

(B,6;47)

Gi =

2

C (s) dq I\dzc+..j\drC A dr,,, A...I\ dx,.,

>

j=’

j-1

la mesure associée [W] x 2

, est définie par la formule :

où d.(s) est l'angle du j

- ième vecteur de base de É

avec- $

la normale positive à C au point x (pour l'orientation

transversale associée à l'orientation tangentielle parl'orientation de

f

).

Démonstration -

Soit@

une carte de V . Onconnaft,

d'après

lVI,5;7)

un vecteur porté par la normale et positif pourl'orientation transversale. Le vecteur unitaire correspondantde la normale est défini par la formule :

o ù Nu) est précisément l'aire du parallélépipède des

5

atL;(U)

, c'est-à-dire la longueur de leur produit vecto-

riel.

D'après la formule (VI,2:16), ses coordonnées sont

La formule (v1,6;26) donne donc

d'où l'on déduit aussitôt(VI,6:48)

d'après (v1,6;28).

Corollaire - Dans les conditions del'enonce

du théorème,

l'intégrale/

zi

se calcule comme une Intégrale. de

surface 2:



142

Ql.6; 52)

I

w

=

E

fi

(- ’

1

i

cmaà

dS

,.Y

l'existence de l'un des membres étant équivalente a celle

de l'autre.

Exemple-

DansR3, on a la formule :

Remaraue -

On préf&re souvent écrire w , quand elle estde degre N-l, sous la forme

(h cause de la formule (VI,j;43)).

On a alors

So1ent.c et?'deux variétés orientées cle dimenslonn. =H un C'-diffeomorphisme

deV surV',transportant l'orientatlo~de~ sur celle de îj' * . SiW

est une forme différentielle continue de degré+L

HG

son image survf ** , alOrs la mesureET,&

[HG]

G'

associée

a HW est l'image par H de la mesure [GI,.

et l'on a, entre les Intégrales, la formule":

associée &~W ;

* On entend par là que l'image par H’(r) d'une base deT(z;V

positive pour l'orientation v , est une base de T‘ H x);V<) ,positive pour l'orlentatlon VI.

** H étant un C'-dlfféomorphisme,ll y a des Images directesaussi bien que réciproques.



144

Les deux membres de cette formule conservent un sens,si H est seulement une application de classe C' et non undifféomorphisme; mals alors la formule cesse d'être vraie,

es 2 membres sont en géneral distincts. (Ils le sont de,ja

sin

est unCv-diffeomorphlsme,

mais ne conservant pasTés

orientations :). Par exemple, sig

=

39

est le

segment]-1,

+I

[

deW

avec son orientationcano$ique,

siH

estx

- y =

2'

, etSI LT

=

%

, alors H GT = 2sdr.

On a :

h l,6;59)

!

H*a =

zxdz=

o

Y 1-1,tir

Considérons, dans unouvert0

d'un espace affineZ

dedimension finie, une variéte singulière ou paramétriquede classe C' , de dlmensionn,d~finle par une application Hde classe C' d'une

varieté

vraie V,de

classeC';de

dlmen-

slonn.dans

fi . Nous représenterons par HIV cette

varieté

singulière. S IV est munie d'une orientation3

on dira qu'on a affaire à une variété singulière orientée,et on la notera H I v.

Soit alorsz

une forme diff&entielle continue dans.0 ,de degré ?z ,

a valeurs dans un espace de Banach. Elle aune Image réciproque H* L? forme

differentielle

continuede degrén sur V> celle-cl definit une mesure de Radon

[H*Z 1, sur v , associée a l'orientation v

;

il

sera commode de la noter [s]g,; ou même [3] , si

aucune confusion n'est a craindre.

Onappell:

intdgrale

de0

sur la variété singulièreorientée HIV, si elle existe,

l'lntdgrale

de l'image

réciproque H* cn

sur la variété orientée V . On a doncla formule de définition

eL6 ;64i H$ = l ; * z = j y l ;

Naturellement cette intégrale existe toujours si l'imagereciproque par H du support de w est un compact de V .



146

m 6;6d

; = H,.K~; = K* H: z ) ; ou K H: W) = Hz 3 .

Mais alors le thkorème 34 nous prouve que la mesure

F*

8

1 ;, est l'image directe de la mesureH,

PI ;

par K , et la formule (VI,6;54) nous dit bien que

J HT i?i =

/

HI 3 , donc/

3

= 3 , ce qui démontre

c

5

H, 7,

/

H*IC,

le thdorème.

Corollaire -

Soittl une application de classe C’ d'unevariété orien?Xëg ae dlmenslonn , dans un espace affine E définissant une variete singulière or-. Si l'image H(v)

est elle-même une varieté VO , de classe C', dedimensionn,

ae E , et siH est un Cl-

v sur v, . alorsTintégG sur la variédifférentielle 3 continue de degrd n E E ,que l'integrale de 3 sur l'image V, s

munie de l'orientation

vo '

transportée parH

*

Q

.

Ddmonstration -

La variete singulière HIV est en effetequivalente B la variété singulière 11 Vo, où 1 est l'appll-

cation Identique; ici on prend K=H , alors H = 1 K

1°/ L intégrale change de signe, si l'on remplace l'orientationde la variété singulière par l'orientation opposee, c'est-à-

dire v par v .

2'/ L'intégrale dépend lineairement de3 .

3 / Le theorème 32 est valable dans les conditions Suivantes.La variéte singulière H \ V (H étant une applicat::EdeV

dans E ) a une mesure des aires ?a -dimee;;onn;ll;s,

est euclidien; cette mesure dS 3 o(chapitre IV, theorème 107). Alors [ H” 3 ] F , mesure

sur V , est de basedS , égale à T

dS ,?;’ continue

sur V, avec la maJoration :

@,6 ;62)

II;i:G)\l 6 ~II~JW \i t

t E

” .



14E

et du cercle, variété de classe C- et de dimension 1 définiepar les équations

3

=

0, x2 +y* =

1 . Il y a donc des "points

singuliers", le sommet du cône et les points du cercle, quiempêchentx d'être une variété. On peut dire quex estune "variété avec points singuliers, ou pseudo-variété", declasse C , de dimension 2.

Tentons dequ'une

donner une deflnitian gekrale. On ditpartie d'une variété de

classe

C'

est-7%.

dimensionnellement négligeable, si elle est la réunlon d'unnombre

fini,.

ou d uneinflnlte

dénombrable de sous-variétés(de classe C') de dimension -G n . Pour 7- L = 1, une partie l

dlmenslonneIIementnégllgeable est simplement un ensemble finiou dénombrable; pourri= 0, une partie 0-dimenslonnellementnégligeable est vide. L'intérêt des parties n-dimenslonnel-

lement

négligeables est que, si w' est une formedifférentlel-

le continue, dedegrés.

, son intégrale sur toute partie 7~ -

dimensionnellementnegllgeable

d'une variété V de classe C'et de dimensionn est nécessairement nulle (Corollaire 2 duthéorème 32). Soit alors

?

unevariéte

de classeCmet

dedimension quelconque. On dit qu'une partie V de v est unepseudo-variété ou une variété ê points slnguliers,de cEseCm

et de dlmenzionn s il existe une partieouverte relativement

6.

V , sous-variétéde

V,.,,

de classeC

qui est une de v ,et de dimension

n., et si le complémentaireV -‘LL de ou dans Vest

n

-dlmenslonnellement

négligeable .

Naturellement le choix de cet ouvert %dde V, est assezarbitraire, puisque,

SI l'on en achoisi

un, on peut enrholsir un plus petit en lui retranchant une sous-variété

fermée de dimension < n . 11 existe cependant un % quiest plus grand que tous les autres; l'ensemble des pointsde V au voisinage desquelsv est une véritable variété declasse C

et de dimension 71.. Cet ouvertU

s'appelle lapartie régulière de V ,

V-

21 est la partie singulière.

On dit qu'on a orienté la pseudo-variété V , si l'on en aorienté la sous-variété Q .

Dans le cas de la pseudo-variété c definie cl-dessus,

~=C,uC*

;

la partie singulièreC

-

Lu

estréunion d'une circonférence et d'un point.

NO U S pourrons, par exemple, orienterC

comme suit.

E n chaque point du disquec

le sous-espace vectorieltangent n'est autre que le solsle:paceR' défini par lesdeux premiers axes de coordonnées; nous prendrons commeorientation l'opposée de l'orientation canonique. En toutpoint de la surface conique .YJ2 , nous orienterons l'espacevectoriel tangent, en disant que deux vecteurs forment une



w i72

150

SI

2

par exemple, cette courbe est de longueur finie,et

w

borné sur cette courbe.

z.5

p;'e;;;tOrt A un référentiel arbitraire de E , la forme

3 = , A; (+ <x2,... ,z, , )d=<,

où les A; sont des fonctions sur62 à valeurs dans F .

*eXnsune VWiétésingullère orientée définie comme suit.

Soit [a,P]

un intervalle compact de la droite réelleW ,

P-a #O de signe quelconque,

soit t -M(t) un chemin sur il

cation M de classe C' de [a, p] dan; ~z ,'ho ~~i~~~n~ %~

[a,Al

le sens de parcours 0:

-13

cedonner l'orientation de R si a <'j

qui

revient à lui, et

l'orientation

opposéeSI

0:

> J . Alors [UT~ Jorienthe de dimension 1,

est une pseudo-variétde partie régulière

M 1

[aiipl

]a,fl[L et

est une pseudo-variéte parametrique r orlen

tée de dimension 1 , de longueur finie.Soientr.(t)

,$=l,Z,..

les coordonnt5es de M(t).

1

D'après lad&fl.nition.

on a :

@i6;73)

I 3=

M*G =

f

Jcfd

Z

I

; M t)).M’ tjdL

IdGiAr

Expliquons en détail ces formules. Nous avons à chercherla forme différentielle M*O

(2ème membre de la formule

précbdente).

Elle est définie par la formule(VI.3;30),

quidonne

(pI,6;7 ? (M*G)(t).1 = ; M t)) .M ’ (t ) ( 1 t w ) ,

o ù ; M t)) d(Ë;i:),M’or Ë

>de sorte qu'on obtient

bien aux 2 membres de (yI,6;7j,bis) des éléments de?

*

l Rappelons que, partos dans ce paragraphe, 2; est àvaleurs dans un Banach P .



152

Cela rejoint bien le concept habituel d'intégralecurvi-

m, tel qu'il a été vu en Mathématiques Spéciales. Onretrouve le fait qu uns telle intégrale curviligne ne peutse calculer que sur "ne courbe orientée. c'est-a-dire munied'un sens de parcours. et q" un changement de l'orientationde la courbe change le signe de l'intégrale * .

Une intégrale curviligne peut se calculer sur un chemin declasse C' ; elle peut aussi se calculer sur un chemin declasse C' par morceaux (par exemple "ne ligne polygonaleorientde) Nous appellerons ainsi "ne application M ,contlnuede [m,fi] dans 0, , telle qu'on puisse trouver un nombre

fini de points t, = cI, t, , t, ,... ,t;, ti+ ,,.__ t,= fi, formant une

suite finie (croissante ou décroissante, selon que a < j

ou IX 7 fi ) de manière que M soit de classe C' dans chaque

intervalle [tir ti+,], i=O,l,Z,..., n-l . En chaque point t;,

M est donc continue, mais a "ne dérivée à gauche et "nedérivée à droite, non nécessairement égales. Alors

M

Cs fi]est encore "ne pseudo-variété singulière. suivant la défini-

tion de la page 148 ;

{t,,$,... , r, 1 dans

ici%+,est le complémentaire de

L~e83

. L'intégrale curviligne

I

z

sera alors, par définition :M(G31

(Y,6 35)i

0

=

3 f

MILac

g

~ l l t ; L+ , I

chaque terme étant "ne Intégrale sur "ne variété paramétriqu

orientée de classe C’ . Le calcul fait à la formule(~1,6;73),

pour chaque Intervalle [t;,ti+,], nous redonne les mêmes expre

sions (VI,6;74), qui conservent bien un sens, la fonction M1

étant définie partout sauf en un nombrefini

de points, doncdt -presque

partoutjet

réglée, doncdt

-intégrable

(

etmême intégrable-Riemann).

l / Définition - SoitMun chemin défini par "ne applicationcontinue du segment

[a.PI

deIFp

dans un ouvert.Q

d'unespace affine de dimension finie E . On suppose que ce chemi(non nécessairement de classe C' ! ) est de longueur finie,c'est-à-dire que la f'onctionM est 0 variation bornée (lère

partie, page 618). Soit d'autre partU "ne forme dlfférentlel

le de degré 1 continue sur Sz

On définit alors l'intégralede

3

sur le chemin Morlenté'(où

[a ,~31

à l'orientationdéfinie page 150 ) par la formule

* Cela revient, dans (VI,6;74). à changer [ en 1:.



154

2 / MaJ orat l on - L'intégrale(vI,6;77)

admet,siË

est

nor mé, la maj orati on

variation totale de M sur [u,f iJ , c'est-a-dire la longueurdu chemin

M(

[a,fi] de l'espace métrique E . En effet,

d'apres le corollaire 2 du theorème 90 et sa demonstratlon,

on peut écrire n(t) = q(t)&(t), où do est la mesure deslongueurs relative au chemin. mesure 5 c sur

tu,81

,

et où9

a la-norme 1; le chemin a & -presque partout une

tangente, et q(t)

est le vecteur unitaire de la tangenteau pointM(t)

> orienteedans

le sens dest

croissants (donc

en sens Inverse du parcours du chemin, si a Y J?I).

Al ors, d'après la définition(IV.5;13),

on a :

@,6:~0)

I

; ZZ Z

P

M 1Ca21

k

w’(Mct)). q( t )

A(t) ;

comme l l W (M(t)).q(t)ll6/l~(M(t))

Puisque /Iq(b)l\ = 1 > on en

déduit bien(v1,6;79). Cette majoration est a rapprocher

de (VI,6;jl).

Si E est euclidien, on peut appelerCU3ad(t)

lescosinus directeurs de la tangente au point

M(t) ; on adonc

dzj(t)= (mag(t)) do(t ) . Al ors, sous la forme

(v1,6;78), on a la majoration :

qu'on

par

peut, d'après l'inegalité de Cauchy-Schwarz, majorer



156

L'intearale d'une forme dlff&entielle w deet continue sur un ouwrt,dLdun espacëafIXnesur un cheminM)[cB] de classe Cl de fi ,

s'exprime sous ;a forme (VI,6,74). On peut la génér~iser,

par les formules (~1,6:77 et78),

lorsque le chemin, nonnécessairement de classe C'

lntkgrale

est Indépendante dé

est de longueur finie. Cette

la paramétrisation du chemin2 chemins equivalents donnent la même Intégrale. Elleadmet les majorations (vI,6;7g. 81. 82).Elle est la limitede la somme de Riemann (~1,6;8j), lorsque la finesse dela décomposition a J$ [a,~31 tend vers o .

5'7 FORMULEDESTOKES

Nous allons d'abord Introduire la notion de variété

avec bord. Le prototype d'une tellevariéte

est une boulefermée d'un espace affine euclidien; son bord est lasphère correspondante.

On appelle variété avec bord, de classe C"et de dlmen-

sion

7L , une partieV d'une variété ? de classe C , et dedimenslonrr. , ferme;, Identique à l'adhérence

de

son

interleur, V = V , et dont la frontiere V = c soit

une hypersurface de V sous-variété de classe Cm et dedimension ?t -1. Cette f;ontlère C s'appelle alors lebord de V , et se note

aussiaV

. V est en particulier

une pseudo-variété de classeCm,de

dlmenslonn ,-mais

d'untype très spécial. La pseudo-variété de classe c , dedimension 2, définie à (v1,6;63 et 64) n'est pas unevarieté avec bord. Certaines des propriétés topologiquesrelatives au cas où V est une boule d'un espace euclidien,et&V la sphère correspondante, s'étendent au cas géneral.

SiE

est vide, alors V est tout simplement une variétéordinaire ou sans bord. Occupons nous donc du cas où x

n'est pas vide. Soncomplementalre

C x dans v

est

la reunion de deux ouverts disjoints, l'interleur \o deVet le complementaire CV , exterieur de V Aucun de cas'

deux ouverts ne peut être vide. Si en effet'Q

était vide.alors V = 5 serait nécessairement vide aussi. Si d'autre

part. C V était vide, alorsV

serait Identique à V , et

par suite sa frontière c serait vide.Il

en résulte que

cz 9

réunion de deux ouverts disjoints et non vides,

n'est sarement pas connexe. Il contient au moins deuxrégions.



158

si alors il se trouve que C partage Ci en deux reglons,ces

deux

régions sontnecessairement

Y n

(P et CV n 0' .

Nous avons vu, autheorème

27, que tout point a de c possèdedes voisinages ouverts <2 r qui sont

precisément

partages

par2

en deuxregions, à chacune desquelles a est adherent; il en

resulte

donc que tout point a de2

estnecessalrement

adhérenà la fois à Y et à CV .

On aura besoin, pour la formule destoKes,d'ensembles

qui

sont seulement des varietés avec pseudo-bord.

On dira que V est unevariéte

avec pseudo-bord de, classeCm,

de dimension n,

si c'est une partie dune

variété V . declasse C", de dimension T- L , fermée dans V *identique à l'adhe-

rente

de soninterleur, et dont la frontière x soit une pseudo

variété de classe C", de dimensionn-1.

Si, par exemple, nous considérons dans w3 l'ensemble despoints (XI

y

, 3 >

qui vérifient les Inéquations

il constitue une variété avecpseudo-bord,de

classe C et dedimension 3, dont l'intérieur 9 est l'ensemble des pointsvérifiant les inéquations

@,7;7)

2'

+ $ < cl-$, 06

< 1,

et dont la frontièrex

est la pseudo-hypersurface définie à( v1, 6; 63 et 64). De même, si nous considérons, dans un plan,un polygone convexe, il constitue une variété avec pseudo-bord,de classe

C

et de dimension 2. aont

l'intérieur est la régioninterleure

du polygone, et dont la frontière, contour du polygoffit la réunion d'un nombre fini de segments de droite, c'est-à-

dire une pseudo-varieté de classe Cm et de dimension 1. Plusgéneraiement, un volume polyédral est une variete avec pseudo-bord.

Une varieté avec pseudo-bord est encore une pseudo-variétéd'un type particulier (la surface

z

définie par(v1,6;63

et 6n'est pas une

varieté

avec pseudo-bord; mais nous venons de voiqu'elle est pseudo-bord d'une varieté avec pseudo-bord).



160

de c est positive pour cette orientation, si, précédée d'unvecteur sortant ens par rapport à V

elle donne une basepositive pour l'orientation de 7 . On dcrira que la varié%

orientée3

estl,e

boràde

la variété orientée-avec bo_rd V ,et l'on écrira z = &V . Si l'on remplace V par V ,

<est-à,dlre parV munie de l'orientation opposée, on remplac

C par C. 11 est bon de remarquer que Ct est aussi unevariété avec bord, d'intérieur CV

, et de même bord Z .

Si l'on oriente CG par l'orientation de 7, l'orientation de

comme bord de Cij

est opposée a son orientation comme borddeV . Si, par exémple,V est une boule fermée

IIzII

< R d'u

-

espace affine euclidien, l'orientation de .E comme bord deV

est l'orientation canonique des sphères de l'espace euclidien

(page

); l'orientation de2

comme bord de I~~C/I 3

R

est

l'orlantation

opposée.

Sl malntecant

on considère unevariete

slngullère

avecoor

orientée H/V , définie par une application Ii de classe C' d'uvarieté orientée avec bord v ,An appells bord de cette variéslngullè~e

la restriction H ] 8V

=

HIx

de l'application Hau bord C de

g

.

Si 7 est seulement une variété avec pseudo-bord orientée,on peut, par la même méthode, orienter la partie régulière 9L

du pseudo-bord .X ; c'est cela même que nous appelé (page

orienterC

, donc Ici encore le pseudo-bord d'une variétéorl

téeavec pseudo-bord est une pseudo-variété orientée. Par exempsiV est un polyèdre, l'orientation de V définit une orientat

des faces du polyèdre. SI7

est l'ensemble défini par (VI,i';l

dansIR muni de l'orientation canonique de Itp' son pseudo-

bordest'la

pseudo-hypersurface

2 des formules[VI,6;63

et 6munie de l'orientation que nous avons définie à ce moment.

On peut faire de même pour une variété paramétrique avecpseudo-bord.

Une variété (sans bord) orientée s'appelle aussi un cycle .Par exemple une sphère orientée d'un espace euclidien est uncycle compact. Une application H d'un cycle est un cycleparamétrique ou singulier.

Ainsi

le bord d'une variété (resp.

variété singulière) avec bord est un cycle(resp.

cycle singu-lier). Un cycle de dimension 1, s'appelle aussi un circuit.



si alorsV coupe l'image réciproque par -l du support

deij suivant un compact (ce i se roduira

toujourssIV

ynm~~a ; , el : ~$; o; ~; +

cumpact et H propre

@67; 4)

-

w =

i -w

H( v I &V

Ce théorème est dit théor??me élémentaire deStokes,

parcequeV

a un bord, AV est une vraie variété.

D6monstration -

1er

cas -

fi = ;

=

V=

En

[doncz

= 4 ),

H = i dent l t e;

3

est à support compact. Ons pposeE

muni de son orienta-tion canonique.

Supposons3

exprimée sous la forme habituelle(VI,j;41)

Il suffit évidemment de montrer que, pour "ne somme z

réduite à un seul te=, c'est-à-dire pour "ne forme

w = iIja dz, A dz, A . ..A dx .,A dza+ ,... dz, , la formule

(VI,T;J) est vraie. C'est ce que nous allons faire.n

#vec

V

= R muni de son orientation canonique, la fonctiond'orientation 8 de la page 88 vaut t 1. et

(-7;b)

i

dr,h dr,~... A dx, =i I

. . dz, ds, . . . dx, ,

R”

IF ”

intégrale multipl~habituelle.

Les intégrales écrites ontun sens, puisque w est continue à support compact.

n

Commez

estvide,l'lntGgrale

surx

est nulle, et laformule

6.

démontrer s'écrit :

* C'est le cas que nous rencontrerons le plus souvent.



164

3c1

et dz , par o;

c'est donc la forme différentielle

0, (o x2 . . r, ) d r, A ds, . . A d3C-= .

Comme Z a l'orientation canonique de w “ , la fonction6d'orientation vaut encore + 1, et

TTJ;ll)

I

* . . dz, A dz, A . . . r, dz, =i i

. . . . . dz, dz, . . . d s, .5

PT’

La formule de Stokes s'hcrit donc :

(YI,7$2)

l

Gj

. . .=Ec

p

,...

z-c,) dn, dT/ . . d r, = o

pour j $ 1,

y 0

et

= . . .

1 i,

Z,(o, czî ,... , zn)dz2 . . . dz,n t

La première formule se d&montre comme celle du premiercas. D'aprhs Fublni (formule (IV,8;35)),on peut écrire :

. dz,,_, dz,, . . . dz, dxi ,

=d

et la dernière inthgrale est nulle.

Pour la deuxlhme formule, on emploie encore Fubini, cequi doMe. avec cette fols des bornes d'intégration diffé-rentes :

Mal s la dernière intdgrale vaut

(TI,W) g

I

1 (

=,,q,... q

dz, = [G

(E

y



Prolongeons

par0 dans Ce;

@;(aLJ )

, qui n'est définie que dans &; ,

; en fait, elle est alors nulle dans

CKi J

Ki étant le support de aL*qG . La forme,

ainsi prolongéesurIF? ,

est encore de classeC’

; car elle

l'est dans les 2 ouverts 0; ,CKh

, de réunion w .

si on

convient de continuer & appeler

qrPJ)

, la forme

prolongée, on peut, dans (VI,?;18 et lg), remplaceroi par 6.

L'orientation & prendrepourRnest

l'orientation canoni-que ou l'opposée (suivant le signe de la fonction d'orlenta-

tien

0s

supposeUCr;eiej+i

: signe constant, parce queCT;

est

De toute façon, c'est sans Importance, et on peut prendrel'orientation canonique deRn, car cela conserve ou changeles signes à la fois dans les 2 membres.

Mais alors 1'6galité des 2 lignes de v1.7;18) résultedu ler cas démontré, l'é

alita

des 2 lignes de(VI,7;lg)

du2ème cas. Ainsi (VI,?;17

7

, donc le jème cas, est démontré.



168

NOUS

dirons quex-est

régulière pour laprOJectlOn

pi I

si tout point 9t der.

est5

-régulier pourx

,sa"fpe;;-

être les points&

d un ensemble exceptionnel $j de Fj ,mesure nulle pour la mesure de Lebesgue deF

, et dont lecylindre projetant

P-'$i coupe la partiejégullère

91 dec

suivant un ensemble d'aire(n-1)-dlmensionnelle

nulle .

Parmi les points de cettedernière

interSeCtiOn~figUrent

ceux du "contour apparent" de%,

c'est-a-dl? les pointsde %, où 1 hyperplan tangent est parallèle à

a.

(et tous lespoints d'intersection de %avec le cylindre

plaojetant

ducontour apparent); l'ensemble de ces points du contourapparent est donc en

partlculler

supposé avoir "nealre(n-1)

-dlmenslonnelle

nulle (Ce ne sera pas le cas, si,par

exem-ple, ,Y- est le pseudo-bord d un cube à arêtes paralleles

aux axes. Cependant, le théorème de Stokes est applicable àun cube 1 Mals un simple changement de référentiel rendraitle pseudo-bord du

cube5

- ré lier,

et c'est ce qui nous suffirapour tout

g

=

l,Q,..., n

;

.

Theorème 38 -

Soit:

"ne varieté avec oseudo-bord de classeC'

d "nevariété?

de classeC'

, dedlmenslonn

, orientée.

Suppos-o-que,

pour tout point a delapartie

slnnull~e

du pseudo-bordZ

, il existe unCl-dlfféomorphlsme

@a

d'une boule ouverte(p,

deR-

(oudeF

lui-même) sur un

voisinage ouvert &&(i4-,) deu

dans V , tel que@:Cc)

soit Pi -régulière dans Cs, , pour tout i = l,Z,...,n,et~

_.

de partie régulière %'i'(u) d'aire(n-1)

dimenslonnelle

finie.

Sol tH "ne application de classe C’ d'un voisinage ouvertdeV

dans?, dans "ne variétéfi

de classe C'-.

Soit w "ne forme différentielle dedegrén,l,de

classe C’

dansfi

a valeurs dans un espace deBanachr

. SI l'inter-section

deV

et de 1 imagereclproque

parest compacte, on a la formule de Stokes

Bien

entendu, cetheorème

contient comme cas particulierle précédent. On aurait pu le démontrer tout de suite. Nousavons préferé donner d'abord "ne demonstratlon élémentaire

du cas élémentaire. De la même manière que pour letheoreme

précédent,nous

donnerons "ne démonstration seulement dans lecas considérablement plus simple où

C'

est remplace partoutpar C2 .



170

Appelons donc J (z,,...,=,) la dernière lnt6grale: elle

est(dz,

dz,) -lntégrable, et par suite la mesure

?(r,...~c_\ dz,...ds,

, surR -:est

de norme finie; appelons

cette mesure. Le premier membre de (VI.7;23) vaut donc

Ecrivons donc :

I,c, di

\

B/

-Considérons maintenant la forme différentielle w'

définit sur la partie réguliére % (orientée comme bordElle

de 2 une mesure [z] ,= [w

1%

deV )

. somme ; est continueet h support

compact,a

valeurs dans F , sa dorme est bornée;comme d autre part91 est supposée d'aire (n-l)-dimensionnelle

finie, le théorème32

nous dit que[w] est une mesure denorme finie, de base

dS

, elle-même mesure2

o de normefinie. Alors,

la projection

1

: (2,, x2,... ,z,)

- (x2 ,..., rn),

étant continue, l'image directeF

=

P [W] existe, et

elle est, elle aussl,une mesure de norme finie sur w"-'

(théorème 59 du chapitre IV, et son extension au cas des

mesures vectorielles, Cours de lère partie, page 545 * .

Ledeuxlkme

membre de (VI,7:'1) vauti

[G]

‘il

û'

* Contrairement à ce qui-est dit page 545, nous n’avons pas

besoin, ici,savons déj$ quze $plp~sees~ d~ b~~~d sio~ ~'dé~~i~~'b%e

par III 72, I/l

c t - .

P,

Par contre, nous ne savons pas si l'imagey[;]

de[;]

parest encore de base 2 o donc on ne peut pas lui appliqu

la théorie du prolongement dé Lebesgue (lère partie. page 531et nous devrons donc faire attention à ne pas l'appliquer.Mais Il est fortement recommandé au lecteur de ne pas s'appe-santir sur les

difficultes

provenant eventuellement de ladimension infinie ou même de la nature vectorielle de F

En utilisant d'autres méthodes (Intégrale faible, théorème deHahn-Banach), on ramène immédiatement le cas d'une forme w à

valeurs vectorielles au cas d une forme a valeurs scalaires :



172

Pour achever

Considérons, en

ce calcul de; dans 6 , précisons 84 .

un point% de 2% ,les vecteurse; , ë',3...,h

de l'hyperplan tangentT(=;

c,& )

, dont les projections

sur 7 sont e* , z3 , , e, , vecteurs de la base de f.

[Comme 1 hyperplan tangent T(x; CA)

a l'équation

(formule (111,3;19 bis)):

7;29)

>FA

x, c -j=s bzci

c===* “’ r--

xj ,

et que yi est le vecteur de d-ième composante 1 et dont

toutes les autres compo;Ftes sont nulles, la première

composante de ë sera (z,,...,~c,) , et on a :a arj

(&7;30)

( , , , rn) é, + ei ]

Par définition,0%

est le signe de la base 2

*s..-,

et

h >r,

de T z; ,Y,& ) .

Par ailleurs, la basez:,;;,...,%; de Rn,a même slgne que

la base canonique??,,Z2,,..,e,,

,à

cause de(VI.7;10),

donc est positive. Donc 8~ est-aussi le signe dee,

pour

l'orientation transversale de c.&

associée a sonorientation tangentielle. Mals

3a

a'l'orientatlon de bord

deV

; donc

es,

est + 1 >

SI27 ,

est sortant de9

aux

points de CP,

,et -1 s'il est rentrant dans<

aux

points de CA ; la formule(~1.7~28)

est maintenant complè-tement explicitée.

Etudions maintenant3

dans a$ . Pour (z2,x3,...,x,)e @b,

la parallèleD =

D,%,,,,...,,, à 1 axe desr,

, passant

par ce point, coupe $ et V-v = CV suivant. des

ouverts. Les seuls points frontières possibles de ces ouverts



x; étant la lère coordonnée du point A’i(avec ~ ~~,x,x>...,~~,=o

SiX~=fco puisque 3, est à support compact).

En sommant pour les divers intervalles, on obtient exac-tement

e

1T,7;32)

5

z* , , cc- ) =

~=, ~3, (F~(~,,..v~J, =t <... , r_

)

où yp, vaut tl si D franchit Ck en passant de ?I à CV

lorsque 2, croft, c'est-à-dire si le vecteur ë, est sortantde $ en

A ,

et -1dans le cas contraire; on a donc

'7~ = 0% d'après ce que nous avons vu plus haut; et lacomparaison-des formules (VI,7;32) et (VI,7:28) montrebien que

r-=

3 dans @, .

D / - Alors,

pT7

d'après le théorème 13 du chapitte IV, la mesure

nulle dans tous les ouverts de P telsque aàest nulle'dans leur réunion. Mais cette ré&ion est l'en-semble ouvert C.9, =is, des points k de q

qui sont P,-

réguliers pour2 .

Donc , dans cet ouvert fi, , jY -3 est nulle.

Alors, dans @, , p est de base d~-,dr,...dr~o,puisqu'il

en est ainsi de T' . On peut lui applique? la théorie duprolongement de Lebesgue et l'intégrer sur e, . et l'ona, puisque p est l'image P, [Wlgi :

Mals alors ceci va nous permettre de d6montrer la formule

de Stokes. En effet, 9, = Ci', est suppos6 de mesurepuisque .Y est 9 -régulière;

, et,d'aprhs

(VI,7;24)

:

63 = d? = dW ,

‘@l

‘p-7

De même. p-'zJ n U

nulle,pulsque C est 7

base dS

/

y' n9L

in

v

est d'aire (n-l) - dlmensionnelle

-r&gullère,et comme [w], est de

Y

cj >

de sorte que



théorème ( pour chaque point s ingu l i e r deC ,i l suff i t de prendre un référentiel dont lesaxes ne soient pas parallèles aux tangentesen ce point) .

d ’unouvertfi

d ’un espace af f ine E de dimension f inie,orlen-

té suivant le sens de parcoursn

,et

Test unefonction de classe cl 0 , à valeurs dans un espace deBanach F , on a la formule de Stokes.

iTT,7;36)

d7 = ?(M(b)) - ~(M(N>) . *

Ic:i”~~ var iété V est 1 interval le [a, fi] c lFC muni de

l ’orientation correspondant au sens de parcours Q fi, H

e s t l ’ a p p l i c a t i o n M d e [a fiJ dansfi .

Nous voyons que l ’orientation transversale du bord {a,b)

s ’obtient en considérant comme posit i fs en d les vecteursd e s e n s fi+ a , e t p o s i t i f s

enp

, l e s v e c t e u r s d e s e n s

M+

13

L’or ientat ion tangent ie l le assoclee, d ’aprèsqui a étZ vu page , consiste à affecter le point

E”

dusigne

+ ,,,et

l e p o i n td

du signe-.La

variétéslngulière~b o r d d e Ml[ti,p],est d o n c Mjj(d,-),(j,+)} . L’integrale de{

sur cette variété s ingulière n’est alors autre! d ’après ladéf ini t ion (VI,6;20),que le second membre de 1 égal i té v1,7;36).

Démonstration - Cette formule (v1,7;36) n ’est pas un caspart icul ier de la formule

genérale

de Stokes. car. dans cecas

?z

= 1 i l s ’ag i t ( théorème 36) de l’intkgrale d ’uneforme

diffdrentlelle

sur un chemin qui n’est pas nécessaire-ment de classe

C’ ni

même de classeC’

par morceaux, mais

seulement de longueur finie.

*

En somme, la formule de Stokes est une généralisation

de la formule bien classiquef’

pi

da

y p -

j )

,corres-

pondanta

E =R, M =

I d e n t i t é .



178

On aura alors :

Cela montre que la différence entre les deux membresde

(v1,7;36)

estc

&

.Comme

E

est arbitraire, ces deuxmembres sont bien égaux, et le théorème est démontré.

SoitV

unevarieté

compacte avec pseudo-bordde:

=d.

Alors9

est un ouvert borné deR*.

Nous supposerons quele bord est une courbe

x

, de classe C' par morceaux

(exemple 2'

page 175),V sera par exemple muni del'orlenta-

tlon

canonique de ï??' , et c de l'orientation canoniquede pseudo-bord de '4 . On pourra prendre

les

deux exemplesdéfinis sur la figure;

sous

avons hachuré V ,$,t

indiquéle sens de parcours de

x

comme pseudo-bord de V .



180180

La formule (VI,7;41) reste valable,La formule (VI,7;41) reste valable, mais la fonctionmais la fonctiond'orientation 8d'orientation 8 vaut+ 1 dans

4,

etvaut + 1 dans f,f, et - 1 dans 6, , de sorte 1 dans 6, , de sorte

que

ds

A$ vautvaut

5,

III

t

. . . drdy , et. . . drdy , etIl

o.*.drh$.*.drh$

1,

22

vaut - , et la formule de Riemann s'écrit :, et la formule de Riemann s'écrit :

l'/ Travail d'un charnu de vecteurs le long d'une courbe orientéed un

espace

affine euclidien.

soit2

: 3c -X(4

, un champ de vecteurs continu

sur un ouvert a d un espace affine euclidien E de dimension

finie. Soit? une courbe orientéedefi

, de classe C' par

morceaux. On appelle E(r) en un point z de r , le vecteu

unitaire de la tangente, poLitif pour l'orientation?

. _

On appelle travail ou circulation4

du champ'x

le longl'intégrale :

pL7;44)

où d6 est la mesure des longueurs surr

, mesure3

0 .

Souvent on designe par&

la mesure~da

, mesure sur

A valeursdansË

. alors, d'après (Iv,5;lj),

(vI.7;44)

s'éarit :

de.f

r

C'est l'application de (IV,5;lj) A la fonctionz,

continue

surr A valeurs dans É , A la mesure & (de base do 3

o )

surr A valeursdansE

et A la forme billn6aire Bscalaire euclidien sur É

x

E

produi. SI E est muni d'un réfirentiel

orthonormd, et si nous appelons C.&aj , j = 1,2 . . . N , les

cosinus directeurs de la demi-tangente positive àr

etXc

lcomposantes du champ, on a :



182

On peut étendre les résultats précédents, en remplaçantr

par un chen.h crienté M1[=2]

, de longueur finie, comme

au thborème 36. On peut alors appliquer ce théorème directemeen définissant 6 par (VI,7;48). Si on appelle dM la mesur

dontM est l'intégrale Indéfinie, mesureà

valeurs dans?

, o

aura, d'après les résultats duthéor&me

36 :

La formule de Stokes s écrit alors,

(nrJ;Pj

(2 b’)

= U(“W- U(W)) = (M(P))

-

j(M(d)) ,

d'après (VI,7;36).

2'/ Flux d'un champ de vecteurs à travers une hypersurface transversalement orientee dans un espace affine euclidien de dimenfinie.

Consld6rons

toujours le même champ de vecteurs X et soitmaintenantxune

hypersurface avec bord de classeC',compacte

dansa

, et munie d une orientation transversale.

En chaque point 3 de cpositif de la normale

,,appelons v(z)levecteur unitaireenr ax .

On définit alors le flux du champx à travers c par laformule :

* On intègre en t sur [cx,fi] , donc veut dire



184

C'est la formule d'ostrogradsky . Par rapport à un reré-rentiel orthonormal, on aura :

I

;j; dS

=

il 1

. . . ( ?)dz

(0,733)

t

=

l l(

. . . , X, ma. dS -~ a=’ a

,) - \ j-[( z d=, . ..A=., .

Ici; est la "normale extérieure", sortant de V cetteformule d'ostrogradsky ne dépend pas de l'orientatl~n de E ,car celle-cl est intervenue 2 fois : une fois pour passer

de?àti une fois pour repasser de w a 2 Naturellementla formulé de Riemann (VI,7;42) est un cas p&iculier de celd Ostrogradsky, correspondant à N = 2, mais avec des notatinn

différentes, puisqu'elles ne sont autres toutes les deux quela formule de atokes pour une variété avec pseudo-bord V d'uespace affine V

=

E de dimension N .

3 / Formule originelle de Stokes pour une surface bordee par unecourbe dans un espace euclidien oriente a 3 dimensions.

SoitC une variété avec pseudo-bord d'une surface2 declasse C' d'un espace affine euclidien orienté E dedimension 3. Soit r son pseudo-bord, courbe*de classe C' parmorceaux. Supposons E euclidien orienté et .Z orient&(doncaussi transversalement orlentee). Soit? un champ de vecteursde classe C' sur E .

Appelons w la forme de degré 1 associée à x' par la struc-ture euclidienne de E ; à do est associée, puisque E esteuclidien et orienté de dimension 3. le champ de vecteurs

zx

on dédui t

(3 , page 71). Des formules ( VI , 7; 48). ( VI . 7; 51

bi s),

le travail de? le long der est le flux de bat ?

à traver

x. SI on prend un reférentiel orthonormal p_ositlf, et si onappelle X , Y , 2 , les composantes du champ x , et &Ci, Un,

CWY f

les cosinus directeurs de la normale positive àx,

on aura :



C'est cette formule qui a et6 démontrée par Stokes, eta donné son nom à la formule générale de Stokes (VI,7;3).

Nous résumerons les résultats de l“, 2 , 3”, comme suit,

sans preciser les conditions d'application :

1 ) La variation d'une fonction d'un point a un autre, dans

un espace affine euclidien, est egale au travail de sond~~xi~~e (formule (VI,?;4

g dl t le long d'un arc

2O) Le flux d'un champ de vecteurs a travers une surface c

bordant un volume V traversee dans le sens sortant deV,

dans un espace affiné euclidien,est BRal a l'integrale dela divergence du champ dans V .

3’ ’ ) Le travail d’un champ de vecteurs le long du bord (orienté) r

d'une surface orientée2

d'un espace affine euclidien

orienté de dimension 3, est égal au flux du rotationnel duchampà

traversx , munie de l’orientationtraMVerSale asso-

ciée a son orientation tangentielle.

On peut repéter ici ce que nous avons dit a la remarque3”) de la page 60 : l'usage systématique des formes diffé-rentielles et de la formule de Stokes est préférable à

cette multipllcite de formulessur les champs.

Voici quelques autres formules, où les notations secomprennent d’elles-mêmes, en fonction de ce qui a btd ditantérieurement . E est un espace affine euclidien orient6 de .

dimension N :



186

Les démonstrations sont évidentes, en prenant un réfé-

.rentiel orthonormal orienté. Prenons, par exemple, ladeuxième. Elle s'écrit, pour la lère composante :

dT/ d-y dl z - YCMY - Z cm)3

dS ;

c'est un cas particulier de la formule d'ostrogradsky, oùl'on a remplacéX,Y,Z , par 0,Z ,- Y.

Voici enfin les formules de Green, d'un usage constanten mécanique et en physique :

Theorème 40 - SoitV une variété avec pseudo-bord de classe C',

de dlmensEN>d'un ouvert v,fi d'un espace affine eucli-

dien E de dimension Ndelasse C*

. m U,W,

des fonctions réelles,dans 2 . En appelantx le pseudo-bord de V

et J(Z) le vecteur unitaire normalà x sortant de V



187

Dans ces formules, A est le laplacien, et & est

la dérivée suivant le vecteur 7 (notée DT; à la formule(111,3?+&

D*?monstration

-

Démontrons d'abord la formule(VI,7;59).

Il

suffit pour cela d'appliquer la formule d'ostrogradsky

VI,7:52),

relativement au champ de vecteurs défini paru

CpldG.

On a en effet immédiatement (formule (III, 3;Z l)) :

et d'autre part, comme on le voit en prenant un référentielorthonormal :

= (jz&lJ&aW) + u nw I

donc Ostrogradsky donne bien le résultat.

La formule d'ostrogradsky suppose le champ U $dW declasse C' ce qui aura lieu si U est de clwse C'de classe C; .

et W

En appliquant (VI,7;59) à U= 1, on trouve immédiatement

la formule(~1,7;58).

Si maintenant on l'applique à W =U

, on trouve la formu-le (v1,7;60), S~U est de classe C* .

Par ailleurs si on applique la formule (VI,7;59) en

intervertissant les rôles de U et de W , et si on soustrait,de la formule InitIale, la nouvelle, on obtient (v1,7;61)

si U et W sont de classe C* .

On applique souvent les formules qui précèdent dans lecas de fonctions

a

valeurs complexes, comme il est dit àla remarque page 71.Alors,habituellement W par 3 .

dans (VI,7;59), on remplaceSi on remplace W par ü (au

lieu de U ) dans (VI,7;59), on obtient une égalité analogueà (VI,7;60), mais où 11 +Zi. u Il”

est remplacé par



188

On déduit de ces formules un très grand nombre deconséauences dans la théorie des &uations aux dérivéespartiêlles. Par exemple, on en

dédÜit

le théorème suivant,que nous reverrons ultérieurement, pour des fonctions har-moniques, et qui peut s'énoncer comme suit : Si U est unefonction de classe C' dans E , harmonique, c'est-&-direv&iflant l'équation de Laplace AU = o , et si elle est

nulle sur le bordC

de V

, alors elle est Identiquementnulle dans V .

Il suffit en effet d'appliquer la formule (VIJ;6O), oùU est remplacé par ü . L intdgrale de surface disparait,puisque U est supposée nulle sur C .

Le terme contenant AU disparait puisque U est Suppos&e

harmonique, et il reste finalement II..],(p U]FÜ )dr

Comme la fonction qu'on intègre est * 0 , Il résultedu théorème 26 du chapitre IV, que son intégrale ne peut&tre

nulle sans qu'elle soit presqueP

artout

nulle (pres-que partout pour la mesure de Lebesgue

;

comme elle estcontinue, cela ne peut se produire que si elle est

ldentiaue-

ment

nulle, ce quidbmontre

notre affirmation.

SS

APPLICATIONDELATHEORIEDESFORMESDIFFERENTIELLESALATOPOLOGIEALGfiBRIQUE

Intégrales des formesdifferentielles

fermées sur lesvarihtés

Orient&es compactes sans bord.

Rappelons qu'on appellecocycle,sur

un ouvertfi

d'unzspaceaffine E de dimension finie N une forme

diffhrentielle

W l ,de classe C', fermée, c'est-AidIre telle que do = 3 . On

dit

qu'une formedlff4rentielle

continue 0 de_degré

cobord, s'il existe une forme dlff-irentlelle m

, de test un

de classe C'

telle que 05 = d/m

. Ilr6sulte

deegré+-4,

la rela-

tiond

0

d 2

0

qu'un cobord, si c'est encore une forme dif-

férentielle de classeG',

est nécessairement un cocycle ** ;

le thhorème 19 de Poincaré Indique que, si l'ouvertfi

vérifiecertaines conditions topologiques très particulières. alors,rBclproqutment,

un cocycle est un cobord.

lComme

toujours, Il s'agit de for esdlff4rentlelles

àvaleurs dans un espace de Banach

i+.

l * IclZest suppost5e seulement continue; elle a beau êtreun cobord. SI elle n'est pas dérivable,

cela n'a pas de sensde voir SI elle est un cocycle



que c'est un cocycle de classe Cw dans R2-0

. Considérons

d'autre part le cercle trigonométrique muni de son orien-tation canonique; c'est un Cg-cycle de

R

-

0 . Or 1 in-tégrale de ce cocycle sur ce cycle est + 2~-f+ 0 . Cecid'ailleurs, compte tenu du théorème que nous venons dedémontrer, nous montre à nouveau que la forme

dlfférentiel-

le considérée n'est pas un cobord; elle nous montre enmême temps, au moins pour ladlmenslonN

=2,

ce que nousavons affirmé plus haut, à savoir que, dans l'ouvert complé-mentaire de l'origine dans un espace euclidien de dimension

N

le cycle défini par une sphère orientée n'est pas unC'lbord.

La démonstration donnée au corollaire2 athéorème 58

sera

une extension de celle-ci à N quelconque. Ce résultat esttypique de ceux que nous étudierons dans ce paragraphe :le fait que l'intégrale d'un certain cocycle sur un certaincycle n'est pas nulle, prouve à la fois que le cocyclen'est pas un cobord et que le cycle n est pas un bord.

3 ) Si; est un cobord, son intégralesur,une

variété singulière, orientie, avec bord, c$mpacte,H 1

V ,

ne dépend que du bord H 1

&V etdon de HIV

elle-même.

En effet, puisqu'on az

=

d

d , la formule de Stokes

donne

:

Bien noter que cette propriété est vraiesio

est

uncobord, et ne l'est pas nécessairement si

5

est seulementun cocycle. Le cas particulier où le bord de V est vidz

nous dit d'ailleurs que, dans ce cas, l'intégrale de W

est nulle; or nous avons précisément vu que c'est vrai si3

est un cobord, mais pas nécessairement si elle estseulement un cocycle.

4") On n'a naturellement aucun résultat rela-tif aux

CO-cycles

ou CO-bords, l'intégrale n'ayant d'ailleursalors aucun sens. Rappelons aussi que nous n'avons donnéla démonstration du théorème de Stokes que pour les variétésde classe Cz ,et l'avons admis pour la classe C’ .

Nous allons maintenant nous attacher à étudier certainesréciproques des théorèmes précédents. D'abord voici uneréciproque de la lère partie du théorème 41 :



192

Théorkme 42 - Soit z une forme dlffkrentielle de degr6

classe C'

-'un ouvert fi d'un espace affine de*N;

si

l'lnt&rale de rsur tous les Cm

-bords dealors~teUniC~c~~l~.,contenus dans fi , est nulle,

Démonstration - On a en effet, pour toute variété avecbord v , de classe C . orientée, compacte, de dimension

P

t1

, contenue dans . J , jYdO=je7 w = 0 . Notre

affirmation r&sulte aLors immédiatement du théorème suivant(appliqué à m = dw,n= + + 1 ) qui montre qu'une forme

dlffbrentielle continue est entièrement déterminée par laconnaissance de ses Intégrales sur les variétés avec bord,orientées. compactes, de classe C :

Dktermination d'une forme différentielle continue par ses lnté-

grales sur lesvarletes

avec bord orientees compactes.

Soitfi un ouvert d'un espace affineE de dimension= &;

nr

Soit &Une forme différentielle continue sur fin,

g

si, pour toute-avectborientée,compacte, de dimension n, de classe Cy

l'intkgrale

IYFi?

est nulle, alors ÜF est nulle.

Démonstration - Soient X, , x2 . . . ..z=.n vecteurs de Ë

et aun point defi . Nous allons montrer queü?(a).(~,,~~.~

Soit F ie sous-espace affine de E ,engendr6

para et-les X;.

On peut le supposer de dimension m , sans quoi les X,

seraient dépendants, et lex6syltat serait 6vident. Prenosdans F le réfhrentiel &, X,.X,,..., X, . La forme W

d6finit SUIF uns forme diff6rentielle de degr6 71 . , qui

alors s'krlt

.j Ai, A da2A...Admm. On a

+ En mettant C--bords,

nous prenons une hypothèsefaible qu'en mettant C’ -H-bords; nous arrivons cependantla bonne conclusion,donc notre énoncd

verra, dans la remarque qui suit lefaire des hypothèses encore plus faibles.



194

Voici maintenant une réciproque de la 2ème partie duthéorème 41 :

Théorkme 44 - Si une forme différentielle 0, de classe c'

d'unouverta

d un espace affine, a une intégralenullé

sur tou s les cycles l contepus dans & alors

>L

elle est un cobord. Si en outregest de classe CT 1x31,on peut en trouver une primitive exterieure

qui soit ausside classe C?

Le théorème de De Rham est un des résultats les plusprofonds de la topologie algébrique; Il est à la sourcede tous les développements modernes de cette partie desmathématiques. Sa démonstration est très délicate, Il

n'est pas question de la donner ici. De toute façon, nous

ne nous en servirons pas dans la suite. Bornons nous à

montrerqu

Il

explique d'une manière nouvelle le théorème19 de Poincaré.

sisest

une formedifferentielle

de classeC’ de l'ouvert0 de degrk 9

3

1 fermée, alors ilrésulte du theorème'41 que son IntAgrale sur tous les Cw

bords est nulle; mais cela n

entraîne pas nécessairementqu'elle soit un cobord, Il faudrait pour cela pouvoiraffirmer plus, à savoir que son IntGgrale sur tous les C

-cycles est nulle. SI alors Il se trouve que, dans l'ouvert

.fl #

tous lesC -cycles de dimension + 34 sont aussi

des Cca

-bords, alors cette propriété sera vérifiée , etW

sera bien un cobord; de sorte que, dans ce cas là, dans

l'ouvertJI tous les

cocycles

de degré>

0aussi des

cobords,

serontet le théorème dePolncark

seravrai

dans Q . Nous verrons plus loin que cette propriét.6 desF-cycles. d'être tous des C--bords, est précisément,

6.

une petite modification près (voir corollaire 5 duthéorème 54

),réallsée

pour les ouverts fi vérifiant les

conditions très restrictives de l'énonc6 du thborème 19

*I) ; mais Il en existe bien d'autres où elle est aussivraie. La propriété pour un

ouvert0

d'un espace affine(ou une variété fi de classe Cz ),que tout cocycle dedegré > 0 defi soit un cobord, est évidemment ConserVée

parC2

-dlfféomorphlsme

(un telCz

-dlfféomorphisme

+t

Voir note *

page

192

+* Le théorème de Poincaré est donc un cas particulierdu théorème de De Rham. Mais la démonstration du theorème

de De Rham, que nous ne donnons pas ici, utilise le th6oreme

de Poincaré,qui

est donc un intermédiaire inévitable.



morceaux, du cercle trigonométrique orienté dansa l .Il résulte alors de 1°) que l'intégrale de w sur lapseudo-varieté

singulière ainsi constituée est nulle, cequi montre bien que-les deux Intégrales (VI,Fl;g), corres-pondant à ces deux chemins, sont égales.

>ème

étape - Il nous reste tr montrer que larepond bien à la question. fonction

Choisissons un référentiel dans E . Alors 0 admet 1:

représentation (v1.6:72)

7

:;=A~ d,.

1,=1

1 .Si nous montrons que $ est pai-tiellement dérivable et

que l'on a :

xI,8;12)

sont supposées continues, sera de classeC'

15 du chapcitre III, et on aura

donc les A'

sera en outre de classe Cm+'

t

sont de classe cm,

, et le théorème

de la succession d'un chemin fixejoignant

& 6 w0 ;et duchemin rectiligne Czo,r]. On a donc

* On voit pourquoi nous &kns d'abord dQ passer des appli-cations C"

aux applications C-par morceaux : d'une part

une ligne polygonale est C-par morceaux, d'autre part nousobtenons ici une application du cercle trigonomktrlque dansaqui est seulement C-par morceaux. Naturellement une foisle

thkorème

démontré, nous saurons que W = iQj?-jëT-

trera quel'lnt6gralede z sur H ) rl'application du théorème 39 et-de la formule (VI;;;:z),nous

est nulle dès a

0,2n]est de longueur finie; et on peut aussipar l'intégrale (VI.8;9). sur tout chemin

finie joignant a à 15 ,.



20û

soit, en tout point k ) un multiple entier de 2~ , etd&n

un polntM,particulier, 4 (M,)

soit l'un des arguments

0

*

Si alors l.) est une fonction-argument continuedansa,

ce multiple entier de 2~ est continu pour M dans un voisinagde A,donc constant; donc cp est aussi Cm au voisinage de Aet y

admet&)

comme différentielle; ceci étantvrai

pour toutAde&,

Cp estC dansa

et de cobord 0 ; 0 est bienun cobord

dansa

.

2 / Pour que W soit un cobord dans&, Il

est bien nécessaire (d'après le

J

théoreme 41) et suffisant(d'après le

theorème

45) queHI?

w

=

0 , pour toute

application H de classe Cw du cercle trigonométrique dansfi,

3 / Il reste donc à montrer que, si W est

un coborddansa

W=dQ-argument dansa. ~CI encore on , il existe desfonctions-

Il n'y a aucuneut supposer sz connexe.

Mais appelons %raison pour que

%

soit une fonction-argument.l'ensemble des points M de fi pour lesquels

TF(M)

est l'un des arguments de M Nous allbns montrerque% est a la fois ouvert et fermé dansfi.

Alors Il seraou vide ou Identique afin, supposé connexe. Si donc onmodifie

q

d'une constante, de manière qu'en un point parti-culier de

fin..

elle ait pour valeur 1 un des arguments dece point, cela deviendra vrai pour tout point de .fL ; ce quimontrera bien qu'il existe dansa des fonctions argumentcontinues. Il y en aura alors une infinité; la fixation

d'unetelle

fonction en un point defila fiyera

hlw dansfitout entier; la différence entre deux d'entre slles sera uneconstante, et, en chaque point de fi , un multiple entierde2Tr, donc elle sera un multiple entier constant de 271 .Ainsi le théorème sera démontré dès que nous aurons prouvéque

%

est ouvert et fermé dans.fl

.

soit AE J-L

de A dansa, tel que;AppelonsC19/un voisinage ouvert connexpour M dans u,I @ (A

;M)

1

<ry

. Alor

dans v', les fonctionsIF,

et M - - +Q( A) +4, ( A; M) sont deu

primitives deW,

égales en A ; commevest

connexe, ellescoIncident

dansvtout

entier.

Prlors, d'après ce que nous avons dit a propos de(VI,8;l5)

lp est une fonction-argument dans 27, si,culier de v,

en un point parti-elle a pour..valeur l'un des arguments de ce.

point. Autrement dit,Brest tout entier dans% .

si'u contient au moins-un point de 3,

Alors :



202

2

et VQ,c'est-a-dire n'importe quel ensemble r6union de deuxparties dIs.jointes, v,’ ,

vl,

mises en correspondancebi-

univoque respectivement avec V, et V, . On remplace alorsY, et

V, par V, '

etVl , en transportant sur celles-ci les

structures de variétés diff&entlables, et les applicationsH, et H

i, grâce aux correspondances biunivoques; on procé-

dera ensuite de la mêmemaniére

que précédemment avecv-

v, ' u v' . Le cvcle somme n'est oas unloue.puisqu'ii dépeRd du choix de V ; toutefois il est toujoursdéfini à une équivalence près, en ce sens que deux cyclesdéfinis de cette manière sont toujours Equivalents, au sensdes variétés singulières orientées equivalentes (voir page145). On peut donc, dans tous les cas, définir la somme dedeux cycles comme un cycle, défini seulement à une équiva-lence près. Si d ailleurs on remplace les deux cycles donnéspar deux cycles équivalents, tout cycle égal à leur sommeest remplacé par un Bquivalent. Au fond, ce que nous avonsdefini, ce n'est pas la somme de deux cycles, mais la sommede deux classes de cycles,

qui

est elle-même une classe decycles; une classe de cycles étant une classe d'dquivalence,

pour la relation d'équivalence entre les variétés singulièreorientees.

~ Qandon écrira une relation du type?= T + ?h

r,r:,r, 9

4 où

seront des cycles, onentend;fa

parl&-que

r

,

a

une équivalence près, est la somme de r, et de r, Onpeut évidemment definir de même la somme d'un nombre'fini

quelconque de cycles; on peut donc aussi definir un multipleentier d'un cycle,=?, oùn. est un entier. > 1

étant lasomme-de

TX cyclesEquivalents

à l-' .Plkcg%rale-ment,

SI c r a-T

sont tous des cycles de mêmedimension,.o~ $o&a parler dé la comblnalson+,F + p,x

+...+ fie

re

,où les.,41 sont des entiers 21 . On pourramême convenir de prendre éventuellement des entiers nulsa

condition deconsiderer

que le cycleOF

est le cycle+?

ou cycle vide. En définissant toujours les cyclesà-une

equlvalence

près, l'addition des cycles est associative etcommutative.

On va définir l'homologie des cycles, en Introduisantune nouvelle relation d'équivalence, dans laquelle on né-gligera les&ycles

dégéneres

et les bords. Ondit

qu'unCn

-cycle H 1V , de dimensionn , d'un ouvert fi d'un espaceaffine E , est degénéré, s'il est vide, dans le cas de ladimension TL= 0 , et si,

dans le cas de dimenslonsn 3 1,l'image de V par H est un ensemble fini * .

l On ne verra l'intérêt d ces cycles dégénérés qu'aucorollaire 2 du

theorème 9.



204

de{01

x &V et de11

1 x eV . Tout ceci se voit

géométriquement sur la figureun disque fermé hachuré. Alorslatérale du cylindre” , { 0 } x V

et se démontre immédiatement.

On orientera [oI;] x7

de la façon suivante : enchaque point (b,

),

l ’espacevectoriel tangent est sommedirecte de la droite réellep,

espace vectorielà

[0,-l]

ent

tangentet de l ’espace

v e c t o r i e ltanient

a

V e nr

.

On considérera comme positiveune base de cet espace tangent,

a u p o i n t ( t,zc)

d e [O,l] X V , s i

e l l e e s t f o r m é e d elasuccession

d’unvecteur-positif,&?,

et d’une base positive è; , zz,. , , ,<%

dew

deTC=-;VI

. De la

m&e

manière on définira l ’orientation de[O,I]

Y G ,

IV

e s t e l l e a u s s i orient62

puisque

Q u a n t a u x variétés{O\ Y V

leurs orientations de façondeV

.

, on définirad e oelle

Demontrons

alors ce qui est Indiqué dans le lemme pourles orientations.

Soit

(t,r)

un-point

d e ] 0,1

[ xkV

2

s o i t ë*

un vecteurtangent enr

à

V , sortant de9

. SoitI’

L,“., W-I’

une

base positive de 7 (se

;

m) .

e’

A1g-s ,q,ë, ,..., TX-, ,

est une base positive de 7 (a= ;

V ) . Donc 5 ,e

est une base positive de y( ( t ,r); ? x 7)

*.<,<9 . ..> em

; par suite

,ê,,è,,..., ê+ ,

sortant de ]O,l Lx

y

est une base négative. Comme ê* est

, au point (t,x) , cela veut direque la base

ë

ë ëz

,.

, ,,enq,

tlon-bord,

daAg

’ ‘7

((t

,= )

;

est négative pour l’orienta-

]

o,,

[ x&V

) , alors qu’el le

e s t p o s i t i v e p o u r l ’ o r i e n t a t i o n ]Q [x

fl . Celamontre b2n que, comme partie régullere du pseudo-bord de

[G] x V ,] O,I

[ x kV d o i t a v o i r l’orientation]O>i [ x E.



206

Le second membre est la somme de deux cycles homologuesà 0 , donc il est nomologue à 0 , donc aussi le premier. Ona donc :

(pL,8 23)

?+(?+Y,

+ bord + cycle dégénéré

=

bord + cycle dégénéré.

Comme le théorèze nous indique que: + y est un bord,

on voit bien que r est homologue à 0 .

Homologie des cycles.

Théorème48

- La relation binaire entre Cmcycles defi :

C' r-homoloKue à 0 dans fi , est une rela-

tiond'&uivalence.

ComDatlble

avec l'addition des cycles,et leur multiplication par des entiers> 0.

52

est Cm-homologue à 0, on dira que F

sont Cm-homolop;ues dans fi . Une classe d'éauivalence,

form&e de tous les Cm-cycles Cm-homologues à l'un d'entre

eux, s'appelle une classe de Cm-homologle dans a .

Démonscratlon -

1') La relation est réflexlve 2. r

est un bord(thborème

47). doncCm-homologue

à 0 .

2')

La relation est symétri que : si r:+ r,

est h?moggue,à 0 , il en est de même du cycle d'orientationwposee r + r .

3 ) La relation est transtlve. Soient

F,C,$ 9

trois cycles, et supposons que T+Tz - -et r , +r ,

soient homologues à 0 . Il en est alors de même de leur somme$ap,r$s l~~soc+tlvlté de la somme, cette somme.peut sd&?;:;;

Laparenthese

est homologue a 0lé+thioke 4;.'Il'résulte alors de son corollaire q& '-r'+T

est homologue à 0 et ceci demontre la transitivité. 1; s'agdonc bien d'une relation d'équivalence. L'homologie est trlvia

lement compatible avec l'addition des,cycles et leur multi

cation par des entiers 2 0 : si5

est homologue B

-l,z,..., , , et si les +, sont des entiers &IJ

est homologue B c +,

t homologue B 0 d'après le ~h.oiè i 46'.



207

cles

C4-homolo-

Démonstration - Rappelons d'abord (théorème 35) que lesIntégrales de

z

sur 2 cyclesdquivalents_csont

égales. On endéduit immédiatement que l'intégrale

deW,sur

une somme de2 cycles, est la somme de ses

integrales

sur ces 2 cycles.

Supposonsque-7

Cl-bords, etA'

-soit

homologue à 0 , et soient A,,B

des,B',des cycles dégén&és, tels que 1 on ait

la relation(vI,8;ig). On a alors :

Il résulte dutheorème

41 que les Intégrales du cocyclew

surr et?? sont nulles* d'autre part, ses intégrales sur 'A $

et B) sont nulles d'aprés la remarque 3'1, page 146-147;

ilalors que son Intégrale sur r

estet T, sont deux cycles

C'-homologues,

Cl homoiogue z 0 , et l'on a par conséquent

donc

SI maintenant nous considérons, dans l'ensemble des cocycles

ou formes différentielles fermées declanse>'

, dansatà

valeurs dans r , la relation binaire : W,

-

0%

est un

cobord", c'est encore évidemment une relation d'équivalence.(Contrairement à ce qui vient de se passer pour l'homologie,c'est Ici tout-à-fait évident)

2 formes de la même classe seront dites cohomologues (uneforme cohomologue à 0 est simplement une forme de classe C'

qui est un cobord). Une classed'équiy@lence

s'appelle uneclasse de cohomologie à valeurs dans F . La classe decohomologie d'une forme fermée de classe C’ est l'ensemblede toutes les formes qui lui sont cohomologues.

On a alors :

Corollaire - L'intégrale d'un cocycle sur un Cl-cycle ne dépendque de la classe de cohomologie du cocycle, et de la

alasse

de Cl homologle du cycle.



208

Démonstration - Soient 0, et z&deux cocycles cohomologues,

et T et T deuj. Cl-cycles C'-homologues.

On a alors les relations :

Mais laxemière intégrile est,nullzd'après le théorème

parce que W, est un cocycl~ et-r, + L C-homologue-à 0 ,et la deuxième parce queC'-cycle (théorème 41).

0, - 0, est un cobord et Y, un

Remarques - 1") Pour les formes diff&entlelles, nousn'avons introduit que les cocycles et cobords, alors qu'onaurait aussi pu introduire les C -cocycles et lesCI -cobords.

C'est dans un but de simplification que nous ne l'avons pasfait.

2") Dans le même but de simplification, nousaurions pu ne pas le faire pour les cycles et les bords

Mais nous avons absolument besoin des C'-cycles et C'-

bords, faute de quoi l'intégrale, sur ces cycles, d'une forme

différentielle, serait dénuée de sens. Mals nous démontreronscertaines propriktés où n'interviennent que les applications

sans hypothèse de différentlablllté

~t~tf ll2oF&e15 '-69 ) . Pour les avoir, etc'est utile dans la pratique, nous aurons besoin des CO-cycles

et CO-bords. Il est donc indispensable d'avoir les C-cycleset Cm-bords. au moins pour les 2 valeurs m = 0 et 11% =4 ;

alors ça ne cofite pas plus cher de prendre mquelconque. Onaura des théorèmes intéressants qui feront passer d'unevaleur de w, à une autre (par exemple corollaire 4 du théorèm

3’) Le quotient del'espace

vectoriel descocy-

cles sur Cl. c E a valeurs dans F , par le sous-espace vec-toriel de ceux qui sont des cobords, s'aepelle l'espace vecto-riel de cohomologie dea h valeurs dans Fdes classes de cohomologle è, valeurs dans 7

Ainsi l'ensembleadmet une struc-

ture d'espace vectoriel(surY&?

ou a -, suivant quel' est unespace vectoriel surWou CO,.



210

un cocycle surfi , mais Il a une singularitéci

l'origineet ne se prolonge pas en un cocycle sur Jx ); il peut éga-lement arriver qu'un cocycle surfi

soit in

o0b0rd

sur l'ouvetlt

sans être un cobord sur a (par exemple, si-

0 , et sifi est le complémentaire, dans@':

d'une demi-droite Issue de l'origine, la même forme W de(VI,4;41) est un cocycle dans fi cobord dans fi'

non cobord dansJl

, comme nous l ’ a v o n s v u a p r è s

Pour les cycles, c'est la situation inverse. Un cycle dansfi' est a fortiori un cèle dansa (car une application H ,d'une variété orientée V

dansa',est

a fortiori une appli-cation

Ii

deif dans0,

);

& cycle homologue à 0 dansa est

a fortiori homologue à 0 dans fi . C'est Ici le passage defi àfl'qui en général ne sera pas possible. Un cycle de fi

n'est pas nécessairement dansa'.

Et Il pourra égalementarriver qu'un cycle dans fi' soit homologue àeO dans fi,

sans-l'être dans fi' . Par exemple, si fi =w ,fi'=w-0, et

si f est le cercle trigonométrique orienté, il estun

Cbord dans fi

mais ne l'est pas et n'est pas homologue à 0dansfi'(voir Lemarque 2' Page 190).

* Renvoi de la page209

-

- Notre definition de l'homologie et du groupe d'homologiedefi n'est pas celle de la topologie algébrique moderne,

qu'il serait hors de question de traiterici.

Aussi n'est-ilpas garanti que, pour tous les& , on trouve les "bons"groupes d'homologie. C'est sans importance pour la suite.Nous cherchons seulement :

1') à utiliser l'intégrale des formes différentielleset la formule de Stokes de manière à définir l'indice et ledegré topologique (voir pages etquelques théorèmes spectaculaires commetheorème 68, ou le thboreme 69:

2') B posséder un bon cadre pour traiter les fonctions

analytiques de variables complexes et leurs Intégrales.



Toutefois on aura <galement besoin, dand l’etude de l ’ in-

tégrale des forme.: dif férentiel les où interviennent toujoursdes variétés de classe C’: 17 3 1, d’une notion un peu Plus

r e s t r i c t i ve , c e l le d eCm-homotopie.

Définit ion - Soient X et y deux variétés de classe C’?

mfini

ou Infini . On dit que deux applicationsc l a s s e

C”

de X dansY

j, et -),,de

s o n t Cm-homotopes, s

i l ex Steu n e a p p l i c a t i o n F d e [*, j]

x

X d a n s‘f

, d e c l a s s eC”‘,

véri f i ant ( v1, 8; 27) *

.

Bien entendu, deux applications declafse

”

qui sontC”-homotopes

s o n t a f o r t i o r i d e classec e tCe

-homotopes,

pour.l

5 m

. Alors homotope veut dire” -homotope.

Théorème 50 - SI X & y sont deux variét,és de classe C’“, deux

applicatiz

de classe Cm% X dans Y , qui sont Cm-homotopes

a

unetrolsleme,

sont aussiCm-homotopes

entre el les. Autre-ment dit la relation qui exprime que deux applications sontCm-homotopes, est une relation d ’équivalence dans l ’ensemble

des applications de classe Cm-X dans y . Une classe d ’équivalence s ’appelle classe de

P-homotopie.

Démonstration-

Soient,

, ,IL

, t r oi s app li cat i ons d e classCmde

X

d a n s y ,- *

homotope B

4,

, , homotope à . S o i e n t

sant deune

homopjie

p~~s;~~td~o~so~,~,

s;pp~se,~~eh~Ii’~t~~~~r~~~~es

de& ‘corr&spon%&t

a c e shomotopies

s o n trespectivement[0,1]

etCI

, 21 . SiV-L

= 0 (et alors onpeut,pour

X et y , prenddes espaces

topologiques

quelconques, et non nécessairement dvaridtes)

on définira Immédiatement une homotopie F assant

et correspondantB

l’intervalle[0,2~ de f?

, Par

(nr,0;29)

Z

F(t ,z ) = c , ( t , z ) pour 0 < t < I , H (

t,z)

pouy 1

<

t 5

2

*Ve,

[;dA]d;

XR x’est pas une

,varlété,

mals une variété. On peut neanmoins dire sans dif f iculté

d ’une applicatlonf de[Oc

j3] x X qu’el le est de classe C’“.

en ut i l isant la note (*) Page 187 du Cours de lère partie .



214

Theorème 51 - Soitfiun ouvert d'un espace affine normé E .

1°/ g.Q, est étoilé, en Particulier s'il est convexe (ou

G

fi

=

E

),

ous

il possède les proprlétesenoncées

dans le théorbme 19 de Poincarg, 2 applications quelconques,de classe Cm, d une partie K quelconque d'une variété V

de classeCm(ou

d un espacetopologique

Ks iquelconque

n%=

0 7,

dansa,

2”/

ti

est une application de classeC 'd'une

Dartie

KComDacte

d'unevariete

V de classe C"(ou d'unesDace

toDo-

* On ne peut (sauf cas exceptionnels, signalés à lanote l page 187du Cours de lère Partie) parler d'appli-cation C 'que dans le cas de variétés, ou de parties ouvertesde variétés. si Kest une partie de V, nous appellerons

estriction 4 à K d'une appli-de Kdans V,dans

E (OnC 'de% dansa i.-car

contenant K , et 4 appli-

Si alors nous disons que 2 telles applications#

et2

deK dansa sont

Cm-homotopes

dansa,

nous entendons qu 11

existe une homotopie F entre $ et 9 dans 0 , applicationcontinue de [q,)] x K dans fi

avec (VI,fi;27)L qui se prolonge en une homotopie de classe 'Cm entre + et 9 dans Eapplication de classe Cmde [q,J] x .% dans E (ou, si'l'onveut, dans fi)

.-

Dans les énonces detheorèmes.

on devraitpréciserx et S; en même temps que K etparlera que deK et $

-Mais on nepour ne pas

enonces

et les déznstktions.

alour

exagerement les

** Nous avons mis 111 Ill ; il s'agit bien de 111

Illo >

lesdérivees

n'interviennent pas. Il s'agit biensGr

de



2 1 6

Alors p,Oj

et P, .% sont des applications Cmde K dansl'ouvertP, (fi) =sZ n k,

deF,

, qui a encore les proprié-tés énoncées au théorème 19;

donc elles serontCm-homotopes,

d'après l'hypothèse de recurrence, puisque 5

à la dimensionN-1. Alors on aura, dans L-l , des Cm-homotopies :

e+

y

v/-p(d+j, et le théorème 50 nous prouve

bien que 4 et 9 sont C 'n-homotopes si E a la dimension N ,

ce qui démontre par récurrence notre affirmation.

Nous allons maintenant donner un important théorèmed'approximation d'une application continue par des appli-cations de classe C” ‘ .

Théorème 52 - SoitK un compact d'une variété V de classe Cm,

deV

dans

E , telle que

Démonstration -

soit

6,

<

M;n (&,i) , où0‘

est la distance-compact)0 et de [;

on peut tro ver un voisina e ouvert

21Pour c?dz rii.i:Vd;

te;

que, pour tout= de K A a >

on ait l'inégalité

comme K est compact, un nombrefini

des ouverts

suffità

le recouvrir, soit(flL)lEI ; soient~GL

les points&

correspondants. Soit(o<;

);eI une partition de l'unitésubordonnée, où les

o(;

sont de classeCm

sur V , ce quiest possible, comme nous l'avons vu au théorème de lapartition de l'unité (théorème 11 du chapitre IV), PUiSqUe

V est de classe C’

* Naturellement,g-'(a)

est un voisinage ouvert de K ,e t 9 applique encore tout ce voisinage ouvert dansa .



218

Ainsi, h partir d'une CO-homotopie

entre4,

et+a:

ona trouve une C1 nomotople entrevoislnes

de 4, etqz

,9, et tt , qui sont tres

Mais en vertu du théorème 51, comme f,

etLj ,

sonttoutes

les deux de classe C’“, et que l'on a

sontCm-homotopes.

De la mêmemanikre

f,

etjt

sont C-homotopes.

Ainsi on a successivement trois CV'-homotopies, passant de

Corollaire 1 - Soient K un compact d'une variété Vde classeetfi un ouvert d'un espace affine normé E . Si,

our un entiz

5

me

particulier,deux

applications quelcon$es declasse C

ode

K dansa

sont homotopes alors

7~ n-LjdGu=pllcations quelco;ques,

our

tout giïtier

dePclasse CE

,&K

dansa sont Cc -homotopes. Cette propriété ne dépend que dela topologie de fl ; autrement dit elle reste vraie si onremplace fipar tout autre ouvert fi' d'un espace affine norméhoméomorphe à fl .

Démonstration - Prenons d'abord 1 = 0 . Soient -J , et $,

deux applications continues de K dansa . Soit E un nombre

L=O>

strictement plus petit que les distances def,(K) et

Prenons maintenant e

tt

dansa de classe Ce

< ?II. quelconque. Deux applications d

d'aprèsce'que

nous venons de voir; elles sont donc C, sont continues, donc homotapes

-homot

pes d'après lethéorkme

53.

La propriété relative aux applications de classe Cp n 'aaucune raison, a priori, de se conserver par homéomyrphisme;

elle nedevralt,semble-t-il,

se conserver que par C-dlfféo-

puisqu'elle est équivalente à la mêmepropri

, elle se conserve bien par homéomorphlsme.



En effet,7 et c sont alors C'-homologues dans fi ,

et il suffit

d'appliquer

le corollaire

du théorhme

49.

Ce corollaire exprime encore que l'intégrale d'un cocyclesur un C'-cycle, n'est peut être pas nulle (voir page 190, rem.2

mais ne varie pas quand ce cycle se déforme de façon continue.

Il

est commode d'introduire la

notion particulière d'applica-tion homotope à 0 .

Définition - Si# est une application continue d'un espacetopologiquex dansun espace topologique y , on dit qu'elleest homotope tr 0 ,

si

elle est

homotope A

une application

constante. Comme

on sait alors

que

toute application

constan-

te d'une variéte compacte de dimenslonx dansaest néces-sairement un cycle homologue

à

0 , si

la

dimension m est>o **

on

voit que

:

Corollaire 2 - SI- est un cycle de dimensionn>o de classe CId'un ouvert& de E ,

alors ce

cycle est Cm-homologue à 0 et, sim% 1 , 1 intkarale sur' ce cycle de

homotope +

0

tout cocycle fldedegré 1~ est nulle.

Naturellement ceci ne subsiste pas pour la dimension n= 0

(car

une application constante n'est plus un cycle dégénéré).Si 117-= 0 ,

l'intégrale

dezn'a

pas de sens.

Corollaire j -

Si-CL est un ouvert convexe ou étoilé d'unespace affine decilmension finie E ,

ou

un ouvert ayant les

proprletes enoncees dans le theorème 19,~ un ouvert homeo-morphe a 1 un de ceux-la, tout cycle de classe Cmde JL de

dimension ?-~>O.est Cv'-homologue à 0

-

et, si V%X 1 j;'-

tégrale

tllllle.

sur un tel cycle de tout cocyclé de degré 7, estTout cocycle X?,

de

degre 1% >o sur.Q,$st un cobord.

-

* C'est Ici que sont utiles les cycles dégénérés, introduits

page 160 dans la définition de l'homologle.



le

fait que H1;

qu'on a :est homologue

à

0 vient alors de ce

Soit & un %Ombre > 0 i strictement Inférieur aux distancesdes compacts K (fi, et K’ (a#) à

[fi

. D'après le théo-rème 52,

,,,,,azJW

sont de classe C’ , on peut trouver

desappljcatizns ,.

etK: , dea et a’dansfi, de classe C’

telles que111

K,-

K

1116

E et111

K;

-

F' /jls

E

_

;

d'après le

théorème 51, elles sontCa-homotopes

a Ket K' respectivemen

On a alors des CD-homotoples des cycles suivants :

H\ i ; + K, I Â+ K I x- - + Hl r ; + KI Â+Kl r ;

w, 8; M)

=I <I ??= K ht + K ' - K: 1

+

K1

Mais le premier et le dernier membres de ces égalltes

sont des cycles de classe C'

:

étantC”

-homotopes,

Ils

~théthéorème 53. D'après le,sont

thé$rèmQ4,

Ils

sont alorsC'-homologues.

ZZZ

K,

I

ha

et

K [ Ê et KI

K: A'=

K, I ? sontdes :'s-b::d:,

sont dégénérés, donc tous C'-homologues

à 0 ;\donc

H) v est bien C'-homologue à 0 , d'après letheoreme

47.

Slw est un cocycle surfi, le fait queHI

V

soit seule-ment CO-homologue à 0

n'lmpllqualt

pas, a priori,

Il l'lmpllque bien maintenant, puisque HI 7J

HIY

o'= 0;

est C'-homologue

l *.

* a eta'ne sont pas dans W .

** Nous avons énoncé le théorème 37de Stokes pour laclasse C’ ;

mals nous avons dit à ce moment que la démonstra-tion était délicate,classe C’ .

et nous ne l'avons donnée que pour laNous nous appuyons donc ici sur une propriété

admise.L'lmoortance

deoroorlétés

comme les corollaires 1. 2.4

est de montrer que l'intégrale d'un cocycle sur un cdépend que de propriétés

topologiques

du cycle

al'ouvertfi .



' (W 39)

de centre H (6;) , et de rayon -&

> satisfait aux

conditions du théorème 19 de Poincaré; dgnc wtive extérieure z dans B, , w = d,t;

.aNk%~ef:~tknt

A

dépend de l'indice i . Tout le chemin M [[e, ,tjL+, ]

est dans cette boule ouverte, et on a donc

Hl[jljel+,l

Z = + J) - i(e;)) >

c

d'après le théorème 35.

Appelons H, l appmati0fi

de r dans fi définie par :

H, est simplement une application polygonale, ayant poursommets successifs les H (0;).

Alors on a. pour 8; e 8 5 6.

*+

:

H( B) - H( B+

+

iII,8;4i,

j I H, (@ - H~~~~s/ ~- ki ~~+, ) - - ~<e; Tl j ~ ;

donc, pour tout e :.-_

(m 8; 42)

H B - H, ej - I [ <

8

; donc III -i-y Ill -L 8 .

Cela prouve. d'après le théorème 51, que H1

7

et H, I 7

sont C'-homo

w

vs,

donc C

54. Comme H 1

-homologues d'après le théorème

est supposéC

-homologue à 0 , il en estdonc de même de H,

7 . Par ailleurs on a, encore d'aprèsle

théorè ne

33 :

Pv; 43)

J

,

[ e, , I

0 =; p: ( H, ( ) )

- &( H, @ )

donc les Intégrales de w sur H 7 et H, - 7

sont égales



226

DémonstrationG

. . nt

s

*

l /

Supposons d abord que $ admette un telAlors nous pouvons définir une homotopie F

entre # et une application constante de r dans X en posant

&8;44)

F(t,lA)=fjt ) >

O=StL=Sl , mer

F est bien continue de [0,11x F' dans X ; on aF(I,;)

= pc, = q<Gq > et F(O,%) =T(z),

Donc f est bien homotope à 0 .

ào

2 / Supposons maintenant que $ soit homotop

et soit F une homotopie correspondant à une applicationde

[8,?]

x T

dans X , avec F(l,;i;)

= {(zI), L(

O,TZ)= a const

On definira alors comme suit le prolongement $ de$ :

(Jli,8;45)

Cette formule ne présente pas d'ambiaité, car, pour le centredu disque, on peut prendre t = 0 et?jï arbitraire, mais

F ( O,G) prend toujours la même valeur CL

E X ,

D'autre part, la fonction définie ci-dessus, est conti-nue. Pour le voir, supposons, pour slmplifler,X metrique.

La fonction F étant continue sur le Compact[0 i] x runiformement continue; alors, E > 0 Btant donne: il exisie

es

7

20 I

tel quet'-

t I <

11 ,Ilm)Zi+n,entraine

(FI,8;46)

d( F(t ’ ,m’) , F ( t” , m” ,) G E

Si alors t , X, est un point de A , distinct de l'origin

l'ensemble dest< tels quelt-t, ~~~,~ïïï-~O(~~~,est un

voisinage de ce point, dans lequel on aura

donc est continue en t,II;, f 0.

D'autre part, l'ensemble des tïï? tels quelt \hl, m quelco

que,

est un voisinage de l'origine,où l'on a :



228

Théorème 57 - Une sphère, le CO

-, dans un espace euclidi

0e-k sN-2. Ils sont donc simplement connexes pour Ni2

aussi trivialement pour N = 4 * , donc finalement pou

N 2

).

Par contre, nous verrons au corollaire 3 du théorème 58qu'ils ne sont pas (N-l) -connexes; en particulier, un cercled'un plan euclidien

(N=2)

n'est pas simplement connexe.

Démonstration - l /

Donnons d'abord la démonstration pourl'espace CO

unité de k*

0 étant un point de E Soit 5 la sphère, #une application continue de S dans [O .

On peut l'approcher-par une application9

de classe C , quilui est

homotope

(théorèmes 52 et 51).

Mais, dans E ,9)

est C'

soit q une homotople entre-homotope a 0 (théorème 51);

application C'de [0,21 x

S a

et une application constante,

dans E. [o , i ] x S est de dimen-

sion < N ; alors 1' 1mage

C CO,41 x S est de mesure nulle,pour la mesure de Lebesgue relative

a

unreférentiel

quelcon-que (corollaire 1 du théorème 102

bis,du

chapitre IV). Donc,pour presque tous les vecteurs

U deE,~ [o,I] xS) ne contient

pas 0 -z ;

l'application Ç + z : =CV ç(zc)+;Lt , de

IYo IIxS

dans E , est en fait une application dans

Alors +*i ,9

est homotope a 0 dans

elle est homotope à

9 dans [O

51). doncgelle-mêrreesthomotope

à 0et

CO

est bien *-connexe.

Remarque - La sphère S peut être remplacee par n'importequelle variété compacte de dimension < N

- 1 ; et [o p*r[A

oùA

est un ensemble fermé dénombrablequelcozque

de E (dans

ce cas, on saura que, pour presque toutz de E , (C, +~) (CO, l l xS)

ne contient pas un point &;de A ;,d'après le théorème 21 duchapitre IV (relatif

a

une Infinite dénombrable de propriétés

presque sûres) , on saura que, pour presque tous les C(I ,

ne contient aucun des points de A , donc

%

+4L

est encore homotope 0 0 dans A .

c

* Car, surïi?, chacun de ces 3 ensembles est réunion de 2

ouverts disjoints simplement connexes.



Nous allons, pour cela, introduire, dans un espace eucli-dien de dimension N , orienté, une forme différentielleremarquable de degré N

-

1 , l'angle solide, qui seracelle de (VI,4;41) relative à N = 2. Soit t un espace

affine euclidien de dimension N.et soit 0 un point deE .

SoitE une hypersurface de classe C' de E, ne passantpas par 0 , transversalement orientée.

SI cette orlenta-

tion est telle que, en chaque point M dex , le rayonvecteur OM soit transversal et positif, il sera natureld'appeler angle solide algébrique sous lequel de 0 onvolt c , l'angle solide 2 0 défini au chapitre IV, parl'intégrale (1v.10;25) (où V est remplacé parx ). Danscette formule, rappelons que h, est la distance OM ,

6

l'angle ale;u de OM avec la normale; 8 est aussi l'angle

de OMavec le vecteur unitaire normal positif3 , en vertudes hypothèses particulières faites sur l'orientation trans-

versale de c . Cette intégrale peut, d'après (VI, 7 ; 49 ),

s'exprimer comme flux, à travers c , du champ de vecteurs

w,e ; 49

x

z

h

N-4

où z est le vecteur unitaire de la demi-droite OM.

Alors, plus géneralement, pour n'importe quellehypersurface C e E - 0 , de classe C' , munie d'une

orientation transversale quelconque, nous appellerons

angle solide algébrique * sous lequel du point 0on voit x , le flux à travers x du champ de vecteurs(vl,E;‘w).

11 ne dépend que de x , de son orientation transver-

sale, et de la structure euclidienne de E .

Par rapport a un référentiel orthonormal de Ed'origine 0 , les composantes du champ a sont donnéespar :

xi

= 5,

j =4,2 ,..., N .

* L'opposition entre l'angle solide algébrique (designe quelconque) défini ici, dépendant de l'orientationtransversale de x , et l'angle solide absolu du chapitre

IV (toujoursst

très clai~e 0 ), Indépendant de toute orientation,

. Si x est la reunion de 2 sphères de

centre 0 , d'orientationsopposées,l'angle

solide absolu

vaut 2 s, , l'angle solide algébrique vaut 0 .



232

Théorème 58 - gÊ est un espace euclidien orienté de dimensionN , 0 un point‘de F‘,W. est de classe C

En outre son intégralcentre 0 ,est égale à 3 , aire (N-l)sphère uni.té de E :-

-dlmenslonnelle de la

(n56;53)

(W;P)

1

2

CO, =SN

Démonstration - Le fait que 0, soit de classe C-dans E-0résulte de son expression (VI,8;5l). Son cobord s'obtientimmédiatement, et l'on a :

ce qui montre bien que Wo est fermée.

D'autre part, si nous considérons son intégrale surn'importe quelle sphère de centre 0

de son orientation canonique, alors

du champ de vecteurs (VI,8;49), qui vaut

c'est-à-dire l'aire de la sphère unité + .R

N - I

Remaraue

- Puisque woest fermée dans E- 0 son intégralesur deux cycles C'-homologues de E- 0 est &essalrement

la même; par contre, il est naturellement impossible deremplacer E - 0 par E , la forme différentielle 00 présenteune singularité à l'origine comme le montre immediatement

la formule (v1,8;51).

l Ici l'angle solide algébrique est 6gal

a l'angle solideabsolu, puisque le rayon sortant est transversal positif;et alors ce résultat est une conséquence immédiate de la

points (lère partie, remarque 5” page

6 ).



233

Corollaire 1-

Le cocycleCL)~

n'est pas un cobord dansE- 0 .

e

En effet, s'il l'était, son intégrale sur lecycle2

serait nulle.

Cette propriété étend celle que nous connaissionsdéjà pour la forme de(VI,4;41).

si nous considérons la formule( v1, 8; 52) ,

on a

0 = dp50 d'p]

; mais les fonctions 6 etq

sont

definies

et dérivables, par exemple dans le complémentairedu demi-plan méridien fermé passant par $'$ et 0% , maispas dans

R3-

0 .

Corollaire 2-

Une sphère orientée d'un espace affine

euclidien de dimension finie n'est pas homologue à0

dans le complémentaire de son centre, et a fortiori pashomotope à 0.

Si en effet elle l'était, le corollaire 4 du théorème54

dit que,

sur ce cycle,nulle.

l'intégrale du cocycleOCserait

Corollaire 3-

Dans un espace euclidien de dimension N,

~Jo~ep~~a~~~~s8~é~~n~'~~epp~~~;eu~~nt~~~t Une

sphère et nec'ontenant

pas sonœntre, ne sontpas(N-1)

connexes.

En effet, la sphère n'est pashomotope

à 0 dans un telsous-espace, puisqu'elle ne l'est même pas dans le complé-mentaire de son centre.

Ceci complète ce que nous avions indiqué au théorème 57.

Cela laisse ouvert le problème de la%-connexion d'unesphère d'un espace de dimension N , pour

k

1, N

: c'estlà unproblème très délicat, et pas encore définitivementréglé.

Corollaire 4 -

Il n'existe pas d'application continue d'unebouleB

d'un espace euclidien de dimension finie sur lasphère s gui la borde, Cgale à l'identité sur cette sphère.



234

S’il en existait, cela voudrait dire que l'applicationidentique de la sphère S sur elle-même se prolongerait enune application continue de la bouleB sur la sphères ,donc (théorème 55) S serait homotope à 0 dans S donc afortiori dans le complémentaire de son centre, ce qui seraitcontraire au corollaire 2.

Corollaire 5-

2 sphères euclidiennes de dimensions finiesdifférentes ne sont pas homéomorphes. 2 espaces affines dedimensions finies différentes ne sont pas homéomorphes.

Soient en effet N et N'2 entiers z 0 différents,N’>

N.

Une sphère d'un espace affine euclidien de dimensionN'

est(N

-l)-connexe (théorème 57),une sphère d'un espace eucli-dien de dimension N ne l'est pas (corollaire

3);

elles nepeuvent donc pas être homéomorphes.

si maintenant 2 espaces affines de dimensions N

etN’étaient homéomorphes, les complémentaires d'un point dans

ces espaces le seraient aussi, ce qui est impossible, carl'un est encore (N-l)-connexe et pas l'autre.

Ces résultats avaient été annoncés page92

du cours delère partie. On volt combien de théorèmes ont été utilisés

t

our les démontrer : 'Si on remplaçait "homéomorphe" parC' -difféomorphe ,

ce serait 1 invarlance de la dimensiontrès élémentaire, et déjà vue au chapitre III (corollaire 4

du théorème 11, et note (*) page 218) .

Nous pouvons maintenant apporter un complément authéorène

19

de Poincaré :

Théorème59

- SISE est un ouvert simplement connexe d'un espaceaffine E de dimension finie,3 une forme différentiellefermée de degré 1 sur fi de classedans

un

espace de Banach 7,

C' vrs

alorssest la différentielled'une fonction , de classedans r.

Démonstration - Nous allons appliquer le Critère

du théo-

rème45.Aoit

H une applicationC

du cercletrlgonom6trique

orienté r dansa. Comme .fL est supposé simplement connexe,H est Qmotope à 0 , donc C -homotope ~3 0 (th6orème 53),donc H 1 r est CM

-homologue à0

(thborème 541,

et alors

l'lntdgrale decsur H 17 est nulle; le théorème ‘15 nousdit donc bien que w est un cobord.



NOUS avons vu (Corollaire 3 du théorème 54) que, dansE ou dans un ouvert étoilé de E , tout C""-cycle de dimen-sion > 0 est

C -homologue

a 0 . Nous nous proposons,dans ce qui suit, d'étudier

laC'n-homologle

dans le complé-mentaire d'un ensemble fini d'un espace affine E de dimen-

SIO~N. Nous avons déjà indiqué, sans démonstration, qu'unesphère orientée n'est pas homologue a 0 dans le complémen-taire de son centre .

Théorème 60 - Soit.12 un ouvert d'un espace affine E orienté , dedimension N sur le corps des réels; & A = a,,~,,...,s,~\ -

t-

ensemble fini de a soit v c 'v = C;L

une variété avecbord,compacte. de dimension N, C (V+ a*),munie

--7--

d e l ' o r i e n t a t i o n p a r Ê , et telle quea~

E

V ,

. La classe de Cm-homologie

0 - A , est indépendante

Démonstration -

Introduisons sur E une structure eucll-

dienne quelconque, et désignons parB;une boule fermée, decentre 0.. ~ assez petite pour ne contenir aucun d0es points

et pour être contenue dans l'ouvert V,

par l'orientation de Ê . posons x = &B ‘-ii,

maintenant ne contient plus a;

, c'est une variété avec

bord, orientée (par l'orientation de E ).

compacte, declasse C , de fi - A , de bord y +T ; donc, dans

f i - - A

3

est Cm -homologue à TA. Si alors onconsidère

deux hybersurfaces de ce type,2 c,, et si l'on désigne

par Bt une boule assez petite po;; être contenue2 la fois

dans les ouverts $, et tL correspondants, alors x,,etz&

sont toutes les deux homologues, dans 0 - I

a 6,,et

sont bien par conséquent homologues entre elles.



240

Donc :

différence entre le nombre des images reciproques de a-;

où H conserve l'orientation et le ::Ombre des images réci-

-

proques où H inverse l'orientation.

Le théorème est bien démontré dans le cas particulierconsidéré, et en outre on a une interprétation géométriquedes coefficients

-/Y .

Deuxième cas; F est un C-cycle quelconque de

fi-A,Cm-homologue a 0 dans fi,,% Z 1 .

On a, dans fi , la formule :

les cycles H17

, H1

G,

HI ?

, HI T' sont dans JJ, ,

non nécessairement dans fi-A.

H(W) et H(WJ)

sont des

ensembles finis (qui peuvent contenir certains des a,

D'autre part, HIy= #I$%, HIV,= F;I$: '

).

où H et HI

sont des ap licationsCmde variétés avec bord orientéescompactes,+,v de dimension N , dans 0 ;

les proprié-

tés très particulières du ler cas ne sont plus supposéesvérifiées.

Malsalors soit; un vecteur de E ;,à la place de l'appli-

cation H , considérons l'application H + z

, définie part-tH(E)+z,de ?Y dans E . Nous allons montrer que, quel

yue soit le nombre E > 0 , pour presque tous les vecteursZ

tels que / z / 6~ (pour une norme quelconque choisie sur E

une fols pour toutes) l'application G + z de u dans 0- ~

vérifie les propriétés supposées dans le ler cas.



242

est l'image, par "ne application a" moins de classe C' ,

d'une variété de dimension N-1 . elle est donc aussi demesure nulle dans E . Donc,

pou;

presque tous lesz

de

norme < E , a;-z n'est pas dans cette image, ou encore(H+ù)(V)

ne contient p,as ;

etles,images

réciproques dea;

, parH +z

sont dansl'Intérieur

lj ' de v .

ceri est vrai pour tout CL,, de A .

Alors "ne application immédiate du théorème 21 du+chapitre

IV montre que, pour presque toutes les valeurs de &L telles

quelu:

I/LE,

l'un quelconque des pointsa;

, &=1,'L,...,L,

a toutes ses images réciproques parTî

+ 'i z en dehors dubord de %? en nombre fini, et qu'en chacune de ces Imagesreciproques:

le rang de (fi + z)' est égalà

N . On se trouve

alors exactement dans les conditions d'application de laoartie

2'/

du théorème.

Cela démontredsc

qu.'il existe

des entiers q,,qL,...,qe,

tels q"e(H + z)l bu== ( H +zi , V soit un C--cycle dans

classe de C'%-nomo-x

Ce que nous venons de faire pour leCmzcycle

H 17 de

(VI,8;58)

peut être fait aussi pour le cycle Ii IV: . D'autre part ,

même si le cycle dégénéré H 1 G

ou H 1 W' a "ne Image contenan

certains des points&;

, le translaté par Z ne les contientplus, pour toutes les valeurs de z sauf unnombre fini, c'est-à-dire pour presque toutes les valeurs

de&

; ce translate estalors un cycle dégénéré defi - A , homologue à 0 dans f i - A.

En appliquant encore "ne fois le théorème 21 du chapitre IV,on voit que :

pour presque toutes les valeursdeÜ

tellesq eIIÜ

I

S

5,

%Z

translatespar&

des cyclesHI?$ HI?'

sont dansJ-L

- A 9 E?L

appartiennenta

des classes de C-homologies

qui sont des

combinaisons finies du type c q;(Lr') Ch;(at;') **

et les translatés de HI '3 ,IH

1 k?I soit

dgs

cycles dégénérés~a.- A.

Alors, pour presque toutes ces valeurs dec

, le translate

par.Z du cycle'C '

est dans.0,

- A , et sa classe deC -

homologie

dans fi -

A est? +l(a\*')

,k;

=hi-

q;, d'après

l'expression(v1.8;58)

de 7 .

x

Ie cycle H + 217 peut s'appeler translate par Z

du cycle

*+

9; et A,; peuvent dépendre deti

.



244

Puisque la forme différentielle W,.est de classe C'et fermée, dans fi - a; , elle l'es\ a fortiori dans&-A.

Comme alors le cycler

est supposé homologue au cycle

les intégrales de ~,~sur ces

deux cycles sont nécessairement les mêmes (corollaire duthéorème49,

si rn 21 ;

N = 2 ,w~,=(~,Tde longueurcorollaire 6 du théorème 54 p%r

finie) . Or l'intégrale sur F;

est égale a S, , d'après la formule (v12;53), et l'inté-grale sur l'une quelconque des sphères 0‘

car une telle sphère est bord d'une boul&,i+t,est nulle,ans .0 - a;

Ceci demontre, d'une part, la formule (VI,8;%), et, d'autre

part,

l'unicité des coefficientsiP

lorsque p est declasse C ', pourmà2. puisque le intégrales définies danscette forp@e sont bien déterminées par la seule connais-sance de r .

Dans le cas particulier où E = c , on a :

OK,8 ;59)

i

1

x-dX+q

1 xliq-%d/Jcl

=ziJy 'y

+=

x2+

a

= i-- d hj ~ +++o2iT

W, étant la forme (VI,4 41) * . Commeune fonctlonC'dans

CO

, sa jC esta une intégra-

le nulle sur r (formule de Stokes spéciale au casrr=l ,théorème

39).

Alors de (v1,8;56) on dedult aussitôt(vI,~;

57).

* On a, directement, -+=d( q~)-d -EO jj’j/+id iD*

Mais bj 3 et Cp

ne So;t pas des fonctions bien définies,

et ce raisonnement demanderait une justification spéciale.

Cette justification n'est pas bien terrible, mais plus longu

que le calcul ci-dessus.



246

L'/ 11 est remarquable sue +; se calcule dèsqu'on connait F et a;, sans que la connaissance des autres

ai ,j+

i, softnbcessaire.

3 /

SJ,on

change l'orientationdeE

, la classed'homologle de P dans fi - A ne change pas; mais lesclasses(& *))qui servent de référence changent de signe,car on doit changer l'orientation des boules donc dessphères; donc les +; changent de signe. Cela se voit aussidans

(~1,8;56),

puisque W,. est remplacée par son oppo-

sée.

‘

Corollaire - SoltE un espace affine de dimension N surW ,-.

et soit A unepartie finie deF

~d'homologie de E - A

Fi&t

comprises entre o -eJ N-

la dimension 0 , il est isomorphe au groupe additif zdes entiers de signe quelconque;

our la dimension N - 1 ,il est isomorphe à la puissance a;&

B

z

.

1') Soit? un C-cycle de E- A , de dimension

k, 0 -=

k-=N-1 . Il est Cm-homologue a 0 dans E

(corollaire 3 du theorème 54); donc dans E - A d'aprèle theorème 61. Le groupe de

Cm-homologie

de d&ension 4%

est donc bien réduit a {O } +

2') Orientons E Dans le groupe de Cm-homologie

d% dimension N-

1

, figurent les classes de la forme

;

deux de cesclasses,ne

correspondant

pas au même système d'entiersf;

sont distinctes. Parailleurs, d'après le theorème, il ;'y a pas d'autresclasses que celles-la, car tout cycle de E-A

est homo-logue ~3 0 dans E (corollaire 3 du theorème 54). ;l y adonc corresponda?$ce biunivoque entre le groupe d homologie

et l'ensembleZ

des systèmesj~=(*,,j~,...,Jp.p)

de1

en-Par ailleurs

la,somme

de la

et de la classex

91

(a -))

est

la classe l'additik'des classes

dansz'.

consideré

comme groupe produit z x Z x . . . x z .



248

si +

est cet indice, il est naturel de dire que le cycleT entoure algébriquement+, fois le point a, ou encorefait algébriquement

SI 7F

fois le tour du point a. En effet,

est une sphère de centre a-, d'orientation directz,

il est naturel de dire qu'elle entoure+1 fois (L - , et+6

a l'indice fi . Il résulte alors du-théorème 61 que, si A

est une partie finie deSz

, et si r est un cycledeO--,homologue à 0 dans .Q,, les nombres 1 ; qui interviennent

sont les indices de r,par rapport aux points a,;. Il enr6sulte aussi que,

S~E est9 outre muni d'une structureeuclidienne, et si le cycle F est en outre de classe C'

(ou de classe C

et$e longueuf finie, siN =s), sonindice est égal à

-

%

fols 1 Intégrale sur r de la forme

différentielle angle solide W, , ou encore à 1

5,

fois l'angle sAlIde algébrique sou: lequel du point a onvoit le cycle P . SiE est le corps des complexes (? ? ,

l'indice vaut aussi d'après (VI,8;57).

Nous désignerons cet indice par L(? ;a); il dépendessentiellement de l'orientation de E et change de signesi l'on change cette orientation. Plus'généralement, si Kest un C' -dlfféomorphisme de fi sur un ouvert fi' de Erespectant (resp. Inversant) les orientations, c'est-A-dire

de déterminant jacoblens 0(resp 4 0 ), le cycle Image

KF ( s i ?= HI ? , K? e s t K OHIc)

a pour indice

par rapport aupzlnt

image&'=K(a), l'indice (resp. lbpposé

de l'indice) de r par rapport .& CL o En effet, soit c le -

bord d'une boule euclidienne B de centre d. Al ors?l rK( cT)

est le bord des'=K <B>

les orientations dans ?

; ymme K conserve (resp. Inverse)

BP a l'orientation deÊ (resp.l'orientation opposée), donc 6~ a la classe de C'-homologle

(a ) (resp-(CL") ). Comme K estAn homéomorphisme, Il

conserve les CO-homologles; donc, SI~ est C -homologue b.

hz,+=1 (r,$,K?est CO-homologue A + K?=p;',donc

on a bien 1 (K 7

; K(a))

=+ (hq.+ .

Remarque - Il n'était nullement évident a priori :

1') que l'intbgrale A.-*cl.

fût un nombre entier ;

2')

que cette int6grale fût Independante de la structureeuclidienne (dont dépend pourtant 0, ), et ne dépendrt quede 7

, de l'orientation deT ,et de a . C'est naturelle-ment tr&s intuitif, et on trouvera beaucou? de trait& ancie

de mathématiques, où tout cela est admis dembléei

nous avoncependant vu toutes les difficultés qui devaient etre vaincupour le montrer.



250

Soit d'autre partaa

: ;I

-a% une application continue--l-.

*A dans E . Si alors, pour toute valeur de a,a>n'a ppas ài'image

artlent

H,(X)

J

l'indice du cycle H, 1;

par rapport au pointas

varie continuement avec 1

;par

aonseauent,

toutpoint

1 possède un voisinage 4ans leouel

cet indice reste constant; en particulier il reste constant

sur toute composante connexe de A , et sur A tout entierdA est connexe.

Corollaire 2 - Soit

H,

,n,,n,,...,

H,,...,

unesute

d'ap -

plicatlons continues de 5,dans i , convergeant,pour

TL

infini, vers une application H , uniformément surx

;&

soit a,,a,,a, ,...> a, >... , une suite de points de E ,

convergeant vers un point a , pourri infini. sa& H(x),

alors, pour n, assez grand, a7L +

H,(x) , et l'indice de

H,l

.%

SE an

est égal~3

l'indice de H( 2 a.

Corollaire 3 -Soit

H 1% un cycle de ùimensionN - 1 d'un

espace affine orienté Ê .-

Alors l'indice de ce cycle parrapport a un point a , appartenant R E

-

H Z)

, est le

mêmelorsque a parcourt une composante connexe de cet ouvert

il est le même en deux pointsqui

peuvent être joints par un

chemin ne rencontrant pas l'imageH(C)

D

Si en deux

points&

et&

, l'indice& H /?- n'est pas le&ne,

u

n'existe aucun chemin .joignant ces 2 points sans rencontrer

l'image H(Z).

Ce corollaire, qui résulte immédiatement du corollaire 1,est un des plus puissants outils pour montrer que 2 ensemblesont un point commun.

Soit, par exemple, à traiter l'exercice suivant (dont uned&monstratlon

directeTATa;;

t&+,s délicate). Soient i

unecirco'nf6rence dew, 2 diamètres perpendiculai-res. Appelons d (resp. J3 ) un c'hemin joignant A Q A' (respB & B' ), en restant (sauf en ses extrémités) toujours dans

la région intérieurea

x

. Montrer que ces chemins se ren-

contrent nécessairement.



252

et 0 qui ne sont pas égaux, Donc le chemin /3 joignantB A B' rencontre l'image H(r) . Comme il ne peut pasrencontrerH

( [ n. z ~l ) ,

il rencontre a , ce que *OUS

voulions démontrer.

C o r o l l a i r e 4 -

Soit Hlfi un cycle,de dimensionN-1,

d'un espace affine orienté euclidienE

dedimensionN

,contenu dans une boule ouverte b

,de centre 0 et derayonu, Alors son Indice par rapport A tout point aqui n'est Pas dans cette boule est nécessairement nul.g& est un point par rapport auquel l'indice du cycle

il n'existe aucun chemin généralisé*

.joi-

So?i lrinfini, et ne rencontrant pas l'image du

Démonstration - Le cycle, appartenant a la ooule ouverteB

qui est convexe est,nécessairement homologue é 0

dan;

cette boule ouverte (corollaire 3 du théorème 54) etpar conséquent dans E - G , si a n'appartient pas à laboule ouverte. Il en résulte bien que son indice,

par

rapport A a, , est nul. Il était d'ailleurs intuitif qu'untel cycle ne pourrait Pas "entourer" a .

Supposons qu'il existe un chemin généralisé M 1 [O,+oo[joignant k a l'infini dans E , et dont l’image ne rencon-t r e pas l ’ i m a g e H(C) du cycle; alors, nécessairement.l'indice du cycle Par rapport au point M(t)

doit êtreconstant lorsque b varie de 0 A +=a . Or, a partir de t

suffisamment grand, cet indice est nul; donc l'indice par

rapport aupoint8

est également nul. Cela montre bien que.si l'indice au point& n est pas nul, Il ne peut existerde chemin genéralisé joignant & a l'infini et ne rencon-trant pas H (X.).

I~ w w ~~~lI~ll~~~~~ll~~ll~~~ll~~ll~ll~~~~lll~~~ll~ll~~~l~

Noua venons de voir que l'indice d'un cyclene peut varier que quand a traverse l'image dula traverse en un point suffisamment régulier,

voir

qu'on peut savoir comment varie 1 indicesée.

au pointa-

cycle. Sia

nous allons

A latraver-

lCn chemin généralisé joignant 4 a l'infini est une

application continue M

d'une demi-droite da,++m[ Par

exemple,dans E , avec M(O) = 1 ; et t$m I M( t) - hl l = +m .



En utilisant des translations, cela revient à dire que :

('4,8;61)

I(H

+qq5;,,)

=

I(HIC;c+J

de 2 Nous avons maintenant t' comparer les indices 1, et1,cycles différents, par rapport au même point a, .

Mais Il existe une homotopie&dans E qui fait passer d'uncycle à l'autre :

1'applicationH

de [t,,t,] x

Z

dans E

définie par

(YI,f:62)

(tr)-+ G(t,z) :

H(x)

+a,-a(t)

On peut, pour calculer les Indices 1, et 1

H 1

C

1 '

rwnplacer

H+aZ2jJC e t par les cycles équivalents

Hl{t2} ~3 et KI{L,} x 5 , et appliquer la

formule (vI,~;) (où[0.11 est remplacé par [t, , t2]) :

La différence cherchée I,- 1,

cycle du premier membre.étant l'indice en a, du

Mais nous nous trouvons exactement dans les conditionsd'application du premier cas de la première partie de ladémonstration du théorème 61.

Le cycle écrit au 2ème membre est-un bord dans E . Enoutre, 1 image r&iproque de

a,

par H est l'unique point

(t7 x) de [t,,t,]xY,tel que(v1,8;64)

H(X) - a(t) = 0 >

c'est-h-dire le point (t, ,a,) (H(ao) =a,),puisque

la tra-

jectoire est supposée rencontrer C au seul point a, , cor-

respondant a l'instant t, . Au voisinage de ce point, H est



2%

ou la variation de l'argument (d'origine a ). Mais on le faitde manière particulièrement rapide, en remarquant que, dansla composante connexe de l'infini, c'est-k-dire pour lespoints suffisamment éloignés, l'indice est nul, et en utili-sant le fait qu'k chaque fois qu'on traverse la courbe dansle sens positif (resp.

resp. + 1).

négatif) l'indice augmente de - 1

- Les flèches indiquent le sensde parcours, les flèches

pointil-

16es

le sens transversalZO

(Rappelons qu'un vecteur transvep

sa1

positif, suivi d'un vecteurtangent positif, donne une basepositive du plan orienté

)

Il nous suffira dans le cas de la figure, pour nous trouvedans les

CQnditions

d'application du théorème, d'éviter de franchla courbe en des points singuliers.



258

Mais,

dans le faitqueC

partageait E en 2 réglons,nous avons démontré, au théorème 28, C étant

cormexe,

qu'il y avait au plus 2 régions; pour montrer qu'il y enavait au moi ns 2, nous avons utilisé le fait que Z avaitune équation normale, d'après une renarque non démontréeet. en fait très difficile a dénontrer. du cours de

lère

partie. Or

Ici nous avons de quoi don& maintenant une&émonstration dr? corollaire qui r.e s appuie pas

sur

cettereTT2FQ e.

Nous garderons, de la démonstration du théorème 22, cequi a été compltiteme~t nontrt , a savoir qu'il y a au plus

2 régi ons. Ensuite,C étant de classe C' , et supposéeorientée dar.s Ê orienté, elle a une orientation transver-sale, et on peut la traverser transversalement en l'unquelconque de ses points.de

Z

d'une unité.On fait alors changer l'indice

Il y a donc au nains 2 valeurs del'indice pour les points a 3e cc . Donc il y a au

n.oi ns 2 régi ons. donc exactement 2. Le raisonnement dela page 109 montre alors bien qu'il y a une région conte-nant le complémentaire de toute boule fermée contenants,

ou composante connexe de l'infini; l'indice y est nul,d'après le corollaire 1; du thGor>me 62. L'autre région estalors bornée et l'indice y vaut t 1.

Nous avons déir.ontré <lue ce que nous avions admisauparavant; nous supposons ici Z compacte et ori entabl e,alors qu'zvant nous l a supposions seul ement fermée

tt

nous démontrlons

peut2

qu'elle était orientable. On fait ce qu'on

Mais,

lorsqueZ

est compacte et non seulement fermée,on peut parler d'indices, et notre résultat actuel,

sur

les Indices 0 ett

1 des 2 régions, estun

complémentintéressant.

Classes résiduelles d'un cocyclet

sinwarités isolées :n

Soientfi un ouvert d'un espace affine orienté E de _

dimenslonN,

A ={a,,

a2 ,...,

a(1

un ensemble fini de fi , etLJ

un cocycle de degré N-1 de fl -A , hi valeurs dans unBanach? .

On appelle alors classe résiduelle de ;j ,,au

pointai

de A l'intégrale dez sur n'importe quel C-cycle de laclassé de C'-homologie (a: )

dansfi-

A

(tous

cescycles étant c' -honologues, l'intégrale~st la mème) .

Cette classe résiduelle est un vecteurdeF

(un scalaire,si,y

estU

valeurs scalaires). Elle dépend de l'orientation

de E , et change de signe en même temps que cette orientation



260

,,

soit v cG une variété de classe

C' , avec bordc o m p a c t e , orientée de dlmensionN ,et soit

H

une applica-tion continue de v

même dimension N .dans un espace affine orienté Ê deOn appelle degré topologique de ki ,

en Il

pointade

E , n'appartenant pas b l'inage H(.bV)

du bord eV de V , l'indice du cycle Hl rV par rapport

au point 0. *

Il résulte du théorème 61 (ler cas de lalère partie de la démonstration) qu'on possède uneinteyprétation

géo&trique

simple de ce degré topologique,si 1 Image réciproque du point a ne contient qu'un nombrefini de points de c,

H est de classe C' ,au voisinage de chacun desquelset en chacun desquels l'application

dérivée deH

est du rang maximum N . Dans ce cas, eneffet

> le degrétopologique

de l'application est lenombre des images réciproques de a , au voisinage des-quelles H conserve l'orientation, diminué du nombre desimages réciproques de u. au voisinage desquelles

H

Inversel'orientation. Il n'existe aucune interprétation de cegenre dans les autres cas. Toutefois, ce degré topologiqueest constant lorsque

u

variecontirAment

sans rencontrer

H(hV) Or, d'après ce que nous avons vu dans la démonstration d; théorème 61 (2ème cas de la lère partie) sil'on suppose simplement que H est de classe C'

et'sia

est un point quelconque n'appartenant pas à H<kV)

,pour tous les points suffisamment voisins de

a

ledegré topologique est le même, et,pour presque cous ces

points,SIH est

il admet l'interprétation géométrique précédente.seulement

contlnue,

cation C' )

on l'approche par une appli-et on retombe dans la situation

précbdente.

D'autre part, un point important reste toujours vrai :

* Si on cnange une des deux orientations, celle de V

ou celle de E , le degré topologique change de signe;

si on change les deux, Il ne change pas.

Si V n'a pas de bord,

kV = $

, ledegré

topo-logique est forcément nul.



262

Voyons melntenant comment, pour H etA

fixés, ledegré topologlque dépend

GeV

. On se rend compte que,si on fait varier V dans V de manière que l'iaa$e

réciproqueH-'({a))

dans V’ne varie pas, le degre topo-

logique ne varie pas.

Théorkme

67 -

Yolt

H une application continue d'unevariétsorientée F, de dimension N

oriente Ê de dimension N, dans un espace affine

avec bord, compactes, de 'v

Soient V et V deux variétéss Si le5 Gages réciproques

H-'la] n V, coincident, et ne

, alors les degréstopolo-

des applications H g QI

95

Démonstration- Posons

w = v,uv, , K,=H(W-$),

K ~(w-+~).

W est un compact de V, K,

etK,

sont des compacts

de E comme inmages de compacts par H

*appelons 8

leminlm& des distances (pour une norme iuelconque sur E )de

a

h K, et K,

H du compact W

Si nous remplaçons l'applicationdan;

E par une autreHo

et a par

sun autre point a, , avecI//H-tiJ c ?i,

alors H, (W _ 0, )

11

aà-a'll < 4

,

et Ho w- 2)

ne contiendront

toujours pas a, ; donc Hi'({%\),dans W , reste dans

0,

n

Q*

; ou encore, les imagesreciproques

par H, ,sic

ao

,dans

t,

3

Y, , coIncident.

Mals, dans ce cadre, on peut choisirIi.

de classec

sur W ;théorèxae 52), de manière queH;'({a,))

soit .

un ensemble fini, et qu'en chaque point de cet ensemble,

Hl

soit de rang N.(22~

cas de la lère partie de

la démonstration duAh6orème 61).AAlors

l'expression

des indices de H,I- V,

e t H, pi, au pointa,

, par

leler

cas de lalère

partie de lademonstration

dumême théorème,proque par Ho

comme nombre de Po$ts de L'image réci-, de a, , dans V, et V, , où Hh

conserve l'orientation,diminué du nombre de points del'image réciproque où elle l'inverse, montre bie2 queces deux indices sont égaux. Les Indices de H,(&V,-et

Ho 1 bi,

en a, sont les mêmes que ceux de H kV,

etHIfi,,

en a (théorème 62);

les degrés topologiques de H 17,

et ce sont précisément

etHIV,

en a .



264

Démonstration - Comme toujours, il suffit naturellementde démontrer que le

polyn8me

admet au moins une racine,Sirn~l ~ On peut trouver un norr.bre R > o tel que, siuo

est le coefficient du terme de plus haut degré dupolynôme, on ait, pour 1) j

3

R , l'inégalité :

Le théorème de Rouché est donc applicable, avecH())=aQjm,

K(>) = Pq, - a 7- *

08

Il nous montre que l'application,

définie par le polynôme P , du disque iq\ -c R dans le plan

complexe, a le même degré topologique, au point 0

l'application 3 -a, a-

, que. Or, d après la définition

même de ce degré. celui-ci est l'indice, par rapport à 0

du cycled6finl

par l'applicationH:a

-.

Z=aOjm,du cerclé

r : 131 z? R , muni de son orientation canonique, dans

Qi

. Cet Indice, d'aprks (VI,B;57), vaut :

(v l , s ; l o )

1

- -

dZ

~ m.-a-

1

2ilT

y=

HI ?

Z-LX

1

i :

3

c'est-A-direm fois l'indice de ? , donc m.

Nous avons donc demontré que l'application définie pu-P,

du disque 12 1 & R , dans le plan complexe c, adegré topologiquemau point0 . Comme

m+o

, il existebien au moins une racine dans ce disjue. Une récurrence

permet, h

partie de 1 existence d'uneracine,

de montrerl'existence de m racines; mais nous avons bien aussi lesoupçon qu'on peut directement aboutir G ce résultat, -utilisant le fait que le degre topologique estm .

C'est bien ce que nous verrons au théorème ? duchapitre VII.

Corollaire 2 -

m E un espace affine normé de dimensionfinie sur le corps des réels. Toute application continue,d'une boule fermée de cet espace dans elle-même, admet aumoins un point fixe.

Ici encore, nous avons une application du degré topolo-

gique à la démonstration de l'existence de racines d'uneéquation.

Démonstration-

l'/ Supposonx

d'abord

que la norme de Esoit euclidienne.

Soit.#

l'application continue donnée, de laboul2

B decentre& et de rayon R , dans elle-&me. Orientons E

n'impor-



266

C'est une application continue en tout point + 0

car les normes sont continues et qu alors le dénomlna-

teur n'est pas nul. Elle est aussi continue à l'origine,car 2 normes quelconques de Ë

rème 13 du chapitre II), alorssy$;,,équivalentes

(theo-

tq

est borné(thec-

rème 12 du chapitre II) etL(z) tend vers

0

quand z

tend vers ?i , On a :

donck

applique la boule unité 6, , pour la norme

Il

II, , dans la bouleunite

B,

pour la norme/I

Ile.

Mais $L a une application réciproque -# :

qui est aussi continuedeË

dansE et applique 6, dans

5,

, donc x est un homeomorphisme de 8, sur 0, , ce

qui achève la demonstratlon du corollaire dans le casgénéral.

Remarques - l / Cette demo,~stration suppose essentlelle-

ment que F soit de dimension finie, d'une part pour1 application&

topologique,

d'autrepart.

dans 2'. pour que toutes les normes soient équiva-lentes. On peut démontrer qu'un theorème analogue seraitinexact si i est un espace affine normé, de dimension

is on a le remarquabletheoreme

Suivant. quer%E%&e~&rons :

Théorème 68 bis - (Theorème

du point fixe deSchauder):

Boit E un Banach. Toute application continue d'un compact convexe

K

de E dans lui-même admet au moins unPoint

fixe.

SI

E est de dimension finie, les boules sont bien com-

pactes convexes.

* 12

s%fflt,

pour le voir, de montrer que4%

o

X et

‘&OR,

sont l'identlte. Or on a , par exemple :



268

Mais2

n'est autre que la symétrieT,.?ï

par rapportL l'origine. La formule

(VI,8;51)

montre alors immédiatementque z*w = (-1)NW > de sorte que l'on trouve la relation :

Al ors si , maintenant, on utilisel'homotopie

définie par

i,J i,8;11)

(t,z) - tx,r)

+ (1-t)

Z(I)

>

l e rai sonnement déjh fait ci-dessus montre que_le cycleX/g

a rrême indice, au point0

, que le cycleS-dire (-1)

Z]c

c'est-

avoir 1= (-1)N .'or, si N est supposé impair, on né peut

Nous aboutissons donc a une contradiction, cequi signifie que, contrairement & ce que nous avons supposéau début de la

d6monstration,

le champ z s'annule &Cessai-

rement

en au moins un point de la sphère, ce qui démontrele theorème.

Remarque-

valableCette démonstration ne serait évidemrrzt plus

pourN pair, car alors le champ sortant Y et le

champ rentrant z définissent deux cycles 712 etzj.2,

de même Indice + 1 au point 0

le théorème n'est plus vrai,. D'ailleurs, dans ce cas,

et il existe des champs devecteurs continus, ne s'annulant jamais sur le sphère. Si,

par exemple,et si,

on considère le cercle trigonométrique (N=

z),

en chaque point du cercle, on construit le vecteurunitaire de la demi-tangente

posltlve,-on

dkfinit

bien

unchamp de vecteurs continu partout = 0 sur le cercle. Pardes méthodes beaucoup plus compliquées, on peut construirede tels champs sur les sphères, dans des espaces euclidiensde dimension paire quelconque.

Corollaire - S&f une application continue d'une sphère x

d'un espace affine euclidien E de dimension N

e Ile-meme. SIN

est impair,,&

,,dont

Fimage

il e;tiste au moins un point%. de

c

pOpDOSe & 32

ar

?

soit

r

OU le point diametralemez

surx.

Démonstration - Considérons le champ oontinu de vecteurs

Ce n'est naturellement pas un champ de



269

Mais si, en chaque point ae la sphère, nous proJetons

orthogonalement le champ sur le plan tangent, on définit unchamp continu de vecteurs tangents a la sphère. Comme

alorsN

est impair, Il existe au moins un point où cette projectionest nulle, est normal.

Comme 8

c'est-&-dire où le vecteur 0

(X)

est un point de la sphère, cela ne peut seproduire que si ce point est, ou biens , ou bien le point

diamétralement opposé à(x;

.

On peut faire une extension considérable de la théoriedu degré topologique.

Soientv

et G deux variétés de même dimension N , toutesles deux orientées, V étant éventuellement avec bord, malstoujours compacte, et W sans bord. Soit H une applicationcontinue de V dans W telle que l’image par Ii de &V ne

rencontre pas le pointd

de W l alors il est possible dedéfinir le degré topologique de'l'application H au pointa;ce degré topologique possède des propriétés analo&es a cellesque nous avons vues plus haut. Un cas intéressant sera celuioù V est une variété compacte sans bord. Alors on peut, sansresJrictionhdéfinir le degré topologique de l'application H

de v

d a n s W , en tout point a de W l ce degré topologiquevarie continuement avec a et par suite'est constant sur toutecomposante connexe de w .



271

VI I

FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES

9 DÉiRIVABILITE PAR RAPPORT AU CORPS DES RdELS ET AU CORPS

DES COMPLEXES

Tout ce qui a été traité dans le chapitre III du calcul

différentiel était valable aussi bien par rapport au corpsdes réels que par rapport au corps des Complexes, a l'ex-

ception de la théorie des maxima et des minima (et enparticulier du calcul des variations), qui supposait es-sentiellement la fonction considérée à valeurs réelles.D'autre part, dans le chapitre V des équations différen-tielles, on considère toujours des fonctions d'une varia-ble réelle, c'est-&-dire définies sur un intervalle deR

a valeurs dans un espace de Banach F sur le corps desréels ou des complexes.

Comme nous l'avons dit, au début du paragraphe du Cha-pitre III, siE et F sont des espaces affines normés surc, ils sont a fortiori des espaces affines normés surR,

et toute application d'un ouverta de E dans F ,dériva-

ble par rapport à @,est a fortiori dérivable par rapport

aR ; mais, dans ce cas, l'application dérivée $'(a) en

un point a de fi se trouve être une application de E

dans7 , non seulementlR-linéaire mais aussi c-linéaire.

Inversement d'ailleurs, si est une application defi

dans F , qui, en un point a, te tR-dérivable,

et si sa

dérivée $'(a) est nonseulementR-linéaire

maislinéaire, elle est@-dérivable de même dérivéec'est ce que montre immédiatement la définitiont

FU~S~@-

(a) ;

(III,3;13).

Théorème 1

SolentË etF deux espaces vectoriels sur le corps des_-



272

complexes. Pour qu'une applicationl de E dansr ,& -

linéaire, soit@-linéaire. il faut et il suffit que, pour

toutvecteurx

de Ë , on ait

P,1;4)

L(5)= ;L(T)

SiE' est de dimension finie, et si(e) _1

;1-

est4,2,...>fi

-

une&base de Ë,il suffit, pour qu'il en soit ainsi, quel'on ait, pour chacun des éléments de cette base, la

rela-

tion

Démonstration

Les conditions écrites sont évidemment nécessaires, etnous devons démontrer qu'elles sont suffisantes.

si

(nrr,4;1)

estréaliske,

et si.2 +

i

t*

est unnom-

hre complexe quelconque, on aura bien

ce qui prouvera bienqueL

este-linoaire.

O'autre

part, pour que(pIc,4;1)

soit réalisée siE est de dimension finie, Il est hien

suffisant, puisqueL estR-linéaire, qu'elle soitréall-

sée pour les éléments d'unex-base deË . Or si elle estréalisée pour les éléments e. d'unec-base, elle est aussiréalisée pour les éléments

i&. , car cela s'écrit

L(*.i~~)= tL (;~) Ou L(--éj)="L(~~'"" L Lëj =iL ë’

1

et l'ensembledese

Zconstitue

bienune]R-base

de E ,6'

d

Corollaire 1

SIE et F sont des espacesQo-affines, etsi8 est une

aDDlication d'un ouvertfiLe E dansF, R-dériv&hle auPoint a can, Pour que 8 soit@-derivable au point u,,



274

Remarque. On peut retrouver(mL.i;6) autrement : pour

de quelques précautions, qui rendent sa justificationmoins commode que la méthode précédente.

Corollaire 3

Si 4 est une app-lication d'un ouvert fi d'un espaceG

,

affine E dans le corps des complexes c, et si P et a

sont la partie reelle et la partie imaginaire de j ,soit

=P + iQ alors , si Pet9.

sont des fonctionsR-dérlva-

bles sur&%, la condition nécessaire et suffisante pour

que 4 soit@-dérivable, est que l'on ait, pour t out ?EË:

(pI I >~;GW

D,P,

--Di;a

Si E = a? , cette condition s'écrit ( en prenant succes-

--A_

sivement X= e; ,ie;) sous la forme des conditions deCauchy-Riemann:d

d

m.r:n

bP_ dQ ap

Xi

aw-

k

3a

3

k

C'est évident, il suffit de prendre la partie réelle et

la partie imaginaire de tYIL,f;5)

Corollaire 4

Si.L%est un ouvert connexe d'un espacea?-affine E , si b

est une fonction@-dérivable sura B valeurs complexes,



276

prendre leurs différentielles &.

i '

9j

De même les coordonnees complexes'56

sont des fonc-

tions à valeurs complexes sur E et admettent desdiffe-

rentielles

Y-i

On a alors les formules %j= hi+ LC$~ j en prenant

les fonctions complexes conjuguées ~~=Xj-*Ya’

on 3

~j - ~j - i~j . Soit

S,lOrS $ une SppliCStiOn

d'un

ouvert fi de E dans un espacecomplexes. Suppososns seulement que

FSUI-

le corps dessoitR-dérivable

en un point a de.fI, . s'exprime avec la

notationdifférentielle

du Chapitre III, sous la forme-

Si nous exprimons lesdccjet

par

on obtiendra la nouvelle expression

On est ainsi amené 6 poser (pour une fonctionseulement&dérivable,

qui estrappelons le encore une fois ) :

uI,4;

bis)

de sorte que l'application dérivée (encore une fois, ausens réel s'exprime sous la forme particulièrement simpleen notation différentielle



Les symboles ainsi introduits ,- ,- , sont d'une6%'

a;a,

manipulation très pratique. Les CO ditions (X,1;5)

donnent immédiatement :

Corollaire 6

Pour qu'une application4 de l'ouvert SZ de C'Ldans F3

etR-dérivable soit@-derivable, il faut et il suffitqu'elle vérifie les equations aux derivees partielles

et, dans ce cas, ses dérivées partielles par rapport aucorps des complexes 5 définies par la formule(IuL,i;6)

%

-

corncident

avec les quantités 0%

3j

définies par(J lL,1;10.

Théorème 2

Soitz

une forme différentielle de degré #U , définie<

sur l'ouvertfi de l'espacec*à valeurs dans F etR-déri-

vable. Alors soncoborddz

est donné par la formule

suivante, analowe à la deuxième formule(3T.6;~) :

En utilisant en effet la formule (YI,+;l) ~

on auraimmédiatement



Th&x&me 3

Soit

4 uneapplication

deux fois]Ee-dérivable d'un

ouvert fi de @-dans F . Si alors elle est une fols O?-

dérivable, elle est harmonique, autrement dit v&ifie

est B. valeurs dans le corps des complexes c et sIP

etQsont sa partie

réelle et sa partiefmaainairset 0. sont aussi harmonique. )

a1orsP

Démonstration

La laplacien A s'exprime avec les notations (VII, 1; 11)sous la forme :

ce qui donne immédiatement le premier résultat, d'aprèsle corollaire

Le rfsultat relatif aux parties réelle et imaginaire

P,Q, pourF= c , est évident, carA(P+iQ)=AP+LAQ,

AP et AQ réelles.



c'est-à-dire par AP = 0 ;,cette condition est donc véri-

fi&

puisqueP est supposee de classe CL et harmonique.Il est donc possible de déterminer Q ; le résultat est

uniqueà

une constante additiveprks

sifiest

connexe(car la différence entre 2 solutions est une fonction dedkrivées premières nulles,orème 22 du Chapitre III).

donc constant.e d'après le thé-

Remarque. Ce rksultat ne susiste pas du tout pour unefonction complexe sur @;,

22

.

La partie réelle et la partieimaginaIre

d'une f'onc-

tionc-dfrivable SU~~C c à valeurs complexes, sont ap-pelées deux fonctions réelles harmoniques conjuguées.On voit que, si l'on s'est donne une fonction harmonique

dans un ouvert simplementconr.exe,

elle a une infinitéde fonctions harmoniques conj.aguees, déterminks à uneconstante additive près si 1 ouvert est connexe.

Il est 3. remarquer que siQ est la fonction harmoniqueconjuguée de P ,de Q est

-P

.alors une fonction

harmoni~ur

conjuguée

s 2 THEORIE CLÉMENTAIRE D E S F O N C T I O N S H~LOMORPHES D’UNE

V A R I A B L E C O M P L E X E : F O R M U L E S I N T É G R A L E S D E C A U C H Y

soitE uncspece

affine normé suraO F un espace de

BANACH SUT @ (on ne serait paspertcut'okligé

de suppo-se-7 vectoriel et completparce qu'on intègre desr

fonctidns

mais la plupart du temps,continues à valeurs dans

Nous le supposeronsfoujours

vectoriel et complet, etne le

repèterons

p~~~xkessairement dans les énoncés). Onappelle fonctionà valeurs dans

F

- holomorphe sur un ouvertJ2 de E

une fonction de classe C%par rapportau corps des complexes.

Nous verrons au thfiorème 10 que, siE

a la dimension

complexel,

C'- holomorphe implique C - holomorphe.

Nous étendrons cette propriété bien plus tardà

E quel-conque (theorème ?) Jusqu'au théorème 10, nous ferons soi-gneusement la distinction. Ensuite, nous écrirons simple-ment holomorphe, sans préciser, et celà quel que soitE.

Cela voudra dire Cm-holomorphe. cette hypothèse sera vi-siblement

exngeree

dans certainshnoncés mûis ce sera sans

importancepuis-u'on

saura a posteriorique

les diverses



282

11 faut et il suffit que, pourtoutC'-boru

r'

de dimension 1

ZISLCL, on ait la relation

Si eneffet4

estC:holomorphe,

est

un ,cncgcle, (théorème 5) ettre VI

(5tokes)nous

indique bien que son intégrale surtout C'-bord est nulle.

RGciprcquement, sim est une forme différentielle de

classe C' dont l'intégrale sur toutC’-bcrd

est

nulle

k

th&

réme 42 du Chapitre VI nous indique que c'est un co-cycle,

ce qui d'après le théorème 5 prouve queeest Ciholomorphe.

Remarques

On peut améliorer considérablement l'énoncé de cethforème

:

1") si?

estclholomorphe,

alors d'après le corollaire6

du théorème5’1

du Chapitre III, on a encore la relation

même

sir

est simplement une variété singulière, compacte,orientée,de dimension 1, de longueur finieC”-

t,ord

dansLL

., L,>ùi soit un

Toutes leslois

que nous emploierons les expressionscycle

bord, v,,riitc avec bord, ce sera pour' intégrer une forme

aifferentielle

etappliquer

STCKE3.

confcrm6ment aux con-ventions du

9

6dti

chapitre VI,ce'sercnt

toujours descom

pacts;

doncr

nous ne lerGpèterons

plusdzns

leskoncss.

Iciest comp,2ct,

D'autre pzrt,

boni d'un? variete nvec bcrd compacte

r&lle

2,

lesvnri6tGs

avec bord

seront üe dimensionles

cycles

et les 'burz~ .ie

din.enji-n ri:~ll

le

1.



284

si .jestClholomorohe.et sifi est simplement connexe,

alors la formule (VII,2:2) est vraie Pour toutC(cycieT

;OU aïe POUr touts-cycle de longueur finie f ).

En effet,.f2. etant simplement connexe tout cycler estun bord (corollaire 2 du théorème 54 du Chapitre VI).Mais on pourrait aussi dire :.fL étant simplement connexe,le cocycle G? est un cobord (théorème 59 du Chapitre VI),donc son intégrale sur tout cycle r est nulle (théorème39 ou 41 du Chapitre VI).

Primitive d'une fonction holomorphe

Théorème7.

Si -J est une fonction holomorphe dans fi simplement

connexeC@à valeurs dans l'esuace de Banach G * alors

elle admet des primitives F , c'est-à-dire des fonctionsc:

holomorphes surfi à valeurs dans G,

si.n

telles sueF -$.est en outre connexe. ces primitives sont determinees

& une constante additive Pres.

Demonstration

si estCcholomorphe,la forme

différentielleP

est un co-cycle; comme alorsfi est supposéeconnexe, il r6sultecJu théorème 59 du Chapitre VI qu'elleest un cobord. Soit F une fonction primitive extérieurede 5

;

on a alors la formule

@<2;4)

c'est-a-dire queF

admet potir dérivée

par rapport au corps des complexes

* Nous appelons ç le Banach au lieu de7 comme d'habitude,

pour pouvoir appeler F les primitives de



est un multinle entier, de 2bK , et la fixstion d'une

telle détermination en un peint defi la fixe dans fi

tcut entier. Il existe de telles déterminations toutes

les rois queSz

est simplement connexe.

DCmonstrar,lon

Supposons d'abord que $ soit une détermination continuedu l.ggarithme dans

fi

. En posant 2 = 4 (a)le théortmedes fonctions rfciproques (corollaire 4 du thaorème 11du Chapitre III, valable également, rappelons le, pourles dérivations par rapport au corps des complexes) nousdit que l'on a

autrement dit

4

est certainemente~holomorphp;et primitive

de1

dansfl

.

2

Si alorsfi

est connexe, la différence

entre deux déterminations. ayant une dérivée nulle.est une

constance,

enti er de ~LT-.

qui est necessairement un multiple

Sia

est simplement connexe, 1 a des primitivesd'après le théorème 7.

3

Choisissons alors une primitive$,

enun

point adefi

de façon que (a) scit l'une des determlnatlons delo 6~ .

?

Alors, du fait que la dérivée de#

est;

, on déduit

que les fonctions ej's)

d

dans42

,et $ ont même déri vée logarithmique

et CommefieSt connexe, on en dtduit que leur

rapport eSt,une constante (voir 3” page 713 du ChapitreIV),

Ce rapport etant égal zi 1

au pointG il est Zgal à 1

dans 'coutil% et 4 est bien une détermination holomorpne

du logarithme dansSz

.

Remarque

1') Il n'est nullement nécessaire i'e supposerfi sim-plement connexe pour qu'il y existe des

dbterminations

holomorphes du l ogari thme : par exemple dans une couron-ne h< l$-al<R. si (a\LR , il en existe, puisqu'ile:

existedans

le disque (simplementconnexe)J$-ai<

R.D

apres

le theorème 45 du Chapitre VI. appliqué à la for-



288

rigueur, on voit que Lmj5

a augmente de? 2~Tr' donc

fi= (pu a bien été multiplié par &

+LT

=- 1.

Demonstration du théorème de pm sur les primitives

extérieures des formes différentielles dans le cas au corpsdes complexes.

En démontrant le théorème de Poincare (théorème 19 duChapitre VI) nous avons supposé qu'il s'agissait de

formes différentielles sur le corps des réels ( cetterestriction est indiquée au cours de la démonstration,page 81.).

Supposons dos qu'il s'agisse maintenant d'une formedifférentielle w de classec' par rapport au corps des

complexes, définie sur un ouvert a de cN, B valeursdans un espace de Banach F .

On suppose touJours quefi ait les propriétés indi-quées dans l'énoncé du théorème 19, et que 0 est fermée,de degré 31.

En fait, on peut supposer que& vérifie des condi-tions un peu plus générales que celles de l'énoncé duthéorème 19.

Designonspar<,<,...,énla

base canonique decN

On va supposer que si, par un point quelconque a-

defi on mène le plan B deux dimensions réelles (sous-

espace affine a une dimension complexe) parallèle aux

vecteurs ë , hë,

d d'

il coupeJL suivant un ouvert à la

fois connexe et simplement connexe fi' (0,) qui, s'iln'est pas vide, contient necessaireme ri

t un point dans le

sous-espace à 2 7%-2 dimensions réelles ou m-1 dimen-sions complexes,

mené par l'origine parallèlement aux

vecteurs de base etA

leurs produits pari

.

On effectue ensuite la même démonstration par récur-rence que dans le cas du théorème 19. Il faut naturel-lement tI UVer une forme A

primitive deL par rapportcomme dans cette demonstration. Or il suffira pour

de prendre une formule analogue à (VI,4;44) quisera ici



et‘r

est lebovd

de I,CL , mais [,a n'est pas

ccmpacte, de sorte qu'au sens du paragraphe 8 du

Chapitre VI ,r

n'est plus un bord dansC*Y

D'ailleurs

le résultat ne subsiste plus, on ne trouve plus; .

Appelons 6 un cercle ayant pour centre LI- parcouru dansle sens direct, et tel que le disque A qu'il borde soit

0

entièrement contenu dans V . Alors-r sera le même cercleparcouru dans le sens rétrograde.

Dans [n ,r-y

estun

bord, A savoir le bord de [

h

Y

in peut donc appliquer lethéortme

6, ce qui donne

Ce résultat est indépendant

Pour démontrer le théorème,démontrer que l'intégrale

du rayon du cercle r

il nous suffit donc de

Y Y

est égale à ou même, puisqu'elle est indépendantedu rayon & dz y, il nous suffit de démontrer qu'elletend versFa) quand le rayon h de a tend vers 0 . Or

cettelntegrûle

est somme de deux termes :

Le premier terme est bien égal à

~xoi~mule (VII,2;3)

;

f$G? (d'après la

Il nous suffit donc de démontrer que le deuxième tend

vel?s 0 quand le rayon h de K tend ve1's 0 . 3r puisque {

est supposéec-dérivable,

1~ ;,uantité



231

est majorée par un nombre fixe M quand le rayon,L de r

tend vers 0 .

La deuxième intégrale de (VII, 2; 11)

admet alors la majoration+

et ceci montre bien qu'elle tend vers 0 quandde

v

tend vers 0 , et achève la démonstrationcrème.

Remarque

le rayonb

du thé-

1')

Il est souvent commode de changer les lettresemployées, etd'écrire

:

-

(T II,2;13) -

-

2O) On peut démontrer un résultat beaucoup plus géné-ral :

Sir

est un C-cycle singulier de longueur finie dans a,c

et si c'est un c-bord dansfi

, alors on a la formule

dl /

oùI(T ;a) est l'indice der

*

p

ar rapport au point a

(page 247 du Chapitre VI). Cette formule nous donnerabien

( v11, 2; 8 et 9); si en effet a&v ,F est un bord

dans~1,

c

, donc son indice par rapport à u est nul;4.

SiCLGV

dice est il .F est homologue &Y

dansc

. ? '

donc son in-

La démonstration de (VII,2;lIJ) résulte immédiatement duthéorème 64Chapitre VI; la classe résiduelle de

5

comme le montre le précédent

* Rappelons que cet indice suppose Y orienté, et fi orienté(orientation canonique de @).



232

raisonnement, consistant à faire tendre vers 0 le rayonk

du cercler , et Il suffit d'appliquer (VI,8;67).

3:) Le théorème 9 a une conséquence remarquable :este-hclonorphe dansa, et si ses valeurs sont

elles sont nécessairement connues dansV

puisqu'elles sont données par l'intégrale,(VII, 2; 9): qui ne fait intervenir que les valeur de

sur r .

On pourrait se demander s'il est possible de choisir

arbitrairement les valeurs de surr (pourvu que ces

valeurs définissent une application continue de P dansF).

Il est facile de voir qu'il n'en est rien. En effet,

onremarqu-a

par exemple que la même Intégrale

Partons d'une fonction arbitraire, sur-r

à valeurs dans F . Il est facile de voir que l'intégrale

j-+2-

jtS) d<

2LX

J

7 3-3

définit alors, aussi bien

dans G que dansc

,V.

des fonctions C?hoiomorphes de

Comme en effet l'intégration a lieu sur le compact

et que la fonction ( 3 ,{)- $c$ est continue par

mwort 81 (3,X) , dérivable par rapport a ?j , pour {

flxee, et que sa dérivée définit une fonction

1jJ-

J(X)

(5 -

g'

continue par rapport à(5,g) le corol-

lalre du théorème 115 du Chapitre IV nous montre bienque l'intégrale est une fonction de classe C'par rapport



0

représentesa une f~nctioliC~holo~orphe dans V et prenantla valeur

J

sur r .

Soit$ scalaire. Nous verrons ultérieurement, dans

1'Ptude

des fonctions harmoniques, si Ppartie réelle de la fonction holomoZ$é

est la

d'une fonction harmonique,, c'est-à-dire

on peut choisir arbitrairementses valeurs sur la courbel' de classe C', définissantune fonction continue réelle; alors la fonctionP estbien déterminée d'une manière unique dans V . Il seraensuite possible de,déterminer sa fonction harmoniqueconjuguée QO, dans V , à une constante additive près,au moins siv est connexe et simplement connexe; et parSuite$ est elle-mêmeimaginairs près. En fait,Q

à une constante purement

que dans V ;ne sont ainsi déterminées

mais on montre elles ont des limites

aux points de? , si,r étant toujours de classe C',?

est C sur r . On comprend mieux maintenant pourquoi onne pouvait pas choisir arbitrairement{ sur7 et laprolonger dansV en une fonction holomorphe dans 0

peut choisir sa partie réellep sur r

; onet alors sa

partie imaginaire est déterminbe A une'constante additl-ve près, pour V connexe et simplement connexe.

9 3 C O N S É Q U E N C E S D E L A 2 e F O R M U L E I N T E G R A L E D E CAUCHY

La formule intégrale de Cauchy (VII, 2; 9) est l a

formule essentielle de la théorie des fonctions holomor-

phes; elle permet d'en trouver les principales propriétés

Théorème 1C

Tout- fonc.ttC1nolomorphe dans un ouvert fi de ao .

à valeurs dans un espace de Banach 7, est nécessairement

de classe C sur le corps des complexes. SI VCSL est une

variété

C’ avec bord, compacte, munie de l'orientation

canonique de c, et de bord&V = r (munie de l'orienta-

tion canonique de bord), les dérivées de a sont données ,



295

en tout points de L/ , à partir des valeurs de2

sur T‘,

par les formules 1

ou

11 suffit en effet de dériver(VII,2;g)

sous le signed'intégration, ces dérivations étant légitimes d'aprèsla démonstration qui a été donnée a la page 292.Si alors

a est un point quelconque, onpourra,pour

V

, prendre

un disque A de centre a contenu dansJj,,pour 7, son bord,

et voir alors que F est infiniment dérivable dans i ceci étant vrai au voisinage de chaque point a, elleest bien indéfiniment dérivable dans

fi

.

Ce théorème est très remarquable et absolument contrai-re à tout ce que nous connaissions anterieurement pourles fonctions de variablesréelles; une application d'unouvert deW dans un espace de Banach, oeut très bien être

de classeCmsur

le corps des réels, sans être pour cela

VI+4

de classe C;

mais il suffit qu'elle soit de classe C’

dansac @,

sur le corps des complexes, pour être, d'un

seul coup, de classeCT

Corollaire 1

Toute fonctionci

holomorphe dans unouvertfi

Cao

est

harmonique; si elle est à valeurs complexes, sa partiereelle et sa partie imaginaire sont harmoniques.

En effet nous avons vu qu'il en était ainsi dans l'hy-

-

pothèse particulièreOÙ

e

était de classe C2 et nousvoyons maintenant que ce te

hypothese

esttou;ours

realisée.



Nous verrons que ceci reste vra.i sur c .

Z

Corollaire 2

Tqute

fonction harmonique surfi

C@,

a

valeurs

réelles ou complexes, est nécessairement de classe C

par rapport au corps des reels.

Il suffit évidemment de la démontrer pour une fonctionharmonique B valeurs réelles. Si alors P est une tellefonction, et si a est un point de fi, n un disque decentre (L contenu dans 0, , il est simplement connexe,et par suite, dans ce disque, on peut trouver une fonc-tion harmonique conjuguée Q , telle queP+iQ soit une

fonction C?holomorphe dansA. Elle est alors declasse

Cw et par suite Il en est de même de P.

Remarques.

1O)Alnsi nous voyons que le fait, pour une fonction, devérifier certaines équations aux dérivées partielles,

telles que -~ouA+

=o

, entraîne l'existence des dé-

rivées successives de tous les ordres. Ceci au fond nedoit pas être a priori tellement fait pour nous étonner,

Lés équations aux dérivées partielles sont les générali-sations, au cas de plusieurs variables réelles, des équa-tions différentielles, nous avons vu, au Chapitre V,

que toute fonction de classe CT solution d'une équation

différentielle d'ordremde classe Cm, est nécessairement

de classe C (corollaire du théorème 8 du Chapitre V).

Nous voyons maintenant que certaines fonctions de classec'

oucz,

solutions de certaines équations aux dérivées par-

tielles de classe C", sont nécessairement de classe C?

Toutefois. dans la théorie des équations aux dérivéespartielles, ce résultat que nous obtenons n'a pas dutout le même caractke que dans la théorie des équations



297

différentiel les

il est relatif à une certaine catégorie rticulière

d'équations aux dérivées partielles, celleies équations elliptiques, dans laquelle rentre les équa-

tions aux dérivées partielles Z=O,A.j

=O

; alors que3

pour d'autres équations aux dérivées partielles, commepar exemple l'équation des ondes, que nous étudieronsultérieurement, cette propriété ne subsiste absolumentpas.

2') La propriété , pour les fonctions de classe C2

harmoniques, d'être C ,

n'est ici démontrée que SUT~~,

et pour des fonctions harmoniques B valeurs réelles oucomplexes. Elle s'étend, comme nous le verrons plus tard,

aux fonctions harmoniques sur w , 13 valeurs dans un

Banach quelconque F. De même toute fonction C’ sur @

est C". En particulier, toute variété différentiable

de classe C”

sur 6 est de classe C”.

Corollaire 3 (Théorème de Morera)

Toute fonction 1 définie dans l'ouvert a de c, à

I

--c

valeurs dans l'espace de Banach G, continue et telle

P

gue 1'intéRrale soit nulle pour toute-bord

de a. est nécessairement holomorphe. Le théorème 45

du Chapitre VI nous indique en effet que la forme diffé-

rentielle continue$4

est le co-bord d'une fonction 7

de classe C', définie dans A Q valeurs dans$

. On a

alors la formule

donc



qui signifie d'

une part que ktC1-holomorphe et d'autre

part que4 est la dérivée de F au sens du corps des com-

plexes. Mais alors d'après le théorème, la fonction F

est nécessairement de classe Cm et par conséquent-e'*

sa dérivée première, est elle-même de classe C” surle corps des complexes, c.a.d. holomorphe.

Remarques

1') C'est ce théorème que nous avions annoncé B laremarque 2 après le théorème 6 : on peut définir la pro-priété d'holomorphie pour des fonctions continues, sans

supposerà

priori aucunedérivabilité.

2") On peut aussi montrer que toute fonctionc-déri-

vable

sur&,c

a?,

C',

a priori non nécessairement de classeest holomorphe.

Corollaire 4

Toute fonction à valeurs complexes, holomorphe, et

sans zéros dans un ouvert fl simplement connexe de @ ,

geut s'exprimersous

la forme )(A ) =

k?f' a' ou q est une

fonction complexe holomorphe dans SL .

On peut évidemment supposer .Q connexe puisqu'il suffitde raisonner dans chacune de ces composantes connexes.Puisque

#

ne s'annule Jamais,

la fonction

f

et quelle est de classe C’,

est el l e-même bien définie et de classe C:

c'est-à-dire holomorphe. Comme parailleursfi

est sim-plement connexe, elle admet une primitive

%

d'après le

théorème 7. Alors les fonctions$ %

et e ont la même dérl-

vée logarithmique f. Comme 0, est connexe, leur rapport



@3;2)

299

est constant d'après la remarque de la page 713 duChapitre IV; on peut alors faire rentrer cette constantedans l'exponentielle, ce qui démontre le corollaire.

RTmarque

Ceci revienta

dire quesi;4

holomorphene s annule pas

dansa

simplement connexe, il existedes déterminations holomorphes de ,&YQ 4, dans JL .

u

-J

Corollaire 5. (Inégalités de Cauchy).

soit 1 une fonction holomorphe dans fi C @. SoitM(a;p)I

le maximum de IIj7l sur le cercle 4-a-ppourp<d(a,fi).

I

On a les inégalités suivantes :*

IId )(a)l

fms

M

(d;f);en

particulierIl$=

11~

M(a;f)

.I-L

Démonstration.

Il suffit d'appliquer(VII,3;1)

pour le cercle r :

Remarques.

1 )

Si l'onecfectue

le développement de Taylor de ,1

la norme de sur le cercle 1

ta-ai= p est

pkcisément

On peut donc aussi énoncer

ce corollaire en disant : le terme de taylor

est majoré, en norme, sur le cerclela-a1

=

P

, par0

I

le maximum M( ;PI

de $ sur ce cercle.I



300

2") Naturellement il faudrait se garder de croire

qu'en tout point' 'p

de la circonférence, la norme deicp,

soit au moins ega e à la norme de chaque terme de Tay or'

Si par exemple nous considérons la fonctionholomorpheegdonnée par

on n'a pas, pour 2j = - p

< 0 , e

Nous

avons seulement dit que lemaximun

de la norme deSUT la circonférence surpasse la norme (constante) de achacun des termes de Tavlor.

Ncus ne vex-rcns ,:ue plus tard ce qui dans E=

@'*6tend les fcrmüles de CAUCHY (VII, 3; 1 . Meis cn p t

des maintenant étendre4 E quelconque les in6 alit6s

unefonction holomorphesur+ET

H.So1enr.d E .O,et p > 0 tel quela boule fermde B

u;p de centre d et de rayon pdans .f).

soit

pour r:~B(d;p) , on peut écrire la formule deTAYLCI (voir (III, 7; 2)

),

dont le terme de rang nb

-(r-a) .Ce terme de rang PL se calcul entii:-

rement

dans le sous-espaceaffineL,,de

dimensioncomplexe

lpassant par aet =;C'est aussi le terme de rang maans le developpement de pourtionappliquer la

(zq) ;

1

, de 1~ font-

n peut donc lui2), ce qui donne I

@,3;4bis)

< M(a-;=@

où M(a;==;t)

est le maximum de11?11

sur‘

le cerclede centre

o., et de rayon p dans E,., ; a fortiori

@u,3;4ier)

où M (CL; fi) est la borne supérieure desuhère de centre a et de râyon p dans



302

Remarque.

Il~ll~~~lI~,ll M(w)(=jn.

Ces inégalités sontmoi&

bonnes quepourE=c,

car ni"

> 711. poul-

nz

a

û

Corollaire 6 (Théorème du maximum strict)

Soit E un espace affine normé sur Q ,p un espacevectoriel norme sur @ . Soit LL un ouvert de E et soit

-Y - une fonction sur ,fl a valeurs dans F holomorphe.7

Alors il est impossible que ait en un pointdde

.f2, un maximum relatif strict. )

Démons, trati on.

Si E est le corps des complexes, cela résulte immé-diatement de la majoration (VII.3;;>) pour n=o

cette inégalité prouve que, si p<d(a,

c

0) , il exi ste

sur le cercle15-a

/=p , au moins un point~,tel que

[$Fj i > 1 gz 11

. Mais alors, SI E est quelconque,

il suffira de considérer n'importe quel sous-espaceaf-

fine E, à 1 dimension complexe deE,contenant (L ; soit

&EL

>

A#

u,~ la bijection3

-CL+~

(c)

identifieE,

au corpsU?,~E

E, àoe @,a~ E,= fi,à un ouvert.64dec,

et donc permet de considérer la restriction

ci

g de ;qà,,

comme une fonction 3,

surl'ouvertfi,de

@ ; on endeduit

pour toutp

=z

d(o

,[&,)l'existence

d'unpoint$O,I$O(=p

tel que11

x(jO) 11

a

/I

z(o) /)

donc d'unpoint~~=at$(c)

defi,Cfl, d(a,c,~=pd(a,b),tel

queI{~~~I/

j(ajI\,

d'où le résultat.



SoientalorsR'

etR"deux nombres, avec 0-cR’ i

R*< R

Ecrivons la formule intégrale de Cauchy pourI$--a[ <R',

relativement à P

, cercle de centre a et de rayon R”.

La formule (VII, 3; 7)nous incite à écrire

P43,S)

j +j

'.

Il reste naturellement à justifier cette interversion

du signez et du signe

On

peut remplacer partout d[ pw

une intégrale par rapportô

une

Cette interversion peut alors sefâire

pourvu que, lors-qu'on remplace toutes les fonctions intervenant par leursnormes, l'un des deux membres ait une valeur finie (thé-orème 37 du Chapitre IV),

surSi nous appelons M (a;R") le maximum de la norme de$

la circonférence de centre CL et de rayonIR , on aurala majoration

qui montre bien que l'opération d'interversion était légi.

time dans les conditicns où nous sommes placés. Ensuite,

(VII,;3;1)

montre que(VII,3:8)

équivaut à(vIIJ;~).

En outre, la série trouvée est bien normalement con-vergente pour I$-aldR' puisqu'elle est alors majoréepar une série numérique géométrique convergente.

Fonctions analytiques. Dans le cas du corps des P&=~Cnous avons vu qu'il peut arriver que la série de

--.

-_-

d'une fonction C rie soit pas convergente au voisin&

- - - - - - -,Tnvlnr

du point a, et que, même si elle-est convergente. ellene r eprésente

pas nécessairementJ-,

(voir<

car

exemple,,,xn

,a_.

FL^_Zi..

Ti.\



305

Par contre, nous venons de voir que, si E est le corps

des complexes a?,

et si.$ est a?-dérivable,

alors la

convergence et la représentation de la fonction nar sa

série de Taylor, sont vraies nécessairement. Ncus voyonsmême beaucoup plus, puisque nous trouvons un minimum du

rayon de convergence : la série de FA~ME estconveraente

dans tout disque où la fonction est holomorphe.

soit +? une fonction sur un ouvertfid'un affine normé

E , B valeurs dans un affine normé F , sur le corpsK=R

ou @. On dit que 2 estK-analytique si elle est C",I

et si, quel que soit a , il existe un voisinaRe vde u

dansa, tel que dans v, 4 soit représentée par sa série

de taylor :

Une fonction@-analytique est à fortiorilE .- analytique

Alors :

Corollaire 1.

Soient E un affine normé sur @ .‘run Banach sur c .4

Toute application 4 holomorphe sur fi c E à valeurs dansI

F' est az -analytique.

Demonstration.

Soit% (aj p)une boule ouverte de centre a contenue

dansfi.

Alors,est une fonction

à valeurs dans F

@c.a.d. holomorphé.et de classe C-par rapport au corpsLe théorème 11 dit que sa série de

Taylor suivant les puissances de5 converge pour $=l .



'icu~e l'onccicn rGeiie ou compiexe sur un ouvertLiZde

W', narmanique, estIR- nn-iytique.

Il sui'r'it de Le Jbir pour une fonction réelle; or elleest, d'npri?s le t1,icrèrr.e il ,

1 ,~ partie r&lle d'une fax-

tion holomorphe.

Nçus

ve~ror~s que cetteconciusion

subsiste pour toutefcncticn i:nïmcnique, sui' un espace euclidien sur- w dodi mensi on r‘inie,

L valeurs dans un Banach quelconque.

Coroliniïe 3

l'oute r'onction lalomorphe, aans un ouvert Jl connexe

de @ , ü valeurs uans F et nulle ainsi que toutes ses

a6rivGes

successives en un point a de41 , est identique-

rcent nclle

nnns

0 .

9tmonstration

PuisqueT

est représentable au voisituge de ué~L

pm sa skie de Tuylor, elle fast n+cessairement nulledans tcut un voisinege de a .

Appelons zlors ^ w l'ensemble des points où J s'annule,ainsi c,ue toutes ses dé?ivies successives. Cet ensembleest manifestement fermb, comme intersection des ensembles

i'eri;:;:;

{ hj



4) Soient V et W deux variétés holomorphes de dimen-

sions m.v. V connexe.Toute application holomorphe deV.

dans W .constante

dans un ouvert non videw de V,est cons-

tante sur V.

Demonstration.

La démonstration de 1 ) est en fait celle qui a étédonnée pour le corollaire 3; car nous avons alors seule-ment Utilisé le fait que toute fonction holomorphe surun ouvert

fi

de @ était c-analytique. 2) résulte alorsde 1) et du corollaire 1.

3) et 4) se démontrent de manière analogue Considé-rons par exemple 4).Soit

& l'ensemble des points de Vayant un voisinage où

;P

est constante et égale a 4 (W).Alors 4 est ouvert par définit on,Montrons qu'il est fermé.

non vide par hypothèse.Soit kJ une suite de points de%,

tendant pour 8 Infini vers un point 8 deVdes cartes de voisinages de

&

dans V

.

et dew

. on se ramène au cas où Vqst unouvxrt

affine normé E , W un Banach F , E et F de dimensionfinie.

En supprimant a ce moment l'hypothèse de dimensionfinie, on demontrera en même temps 3). Soit B ;R

une boule de centre ,& contenue dans a . PourR,assez

grand.

&Lest dans la boule B

(Pr;+

égale à # ( W ) au voisinage dea, l

):

alors, 4 étant

'est dans toute 'boule

de centre 4r

4 contenue dans fi d'après le corollaire 1,

donc dans B (&l

;&&)c B ;R) c &, ; donc aussi dans la

boule B ( 4; +-) c B ht ; +) , et alors b E ‘0 r ce qui

montre que %

est fermé; V étant connexe, Pc =V , ce qui

démontre 3) et 4).

Hemarque

Rien d'analogue, bien sûr, aux parties 2,3,4 du corol-laire 5, si on remplace @ par R .

Par exemple, nous avons précisément formé, au théorème11 du Chapitre IV, des fonctions indéfiniment dérivables



310

ack(j-tl)"eSt le Premier terme non nul de la série de

Taylor de8 au point CL, on dit que 1 présente au pointa1

un zéro multipled'oràre

4 D Toute fonction holomorphe

dans un ouvert connexe fi et nulle en a pksente alors enn

unzéro

multiple d'ordre4

,entier>4

fini, c moinsqu'elle n'y soit identiquement nulle.

Théorème 12 (Théorème de la moyenne)

Siz

est une fonction holomorphe, définie dansfit

@

à valeurs dans F , ou une fonction harmonique réelle

ou complexe, alors sa valeur, en un point a quelconque

de fi . est la moyenne de ses valeurs sw n'importe

guelle circonférencer de centre a, telle que le dis-

queA

qu'elle borde soit entièrement contenu dansfi

D

La formule relative à une fonction holomorphe est

tout simplement la formule intégrale de Cauchy(VII,2;9),appliquée A 7 .

Si en effet, dansfl

, nous posonste

3=,+pe '

on obtient immédiatèment

(q3

; j obk)

En

pren. W al ors

l a

part i e

réelle Pet

l a

part i e

imaginaire Q s i F=,

, on obtient2y 1r

@,I,);nk)

P(o, ) - $ P( atpe?dl , Q( a) =&-

Q(a+pe l dt l

0

J

6

Ceci est valable pour toutefonctionP

qui est,sinage de

CG

,au voi-

c'est-d-dire,la partie réelle d'une fonction holomorphe,d'après le théorème 4, une fonction harmo-

nique réelle arbitraire sur w2 ; donc aussi si c'est une

fonction harmonique complexe arbitraire sur R' .



311

Remarque

Le théorème subsiste pour n'importe quelle fonctionharmonique sur un ouvert d'un espace affine euclidien

de dimension finie surR,

à

valeurs dans un espace

de Eanachr sur R.les cercles et disques sont rempla-cés par des sphère& et boules. Nous le verrons auChapitreIX .

On peut d'ailleurs démontrer inversement que ce théo-rème caractérise les fonctions harmoniques :

s i

a est une fonction continue sur un ouvert cR/ d'un/

espace affine euclidien de dimension finie, à valeurs

dans un espace deBanach?

, et si sa valeur, en tout

point a de fi , est égale à sa valeur moyenne sur n'im-

porte quellesphèrex

de centre a/,de rayon assez Petit,-+

alorsndcessairement

$ est de classeC (Par

rapport auI

corps des réels) dansa

, et elle estharmonique:a

ri e.,

Ceci donne une dcfinition des fonctions harmoniques

Llui ne fait même pas intervenir l'existence d'une seuleddrivée.

Du théorème de la moyenne, nous pouvons déduire letheorème du maximum relatif large :

Corollaire 1

si P est une fonction harmonique réelle, dans un

ouvert fi ccnnexe

deR',alorsP

ne peut, en unpointu,,

admettre de maximum ou minimum relatif large, que sielle est constante dans Sz .

Démonstration.

Supposons par exemplequel

admette en a un maximumrelatif large. Cela signifie qu'il existe un nombre P

tel que, pour

lpal< p , on ait l'inégalité

(q3;M

P(j)

s -P(a)



Mais par ailleurs le théorème de la moyenne peut s'écrire

2lT

(lx13;12)

(~(a )-P(a +he ”‘))dB =o,

hep.

0

Ainsi nous avons l& une fonotion 30 et dont l'in-tégrale est nulle. Il résulte du théorème 26 du chapi-tre IV qu'elle est d

8

-

presque partout nulle; maiscomme,par ailleurs, elle est continue, elle est néces-sairement nulle quel que soit 8 ; ceci vaut quel quesoit h donc P est constante au voisinage de a.Mais P est R -analytique (corollaire 2 du théorème 11)donc elle est constante dans fi (corollaire 5 du théorè-me 11).

Remarque. Lerësultat

subsistesw

IFe'

Corollaire 2. Soit E un affine norme sur @ . ou unevariete holomorphe. Si 1 est une fonction holomorpheSur fi connexe c E , à va'leurs complexes, et si en un

point &Sa partie reelle ou sa partie imaginaire admetun maximum ou un minimum relatif large, alors

-j

estune constante dans.&. I

En effet,si E = @,

ginaire est constante,sa partle réelle ou sa partle Ima-d'après le corollaire 1. mais si

l'une est constante, l'autre l'est aussi, d'ap;ès le théo-

rème 4.SiE est normé

espaces affines àcomme par exempledéduira que 4 estcontenuedans fi ,théorème 11.

quelconque, on considérera les sous-

1 dimension complexe contenant Q ,au corollaire 1 du théorème 11; on enconstante dans toute boule de centrea

donc dans fi par le corollaire 5 du

SIE est une variété on se ramène àE=COnpar unecarte d'un voislnage de a ;

laire 5 du théorrme 11.ensuite on utilise le coroï-

Corollaire 1

Soit E un affine normé sur 6?,ou une variété holo-

morpha. Si p est une fonction holomorphe dans fi con-nexe, a valéurs complexes, et si, en un point a- son

module admet un maximum relatif large, alors 4 est uns

constante. I



Va?lable

admet'n racines dans c , si l'on compte chacuned'elles P ~C son ordre de multiplicité.

Démonstration

Commencusl'avons

fait authsorème

50 du Chapitre II,Il suffit de démontrer qu'il existe au moins une racine,pour mal . De la même manière qu'au Chapitre II, on pourratrouver un cercle de centre 0 et de rayon R , tel que l'onait l'inégalité

(

P(5) 13 1P(O) pour 131 >R

. Alors, dansle

ccmW.ct

(

$jGR,IPI

a nécessairement un minimum, et c'est,comme ncus 1 avons vu au Chapitre II, un minimum pour toutle plan complexe 0Z .

,:air, alors,d'après

le corollaire 4, comme? n'est pasconstante, on a nécessairementP(a)=

0,

ce qui démontre le

théorème.

Remarquonsque.cette

démonstration

que nous venons dedonner, d'apparence extrêmement courte. est très voisinede celle que nous avons déjà donnée au Chapitre II; la méthode par laquelle nous avons en effet démontré à ce moment c:Ue

le pointa

ne pouvait être un minimum du module, est uneVariante de la démonstration du corollaire 4 qui précède,bas;e

Sur

la formule de Taylor au lieu du théorème de lamoyenne.

Corollaire 0

soit Une

aPPliCation

holomorphe

deJl,cc dans F ,défi

nie et continue surn

. On suppose en outre .fl borné. kl~rs

on a les egalites :

(TiIJ; 2bis)

SiE

est de dimension finie, 4

moins un point de la Z'rontiere fi'.atteint son maximum en au

Dtmonstration

iioit d'abord E=c.

Plorsz

estfermi

borne

donc compacmaximum dansa

, nous avons gagné.

Si ce maximum est atteinF

est maximum.Sincn,

soit a un pointLe théorème 12 de la moyenne donn

centre a et de rayon p est contenu dans fi :



316

deskax,

d'ailleurs/IgJ

atoujours

'e=t

peut-être plus bornée et ilspeuvent velcir + m . Sup.5

sup

. Mais sirEn

rÉ.a

aGo,, on peut couper par un sous-espace affine de dimen-

sion coflplexe 1passant

par di,

et trouver dedans un pointb de J2 tel we 11 f(&) 11 3 11 j+(a) 1 ; doncz% s 25% ,

ce qui démontre (VII,j;P bis) dans le cas général.

Remarque 1

résulte de la démonstraticn que, sl~eest connexe et11 non constante (donc, pour F = c , pour 4 non

constan-

la borne supérieure ne peut pas être atteinte en un point

Kemarque

2

0~

peut amélio-r, en donnant un résu>'cat qui nepas $ d6finie sur fi . En tout point de Sz , posons

suppose

M ca) = &yy 6) = ?-“. ,czy ajp) = Alors on a, pour de classe C' dans

fi

borné :

G -SwaM(=).

dansa et à Mdansh

E = U? ou de dimension finie, donc, pour-elle admet un maximum dansalad+émonstration se poursuit -suite de la même manière.si t est donnée continue sur Q, ,M est bgale 6 I TII SUT& ,et on retrouve

(VII,3;l2

bis) comme casparticuliér

de (VII,3; 12 quarto).

Remarque 3

Le corollaire repose essentiellement sur la compacité dez pour

E.

de dimension finie et il n'est pas exactp

non borné. Considérons, par kemple, dans @,

our L-l,

l'ouvert

La fonctione %

*n'est pas bornée dans fi aiors qu'elle est demodule 1 SUT fi .

?n

peut obtenir une égalité vraie comme suit. Sifin'est



318

indiquée page , dans E , où J-L est le dlsquelj)< 2 la].

Elle atteint leminimum)alde

sa norme en tous lespoints

du

‘p

I s a , mais nulle partsur la frontière Sz ,e

cercle),j1=2lal

etoù

a+ 1

vaut 2Ial

Corollaire 7

SoitV une variétt holomorphe connexe et compacte. Toute

fonction] sur v , à valeurs dans unBanach

F , etholomornhe,

estconstknte.

Démonstration

, c o n t i n u e S U T le act V , a un maxi-

non vide,

des points de V où [)

évidemment fermé, et la démonst

1 vaut M est donc

ation

donnée au co-des cartes, qu'i

constante su7 V .

Remarque

Ceci montre que toute variété holomorphe de dimension > 0,

compacte, connexe, est "abstraite",sous-variété d'un QN;

elle ne peut pas être unesans quoi chacune des fonctions coordonées j,,j2,.. .P p ,holomorphe sur V , serait constante surV

et V serait rédu te à un point.

Corollaire 8 (Ma,ioration des dérivées de -f dansa à Dar-

tir d'une majoration de/tTII sur h ).

,

Soit 4 une fonction holcmorphe

SUI- ,Cl,c E à valeurs dans

F,définie et continue sur E ; on suppose fi borné. Alors

'on a les inégalités (pourz<fi

) :

N,3;13)

1 pw II

< M($))lll (oriM _ s i E=c),

où d(z) est la distance der6.Q à la frontière&, ,et

M

= rph 11 $z)

11



320

valeurs de 7 dans A :,

Démonstration.

C'est évident, car la 2ème intégrale vaut

Ce corollaire parait bien moins avantageux que lethéo

r&me lui-même; mais parfois il est plus utile. Par exempleil s'étendra évidemment aux fonctions harmoniques SIX un es-pace euclidien E de diTnsion finie

SU~E,

à valeurs dansun Banach quelconque,

F

, comme le théorème 12 lui-même; etlà aussi la réciproque sera vraie, toute fonction ayant cettepropriété des moyennes dans les boules sera harmonique. Maisl'existence de cette moyenhe ne nécessite que l'intégrabmé

locale der par rapport à la mesure de LebesRue. On pourra

aonc*definlr

les fonctions harmoniques en les supposant seu-lement localementintégrables. La théorie des distributions

donnera d'ailleurs des résultats encore meilleurs.

Voici une autre conséquence immédiate du corollaire 9;

Corollaire p bis

PlaWns-nouS dans les conditions du corollaire 9. Ona la

mejoration

:

@,3;14ter)



322

SoientE,F,des affines normés sur uncorpsK=

R ouCO.

On appelle fonction entière sur E à valeurs dans F , une

fonctlonKanalytique

$

, dont le développement de Taylor,autour de tout pointa de E , est convergent et représente

en tout point-rde E . Il résulte du corollaire ldu

toute fonction holomorphe surF

à valeurs dans F est entière. Pour K= R

toute fonc-tion harmonique sur

E

euclidien de dimension&nle

est en-

tiere.

Désormais, entière voudra dire c-entière.

Théorème 13. (Théorème de LIOUVILLE).

1') Toute fonction entière $ sur E é valeurs dans F ,et bornée. est une constante

2") S'il existe ae E,m entier >o .C

> 0 tels que,pour II ~CC?C 1 assez grand,

m73j15

11

m

II 5 c II= Il-

alors 4 est un polynome de degré 6m .

Démonstration

Montrons d'abord 2".

Les inégalités(VII,3,4

septimo)donnent

Immédiatement:

Faisons tendre p vers+a7; on trouveLa série de Taylor autour de a, qui

represe

tout SC ,2O).

se réduit à un polynome de degré4m,

e qui montre

En faisant m-o, on trouve le 1')

Corollaire l.(théorème d'Alembert)(Démonstrations de plus en plus courtes!)

Soit en effetp un polynome dedegrém>l

surc,

etsupposons qu'il n'ait pas de zéros, Alors + serait une fonc-tion entière. Mais(

P(a)l

tend vers l'infini pour]$\-w B



et par conséquent,pour~c

(cl. donné, l'ensemble fiL(ti

valeurs de 2 pour lesa.uels h-11 est inversible, est un ou-vert du plan complexe : le spectre

dea

estferm6.

D':TutrePart nous avons vu au-'Siicorollaire 1 du théorème

>ldu

Chap.II

quel'aFplicationnL-ades complexes); est de classe

C

(paryapport

au corpsil en résulte que l'applications-(LL-~I)-'

est de classe C (sur le corps des complexes), c'est-à-direholomorphe de

a(,)

à valeurs dans Q, .

Thcorème

14. (Gelfand)

Le spectre d'unélément&

d'une algèbre de Banach SU~~

est un ensemble compact non vide du plan complexe.

Démonstration.

Le spectre étantferme

), pour démontrer qu'il est com-pact, nous devons démontrer qu 11 estborn6,

autrement dit qupour\ j\ I assez grand,u -'AT est inversible. Or les Él6ments sfisamment voisins de 1 sont

inversibles;

pour);ZI-+-,I

-

2

tend vers 1 , donc il est inversible pour/Al assez grand, dznaussi&

- ;11=-A(I-?). Plus précisément, le théorème 62du Chatre II , nous dit que 1-x , donc.%- AI , est inversible dès

l ou AI ti le spectre de ,u est contenu

1 I

jl

u,II

Ncus

avons maintenant S. démontrer que le spectre n'estpas vide. ,Yupposons donc qu'il soit vide, et montrons que nouaboutissons à une ccntradiction.

La fonction A-entière,

dlfinie

sur@,

(u-a1 , serait alors une fonction

Or il est évident qu'elleà valeurs dans l'espace de Banach a.

tend vers 0 à l'infini.

On a en effet

d'aprèsOr, lorsque1 tend vers m,I- - tend vers 1 etla continuité de l'inverse, sor?inverse aussi tehd

vers 1, de sorte que le deuxième membre, et par cons6quent

le premier, est majoré, pourlA\ tendant vers 03, par le pro-duit de 1 par une constante.

IA Le Théorème de Liouvllle montre donc que la fonction

considérée serait une constante, et, comme elle tend vers 0



326

morphes dans un ouvert fi borné de E,et continues dans sonadherence .Z , à valeurs dans un Banach~ .

Si la suite des .,converge uniformément vers une fonc-

/

.tion limite 4 , sur la frontière.rL, alors elle converge uni-

1

formément vers une limite 4 dans fi tout entier. Cette limite-

, continue dans a, est holomorphe dans a, et pour tout

entierm.les dérivées n

Cm)

convergent vers la dér+vée p ,localement unifcrmementi dans fi .

Smonstration

La quantité # &

-

c HI, , bornesuperieure

de lanor-

mt

de A-& dans fi estsussi,

d'après ce que nous avonsvu

au corollaire 6 du thtcrème 12, égale h

superieure de la norme SUT la fronti ère f i Or-celle-ci con-verge vers 0 pour 1 et7L infini, puisque lés

;e

sont s'lppo-.

sées converger uniformément vers une limite sur'la frontièrefiIi existe alorsnmEïN tei que, pour 7~ 3 II.

sur A1 pour n >nO. Ensuite les

suite de Cauchy>

dans l'e2pace

espace est un Banach puisque F est

forment une

mai s cet(dans tout

ChapitreXcorollaire 2 du théorème 65du Chap.II).Cela prouvebie

?

donc aussi lesi

i*

convergent vers une limite

continue uniformément dans fi .

Soit ensuite aen, d(a) sa distance àA ou[a. Pour

tout=de la bmkB=B a;p ,p<d a , o n a d z) d a)-pr

La formule @II, 3; 13) montre alors que les dérivées

f0rnent une suite de Cauct,y dans (&,(Ë>F ) )B

t -g

c 1.

, donc,



328

alors sa somme est holomorphe dansa et lasérie

peut êtredérivée terme à terme

(pII,J

18

(2 rtnym: g ay >

toutes les séries dérivées convergent elles-mêmes localementuniformément dans

.fl

.

Si un produit infiniJ-i-

4, de fonctions holomorphesn b

dansa à valeurs complexes, converge localement uniformé-ment dans& vers une limite JT,alors JT est holomorphe.et on peut

deriver

logarithmiquement termeB

terme

a ;19)

2 go

La série C 2% convergent elle-même localement uni-

rr=O fi,>

formément dans 0, .

Démonstration

La propriété relative aux séries résulte immédiatementdu corollaire précédent.

Si maintenant on consldére le produit infini, et si l'on

N pose TN = TT ti+ , on volt que, d'après le corollaire

pré-

n=o

cédent,

les STkconvergent versn'

localement uniformément,stn

est l-olomorphe

D'autre part, lesi convergent vers1

loca-lement uniformément (voir pages 1% du Chapitre II)

?&

par

conséquent les i-r'convergent bien vers- lo-ri

calement

Corollaire 3

Soienta un ouvert de E , etF un Banach.

L'espace des fonctions holomorphes et bornées sui-Q, ,

a valeurs dans F, muni de la norme &..

est complet.



330

toute fonction holomorphe dans[a, se prolonge en une fonctionholcmorphe dans l'espace entier : 11 n'existera pas dr form-

tiens

à singularité isolée.EI

sera donc le corps des complexe@dans tout ze paragraphe.

Ce développement converge absolument dans la courwxle,

2t

normalement dans toute couronne 3, ÇR: g\j-al sR’ , -C R,.

Les coefficients de la série de LAURENT sont détermi-nés d'une

maniere

unique, et donnes par la formule

(XlI,4;2 1

cn= 1

J

h) d(

2-LT 7 (3-q ’

où r est n'importe queli-cycle de longueur finie dans fi ,entourant une fois

LL

dans le sens direct.

Remarquons ce qu'il y a d'interessant dans cette fol.-

mule. Le développement de Laurent généralise le développementde Taylor; cependant il n'est pas valable au voisinage de

d,

mais seulement dans une couronne à une certaine distanceded.

En particulier, il est évidemment ossible d'exprimer les,

coefficientsC,

par des dérivées den'est pas définie au voisinage de a .

au point a, puisque 4

Demonstration

Dasignons par rI (,'A+. r& ) le cercle de centre d etderayon R;(‘xtifRt) avecR,c R:<R:<R,CRlxR, ,

orienté dans le sens direct.

Alors, dans l'ouvert fi, le cycle Y2-J', est le bo;d

orienté d'une couronne ayant l'orientation deQ,R~djj--al<R. 9

et on peut par suite lui appliquer la formule intégrale deCauchy :



332

la série considérfie &tant normalement convergente pour

l<-a l=

R:

ij-al>R:.

Si alors on peut intervertir lesignez

et le signeon pourra écrire

où ?_(pourfiS-1 ) est encore donné par (VII, 4; 2),

l'in-

tegrale étant prise sur8- 3 *

Cette interversion sera possible si, lorsqu'on remplacedans les même conditions que dans la démonstration du théorème10, les quantités J<r) (J-d)n

({-a)=+'

par leur norme, l'un des

Or on a la majoration

(a

; R:’ ) (+J

terme général & 0 d'une série convergente, puisque & >1

et qu'on somme de n=-1

1

à-ca.

Ceci montrae quel'interverslon

étaitlégitime;

la sé-rie obtenue est normalement convergente pour /$-u./>Ri.

En réunissant(VTI,4;4)

et(VII,4;6)

on obtient bien(VII,4;1)

avec la valeur des coefficients(VII,4;2),

calcu-lés par des intégrales

SUT

r*

et xx , selon le signe dem.

Des deux séries trouvées,gente

pourI$-G~sRR',

,,

l'une est normalement conver-et l'autre pour

I ~-al&

Ri , d'où ilrésulte bien

que

laserie,(VII,4;1)

est normalementconver-

geante

dans la couronne R,< 1

$- d j

<Ri,

Pour les valeurs des coefficients, nous avons trouw:

des intégrales sur certains cercles de centre a ,orientes

dans le sensdirect,bC,

pour n3 0 ,J-,

pourw

< -1; mais

comme il s'agit d'intégrales de fonctions holomorphes dans lacouronne fi donc d'intégrales de formes diffkrentielles dedegré 1 fermées, on peut remplacer

3',

CO-cycle de longueur îinle,

ou)‘L

pnr

n'imD0rt.e quel

i

corollairequi leur est O-homologue

dansa

6 du théorème 54 ). Or, si un C-cycle de lon-gueur finie r dans fi Ïait une fois le tour de Q dans le sensdirect, c'est-à-dire sid admet par rapport à ce cycle l'in-dice + 1, cela veut exactement dire (remarque qui suit le



333

théorème du Chapitre VI) que ce cycle est ?-homologue à uncercle de centre

a

situé dans fi et parcouru dans le sensdirect.

Dans le cas de la série de Taylor, on savait de façonélémentaires'il

n'y avait qu'un développement possible,

l en effet, une série de puissances àtoujours dérivable terme à

disque de convergence, on peut donc calculer

une série, et en faisant

Ici, pour prouver l'unicité des & , on prochdera comme suit.Puisque la série converge dans une couronne, onpeut intégrer terme à terme sur un cercle r

de centre fi,

dans le sens

direct. Mais vaut 0 pour n-m# 0, car elle

intégrale d'un cobord sur un cycle,

En calculant les zm par des intégrales sur un cer-cle de rayon p

:

Corollaire 1

Les coefficients de la série de LAURENT admettent lamajoration

autrement dit chaque terme3%

(3 -a)'% de la série de

LAURENT

est majoré, en norme, sur n'importe quelle circonfé-rence de centreaet

de rayon p situee dans la couronnefi,

par le maximum M (a;~) de la norme de J ? sur cette circon-férence. 8

Cas où R,= 0 , La série de TAYLOR est un cas parti-culier de la

serie

de LAUP,ENT, celui où la couronne est



dant à ut < 0 sonk~~ls. difinie nar 0 < a

1

(R

et où les coefficientscorrespon-

Siune

fonction estholomcrphe

dans lacouronne

lyl<R, , on sait à l'avance qu'elle admet undevelop-pement de LAURENT, normalement convergent dans toute couron-

ne o L R: si 1, --a\ s Ri LR,. S'il se trouve que tous les co-

efficientsTn

POU~~ <O sont nuls, la fonction estprolon-

geable

en une fonction holoyrphe dans le disque\$-a\<

R, ,en lui donnant la valeur c,

au point a puisqu'elle estreprésentée par une série de fonctions holomorphes pour

1,5-a/ -c R, >

localement uniformément convergente. On ditalors que a est un point régulier.

On dit que& est un pôle d'ordre-, si ien'est pas nul, et si tous les coefficientsE

coeff'icient?.

m

sotlt nuls. S'il existe une infinité depour 7L c-T?%

valeuys

de II <CIpour lesquels c, n'est pas nul, on dit quepoint a , un point singulier essentiel. l+

présente, au

Le coefficient c s'annelle

toujours résidu de]

et se note Zed,y+,

en a,

On dit qu'une fonctionde c?,A valeurs dans un

est -dans unouvertfi

ace

de Banach F , s'il existe un

tels que7 soit holomorphedansa

- SL

ensemble (&L}iEI, fini ou infini, de{poi;,s isolés dans .Q ,

chaque point a; soit un pôle pour 7.

‘ bel '

et que

Corollaire 2

Si 7 est une fonction holomorphe pourQ

<

]%-a\

< 3

s .et

si lorsque,q

tend vers a, Il$= 11 est infiniment petit de-

, alors a est un point régulier pour3 .

I

p vers 0 , les majorations(VII,4;8),

si l'on fait tendre

pour +x <

0.montrent que tous les coefficients C%sont nuls

Corollaire 3

Sir est holomorphe pour o(Ix-aI i R,

, et si Il K) 1



3 3 6

Dans ces conditions, il sera normaLde dire que le pointà l'infini est un point régulier pour4 , si tous les coef-ficients Z% sont nuls pour2 B 0) que le point g l'infiniest un pôle d'ordre% pour& si le coefficient C-n'est pasnul. et si tous les coefficientsZ* pourn>msont nuls,

leyoint

a

l'infini est un poit$. singulier essentiel, s il existe une infinité de cn,pour naO , qui ne

Par exemple une fonction entière, c'est-à-direho'lomorphe

dans tout le plan complexe, admet, si elle n'est pas un poly-nôme, le point à l'infini comme point singulier essentiel.

Pour des raisoAs qyi seront vues plus,loin

le coefficient- CA, b aouelle résidu de4

à l'infini. et senote Rés

-5

Corollaire 5

Si1 est holomorphe pourR,<I $- a( , et si jzj //est in-, u

finiment petit devant 1 4 1 lorsque\ n, 1 tend vers QO , le

point a l'infini est un point régulier; si (r) est infi-

llL+<

I

niment petit devant 3

,mentier 3 1 , alors le point

à l'infini est régulier ou pôle d'ordre <qn, et, si c'est-

un pôle d'ordreexactement711r,

(Y\ est équivalent $

7% * pourIT infini. l

Corollaire 6

Pour que a soit un point siwulier essentiel pour .j , il

faut et il suffit que la fonction M(a;p) moTsse plus'vite

que toute puissance de ' lorsque p tend vers 0

Pour quele point a l'infini So?t un point singulier essentiel, il

faut et il suffit que M

a j croTsse hS

v i t e q u e t o u t e

puissance de p lorsque p tend vers+ m .

Le dernier corollaire montre que+au voisinage d'un point

singulier essentiel a,croissance très rapide.

la fonction j est susceptible d'une



edmet au pointa/ un point r$gulier

est contraireà

l'hypothèse,

emarque 1

Nous voyons ainsi que le comportement, au voisinage d'unpoint singulier essentiel, est totalement diffkent du com-portement au voisinage d'un pôle, et qu'un point

singulir-

essentiel ne mtrite pas le nom de pôle d'ordre infini.(Le

dBveloppement de LAURENT n'a alors plus rien & voir .îvec

un développement ûsymptotique, qui suppose un premier ter-

me, ou partie principale).Nûturellement

le mêmerésultet

est valable lorsque le point singulier essentiel est l'in-fini, il est ?ppliceble B chaque fonction entière qui n'estpas un polynôme.

Considérons par exemple la fonctionentiere

ea

et véri-fions

que:

dans l'ouvert 1 *a 1 > p )

elle ;;pproche ûrbitrai-rement pres de toutes les valeurs. Nous sllons même montrerplus : elle prend une infinité de fois toutes les valeurs,à

l'exceptio

3

de la valeur 0 . Si en effet nous considérons1'6quûtion. e = r elle admet l'infinit: de soluticn

y)= ao+ 2iziT , où j.

est l'une des déterminationsdeLc

à

l'extérieur du disque considéré, il existe bien une z

c;

inf -

nit6 de telles solutions.

Si maintenant nous considéronsune

fcnction

enti;lye,

lyfle que&m~

ou ~3% , onmit

que, dansl'exterieur

denImporLc

quel

disque, elle prend une infinité de fiois tou-

Les les valeurs sans excepticn. L'équlticn 3uiL

en effet, quel quesoit-C

~

l'infinité de r,,j,z,f admet

s= 30+ 2 4% T ou X-j,+ 2-kT[,cù 3e est l'une des ditermina-

tiens de UILC hw~ &.

Le théorème de Weierstrass dit seulementz ~~~o~hel~ebi~en~rt~~~~~p~~ &,;u;;es les ~~?~u~~,'~~:~~'~

Un théorème beaucoup plus puissant et beaucoup plusdlf-

ficile,

le théorème de PICARD, ditquiau

voisinage d'unp oint

singe

,lier essentiel,# prend une infinitt de fois toutes lesvaleurs (finies, bien'

s(k),

sauf une au plus; cette exceptionétant possible, dans le cas de

l'exponentielle

par exemple.

Remarque 2

SiF

n'est pris6?,

une fonction-

4

à

valeurs dans F ayanten ae c un point singulier essentiel, peut très bien'conver-

ger en norme vers l'infini quand3 tend vers0..

Prenons



340

isolGs *

d'uncuverta

dec,

et soit;

une fonction

holomorphe

dansBanach r.

fi-{"%jl,y

, à valeurs dans un espace de

i Si alors V CJI

est un

C . de Sz , munie de 1'son

bord7

ne contient au

lasgmmex

est étendue à tous les pointsLLL

qui se trouventdansV

***

.

Nous allons m$me en fait démontrer une oroprlété plusgénérale.

On remarqu? en effetquer

a l'indice+1

points0.;

de V ,

c

et l'indiceU

par rapport

de

V.(thtorème

60 du ct1apitr.e VI)

On a alors :

par rapport auxaux points d;

Si7

est un ?-bord singulier defi de longueur finie,

et si son image ne contient aucun despiints

a; ,formule

on a la

&

1

(v,,;T) est l'indice de 7 par rapport à aL . Ce théo-

rème general résulte immédiatement du théorème 64 du chapi-

t=v1,

et duthécréme

18 sur la classe résiduelle de

PV% L-

en cl..

* Cela veut dire, rappelons ledisque ne contenant aucun

a'

,,que tout U; est centre d'un

j

737

*

** ia

indice,dans cette formule,

;'E 1,

ou c'est -1

i-,

2 sens différents : c'est undans 2 in

x*x Lesd;

Etant isolés dansa

, sont en nombre fini dansle compactV

;

sans quoi on Pourrait en extraire unesuiteconver-

gyant vers un?Umit~ &,qui serait dans l'ensemble singulier maist- y serait pas isolée.



holomorphes dans [ {IL- \.

tous ses résidussoîent'n;î;

* .il faut et il suffit que

Dgmonstration

a une primitivela 1

-

forme fermée

celle-ci est une primi-

;:;;I;;F pour démontrer(voir rai sonnement

>

et son intégrale sur tout cycle de

est nulle; en choisissant pour cycle un-cercle entourant unseuldez

a;,on voit que chaque résidu des'il en est ainsi,

est nul.nous allons montrer

Inversement,ue

iTème 45

du chapitre VI est réalisé.le critère duthGo-

Soit doncr=

Ha

une applicationc'

(au sens réel) du cercletrigonométriquer

dew

dans Puisque0,

est simplement connexe,

Hest prolongeable en une application continue du disque

unité AdeE

dansfi

(mais pas, bien SGT, dans

qui n'est sûrement pas simplement connexe : un cei-cle entou-rant un des a; n'est pas pas

homotope

àzéro ).Alors

le théo-rème des résidus, sous sa forme

&nérale

(VII,,4;12), montre,puisque tous les

rtsidus

sont nuls , que 1integrale

defi)%

ce qui est exactement le critèreconsidére.

a des primitives dans

sonnement duholomorphes de

7 montre que ce sont des primitives

On sait ensuite que, sifi

est connexe,

donc aussi (

du Chapitre VI),ces

primitives diffèrent d'une constante.

Le théorème 19 s'appelle aussi théorème intérieur des ré--. Il existe un autre théorème. également utile dans lapratique,

appelé

théorèmeexterieur

des résidus.

Soit?

une fonction holomorphepour/$

-

u-1

)R . Elle

admet

alorsUP

développement de LAIJi?ENT,et nous avonsappe-

le residu de& k l’:nflni, la quantité- C-,.

le coefficient de changé de signe.c'est-à-dire

jx'

* Ce quin'&lique

pas l'absence de singularitésdu n'est que C

: le rési-

-1

i

lesTm,nQ-ô,

peuvent êtref

S



344

un ensemble fermé borné de points isolés

de .O, , et soit -j

une fonctionholomorphe

dansaa valeurs dans

uh

espace de BanachT".

Soit Wcontenue dans@

une variété de classeC avec

bord, munie de l'orientation de CL , telle quev=

I,$J

soitdans fi

et que le bordP

de W ne contienne aucun despoints a: .

On munitr

ae

l'orientation de bord deVE

a-dire de l'orientation opposée a celle de bord de W ,ou

encoreretrograde.Alors

on a la formule

Bien noter que dans cet énoncé, tout fait intervenir V,mais

rieurement !cycle est un bord (Corollaire 3 du

théorkme 54 du chapitre VI

Démonstration

Désignons en effet para

un disque ouvert quelconquemais assez grand pour contenir

(qui forment,

[fi et tous les points a;

né), comme nous l'avons supposé, un ensemble bor-et également l'ensembler

. Il est alors possibled'appliquer le théorèm

&

intérieur des résidusrelativement au cycle A +r

(A

orientécombe

théorèli 19,Q

comme bord, donc dans le sens direct,p

commebord'de

1;

ou rétrograde), bord de A A $ c

On obtient la formule

* Dans cette formule,par des intégrale

&

les&&se

calculent comme toujourssur des cercles parcourus dans le sens di-

rect, alors que tiw se calcule par une intégrale sur un cercle

parcouru dans le sens rétrograde.



345

Cette formule peut encore s'écrire

@,it;l8)

r

et compte tenu de ce que la dernière intégrale n'est autreque 2 i n fois le résidu à l'infini, le théorème est démon-

tré.

Corollaire

un ensemble fini de points de

une fonction holomorphe surIer

à valeurs dansF .

Alors la somme de tous les résidus de z , aux PointS t L

et

au pointà

l'infini, est nulle. ?

Démonstration

Soit Vune sous-variété à bord de c ,dont le bord necontienne aucun des a; . L'intégrale de sur cebord, orienté comme bord de V ,résidus des C&;E v ; l'intégrale sur ce bord, orienté comme

bord de $ , c.a.d.

c

en sens inverse, est 2/~ JT la somme des

résidus des a;' l d'où le résultat. Le

choix de V

et du pointoo

est on peut'par exemple prendre Vvide, x'c on trouve simplement que la formule (VII,4;16)

donne 0 au premier membre, puisqu'intégrale d'une l-formesur le l-cycle nul. On peut au contraire prendrev assezgrande pour contenir tous les a; ; l'intégrale sur son bordparcouru dans le sens direct donne IL,~T fois la somme des ré-sidus des a; ,de esdans

F

tandis que l'intégraledans le sens rétrogra-le résidu à l'infini, puisque f

V (voir page 75).est alors holomorphe

Exemple-b

soitla forme -+Une

fraction rationnelle, c.a.d. une fonction-deP

xi-

, où P est un polynome a coefficients dans F ,

Q, un polynome à coefficients complexes. Les résidus aux dif-férents pôles 67,; ont été introduits très élémentairement,dans la théorie de la décomposition en éléments simples.



Cette d&ccnpcsition montre immkdiatement que la sommedes résidus est cigale au coefficient de

i

dans le dévelop-pement (de LAURENT) suivant les puissant s de% à l'infini;d'après la dkfinition même,

résidua

l'infini (voir page

ce coefficient est l'opposé du

). Ce raisonnement direct(n'utilisant aucune théorie de fonctions de variables com-plexes), sera

d'-illeurs

Etendu

plus loin (page )

etredonner3 une autre démonstration du précbdent corollaire.

Soit 7 une fonction holomorphe dansest un 0Uvwt

contenant a,.

Soit tj unC'-difféomorphisme

(par rapport au corps des

-omplexes)

de ~2, sur

unouvertfiiZ,

du plan complexe

a1

-$= Hiji).

soit H ( a , ) = a, .

Alors l'image

H(i()

est la fonctioi~

;

H- +- j - , H- i j , , t andi s

est la forme différentielle :

I -c

Les fonctions $L et j2 sont donc très différentes. Toutesdeux sont holomorphes dans

ca i bî

\

, mais leurs r4sidüs

en dz sont distincts. Alors :%

ThtSorème 2G

Il est donc nvturei de direférentielle

j,($.) j-a*

: Ie r6sidu

de la formeàif-

, 3u pointde la forme ciilfërentielle inaRe -j

a, , ester~l

-1~

residu

(dz(rlz) JJj& au point

a&-Dtmonstrztion

Soit en effetV,

classe C’une sous-variété avec bcrd de fi

munie de l'orientation canonique de CI

de

que a E 6 .et'telle



ce qui proe~ve que le résidu de 4; B l'origine est égal aurisidu de , à l'infini, Justement parce qu'on a défini lerésidu à l'infini en utilisant des cercles parcourus dansle sens rétrcgrade.

Ilemarque

Nous avons appelé le coefficient ., duau voisinage de a , le résidu de latard, le résidu de la forme différentielle

Lepr6sent

théorème nous montre que c'est là un abus delangage qui est dangereux dans les changements de variable,puisqu'en realite‘c'est exclusivement le residu de la formedifférentielle qui se conserve par changement de variable;,c'est lui seul qui a reellement un sens comme le montre dejàd'ailleurs le théoréme des résidus 18 ou 19.

Ceci n'est d'ailleurs pas fait pour nous étonner. à laPage

, nous avons seulement défini la classe residuelle

en un point d'une forme différentielle de de& N - 1

dans un espace affine, SUT le corps des réels, de dimen;ionN c étant alors un espace de dimension 2 sur le corps des

réels, on ne peut parler que du résidu d'une formedifféren-

;;~;;;,dy%yk@

non d'une fonction. La correspondance bi-

entre fonctions holomorphes et l-formesholomorphes donna t des idées fausses!

Surfaces de Riemann, sphère de Riemann, résidus des formesdifferentielles Y singularité isolée.

les résultats précédents s'interprtteront encore mieux entermes de variétés holomorphes. Une variété holomorphe Wde dimension complexe 1 s'appelle surface de Riemann (sur-faces parceque de dimension réelle 2) .,Sur une telle surfa-

ce, les fonctions holomorphes ont déjà eté définies, commeles fonctions_de classe C” (donc Cm) par rapport à ca.lJJ; ;~~IIU&I,~, ;ye~séu;e;e;;u;; dans un Banach F ,

Q : 0.

9(WcV >

pour toute carte localeoù @ es; un ouvert de c , la

fonction ccmpos6c@*$+ = 70 9 est holomorphe sur w .



Théorème-22 a.

L'intégrale d'une l-forme holomorphe, sur tout Cl-bord,

est nulle.

Mais rien d'analogue n'existe pour les fonctions holomor-

phes.

Le théorème 7 s'étendimmediatement

(puisqu'on se ré-fère au théorème du Chapitre VI) :

Théorème 22 b.

Si la variété W est simplement connexe.toute l-forme holo-

morphe w sur W , à valeurs dans F , a des primitives,

c.e.d. des fonctions holomorphes ,$ telles que a= (3 ;

aeux

de ces primitivesdifferent

d'une constante',siW

est connexe.

Il

n'y a pas de généralisation directe de la 2ème formuleintégrale fondamentale de CAUCHY, ni du théorème de lamoyenne. Par contre, ces formules peuvent être considéréescomme des cas particuliers du théorème des résidus 19 (voirla remarque qui le suit) qui, lui, se généralise parfaite-ment comme suit.

Soit d'abordest un voisinage

une îonction holomo;;;;e;e;; ~~j;~,,où~ouvert de a sur W

fonction ayant a comme singularité(kfentuelle)

isolée. Sur

a un développement de LAURENT& . Les coefficients de LAURENT dépen-

dent entièrement de la car.te choisie, et n'ont aucun sensintrinsèque. Toutefois on voit immédiatement que,regulier pour 9 sur une carte,

si a est

autre carte,il en est de même sur toute

et qu'alors l ' ordre du premier coefficient deTAYMR non nul, c.a.d. l'ordre du zéro de - en ti

indépendant de la carte; %

, ,est

en 0,. Si o( est un Pôleon l'appellera l'ordre du zero de?

toute autre carte, et on dira que, ceci subsiste sur

en4

. De même pour un point

pôle d'ordre 13%

Ier

essentiel.On

peutenfin procéder de même pour

unel-fo;*me~sufl

,holomorphs

sur cv, i

GJ

estregulière

et a un zéro d'ordre,; sur une carte elle sRecrit C(5) 4

et,siC

*L

ou unpointessentiel,

si C a un pôle d'ordrceci

subsike

sur chaque carte,et on dit que w a la même propriété en a sur W .



qu'au corollaire du théorème 19.

Théorème 22 d

Dans les conditions du théorème 22 c,si.W

est simplementconnexe,la forme l-forme w a des primitives holomorphes

c.a.d. des fonctions holomorphes 4 tellesI

que do = G , si et seulement si ses résidus en tous les a;sont riuls.

Il n'existe pas un théorème des résidus intérieur et unautre extérieur, mais un seul, 6noncé plus haut. Cependant,supposons W compacte (don= vari6té abstraite, voir remarqueaprès le corollaire 7 du thkorème 12). AlorsOnon seulementv

est une sous-variété avec bord, ; onappliquer le même théorème;

maisaussi[Vmais 7

, comme bord dee

ept

luiV

,

a l'orientation opposéeà

celle de bord de \' ;

our cettenouvelle rrientation, l'intégrale de z donnera

%

&A, 3.Ce ne sont pas là deux théorèmes différents, l'&?dit intsrieet l'autre dit extérieur,me à V et[S

mais 2 applications du même théoré-

respectivement 1 Naturellement leur combinaisodorlne une génkralisation du corollaire du théorème 19 Lis .

Théorème 22 e

Si W est compacte, et si 0- est une l-forme holomorphe,

sauf en un nombre fini de points singuliers, la somme de sesresidus est nulle. On l'obtiendra directement en appliquantle théor&me desrésidus à V = W , de bord vide! On pourraiêtre tenté de généraliser le théorème 19 bis; mais il n'y apas de bonne notion de résidu à l'infini pow une variété.C'est au contraire le théorème 19 bis qui-est, sous une formecamouflee, une application pure et simple du théorème généralunique des résidus. Il faut, pour le voir, introduire la sphède RIEMANN.

On appelle sahère de RIEMANN l'ensemble formé de @ , corpdesAomplexes, et d'un point a l'infini" notéw . On la note

ra CT ? . Ce n'estD~US

uncoxvs.

mais le sous-ensemble 6? estle corps des cympiexes. D'au& part, pourcation

ldéfinie habituellement dans

a-J-

Aprolonge en une bijection de ao sur lui-même, en posantL=w/

L = 0; elleenvoie a suror et 00 sur 0 . Munissons m a nte

n%t @ u'une topologie (de manike très analogue à ce qui



; toutes sont

ïnéorème

23

La sphèl,e de RIEMANN @ est une surface deHIEMANN

ou variete holomoruhe, de dimension complexe 1, compacte.La projection stéréographique H '

etablit un Cw-dlfféomor-

phlsme,

par rapport au corps desreelsR

, entrec

et lasphere

unite

deR3

.

Demonstration

Ncus avons déjà dit ce qu'était cette projection stéréo-

la

sphèreunitéx

de]Ee

, d'équationses deux pôles,N (0,0, 1 )

stéx$ographique

F, , de pô-dex su? (l ? définie par les for-

mules suivantes (~~,V,u~,coordonnées dans R3

R )

, 5 , y , dans

2s

U =x l+ y’+

@54;23)

u=

zy

x1+

.y+

1

,IU

=

mxL+yx- 1

Xx+

'd

=+4

Cn,vérifie aussitôt que c'est un homécmorphisme dexS I‘ a2 ( ).

* Sue (u,II ,w) dépende continuement de (~,~y ), et tende ver

(0 ,O ,1 )

quand( ,y

)

tend vers l'infini de@ ~ c'est évidentsur ces formules. En sens inverse,est

contirxe, sauf peut-être,on voit sussltot que/u,,L:ti)+x,y

mQ.er coupd'ceil

que,pour W-1 mais on ne volt pas au pr

si(u,u,w)tendwl.5(o,o,I),(SC,Y)tend vers l'infini [email protected]'cublicns pas que*L,V,w,ne sont pas indepen~antes(u2+21't15'= 11

Joncbien

d'autres formules dans le sensx-@, sont possibles)kis le plan tangent àx en Nest horizcntal, doncl-ulest un in-finiment,petit

du 2ècrdre

en(ti,v)(formule de TAYI0T3) ce qui>~l

tre ce yesultat d'ailleurs bAen connu géométriquement:De toutefaçon, @ étant compacte,c'est un

homéomorphisme

SIC-C est continue et bijective,



356

kis

les coefficients de LAURENT de 7 aupoQt

0 sontreliés à ceux de If au point .3

l'infini, ~~TZ~J])~~~($)

DoncJ

aura CQ comme pointpour

4.

6-1régulier, si et seulement si

C&<g) =s

,c_.a.d.c

($)=ô qouc,n>l,

et comme point régulier03

po$

d'or&egmslc&(I))=Ô

pour+ g-m-1 .c.a.d.& ($) = 0 pourv,*nxtd

;

c

estexac

tement

ce que nous avions dit page 336.

Il en va toutdans v .

nel-formez, holomorpheOn a alors w=

le. carte $- 2

elle devient la formeCT)$=-{t*)$

, qu'on doit 8,u-

dier

au voisinage de 0 . Lallalso

deLAURENT

de$

à l'infini et de 8

entre les coefficientsà l'origine est, cette

c)

. Donc3 sera r@uli&re au

, si et seulement si, par définition, c est

régulière au point 0 ,c.a.d.

c*(c)=

0 pour-&

s-1

, ou

<Js,,

=o

pourna-1

; et de même 0 aura un point régulier

ou un pôle d'ordreLmau+ pol:t

00 de $ si z&(c)Co pour

a<-m-1

7c.a.d.

zn(#)=

0 pour n&ln-, .

La forme & a donc un pôle d'ordre 2 au point 00 , la for-

m e % unPôle

d'ordre 1,la forme.çh$ un pôle d'ordreA+z,

si une fonctionW un pôle d'ord

en un point asa différen-

pôle d'ordre m+< , le montre

une carte (7 = (i;';)_c..-donne

Or la fonction pôle d'ordre 1 à l'infini, doncsa un pôle d'ordre 2.

L'identification de dans c conduit, dans 6

aux pires erreurs, a un p61e a l'infini. La dl

tlnction soigneuse l-formes évite donc beacoup d'erreurs. Néanmoins. sur C?lul-meme, ce n'est pas tellement nécessaire, et la théorie des fonctions de variables complexes prc ‘ite de la situation particulière dans c . Parexemple par la

>ème

formule intégrale fondamentale qui n'a Pd'extension aux Variétés.



en fz.issnt fonctionner suffisamment sa matière grise.Si

l'on veut véritablement ne Jamais commettre d'erreurs ondoit, répétot32-le une fois encore : ne se permettre

d'assi-

miler F et 4 % que dans aa , sans point h l'infini, sans

faire de difféomorphismes. Dans tous les autrescas:

il fau-dra soigneusement les distinguer, et ne parler de residus

(notamment de résidu à l'infini) que pour T‘i1 . Le résidud'une l-forme a un sens, pas celui d'une fonction. Nouscommettrons quand même souvent des abus de langage dans lasuite, mals il faudra les manier avec prudence.

Il est bon de dire que RIEMANN a introduit la sphère deRIEMANN justement pour débrouiller les complication apparen-tes du point

à

l'infini. Celà

et d'autres considérations ana-logues

A

celles que nous avons vues antérieurement l'ontconduit à distinguer les fonctions et les l-formes holomorphe

puis à définir en général les surfaces de RIEMANN età

lesétudier. Et c'est HERMANN WEYL qui, en donnant le premier unedéfinition vraiment

corecte

des surfaces de RIEMANN (Die Ideeder

3lemannschen

Flache,1923),

a Introduit "en règle" lescartes locales, d'où la définition moderne des variétés

diffé

rentiables

en général. De cette difficulté du point CC sontdonc sorties, par des chaînes de découvertes, certaines desnotions les plus importantes des mathématiques modernes.

Théoreme 24

Pour CIU'uIX fonction ou l-forme soit méromorphe dans tout

le plan complexe, infini compris, c'est-a-dire sur la sphère

de Riemann 8 , il faut et il suffit qu'elle soit rationnelle

Démonstration.

Soit F une fonction rationnelle, j+- -Q 3

polynome

a coefficients dans F , Q poJynome complexe; bien évidem-

ment elle est méromorphe sur @ . Nous devons montref laré-

singularités de $ sfr 8 f

ciproque.

Soit donc une fonction méromorphe surc

. Les

orment

un ensemble fermé de

points isolés; 03 est compact, il n'y en a qu'un nombre fini

Soient ti; les points singuliers à distance finie. Pour cha-

cun d'eux ,~U~,isolons la "partie polaire" de e , c'est-A-dir

la somme ji

des termes d'exposant 4 0 du développement de



360

Démonstration

La fonction -&--- : $ ----+ *est holomorphe

dans l'ouvert obtenu en retirant de fi les racines de l’équa-

tion ;P = c , et les pôles de

Soit C& une racine de l'équationd'ordre & . Alors on a, audu type

u: %~i~~~ement

où 9 est une fonction holomorphe et non nulle dans un voisl-

nage de a.

simple au point (L ,

où a est une fonction holomorpheet

sans zéro, dans unvol-

sinage de a .

On a donc cette fols-ci

(YI,‘cW

4'9) - -

m

ce qui prouve que l'yé:idu dc ')au point a , est-m

métant l'ordre du pôle a derésidus donne immédiatement le

Alors le théorème 19 des

Corollaire 1

Plaçons-nous dans les conditions du théorème, en supoo-

sant en outre & holomorphe dans fi . Alors l'application1

de la variété compacte orientée avec bord. V , dans 6 ,

admet, en ~n point C de CO. qui n'appartient pas b l'image



361

4 ( r) du bord, un degré topologique égal au nombre des1

racines de 2w cv, chacune comptée suivant son ordre de

multiplicité, et en outre a l'intégrale

aL4; 29)

Démonstration

D'après la définition même quichapitre VI, le degré topologiquepar rapport au point

C

, du cyclealors aussi l'intégrale (page 248

r

q4;~0)

a été donnée page 260 dun'est autre que l'indice,

D'après la définition même de l'intégrale sur un cycle singu-lier (formule

(VI,6;60)

), cette intégrale n'est autre que

(VII,4;29),

ce qui démontre le corollaire.

Remarque.-

Ce corollaire montre que le degré topologiquede#

relativement à la variété compacte V , orientée, a bord, secalcule de façon très simple, grâce a l'hypothèse d'holomor-

phie,

même lorsqu'il existe des racines multiples.

Reconsidérons le calcul du degré topologique, donné page260 du chapitre VI. On était alors amené a prendre les images

c'est-a-dire ici les racines de l'équation

ré pqFs~de.S;

ces racines étaient isolées, et si en cha-cune d'elles le déterminant jacobien était #0

le degré

topologique était la différence du nombre des ra;ines a déter-minant jacobien > 0 et du nombre des racines à déterminantJacobien

L

0 (le détérminant Jacobien devait être calculé parrapport

au corpsW

) Nous savons que, pour une aplication

holomorphe, le détermknt jacobien (par rapport àik

)

esttoujours

2

0 (formule(VI,2;7);

le déterminant jacobien réel

ce qui montre bien pourquoi on estsimplement le nombre des racines.

Mais en outre, la méthode indiquée au chapitre VI ne s'appli-

quait pas aux points où il existait un déterminant jacobiennul; nous voyons que, dans le cas d'une application holomorphe

$3 si,

en certains points, la dérivée de est nulle, il

s'agit de racines multiples, et qu'on fait tervenir, dansle calcul du degré topologique,telles racines.

l'ordye de multiplicité dt

Rien d'aussi simple n existe pour desaPPliCa-

tions seulement R-dérivables.

Ceci nous permet a nouveaud'interpréter la démonstration du théorème de d'Alembert, don-née au corollaire 1 du théorème du chapitre VI; nous avions



362

tv*vé que le degré topologique du polynômeP ,au point0 ,éta

le fait que nb# 0 wus prouvait l'existence d'au moins "neracine;de

nous savons maintenant qu'on peut interpréter ce faitfaçon P~US précise en disant que le polynôme a exactement

'm

rat

ines,

chacune comptée autant de fois que l'indique sonordre de multiplicité.

Corollaire 2

"ne suite de fonctions holomor-

phes ir valeurs complexes, sur l'ouvert fl de ao , convergeant

our n infini, localement

hPolomorphe ? .

uniformément vers "ne fonction

Si alorsV

Cfi

est "ne variété de dimension réelle 2

avec bord,de classe C’ , et si l'équation 4 (4) ZZZ 0 n'a

as de racine sur y , alors. pour x assez grand, l'équa-

as non.plus de racine sur 3 et le

nombre des racines de L (5) = C dans 9 est égal ai

nombr

des racines de 4 (5): c dans 0 , chaque racine étantcomp-

' Se avec son ordre de multiplicité.

Démonstration

Tout d'abord l'affirmation relative a" contour est immé-diate.

.'

en effet, si l'équation j(j)= c n'a pas de racine

SUT v , la quantité I$(j)- c 1 admet un minimum 6 > 0

S*I‘ V compacte, Si alors nous prenons fi assez grand p,o r

que la différence ssoit CG 2 sur v l

l'équation n'a pas de racine sur c . Il suffit

alors de calculer l'expression intégrale de N (#,, ;V; C)

donnée par (VII,4;2ÿ) et d'effectuer le passage à la limite

pour

ces

intégrales (cas trivial de la convergence uniformesur un compact).

FITmarque.

Compte tenu du corollaire précédent, ce résultat

n est autre que lt théorcme 66 du chapitre VI.



364

d'ordre 1.2,..., m-4 de $ au Doint (L soient nulles, et que

sa dérivée d'ordre m ne soit pas nulle. Il

existe alors un

ouvert a de a . et un voisinage ouvert & de & = $(a) ,

telsue

4 appliqueEL

sur33

et que 4 ((SL)I

'LB

recouvreexactementmfois.

Quand nous voulons dire que(

a)

recouvrepoint c de 3

58

m fois,nous voulons dire que, pour tou

^pC5)= c

, l'équationadmet exactement

m

racines dans&

, (chacunecomptée avec sa multiplicité).

Démonstration

Appelons d'abord A un disque de centreu-,

dans lequel

l'équation d(5) = & n'ait pas d'autre racine que a ,quiest racine multiple d'ordre m exactement.

Alors le degrédans c , au point

t p;l~~;q~ de llapplicatiyn 1 de A1 ;

mais le degre topologique enun point c qui varie continument, est constant, pourvu quec

se déplace sans franchir l'image par $ du bord yy de A(théorème 66 du chapitre VI, ou corollaire 2 précédent).

Donc Il existe un ouvert 4 contenant&, tel que, pour Cdans

3

, le degré topologique de 4 1 A au point c soittOoujours 1%. Si alors nous appelons (3, l'intersection

AII

q-'(d

)

on voit que ,J (a)=

& , et que, pour

tout point G de'3ce qui

dém~n:~~q'i~ ,l~r,l~~l~e:

'

a m racinesdans

(2

,

Corollaire 5

soit -j

une fonction holomorphe 2 valeurs ComDlexes, surun ouvert fi de c et qui n'est constante dans aucune CCm-

pesante connexe de fl ; alors l'application 4 de fi danse

est ouverte, et en particulier l'image -C, (fi')

est un ouvert;

si & estinjective,

c'est un c-difféomorphlsme defi1

Démonstration

Soit ae.L ,. Comme n'est

pas constante dans la compo-

sante connexe de a fi , il résulte du corollafre 3du théorème 11 que l'une au moins de ses dérivées n est pasnulle en d.

Alors l'application du corollaire précédenta



366

dans

CI L une détermination holomorphe,En outre oe'be fonction

'd

, qui prend laes t

maintenant dans les conditions d'application du théorème

des fonctiûns réciproques a point a, car sa dérivée en an'est pas nulle (elle vaut

IL ). Il existe donc un voisinageouvert a C

(2,

de CL et un voisinage ouvert x de 0

tels

que

soit un c-difféomorphisme de&%

sur X.En rest rei gnant

ces uverts, on peut toujours supposer que 3 est un disquede centre 0 .

soit 9“ deX sur (il . Sinous voulons

CEdS+.X-

c'est encoy un disque de centre 0 ); cela revient a résoudre

expression qui a 17~ valeur? distinc

dans3

; les solutions dans @, sont 2j= g'((C-Alm-) ; sa

pour c= . Y où elles sont toutes confondues en CL, les WL solutions sont toutes distinctes. On peut encore dire que la fonction u= J(3)., au voisinage de dr, s'inverse paria "fonc-

tion multiforme am déterminations"

si

h= j(3)

est fonction holomorphe de

zéro d'ordre qn. au poJnt a, 3 est localement une fonction

holomorphe de ~LU.-&) . En prenant pour simplifier a- -L 0,

si LL = J(5)

est holomorphe au voisinage de l? , et a en 0un zéro multiple d'ordre In.

-3

est, au voisinage de 0,

fonction holomorphe de aA (donc fonction mUltifOrme

deA

Théorème 26

si l'on se place dans les conditions du théorème 25, et si

@ est Uns fonction holomorphe dans fl , alors on a la for-

mule

1

(w4;32) 2-z

0

sont les racines I(G)

=c

dans y , et où les,

sont les pôles de 2 dans q

chacun étantcompté

au-

tant de fois que l'indique son ordre de mUltiDlicite (*).



le calcul des résidus est local, donc peut se

cartes, et, sur "ne carte, d

de sorte que les résidus sont ceux qui Ont'été

théorèmes 25 et 26.

Les conséquences sont les mêmes que pour lesUn cas particulièrement intéressant est

celui où W est connexe compacte, et où l'on peut alorspréndr

V=W , donc T vide l . Al ors on trouveN($;W;c)=N($;W;m);

donc le nombre fl ( { ; W ; c ) est indépendant de 0.

Corollaire 1

Une fonction méromorphe non constante s rW connexe compacte,à valeurs

compleXes,

prend le même nombre fini de fols toutesles valeurs. Ce nombre est d'ailleurs facile à Interpréter.

~a fonc$ion méromorphe p sur w définit "ne application

dew

dans a. ? , prenant la valeurw en tout pôle d de 8

elle est alors holomorohe de

un pôle, la fonction '

voisinage de d (par %

est

xemple

du théorème 16) (et nulle en

carte <- de&'= c

W dans @ ;

en effet, si d"est

holomorphe a valeur dans c a"

par application du corollaire 2

a ),

ce qui, en+considerant la

surc { 1

0 CC? montre bien2

notre affirmation (théorème3jter

du chapitre III).En

parti-culier, en tant qu'application continue de W dans @ , elle a

un degré topologique, qui est le même pour tous les points dec

d'après la dernière phrase du chapitre VI; et le corollaire 1du

theorème

25 montre que ce degrétopologique

est justementle nombre de fois qu'elle prend toute

valeur:d(,f;W;o)-N([;W;c).

On écrira simplement d(f) ou N(4)

et on l'appellera ledegré de la zonction 4 . Il n'est d'ailleurs pas nécess.aire

de prendre c : '

Corollaire 2

Une application holomorphe 4

non constante d'une surface

de ~i=n compacte connexe Wdkns

"ne autre W est ouverte

*Dans

ce cas, la2ème

formule n'a pas d'intérêt, car (r >

holomorphe sur W , est constante (corollaire 7 du théorème 12)



370

que1conque, conver ge uni f or mément sur

une circonférence de centrea*,

et par conséquent,d'aprks

le théorème deWeierstrass,

dans tout le disque bordé par

cette circonférence, doncsur

tout compact ne contenant aucundesaL#

CA&.

Elle représente une fonction holomorphe dans[{&i)l+ ie

ce qui prouve que J aura P+ comme-partie singulière au point

af7 *

Mais en général lasériez

7; ne convergera pas,

et il n'est donc pas évident à priori qu'il existe une solu-tion de la question.

~~~~~~~~i~~‘l~~,lI~~~~~iQi~~~~~

C~elles

que soient la suite des points a, : et les parties

singulières x , il existe des fonctions méromorphes z

dans@

à valeurs dans F , ayant les Pôles a; et les parties singe-

lières

données ?;

i

on obtient la solutiongénérale

de ceproblème. en ajoutant A une solution particulière une fonc-tion entiere arbitraire, à valeurs dans F .

Démonstration

Soit. L

* un point quelconque n'appartenant pas à l'en-semble des a; . Soit une suite de nombre &;>Otelle que la

Considérons alors In série

* Généralement, onprendk=O;

mais il se peut que 0 soit l'undes CL;

Même

dans ce cas, on resoudra d'abord le problème deCousin relatif' au système des a;#O, en prenant&=0 et on ajou

tera

au résultatobtenu

la partie singulière tionnée pour

0 .



372

En particuller,ai chaquedéveloppementF&

est réduit àune constante 3 f Fentibre sur a? i valeurs dans F

on trouzra une fonction holomorpJe

aux points aI ., prenant les valeurs CC

SI tous lesLX;

sont donnéschacun d'eux, est donnée la

si d'autre part, la série cI II.

est convergente, Llors

on peut prendre commemajoration

solutiondefi . On a en effet la

qui nous montre que la série considérée converge normalementsur tout compact de l'ouvert complémentaire des Q; (ralsonne-ment de la page précédente).

Si, toujours

pas convergente,

pour un certain entier h ,lution

alors on peut prendre comme so-A-4

dans le disque15 /<la; 1

iet on prend?& -T;).



374

Donc la différence

044;40)

est une fonction holomorphe entière.

Par ailleursz restant bornk en valeur absolue,

si nous faisons tendre l'ordonnéey vers-+=,

la fonction convergevers

0

. En effet, nous avons vu que la série st unifor-mément convergente dans la bande [=\ SA , et acun de ses

termes séparément tend vers 0 de sorte que notre conclusion,pour

$9

resulte du théorème 66'du chapitre II .

D'autre part la fonctionsinus.vérifie

l'équivalence

JI2

- tend aussi vers 0 dans les mêmes conditionsde sortequehzXj

Il en résulte que la différence % converge aussi vers 0 .

On peut donc, pour A donné, trouver un nombre B tel quela relation 1 JC 1 SA

,~y

I> Bentrafne

Comme par ailleurs dansfonction

le compact\

9

est bornée,labande/% GA.

on en déduit

riode 1,Mais comme elle est périodique et de pé-

complexe.

on en déduit qu'elle est bornée dans tout le plan

Le théorème de Liouville montre alors que c'est une cons-tante; et comme elle tend vers 0 lorsque,

pour=

fixévers l'infini,

tendelle est identiquement nulle. 99

tréComme on peut ensuite remplacer 5 par $-+,

la propriété suivante.on a démon-

Théorème 29

On a les identités

@ ,4;‘W

n2

,hm2 ? ;a



375

Prenons maintenant les primitives :

Corollaire 1 * .

@&4;+3)

x cq

sy 9

Démonstrationl 4Q

On a les identités

La série 2n-80

ne.

qui est au deuxième membre de la première

formule(VII,4;43)

converge en effet

(elle est nulle), et sa série dérivée-

dans ll&%& 'connexe; le théorème il1 du chapitr

Fe IV

MOUS apprend donc qu'elle converge elle-même lOCalement uni-formément dans &?, , et que sa somme est une primitive de

donc nc~ty~Tj-+

a

une constante près. Mais

ces deux fonctions sontnulle,s

à

pour la série; etYta+)

Jt$-l'origine (nousl'avons vu

-x

est impaire), donc ellessont identiques. Remarquons q e nous n'avons pas pris

n'im-

en prenant

nous aurions obtenu une série divergente. Nous avons prisles primitives 1

-VS

+ 2 , nulles& l'origine, de façon 8

avoir convergence en au moins un point, l'origine, et à pou-voir appliquer le théorème 111 du chapitre IV; mals alorsnous devions mettre de

côté le terme -+ , singulier à l'ori-

gine. Finalement le résultat obtenu est exactement conformeà la formule (VII, 4;

37)

avec ll/=I et au procédé indiquedans la note (*) de la page370.

+

Ces corollaires sont démontrés d'une autre manière dans lefascicule "Fonctions spéciales", p. 22 - 24.



Même méthode pour la deuxième formule (VII, 4, 43), tousles termes étant alors traités de la même manière, car

p

n'est plus un pôle; on a encore l'égalité des deux membres

à l'origine,où ils sont trivialement nuls.

Remarque

On écrit souvent, en groupant les termes n. et-T+ :

Sous aucune des formes (VII, 4; b3) ou (VII, 4; 44), iln'est immédiat que le deuxième membre soit périodique depériode 1. On le verra à titre d'exercice facile.

La fonction T catg 7t$

-

+ estholomorphc

pour 13 (< 4,

et donnée comme somme d'une skie de fonctions holomorpheslocalement uniformément convergente. Donc on sait qu'il y a

aussi convergence uniforme locale des séries dérivées (corol-laire 1 du théortme 15 de Weierstrass), et en particulierpassage à la limite pour les coefficients de Taylor à l'orl-

gine.

Le -k-%necoefficient de Taylor de X Cokg X'j - %corncide

donc avec la somme des -&&,coefficients de Taylor desfonctions

-P-.

Or on a'SCefliéveloppement

- 2q.g...:On en séduit la formule

déjà définies à la formule (II, 16; 4) du Chapitre II.



3. 78

Cor ol l ai r e 2

On a l e d&el oppement

I l suf f i t d' expr i mer l a f onct i on '

f onct i onc0

par l a f or mul e

- ëc7

Èi par t i r de l a

@ 4; 54)

e% 1

I

2

et d' ut i l i ser l es résul tat s ( VI I , 4; 43 et 46) _ On peut auss i

donner une démonst r at i on di r ect e, anal ogue aux pr écédent es.

1: s

Les nombr es r at i onnel sBp,

sont appel &s nombr es de Bernoul H

ont des apyl i cat l ons dans un cer t ai n nombr e de pr obl &mes

d anal yse ou d ar i t hmét i que.

Les pr em ers de ces nombr es sont donnés par l es f ormul es

Les f or mul es ( VI I , 4; 42, 43 et 51) peuvent êt r e consi dé-

r ées comme des sor t es de

"

des f onct i ons f i gur ant

décomposi t i ons en él ément s s i mpl es"

aux pr em ers membr es. Tout ef oi s

dans

l a dckomposi t i on en Gl ément s si mpl es d' une f r act i on r at i on-

pas f al r e f i gur er de t er me tel que

est m s I CI pour assur er l a conver gence.

* _On i nt r odui t ,

qui est l ~t i l e

assez ar t i f i ci el l ement i ci , un t er me

dans cer t ai nes appl i cat i ons.

( 2+ J >



p r o b lo i to s s

l s tu o é l

s o m m ee e sé s io iu lt h2

( m a i s' e sr è si f fu ee to

s a n t e

i l l es té a l

l

x n o

p r o b le o u sn e ur o~ h

l ' l n du r on b o

t i o n sn j o u ' u' en - o

a r b i tu d

o uo mo nm o

q u e l ls ta i m ee ' e

l - f o ro l ou r

o ne r

l o g i ee o u xa d i c hI

d é m o nu ' is ts o z j

o?J 9

e s

a p p e lw n re a u re i e

s é m e na i m eo me

u n eo t i oa g ué fn a t

p

o n o n s in ec o ul ga n s

l ' e n se e so i no my o e

l ' i n fs tu s c' ut re u

R i e m a g u ii a o us tn s

d e i e m a ; eu ’ o p p? e ec

e n k t h ép é cs tu se e

i n d i qc i .

n

2 ' )o n sa ie r e O

d e so n c tl x i se so né q

l e r o b li tn eo ln f i s

h o l o m t n eo né

a u o i s ie i l o T s n -

a u o i s ie ; ' ix in o

a u o

d

f l dt u eê

v r a io u ro u tÜ E. o ml o o

i n d é p,

L ,

e a n o

t i e n su io i v& eé i

s a e y

'

. i

e n c o Tn Ç m o

t ' er èf u

t i e n so n tu f fo wu ee r i

Q u e ls tl o re e g r' i ct

s i m p l

o u to n co ls n o

l a i r e u h h o2 )

a o ls éu

c o n s td d ir è

e s& st '

O n tt él é mu i èe ra I

P 5 E L .n e m au eo ue s- l

t i o ne o s st

9

e g' ~

p o u re so n c

l J o ne o 1

d e g r Ç' i n n eo e ul

d e u xr o b



avoIr qc? + R

de

R

R

pol ynôme; soi t C l e t erme const ant

- en émiv la condi t i on à l ' &Yni , on t r ouve

P_=S- G

ce qui dét er m ne R

Aucune condi t i on de possi bi l i t é,

a une const ant e pr es.

1 degr é d' i ndét er m nat i an.

soit { )+GI

un

ensembl e f ermé de poi nt s i sol és dec

et , pour chaque L , un ent i er +; 3 4

Le 2eme pr obl ème

de Cousi n consi st e . 4 t r ouver une

f onct i k

b val eur s compl exes,

ent i er - e sur @

ayant pour sér os l es poi nt s

i

avec

exact ement l es or dr es de mul t i pl i cl t és p; .

Théorème 30 de Wei er st r ass

Guel l es que soi ent l a sui t e des a; et l a sui t e des + ,

l e deuxi eme probl eme de Cousi n admet des sol ut i ons; on ob-

t i ent t out es l es sol ut i ons en mul t i Pl d. ant l ' une d' ent r e

el l es Par une f onct i on ar bi t r ai r e, ent i èr e et sans ser as,

c. a. d. de l a f or me e? , 4 f

arbi t r ai r e.

est une f onct i on ent i er e

Démonst r at l on

Soi t k une f onct i on méromorphe 5 val eur s compl exes dans

( l z>

ayant l es a;

omme

pôl es si mpl es avec l es r ési dus +I -

une tel l e f onct i on exi st e d' apr ès l e t héor eme 28 de M t t ag- '

Lef f l er . Soi t s0

un poi nt f i xe de a? di f f ér ent des LX; .

Consi dér ons l ' i nt Çgr al e h( j ) =

j 4) dX

Cal cul ée

*

sui vant un chem n C0 de l ongueur f i ni e évi t ant l es a, ,

al l ant de j e a ' j .

et

Tant que l e

un ouver t si mpl ement connexe f i de

n var i e en r est a% dans

~ {a; }_ i . I , l ' i nt egral e

ne var i e pas, et r epr esent

dans f i ( t héor ème 7 .Msi s

une pr i m t i ve k0 hol omorphe de R

{a~\ ; ~~ ui - mgme n' est pas sl mpl em

connexe, pui sque un cercl e Ent our ant

homot ope à sér o,

l ' un des a' n' est Pas

et l ' i nt égr al e pr écédent e a do&

une i nf i ni t e de val eur s possi bl es sui vant l e

a pr i or i ,

chem n choi si .

Mal s l a di f f Çr ence ent r e deux de ces val eur s est

de A( c) {

l ' l nt é r ai e

sui vant un ca- cycl e r de l ongueur f i ni e

Yche-

; ; i ef er me al l ant de 0 . & 3__) ; l e pl an ét ant si mpl ement con-

ce cycl e p est homot ope a 0 donc homol ogue a 0

dans' c ,

et on peut l ui appl i quer l e t heor ème 19 des r ési dus



383

cette intégrale est le produit de2sJt par une somme de résidusde -k

. Mais tous les résidus de & sont des entiers; doncla différence entre 2 valeurs de H en un point 3 est un

multiple entier de2i~

terminée. La fonction ek

donc eH(a) a une valeur bien de.-

ainsi définie est holomorphe et

sans zéros dans ; soit en effet 3, un point

de cet ouvert, et A un disque de centre 3, contenu danscet ouvert; pour 3 dans. A , on pourra choisir la détermi-

nation de H définie par H($I

= , où la première

intégrale est calculée suivant choisi une foispour toutes, et la deuxieme suivant un chemin contenu dansA;

commeA

est simplement connexe, cette secondei tegraleest une fonction holomorphe de /

l?

(primitive de 2, dansA

),

donc aussi la détermination cor espondante de H et parsuite eH est holomorphe et sans zéros. Sa valeur en $0

est1.

Considérons

est holomorphe

tions de Ht$)

maintenant un des points CL ; . On ah=--

4

h +k,ou$-a;

au voisinage de a; 0 Les diverses détermina-

peuvent s'écrirei

3 +1;?-a. + '-pc(s) d3

ou encore

est connexe,

une fonction est déterminée, dans cet-ouvert, a un facteur

constant près par sa dérivée logarithmique;t

est donc laseule fonction holomorphe de dérivée logarithtelle que

f<$,,= 4 -

ique &,et

Regardons de plus près sa forme, en utilisant la méthodede résolution de Mittag-Leffler pour la détermination de k .



Dét er m nons donc à par t i r d' un poi nt + Y= i 0 di f f ' ér ent

de t ous l es a; , , une ski e ( VI I , 4;

35 :

qui conver ge l ocal ement uni f oi mement dans l e compl ément ai r e

On vu que

Q est

m t i ve de ce pol bôme

un pol ynôme. Appel ons RC l ' uni que pr i -

qui soi t nul l e au poi nt $0 ; on a al or s

di r ect ement que nous avons l a un pr o-

. .

n voi t d' ai l l eurs

dui t i nf l ni , qui pr end l a val eur 1 au poi nt

ser i e dér i vee l ogar i t hm que

ver s a dans l ' ouver t connexe

ver ge l ui aussi l ocal ement uni f ormément dans l e même ouver t

d' apr ès l e t héor ème 112 du chapi t r e I V; et i l a évï demment

l es pr opr i ét és

demandées]

En génér al ,

l ' un, 0+ ,

on pr endr a$O=&= 0 ( s' i l se t r ouve que c' est

des poi nt s a;

cor r espondant a l ' or dr e di mul t i pl i ci t é de ce zér o,

on i sol er a d' abor d l e t er me 3

pO,

et on

s' occuper a ensui t e de t r ouver une f onct i on admet t ant l es

aut r es zéros avec l eur s or dr es de mul t i pl i ci t é donnés) .

f or me

I l est bi en évi dent que l e quot i ent de deux sol ut i ons

est une f onct i on ent i èr e sans Gr os ar bi t r ai r e; d' apr es

l e cor ol l ai r e 4 du t héor ème 10 , el l e est l ' exponent i el l e

d' une f oncti on ent i &r e ar bi t r ai r e.

Remar que 1

Le f ai t que ( I L?t ai t si mpl ement connexe a j oue un r ôl e

essent i el a un moment donné de l a démonst r at i on du t héoreme.

Soit fi

un ouver t de c ;

pr emer pr obl ème de Cousi n

on a vu ( r emarquel page 37l ) que l e

dans 0, .

avai t t ouj our s des sol ut i ons

On peut donc const r ui r e l a f onct i on #, , de l a dé-

monst r at i on pr écédent eQ Mai s al or s l a quant i t é H( j ) n' est



plus définie à un multiple entier près de Zir, parce quele théorème des résidus n'est applicable que si

T'

est homo-logue à 0 ce qui n'est sGr que si fi est simplement con-nexe. On dispose cependant d'une marge de manoeuvre,parce

que le choix de'/ L

n'est pas unique; on peut montrer que,pour un ouvert fi de c , le problème a toujours une solu-tion. Mais il n'en sera pas de même pour des surfaces deRiemann, même si le premier problème de Cousin a une solu-tion; nous verrons un exemple plus loin.

Remarque 2

On aurait pu chercher 7 à valeurs dans un Banach F

satisfaisant aux mêmes conditions. Mais c'est là une génk-

ralisation triviale; car il suffit de multiplier une fonc-tion

scalairs

ayant les zéros donnés par un vecteur fixe

non nul de F .

Remarque 3

Si, au lieu d'exiger que$

admette les zéros a; avec lesordres +; , on exige qu'elle ait au moins les zéros a; (maisd'autres éventuellement), d'ordres au moins 4; ,c,à.d. que,dans l'anneau des fonctions entières

Pi

'Tt'divlsible par

chaque

(3

- a;) , alors la fonction construite dans la dé-monstration repond encore A la ques et on obtient tou-tes les autres en la multipliant par une fonction entière

arbitraire (ayant ou non des zéros).

Cas particuliers importants

Supposons que la série cfion aura la solution suivant& a~

soit convergente, alors

@w; 59) pp = .T1- (4 - ai';

'

4=0

i

le produit écrit est en effet localement uniformément conver-gent dans le complémentaire des zéros, d'après le théorème70 du Chapitre II.

S'il n'est pas ainsi, mais si la sériez

convergente,

~4;60)



c' est en ef f et ce que donne l a méthode pr kédent e, compt e

t enu de ( VI I , 4; 37 .

+4

Si, pour t out , +L, , a~ ,\+,= + a2 , on aura une f ormul e

avec des hi t endant ver s l ' i nf i ni pour a+ t en-

.

Cor ol l ai r e 1

On a l a f ormul e

W , ~; 61)

oes pr odui t s I nf i ni s ét ant l ocal ement uni f or mÇment con-

ver gent s dans 1~

En ef f et , ' ? est l a seul e f onct i on hol omor phe de cl ki -

vee l ogar l t hm qke TT&

j 5

~3 - ?-

et val ant I a l ' or i gi ne;

i l suf f i t al ors d' appl i quer ( VI I , 4; 43) .

Remarque.

De même que, page 367, nous avons compar a l es dÇvel oppe-

ment s obt enus à des décomposl t i ons en @ ement si mpl es de

f r act i ons r at I onnel l es, nous pouvons compar er ( VI I , 4; Gl )

au devel oppement en pr odui t de f acteur s pr em ers d' un pol y-

n ô m eci encor e on ecri t T( ( , î - &) e% et non X( , ) - X) ,

pour assurer l a conver gence. D' aut r e par t , dans l e cas des

pol ynômes, i l ne r est ai t j amai s quI . un f act eur const ant ar -

bl t r ai r e, par ce qu' un pol ynôme sans

z os

est const ant

( d' Al ember t ) ; i ci i l r est e une f onct i on ent i ke sans z&c

ar bi t r aI r e, et i l est r emar quabl e qu' el l e soi t const ant e

pour l a f onct i on &.

Cor ol l ai r e 2

soi ent {a; j Lel

, {-bj}jcJ

, deux ensembl es r ' er&s

di sJ oi nt s de poi nt s i sol és de

c , et i , -

+L

a +qjJ CieUX

appl i cat i ons de 1, J dans l ' ensembl e des ent i er s > 0.



386

I nver sement sci t T une f onct i on sat i sf ai sant 2 ces condl -

t i ens ( pr em er pi - obl ème de Cousi n) ; al or s TX T&_ répond à

l a quest i on. I l est bi en évi dent qu' on obt i ent t out es l es

aut r es en l ui aj out ant une f onct i on ent i èr e nul l e en t ous

l es ai . 2. d. pr odui t de a par une f onct i on ent i èr e ai - bi -

t r 2i r e.

Exempl e

Cherchons une f onct i on pr enant l a val eur < au poi nt

7~e Z, avec Z

?I F0

- devr a avoI r l e r ési du zn au poi nt f l ;

comme l a sér l e

conver ge,

on pou- r a pr endr e

Remar que 1

N~US avi ons dgj à r ésol u l e probl ème pr écédent et même un

pr obl &me bi en pl us général dans l a r emarque 2 sui vant l e

t héorème 28.

Remar que 2

Si l es w sont en nombr e f i ni ,

d' i nt eFpol a< on de Lagr ange.

on r et r ouve l a f or mul e

Thécr ème 32 de Hadamar d

s o i tj

ne f onct i on ent i èr e sur U? à vzl eur s compl exes

et admet t ant une maj orat i on du t ype sui vant , pour 1 1

grand :

3

. Y44, UJ



390

Le t hbor ème de Hadamar d mont r e que, dès que l ' on connai t

l es zér os d' une f onct i on avec l eur or dr e de mul t i pl i ci t é,

avec en out r e une cer t ai ne condi t i on de croi ssance ( VI I , 4; 62

on connai t a t r es peu de chos

pr ès, l a î onct i on, pul squ' el l e

est det er m nee

f

5 un f act eur e pr+s, OÙ P est un pol ynôme

de degr é ch .

Supposons en par t i cul i er que l ' on ai t ( VI I , 4; $3) avec

f < l . Al or s on peut pr endr e k=O , et l e f act eur =? se r é-

dui t a une const ant e. C' est ce qui se passe si

$

est un pol y

nôme. D' ai l l eur s l e t hkxeme 32 cont i ent comme cas part i cu-

l i er une génér al i sat i on consi dér abl e du t hoor ème de d' Al ember

Cor ol l ai r e

si une f oncti on scal ai r e ent l èr e sui

uz admet l a maj or a-

t i on ( VI I , 4; 62) avec P <

h 4 , et

n' a pas de zér os, el l e

a l a f orme gr , ou P ' est un pol ynome de degr é h h ; en par -

t i cul i er , s i p < , el l e est constant e.

On peut encor e di r e qu' une f onct i on # vér i f l ant ( ~11. 4: 6

avec P d 1, et qui n' est pas un pol ynôme, a une i nf i ni t é de

zer os' ( car , si el l e n' en avai t qu' un nombr e f i ni , el l e ser ai

un nr odui t C q( I )on? un nol yn3me1,

donc auss i pr end

+

une i nf i ni t é de f oi s t out e val eur c ( en consi dér ant

Le r ésul t at ne subsi st e pas pour f ?>d

l ' exempl e de e? qui ne s' annul e j amai s:

comme l e

85 APPLI CATI ONSDUTHRORRMEDESRI %3I DUSAUCALCUL

D' I NTFGRALESDEFI NI ES

D' apr ès sa f ormul at i on meme, l e t héor eme 15 des r ési dus

per met de r amener l e cal cul de cer t ai nes i nt Çgr al es déf i ni es

dans l e pl an compl exe a des cal cul s de r ési dus, c' est - a- di r e

de coef f i ci ent s dans des dével oppement s l i m t és au voi si nage

de cer t ai ns poi nt s si ngul i er s.

Mai s en out r e beaucoup d' i n-

t égr al es sur l a dr oi t e r éel l e , ne f ai sant I nt er veni r a pr i o

aucune f onct i on de var i abl es compl exes, peuvent , par des mo-

di f i cat i ons convenabl es, se cal cul er de l a mer ne mani èr e.

C' est l e pl us pui ssant out i l pour cal cul er cer t ai nes i nt é-

gr al es déf i ni es pour l esquel l es l ' i nt égr al e i ndéf l ni es cor -

r espondant e n' est pas cal cul abl e.

Exempl e1

I nt égr al e de 0

a ' l , ? I ' une f r act i on r at i onnel l e des f onc

t i ons t r i gonomét r i ques.



Exempl e 2

soit K =

F

Q_

une fraction r at I onnel l e, P ci coef f i ci ent

dans un Banach F sur c ,

Q i coef f i ci ent s compl exes. Pr o-

posons- nous de cal cul er

7

R~. Cet t e l nt égr al e a un

sens si ,

d' une par t ,

n’a

pas de zér os r &el s, si , d' aut r e

par t , de3 Qa de9 F L ( l nt égr abi l i t é & l ' i nf I ni ) .

On peut consi dÇr er un cas un peu pl us général , en suppo-

sant que Q possède évent uel l ement cer t ai ns zéros réel s

d' or dr e 1: dans ce cas, pour chacun d' eux ,

l ' i nt égr al e en val eur pr i nci pal e de Cauchyt

, on cal cul er a

( Chapi t r e I V, page 656) ; on peut de

meme suppDse?i \ ent

que dyQ>dy F 1

. qui t t e a co; ; f dér er une val eur

pr i nci pal e de Cauchy à l ' I nf i ni , &, _

7

,

car -

Q

est l a som ne d' une f r act i on rat i onnel l e I mpai r e qui donner a0

7

et d' une f r act i on r at i onnel l e pai r e o

00

pour l aquel l e

&f

Q. > dq x z

pul sque l a di f f ér ence des degr és e

& 1 et pai r e. Fl nal emeAt ,

on cher cher a t cal cul er

On peut d' abor d cal cul er UP j _-

&&c par des mb-

t hodes pur ement r éel l es, en décomposant -

en él ément s sl m

a

pi es. La par t i e pol ynom al e est nul l e, t cause des condi t i ons

sur l es degr és. Donc :

W5; 7)

l es a;

ét ant l es zér os de Q (réels ou compl exes) .



393

Mais l'intégrale dm

(s--ai)*

est nulle dès que &Z,

C

car elle vaut

0 . Calculons donc

Soit d'abord %z a; > 0 . On peut intro-

et de dérivée

4 . Donc :

Le premier terme tend vers 0 pour A ini'ini parce queA

I l

a - i /

--A--a;tend vers 1, le second terme tend vers in . Avec un calcul

identique pour.%L

CL;,< 0(voir formule

(IV,g;llg)

) :, et évident pour %IX

a,=

0

d'où le résultat cherché

complexes,fonction

&y?

en variablesce qui est normal puisque les a;

sont complexes;par contre nous n'avons nullement utilisé d'intégrale curvi-

ligne dans le plan complexe, mais seulement une

intégrale d'une fonction & valeurs complexes ou dans un Ba-

nach complexe, sur w par rapport a la mesuredx

rentrantdans le cadre du chapiire IV sur 1'intégration;il n'i a pas eude résidu, et nous sommes passés par des primitives. Nous al-lons maintenant obtenir le même résultat par des intégrales

dans le plan complexe, calculées par résidus. Soit d'abord

sur ce demi-cercle, On peut donc



8A

ét ant parcour u dans l e sens de

A 2 -A .

Mai s al or

c=

[ - A ,A

s tn e

o u- o

e s teseudo- bor d d' une var i et é avec pseudo- bord, & savoi r

l e dem - di sque A

p;

15 \sA,Lk ao

. AA é tr i ent é

pa? uz? r A

est bi en t i paxc' ~r i r dans l e sens di r ect . Nous

avons $u au t héor ème général de St okes 38 du chapi t r e VI ,

que l a f or mul e de St okes ét ai t appl i cabl e dans ce cas ( exer -

ci ce 2O page 175 donc aussi l e t héorème des r ési dus 15.

L' i nt égr al e cor r espondant e est donc égal e & P, . LT f oi s l a

somme des r ési dus cor r espondant aux p6l es cont enus dans ce

dem - di sque ( pour vu qu' i l n' y ai t pas de pôl es sur ) . s i

A

e s ts s e

r and cet t e somme est i ndépendant e d

AA et

vaut l a somme des resi dus des pôl es cont enus dans l e dem -

pl an supér i eur 3~~1 j > 0 , s o i

a . - .

I l en r é s u l' ai l l eur s a p&st er i or i que l a f or me par t i cu-

l i èr e du cont our dans Q , à savoi r PA , ét ai t sans i mpor -

t ance, et que par exempl e n' i mport e quel cont our Ca , d

l o n g ui n int our ant une f oi s dans l e sens di r ect t ous

l es r ési dus de? dans l e dem - pl an supéi - l eur , donner ai t l e

même r esul t at . Mai s nous devi ons par t i r de

e t e b u ta r

o ut rs Qu

r A

Cn peut aussi ut i l i ser l ' aut r e d e m

v e r f ;= A ,A < Avg 5 < 0 , t ouj ours yar cour u de + A

, et on t r ouve cet t e f oi s,

~0mme 5

=~A,+A] u ri

est d p rcourir dans l e sens r ét ï - ogr ade, donc en sens i nVer Se

Les 3 i +sul t at s ( VI I , 5; l O, l 2 e t 3 )o i ge

l a o m m ee sé z i

o re é '

n u l i e

' apr : , s l e cor ol l ai r e du t héo&me l sbi s, et l e r ési du



p a rans l e sens di r ect , d

t héor ème des r ési dus

:

_

L' ut i l i sat i on de dem - 6er cl es

lnférl urs donner ai t

Les 3 r bsul t at s sont encor e 6gaFx,

puI sque l a somme des r ési -

dus est nul l e.

On vol t , dans ces f or mul es, que l e r ési du l ' i nf i ni ne

j oue

as un rôl e di f f ' ér ent des r Çsi dus des pôl es si t ués

sur

8.

On par t age en quel qu6 sor t e chacun de ces pôl es en



397

deux noitiés, affectées aux demi-plans supérleur et inférieur.

Un argument essentiel a été utilisé, dans tous ces raison-nements :

Le mme

Si, sur un secteur S d'un cercle de rayon R , une fonc-

tion g<fi est majorée en norme

iij5i,$;'s

I

.-

, alors

/I est majoré parp~k~~~~ ; il tend donc

vers 0 pour R infini siC%

> 1 .et tend vers 0 pour R ten-

dant vers 0 si C( < 4 .

Nous retrouverons souvent cette majoration évidente.

Nous pouvons résumer les résultats obtenus en un théorème :

Théorème 32

soit -5- - une fraction rationnelle d'une variable,? a

Qcoefficients dans un Banachr. Q a coefficients complexes,

les zéros CL,: de & étant non réels, ou réels d'ordre 1, et



398

Appl i quons l es r ésul t at s pr écédent s au cal cul de cer t ai ns

pr odui t s de convol ut l on l . Soi t t cal cul er '

OÙ G et . f ~ ne sont pas r éel s. Ces deux f onct i ons appar t i en-

r i ent a LZ

t i on cont i ni e

donc l eur pr odui t de convol ut i on est une f onc-

bornée, donnée pour t out es l es val eur s dex

par l a f or mul e 2 du f asci cul e Convol ut i on

l

*

Q5; ZOJ

1

c.z

,

1

dk

CC-O-

L

*=J__, t-u) x-t-hJ

Nous avons donc exact ement l ' i nt égr al e d' une f r act i on r at i on-

nel l e sur R .

El l e a pour p6l es t = a, t = a~- h

les r ési dus cor r espondant s sont

, et

La somme de ces rési dus est nul l e, comme i l se doi t , l e

r Çsi du a l ' I nf I n et ant nul . On obt i ent donc l es r ésul t at s

sui vant s

:

Theor ème 33

Pour a et 47 non r éel s, on a

:

* Nous supposons que l es f asci cul es Di st r l but l ons, Convo-

l ut i on, I nt égral e de Four i er , . . .

vi ennent & l e pr ésent

chapi t r e VI I dans l ' or dr e de l a r édact i on du Cour s. Donc

nous ne par l ons de l a convol ut l on qu' a t i t r e d' exempl e, et

on se persuadera ai sément que nous n' ut i l i serons pas cet t e

convol ut i on dans l e r est e du chapi t r e.

** Cet t e pr opr i ét é de l a convol ut i on, d' opér er cont I nuement

de cx Lx dans l ' espace des f onct i ons cont I nues bor nées,

n' a pas ét e démont r ée dans l e f asci cul e.



par appl i cat i on de ( VI I , 5; 22) , 2 des 4 pr odui t s bt ant 1~1s~

On r et r ouve bi en l a f or mul e 22 du f asci cul e " Convol ut l on" ;

donc :

Cor ol l ai r e 2

on a,

pour a et ?J r éel s > 0 :

@I , 5; 24)

d

4

8 1

L- Lt &

Tf x=+Lxz * FTFFF

A

z-

77

=cz+( l z+&) L*

Remarque - SI mai nt enant a est r éel 1

' TzYL

n' est pl us l o-

cal ement i n' cégr abl e,

et ne déf i ni t pas une di st r i but i on.

Cependant Ub&&

déf i ni t une di st r i but i on par l a f or mul e 55

du f asci cul e" ' Di str l but i ons' :

( q5; 25) <%7+ / a > j > = V+I j _; qLT 2

On peut al dr s se demander si i ' on peut donner un sens au pr o-

dui t de convol ut i on Y7+ & * t i j ==&&, pour LL r éel et &

non r éel ,

ou pour c& et 4 r éel s. Ce ne sont pl us des f onc-

t i ons de L' ( ni même des " f onct i ons" , au sens don& dans l a

t héor i e des di st r i but i ons, c' est - q- di r e l ocal ement i nt égr a-

bl es) ; d' aut r e par t aucune d' el l es n' a un suppor t compact .

Donc aucune des méthodes i ndi quées au f asci cul e " Convol ut i on"

ne per met de déf i ni r cet t e convol ut l on. I l exi st e cependant

de nombr euses mét hodes, qui t out es donnent l e

même résultat

1) Soi t a r éel et & non r éel . Soi t q une f onct i on dea

égal e i 1 au voi si nage de CL. On peut poser , par déf i nl t i on :

est a suppor t compact , et l e 2ème, noté *

, par ce que

d- q

A

(2)

z- ‘ 3, et =x- k

sont dans Lz .

I l r est e k mont r er que

l e r ésul t at est i ndépendant du choi x de M . Soi t donc f i

une f onct i on ayant l es mêmes pr opr i étés. Nous devons mont r er

que l a dl f f ér ence des deux expr essi ons cor r espondant es est

nul l e;

or el l e vaut

:

d-P

est

nul l e au voi sI nage de C& donc Zk& est dans- s.

X- L



402

SI -L~>O

, cel a donne, d' apr ès ( VI I , 5; 22)

0 + TT, c

( U) - =&- & =

i , J r

J C- &- & '

Où T( G) est l a t r ansl at ée par l a t r ansl at i on a , et , SI

Reste à voir

que l e r ésul t at al nsl t r ou& est l e mhe que

cel ui qui est

onné

par l a pr em èr e mÇt hode. Mai s , l or sque

k > 0 t end ver s 0 ,

N

,.x-L2_ + Lt,

t end ver s

q W?J~+~ -i,~&~,

dans &h' en gardant son suppor t dans un compact f i xe, donc

N

4

t end ver s

qv+- *

4

z- C%+66

*S=?T

=-a(l) a=--

-LT*

(

pr oposi t i ou

5

du f asci cul e ' Convol ut i on' ) .

D' aut r e par t

A- W

x- a+&&

,

t end ver s LLz dans

L ,

c*r

el l e converge ponct uel l ement ( et m@me uni f ormément ) et

est maj or Çe par une f onct i on f i xe de

L' ;

l a convol ut i on

6t ant cont l nue de

Lz x L’

dans l ' espace des f onct i ons con-

t i nues bor nées,

4- LY

*&

conver ge ver s

z- a. +LE

A- 4 1

. d_T unl f ormément sur n , donc dans

on a d% ?l a k?r nI t s Çt ant pr i se danss'

:



403

On peut opérer de même si a et&

sont tous les deuxréels. Par exemple on aura, par définition :

On peut donc compléter le théorème 33 par :

Corollaire3

Sia

est réel et -& non réel, on a :

si a etJ+

sont tous les deux réels :

En particulier

Remarque - Pour u réel et & non réel, le résultat cobcide

avec l'intégrale 21

dt donnée par(t-a) (=-~-W

le théorème32;

suivant le calcul fait dans la démonstrationdu théorème 33; si 01,

et&

sont tous deux réels,Il

en est

de meme dans l'ouvertc

Idi)

, où les deuxquantites

sont

nulles; mais cela n'était pas évident a priori, et celà ne

pouvait 'de toute façon pas donner le terme -

x26

(ace)



4c4

Dans l e t héor ème 32,

l e cal cul des r ési dus ét al t un out i l

commode, mai s pt i uvai t et r e évi t é;

o* Temayquer a même qu' i l

en f ai t pl us l ong que l a mét hode di r ect e. Mai s i l n' ét ai t

nul l ement nécessai r e de supposer qu' on avai t af ' l ~ai r e unef r act i on r at i onnel l e.

W3ur que

1’ODéPatiOn i éUSSiSSe.

Et

al or s on obt i ent f ax~ kment ~des cas OÙ l ' i nt égr al e ne peut

se cal cul er que par l a mét hode des r ési dus, ou des ast uces

anal ogues, mai s non di r ect ement , ’

est - k- di r e des ca. s où l ' on

r +m

peut cal cul er l ' i nt égr al e déf i nl e 1

al or s que l a pr i m -

f i = m

t i ve ou i nt éxr al e l ndéf i ni e

l

n’est pas cor nue. consi -

dér ons par exempl e l ' i nt égr al e ( de Four i er )

OÙ~ est encor - e une f r act i on r at I onnel l e, ayant des zér o

Q

n o é e l

u - S e

' or dr e 1, et

de9 Q 2 dy ? 1

. La

val eur pr i nci pal e a un sens pour t out pôl e r éel , l es condi -

t i ons i ndi quées au chapi t r e I V, t héor ème 101, ét ant t r i vi al e-

ment r éal i sées; pou7 x I nf i ni ;

l a val eur pr i nci pal e de Cauch

est nécessai r e si H = 0

mai s no* pour c+ 0 , 1’intGgrale

Gtant alors sem - conver geAt e,

t ant pour r x= + CU

que pour

m - m

p a re x i

' Abel ( cor ol l ai r e du t héor ?me

98 du chapi t r e I V) : ( ;

est var i at i on bor née G l ' i nf i ni

( car sa dér i vée, maj or ' ée en noTme par con& & .

est i nt égr a-

bl e t l ' i nf i ni ( voi r

) ) ,

et el l e t end ver s 0 &

n , g ;

I CI l e cal cul di r ect n' est pl us possi bl e. Ut i

sons l a mét hode des r ési dus,

avec l es dem - cer cl es supér i eur s

3n r epr endr a l e cont our r A, k

de l a page . L' i nt &al e.

sur un dem - cer cl e

r i , &

t end encor e ver s - ; r T- &

t

' Ut i N

a%

Q

8

p o u r

a même rai son. Quant 2 l ' i nt ésr al e SUI l e gr and dem -

cer cl e x*

: j?]=A,_kaj 2 0

,

el l e conver ge évi demment



405

, et, pour CC + 0 :

On aura donc la formule suivante, pouro(

>

0 ;

W,5;39) v+

nir de résidu a l'infini, contrairement au casa(=

0

.Re-

marquozs que +oo est alors un point singulier essentiel

pour 2LZ e”‘4

Q(J)

et non un pôle (ce qui ne l'empêche pas

d'avoir n résidu a l'infini). Mais on remarquera surtout

ceci: on ne peut pas, ~OU??~( >

0 , utiliser les demi-cerclesinférieurs, donc il n'y a pas a priori de formule du type

(v11, 5; 18) , ; en effet,

n'est plus borné,

surT1A) : I , I =A, kj G 0, e ' $

mais a croissance exponentielle, car

=

ew4'~9,Par contre, il reste vrai que la somme

des résidus de P(fJ

pqest nulle,

d%na) de (VII,5;3g)

en comptant le rési-

du a l'infini;mule du type

(v11, 5; 18)

on peut déduire une for-ce qui revient a appliquer à

7,

le théorème extérieur lgbis des résidus) :

=-2iT ;r, a;<0

* Nous avons appliqué ici une intégration par parties, etla formule de Stokes, triviale pour les degrés 0 et 1 :

j pAdF= Fj-A) -F +A).



406

-

a~.=0 &bai(ge?-2iTb_ (-geiqq

Qb

d' où, en pr enant l a moyenne ar i t hmÇt i que, une f ormul e du

t ype ( VI I , 5; 10)

:

-

i&_ & La; ( p$ ey- ix &.& pyq .

Tout +wspasse comme si , & cause du comport ement t i ' i nf i n

de ebqj

CL%5 < 0

pour N > 0, w devai t et r e compt é dans l a r égl on

, al ors qu' i l est compt é dans . %n = 0

Si N=O.

Si mai nt enant M < 0

. cm

devr a ut i l i ser l es dem - cer cl es

donc compt é comme

dans l e dem - pl an A_ > 0 . I l n' est pas

2

bunl r t out es ces f or mu es

:

Théor ème 34

-

si ce

ét ai t

I nut i l e de

7

LT

est une f r act i on r at i onnel l e sur UZ , P

val eur s

dans un Banach F , 0. à val eur s compl exes, 1eS r.&OS LL:

dS Q ét ant non Ael s, ou r éel s d' ordr e 1 et kQ>@F+ '

J

on a, pour x réel, l es f or mul es sul vant es, OI L &b est 1s

r Çsi du de _- k e

0 +:

Q j)



OLLJ-c(<o;

boul - o( =0

.



408

(le wmbole WI n’6tant n6cessaire que how

q=o ou 9rrLLL.c 0

I.

Corollaire 2

Pour cx IE? , on a



our &rba>O,

M>O

;

=- 2i x ( i d5lwcb

pour 3nxa<o, o(-co;

= 0pow

ZkTL

a etM

desicjw2

wi&.ak& 9

O U our c

=

0 .

.

Démonstration.-

De toute évidence, ces formules s'obtiennent

en dérivant sous le signeJ

, par rapport à CL, les formules

antérieures. Encore faut-il légitimer cette dérivation. Iln'y a pas ici de singularité a distance finie, puisque nousavons supposé

CL

92 IR. On remarquera alors que, si. l'on

avait une intégrale SU~ un intervalle borné, la dérivation

@&5;46)

dx

serait triviale, en vertu du corollaire du théorème 115 duchapitre IV. On peut alors faire tendre A et B vers l'infi-ni; la parenthèse du premier membre, et le deuxième membrede (VII,5;46) convergent respectivement

i

-

e lw z

et d-=-,

-00

(x

- cq2

uniformément lorsque a décrit un compact de la région% +O,

la première ii cause du théorème d'Abel, la deuxième plus 4s m-plement par convergence absolue; alors le théorème 111 du cha-pitre IV affirme que la deuxième l i mi te est bien la dérivéepar rapport à & de la première; et de même pour les dérivationssuivantes, la convergence absolue étant alors valable pourtoutes. Ce que nous venons de faire là est d'ailleurs slmple-

ment l'application du théorème 117 du chapitre IV.



410

on pour r a1t aussi ut i 1i ser l a f or mul e

d 4

I

=- -

et i nt ggr er ( VI

k

i - - j

x- a

( x . - W

5;44 par

par t l es( d' abor d sur un i nt er val l e

bor n6, pui s sur

par passage a l a l i m t e, ce qui r evl ent

& appl i quer l e t h&r &me

98

du chapi t r e I V) .

Enf i n on nour r ai t aussi d6monWer dl r ectement l es f ormul es

( VI I , 5; 45) comme on a dknont r 6 ( VI I , 5; 44) en appl i quant l es

f or mul es ( VI I , 5; 43) . Tous ces Asul t at s sent en r el at i on

6vl dent e avec i . es- f or mul es de d&r i vat i on d' i mages de Four i er

( f asci cul e :

I nt kgr al es de Four i er , f or mul e

68 .

Remaraue - Si mai nt enant . on a . Q cal cul erv j _J _+=+$+qx&,

m

on pour r a soLt ut l l i ser di r ect ement l e t hkor &m

34,

soi t

dkomposer 2 en 616ment s si mpl es et ut i l l ser l es cor ol l aI -

r es 1 et 2.

a

Cor ol l ai r e 3

On a, pour d > 0 , A r 6el

:

@5;47

( done,

pour A r &l

:

ti4x

m,S;4~bi5

e

, + z

11 suf f i t en ef f et d' appl i quer ( VI I , 5; 43) ot i o( est rem

pl ac6 par Zr f A ,

et de f ai r e successi vement~>O, ~<O, ~=O.

En f ai t , une f ol s qu' on a l e r 6sul t at pour A > 0

, Qn r e-

marque qu' i l est chang6 en son compl exe con. l ugu6 par change-

ment de 3 en- A

done i nvar i ant pui squ' i l est r 6el . et

qu' i l est cont l nu & A au poi nt A=

0

par appl i cat i on &vi -

dent e du t hkr &me de conver gence de Lebesgue, de sor t e qu' on

a l e r 6sul t at pour t out A .

On pour r ai t aussi &Ar e

et appl l quer l e cor ol l ai -

l ndl qu6 sar i s demonst r a-

( * ) , et qu' i l est

ause. cal cu16 dans l e f asci cul e ' I nt &gr al e de Four i er w,

f or mul e ( 110) .

l

La f or mul e ( 1~, 11; 5o) _es~~~r r on6e, i l f aut l i r e Ze

- l x1

et non Xe



411

Corollaire 4

On a (théorème 118 du chapitre IV) :

@p;Se)

Démonstration

Remarque.- En cours de démonstration, on doit utiliser unQb

pour la singularité à l'origine, alors que ce n'était pas '

nécessaire avec l'intégrale donnee.

Dans les conditions du théorème 34, on peut définir une

Elle est visiblement tempérde, puisqu'elle est, a l'infini,une fonction-tendant vers 0 . Donc elle a une image de

Fourier. Sip n'a pas de pôles réels,

c'est une foktion intégrable surR ,

et sidPgQàdk?jP+Z,

et son image de Fourier

est la fonction continue bornée

@5,5;51) ,

qui est donc facile à calculer par le thdorème 34. C'est ceque nous venons de faire au corollaire 3.

Mals si d tx jQzdtx jP .1 , elle n'est plus intCgrab2,

Pet si elle a des pôles réels, c'est une distributionuf-Q

et non plus une fonction; on peut quand même espérer ralson-

nablement que son image de Fourier est la fonction définiepar

P”

p (& em mr~~~

- .’

J-~

Q( x)

PC-OIT- tnnt A_

ar>r>elons

SA

la distribution définie par-w.-

,

--cc -

@U,5;52) <s* ,cp>=u;p-- .



4 1 2

~ l l es tu p po m - A , A ] o o

F o u r is to n na ra o r1 u a

d e o u r i

o r s q

d a n s& L

t e n de r s' i? Ae v

, a r ,o u rJ& . ,

D o n e( v +

s ta l me A

o

( g t a nn ep e ri no e

n o n e

, &

l a i m l tt a nr i se ni a o o

p a r e no n vo u

n fe +

p o u ri # O

a . - c u

e n e r tu h e' pe

e t o u r

( vol r pai es et

0 n a lr

) . e l ,' ol

c o n v es tn l fo uA 0 =

n ' e s ta sn i fu o le , us

+ -

1 1 s t .a c ie o i ru ea i f'

j

c

v+ ,

J

-

q u io n ee n de r s o u n f

x

o u o

b o r n en d ee ,

ur A 3

P

v e r so u r

n f ia n

2 :

. 0> 0 , donct end

E n f f eo u r+ =l ea s= t vp

p u i s q o n vt ' aa m

p u i s q' e sn n s ee e su i

T ( X )

- =

. - ,

Q( x) cc

+ + ) >T wI

c c o

* gi +R

c o n vr ea re o

e t e s t eo r nl o r

k V =

o e

l e h e o re o n v

c o n v ei e ne r s

a n

J , .o ,



413

ce qui montre bien

On a donc bien

notre affirmation.

le second membre étant une fonction deA

, continuepour 2 + 0 ; la formule (VII,5;43) montre bien qu'elle peutêtre discontinue pour J=O , mais elle est en tout cas bor-née pour 2 réel.

On peut donc énoncer :

Théorème 35.

L'image de Fourier de la distribution 21

-P

p,,

dans les

conditions du théorème 34, est la distribution définie par

une fonction bornée, continue dans, et donnee pour

;1+

0 par l'intégrale

PU;581

'(') = *+

calculée dans ce théorème +

* Puisqu'on s'intéressea

Ca 'comme distribution, son

calcul pour j\=

0 est ici sans intéret.



414

Cor ol l ai r e

L' i mageoz; yu; ; r d; t ~t ~$ e; I r l ; YTt l on de n egal e

a+ J C P P .

I 1 suf f i t en ef f et d' appl i quer l e cor ol l ai r e 1 du t hee-

r &me 34,

poura=O, q=- 2Tr A.

On sal t que,

dans des condi t i ons convenaul es l a t r ansf or -

mat i on de Four i er t r ansf or me l a convol ut i on en mul t i pl i ca-

t i on. La f or mul e ( VI I , 5; 36) peut al or s se dedui r e du p&c&-

dent cor ol l ai r e, pui sque ( 2 ~J T) ' = - 2

. Mal s ce cas ne

r ent r e pas dans ceux 9

ul ont et e si gnal es au f asci cul e

' I nt egr al e de Four i er ' ,

pul sque mgme l e pr odui t de convol u-

t l on U+I & * t i p - - n' est pas or t hodoxe. Di sons seul ement

que cet t e concor dze est . une const at at i on agr eabl e ( on est

heur eux qu' une f or mul e r est e val abl e dans des condi t i ons di f -

f er ent es de cel l es qul sent of f l ci el l ement si gnal ees dans un

t heor eme ) , qui pr ouve l e bi en- f ond6 de not r e def i ni t i on

de v+$ H+& ,

ou qui encor e f our ni t une aut r e def i -

nl t i on donnant l e mgme r esul t at . .

Exempl e J _. -

I nt egr al es de 0 a + w sur l a dr oi t e.

Cer t ai nes i nt egr al es de 0 a +- se r amenent t r i vl al ement

a des i nt egr al es

sur

w pour des r ai sons de par i t e

:

- dm 4

Ce n>st e+ demment pas cel a que nous ent endons i ci . Mai s

soi t R - -

Q

une f r act i on r at l onnel l e, w un nombr e com

pl exe, et consi der ons l ' i nt egr al e

de sor t e que 1 a un sens si on suppose



415

OleO >-

1 (intégrabilité L l'origine) et q+dtgT; - dyQ

<- (intégrabilité à l'infini).

Considérons l'intégrale

tour suivant 7~ e :>

sur le con-

La

La

La

La

le

la

partie (1) est le segment LE + i&,

A+~L]

partie (2) est le segmentL.4

-

1&, E -

d65-J

partie (3) est l'arc de cercle 15 I= //m 8e4 d A

partie (4) est l'arc de cercle 15 I= 6

&,& . $ 4 & ;

sens de parcours est indiqué par les flèches (sens direct).

La fonction à intégrer

fonction multiforme $'= e

Q<Arg

<

27-r

; cette fonction

5

est ainsi holo-

morphe dans le plan complexe privé de la demi-droite R + ,

et par suite x($)3' y est méromorphe.

On a les majorations suivantes. Pour14 1

tendant vers 0



L' i nt kgr al e sur ( 1) t end pr Gci si &ment ver s 1' l nt Ggr al e I

que nous cher chons A cal eul er . En ef f et el l e peut s' kcr i r e

Or

l a f onct i on ~4 nt 6gr er co*ver ge en t out poi nt ver s

X( zc) & .

Nous devons mont r er qu' el l e est maj orge par

une f onct l on 30

f i xe i nt kgr abl e, de sor t e que l e t h&r &me

de conver gence de Lebesgue pr owera not r e af f i r mat i on. Or

i l exi st %&, , >O

, A0 > o

t el s que,

our 2

+AO, SE..,

on ait 11R (cc + i ) 11sz OM I./X+~E~~?‘~~‘~ wnk~~~~-*~

et que, pour x 6

A0 , E 6 b. ,

1

EC

zG+i )

1

t emps, pour %a& , on a x, 6

qui est i nt kgr abl e

et f i ew+

dg?-ciyQ ~-4 ; cbm

l ' i nt egr al e sur ( 1) t end bi en ver I

Consi dbr ons mai nt enant 1' i nt Ggr al e sul vant ( 2) . El l e S' &Cr



On peut concl ure par l e t heoreme :

Theor eme

?

~ K_~ est une f r act i on r at i onnel l e d' une var I abl eA

a n8l eS a6

non r eel s 2 0 , W un nombr e compl exe non ent i er

t el que RALY > - I et ~?, cw+dq P- d&a Q < - d, a. ~or s on a

:

Cor ol l ai r e

On a l a " f or mul e des compl ement s" pour l es f onct i ons eu-

l er i ennes:

P&S; 641

r ( $J r ( l - +

AA$

Demonst r at i on.

On mont r e, dans l e f asci cul e ' Fonct i ons eul er l ennes" ,

page 6. que

C' est une i nt egr al e du t ype pr ecedent ,

avec =5-‘l,R(z)- ,

- 1, et son res i du est ( - 4) 3- 2 f ? i ' ( j - " ,

e seul pal e est

d' ot i l e resul t at

2bre

m( -*l

A-e

Zht(~-il

pour

o<@

eonque, sol t par

ant i - per odi ques

z i .

On obt i ent l e r esul t at pour 3 quel -

un argument de per I odI cI t ( l es 2 membr es sent

d' ant i per i ode 1 ) soi t par , pr ol ongement ana-

_

l yt l que ( l es 2 membres sent meromorphes en 3 , 11s ne peuvent

col nci der pour 0 x 6?&5 ~1 sar i s coI nci der par t out ) .

La demonst r at i on donnee I CI est exact ement cel l e qui eSt

don&e au f ascl cul e ' Fonct i ons eul er l ennesw, page 6-8.



P o u rnt i er et

7TLCO

, on en dGdui t

ThGor me 37

Dans l es condi t i ons du t hhorkme 36, mal s pour q ent i er

on a :

1 est dkr i vabl e en

( M ent i er ou

non) . En ef f et une

f ormel l e donne

@u, 5; 74)

c .



422

Pour l e vol r , nous devons ~ont r er que l a di f f er ence

e<. -

@ i , 5j BO)

i nt egrabl e a l ' l nf i ni , c' est - a- di re s l C&O y 0 ( l ' i nt egrabi

l i t & 6 l ' or i g1ne donne t ouj our s l a m&se condi t i on &. &q > 0 J .

Pr enons par exempl e 0 G 0 < 3

.

di f f er ence ( v11, 5; 80) s' &r l C a%ssi

Dans ces condi t i ons, l a

f I A

, aqeA \

AJ out ons un t r aj et sur l e sect eur ci r cul al r e

1 ar gument 0 & l ' ar gument 6

15j=A de

ci rcul ai re 1 1 = c

et un tr aj et sur l e sect eur

de l ' ar i ument 6 & l ' ar gument 0 .

aj out ons l a des i nt Gg; al es qui t endent ver s 0

NOU

ver s l ' i nf i n~~s&

ver s 0 ,

par con&. e

A&X- 4

sur l e gr and cer cl e

sur l e pet l t . La di f f er ence est done l a l i m t e de

est l e cont our mar que sur l a f i gur e :

&-

A

Or ce cont our est l e pseudo- bar d or i ent & d' une var l et e DA t

or i ent &e avec pseudo- bar d, qui est l a r egi on hachur ee or &t ee

par Q ; nous sommes dans un cas d' appl i cat l on du t hdor &me de

St okes ( t heor eme gener al 38 du chapi t r e I V, exer ci ce 2' page

175) , done de l a l er e f or mul e i nt egr al e f ondament al e de Cauch

Or l a f onct i on t l nt egr er yst bi en hol omor phe da

un ouver t cont enant DA, &

, A savol r 1 ouver t - +<A~. 5~< , ~+~.

est nul l e,

ce qui demont r e bi en l ' dgal i t e de

et de ( VI I , 5; 79) . On a done

:



F , na i se e mv e nt

a n a l ov e ch a ne n

'e c

b i n a n

oq5;85

O n e u tl l el uo in e u oe i

g r a l en f f e

o u t' uo mo '

a ' i n fa rb e lx iM 4 t '

&

' o r iu ix i g? k a l a 2

i n t k g. n e n s. ' om eo d

f i n a lo u r L WI .

l le

h o l o me

a n se ta nu G e

H o u se i g n

q u e r ae h & r1 5u h gV o t

1 1 7u h a pV o ua i mo

c

1 1 n s te & w eo w( t

q=o

e p

d e a i sn 6 1 'u l n

o nn o gq

c e se u xo n co Xo u i

l

d e n t

a n so u te t ta no n

T h k o r6

O n e so r mV Ia k 0<

l a k m eo u r R

@ <

C o r o l

x

z -

z



425

Démonstration

En faisantO(S

0

dans la 2ème formule (~11,5;85) on obtien

(F(N)

/.%WL

F)*=*;

mais, pourO(

tendant vers0,7(d)

d

-$-,

.ocx

NX

et4S,w%rN-,

z

d'où la valeur g .

Les formules de la 2ème ligne s'obtiennent en faisant o(=-$

dans (~11,5;83 et 85) et en tenant compte de r ($)=fi

(formule 15 du fascicule "Fonctions eulériennes"). La 3èmeligne se déduit de la 2ème par le changement de variable

x=

k?Ces formules s'appellent formules de Fresnel (utilisées enthéorie de la diffraction). Voir chapitre IV,

fO??mUleS

(IV,g;llObis

et 113).

Q FONCTIONS ELLIPTIQUESPaul LEVY).

(Photographie du cours de M.

Q COMPLfiMENTS DE TOPOLOGIE GfiNl lRALE THdORf2MES

D’ASCOLI ET DE MONTEL

II~ ll~l ll~ll~~~~~~~~~~~ll

Au chapitre II, nous avons d'abord introduit les espacesmétriques, puis les espaces topologiques. Tout espace métrique

est topologique, mais sa structure métrique est plus riche quesa seule structure topologique, et permet de considérer d'autrespropriétés ou problémes (suites de CAUCHY et espaces complets,ensembles bornés, applications uniformément continues, etc...).Un espace topologique dont la topologie peut être définie parune métrique est métrisable; les différentes métriques

définis,

sant sa topologie sont dites <'écuivalent&'ZI mais ne sont pas?ldentiques', et par exemple l'espace peut etre complet pour cer-taines d'entre elles et pas pour d'autres.

D'autre part il y a des topologies non métrisables.

On peut étendre considérablement la notion d'espace métriqu

On appelle semi-distance (ou écart) sur un ensembleE

uneapplication d

deE

X

E dans la demi-droite réelle > OR,,ayant les propriétés suivantes :



Par cont r e on peut avol r d a,y) = 0

mGme pour 2 +

Y,

11 ne ser al t gu&r e i nt &essant de consl d&er un ensembl e

muni d' une seul e sem - di st ance; 11 serai t t opol ogl que non &pa-

r 6 ( c' est t out ef oi s l e cas de l ' espace dp , Chapl t r e I V, page

5051.

d' une

On appel l e al ors espace sem - mkt r l que un ensembl e E muni

f am l l e( di ieI de sem - di st ances( ot i l ' ensembl e d' i n-

di ces I est de pui ssance quel conque) v&i . f i ant l a condi t i on sui

vant e :

( VI I , 7; l bl s) La f am l l e d;)ieI

est" f i l t r ant e", aut r ement di t

pour t out e par t i e f i ni e . Y de I

. 11

exi st e 4 ~1 t el quetd~ d~

0

pour tout

a

on appel l e sem - boul e ouver t e Bi O( @ ~) ( r esp. f er m6eBat a. R) )

de cent r eae E, de r ayon R >

o

d' i r i di cei E I

=dcE t el s que d;(ap) c R ( r e&. &R) .

, l ' ensembl e de

Un espace sem - mht r i que est al ors muni d' une topol ogl e, d&

f i nl e comms sui t

: une par t i e ( 9 de E est di t e ouver t e si , t ou

t es l es f oi s qu' el l e cont l ent un poi nt

,

el l e cont i ent une sem -

boul e l ' ayant pour cent r e, aut r ement dl t si :

( VI I , 7; 2) va, C @ , 2i ~1

et 6 > o t el s que Bi ( u, &) c &.

On v6r i f i e que l es axi omes ( 11, 2; 1) des ouver t s sent bl en

sat i sf ai t s .

Le seul qui ne soi t pas compl &t ement t r i vi al est l ' axi omeb)

de l ' i nt ersect i on f i ni e

:

t out e i nt er sect i on f l ni e d' ouver t s

est un ouver t . Soi ent en ef f et 6, , vL , . . . , un , des ouver t s,

et @ l eur i nt ersect i on. Soi t a 6 F

.

11 exl st e al or s des f n

di ces i , , i , % , . , , i %

et des nombres E

, ~~, . . , , &~>a

, t el s que

t el s que chaque sem - boul e B; ~

>

Lx, eq J

,

sol t dans

( Yv , 9 = , L, *. . , n .

Sl al or s 4 est un i ndi ce t el que d, &



428

et l ocal ement compact ce qui Gt ai t i nut i l e pour ce seul r Gsul

2)

Invei-sement

supposons que E

soi t un espace topo1ogi

que ayant cet t e pi - opr i &G. A t out e f onct i on cont i nue j '

sur E

3. va1eur s 2 0 , f ai sons cor r espondr e l a f onct i on SI T E x E:

C' est mani f est ement une sem - di st an

En f ai sant var i er r , on obt i ent une f am l l e de sem - di s

t ances, done une st r uct ur e sem - m6t r i que. Or cet t e st r uct ur e

def i ni t une t opol ogi e %

t opo1og1e i ni t i al e %

*mont r ons qu' el l e n' est aut r e que l a

&l ef f et l es sem - boul es ouvwt es

B

(a, ~)

Po&%

f erment un' syst &ne

f Andarnent a1 de vci si nages de L

; mai s,

chaque r 4t ant cont i nue pour l a t opol ogi e $

ces sem - boul es sent des ouver t s done des voi si nages de d po

l a t opo1ogi . e % done t out $' - voi s l nage de d est un ‘ G- voi s

nage. I nwsemen~, si n est un voi si nage ouver t de a pow l

i l exi st e une y qui est > 0 en U et nul l e da

, al oFs ' l a sem - boul e By (a,~_L L) , ensembl e desx v6

tenue

dans f i ,

dans % et $1,

qui est done un voi si nage de a pout % Ai n

t out poi nt a l es m6mes voi si nages, done on a

bl en % = % ,

c.q.f.d .

Remar que

En f ai t , ce t h4orgme ne donne pas un wi t &e t el l ement p

t i que pour r econn&t ' t r e qu' un espace est sem - m@ r i sabl e. Quoi

qu' l l en soi t , ~ 11 est vr ai que beaucoup d' espaces ut i l es en

anal yse ne son' cpas m6t r l sabl es, pr esque t ous sent sem - mGt r i

sabl es;

on dkmont r e que t out espace compact ou l ocal ement com

pact est sem - mgt r i sabl e *

Soi ent E et F deux espaces sem - m@ r i ques, dent l es f a

m l l es de sem - di st ances sont ( d; jiGI

et 8j )jej. . T.J ne

*

Appar emment ,

pour l e vol r , 11 suf f i r ai t pr ki s@ment d' ap-

pl i quer l e l emme 1 du t h6orgme 11 du cha i t r e I V, qui mont r e

que l es condi t i ons du prksent t h&or&me 3 g

sent sat i s f al t es .

Mai s nous awns adm s ce l emme dans l e cas g6n&al , et ne l ' a

vans d6mont r 6 que pour l e cas mht r i que ou sem - m6t r i que



429

application%

deE

dansr

est alors continue (notion pure-ment topologi ue) si :

Mais en outre on pourra dire qu'elle est uniformementcontinue (ce qu'on ne peut pas faire avec seulement des struc-tures topologiques) si :

Théorème 39. Toute application continue d'un compactsemi-

métriqueE

dans un semi-métrique F est uniformément continue.

Démonstration

C'est l'extension aux espaces semi-métriques du théorème31 du chapitre II. Mais la démonstration donnée alors ne s'é-tend pas, puisqu'elle était basée sur WEIERSTRASS-BOLZANO, cequi supposait l'espace métrisable; donnons en une nouvelle,qui bien entendu est aussi valable pour le cas particulier mé-trique.

Supposons donc que ce ne soit pas vrai, et montrons quenous aboutissons à une contradiction.

Il

existe donc uni

EI

et tout7

>o

, i

E

J et un &

> o tels que, pour toutil

vérifiantexiste un

couple(s',z= )c

E x E

Fixons ainsi,,s

et&

. Pour tout i et tout3

l'ensem-

vérifiant(VII,?;4

bi~&$e'%l$s/jd~~kj~

SokEcontinues),

et non vide,) ést

fermésur le com-

pact Ex E .

Comme la famille des semi-distances est filtrante, touteintersection finie des E. contient encore un tel ensemble, doncest non vide. Donc

l'lnt&%ection

de tous lesEs

v

est non vide.

Si(~',z")

est dans l'intersection, on a, pour toutI

E 1,3~ )~

0

, donc, E étantséparé,J;'=

si ;

et cependantce qui est bien contradictoire.



On di r a qu' une appl i Fs. t i on

si enne sl , quel que sol t

J f

J~J >

de E dans F est l i pschi t -

11 exl st e i E I et & >o t el .

que, quel s que soi ent xl , xn~E , on ai t

Une appl i cat i on l i pscht si enne est uni f or mement cont i nue.

l~~~~~~l ~~~~~~~~~il~l~~~~~~~l~~~~~~~~~~~~~l

Dew st r uct ures sem - met r l ques sur un meme ensembl e

sent di t es equl val ent es

gi e,

c. &. d.

si el ks def i ni ssent l a mGme t opol o-

si 1' appl I eat i on i dent i que de E

de ces deux st r uct ur es, dans E

, muni de chacune

muni de l ' aut r e, est cont i nue.

On dl r a qu' el l es sont uni f or mement equl val ent eg, ou encor e

qu' el l es dgf i nl ssent l a mgme st r uct ur e uni f or me sur E

l ' appl i cat i on i dent i que de E ,

3 s i

muni de chacune de ces deux

st r uct ur es, dans E munl de l ' aut r e,

est unl f ormement cont i nue

Deux st r uct ur es sem - metr i ques uni f ormbment Gqui val ent es sent

a f or t i or i equl val ent es.

On di t enf l n que deux st r uct ur es sem - met r i ques sent

Li pschi t s- hqui val ent es,

chi t zi enne,

ou d6f i nI ssent l a mgme st r uct ur e l i ps-

si l ' appl i cat i on i dent i que de E

de ces st r uct ur es, dans E munl de l ' aut r e,

, mni de chacune

est l i pschi t s i enne

Deux st r uctur es Li pschi t s- equi val ent es sent a f or t i or i uni f or -

mement dqui val ent es. Par exempl e,

sem - di st ances de E

sl on aj out e a l a f am l l e de

sommes d' un nombr e f &i

t out es l es bor nes sup&l eur es ou l es

d' ent r e el l es

LI pschi t s- equl val ent e.

, on obt l ent une st r uct ur

Les appl i cat i ons cont i nues ( r esp. uni f or mement cont i nues,

r esp.

l l pschi t sl ennes) de E dans F ne changent pas quand on

r empl ace l es st r uct ur es sem - m6t r i ques de E et F

st r uct ur es equi val ent es ( r esp.

par des

Li pschi t s- equi val ent es) .

uni f ormGment equi val ent es, r esp

pi E est un espace t opol ogi que compact ; nous avons vu

( r emarque sui vant l e t hdoreme 38 qu' i l est suscept i bl e de st r

t ur es sem- mdt r i ques; t out es sent uni f or mement dqul val ent es

d' apr es l e t hdor eme 39, aut r ement di t un espace t opol ogi que co

pact a une st r uct ur e uni f or me uni que.

On peut nat ur el l ement se pr oposer de dGf I nl r une st r uct ur

undf or me de mani &r e pl us g&ks. l e sar i s passer par l es st r uct ur

sem - mdt r i ques,

cornme on l ' a d6j a f’ lt pour l esst r uct ur es topo

l ogi ques. On pr ocede comme sui t . Une st r uct ur e uni f orme sur un



On ne per d done r i en 2 ne consi d4r er que l es st r uct ur es uni f or -

t r i es gf i ni es & par t i r de st r uct ur es sem - m&t r i ques.

Ouant a. ux st r uct ur es l i pschi t zi ennes, i l ne sembl e pa i n-

r br essant de l es dkf i ni r sar i s pa. . sseF ar des sem - di st ances.

Si E et F sent des espaces sem - met r i ques, on peut met t r e

sw E x F di ver ses st i - uct ur es sem - m~t r i ques, sui vant l e pr oce -

dG i ndi qu6 au chapi t r e I I , page 63; el ks sent t out es Li pschi t z-

Gqui val ent es.

Les f ' onct i ons di st ances

d

sent al oes l i pschi t -

zi ennes E x E dansR+.

l~~~~~,~i~‘~~,~~~~,~l l’ig &$$l~~ ti~M~~~~~ ~‘~d&N k:

%it E un espace sem - met r i que.

Les sui t es conver gent es ne d4pendent que de sa t cpcl cgi e.

Une sui t e YS~, ~, , , . . . , X~, . . .

' Gl f ?ment s de E conver ge ver sa, ~K,

que1s que so1ent i EI

et E>o

, i l exi ste un ent i er

: : i

d; cc,_a)ce

+

‘ Gel

poLr = bj l , .

Mai s on peut en out r e d@ i ni r des sui t es de Cauchy, ce qui

n' est pas possi bl e avec seul ement une st r uct ur e

l a sui t e ZC~ est de Cauchy si , quel que soi t ~~~t ~~~ ( "~~, e~~~

conver ge ver s 0 pour mx et 31 i nf i ni s, ou encor e si

:

0%7; 5)

Vi eI

, V&>O, 3/ 4i : ( wj 3,

ma+ ===+d; zm,x,,a)

Les sui t es de Cauchy ne changent pas si on r empl ace l a

st r uct ur e par une uni f or mhment 6qui val ent . e ( mai s el l es peuvent

changer si on l a r empkce par une kqui val ent e) . On peut d' al l -

l eur s dkf i ni r di r ect ement l es sui t es de Cauchy avec l es ent ou-

yages de l a st r uct ur e uni f or me. La sui t e%_ est de Cauchy si ,

pour t out ent our age % , i l exi st e +>O t el que, pour 3~ a, +

et TL>

l ? '

on ai t \ X~, Txz~) ~ VJ .

L' espace sem - mkt r i que E

est di t sGquent i el l ement compl et

Nous di sons ' &quent i el l ement compl et " et non "compl et " , pke

( ou sem - cor n l et ) si t out e sui t e de Cauchy est conver gent e

que, comme on peut s' en dout er , quand on sor t des espaces mgt r i -

ques,

l a consi der at i on des sui t es n' est pl us suf f i sant e. 11

exl st e une not i on d' espace compl et , pl us f or t e, dent nous ne

payl er ons pas i ci , et qui cokci de avec cel l e d' espace sGquen-

t i el l ement compl et dans l e cas des espaces mkt r i ques ou uni f or -

mGment kqui val ent s & un espace mkt r i ~ue.



433

Théorème 40

Soit E un espace semi-métrique, défini par un nombre finiou une infinité dénombrabled, , d , P”’ d

m/7'.'

de semi-distances.

Il existe alors une structure métrique sur E , uniformémentéquivalente à celle-là. En particulier l'espace topologique Eest métrisable.

Démonstration

Tout d'abord, remarquons que la famille de semi-distances

d,,d,+ d, d,+d,+ -. .d,,.-

est uniformément équivalente a

la famille donnée. On peut donc supposer, sans rien changer auproblème, que la famille de semi-distances est croissante :

d, 3 d,-, pour tout n .

Ensuite, si on remplace chaque d,,

par &, = kJ(d%,j)

,c.a.d.

on a encore une famille uniformément équivalente; on peut doncencore supposer qu'on a une suite croissante de distances

6,$1.

Posons alors :

Ce maximum existe bien, car, pour oc etdes g,i5~1)) tend vers

0

pour n infini.G

E , la suiteIl e1t bien évident

2”

que s est une semi-distance; c'est même une distance, S i

=+y,

il existe 7~ tel que s,(Jc,y)>O à cause del'hyz%kse

de séparation, donc~(?c,Y)>o.

Montrons que la structure métrique définie par est uni-formément équivalente.& la structure donnée.

Soient d'abord neN, et &>O l Alors trivialement 6 4 s

1

Soit maintenant & >0

. Il existe 5 tel que -2-

se;



434

a1ors

Em<

i mpl i que- $ FS&,

pour i S= par ce que

LS

b-

2:

- ++, et pour i an Pamequet y; s . j et

ZL

CL<&.

TF . 2n

Done l es deux st r uct ur es ( 8nj nem et 6 se

bl en uni f ' or mement equl val ent es.

El l es sent a f or t i or i equi va-

l ent es, done l a st r uct ur e t opol ogl que def i ni e par l a pr em er e

est bi en met r i sabl e, c. q. f . d.

Remar que

Par cont r e, l a man1er . e mk?medent nous avons

f orme&B$, ( d

mont r e que l a st r uct ur e met r i que obt enue n' est pas en g&e

a?

Li pschi t s- equi val ent e a l a st r uctur e i nl t i al e.

~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~

Unensembl eA d' un espace sem - met r i que E est di t born

si , pour t out i <I ,

11 es% cont enu cl ans une sem - boul e r ei at

a l a sem - di st ance d;

Cet t e not i on ne depend que de l a st r u

t ur e l l pschi t si enne;

mai s un ensembl e peut gt r e bor ne pour un

sem - met r l que et non borne pour une aut r e uni f ormement equi va

l ent e. Par exempl e,

si nous r epr enons l a demonst r at i on du t he

r &me 39, l es st r uct ur es (dm weN

et ( 6, , . ) , , eXft=~ji4,~)

n' ont pas l es memes ensembl es bor nes, et , pour l a 2&me, l ' es-

pace ent l er est bor ne.

Les f onct i ons di st ances &ant cont i nues, l ' adher ence d' u

par t i e bor nee est encor e bor nee.

Nous axons dej a def i ni l a not i on de sem - nor me d' un esp

vector i el E

el l e est a l a not i on de nor me ce qu' est

cel l e

de- sem - di st ance a cel l e de di st ance. C' est une f onct l onp s

E

, a val eur s dansR+, ayant l es pr opr i et es sui vant es

:

lo)

Sem - posl t i vl t e

: +(GJ)>o ; f(T)= 0

@KX' b~~)

i

2 ) Tr ansf or mat i on par l es homothet i es

- 12

1 +Jw

, 2

scal ai re;

: (AZ)

3' ) I n&al i t 6 de convexi t e

: ~(Z+qj<~(Fq+p~L

Un espace vect or i el E est dl t sem - nor m6 s' i l est

d' une f am l l e de sem - nor mes( +; ) ; eL ( qu' on not er a aussl f l

bi en que souvent l a not at i on 11

mes) ,

1

sol t r eser vee pour des n

ayant l a pr opr i et e de f i l t r at i on :



” ”

our

z. u' une appl i cat i on l i neai r e LL de E dans 7 soi t

cont i nue, I I f at et i l suf f i L qu' el l z l e soi t a l ' or i gi ne, et

el l e est al or s uni f cr mement ccnt i nue et meme l i pschi t zi enne.

Pour qu' i l en s , At ai ns i , i l f aut et i l s&f i t que, *cw t out

i ndi ce 1 de J i l exi st e un i ndi ce L de 1 et une copst zn-

t e

&a 0 t el l es que i ' on ai t



Exempl e 1.

t opol ogi e de l a conver gence si mpl e

Soi t E un ensembl ? quel conque, F un espacg sem - mht r i que,

de sem - di st ances 6j , i e J . NOUS avons appel 6

F

l ' ensembl e

de t out es l es appl i cat i ons de

. Al ors , sur

FEx

F ' ,

l a f oncti on 5.

t l =

d6f i ni e par

( &q) _= gj ( Y/ W> 9

k4),j~J,d,

est une sem - di st ance. Lor sque

et = var i ent , l a f am l l e de

ces sem - di st ances n' est pas f i

aussi pr endr ons nous

aussi l es bor nes suphi eur es

W yj‘llJ

pour t out es l es par t i es f i ni es

A

de

E

On dhf ni t ai nsi une

st r uct ur e sem - mGt r I que, done t opol ogi que, sur F

st r uct ur e - sem - m&r i que de l a conver gence si mpl e. En ef et , une

* . On f ' appel l e

sui t e

d' appl i cat i ons de E dans r conver ge ver s une appl i -

cat i on*4 ,

au sens de cet t e t opol ogi e, si et seul ement si ,

pour t out e par t i e f i ni e

A

de

E

et t out j de J , 8i , A ( dm t )

conver ge ver s 9 , ou encor e si et seul ement si , pour t out z

de

E

et t out 4 de J , L?~, = $_, &) conver ge ver s 0 , ce qui

r evi ent & di r e que, pour t out zc

C=c

conver ge ver s/ ( x) ,

ou que &

converge si mpl ement

On r emar quer a cl ue l es voi si nages d' un poi nt , dans cet t e

t opol ogi e,

sont "hormes'

,

aut r ement di t que cet t e t opol ogi e est

t r &s f ai bl e et que l a Fonver gence y est f aci l e ( conver gence

si mpl e ) ; en ef f et s i

k

+J et si A est une par t i e f i ni e de E

l a sem - boul eB. , A ( j , ~) est l ' ensembl e des appl i cat i ons

3

deE'

dans F

r e~~es qE; r v&&l ent f j ( ~~~) T$~~) ) pour zc A et sont arbi -

P A

La t opol ogi e pr&Gdente ne d6pend hi demment que de l a t o-

pol ogi e de F et non de sa sem - mbt r i que; en ef f et , un syst hme

f cndament al de voi si nages de 4~ FE peut &r e dhf i ni par l es

ensembl es



440

. 5i E n' est PaS dGnombr abl e, l a t opol ogi e pi nsi d6f i ni e

SLrCE n est

PaS meLr i sabl e; pan exempl e, 3' et # ne Sent pas

met r i sabl es. En ef f et , on pat voi r que t out e kter sect i on de-

nombr abl e de voi si nages de 0 cont i ent un SouS- eSpace vect or i el

de di mensi on i nf i ni es ( En ef f et , soi t A0 , A

3 .

n ...ne

Soi t l a Sui t e deS t , , > 0

, I

cont i ent l ' ensembl e ?%A des f onct i on

compl exes SW E $ui &nt nul l es SW l a ?, Guni on

A

deS A

et arbi t rai reS ai l l eurs;

br abl e,

A Gt ant d&nombrabl e et E

non

d&&n:

ni e

%A est un SouS- eSpace vect or i el de aZE de di mensi on i nf

0~ dans t out espace m&t r i que, t out poi nt

voi S; nageS

a we Sui t e de

dent l ' i nt ei - sect i on cSt r 6dui t e & ce poi nt ,

l es boul es de payon $ l ' ayant pour cent r e.

& Savoi r

si mai nt enant

E est

denombrabl e, cE

t u au t h6or hme 4Gc et de m$me FE

est m6t r i sabl e en ve

Si l a St r uct ur e de ' T est . d

f i ni epx une i nf ' i ni t 6 d&ombr akl e' de sem - di St anceS) .

n' est n6anmoi ns pa?, normabl e, Si E

i . f ai S l

n' est PaS f i ni *

En ef f et , t out voi si nage de 0

cont i ent un SCI US- eSpace e

t cri el de di mensi on i nf i ni e la sem - boul e B&( 0, ~) cont i ent

l e SouS- eSpace %A deS f onct i ons $

arbi t rai res

cwi Sent nul l es sur

A

et

ai l l ews. Comme A

eSt f i ni et E

non f i ni XAest

un Sous- eSpace vect or i el de cE de di mensi on i nf i ni e) .

Or dans t out eSpace vect or i el nor m6, l ' or i gi ne a un voI Si -

nage o. ui ne cont i ent aucun SouS- espace vect or i el non r &dui t &

i o\ '

. 3. avoi r l a boul e uni t e.

Ai nsi un eSpace vect or i el t opol ogi qw Sem - nor m6 pat $t r e

m&t r i Sabl e mai s non nor mabl e. Cel a n' est pas et onnant ; une noTm

eSt une di St ance d' une nzt ui - e i x&s pai - t i cul i +r e. Par t onS d' une

Sui t e de Sem - normes p, . , qu' on peut Supposer ci - oi ssant e comme

danS l a d6monst r at i on du t heorkme 4C.

Si l ' on Sui t l a dGmonst . r at i on de ce t h&or gme,

on est amen6

2 PoSer q_ zInf + , I) , Pui S q = &y($) , et l a di st an-

,

ce

L

def i ni e SW E

eSt 8<z. =, y) = q( x- 2) . &i s 4 n' est

p s

*

Si E

a n

6l Gment S, 6ZE est i somor phe & cn

, done noi - mab



442

qui ne dependent que de l a st r uct ur e uni f orme de F *

Cn

peut d' ai l l eur s def i ni r di r ect ement l a st r uct ur e uni f or ke deFE

& par t i r de cel l e de F

: ‘U C F E

E

ser a un ent our age s' i l

exi st e un ent our age I hc

F

ent rahz ( j , , j ) cv.

t e 1u ~

Exempl e 3. ( Topol ogi e de l a conver gence compact e)

Soi t mai nt enant E

un espace t opol ogi que, F

sem - mGt r i que de sem - di st ances 6,

+J .

un espace

j

Consi dgr ons l ' espa

cze

( F E ) c

es appl i cat i oys cont i nues de E Pour t out

compact

K

e E et t out j e J , l a f oncti ond$$, i e. par

est f i ni e, car t out e f onct i on cont i nue sur un compact a un max

mut n, et el k est une sem - di st ance sur ( FEJc

de l a conver gence uni f orm = sur t out compact

pact e:

, ou conver gence co

l a t opol ogi e cor r espondant e ne dkpend%e de l a t opol ogi

de

E t

e l a. st r uct ur e uni f or me * F . Si

F

space

vect or i el t opol ogi que sem - nor m6, ( FE) G est aussi un espace Ge

t or i el topoiogique sem - nor m6, de semi-normes

@ 5 7 ; 4

1+ i e a1- t1

P a rx m p

6Ks~~~ ; @ des' f onct i ons compl exes cont i

nues sur E aur a l es semi-normeg

l i en ent endu,

on per d ai nsi t out e possi bi l i t 6 d' hudi er l e

par t i es bor n&s; et , si

sur p vect or i el ,

6; sent d6f i ni es t par t i r de sem - nor m

per d l a r el at i on avec

( t . d) n' ont pl us cet t e pr opr i &G, on

st

Akt ur e vector i el l e



444

des appl i cat i ons c- de J - l dans F

, et lui mecLre la famille

de sem - nor me 111 ~~~~Kpo r ow l es TTL ent i er s 3 0 et t ou

l es

compact s K de , Q . '

COmme a est t ouj ours r f hni @n dhom

br abl e de compact s ( s' i l est

bor ne,

on peut pr endr e l a sui t e

des

K,,= {xc& ~j dtz, [a) a+ ] ;

si non, l a sui t e des

KV ={~~~jd(~,~~~~~,d(~,~)~~~~~es espaces vecto-

r i el s sem - nor mes sent met r i sabl es,

mai s non nor mabl es. si

al ors, pour un compact

K

de& , *ous appel ons3i n( a)

( A&. %~S+( W ) 1

e sous- espace de

8n( &) ( ~W ~. ' k' ( ~) ) des

f onct i ons a suppor t dans K ,

on peut l e muni r de l a t opol o-

gi e i ndui t e.

est aussi i ndui t e par l a nor me

est t r i vi al ement f er me

i l est aussi n Banach. Par cont r e aK ( a)

est sem - nor me met r i sabl e, mai s on peut . mont r er qu' i l est

non normabl e ( ce n' est pas evi dent ; l a demonst r at i on de

l ' exempl e 1 n' est pl us val abl e, car l es 11 ] I

des normes s r aK ( a) ,

TL, K

sent

et ne boul e ne cont i ent aucun

que sui vant l e cor ol l ai r e

soi t ,

on sal t qu' on appel l e di st r i but i on sur f i a val eur s

dans l e Banach F ,

une

appl i cat i on l i neai r e de 9 cf i )

dans F

, dent l es r est r i ct i ons a chaq esN( f i ) sent cont i -

uSS:

pui sque SK( a) est met r i sabl e, l a cont i nui t e expr i me

si mpl ement ( t heoreme 16 du chapi t r e I I ) que, POUT t oUt e sui t e

q. de f onct i ons deg, <( f i ) , conver geant ver s 0

1

,

c' es t -

a- di r e conver geant unl f ormement ver s 0 sur K , ai nsi que

chacune de l eur s der i vees,

l esT( 0.)

conver gent ver s

0

dans

F.

1

Exemple 5 -

( Espaces de f onct i ons hol omor phes)

57%

Boi t enf i n J l , n ouver t de ca , done de R 0r-1 & -

fin it Les espaces %w(.Cl;71, 43 (0 ; 7) en enwid se”-



446

done conver gent ver s une l i m t e

Al or s l es

&

con-

est bi en s6quent l el l emen

2) Soi t $, , une sui t e de Cauchy de ( FE) &

convergence

uni f or me) . D' apr es l ) , l es %

une l i m t e

4.

conver gent si mpl ement ver s

Mai s en out r e, pour

t e un ent i er / J t el que m >+, n >+

done, pour t out zc de E,

tj C~,_(x),j,,(x,))~ & ;

en passant a

l a l i m t e pour - i nf i ni ,

cicmc 6; (j,{,, 1 <E ;

on en dedui t i j ( fx)> - _(m))<&,

done l es 4% conver gent uni f or mement

vers

4

, pour TL l nf i ni . En out r e,

9 I

lit6 ci - dessus mont r e que

est aussi bor nee,

et

&

~ 4% et ant bo; z; : ; e; yg$- ,

conver ge ver s . $ dans ( FE) & , qui est bi en sequen-

t i el l ement compl et .

3) soi t &.

une sui t e de Cauchy dans ( FE) = ( conver genc

uni f or me sur t out compact ) . Al or s

ver gent si mpl ement ver s une l l m t e

mont r e que l es & con-

.

Ensul t e 2) , appl i que

k un compact K de E au l i eu de E l ui - mgme, mont r e que l es

% conver gent uni f ormement ver s d sur K ; l e t heor eme

6

du chapi t r e I I ( demont r e pour F met r i que mai s evi demment

; r i i pour F sem - met r l que) mont r e que l a r est r l ct i on de Y/

est cont i nue. Comme t out poi nt de E a un voi si nage

l ement compl et .

4) soi t

&

une sui t e de Cauchy dans &m f i ; ?) F Ba-

nach.

Pour m = 0 ,

3) r c2nt r e l e r esul t at . Mai s, si m+d,

et si 1 t c 1 < m , l es DP J n f er ment aussi une sui t e ds

Cauchy dans( F&) c, done COnVergent, uni f or m$snt SUr t out

compact del i ,

SUM .Q ti va-

leurs

dans F

ver s une f onct i on cont i nue - +

; l e cozol l ai r e 1 du theor eme 111 du zhapi ; ?

I v mont r e al ors que $ es- t de cl asse >= , et qE&, ==B 3

_j E -bm(_Q

; F) et l es . j ?m conver -

; ?) qui est bi en sequent i el l ement



Exemple 2 - Dans l'espace (FE ),,, des fonctions bornées

sur l'ensemble E

9 valeurs dans l'espace vectoriel semi-

normé F‘ ,B est borné si et seulement si l'ensemble des

T;$ = f E

, i'

-tB est. borné dans F (On dit encore quesont bornées dans leur ensemble sur E ). En

rm-tl'u:l:r, dans (6)~ , B est borné si et seulement si

SypjGBI ,/ (5x) -est fini.T E E

Exemple 3 - Dans l'espace <iE )c des applications con-

tinues de l'espace topologique E dans l'espace vectoriel

semi-normé F , B est borné si et seulement si, pour tout

compact K deE

, l'ensembledesfir)LxtK,ycB,est

borné dans F (On dit encore que les$

EB dont bornéesdans leur ensemble SUT> tout compact K de E ). En parti-

culier, dans ( CE), , B est borné SI et seulement si. pour

tout compact K de E’ ZéK“:+

I+(=)I

est fini; ou

encore SI, pour tout compact K , Il existe M, 3 0 telque

m,7;18)

I+i=) kMK pu-

XEK

> +B.

Exemple 4 - Dans +(a ;F), FBanach, B est borné21 et

seulement si, pour tout compact lt de JL

=:K

est flnl;

ou encore si. pour tout K

~&$~ Ip (zc) 1

, il e;l&'MK >Otel que

Pç7i19)

DP &II G

M, , 'pour ~CE K , j~)j<-~n, j-e B

Dans l'espace &(,;F)c @(fin;?), B est borné SI et

seulement si, pour

tout compact K de iiz et tout entier

m bo

zEK,,;F~,lcB I(D? T(X) \ est fini,

0

more9

Si,

pour tout K et tout m , il existe M

K)m

30 tel que

jT$,?;igbis)

1 DP&) 11 G M+ four TEK,\ )I e=,&B.

Exemple 5 - %(iL;7)

étant un sous-espace vect0?2iel

topologique de 4*(sL ;F') OU de & CG. ,T') , on est ramené



450

Par exemple,.et si,

si les+? ET sont toutes lipschitziennes,

pour tout E 1

même constante 4 1,, il existe un même L E 1 et une

0 tels que Lj (,P<S')alors 3; est uniforméne

(sf'))<kd;(dZi )

on dira mêméquicontinu:pt

qu'il est équillpschitzien. Ainsi, si E et-F-sont des espaces vectoriels normés, l'ensemble

des&f&(E;F)

tels que (I&L /I c M (boule de rayon M dans&(Ë; 7) ) est

équilipschitzierr (on aIl CG(%)- L(T) 1-g M 12-5 1 ) donc

uniformément équicontinu SU~E . S~E e t F sont semi-

normGs, TCJ(Ë;F)est équicontinu si et seulement s'ilest équicontinu a l'origine, et alors 9 est équilipschitziendonc uniformément équicontinu; pour qu'il en soit ainsi, il

tout j E J , il existe i.$I et

théorème 42).pour touteu ~S(généralisation du

Soient E et F des espaces affines normés,& un ouvertde E , et 3 un ensemble d applications dérivables de CL

dans F ,

+) E

tellesque les normes 1 $'<r-) 1 des dérivées

& ( E ; F ) soient toutes bornées par un même nombreM&O,

pourrez etqE.9 . Alors 9 est équicontinu.

En effet, la formule des accroissements finis montre que

II {(xv)- {ix': CM 1 Jcll- I pour toute $ E fi , pourvuque tout le segment[z',zc"] soit dansa . si donc CLE fiet si E > 0 est donné, il suffira d'appeleg‘& une boule dé

tout point CL de.f'L

>

il existe in voisina e ouvert W dea'Iet unenFbre M> O tels que 1 on ait\j'(r) 1 < M PoursEW

et le resultat subsiste, car il suffira de prendrela a contenue dans W .

En particulier, en revenant h ce que nous avons dit desensembles bornés dans 1'eXemple 4. POUr ?n='i , et compte

tenu de ce que, dans l'exemple 5, les ensembles bornés sont

les mêmes que dans 4, on voit que toute partie bornée de

%'(.fln;F) ou de %(a;->

est un ensemble équicontinu

d'applications defi dans F .

Théorème 44 (ler théorème d'llscoli)

Soient E un espace toDologique et F un espace semi-

métrique. Soit 3 un ensemble d'applications de E dansF .



452

1)

Si "ne suite de f'onctions

converge localement uniformémentv

continues au point a

une l i mi t e

sairement continue aussi a" pointacontinues au point

a,

.

soient eneffet

j E J et E > o . En vertu de laconvergence unlforme locale, on peut trouver un voisinage%, de a dans E et un entier + 3 0 tel que??&+,rt ti,

.Mais ensuite les fonctions

sont continues a" pointde a tel que Y 6 u,

ce qui prouve bien l'équicontinulté de l'ensemble desau point a.

#

,~

2) Inversement, nous Ver>rons a" corollaire 1 du théo-

reme suivant que, si E est localement compact, toute suite

de fonction, équicontinue surE

tout entier et simplementconvergente, est l ocal ement uniformément convergente.

Ainsl.

si les fonctions en,

sont continues sur E

localement compact et convergent simplement versset% équivalent de supposer qu'elles convergent

$ ,il

1 calement

uniformément ou qu'elles sont également continuessurE

; etdans chacun des cas, leur limites'il est vrai que le thécrème 65 au ChZ~i~Z PZE Y~i~Sécé-dent théorème sont ainsi théoriquement équivalents, ilsdonnent, dans la pratique, deux critères tr6s dllf'érentspour reconnaître que la limite

est continue.

Corollaire 2 -

On a des énoncés analogues avec l'équiconti-

nuit.6 sur E tout entier, ou l'équicontinuité uniforme siE

est aussi semi-metrique.

Théorème45

(Sème théorème d'Ascoli)

Soient E un espace topologique et F un espace semi-

métrique. Surunensemble équicontinu fi d'applications de E



Corollaire 1 - Si une suite de fonctionsegalement

contlnues

,~ surE

ti vaLeurs dans F converge vers une fonction conti-

7

convergent vers etunlformé-

ment sur tout compact de E . En effet, l'ensembleg

des Jn

et de est equicontinu sur E ,théorè e.

et il suffit d'appliquer le

Notons que. pour appliquer le théorème dans la démons-tration de ce corollaire, nous devons considérer l'ensemi>le

Mais supposons que nous sachions seulement

pour tout% de E, dense, les;;e';;yist;,$(z)

;

$ est continue s

(r) convergent versd'après le théorème

st

peut-être pasprolongeable

en une fonctioncon-

tihe

sur E ; alors la conclusion ne subsiste pas, et nous ne

pouvons pas affirmer que les1%

(Y)

convergent enc,pre vers

une limite en tout point 3c de E y

Il

y a cependant deux casou la conclusion subsiste. D'abord si

E,-E

puisqu'alors,comme nous venons de le voir

*$et le corollaire 1 s'applique.est sûrement continue surE,

D'autre part, si F est sé-

quentiellement complet, ou, plus généralement, si, pour toutCC de E , l'ensemble ~(X>=($,,(Z) ; 1% E @J} est contenudans une partie

séquentiellemen

complète de F. En effet,pour-m- et IL infinis, A, finie c E, , l i ,Ae($,,$n)

tend vers0 , donc aussi pour toute partie

finie A de E

'&A(&

14,')

d'après l'identité des structures uniformesinduites par

‘E

F et F CO sur .F

; donc. pour toutz

de E,(XS) forment une suite de Cauchy, donc convergentfait l'hypothèse précédente, et de nouveau la limite

est continue surE

et on peut appliquer le corollaire 1.Donc :

Corollaire 2 - Si lesAl

sontépalement

continues et conver-

gent simplement vers#

x

E ,$

est continue et la conver-gence est uniforme sur tout vomuact.



455

Corollaire2

-

Si une suite équicontinue d'applications4

1

d'un espace topologique E dans un espacesemi-métrique

F

converge vers une limite en tout point d'un sous-ensemble

dense E, de E , et si, pour toutx

de E , l’ensemble

G= w

;-PJ)

est contenu dans une partie sé-

quentiellement complète deF

, alors la suitef

en tout point de E , la limite est continuesuTE

converge

, et la

convergence est uniforme sur tout compact de E .

NOUS avons donné au chapitre IV le théorème de Baire etle théorème de Banach-Steinhaus; nous allons leur apporterici quelques compléments.

On appelle espace de Baire un espace topologique E oùtoute intersection dénombrable d'ouverts denses est encoredense. En passant aux complémentaires, cela revient ti direque toute réunion dénombrable de fermés sans

interieur

estencore sant intérieur. Le lemme du théorème 65 du chapitre IVrevient Ù dire que tout espace métrique complet est un espacede Baire. Il faut noter qu il y a là un mélange d'une proprié-té purement topologique, le fait d'être un espace de Baire,

et d'une propriété liée ii une structure métrique.Il

est doncplus juste de dire : si un espace topologique E est tel quesa topologie puisse être définie par une métrique pour la-quelle il est complet, il est de Baire. Par exemple, siE

est un espace semi-métrique, a infinité dénombrable de semi-

distances, et complet, il est de Eaire; car, d'après le théo-rème 40, sa structure est uniformément équivalente à unestructure métrique, pour laquelle il est encore complet puis-que les suites de Cauchy, ne dépendant que de la structureuniforme, sont les mêmes. Tout espace de Banach est de Baire.

Les espaces(

FE jc , pour F

semi-métrique ci infinité dénom-

brable desemi-distances

et complet, etE

réuniondénombra-

ble de compacta; our F semi-normé

a infinité

dénombrable desemi-normes

et complet,dans les mêmes conditions, sont de Baire. On démontre

aU;Si ’

mais nous ne l'utiliserons pas, que tout espace localementcompact, est de Baire. Par contre, le corps

(Iz

des rationnels,pour la topologie induite par R , n'est pas de Baire,

puis-

qu

'il est réunion dénombrable de fermés sans intérieur, ré-



duits chacun a un point; uneSPaCe

vectoriel normé non complen'est

en général pas de Baire. (Considérons par exemple l'es-pace E = C [o , ) , et muni de la norme induite par

oc'( CO,13 ,dLc ) * . Il n'est alors pas complet, puisqu'il

est densedan&'

; montrons qu'il n'est pas de Balre. Appe-

lonsB

la boule unité relativeir

la norme habituelle de

C[c,i]( j

{ /I

=O'~~,i

j(z) 1 )

SoitË

son adhérence dans

(donc pour la topologie &' ). c

omme de toute suite convergen-

te dans &' on peut extraire une suite partielle &-presque

Partout convergente (théorème 38 du chapitreIv),Ë

est en-tièrement composée de fonctions &-presque partout bornées

en module par 1, donc partout puisque continues,doncBE

B

B est fermée dans E . Mais elle n'a pas d'intérieur, carSI

elle contenait la coule (pour la norme ii' ) de centre

j E c pv] et de rayon R , l'inégalité 1' (4-3 1 & < R

devrait entrainer $x,

f(z) [ 5 1

, ce q;i est absurde. De

même, pour tout entiern,

nBest

fermé dans E sans intérieur.Cependant, du fait que B est la boule unité de

C

rO,i]

pour sa norme habituelle, la réunion desnB est l‘>espace

C

Io,I]tout entier, donc E n'est pas de Baire (pour la

norme 4 )

).

Soit E un espace de Baire. Une partie A CE est ditmaigre si elle est contenue dans une réunion dénombrablede parties fermées sans intérieur. Une réunlon dénombrablede parties maigres est encore maigre. Le lait que l'espacesoit de Baire exprime que toute partie maigre est sans inté-rieur. Au contraire, dans un espace qui n'est pas de Baire,une partie maigre peut être l'espace entier, et la notionest sans intérêt. On pourra dire qu'une propriété

p

relativea des points de E est j3

-

presque partout vérifiée (Best

l'initiale de Baire) si l'ensemble des points de E où elle

n'est pas vérifiée est maitgre. Les ensembles maigres sontune catégorie d'ensembles négligeables", analogue a celledes ensembles de mesure nulle relativement à une

meSUre>O.

Mais c'est une notion purement topologique, sans rapportavec une théorie de la mesure.(D'ailleurs E sera le Plussouvent un espace de Banach, non localement compact, donc nepouvant pas porter de mesures de

Radon).

Le B- presque par-

* oc'

est seulement semi-normé, et non séparé; mais sa semi-

norme induit surc

une norme, car Une fonction continueh-presque partout nulle est partout nulle.



Démonstration

- Pour

simplifier,

s"pposonsF semi-norme,

de

semi-normesqd,

j EJ .

POU~

#E~N

,

soit

Aj,sp l e sous

ensemble

de Edéfini ~arAd,~={~~Ë;V~,qj(u,(r))~k).Les~~

étant continues, A 4 est

fermé.

par

ailleurs.

SI,

b?

en

un

point

'3~

,

les an

(on,ont ne limite, ils sont bor-

nes,

et

donc,

pour

tout

j

,

z

est dans la réunionAà= Aà,&

SI donc, pour a moins un i , tous les A. {0

b>

sont d'in érieu

vide,

A. est maigre,

t

et l'eventualité 1) est réal'sée : pour

s

$A,

A’

c'est-a-dire pourB- presque tout z ., la suite

des WR(z) n'est pas convergente ni même bornée. Sinon, cela

veut

dire

que, pour

tout

a

'

Il existe

un4

te1queA.k

ait

d>

un intérieur non vide; mais, si A.

dj

est

un

voisinage

de 2

A+4

l est un

voisinage

de a* ;

mals

A,

91 -x11

est

con

tenu

dans

Aj,%k ,

car, pour

tout

n

E

m et tout

F E

A.

+-a

on a ~cb WR(Z+Z))

G

4, qj (%, (2)) 6

k,

donc-q, (an

(r)) 6

'A ;

donc

*a,,&

est encore un voisinage de 0

. Alors, pour

tout

# EJ et tout

& 2=

0

,

11 existe

un

voisinage

e A.

2

ettoutn

e 0 dans

E tel que, pour

tout 2

de

&

Aj>d

on a it qd ( uu, (3~)) d &, donc

les a,, sont

équicontinues

t

l'origine, donc

partout

puisque

linéaires.

Le

corollaire

3

du théorème

45 entraine

alors

toutes

les conclusions

de l'é-

ventualité

2) (parce que Fest

séquentiellement

complet;

la

llnéairité

de la limite

LL est

évidente),

C.q.f.d.

N~ S

voyons

donc que

Ganach-Jteinhaus

s'obtient

en jux-

taposant

Laire

et Ascoli.

Donnons quelques applications auxmesures et distributions. Utilisons d'abord le cas où l'onsait qu'il y a convergence partout (seconde éventualité).

Considérons

un

ouverta

de %?a ,

K

un

compact

de fi

et prenons

pour

E l'espaccd)K(fi), qui

est

bien

défini

par

une

infinité

dénombraole

de semi-normes

et est

bien

Complet



du sous-ensemble g,(a) . 6, (0)

dans cK <an) , mais, de t.ou;e façon,

n'est pas dense

3, les pj

d'après le corollaireconvergent vers

p sur toute ip de l'adhérence

d)~

(fi) de g,(a) dansC,(a)

. Ceci est valable pourtout K . Mais, si q est une fonction de C<a), si H estun voisinage compact de son support K , ie théorkme d'ap-

proxirtatlon

( proposition 1 du fascicule "Distributions"

montre que 'y est dansD (fi) , donc pd ((p) converge vers

P(V) '

et P/

converge vaguement vers k,

Exeniple : Soit /y G(I+,-~,~,) ~LIT~ .'

c.q.f.d

Les p convergent

vers 0 dans 9' ; en effet. pour toute q t 23

b

des accroissementsfinis

montre que 1 q(i)-q

(0) (Q-

Mais les ne convergent pas vagueme? vers 0

effet nous , égale 2 3c 3 au voisinage deO,

on voit que , qui tend vers +~o . D'ailleurs

formule (IV,2;7) )

qui tend vers + 00 .

Donnons au contraire d'autres applications, utilisantl'éventualité 1) du théorème 40. Considérons la suite desformes linéaires continues,LLn,a sur C [0,4] :

Les au,,,, convergent vers - 6'

(a)

: qq’(a) > sur

le sous-ensemble dense des fonctions dérivables au point 12

Mais la norme de aLL,,& est 21%~ (f?rmule (Iv,2;7) ), elle

tend vers +a0 avec ?1 . . Donc l'ensemble des Cp E C [0,1]

pour lesquelles les ti,,

convergent est maigre; autrecent dit,

non seulement toute fonction continue n'est pasdérivable

aupoint d >

ce que nous savions déju? maisB-presque toutesles fonctions continues sorlt non-derivables au point a. ; ceci

moralement satisfaisante de notrefonction continue n'est pas dérl-

est une partie ùénombraùle dense del'rnsemole des'fonctions dérivables en a E R, étant:a réunion dr ces ensembles est enww maigre, donc

B _ prcsa~~e tcute knctior ccntlnuc est nan-dériva )le en tLut



462

sont B - presaue partout non dérivables. En langage quantifi

"(3 L maigre dans C[O>I] )(b'tp+L)(3 M maigre dans[O$])(Ar$,j

( Cp n'est pas dérivable en- 1 . Bien entendu, Mdepend

deCp

;

et C[0,1)

peut être remplacé par(cR)c

.

Voici une autre application. Ondén:ontre,

en théorie desséries trigonométriques, que,

si est une fonction continupériodique de période Tsairement convergente. P&

sa isér e de Fourier n'est pas nécla m,ême suite de raisonnements

utilisant successivement le théorème46

pour l'espace de Bairdes fonctions continues sur le cercle r et pour l'espace deBaire

T

on trouve que, pour B- presque toutes les fonc-tions

con;inues périodi

ues. la série de Fourier est B- pres

que partout divergente 7Voir:Complkments

sur la série etl'intégrale de Fourier). Il existe une quantité d'autresénonces analogues.

Voici un théorème qu'on pourra traiter en exercice. SoiE un espace de Baire, u, une suite d'applications conti-

nues deE

dans un espace métrique F , convergeant simplementvers une limite k . Alors l'ensemble des points de discontinuité de & est maigre.

Par exemple soitCp

une fonction réelle dérivable surllQ

La suite des fonctions 'p, ,(pntr)

=

(P(r.+$)-Q(~C\ est51

,.

alors simplement convergente sur R versy' Donc la déri-vée

Cp ?

est continue en B-presque tous les points deIFUnefonction dérivée n'a donc que "très peu" de points de discon-

tinuite 1

Théorème 47 (Tème

théorème d'Ascoli)

Soient E un espace topologique, F un espace semi-mé-

trique, fl un ensemble d'applications continues de E dans F.

Pour eue 3 soit relativement compact * dans ( FE), (es-

pace des applications continues deE

dans F , muni de la

l Rappelons (oubli de la topologie générale) qu'une partie d'un espace topologique X est dit relativement compacte dan

X si son adhérence A dans Xau même de dire que A

est compacte.Celà

revientest contenue dans une partie compacte-

B de X

, car alors A est fermée dans un compactB donccompacte.



contenu dans S(X) donc aussi relativement compact dans F

-

C'autre parc.9 est encore éouicontinu. Donc 3 a les mêmes

propriétés que 3 , Emais est fermé dans F et a fortiori-

dans ( F'), ; nous allons démontrer quefl

est compact dans

(F'), , et alors5

sera bien relativement compact.-

D'après le théorème45. la topologie induite

SU;$

Par

(FF )b est identique a la topologie induite par F 0

c est-a-dire par la convergence simple surE, dont les

semi-distances sont données (VII,7;25). Il y a donc uneinfinité dénombrable de ces semi-distances ( E, est

dénom-

brable'donc

aussi l'ensemble de sespartes

finies). Donc,

d'après le théorème 40, la topologie de9 est

métrisable.

Pour montrer alors que 3 estcor,pact,

nous pouvons appliquele théorème deWeierstrass-Eolzano

:n~us*allons

montrer que

de toute suitedo

,$,,...,

-& . . . de 3 , on peut extraire

une suite convergente. L'ensemble 3 (a, )

est compact àans

métrisabie, donc on peut extraire de la suite des +?= unesuite partielle convergente au point a, .,Nous

la noterons

S.&)> ~(0,w.>~(07L).~.~ CO,%) designe

donc un ent

30

avec ('0 1%) > (0 k-q).Mais ensuite l'ensemble $(a,)

est aksl

compact dans F'

métrisable,

donc on peut extrairede la suite précédente une nouvelle suite partielle conver-

gente au pointa,

, donck

la fois au pointaL,

et au point

a, 9

que nous noterons s,: &))> ~(,,,),..<>~(,,n)>... (Ici

en-

core, (1,n)est un entier > 0 , on a (I,~T) > (A>lv-I) ;

et, puisque s,

est. une suite partielle deS,

pour toutn

il existe n' à 3% tel que(0 n')=(j,q~)&(O,n)). Etainsi

de suite, de proche en proche. 'La suites,,

sera notée

f

cm,0 > $

(n-r,,)

>.

. , est une suite partielle des,,.,

,mx,n) > (Tn,n-4)autrement dit, pour tout ?1

Il

existe~~+~tel que(?n-<,n')= (

1n,n)

2 (WL-1,1-) . La suite S,, converge

en chacun des points a,

>

a,

>... 7

Q-741 *

on peut, sil'on

veut

placer ces suites les unes sous les autres :



2'/

Inversement; supposons .5 relativement

compacte dard ( FEjc , donc son adhérenceTT

* compacte.

Son imageSc(o=)

par l'application continue 6(-,:$

-j(=c)

de

(

FEJc

(OU FE

)

dans F est donc aussi compacte, donc

LJ (=c)

c Sc(2.1

7 est bien relativement compacte dans F .

Ceci ne suppose aucune conditionspeciale

surE

ou FSoit maintenant K un compact de E . Appelons

JK la Ees-

trictlon d'une fonction $ au compact K ; l'application

4-L

4, est évidemment continue (et même lipschitslenne)

de (FE),

dans ( FK),= (les ssi-dist-ces de (FN>& sont

lessi,K,j

EJ);

l'image$,a

de%

par cette applica-

tion est donc encore une partie compacte de(FK)o

. Soient

alors j E J

et E > 0 ; il existeut

ensemblefini

d'éléments

:Couvrz;t

2,~tyaz;e;e;tb;=;es

G,K

.

, il existe un Y tel que

. Mais un ensemble fini de fonc-

tions continues #, K

est toujours équicontinu. Donc, pour

tout a de Z ,il'existe

un voisinage‘&

de Q- dans K tel

que,

pour tout z EQ et tout L>

Lon

ait

'j (&,K

@%~,,,&>)<~donc, pour tout

r

E

‘& et toute #GTo ,

-

-

-

* Nousecrivons

flG et non 3 comme précédemment;9

était

l'adhérence de3

dans FE ,gc

est son adhérence dans (FE),

FL

pria-

ils sont distincts. Mais d'une part trivialement

L.g.

D'autre part l'injection de (FEJo dans FE

est

continue, donc yc , compact de ( FEjo , est encore compact

pour la topologieFE

-(théorème

28 duGapize

II), donc fer-

mé dans FE

donc 9 3

g

donc9

-

fl ce qui per-mettrait de né pas introduire d'écrit& noUVelie.

En outre nous voyons que L?&ac) et S(S)

, que nous a-vons distinguez plus haut, coIncident*alement. Car nous

avons.,u

que g(r) c T(,) ;

Mais-$(z)

va g=omPact

donc fermé dans F , et il contient S(S) donc F(r), d'ou

le résultat.



468

2) Pour tout

sembl e +x, =

Démonstration - P0urrn = 0 c'est un cas particulier du

Corollaire précédent. Soit 4 quelconque. Supposons d'abord?? relativement compack dans ‘+ (a ~7) .

linéaire Il' : 9

L'application

+D $ > de qrn(a ;F) dans‘&'(fi;?),est

continue. S+i en effet on considère une semi-norme 111

de *(fi jF > on introduira la semi-norme 11

% (sZ:3

III m ,de

et on aura justement l'inégalité

IIIqlll,,K 5 Ill i L,K .

Alors l'imageDP

3

du compact 3 de % <a ;F)

est uncompact de % (a;?) . cet ensemble contient Dr.?f

=

9, I

qui est donc relativement compact. Il

doit alors vérifier lesconditions du corollaire 1, ce qui donne précisément 1) et 2)relatives a

'r *

Donc ces conditions sont bien nécessaires.

Inversement supposoy 1) et 2) réalisées. Soit z? l'adhé

rence de 4 dans ‘8 (an;r). 3 vérifie encore 1) et 2). En

effet,

l'ensemble des 4, telles que DP4 e @? -pour tout?

d'ordre 1?1em, est ermé,et contient 4 donc 8 , donc

Il'3

c.$

OU

t-u, 3f

Z$ C gF . SI alors 9F

estéquicon-

l'est aussi d'après le théoreme 44,

donca

fortiori

4, ;

d'autre part, si??F(~)

est borné, son adhérence-

Z+)-l'est aussi, donc a fortiori5$ (x)

, donc a for-tiori

3 (2).'r

Montrons alors que 4 est compact dans 4-(fi; 7) *

Comme il est métrlsable

,-il

suffit de montrerWelerstrass-

Bolzano. Soit donc r0 , j, ,...,$-,... une suite de 2 0 Pou

tout+

d'ordre /FIS m , , $ vérifie les conditions ducorollaire 1,. donc est relativement compact dans

<(fi;?)

donc de la suite on peut extraire une suite Partielle SP,

telle que les Dlr & correspondantes convergent UnifOrmement

sur tout compact donc localement UnifOrmément,

Vers

Une

limi-

te 7 continue: soit*

?

%

celle qui correspond a+= 0 . D'apr



470

arriver que lardciproque

soit vraie,celà

n'entre pas encontradiction avec le théorème 45 bis du chapitre II

pUisqU'

auyn voisinage de 0au un

esDace

vectorieln'est borné (voir page

449

). On dittopologique

a la propriété de Monte1s'il Y 8 identité entre ses p

artles

bornées,

comDactes

et ses parties

ou encore entre ses parties relativement compacteset ses parties bornées. Alors :

Corollaire 4

Sifi

est un ouvert deR

3%

,F un Banach de dimension

finie, l'espace%tLl;F)

=

%'-CSL

;P)

a laproprietd

deMonte1

Démonstration - Nous devons montrer que toute partie fermée

bornée 4 de‘&(ac~;r)

est compacte . Comme l'espace est métri-

sable nouspavons

appliquerWeierstrass-Bolzano.

Soit donc

sd, .$ ,... , $,, , . . . une suite de ti . Pour tout

sembleg$

=

D'$+ '

l'en-

est encore borné dans%'(a;

F) donc

vérifie les conditions 1) et 2) du corollaire 1 donc est re-

lativement compact dans Lto(fi;r )d'aprks

le corollaire 1.On peut donc extraire une suite partielle

S

r

qui converge

localement unlformdment vers une fonction continue

Appe+ons

T celle qui corresponda?=

0 Comme au corollaire

2, 1 ensemble des indices+

estN

donc'dénombrable doncnous pouvons l'ordonner totalement en le mettant en c&res-

pondancebijectlve

avec Wcomme suite partielle de

et choisir ensuite chaque suitela précédente, et prendre la

te diagonale S comme dans la ddmonstratlon du théorème.de la

suite

initiale, telle

correspondants convergent localement uni-

du chapitre IV dit alors que

AlorsS

converge vers9

fermé dans %(niF),g est

Corollaire 5

Bans les conditions du corollaire 4, si K eSc Un COmDaCt

dea

, l'espace .$$,((fi;F) a la propriété deMontel.

En

effet &(a;') est un sous-espace fermé de $?.(a;F), donc



472

Donc $ verifle les conditions du 3èm.e théoréme d'Ascoli 47,

donc $ est r~latlvement compacte dans (?)o

comme % (.Ld;F) est fermé dans ( F ), .

; mais

par le théorème

deWeierstrass

(corollaire 1 du théorème 15), l'adhérence(compacte)F de g dans

(

F )c est dans @(fini?, et3

est bien relativement compacte dans % (fin;F).

O n p e u t g é n é r a l i s e r :

Corollaire 7

Si W est une variété holomorohe, 7 un 8anach de di-

mension finie, l'espace % (V ; FJ des fonctions holomorphes

sur2

a valeurs dans F , muni de la topologie (induite par-+),)

de la convergence compacte, a la propriété de Montel

Démonstration - Soit3 borné dans%(V;F). D'abord, pour

tout x E vF(x)

est borne dans F , donc relativement com-pact. Ensuite,

soit a EV, vuun voisinage de a dans V qui

soit le domaine d'une carte 8“ @n&%@((Y),V soit Q>(M)=&.

Pour rc.F appelons p son image réciproque +~,= Jc.+,

fonction holomorphe sur (9 )A valeurs dans F et soit 9‘

l'ensemble des 1".

Le raisonnement ci-dessus (inégalités (VII,7;31 et 32)

montre quz 9* est équicontinu sur (Y au point CX

; donc 5est équicontinu surfi au point CL. Donc ici encore 8 est

relativement compact dans ( TV )c , donc dans (V;F)

fermé dans (F ), , o.q.f.d.

Remarque : Dans tous les corollaires précédents, l'hypothèse

'

7 de dimension finie" était évidemment essentielle.SoitF

un Banach de dimension Infinie; on sait que sa boule unité

n'est pas compacte. On peut donc trouver une suite

de vecteurs de norme 1, sans suite par-t$e;l$'~onv~r&nte~ Alors la suite de fonctions holomorphes

sur a? : fj --+ jj,> , est borné dan2 % ( c j FJ, mais sar-15

suite partielle convergente; %(@;F)

n'a pas la propriété

dt Montel.



nombre de zeros de

l a semi-continuité

4sur K c H e s t <

ItJ

ce qui démontre

kuperieure,

est un voisinage de -j. dans 8%

474

Remarque : On voit immédiatementquel voisinage compact de Ktel que

SI H est n'importe

zéros dans Hque ses zéros dans K ,n'ait pas d'autres

que 7 2a Igq)-&j) / "1

1 existeentraîne N (9; )=N(. 0 N~(>‘; K) j

. C'est ce qui montre bien qu'onet non continuité. Supposons parun seul pointa

;

et supposons

que a soit zéro simple de -+?,N(#;{aj)-4 . Si K est n'im-

Porte quel disque f'ermd de centre azéro de j que a, on aura, pour

, ne contenantaucunautre

assez voisine de sur H,

N(

2

;H =I,

$mais le zéro deaucun raison d'être enn lui-mi?

dans le disque Hn'auraet on aura seulement

N(j; {a), ~1 . Voici un autre exemple peut-être plus

suggestif. Supposons que Kqu,e tous les zéros de $

soit un disque. Supposons d'aborddans Ksoient dans son intérieur

On devra alorsgénéral, et on trou&a seulement N(

et en effet, les fonctions voisines

tains de leur9 zéros dans H près du bord K de K mais endehors.

Si Fest seulement un ensemble fermé, la fonction

?f

----N j;F

n'a plus aucune semi-continuité.

Supposons maintenant W ouvert C&L . Supposons que

n'ait dans@

que des zéros isolés, en nombre fini ou inA

iniun nombre fini, quelconque si += +.~o ,. Soient U;,cE 1 1 fini, des zéros de

, dont la somme desordrés

demultiPliCité

> 4 . soient Aa;

des disques ouverts de centres a;

telsque

les A_.

soientdisdoints,

et soit H le compact



entrakera que

sont des Constantes# 0

de zéros dans 6,

plus semi-continue

est nul; la fonction ij-+

N(

inférieurement sur% (0) en

8

;w

n'est

n tel point

l

.

On pourra donc seulement dire que la fonctlon#-

N($;W

'est semi-continue inférieurement sur le sous -ensemble de

% (a) formé des fonctions qui ne sont constantes sur aucune

comoosante connexe de & .

Corollaire (Montell. Soient JI un ouvert connexe de c .M un

nombre 3 0 , K un compact dea , U. un $Oint de a , a( un

nombre réel 10 . 11 existe un entier finiN(c(Z,

M, K,a,N)

tel que, pour toute fonction $ holomorphe sur fi , bornée en

module par

M

, vérifiant

1

1$'(a) 1 3 O( , on ait N ($;K)<N(ll,M,K,a,q)

I

I

Démonstration - L'ensemble des fonctions holomorphes surfi

bornées en module parM , et vérifiant1 j'(a) 1 &q , est

fermé et borné dans %(a),

donc compact (corollaire 6 du

théorème 47). Donc la fonction j?--

N(

f

; K) admet un maximum

sur cet ensemble. Ce maximum est fini,

ca , si

f

réalisait ce

maximum et avait une infinité de zéros sur K , on pourrait

en extraire une suite convergente, et alors

i

serait identi-

quement nulle dansa connexe (corollaire 6 u théorème ll),

ce qui est impossible puisque

1, #'w I

&N>O.



sur la convergence simple et uniforme

de la série et de l'intégrale de Fourier



1

Les théorèmes énoncés dans la suite comprendront toujours

une partie relative a une fonction ou à la convergence en un

point, et une autre relative à des ensembles de fonctions et a

la convergence uniforme sur des ensembles de points; celle-cl

toujours notablement plus délicate,

et on pourra la passer en

première lecture, dans la mesure où elle sera dissociée de

l'autre. Par exemple,

"convergence simple'

si l'on ne s'intéresse qu'à la partie

de la série de Fourier (théorème 3) Il

suffira de 1ireJ.a partie du théorème 1 ne concernant qu'une

seule fonction J de même pour le corollaire de même pour

le théorème 2; enskte on considérera dans le iorollaire du

théoreme 2, le cas d'une seule fonction,

ensuite on n'aura à considérer que la

lère

ie ie

avec2=/Lj

la démons-

tration du theorème 3, débouchant au corollaire 1.

Théorème 1 -

-c

Soit.2 une fonction intégrable surR , à valeurs dans

--c .,

un Banach F . Alors l'intégrale de Fourier

('1

c(7c;~) =Z(,l =

i

px)èZ-~

est une fonction continue é i\ , qui tend vers 0

pourA -+&m

(Lebesgue). En outre, cette convergence vers 0 est uniforme

d

lorsque 4 parcourt une partie relativement compacte de L'R & ?

7

J-eJ

Dbmonstration -

La continuité de

C

est évidente (convergence

dominée de Lebesgue).

On a d'autre part ? (A) 11 4 11 7 llLj

, donc z

est bornée. Montrons qu'elle tend vers 0 pour jl

Infini.

-c

C'est connu si

-e

est de classe C' , intégrable ainsi

que sa dérivée première,

car alors C(A)=J,r(X)

ptAX

2iJtA

dQ=-,

donc 1 c(l) 1 6 Conbt. -&- ,

d'où le résultat.



2

D'après le théorème $4 hu chapitre IV, les fonctions

continues à support compact sont denses danse (R,c.& ;F)

Ensuite,

d'après le théorème d'approximation (proposition 1 d

fascicule des Distributions, démontré par convolution avec

une fonction scalaire de d, ou par la partition de l'unsé),

toute fonction continue & subport compact

à valeurs dans

F

est

limite uniforme d'une suite de fonctions indéfiniment déri-

vables ti support dans un compact fixe, donc a fortiori limite

dans C (E,dcc;F) . Donca(R;

F)

est dense dansL4(R,&;F),

Alorsdes applications linéaires u3:r-.+ F(A;T) &L'(R,&;p)

dans F , dépendant du paramètre i\ E R , convergent, pour jl

inr'ini, vers l'application linéaire nulle, sur le sous-ensemble

dense 9 (l 8;F) de L' (&ya;s?

rdi

mais elles sont également

continues, lorsque 2 puisque de norme S 1 ;

le 2ème théori'me d'Ascoli dit alors qu'elles convergent vers

simplement sur

+z (a;$

L'(R,&;r) tout entier, autrement dit

converge vers T pour 2 infini, pour toute

pL(lR,CL.Z;F)

; et la convergence est uniforme sur tout

compact.

Corollaire.- SI -f

est périodique de période

T

sur& et loca

1

lement intégrable, ses coefficients de Fourier zk (z) _

ten-

dent Verso pour 1 p? 1 infini, et uniformément lorsaue 4 nar-

court une partie relativement compacte de L’ r, k;F ) .

En effet,

appelons

9

la fonction sur IE? égale a

le'

sur une

perlode et nulle ailleurs.

pour %Xi\= &W

Alors z& (i,,c(,;~,=J~~~~)ëlL~~~~

, et cel& résulte alors du théorème.

Théorème 2 -

Soient 1 une fonction intégrable surR à Valeu

,-

dans F' et 2 E F . Alors l'intégrale de Dirichlet

(2)

J(i,;,, = J(A)= o $4 lSh-, = dnc,;l&O ,

*

converge, pour 2

J

+-=AikL 1c

-te=

, versJi?.J=

dx

-A--=----’

si Ilune des deux conditions suivantes est satisfaite :

* NOUS prenozs 2 3

0

pour A A -@, l'intégrale

tend vers - JO

on sait que J= 2 (formule (IV,11;51) ),

,,,ais on va le redémontrer ici.



3

Conditicn 1) : La fonction

&x>- F

sinage de l'origine * .

est intégrable au voi-

35

Celà se produit en particulier si te a une limite à droi-

j?(O + 0 > a l'origine

1

et vérifie au voisinage de l'origine

zIeF1condition de Hyder I'~iz>-~(O+ 0) 14 C "Vo(,

C

et% >0;

en Particulier si 9 est dérivable ti l'origine.

I

En outre, la convergence de y(2 ;$)

vers J$ pour

a

- +OC , est unifowe, lorsque r et F varient, de

J

manière que la condition soit vérifiée par chaque ( T,F),

-c

gue -f parcoure une partie+ relativement compacte dec(R,&;Ft),

J

6

0;' une partie bornée de F , et que ,/ I/ nz)-?

x

&Converge

vers 0 lorsque 1 tend vers 0 ,

+-t

unifcYrmément par rapport h ,ci:

I

Condition 2) : La fonction T

est A varlation bornée au voisi-

8

nage de l'origine,

f

est de dimension finie etF= T(O+O).

1

Celà se produit en particulier si 2 est réelle, monotone et

1

bornée au voisinage de 0

. En outre, la convergence de?(jl ;z)

+

vers

JS

est uniforme lorsque -4

,

et z varient, de manière que

4

2 décrive une partie relativement compacte deL'(R,Ch;

I

;Q(

partie bornée de F

que la variation

toia;e' L\fyîeO, c [ ) de $ dans ]'Ofs [

tende vers 0

t

lorsque [ tend vers 0 , uniformément Par rapport à 4

l

Démonstration - Supposons d'abord 1) réalisée. On peut écrire:

* Cela n'entraîne pas que - tende vers 3 quand

--,

J

x-0;

mais, si

s

a une limite,

ce ne peut être que Z

; et T-est

déterminée par

, car&

n'est pas intégrable au voisinage deo



soit t > 0

donne. On peut d'abord choisir 6 de

manière

que le 3ème terme soit borné en norme par+ , uniformément

lorsque

et z varient dans les conditions

Ensuite le second terme s'ecrit

i

z restant borné , on peut cho

sir ?B ayez grand pour qu'il soit borné en norme par*.

Com

ensuite est intégrable sur

appliquer le theorème 1 (avec & 1 z =

est linéaire4continue de

L’-( R, dus;T)

dans c( [ F,+o,L,&.;a

(de norme 4

L'(R, d-c ;$.

E([S,+-

[ ,a,;a

et le ler terme est borné en norme

par% pour A aases grand uniformément quand 7

varie dans

les conditions indiquées; ce qui prouve lt théorème si la con

dition 1) est réalisée.

Passons

au

cas de la condition 2).

Supposons donc

-7

à variation bornée dans [ 0, 8 ],rde

dimension flnieAF =JJO+O) On peut-supposer 7 continue à

l'origine avec J(o) =J(O'O) , car ;P (0)

ne joue aucun r61e;

, -

on peut de même supposer $ partout continue a gauche, en

rem-

plaçant

car celàZIé~~uohe',~~-i0n:init~' ~~n~,r~bssn~ed~OTn~;:t~~~c

ne change pas les intégrales,

et ne peut qu'abaisser la varia-

tion totale de T.

On sait alors que 4

est l'intégrale Indefinie d'une

mesure ji

de base & 0

d'après le theorèms

88

du Chapitre

IV. En outie. on peut intégrer par parties (théorème 92 du

chapitre IV);

Posons

TA (5) =

J

6 Aina-

dz=

3c

0

J

0



5

Ta(o) = 0

i pour 3c =+ 0 ,

TA(~)-

J pour i\

-+oo,

en restant bornée. On aura

+O”

(3 bis)

J(x;i, -

J?(a) =

6

La variation totale de Fdans cO,f [ (ou dans]07tl

puisqu'on l'a supposée continue) vaut

,Igw - f(O)

1: dl jZ1 , et est

11

; puisque Ta

est borné, on peut

fixer 6 >0

pour que le 2ème et le 4ème termes-soient bornés

en norme chacun par -k- , uniformément lorsque #

varie dans

4

les conditions Indiquées.

Ensuite, r(0)

restant borne, on

peut choisir A

assez grand pour que le 3ème terme soit&

+>



uniformément par rapport a $ ,%et de même pour le premier

terme, par application du théoreme 1;

rème dans le cas de la condition 2).

ce qui démontre le théo

-+_c

Corollaire - Soient 4 , 4 . deux fonctions intégrables surR,

/ 0

éaales dans un voisinage de 0 . Soit c( une fonction complexe

SurR ,mesurable. bornée inférieurement en dehors de tout VO

sinage de 0 , deux fois dérivable au voisinage de 0 ,

o( (o)=O,G(~u)=l . Posons :

(3kl.)

K(p;j)=jtm+j -"$&- d.m , ,tt > o .

Alors. toutes le: fois que?(Â ;T) a une limiteJ7

/

a la même limite Jz BP-,+&;

et < parcourent des partie

relativement compactes de

en restant égales S

un même voisinage de 0

converge v

-0 , IBIifOFmément par rapport a 4. r lorsque 1 et & tenden

fJ

vers + - , pourvu que i\ - .L 1 reste borné.

1

Démonstration - Il s'agit en réalité d'un pur corollaire du

théorkme 1 et non du théor&me 2;

mais nous le plaçons ici.

parce que,

le théorème 2 perwttant de co_nnaîtr~, moylnnant

conditions du type 1) ou 2), la limite

Jd

deJ(1 ;J) , c

corollaire donne la limite, égale aussi à J j

Bien entendu, il suffit de démontrer la fin de i-énoncé.

de K (k;J).

011



7

La fonction 1 - -

4

est mesurable et bornée SU~R

@J(z-1 =

En effet, elle est bornée en dehors de tout voisinage de 0

Et, au voisinage de l'orig-ine,

la formule de Taylor montre que

a((=c)- 2=0((2)- g(o)- 3c O('(O) N -2 dyo)

pour*- 0

(théorème 21 du chapitre II), de sorte que

4 1 zc-Oc(=>

--- =

tend vers

M ix)

3c

=Qc (W

+Oc"(O)

quand%-+o , et est donc encore borné au voisinage de O+.

Donc, d'après le théorème 1,

la lère intégrale tend vers 0

-c

pour p

-+oo ; en outre, si

$

parcourt un compact de

L"(lEt,doc;a,

4

il en est de même de la fonction$s)(&-$--

1

1

parce que

f

- ---) r est continue de L"(R,d?cc;

F)

(

a( 23.

dans lui-même;

donc la convergence est uniforme par rapport

àI$ . Ceci achève la démonstration du corollaire si on se

est intégrable, car

est nulle au voisinage de 0 ;

la 2ème intégrale tend donc

vers 0

po,ur +p - -

d'après le théorème 1; en outre, la

fonction J-%.& parcourt un compact dep([&,+m[, & ; F)

quand J et 9 parcourent des compacts de d(R,&;c) , et

le 2ème terme est une intégrale sur

coincident dans

P’ F1

IT

8, + 00 [

dsi j et f

; donc le 2ème terme tend vers l'in-

-+*

fini pour p+ f& ,

uniformément par rapport à ,

i %

dans

les conditions indiquées.

Si l'on se borne au cas 'h= k , la démonstration est

achevée. Mais supposons seulement ) j.l,- Â ) borné. L'application

est bilinéaire continue, de norme ,C 4 , de

x (U3R)ce dans

L”(R,dOE;F) ; l’wpli-

cation z -

(fonction

divvrs

)

est

=k

lipschitzienne deR dans ( c

)c,$, car

continue et même



8

donc l'application (f, 7)-

) est

continu-e de L' (R,&;r)xR dans c(R,doc;F) ; si

alors 1 parcourt un relativement compact de C(]EP, &; F),

et 7 un relativement compact deR , la fonction

parcourt un relativement compact de

L’(R,dm;F).si

donc T

parcourt un relativement compact de cA(R,&;F) et si&k

reste borné, la fonction

4

(33) n-J%- = parcourt un

relativement compact de L'(R,&TT) .

Alors la dernière

intégrale (3 quarto) converge uniformément vers z pour

tL+A

---++IX

en vertu du theorème 2, ce qui achève de

démontrer le cor;llaire.

Théorème2

Soit -f une fonction périodique de période T sur-ne,

7 intégrable sur un intervalle-pério-

?

soit; E F

et sunnosons que l'une des deux con-

ditions suivantes soit krifiée :

1) La fonction paire t- $(a+t)+T(a-t) -22

1

'k

est intégrable au voisinage de 0

2) la fonction p

aire

$a+t)+

t -

&a- t)

2

est

a variation bornée au voisinage de 0

, sa limite à droite (e

a gauche) pour t=

0 est Z , -t F est de dimension finie.

Alors la série de Fourier de z :

T

14)

,” F&($= , Z&$jJ, {(t)ihkoS $

=Cm

Converge, pour 2= a, vers & , en valeur principale de Cau

&-:

(5)

N -t +m



En outre l'intégrale

9

Si A est un ensemble fermé deR , si A est continue

1

SU~R en tout point de

A

**, et si l'une des deux conditions

suivantes est vérifiée :

Condition 1')

vérifie, sur un voisinage A'

de A , une

dition de Holder :

SC X-

l Y1

al, pourcr.cA

/yA’;

C

et%>O.

--?

Condition 2')

J

est a variation localement bornée sur un voi-

sinage A' de A r est de dimension finie;

alors la convergence de s,

(??Vers T pour N infini est

uniforme sur

A .

Démonstration - On a :

T

(6)

dk ***

=

-

T

de sorte que

Calculons donc RN

C'est la somme des termes d'une progres-

sion géométrique, de-sorte que

* C'est une nouvelle démonstration de la formule (IV,ll;5l).

*z Cela implique plus que la continuité de la restriction de

+

&A

l par contre,

un voisinage

cela n'implique pas la continuité de

de A .

#

*** C'est un cas particulier de la formule

33

du fascicule

-+

"Séries de Fourier", appliqué à une fonction

#

. Il s'agit là,

rappelons-le,

de la convolution sur le cercle

r

qui se tra-

duit, pour des fonctions périodiques surR , par'une formule

intégrale sur un intervalle-période: ($ x q,cr)=l~i(*-~,gcrl~~.

0

La formule (6) est évidente directemen.t.



10

(8)

r(N+l)Ot -1Nwt

e

T

i

7

zz

T

-

2

T

i

ï

=

0

égale à n’importe quelle constante Z$ 0 ailleurs; o( est

bien bornée inférieurement en dehors de tout voisinage de0,

et N(O)= 0 , oc'(O)= 1.

si

vérifie la condition 1) ou 2) du théorème 3,

vérifie la condition 1) ou 2) du théorème 2 avec

Z-A3

. car

ri --

(9terj

Qtr-ZL +(&+t,+&t,-2q

et

~,(O+O)=~~(?(a+O)i~(a-O))=~~

Le théorème 2 et son ccrcllaire nous disent alors que

TN ( a ; 1) converge, pour N infini vers JE J$~,J=~*$?$?&.

Si donc nous démontrons que J= %

, le résultat relatif à la

convergence en un point a sera démontré. Mais ,ll suffit

d'appliquer ce qui précède b la constante j = 1 , alors tous

les c$ (j) valent 0 sauf c, (j)= 4

et nécessairement

s, (Q;l)= 1

tend vers 1,

donc J-g.

or il doit tendre vers J+-i ,



11

Avant de démontrer le résultat concernant la convergence

uniforme, donnons un corollaire évident du résultat relatif a

la convergence simple :

-t

Corollaire 1 - Si j vérifie l'une des deux conditions suivantes:

1 -,

1) La fonction

$ a

une

limite

a droite -$ ( CI, + 0) et

-b'

une limite a gauche 1 (a - 0) au point a , et'les fonctions

t: t $(a+t Lj-(2+0)

,t-

jLt)-@bO)

t t

sont intégrables

-c R+ au voisinage de 0ur

; cela se produira en Particulier si

-j vérifie des conditions? HUlder, /à -F(~+O)\~&C 1 ~-a/'

1

pour ~3. 3 a. ,

et lJ=)-$a-0) II s c I =- d 1"

pour x. d a. ;

en particulier, si] est dérivable au point a ;

1 --z

2) La fonction 2 est a variation bornée au voisinage

'1

de a, et7 est de dimension finie; cela se Produira en Parti-

culier si j, est réelle, monotone, et bornée au voisinage de *;

I

+

Alors la série de Fourier de 4? converge, Pour 3~= ai

I

en valeur principale de Cauchy, vers '

Y-

(jb+o) + $a-0)) -

Passons maintenant au cas de la convergence uniforme.

Dans les conditions où l'on se place,sN(a;f -7 converge vers

t

(a) pour N infini, pour tout CI, de A , et nous devons mon-

t er

que

cette convergence est unif'orm%pouraEA . Il suffit

pour celà de montrer que la fonction @& vérifie les conditions

données au théorème 2,

permettant d'affirmer la convergence de

vers Ji? =

&a,

pour 2

-+oo

uniformément pour a dans A .

3

Nous allons d'abord vérifier eue, lors2e f reste fixée

mais

que A/ varie sur P * , les fonctions Q&

forment un

compact de L'(R,dn;f). Appelons ti4

l'application linéaire,

* Nous identifions systématiquement les fonctions sur le cer-

cle T

Cela mène

et les fonctions sur R , périodiques de période T .

tr certains abus de langage, qui seront aisément

com-

pris.



12

continue

~~ de ~jr,dt;F) dansLI(IEe,dt;~)j

sa norme est bornée par- -.

SI a tend vers CL, , u, ,# tend

dans L'($,dtjF)

SI

j

est une fonction

continue, puisque elle converge même vers fi

%

uniformément

et reste nulle en dehors; donc u,

converge vers

simplement sur le sous-ensemble dense

(e

(rjr)

2ème théorème d'Ascoli 1c

pour toute fonction

1 de

fixée dansd(r,&;?),

est continue der dans

de L'(~,dtjr)

T' est bien un comp

.-Ceci est uniquement une conséquence de

l'lntégrabillté de $ sur r .

Supposons ensuite la condition 1') de l'énoncé vérifiée.

Soit [, la plus courte distance de A et de

rA’ (

voir chaoi-

tre

IÏ,

page 81). Pour 6 < S,

b

pour mEA: 6 -

,

on aura la majoration suivante

(10)

J II

q&(t) - jqw

0

t

Il

de sorte que le ler membre converge vers 0 pour 6 tendantvers 0 , uniformément pour a dans A ; le corollaire du théo

rème 2 permet alors d'affirmer que . ?,, (7)

uniformément sur.4 .

converge vers

4

Supposons enfin la condition 2') de l'énonce vérifiée.

Montrons que si la condition d'uniformité 2) du théorème 2

n'était pas vérifiée, nous aboutirions ii une contradiction. Il

existerait une suite de points a,

deA ,

et un nombre g > 0

tels qu'on ait toujours :

Mais,

A

étant compact sur T' ,

on peut extraire des d, une

suite partielle ayant une limite a dans A

; les a, * -$

tendent aussi vers & . Ensuite

est supposée b. variation

bornéeau vols-inage de CL ,

et CO

f tinue au point a- ; donc la

variation &jdat~ [a-)~,a+?] tend vers 0 avec 7 (théorème



13

84

bis du Chapitre IV), et sa variation dans[al-$,

ani- $

1

tend donc vers 0 pour 7~ infini; donc V (5

; PLqJ

tend vers 0 pour n infini, ce qui sontredi?(lCbisr

Donc il est bien vrai que la variation de z& danslO,sI

tend vers 0 avec 6 uniformément pour CL eA =donc la condition

uniforme 2) du théorème 2 est vérifiée,

et SN (j+l

converge

vers

F pour

N

Infini, uniformément sur

A .

De cette convergence unoforme, on déduira le corollaire:

Corollaire 2 - Si Se

-

est à variation localement bornee surW ,

b

--+

et 7 de dimension Infinie, la convergence de sN (&)

4

vers 4

*

1

pour

N

infini est uniforme sur l'ensemble

A

des points de

3

continuité de , . Si r est hgldérlenne (donc continue) surR

I

l

c'est-à-dire vérifie une condition

ou si elle est a variation localement bornée et partout continue

avec F de dimension finie,

SN $1

converge pour N infini

-t

vers 1 , uniformément surW.

1

Remarques - l“/ Les conditions 1) et 2) relatives à

f@+t) +g

a-t) sont-moins resqrictives que les conditions

séparées relatives à

~(CC+ b), {(a-t) énoncées dans le

corollaire 1. Par exemple,

T(b) + g-0

prenons a=O,et -# impaire . Alors

est identiquement nulle, donc 1) et 2) sont

réalisées avec T= 0 ; la série de Fourier est d'ailleurs une

série de sinus, les sommes TN (0 ;f, sont toutes nulles, et

la convergence vers

Ô

est triviale; il serait ridicule <lm-

poser à f des conditions telles que l'intégrabilité de*-c

ou la variation bornée de

J

'.

2"/ Nous avons bien spécifié que la séri,: convergeait

en valeur principale de Cauchy, c'est-aTire

c

conver-

geait vers 2

; mais les séries

c Jk=-N

' -pe=o '

peuvent



14

diverger.

Prenons par exemple pour 4 la fonction Impaire.

égale à

-1 dans ]- s , 0 [ , a + 1 dans

ficients valent

] 0, + $[ . Ses coef-

C~(I) = 0 pour -P, pair, et C,p+,(P) = +

2

(II)

(zJ"+l)Lx -

La série est une série de sinus :

La convergence vers 0

pour x=0 résulte. comme

dans la

remarque 1'.

de consid,érations triviales. Mais

+y 2 "Pé'+):""

4%

C&(B) .i4-

vaut et les s6riesJg, , g

sont toutes deux divergentes pour 3~ = 0.

3”/

Considhons la suite des fonctions ~R+,(,z),sur le

cercle T . Pour toute Lp éa(r) ,et plus généralement pour

toute q E&'(r) , ( +RN

'Lp'

converge, pour N infini.

vers CQCO) ; donc-+ R, converge vers 8

dans l'espace

.$ (r) des distributions sur r , et même dans l'espace

a"(r) des distributions d'ordre fl sur r .

Les

+%4

convergent-elles aussi vers 8

vague

ment, autrement dit dans a"(r) = C'(T), muni de la topologie

de la convergence simple surobe(r) t C(r) ? Ou encore, la

serie de Fourier d'une fonction continue

converge-t-elle

tou-

Jours simplement vers cette fonction ?

Nous allons montrer que la continuité de &

n'est ni

nécessaire ni suffisante pour

eue

la série de Fourier de 1

converge simplement vers I. .

D'abord, SI$

1

est & varlatlon oornee sur la période,

si.

en tout point a , on a

~(CL) = ;(T(a+21 +F(a-o)),la sér

de Fourier de T converge simplement vers $ , malgré l'existen-

ce de discontinult6s;

la continuité de j? n'est donc pas néces

saire pour la convergence.



15

Mais elle n'est pas non plus suffisante. Il n'est pas

trivial du tout de donner un exemple d'une fonction continue

dont la série de Fourier n'est pas convergente. Mais le théo-

rème de Banach-Steinhaus va nous permettre de montrer le même

résultat, sans avoir à exhiber de contre-exemple.

Supposons que, pour toute fonction Lp continue sur T,

la série de Fourier de q converge au point 0

, c'est-à-dire

que

+RN

converge vaguement vers 8 pour N infini. Le

théorème dè Banach-Steinhaus entrakerait que les normes des

mesures

+RNdx

soient

bornées par un nombre fixe

M > 0:

(12)

11 RNd+ =

I

+)lR,(z)j ds 6 M .

Or on,: immédiatement

-2

T

+T

I 1

,AG,+-~+;)w~ dac

T

hw y

T

--

sur IEp

par la

-(N+

i

+(N+i);

2

n.inti\

dt

-@+i)T (N+ $b-

wt

2(N+3)

/

T

Lorsque

N

tend vers +GO , la fonction à intégrer

8

l

/.Gndw~

,

TL '

produit de + (N++in, fi

?

/

fonction caractéristique de l'intervalle

’ II.

2

)

2 ’

+(N+i,;

3

tend vers

;\F*I , dont

(limite d'une suite décrois-

sante); on a

suite croissante.

du chapitre IV),

, limite d'une

comme

pour -ré am,

d'où la contradiction avec (12); et ainsi la continuité de 9

n'est pas suffisante pour la convergence simple de sa série

de Fourier.

Mais le

théorème de Banach-Steinhaus, SOUS Sa forme

vénérale donnée au $ 7 du chapitre VII (théoreme

46)

nOUS Per-

met d’approfondir ce résultat. Il nous dit que, Pour

B-presque

toute fonction complexe continue

$

sur T

, les sommes par-



16

tielles S, ( 0, j) d e la Série de Fourier ne sont pas bornées.

On peut en dire autant pour n'importe quel autre point a der.

Mais alors,

comme une réunion dénombrable d'ensembles maigres

est encore maigre, si A est un ensemble dénombrable de T

POUF B- presque toute fonction continue # sur T , lesS,,(aj])

en aucun point a, de A

. A fortiori,B- presq

toutes les

ont leur série de Fourier divergente en tout po

ne serait cependant pas du tout trivial d'exhiber

un exemple d'une fonction # ayant cette propriété: si alors

est dense, la méthode indiquée après le théorème 46 du chapitre

VII montre que toute fonction

non bornées en tout point Q-

non bornées en B- presque tout

toutes les fonctions continues ont leur série de FourierB- p

que partout divergente.Exprimons ce résultat avec des quantifi-

cateurs :

(3 3, ensemble maigre dans C(r) (A 469)

(jB,

ensemble maigre deR ) : (la série de Fourier de 1 diverg

en tout point de [B ).

Comme tout "B-presque partout" der a la puissance du

continu, il existe donc des fonctions continues périodiques d

l'ensemble des points de divergence de la série de Fourier a

puissance du continu. Cela ne prouve pas, par contre, que 1 e

semble des points de divergence ait une mesure de Lebesgue >

car un "B- presque partout" peut être de mesure de Lebesgue

nulle.

On ne sait pas s'il existe une fonction continue dont

la série de Fourier soit partout ou même presque partout diver-

gente.

Ce fait que les tRN

convergent vers 8 dans a"(r),

mais pas vaguement, est une sorte de

"raté" des mathématiques,

un resultat moins bon que ce qu'on aurait pu attendre; mais il

a été une source de nombreux travaux qui nt développé beaucoup

de branches de 1'Analyse.

4"/ Cn a des exemples de fonctions continues dont la

série de Fourier converge partout, mais non uniformément.



5"/

Nous avons vu que, si $ e L'(r, dr 1,

la série

de Fourier de 4 converge vers 4 dans L* * .

Ceci subsiste

pour 4 e LT, 1 c. p < + 00

, mais la démonstration est difficile.

Par contre c'est faux pour p = 1 ou + 00

. Cel& résulte de cequi précède pour 2" =oo (puisque, si $ est continue, elle est

dans L”

et les S,(t) ne convergent pas uniformément vers

donc ne convergent pas dans L" vers C );

8

montrons-le pourp=l.

D'après le théorème de Banach-Steinhaus, si, pour toute {cc(T),

les S&f’) = + R, JC 4

convergeaient dans c

les opérateurs A-R, t

T

de L' dans L' :

auraient des normes

111 ' N * 111

bornées dans leur ensem-

ble. Fixons-nous N . Soit pi

une suite de fonctions conti-

nues 3 0

SUT r

de support tendant vers l'origine, d'inté-

grale 1; d'après ilexemple 1 après le théorème

67

du chapi-

tre IV, les ej

dx

convergent vaguement vers S sur r pour

d

infini. Donc,

d'après le corollaire 3 du théorème 06 du

chapitre IV, les

;RN*fj 9

définies par x --,

+jRN(=

-b fj 0, dk 9

convergent pour ;i

infini

r

vers p R, , uniformément sur r

: donc

.

converge vers

II '

N

pour a

infini. Donc on a l'inégalité,

sur T :

et comme

tend vers +OO pour N infini d'après ce

que nous venons de voir après

(13),

nous aboutissons bien à

une contradiction. Ici encore, en utilisant la notion.d'en-

semble maigre, B -

presque toutes les fonctions de L'tr)

ont une série de Fourier divergente dans L'

On connaet un

exemple d'une fonction de

L' (T) dont la séke de Fourier

diverge en tout point.

Par contre, si

18P9(1+IW

est intégrable

sur r

, on démontre que la série de Fourier de

;e

converge

vers &_ dans

L'(r,dsc)

-

* On peut étendre à

s

G L' (r,dz ;

T'), si 7 est de dimen-

sion finie;

mais pas si7

est quelconque.



18

soit $ une fonction intégrable sur E? . Son intégrale

de Fourier est définie par (1). Ce qui remplace ici la con-

vergence de la série de Fourier est la validité de la for-

mule de réciprocité de Fourier. en valeur principale de

Cauchy :

(14e")

(a)

Lx fonction c est continue et tend vers 6

ir l'infini d'après

le théorème 1, donc le 2ème membre n'a aucune raison en g&é-

rai d'avoir un sens. S'il en a un. il s'agira en général

d'une convernence non absolue: c'est-même une valeur urinci-

pale de Cauchy, parce que nous avons écritr+ 8

Ln

non A,B++=

_D (ou e,re : il se peut que (14) soit

valable,

mais que

soient des intégrales diver-

gentes).

Le calcul du 2ème membre de (14) est aisé :

+ voir renvoi page

suivante



On est donc encore ramené ti une intégrale de Dirichlet et au

théoreme 2, mais dans des conditions encore plus simples que

pour la série de Fourier,

cl(t)=

him '"2"

car il n'y a pas le facteur

9

qui nous obligeait dans la formule (9) a

appliquer le corollaire du théorème 2, au lieu de ce théorème

lui-même. De ce fait on a immédiatement les résultats analogues

Théorème 4 -

4

Si -j est intégrable surR , le théorème 3 et ses 2

I

corollaires sont valables, en remplaçant la convergence de

z,., par celle de

%

, la convergence uniforme sur A ouR

par la convergence uniforme sur tout compact de A ou deR +*

Mais en outre,

le corollaire du théorème 2 nous permet

de comparer les séries de Fourier et les intégrales de Fourier

de fonctions différentes,

pourvu qu'elles coïncident sur un

ouvert :

_Théorème 2 -

4

Soit p une fonction périodique surR de période 1,

Ilocalement intégrable, et s une fonction intégrable surp.

0

* J'interversion des intégrations est légitime, parce que

Il -e(x) Il

est (d= @&A)-intégrable sur R x[-L,, +L]

(Fubini). (Par contre elle n'est pas intégrable sur Wx W ;

d'ailleurs le résultat avec

l

ZbK'X(cL-¶c) dl

e

serait

dénué de sens, et en général,

comme nous l'avons dit,

n'a pas de sens comme intégrale

ice

de Lebesgue,

z n'est pas d'h - intégrable).

** Cette petite distinction entre la série et l'intégrale

de Fourier est claire. SurT un fermé A

était fermé périodique sur ?R

était compact; ou

encore, si A

la convergence

uniforme de fonctions périodiques sur tout compact de A en-

trakaft

leur convergence uniforme sur A .



SuPPosons que 4 et 9 CoIncident sur un voisinap;e A'

I

d'un

compact A de Il? . Alors la différence s,(J) -zL($)

converge vers 0

uniformément sur A , lorsaue L et N tendent

vers + 00 I

Pourvu

aue la différenceIL-N 1 reste bornée.

On a déja vu que,

lpque_a varie sur un compact, le

produit de la fonction $(QWtj( - ,)t par la fonction caracté-

ristique de[O,+j et la fonction -$(F(a+t) + T(a- t)

parcourent des compacts de L' ( IF?- ,a; 7)

; et,

[ A' ,

si 6, est l

plus courte distance de A et de

elles coIncident da

rw>

pour tout a E. A .

Il suffit bien alors d'appli-

quer le corollaire du théorème 2, avec il= Z,TL , k52r(N+5),

H<t) = hnt dans [o,+]

# 0 en deCOrs.

, prolongée par une constante

Remarque - Nous azns pris

2

de période 1, parce que, dans

la définition de (8 ( i\ ; 4 ) , on prend c?-"~'~,

-iAWS

soit

e

avec 0 = 2 r , F = 4

a une période T quelctinque,

. si;

il faut changer d'intégrale de

~o,ur~r,pcyj

Yf :

ou bien garder la même, mais imposer que

reste borné, de façon que 12 _ p 1

reste

borné, avec i\ = (N+$U ,

p= 2JTL.

Remarque 2

- La convergence simple de la série ou de l'inté-

grale de Fourier étant le résultat d'un théorème de démons-

tration non triviale, elle donne presque toujours des formules

remarquables. Reprenons par exemple la formule (94) du fasci-

cule J'Sérle de Fourier"; elle devient, si l'on remplace ?

par "3 ,

et SI l'on prend T = 2X

donc W=-j , la



21

formule (VII,4;43) du chapitre VII,

obtenue à cet endroit par

utilisation du théorème de Liouville.

La formule

+?-a &- J-r

3c z

qui joue partout ici

un rôle essentiel,

a été obtenue en cours de route au théorème

en utilisant le fait que la convergence de la série de

zkrier était évidente pour une constante .$?=1

; il est bon de

remarquer qu'elle est exactement la formule de réciprocité de

Fourier pour $ =

fonction caractéristique de l'intervalle,

1 4

--

2X

;+ 2Yt 1

zisAr/

(47)

c (2) =

J

f$-

-ILxet la formule de réciprocité (14) pour Q,= 0 donne



Espaces hilbertiens

Ce chapitre ee trouvera ainei déeignd

dane l'édition augmentde et refondue au coure d'analyse

qui paraitra A la suite de oette premibre publication

reproduisant avec quelques corr&ctione

lee coure polycopids de 1'Ecole Polytechnique



g 1 FORMES SESQUILIN~AIR,ES

Définition : On appelle application semi-linéaire ou anti-

linéaire d'un espace vectorielle dans un espace vectorielF

une application 4.~ vérifiant :

Si le corps des scalaires est R

, semi-linéaire cofn-

cide donc avec linéaire.

SoitE un espace vectoriel. Unelfonction scalaire B

sur È x E

est dite sesquilinéaire

, si elle est linéaire

par rapport à la première variable et semi-linéaire par rap-

port à la deuxième :

a) pour

$ fixé, z-

B C;c,%) est linéaire ;

b) pour x fixé, T-

BCG%)

est semi-linéaire.

"

Cela se traduit donc par les relations :

Si le corps des scalaires est R , cela veut dire queB

est bilinéaire.

1 Il semble qu'on écrive avec un

trait d'union semi-linéaire,

anti-linéaire,

ndaire,

et sans trait d'union bilinéaire, multili-

sesquilinéaire .



2

On dit Qu'une forme sesquilinéaireB sur Ë x Ë

hermitlenne, si l'on a

est

(plr,f i 3)

B G+ = B(j,Z)

Lorsque le CO~US des scalaires estR , cela revient à

dire aue B est symétriaue. [ Sur @ , une forme sesquillnéai-

re,ne pourrait pas etre symdtrique sans être nulle, alors

qu une forme bllindaire ne pourrait pas être hermitlenne sans

être nulle ; autrement dit, la notion d'hermiticlté est adap-

tée au caractère sesquilinkaire,

celle de symétrie au carac-

tère billndaire. En effet, si B est sesquilinéaire,

et si

B(%,3)= B(;d,%)

fixé, est a la fois

l'application Z-

linéaire et semi-llndaire, alors, po r

(S ?j) pour 1

toutS,B(+= B(-i(LT,),j)-+;B(i'C'

,'d' = 01 .

Si B est hermltienne,

le développement de B(Tt+ -

prend la forme particulière :

y pc+-1

Y

Par ailleurs :

(Z,mr,~:3lu~

B (=.j,“-$xB(T,S)t Bq$

En additionnant et soustrayant, on obtient

-%&B(3i,$

THEOREME (2,XxX,1:1).

SoitB une forme sesauilinéaire sur un espace vecto-

rIelE sur le corps @ . Pour qu'elle soit hermitienne, il

faut et il suffit que, pour tout2 deË. B (2.;) soit réel.



3

DEMONSTRATION :

Si

B

est hermitienne, B(x,z) est son propre com-

plexe conjugué, donc est réel.

Inversement,

s'il en est ainsi,

B(T ++,%+j),B (%,z)

et BqyP7j) sont réels, et alors :

Y

(2,xM,l;4)

B(%+$-,+j) =

B(%,;J+ B($,$)

t B(S&Tl + B(ij,r)

montre que

(2,fxIT,1; 5 1

B(S+) + B(ïj,Z) = o( réel ;

en changeantz en iz , on voit que

WLXD;1;6~ i ( B(z$ - B(Y,El) = j3 réel ;

donc

sont complexes conjugués, et B est hermitienne.

Cqfd

:EMARQUE

Il n'y a rien d'analogue lorsque K- R.

THEOREME (2,XXII,1;2)

si IK est le corps c , une forme sesquilinéaire B

4

sur

Exl?

est entikement determinée par ses valeurs sur

-c

la diagonale de Ë x

E

, autrement dit par la connaissance

de la fonction x-

A

B(X,z)

.ZEE . Ce résultat

ne subsiste pas si D( = R , mais reste vrai siB est sup:

posée symétrique.



DEMONSTRATION :

Un développement direct donne, pour K - @ :

d'où le rdsultat.

Rien de tel ne subsiste si K = R . Par exemple,

SI E=&, la forme bilinéaire

((=%y*' > (%,yb-t'l

- "i-yz-

=z y,

est nulle sur la diagonale, mais non

[Four B( = R

identiquement nulle

une

forme

bilinéaire B nulle sur la diagonale

s'appelle alt&ée, et on montre aisément que B est alternée

si et seulement si elle est antisymétrlque,

B(Z,T$ =- B($& ] .

Alors

Mais supposons B symétrique

(2,XXII,1;4 donne

sur la diagonale.

QxlI,1;9 1

2 B(;c’,T) = BCz+ij,Z+$ - B(F+)- B(â,ij)

ce qui détermine B , cqfd.

Définitions :

ËXË

Une forme sesauilinéaire hermitienne B sur

est dite positive

30) f

toutzEË.

SI B(Z,Z)&o Dour

Pour IK-

C,“B& 2) ao pour tout; EE" entraine

l'hermiticité, d'aprss ie théorème (2,XXII,l;l), et il est

donc inutile de mettre cette hermiticité dans

mais Il n'en est pas de même pour M=R,

les hgpoth&ses;



5

I

Remarquons

aussi que B(hz,hz)= 2% B (z,;),

2x3 0 ; c'est ce qui permet de faire cette hypothèse de

positivité, au'on ne pourrait pas faire pour une forme

hIlinéaire lorsque o( =@ car alors B(lS,;l?&)- k B(s,%)

ne resterait même pas toujours réel (voir déjà ce qui est

dit apr&s (2,xx11,1;3) )] .

La forme sesquilindaire hermitienne B est dite ddfinie

positive si 3 (X,s)So pour 3 60 .

THEOREME

(2',XXII,l;3) (Inégalité de Schwarz)

Si B es.t une forme sesqullinéaire hermitienne 20

sur F x

Ë

, on a l'inégalité :

on a même l'inégalité stricte 4 ,

si

B

est défin-ie nosi-

tive, à moins que z etz ne soient dépendants.

0

DEMONSTRATION :

Supposons d'abord simplement 830 q

On a :

ce

Soit B(E,$)= hue , h ,IB(SC,Tj)( . Posonsa = te

;e

,

t réel ; alors

(2JxlI,lj12)

j(t)= a+2&t+

d2= B(;c’,?E,+Zt\B(S ,y)I + t’B(y,j)30.

Nous avons donc un trinôme du deuxième degré à coeffi-

cients réels qui est toujours > 0

; donc il n'a certai-

nement pas deux racines réelles,. et par suite CGC-&'& 0 ,

ce qui est exactement (2,XXII,l;lO).



0

si z et 7

sont. dépendants, ou bien $ = ci

, ou

bien s = k'

sont alors 8 aux. Nous allons montrer que c'est le seul cas

'

&E E ; les deux membres de (2,XXII,l;lO)

d'kgallté, si B est ddfinie positive.

Supposons donc 3 + 0

pour tout 3 E C .

et en outre queZ+ 1' * Z

Alors le Premier membre de

n'est jamais nul, f(t)

(2,Xx 1,l;ll)

4

ne s'annule jamais pour t reel,

donc ad- -&'z 0 , c.q.f.d.

g 8 ESPACES PRl%IILBERTIENS

Definition : On appelle espace nréhllbertien un espace vec-

toriel muni d'une forme sesauillnéalre hermltienne&O

.

En gkndral cette forme se note(%,q)--,

ou (Zlj)Ë

'"&J ,

s'il est utile de spécifier l'espace E .

THEOREME (2.xX11.2:1) (MINKOWSKI)

On a l'inégalltd

Autrement dit, z - (ZI~Pest une semi-norme.

En outre, si la forme hermltienne est definie positive,

on a tOUjOUrS l'inégalité stricte 4 , à moins que l'un des

VSCtSUFS g.'U ne Soit DTOdUit de l'autre Dar un scalaire80

DEMONSTFiATION :

Elevons au carré ;

nous avons a démontrer

(2Jxu.2;2) (ztyz+y, a(~lZ)t(jl~)+ 2 (Z I r)hq lj,""

Mals le premier membre se calcule par (2,XXI,1;4), avec



7

Cela équivaut donc a montrer que

(2p,2j3)

C'est donc une consdquence immédiate de l'inégailtd de

Schwarz. En outre, on a nécessairement < lorsque la forme

est définie positive, sauf si, d'une part, on a l'égalité

de Schwe?z,

c'est-à-dire sis et 7 sont dépendants, et si

d'autre part I(zly) 1 = & (z/y),c'est-h-dire si(r \$)

e

t réel 2 0

1

. c'est-à-dire si- -0 ou z, .&'

réel&0 . 6.q.f.d.

?b

7

Ainsi un espace prehilbertien Ë est semi-normé;

nous

écrirons (G Iff)"/"= Il z ll.Ë est normé si et seulement

s'il est séparé ;

cela se produit si et seulement si

c'est-à-dire si la forme herml-

L'inégalité de SCHWARZ s'écrit donc :

REMARQUE :

Soit Ë un espace vectoriel muni d'une semi-norme

notde 11 1

Alors on peut reconnaître si cette semi-nor-

me provient ou'non d'une forme sesquilinéaire hermitienne, et

celle-ci est alors positive et unique. En effet, pour celà,

il faut et il suffit, d'après (2,xx11,1;8), que la fonction

surË y Ë:

(%XX&2;5)

G?j’

pour IKL Q , ou d'après (2,XXII,l;g), que la fonction sur

(2plW6)

Gpj, - -

( IL+3 112-F

pour IK = R ,

soit une forme sesquîlfnéalre

hermitienne,

et c'est alors la forme cherchée. Autrement

dit, on peut

IF- II 7 ll” >



changer nos définitions comme suit : un espace vectoriel

muni d'une semi-norme est dit préhilbertien si cette semi-

norme provient d'une forme sesquilin&ire hermltienne, qui

est alors nécessairement > 0 et unique.

Definition : L'expression(riy) s'appelle produit scalaire

dei et y . On dit que y est orthogonal à S? si(jc/<)= 0;

0

à cause de l'hermltlcité, z

est alors orthogonal à q , et

on dit aussi que 2 et? sont orthogonaux,

"

COROLLAIRE :

Le produit scalaire(~,YI~(~lu)est une forme sesqui-

linéaire continue ; sa norme est 4 pour E s6paré non ré-

duit à son origine.

DEMONSTRATION

D'après l'in6galité de SCHWARZ,

on a I G 1?)I 611 XII II~II,

donc la forme sesqullin6aire est continue, d'après le th6o-

rème 52 du Chapitre XIII , démontré pour des formes bili-

néaires et manifestement vrai aussi pour des formes sesqui-

linéaires. Si E est séparé, 11 11 est une norme, et la

même inégalltk montre que la norme de cette forme sesqui-

lin6aire est S 1 ; -i E n'est pas réduit à son origine,

Il existe z # ii ,

et alors (alb) = II a 11%montre que

la norme est exactement 1 .

Soient S, ,;C, ,...,G,,EË.

On a

II

,+z2+

Alors si les z

“. +s, Il%=1, Ilt+. +II<,l%+ j <ST&cà

; sont deux à deux orthogonaux :

II2, c zz f . . . ~J=~l~,IIL+...+II z, II’

, et ceci est connu

sous le nom de Théorème de PYTH%AGORE.

Définition

: On apuelle espace hilbertien ou espace de

Hilbert un espace prhhilbertien Ê , séparé et ?omglet pour

la metrique d&lnie par la semi-norme ïk-..+

12 Ii= (;c'lZ j':.



9

Un espace de Hilbert est donc encore un espace de

Banach, dont la norme provient d'une forme sesquilindaire

hermitienne, ndcessairement dbfinie positive et unique.

THEOREME 1- (2,XXII,2;2).

Soit Ê un espace préhilbertien séparé. Alors son com-

A

plété Ë est un

espace

hilbertien et son produit scalaire

prolonge celui dec .

DEMONSTRATION :

,,+ Nous avons vu au corollaire du théor>me (2,XI,4;1)

que

E

a une structure canonique d'espace de Banach. Mais

alors la fonction continue définie Qar (2,XXII,2;5 0)~ 6),est

sesquilinéaire $erm$tienne sur E x Ë dense dans

LE

donc aussi sur EX Ë par continuité. C.q.f.d.

Q 3 LE THfiORl lME DE PROJECTION

On a défini (Chapitre IX, 9 21, dans un espace métrique

E ,

la distance d'un point d à une partie fermde

F

par

~<CL; FI = ‘;fF d(a,z).

Définition :

Soit

F

une partie fermée de E et (x/ E E . Une

projection de LL sur

F

est un pointd E F tel que

d(a;oc) = CL(~; F).

En général un point n'a pas forcément de projec-

tion sur un ensemble fermé, ou peut en avoir plusieurs.

Nous avons déjà donné des exemples de ces possi-

bilités après le théorème (2,IX,3;2); celui-ci en même temps

nous indiquait qu'il existe toujours au moins une projection

si, dans E les boules fermées sont compactes. Dans un es-

pace hilbertien de dimension infinie, les boules fermées ne

sont sûrement pas compactes donc le théorème (2,IX,3;2) ne

s'applique pas l il existe toutefois un autre théorème, basé

sur la notion dé convexité :



10

THEOREME 2,XXII,3;1)

SolentE un esnace hilbertien et F une nartie fermde

convexe non vide de

Ë

. Alors chaoue noint de E a une nro-

jection et une seule sur F .

DEMONSTRATION

Nous nous appuierons sur un lemme :

Lemme de la mediane

Soient z, $,e,trois points d'un espace préhilbertien.

On a, six est le milieu de [x0] :

La démonstration du lemme est kvidente ; en posant %-;i=s,

z-x

-q )

2

on retombe simplement sur (2,XXII,l;3 qnarto).

Montrons maintenant le théorème. Soit d=&(a.F) .

Soit 2, ,z, ,..., ï7 *,... une "suite minimisante", c'est-a-dire

que d(Q,zw)tende vers d, pour n infini. Appliquons le lemm

de la mddiane aux trois polnts$'Cm,r,, ;

on a :

Les deux premiers termes du deuxième membre tendent vers d

pour m,n,inflnls ;

mais F est convexe, donc

3E,+ r,

est

- - 24

dans F ,

et par suite d(Z, -;=y~ a

; donc le deux

me membre a sûrement une limite supérleure~c,et, comme Ilesta

iltend vers 0 pour m et n infinis. Ainsi toute suite minimi-

sante est une suite de Cauchy. Comme E est supposé complet,



11

elle est convergente ;

dansF

comme F est fer&e,sa limite 7 est

l comme la distance est une fonction continue,

d(Z,;J)Ld, 2 est une projection de ?% sur

F

. Il ne peut

exister qu'une projection ; car, siai etB sont deux pro-

jections,

la suite S,jS,Z,a,<, j$,.- .,

est minimlsante,

donc convergente, et s= p . C.q.f.d.

REMARQUE :

SI F n'est pas fermée ou n'est pas convexe, ou SI E

n'est pas complet, la conclusion ne subsiste en général pas.

Toutefois elle subsiste manifestement pour È préhilbertien

si l'ensemble convexe F est supposé séparé et complet.

Nous allons donner maintenant une caractérisation de la

projection :


Soit F une partie fermée convexe non vide d'un espace

hilbertienÊ . Alors siz est la projection de x ê f surF

on a pour tout z E F : IRe (Z-XI Z-Z) 4 0 ; et ceci

est caractéristique de la projection.

.

DEMONSTRATION :

Par translation, on peut supposer G =

0

; la relation

s'écrit alors 0k(SZ) SO.

Si &(dIz)SO pour tout XEF , on aura

IIz-q2= u z 112-

z of45 cd 1z, + 11s 11% 11TE 11"

pour tout II ZII#a

de F et ;=Ô

est bien la projection

de 2 sur

F .

Inversement, si 2

=o est la projection de z sur F ,

on doit avoir,

puisque F est convexe et que par conséquent

tX )

o=st<1,

est dans

F

dès que 2 est dans

F:

11z - tzit II” a 11 %1”

pour tout Z ET et tout tE[O,I];

dort -zt&(aIE)+ t”l~~lfao r>oursEF ettE [O,I].



12

Fixons 3c: .

Si 6% (Zl Z) était > 0 , cette quantite

serait sûrement < 0 pour t suffisamment p

6?

etit ; donc

&(oilg) est bien G 0 . C.q.f.d.

P3MARQUES :

1) Cn peut donc dnoncer :

Si E est hllbertlen, si F est fermé convexe

dam Ë , et Si a

EË

, il existe un Ô? unique dans F tel

que, uour tout z de F , on ait :

& (Z-o;1

G-3) SO

2) Supposons que le corps des scalaires soit R . 11

est alors habituel de poser

GI$)

=ca50,

II g II

0 l'angle des vecteurs z,y .

II y Il

et d'appeler

Alors le théor5me précédent

s'interprète en disant que l'angle de 2-G

-t s-7 est

obtus (ou droit pour tout z de F .

VARIATIONS de la PROJECTION LORSQrJEa OU FvmIEîdT.

THXOREME (2.xX11.3:3)

Soient E un esnace hilbertien,F une partie fermée

convexe non vide de 2 .

L'application qui, à chaque point2

de È , fait correspondre sa projection z S?ur F , est

continue de7 sur F .

DEMONSTRATION :

SolentZ,$EË et Z,$

leurs projections sur F . On

a, en appliquant le lemme de la médiane au triangle x,$,3,

et en se rappelant que,

-Z+j$

par suite de la convexité de F,

-rF donc cw d(z,q)a d(&,F):

2



13

Nais, d'après (II,g;l) (actuellement au Chapitre IX.,, $ 2),

d$,F) P d

6,F) - d (a,&

Si d(a,F)s d(a,$)

, on aura

(2,.XX&3;4)

1 &=(;y,$) s (d(q;> + d(z,F$S 4d2(d,h;

2

Si

d(ifi,F) 9 d(&%

, on aura

(Z,xxn,3:5)

+ d2(;,1j) G (d(ii’,FJ t d(ajb)‘-(d(a,F.b d6,h2

= 4 dG,+ d(2.x) ;

dans touzles cas,

wqh

tend vers 0 , pour a fixé,

lorsque k tend vers x , c.q.f.d.

Faisons maintenant varier F .


soit

Fe > F, >. . . F;, ,...

une suite décroissante d'en-

sembles fermés convexes d'intersection F non vide, d'un

espace hilbertien

Ë

. Ddsignons par ?- la projection d'un

point a sur Fn . Alors, lorsque n. tend vers l'infini, les

points 7%

convergent vers la projection z de a sur l'in-

tersection

F ;

et d(d,F,) tend vers d(Z,F).



14

DEMONSTRATION :

hrswe n augmente, l'ensemble F, devient plus petit

9

donc la dJstance

d

n

des 2.F

Il, eugmente ; cependant elle

est toujows il,férieure à la distance d de 2 à F ; donc

la suite des nombres d,

est bornée et croissante, et con-

verge par conséquent vers une limite JE d. 11 en résulte

en particulier que les différences dm- d,,

ccrnvergent vers

0 lorsque m et 1% tendent vers 00 . Appliqucns alors le

lemme de la rnédizne aux trois points 2 zwx,?

xm + 3,;

IL

, en sup-

posant 7131~ . Comme le point

2

appartier,t à l'en-

semble convexe F, on i: l’inégalité

et par suite la majoration

Elle prouve qw? la suite des TK

dans Ë .

est une suite de Cetichy

Celui-ci étant complet, elle cor.verge vers une limi-

teoi .

Comme tous les F sont fermés,

0; 'pp2rtlent 2

chaque t,, donc Ei

F . Alors d(a,Gî)

est la limite des

d(x,i?,J = d,,

,

donc est égale à 6 ; mais par ailleurs

o( EF

donc d(X,G?)> d 3 6 . CI-: a donc nécessai-

rement

d =’ S ,

c.q.f.d.

et z est la prc,jection de a sur F ,

REMARQUE :

Si F est vide,

n'existe ~1~s.

le résultat r.e subsiste plus, puisque;

Toutefois il reste vrai que

d,., converge

vers + 03 > distance de 2 à la partie vide.

En effet, s'il



15

n'en était pas ainsi, les d, seraient bornés, donc auraient

encore une limite 6 finie, comme dans la démonstration ci-

dessus. La même méthode montrerait alors que lesai, ont une

limite 2 G F , ce qui serait absurde puisque

F

est vide.

TI-EOREl'E (2,XXII,3;5).

Soit F, > E, , , .

l

, Fn ,. . . , une suite croissante d'ensem-

bles fermés convexes non vides d'un espace hilbertien Ë ,

et soit F l'adhérence de leur réunion. La projection;,,

d'un point; GÊ sur 5, converge, pour n tendant vers +or,

vers la projection z de z sur

F

, et

d

(z, F,) tend vers

d(%F).

Dl34ONSTRATION :

Cette fois-ci, la suite d,= d (a,Fn) est décroissante,

et a donc une limite 6 2

dz

d(&,F). Mais ici on voit direc-

tement que S= d . En effet, soit 2 la projection de a

sur F . Puisque F est l'adhérence de U F

Il.&0 n

, il existe,

pour tout & > 0 , un entier rt et un point z, de F, tel

que

11 -qx II d e

; alors d, < d(Z,Sil < d (R,< I+&=d+&;

donc 65 CL + & , et,

& étant arbitraire, 6 5 d, donc 6=&.

Ensuite, le lemme de la médiane montre, comme au thdoréme

précédent, que les qw ont une limite z . Tous les Fw sont

dans +$JO Q ,

donc q est dans l'adhérence F de cette

/

réunion. Et comme d <Ü?,z) est la limite des k(z,z)= d,,

c'est d, 3 donc z est la projection de z sur F ;' c.q.f.d.



16

s 4 APPLICATIONS AUX SOUS ESPACES VECTORIELS FERMES

D’UN ESPACE HILBERTIEN

THEOREME (2,Xx11,4:1).

Soit 7 un sous-espace vectoriel fermé d'un espace

hilbertien Ë .

Pour tout point â

de E , si4

est sa

projection Sur F,[z,~] est l'unique perpendiculaire abaissée

de x sur F .

DEMONSTRATION

Un sous-espace vectoriel fermé est ferme convexe, on

peut donc appliquer les theorémes précédents.

Pour que 0; soit la projection de z , il faut et il

suffit que, pour touts de 7 , on ait : &(a-2 (s-z)&o.

Mais, puisque F est un sous-espace vectoriel,

dans F

siZ varie

, % -2 prend comme valeurs tous les éléments de 7;

cette condition est donc équivalente à

pour tout 2 de F .

: æe (Z-Zl5E)=s 0

Mais, sis est dans F ,-z y est

aussi ; les quantltds précédentes ne peuvent être toutesGO

sans être toutes nulles ; enfin2 ne peut être dans F sans

que ir‘ y soit aussi, de sorte que celà équivaut finalement

à : (z - 2 2)~ 0 pour tout z de ? . Donc z est la pro-

jection,

- -

si c seulement si a- o( est orthogonal Èr tous les

vecteurs de

F

nal à i' .

> ou,

comme on dit plus simplement, orthogo-

REMARQUE :

Bien sûr, 2 peut être dans

F , alors ; = a.

COROLLAIRE :

Soient

E

un esuace hilbertien, F

un sous-espace vec-

toriel de

Ë

. Pour que F soit dense dans Ë , il faut et

il Suffit qu'il n'existe pas de vecteur non nul orthogonal

.F-

ar .



17

DEMONSTRATION

Si7 est dense, un vecteur orthogonal à F est ortho-

gonal à l'espace entier, donc à lui-même, donc nul. Si F

--c

--ç

n'est pas dense, F

est fermé +E ; siZ 6 F , et si

2

z

est sa projection sur

F

,Z-ai est un vecteur non nul or-

thogonal à ? .

DEFINITION

On dit qu'un vecteur z

de E s'il est orthogonal à

deux parties 5 F, sont

l'une est orthogonal a tout

est orthogonal à une partie F

tous ses éléments. On dit que

orthogonales, si tout élément de

élément de l'autre. On appelle

orthogonal- d'une partie.

F ,

et on note

F

t

, l'ensemble des

eldments orthogonaux à F .

+

4

L'orthogonal d'un élément

cx de E est le noyau de la

forme lineaire z--+ (g 2);

f

un hyperp

I

c'est donc, d'après le thdorème

an fermé,

sauf si cette forme lindaire

est identiquement nulle,

ce qui ne peut se produire que si

a,

Ô

(puisque (& 1 zd,= 0 entrarne Z =T ). L'orthogonal

F+ d'une partie F est donc toujours une intersection d'hy,

perplans fermés, donc est un sous-espace vectoriel fermé de E.

Par ailleurs un vecteur orthogonal à des éléments est

orthogonal à leurs combinaisons linéaires, donc tout vecteur

orthogonal à F est orthogonal au sous-espace vectoriel engen-

dré par F ;

mais aussi à son adhérence, par passage à la

limite. Finalement l'orthogonal F+ de F coyncide avec

-* ---,

l'orthogonal q+ de G , adhérence du sous-espace vectoriel

7 engendré par F .

THEOREME (2,XXII,'+;2).

Soit 7 un sous-espace vectoriel fermé d'un espace hil-

bertienË.

-L

Alors F et son orthogonal F+

sont topologique-



ment suualémentaires. Le projecteur de E sur F parallèle-

lement à

F’

est l’auplication qui, à tout 2 de E , fait.

correspondre sa projection sur ? ; on l'appelle aussi le

pro.lecteur orthogonal de E sur F . Sa norme est

1

si F

n'est pas r&uit à 401.

DEMONSTRATION

L'intersection de F et F+ est réduite à 0 , car

tout vecteur de cette intersection est orthogonal a lui-même.

Ensuite, si ;r. E E , et si? est sa projection sur F sui-

vant le th&@me de projection~(2,XXII,3;1).~-F est or-

thogonal à F

, (T (2,$11,4;')) donc dans F+ , et alors

la déczposition z={ + (g-1) montre que F

-+

et F

engen-

drent E ; donc ils sont algébriquement supplémentaires. Pour

démontrer qu'ils le sont topologiquement, nous devons montrer

(théorème T (2,xx+II,1;3)) que le projecteur de È sur 7 pa-

rallèlement à F est continu ; or c'est le théorème

(2,xXII,3;3) ;

ou encore d'après le théorème de Pythagore,

IIr II"= nTII"t 11=G- ij 11' donc I(x 11g 11 z )( , donc ce

projecteur est

Continu

et de norme < 1 . Il est en fait de

norme 4 , sauf si F est réduit à { 0 }

on a y= 33. c.q.f.d.

, car, pour ~CE F

REMARQUE :

Ceci montre en particulier que l'application G--+

r.

qui I

à chaque 2 de E ,

fait correspondre sa projection

sur F , est linéaire.

COROLLAIRE 1

Si F est une partie quelconoue de E , l'orthogonale F"

=

de son orthogonal F+ est l'adhérence G du sous-espace vec-

toriel G engendré par F ; c'est donc l'adhérence de F si

F est un sous-espace vectoriel, et F elle-même si F est

un sous-espace vectoriel ferme.



DEMONSTRATION

--t

Puisque F+= G+

z

, on a F++= Cj ++

, et nous avons

simplement à montrez que,

si F est un sous-espace vectoriel

fermé,

+++

onaF ,F .

Or bien évidemment F++ contient ?

-+

d'autre part tous deux sont supplémentaires de F

donc ils

coïncident.

C.q.f.d.

COROLLAIRE 2

soit (q, c Ei

, une famille de sous-espacesvectoriels

fermés de E . L'orthogonal de la réunion ;lJ1q est l'in-

tersection ;?I F+ des orthogonaux ; l'orthogonal de

l'intersection

.(QI c

est l'adhérence du sous-espace vec-

toriel engendré par la réunion

des orthogonaux.

DEMONSTRATION :

Dire quez est orthogonal à

, c'est. dire

qu'il est orthogonal 4 chaque

donc appartient à chaque

; donc trivialement

Ceci

serait même vrai si les 5

étaient des parties quelconques

de Ë .

Il en résulte que l'orthogonal de& ?;+ estiLQI ?'+

c'est-à-dire

;2I c.

si les rti

sont des sous-espaces vec-

toriels fermés (corollaire 1) ; autrement dit, si F= U c+

ona ;E,c== F+

(;$,K )+= F ++

ijix

; alors

est bien

l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par 6

corol-

laire 1).

c.q.f.d.



20

REMARQUE :

Ce resultat est normal ; l'orthogonal de

ne peut pas être ;y1 <+ , ce qui n'est en général pas

un sous-espace vectoriel et n'est pas fermé.

COROLLAIRE 3

-+

Soient 2 un eswce Drehllbertien sér>aré, F un SOUS-

ESDaCe vectoriel, Z un esnace vectoriel tonologipue complet

9

u une apDllcation lindaire continue de F dans z . Alors~

se DrdonKe en me aDDlicatiOn linéaire continue u de Ë

dans G ; en Outre, si G

est

normé, on Deut la choisir de

façon quel tLII = 11w 11

DEMONSTRATION

On peut toujours supposer E hilbertlen (car s'il ne

l'est pas, on démontrera même qu'on peut prolonger

complétd hilbertien).

à son

Ensuite le théorème de prolongement

(T 2,XI,2;4) (étendu aux espaces vectoriels to ologiques,

voir compléments à la fin du Chapitre XVII,

§ fk

permet

d'emblée de prolonger ,LL à F , en conservant sa norme sic

est normé ; donc on peut supposer F fermé (et dans ce cas

?f n'a plus besoin d'être supposd complet).

l'espace hllbertien E ,

Alors, dans

le sous-espace vectoriel fermé F

a un supplémentaire topologique ?+ . Donc on peut prolonger

u.enZ,

-+

en donnant à & la valeur 0 sur F (corollaire 2

de (T 2,XVII,1;51) ; pour (%+ 3)Ei-i ,~EF

++

on aura Z (Z+

> ;EL

â) = u(G). Alors, si q est norme :

(xxlL4;~) 11 -z 11 52 11AA-1

mais comme trivialement 11U 11 2 II ti 11

.

C.q.f.d.



21

REMARQUE

En prenant c= IK on voit que le théorkme de Hahn

Banach (par exemple corollaire 2 de (T 2,XIX,?;l) est trivial

pour les espaces préhilbertiens séparés. Voir aussi la

remarque 1 qui suit le corollaire 12 du même théorbme.

Bien entendu, le prolongement z n'est pas unique en

général,

si7 n'est pas dense dans E .

ufl sous-espace vectoriel fermé 7 d'un espace

hilbertien E est hilbertien quand on le munit de la forme

sesquilinéaire induite, puisqu'il est séparé et complet.

Corsidérons maintenant le quotient Ê/F ; le

théorème T (2,XVII,6;4 nous indique qu'il est un espace de

Banach, relativement à la norme quotient. Nous allons voir

qu'il a une structure hilbcrtiennc, dite structure hilber-

tienne quotient. Soit, en effet F' l'orthogonal de r ;

il est supplémentaire de ? , donc la projection canoniquen

deË sur Ë/F

est me bijection linéaire de F' sur

E/T;

,

elle permet donc de transporter la structure hilber-

tienne de ?SIX

Ë

/ F. Autrement dit, peurs

nous poserons par définition ($ 1 ;)= rgl<)

est l'unique élément de F+

appartenant à la classez (respi$).

En fait on aura

mëme (z 1 Tj) = ( ZB 1Yj?),4;ême Si un sed

des

est dans

F

; soit en effet

dans p donc orthogonal à F+

Pluni de ce produit scalaire, est hilbertien, puisqu'il

est exactement isomorphe à F . La norme (z 1 z)

cette structure hilbertienne sur E

/F

est exactement la

norme quotient 11-Fc 11 ddfinie par le thdorème T (~,xvIII,~;~

en effet Ii& 11 est la borne inférieure des normes des 2 E g

c'est donc la distance de l'origine au sous-espace affine x

de Ë ,

parallèle à

7;

d'après les théoromes T (2,XXII,3;1)



22

etT (2,xxII,4;lj, c'est exactement

projection orthogonale de l'origine

la norme // z I( de 1,

sur le sous-espace af-

fine SS ,

c'est-à-dire la norme de l'unique élément z de%

qui appartienne B F'

Nous avons donc démontri ceci :

donc aussi (El %.i/l OU (2 1 z$&.

THEOREiW T (2,xX11,4:3)

SoientË un espace hilbertlen, F un sous-espace vec-

toriel fermé. Le quotient Ë /F , muni de sa structure

canonique d'esuace de Sanach, est hilbertien ; la bijection

canonique de F'

sur E

/ F

tures hllbertiennes.

est un isomorphisme des struc-

REMARQUES :

La démonstration a mis en evidence les 2 faits supplé-

mentaires suivants :

l"/ D'aprk la definition de la norme quotient,

la nor-

me de 5 E E/F est la borne inférieure des normes des:Es;

dans le cas présent,

cette borne est atteinte par l'unique

point= de & qui soit dans -i+.

2"/ Pour z E F

++ -.a -

ona (E

.yE 1

1 $=G I

ou pour S e

Ë

, T e F',

9,.

$4 5 DUAL D’UN ESPACE HILBERTIEN

Soit Ê un espace vectoriel normé. Le théorÈme (T 2,X111,

5;l: établit une bijection linéaire continue 1

l'espace des formes bilineaires continues sur

P

;dpisc&~; de

l'espace des applications linéaires continues de

Ë

dans son

dual El (voir remarque 1 après la démonstration du théorime).

Une simple modification permet d'établir une application bijec-

tive lineaire isométrlaue4.6

-+U de l'espace des formes sesqui-

linéaires continues surE,E sur l'espace des applications

anti-linéaires continues de E dans

F .

Redonnons cette

correspondance. Si 4.i est une forme sesquilinéaire continue



23

sur E

XE

,U une application antilinéaire continue U

dez dans Ë , la correspondance entre AA et

U

est définie

par :

le dernier produit scalaire etant celui que nous avons défini

entre un espace-vectoriel normé et son dual :

LZË.

Partons de U, pour

9

donné, U(q) sera la for-

me lin6aire continue~-tu(~-c)sur~ c'est donc bien un dlément

CL

dep*Comme, pour z fixé,u.(z)T)dépend anti-linéairement de y,

et que <z,lJ (y)>dépend linéairement de U (j) , u(a) doit

dépendre anti-linéairement de 3

-Y '

donc U est une applica-

tion antilinéaire de r dans E’ . En outre, en fixantZ,T,

on voit que ti A U

est linéaire ; et nous savons que

I I A4/ I I ‘ I I u I I l

Pour que U soit injective de Ë dans E) , il faut et

il suffit que U (5) =Timplique

y= 0 ; mais U (“a)=0

signifie-que u (z,T)= 0 pour tout= ; donc U est injec-

tive+de E dans

Ê

si et seulement si le seul élément-

de E vérifiant ti(z,?J= 0 pour tout 2 deË

est 3=

Y+

0 )

c'est-à-dire si ti est non dégénérée. On peut alors se deman-

der quand u est bijective :

TREOREME (T2,XXII,5;1)

Si & est une forme sesquilinéaire continue non déaénér6e

sur un espace vectoriel normé

Ë

, l'application linéaire

continue IJ de

Ë

dans Ê qu'elle définit par (2,XXII,5;1)

est une bijection antilinéaire bicontinue (c'est-à-dire un

1 La remarque 2 après le théorème (

2,x111,5; 11 nous in-

dique qu il y a deux manières de définir une bijection

telle que k4 _3

u ;

c'est précisément la deuxi&me que

nous prenons

ici.



24

mti-isomorDhisme) deË sur

E’ , au moins dans les deux

cas suivants :

1)

2)

È

est de dimension finie ;

-4

E est un espace hilbertien, 64, est le

DrodUit sca-

laire de sa structure hilbertienne ; alors U est

en outre une isométrie de E sur Ê' .

DEMONSTRATION :

1) U étant injective, elle est sûrement bijective siE

est de dimension finie, puisque El a la même dimen-

sion. Elle est bicontinue puisqu'on est en dimension

finie.

2) Soit E un espace hilbertien, et A.& la forme produit

scalaire &L(X,?) = (ST 17) . Montrons donc que

U

est s2fjectlve. Soit donc (IT un élément #z?? du

dual E’ . Alors le noyau de la forme lindaire conti-

nue $ est un hyperplan fermé < de Ê . Puisque Ë

est hilbert?n, il existe un vecteur non nul7 or-

thogonal à H (corollaire du théorEme_T (2,XXII,4;1));

alors la forme linéaire continue sur E

a aussi le noyau H ,

:Z+<;CI$

àz,

donc elle est proportionnelle

ce qui montre bien la surjectivitd de U . Alors CJ

est bljective de

est antilindaire

ment dit IlU($)II~II

donc U (y] II> 11T

-

et

U

est une isométrie de E sur

est sussi continue. c.q.f.d.

SI E est un espace hilbertien.

-,

E-

et alors

U-’

le produit sca-

laire se note une fois pour toutes

alors l'anti-isomorphisme

U

de Ë

se notera



25

une fois pour touteâsous la forme

y-5 ;

cela s'écrit

(2,XXlI,5;2)

bien distinguer ( 1

) > produit scalaire sesquilinéaire

sur Ë X Ë

, de 4 , > ,

produit scalaire bilinéaire sur

Ë

x El.

COROLLAIRE 1

Un espace hilbertien est anti-isomorphe à son dual (en

tant qu'espace de Banach).

COROLLAIRE 2

Toute forme linéaire continue 2 sur un espace hilber-

tien Ë s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme

du produit scalaire avec un élément fixe : 2

-(Llij):

COROLLAIRE 3

Le dual E’ d'un espace hilbertien est lui aussi hilber-

tien. Son produit scalaire est le. complexe conjugué du

transporté par l'anti-isomorphisme canonique :

DEMONSTRATION :

Puisque,

en tant qu'espaces de Banach,

E

et Ë

sont

anti-isomorphes,

El

est hilbertien comme

Ë

. Son produit

scalaire est défini à partir de sa norme par la formule

-c c

(2,XXII,2;5) ; on a donc,

compte tenu de ce que s+ i--X -i-s

Y- Y*



-il1 Et$@)= (slr>< , c.q.f.d.

REMARQUE

On ne pourrait pas avoir (5 I;)6=(Z 1 j)r car le

deuxigme membre est linéaire en2 et anti-linéaire en 5

donc anti-linéaire en E et linéaire en

c

au premier.

Y '

contrairement

Fuisque il est hilbertien, il y a un anti-isomorphisme

canonique 5-7 de

Ë’

sur

Ë’

; pour?&'=%eË',

$eË

, on a :

où -

z

‘6-Y

est l'injection canonique de Ë dans son bi-

dual Ê'

. On a donc 7 = 5 ; mais alors l'injection



27

canonique, produit de deux anti-isomorphismes, est un iso-

morphisme. Donc :

COROLLAIRE 4

L'injection canonique de E

dans

Ë’I

est un isomorphis-

me, produit des anti-isomorphismes canoniques de Ë Sur p

et deE sur E

-II

; un espace hilbertien est réflexif.

COROLLAIRE 5

Les anti-isomorphismes canoniques de Ë

sur son d>Jal

C

E' et de E’

sur son dualS sont réciproques

l'un de l'au-

tre.

COROLLAIRE 6

La boule unité d'un espace hilbertien est faiblement

compacte.

Il suffit d'appliquer le théorème de Banach (J~,xIx,

7~8).

REMARQUE :

Les propridtés antérieures sur l'orthogonalité se dé-

duiraient alors à nouveau facilement de celles du chapitre

XIX, 9 7 : les corollaires 1 et 2 de (T 2,XXII,4;2) se

ddduisent du corollaire 2 de (T, 2, XIX,7;3). En effet,

d'après (2,XXII,5;2) ?& et? sont orthogonaux dans Ë si

et seulement si X E ËJ

et + E E

-3

sont orthogonaux ;

si alors A est une partie de E

son orthogonale dans Ë

est

l’image

de son orthogonale dans Ê

par la bijection

canonique de ??

sur Ë ; c'est aussi l'orthogonale dansE

de son image A dans Ë'

; alors sa biorthogonale pour la

structure hilbertienne de E est aussi sa biorthogonale

pour la dualitd entre ? et Ë’ .



28

§ 6 SOMMES DIRECTES HILBERTIENNES, BASES HILBERTIENNES

IIIw###I#wwII#H#~II~~~~~~ll~~ll~~~ll~~~ll~~~~ll

Soient F,

,Ë

z deux espaces vectoriels normés.

Nous avons vu au § 4 du Chapitre XIII qu'on peut mettre sur

9 -

leur produit

E,x E,

, identifié à leur somme directe<@Ë%

diverses normes, définissant toutes la topologie produit,

mais qu'aucune ne s'impose plus qu'une autre. Cependant,

si Ë,

et FL

sont hilbertiens, auquel cas E, x

2%

est

sûrement complet,

les autres ;

c'est

il existe une norme plus intéressante que

Elle provient évidemment d'un produit scalaire

de sorte que Ë, Ë,

st lui-même hilbertien. On dit que

Ë,

8 E, I

muni

de cette structure hilbertienne, est la

somme directe hilbertienne de E, et de E, .

Sa structure

hilbertienne est la seule qui induise sur Ë, et Ë,,

leurs

structures hilbertiennes,

et pour laquelle ils soient or-

thogonaux.

Il n'y a évidemment aucune difficulté à étendre

à des sommes hilbertiennes finies. Dans ce sens, l'espaceRy

muni

de sa norme euclidienne usuelle

n’est autre aue la somme hilbertienne de n espaces identi-

ques à la droite réelleR ,

munie de sa norme canonique

(13~ 11= il scI( , qui provient évidemment du produit scalaire

De même l'espace cl%, muni de sa norme



hermitienne usuelle I[ m 11=(c, iakl'j/Ln'est autre que la

somme hilbertienne de 7~ espaces identiques à a , muni de

sa norme canonique 115 II= 13 1 , qui provient du produit

scalaire ("IU,)Qo=zT *

Mais on peut aussi définir des sommes hïlbertiennes

infinies.

Soit ZG)iEI

une famille quelconque d'espaces hil-

bertiens Ë; , 1 ensemble d'indices quelconque . Appelonszm

(ce qui entraine qu'au plus une infinité dénombrable des 2;

soient # 0 >. Appelons Ë

l'ensemble de ces familles2 ;

Défi$ssons l'addition et la multiplication par les scalaires

sur E par :

(2,BlI,6;3)

On définit ainsi , ? comme un espace vectoriel sur IK . Posons

maintenant

112 11 = (& \/~;11'~~ . lYontrons qu'on définit

là une norme sur Ë , La seule chose non triviale est l'iné-

galité de convexité, alors ce sera une semi-norme, et

II z II =

0 entrafnant trivialement Z = 0 , ce sera une norme.

Or, si J est un sous-ensemble fini de 1 , l inégalité

(2,1,2;5) donne



30

d'où l'on déduit bien en prenant la borne supérieure des deux

membres pour tous les J :

Donc E est un espace vectoriel normé. Mais sa norme provient

d'un produit scalaire sesquilinéalre hermitien, donc E est

préhllbertien sépard. Si en effet r

tien

on a la majora-

de sorte aue ;GI I(~L IT~)Ë, )C + 00

, Si alors on pose

c

(%m,6;7)

(EIj)~

,

on définit bien sur E un tel produit scalaire, et[~ll'=(~l~)

[

D'ailleurs la majoration (2,XXII,G;h) peut se remplacer par

une majoration meilleure,

soit en appliquant (2,1,2;7) à une

partie finieJ de 1 et en prenant la borne supérieure pour

tous les J , soit en appliquant l'indgalité de SCHWA32

(2,XXII,l;lO) puisque nous savons maintenant que E est

préhilbertien :

Définition :

L'espace Ë ddfini ci-dessus s'annelle la somme directe

hilbertienne des $, , et se note @ E;

IEI

Certains des Ë< peuvent être rdduits a (0) .



31

T-HEOREME (T ,2,xx11,6;1 .

La somme directe hilbertienne d'une famille d'espaces

hilbertiens est hilbertienne.

DEMONSTRATION :

Mous devons montrer que Ê est complet *

rons le crithre (T,2,XIV,2;2),

nous applique-

en montrant hue toute série

normalement convergente de Ë est convergente. Soit donc

une série d'éléments de Ë ,T ljzfiII

<+Ce.

1t=O

Pour tout 7x ,Zn=(q,i)ceI . Commell Z..l,i 11~ I 11Ztilljf

>

on a pour tout tâ

complet, la série

1 , go II q1E;

< + 00 ; comme E,

est

c c,i.

converge ;

11' 0

soit 2; E ï?; sa

(2,1L2;5) à une somme de E termes au lieuomme. Appli uons

de 2 ; soit

3

fini C 1 ; alors

(2,XXE,6;9)

En prenant la borne supérieure pour tous les J finis et tous

les N :

et comme, pour tout L,

Il

)



32

Donc 'z;)iCi est un élémentz de 2 .

Il reste à voir que 2 Zw

converge vers z dans E .

n-0

Il suffit pour cela de réappliquer (2,XXII,h;lO), en rempla-

çant 2

n=O

par c :

I%=N +1

qui tend vers 0 pour N tendant vers l'infini,

c.q.f.d.

Tel qu'il a été défini,Ë =@ 2;

est un sous-espace du

CC1

produit LE1 Ë; ;

il ne contient que les (;CI jLEI tels que

,2; II ;E, Ik +- . D'autre part il a une topologie plus fine

que la topologie Induite par le produit et strictement plus

fine si 1 est infini ; (55;)~~~

converge vers 0 dans le

produit si, pour tout i , SE, converge vers 0 ,

alors qu'il

converge vers Ô dans El

Ëi

si la somme ,bql II Z; II’ con-



33

verge vers

0

. D'ailleurs, dès que 1

est infini, ;$Il E,

n'est pas normable (page XVIII,lg), alors qUe,zI Ë;

est

hilbertien. D'autre part f?*

k

n'apparart pas comme un sous-

espace vectoriel de Ë ; toutefois, si l'on appelle

-i

w

l'espace des (zi );er tels que ";= e pour c#' Ë .

3 ' iif est

manifestement isomorphe, en tant qu'espace hilbertien,

à E

-p

un isomorphisme entre les deux est défini par:-+1. ,fE E, ,

où <.

est 1'6lément (%*=T,Gi=O pour 4,+ de

(1) f

1 d b

“ l

Plus gdnéralement,.

soitJ un sous-ensemble de 1 ; appelons

Ê, le sous-espace fermé de Ë formé des(xx=;)leI pour les-

quels G;'o pour *L+.J .

G

est isomorphe à $ El . SiJ

et

K

sont deux sous-ensembles disjoints de I,EJ et ÈK

sont

orthogonaux ; si J et

K

sont exactement complémentaires,

chacun des sous-espaces

ËJ Ët(

,

est exactement l'orthogonal

de l'autre. Pour ?k= (El);,, , appelons 2, l'él~ment(~LL);EI

avec

+Si

pour L E J --

$=

0 pour 1. 6 J ; alorsZJ est la

projection orthogonale de; sur ÉJ .

Pour JF L , on a

E,= Ë,rl = 2; pour J = {j \, on retrouve l'espace Ftji

isomorphe à E; , et, pour z= (2; )irl ,s est la projec-

d

ta i

tion orthogonale de x sur Ë

ij\ '

%j\

n'est pas 2.

b

mais

t

%j ;

-t -+

oc;=0 pour

i* &) *

En fait, la plupart du temps, il

n'y a aucun inconvénient à identifier E. ài?

cl

id;



34

lesdE;

sont ainsi des sous-espaces, deux à deux orthogonaux,

deE . Mais il sera impossible de le faire si, pour deux

indices différents d

et-k; Zi=

Ë*+{ô/;

car on aura qtiand

même Ëti\# È{&) . Par exemple, soit 'ic un espace hilbertlen,

et considérons -la somme directe hilbertienne E = 8

F

> o

ié1

tous les

EL

sont Egaux à T . Alors, pour tout : CI

J

' sjt

est un sous-espace de Ê ,

mais tous ces sous-espaces sont

distincts et même orthogonaux ; l'isomorphisme de F

-

sur Eijl

est celui qui, à$EF, associe(Z;);el ,S. + +- d,Xir 0 pour

A# j .

Sauf mention expresse du contraire, nous ferons tou-

jours les Identification Ë.=z

2. - z

j ij\ ' d - 01 .

THEOREME (-r .2,xx11,5;2)

Le sous-espace vectoriel engendre par les

EL

dans

Ë=@

Ei

Id

est dense. Pour tout s = (r;);el de E , h

série cz-

; c'est la seule

i E 1

c est sommable et de somme%

série

i-I T. ,y1 E EL , qui Dulsse converger vers ;O .

DEMONSTRATION :

Soit z C:E un kldment orthogonal à tous les EL . si

r. = (TqT, xi est la projection de s sur Ë; C E

aonc 2;= 0 . Alors x=

Ô

. Cela prouve bien, d'après le

corollaire de (T,2,XXII,4;1), que le sous-espace vectoriel

engendre par les

Ë.

ls

est dense dans

E .



35

Montrons que C 2;

est sommable et converge vers

.sI

5= (G&. soit & > 0 .

Soit J un sous-ensemble fini de

1 tel que

t

2 y%

>: II 2; IIE 6 t . Pour tout K , JC KC 1

;$J

J

on a,

en posant

2, = x G; 1

ce qui prouve notre affirmation (voir définition suivant

(î,C?,XIV,3;2) . Bien entendu, ceci prouverait à nouveau que+

le sous-espace vectoriel engendré par les EL est dense dans

E,

car z est limite de sommes finies xK , appartenant à ce

sous-espace vectoriel.

Enfin soit (?L];~~

une Tamille de vecteurs,

telle que C,Y;

soit sommable et de somme z = ("it;)iEI

La projection orthogonale de Ë

sur Ë;

est linéaire continue,

donc elle commute avec le signe x , autrement dit peut

s'opérer terme à terme ; elle donne z; =

C.q.f.d.

'REMARQUE :

Par contre la série

c

2.

n'est en général pas norma-

'L c 1

lement convergente. En effet,

0: a supposé GI \[Z;II"4 +OO ,

et non

r, 1 c; II 4. + 00 .

Prenons par exemple I- IN ,

Ëp R

1e1

si (=A, aM

est une suite de nombres réels telle que

x Isc,JL<+- , ~lzc++-(exemple : 3c, = ,t: , ) 7

n

n

alors,

en prenant x = (z~)~ EIN

E Ë=pENlf2,1a série



sera sommable dans

E ,

de somme z , mais non

normalement convergente.

1

Si tous les Ë ;

sont

le corps

des

scalaires IK

, muni de

sa norme usuelle 11 c 1 = Ixl,Ë =.‘c,

IK

se

note

P(I)

il se note 2' si 1= hJ .

C'est

donc

l'esDace

des

familles

s = i=;);Er, -xté IK

, telles que cr 132; 12< 00 , avec

Cet espace e'(I) généralise les espaces Rn et @"

correspondant à

I+I,% ,..., 1x2 . Il importe de ne pas

confondre, pour 1 inflnl, e'(I) avec IK1 (pas plus que

;FI Ë;

avec JT

Ë.

). Un éldment de

IKI

est une fa-

mille

%)iEI

quelconque, alors qu'un dlément de l"(I)

est une famille pour laquelle

zi

1s; I'<+w . En outre,IK*

a la topologie produit et n'est pas normable, (voir page XVII

lg), alors que '(I ) est hilbertien.

1 Ne pas confondre le nombre réel JC% E R , et le vecteur

5{%\ E -i(?,, = E

dont la TT -16me coordonnée est x,, et

toutes les autres nulles. Ici, comme tous les Ëqx

sont égaux

àlR,

nous n'avons pas identifié

En et



37

On ne devra pas non plus confondre t2 avec l'espace 1"

defini au Chapitre XV, 9 1, exemple

5”.

lieus avons vu, 5

l'exemple final du Chapitre XIX, § 7, que t" n'était pas

réflexif ; 4" , hilbertien, est réflexif.

THEOREï'~ (-i-,2,XXII,6;3).

Pour que e"(r) et t’(J) soient isomorphes, il faut et

suffit que 1 et

J

soient équipotents.

DEMONSTRATION :

Si 1

et J

sont équipotents, il existe une bijection

de 1 sur3 , qui définit trivialement un isomorphisme de R2(I)

sur L"(J).

Supposons inversement qu'il existe un isomorphisme 4.6

de e”(I) sur e”(J) et montrons que

1

et

J

sont équipo-

tents. C'est évident $i 1 ou J est fini, car la dimension

de e'(I) est égale à cmd 1 si ce nombre fini, et infinie

dans le cas contraire. Supposozs donc 1 et J infinis=

Ecrivons a'( 1)

= ,E~Ê~ , où Ei= IK . Le sous-espace Eji}

(,)

de J"(I) est appliqué, par w , sur un sous-espace de dimen-

sion 1

de j’(J) ;

les coordonnées des différents points de

w 'qi\'

sont toutes proportionnelles ; au plus une infinité

dénombrable sont Z+ 0

soit celles qui correspondent à un

sous-ensemble JL dénomkrable de J .

Identifions, pour A C 1 , l'espace R%(A)

au sous-es-

pace de e"(I) formé des {zc;)icI

tels que ~1 = 0 pour

i $ A, h'est-à-dire au sous-espace fermé note antérieurement

( e2 ( 1 ) ) * l

De même pour BcJ . On a donc n~(l'({i)))c b’(t).

Soit maintenant Z E l?'(I)

; il appartient à l'adhérence du Sous

espace vectoriel engendré par les t"({i)),donc UC;) est dans



l'adhérence du sous-espace engendré par les j'(J;) lequel est

contenu dans +?2(LyLEIJ,)Or& est surjective, donc ;$II J; _ J

Mais chaque J; est fini ou dénombrable ; si ?

est la puis-

sance du dénombrable, on a donc c.Lvcck JG J x ca& I= can,d 1

puisque 1 est infini (TA.. .) . En raisonnant sur *t“

on obtient l'inegalité inverse, donc cahd l= condJ. c.q.f.d.

Passons maintenant a "ne situation un peu diffd-

rente. SoitÊ un espace hilbertien,(ËL);eI "ne famille de

sous-espaces vectoriels fermés de 2 , donc hilbertiens, deux

à deux orthogonaux ; on dit que c'est "ne famille hilbertienne

de E . Or dit que la famille est totale, si le sous-espace

vectoriel engendré par les 2~ est dense dans E: ; on dit

qu'elle est maximale,

si elle ne peut pas être agrandie non

trivialement, c'est-à-dire en rajoutant a la famille un sous-

espace vectoriel ferme,

orthogonal aux précédents, non rdduit

a {q, .

Cela revient a dire qu'un vecteur orthogonal à tous

les Ei est nul ;

d'apr?s le corollaire de (l-, 2,XXII,4;1),

la famille est totale si es seulement si elle est maximale.

Frdquemment il n'est pas facile de reconnaître si une famille

hilbertienne de sous-espaces de

Ê

est totale.

THEOREIIE (T ,2,xX11,6:4)

Soit (FG );CI

"ne famille hilbertienne de sous-espaces

de

Ë

. Il existe "ne application linéaire continue "nique

C&?L@~

dans Ë , qui, sur chaque F; , induise son

ù EI

injection canonique dans z .

Elle est définie comme suit :

&(";);EI E F

, son image est la somme de la série sommable

;& ;; de 2 .

Elle est isomorphisme d'espaces hilbertiens

de F sur le sous-espace vectoriel fermé ËI de E , adhérence

du sous-espace vectoriel engendré par les < .



39

DEMONSTRATION

Soit (QbEI

un élément de F, @ $ tel que tous les

if21

9

XI; soient nuls sauf un nombre fini ; faisons-lui corres-

pondre l'élément > 2; de Ë . On définit ainsi une appli-

iE1

cation linéaire u du sous-espace vectoriel de F engendré

par les

FL

, dans

E .

Comme les F, sont orthogonaux dans Ë

cette application conserve les produits

scalaires et les

normes ;

elle est en particulier injective et continue, et

son

image

est le sous-espace vectoriel de Ë engendre par

les f .

Comme le sous-espace engendre par les G est dense

dans 7 et que Ë? est complet, le théorème de prolongement

(r ,2,XI;I,2bis;2) indique que cette application se prolonge

de maniére unique en une application linéaire continue &,

de 7 dans

Ë

; comme une application linéaire continue trans-

forme les séries sommables en séries sommables, l'image de

est la somme de la série sommable

>: 5; deË . Par continuité ü conserve encore les pro-

ie1

duits scalaires et les normes ;

fermé dans

Ë

,

alors G>F) est complet donc

donc c'est l'adhérence EI du sous-espace

vectoriel engendré par les r& ,

c.q.f.d.

REMARQUE :

Nous avons employé des lettres différentes, E et F ,

pour conserver la notation antérieure F=

;TI F; , qui peut

être identifé à Ér

mais non à Ë .

En général il sera commode

de poser&, =

identité, et d'identifier F à EI ; et,

si la

famille hilbertienne est totale,?; =

et d'identifier Ë



COROLLAIRE 1

L'espace ;E, t

est, à un isomorphisme près, le seul

esnace hilbertlen admettant les F.

*

comme sous-espace hilber-

tiens deux à deux orthogonaux, et dans lequel l'espace vecto-

riel engendré par les f soit dense.

DEMONSTRA'TICi\I :

Si E est un tel espace hilbertlen, nous venons de. mon-

trer qu'il existe un isomorphisme unique & de @)I Fi

sur E,

ici identique à

Ë

C.q.f.d.

qui soit l'ldentitk sur chaaue 5 .

COROLLAIRE 2

Soit (FL )ieI une famille hllbertienne de sous-espaces

deÊ . Poy tout2 de Ë , soit zL sa projection orthogo-

nale sur Fi ; alors on a 1 égalltk de Bessel-Psrseval

(2,xxlI,6;44)

et la serie C 3c;

ie1

est sommable, de somme SI , projection

orthogonale de 'i sur l'adhérence ËI du sous-espace vectoriel

engendré par les f, . On a l'inégalité de Bessel-Parseval

et C Z.

CE1

c converge vers 2~ , si et seulement Z

CËI

cette

série est alors la seule série de la forme

&y; >+g

qui puisse converger vers S .



41

Inversement, si (E;)lET est une famille de vecteurs

des c ,

telle que z 11~~~ 11'c + 00 , il existe un vecteur

LE1

unique de

ËI

, de projection 5; sur

F;y

pour tout i ; c'est

la somme de la série x SI

, sommable dans E .

iEl:

La famille hilbertienne est totale, si et seulement si,

pour touts ,

on a l'égalité de Bessel-Parseval, ou si et

seulement si, pour tout52 ,C Z; converge vers Z.

DEMONSTRATION :

Tout résulte trivialement de l'isomorphisme de 8

LrI

6

avec

21 >

du théorème (T ,2,xx11,6;2), de ce que= et ZC~

ont les mêmes projections Z; sur les 7~ ,

et de ce qu'enfin

1g IIzi Il'= lis1 & (l~~['- II?& - x, 11% théorème de Pythagore:

5

et Z.-S,

sont orthogonaux) G 11z 11" c.q.f.d.

Définition :

On appelle syst3me orthonormé d'un espace hilber-

-

3

tienf une famille (e;) ;eI

de vecteurs unitaires, deux à

deux orthogonaux. On dit qu'il est total si le sous-espace

vectoriel engendré par les s; est dense ; il est total si

et seulement s'il est maximal

, c'est-à-dire s'il n'existe

aucun vecteur non nul orthogonal à tous lesz;

. Un système

orthonormé total s'appelle aussi une base hilbertienne deF "

1 Une base hilbertienne n'est pas une base E& effet, un

2

vecteur rc va s'exprimer comme série C xi ëi , et non

1

cc1

comme somme finie de ce

type.



42

Appelons F;

le sous-espace de E engendré par ëk ;alors

(< )LE1

est une famille hllbertlenne.de Ë , formde de

sous-espaces de dimension 1. Pour tout g de Ë , si z.

ç est

sa projection sur F ,

elle peut s'écrireZi=x; ë;,

est le scalaire(Z ië;) ;

où x;

en effet s; ë; est proportionnel

à 63; et Z-Z; a; est orthogonal à ë‘ . Les 3~; E o(

s'appel-

lent les coordonnees orthogonales de5 suivant le système

(ë;)LÉI . Chaque < est Isomorphe a K

, en identifiant

AcK à aë;EFi ; donc?= @ E

icr

est canoniquement isomor-

phe à P'(I)= @ IK . On déduit alors trivialement du théo-

iEI

reme prdcédent et de ses corollaires :

COROLLAIRE 3

Soit (ë; )Le1 un système orthonormd de vecteurs d'un

espace hilbertien E .

Il existe une application linéaire

continue unique de l'(I) dans g , qui, pour tout scalaire a

et a tout i E 1 ,

associe à Aiii Ei’({i})

C

1% (1)

l'élé-

ment AZ;

de Ë ; c'est celle qui, à tout (A;)iG1 de e'(l)

associe la somme de la serie c a;zi sommable dans E .

iEI

Elle est un isomoruhisme d'esuaces hilbertiens de k '(I)

sur l'adhérence EI du sous-esoace vectoriel de Ë enaendré

par les ..5; .

Pour2 ê. E , soit x;=(?tIz$) ;

on a l'inégalité de Bessel-

Parseval



43

et la série x 30; Z; est sommable, et converge vers la

i BI

projection orthogonale ZI de x sur ËI .

On a l'égalité de Bessel-Parseval

@,X=46;

II)

et la série

.r,

X, Z; converge vers Z , si et seulement si

- e

2 E ËI ; et alors c'est la seule série de la formez 2d;z;,

Le1

9; G IK qui puisse converger vers 55 .

Inversement, si(~;);er esttune famille de scalaires,

--

telle que iqI Ilr;12< +OO ,

alors il existe un vecteur unique

s deEI

ayant les 2;

comme coordonnées orthogonales sui-

vant le

syst&me ;

c'est la somme de la skrie~&~;~~ dansE.

Le systzme orthonormé (ëi); EI est une base hilbertienne

si et seulement si, pour tout z de Ï? , on a l'égalité de

Bessel-Parseval, ou si et seulement si, pour tout G. , la sé-

rie ~IX; è; converge vers X .

REMARQUE :

Ces longs énoncés sont des ramassis de trivialités ; nous

ne les donnons sous une forme extensive qu'à titre de souvenir,

parce qu'ils ont joué un rôle important, sous toutes les for-

ici, dans la théorie des sdries orthogonales, antd-

rement à la découverte des espaces de Hilbert.



Tmomm

(2,xX11,6:5)

Tout esoace hilbertien admet des bases hilbertiennes,

au1 sont toutes éauipotentes.

DEMONSTRATION :

Une base hilbertienne étant un système orthonormé maximal,

il suffit d'appliquer le thkorème de Zorn, pour en prouver

l'existence * on voit même ainsi que tout système

de vecteurs ést contenu dans une base hilbertienne

orthonormé

Soient (ë,);e. et (T.).

11 d’J

deux bases hilbertiennes ;

alors E est isomorphe à e'(I)

et à

i'(J)

donc 1 et 2

sont équipotents d'après (T ,2,xx11,6;3). C.q:f.d.

Tout espace hilbertien est isomorohe à un esnace e%(I)

où 1 est determiné a une équipotence ores.

Si l'on considère comme eauivalents deux espaces hilber-

tiens

iSOmOFDhSS,

les classes d'dquivalences d'espaces hil-

bertlens, sont en correspondance bijective avec les nombres

cardinaux.

$7 ADJOINT D’UN OPERATEUR

THEOREME (T,2,xxII.7;1)

Soient Ë,F deux espaces hilbertiens, U, une aoolication

linéaire continue de E dans r .

Il existe une application

unique c(r*

de F dans Ë , telle que l'on ait, pour tous

ZEË

, y& :

(û,==;7;1)

(4LZpj)~ =

(FG I4q 'Ë

Cette aopllcation est lindaire et continue, etll.w*ll = 1 *L 11 .

En outre, LL-LL* est une bijection anti-linéaire continue

isomdtrioue de&(Ë ;F)surJ(F ;E ). On a.&**=~.:

si 21 est une application linéaire continue de 7 dans un es-

pace hilbertlen T , on a Cc70 a)*= ALu+0 V*.



45

DEMONSTRATION :

soit Alors z

-(,Fk\j)~est une forme linéaire

continue sur

Ê

, de norme h Il existe donc un

éldment unique 7 de

Ë

pour touts;

appelons le U*T Alors on a bien (2,XXII,7;1). Cela mon-

tre aussitôt, en

linéaire. En

outre

II u* y II

. Nais en fait

donc 11Lc"ll= 11i 11.

Ensuite (2,~11,'7;11 montre bien que &++L

*

est anti-linéaire de

S(E$) dans ~~~(?;Ë):(u+Y)~A,L*+* >

(? m)*z h u ” l

Montrons en détail cette dernière égalité :

Il résulte de la conservation des normes que.u- ti*

est

injective. Pour voir qu'elle est surjective, il suffit de

*if

montrer que U = u ,

car alors toute application linéaire

continue U de F dans Ë

sera l'adjointe ti* de &t, = U*.Or:



46

REMARQUE :

%F=E,

l'adjoint de l'identité est l'identité ;

l'adjoint de la multiplication par 2 E IK est la multiplica-

tion par> .

COROLLAIRE

Si ti est inversible, CL* l'est aussi, etiU*>L (a-')*.

Car ,*(i-')*= (UT'&)* = I*F = '2

et de même(ti')*u'= 1~

REMARQUE :

Il existe une liaison simple évidente entre l'adjointe

et la transposée (chapitre XIX,5 7). La transposée ta

de LL

applique F

dans Et ; mais FI

et E

I admettent des anti-

sisomorphimes

carioniques avec F et

Ê

.

On voit alors immh-

diatement, en comparant (2,Xx11,7:1) et (2,XIX, ;3bis), que

Yi

k 'j = tu ('j ) . En effet :

Ainsi u*;

7-Ë

F- -

L

-3

est la composée des 3 applications

-2

(C'est là que l'on voit bien la relation entre l'adjonction

et la structure hilbertienne.

par des normes Équivalentes,

Remplaçons les normes de 2 F,

c'est-&-dire donnant la mêmé



47

topologie, mais non proportionnelles ; les sttctures hilber-

tiennes sont différentes ; le transpo2é ta-: F'-+

TE)

n'a

P

as changé, mais l'adjoint u* : F-

i

n'est plus le

même .

Le théorzme précédent peut alors se ddduire des proprié-

tés de la transposée ; étant donné la simplicité de sa démons-

tration directe, nous avons préféré la donner. Le fait que

k-a* soit surjective est, dans ce cas hilbertien, évident;

mais celà résulte aussi de ce qui est dit page XIX, 62bis, car

un espace hilbertien est réflexif.

THEOREEE (T2,XXII,7;2).

L'orthogonal de titi?) est &*

-'({o j ) , l'orthogonal

de &'({Tj) est l'adhérence de LC* (7, .

Pour que ti soit

injective, il faut et il suffit que u* <i ) soit dense dansË;

-

pour que w (E ) soit dense dans F, il faut et il suffit que

Lb*

soit injective.

Celà rdsulte immédiatement de (r,2,XIX,7;6) et de son

corollaire ,

Mais on peutde revoir directement. Pour que

T soit orthogonal à CC E 1, il faut et il suffit que(uZl$

soit nul pour toutz de Ï? , donc que(GIti"

Y'

soit nul pour

tout z , donc que tiuyc)- 0

Y-

ou que

i

t2 ,a"i{;j ). Donc l'or-

thogonal de a(E) est bien ,uLLK

i(B)).

Alors l'orthogonal de

AA--' ({O} )

est le biorthogonal de hL* ( "FI c'est-à-dire son

adhérence,

d'après le corollaire 1 de (T 2,XXII,4;2). C.q.f.d.

CAS oùË=

7.

Alors U,LC u.,* est une bijection antilinéaire iso-

métrique de $\z ;Ë)sur lui-même.

Par ailleurs, si 4L&(ËjË)

on peut définir la

forme sesquilinéaire U sur Ë x E par



On voit alors

que G-U est une bijection linéaire isométrique de

2 (Ëp

sur l'espace des formes sesquilinéaires continues sur 5, E

En effet, pour u. donnee, U

est évidemment continue, et

Inversement,

soit u une forme sesquilinéaire continue sur z

Pour-2 donnk,v-U($ 4

,Y'

est une forme antilineaire conti-

nue sur E ; donc il existe un dlément unique uz de E , tel

que U(S,T) = (~&/;6)~pour tout 7

; & est linéaire conti-

nue de U dans lui-même, et, comme ci-dessus, 11~11

- II " Il*

Bien entendu, à partir de U ,

cation a*

on aurait pu définir une appli-

de Ë dans lui-même,

telle que U<S,T$=(~~~~*T)E;U*

aurait été exactement l'adjointe de LL. La bijection a

AU

peut

aussi

se déduire du théorème (T,2,XIII,5;3) ; celui-ci

dtablit une bijection de l.'espace 2% (Ë, E'; IK) des formes

bilinkaires continues sur E x Él

&(Ë;Ë”L d(E;i)(l

sur l'espace%(E;(e(Ë;IK))

es rôles de LL et U sont intervertis

entre ce théotime et le procddé développé ici) ; l'anti-iso-

morphisme de E sur E ramène sz (Ëx Ë;IK) à l'espace

des formes sesqullinéaires continues sur Ëx È .

Définition : On dit qu'une application linéaire continue LL

de E dans lui-même est hermitienne (on dit aussi self-adjoin-

te, ou auto-adjointe ; ou symétrique si IK = ÏR) si w*= AL

c'est-à-dire si l'on a, pour tout 3o.q~ E :

brn,7;9)

1 Comme la notion d'adjoint,

celle d'opérateur hermitien est

liée 51 la struc ure hilbertienne ; si l'on remplace la nor-

<ne hilbertienne de i

même topologie,

par une dquivalente, c.à.d. donnant la

mais non proportionnelle,uoopérateur hermitien

ne reste pas hermitien.



49

Cela revient exactement à dire que la forme sesquilineaire

associée U comme plus haut est hermitienne, en effet,

(2,XXII,7;9) revient 3.

Il résulte alors de

(T2,XXII,l;l) que, pour IK= @. k est

hermitien si et seulement si, pour tout z ,(bglz) est

réel.

La multiplication par 3\ E /K est hermitiecne si et seu-

lement si 2 & R . Les opérateurs hermitiens forment un R-

sous-espace vectoriel de z(Ê.?). Par contre, si u etu sont

hermitiens, L&V ne l'est pas ef général ; il l'est si et seu-

lement si Lt et V commutent, car (

Ug)*= V* U* = Vh .

Définition :

@n dit que u E %(È;E ) est anti-hermitien (ou anti-

symétrique si \K =AR ) si ux=- u ; celà revient à dire que,

pour tous X

,~EE:

Pola- celà, il faut et il suffit que la forme sesquilinéaire

soit anti-hermitienne, c'est-&-dire vérifie

(2,=%7; 12)

u ig,a = - u <X,T,

Dans le cas IK= II?. ,

on sait que ceci est équivalent à U(G,Gl=O

pour

tout x , donc (ug Ix)= 0 pour tout z ; il n'en est rien

dans le cas IK=c

traînerait U= 0 ,

au contraire on sait que U (;C,Z>=O en-

'd'après (2,xx11,1;8L



Dans le cas complexe IK=a: , & est antl-hermitienne si et

seulement si &A, est hermitienne, puisque l'adjointe de Lu

est - iu* La multiplication par 2 est anti-hermitienne,

pour il purement imaginaire

(donc

a= 0 si IK= R 1.


POU~ IK = C, et pour toute wc.$J(E ;Ë ), on a :

mq7;13~

; II 6% II 6

s"p I(4.Lr.I Z) 1 6 II 4.G II

It = Il 6 '

PourIK= If?. ou @.si w est hermitien, on a exactement

DEMONSTRATION :

Raisonnons sur U (on aurait aussi bien pu donner ce

théorème au début du Chapitre). On sait déjà que

Il faut une inégalité en sens inverse, pour IK= @

Appelons o( le dernier membre de (2,XXII,7;15). Alors

on a, pour tout Z,

(2,xx11,1;8) :

1 (J(3E,S)I-C o( 11 11'. Utilisons



(%m,7; 17 )

II u 1

= IIXU

ce qui donne (2,xX11,7; 13).

Supposons maintenant U hermitienne, K =]R ou Cl . Alors,

au lieu de (2,xx11,1;8), on utilise (2,XXII,l;3 quarto) :

(la partie & est à supprimer pour K=lR tout étant réel) :

Q +

(

Ilz+y12+ IJ;--y

d 1 ) ==;(2 IEl12+2 II$I”>

Hais, pour iG\/ 44

dans @ est équilibre,

<l,l'ensemble des valeurs de U(Z,y)

supérieure des modules est

aussi celle des valeurs absolues des parties réelles ; donc

ce qui donne (2,XXII,7;14).

REMAR VE.5.

1) Pour K =IR, la formule (2,xx11,7;13) ne peut pas

subsister, puisque,

si fi est antisymétrique, on a(UZ)Z)= 0

pour tout Z sans avoir a=0

. On retrouve les circons-

tances du théorème (2,XXII,1;2), dont celui-ci est simplement

une forme plus précise.



2) Si U, n'est pas hermitien, (2,Xx11,7:14) n'est plus

nécessairement exact, et le facteur 5

de(2,XXII,7;13) est

inévitable. Considérons par exemple, dans E = cz , la trms-

formation 4.4,: (x, , m2)+ (X,,OJ; sa norme est

elle est trivialement s 1

, et, pour 3c,= 0

conservée par ti .

Or, pour z =(=,,+

on a

dont le maximum dl2 module pour 13c,12+ II~, 1%

Définition :

égale à 1, car

, la norme est

L'opérateuru E g(Ë;Ë)est dit hermitien 2, 0 s'il est

hermitien, et si ( tiz Iz) a

0

DOUT

tout 2 de

Ë

, 11 est

dit hermitien défini uositif si en outre (u??,Iz) > 0 uour

tout zp 0 .

Celà revient exactement à dire que la forme sesquilinéaire

associée u est hermitienne 2 0

oil hermitienne définie posi-

tive. D'aprh (T,2,XXII,l;l), si K = CO, l'inégalité(&JzJ&O

entra?nant(wZlZ) E R pour tout 5

l'hermiticité de M. .

, suffit à assurer

THEOREME (T,2,XXII.7;4)

--a 4

Soient E. F des espaces hilberLlens,U.Gg (E;FJ. Alors

-+

a*~. est un O&rateur hermitien > 0 de E dans lui-même,

et en outre i .~,++a 11 = 1 u, 11%

DE~IONSTRATIOiJ :

Or. a d'abord (u,*,w)*= L* &*ru* u,dom u* b

est her-

mitien. On a trivialement, pour tout r dcE

(uZ,IuZ) = Il4ZlllO. Alorr

,(LLu.GJ;c)=

en utilisant (2,XXII;:;l'I) :



53.

REMARQUE :

4

De même ti ,tiLy

est hermltien > 0 de F dans lui-même,

THEOREME (-J,2,XXII,7;5)

Soient E , F , deux espaces .hilbertiens,& E .% (z; F)

Pour que ti soit inversible à gauche, il faut et il suffit

qu'il existe une constante 4$ a 0 telle que

Le maximum de ces constantes k est alors aussi le maximum

des IIiu II-' , pour tous les inverses à gauche 'U' .

DEP4OIJSTRATION :

Supposons d'abord & inversible à gauche, et soit Q un

inverse à gauche : VLC =

Q*

Alors

donc on a bien (2,XXII,'7;2O), avec ; et la

borne supérieure 8,

des -k possibles est au moins égale à

la borne supérieure des 1 V II-'.

Supposons inversement l'existence d'une constante -k telle

que l'on ait (2,XXII,7;20). Appelons 4, la borne supérieure

de ces 4 ; on a alors aussi (2,XXII,7;20) avec la constante

a 0,

c'est donc un maximum. Posons .<= U, (Ë ) .

Alors (2,XXII,7;20)

prouve que /CL est une bijection linéaire de

Ë

bijection réciproque W est continue, car, si

et

et sa norme est ,L -&

1

0 *

Alors c

, dont la norme est équiva-



lente à la transportée par U. de celle de E , est complet

comme E , donc fermé dans F . Soit E

l'orthogonal de 3

on peut identifief:? à lzsomme hilbytienneq @g ;

l'ap-

plication 'Ir, de 5 dans E qui, sur ç , cokcide avec v

et est nulle sur H ,

gauche de 4 , car

est alors trivialement un inverse à

En outre, on a, pour

ce qui prouve bien que /IV" Il-' & -8,

, et que 8. est le maxi-

mum des ]IV Il-' pour les inverses > ::auche v possibles. C.q.f.d.

COROLLAIRE 1

soit

un opérateur hermitien de 2 dans ? .

Pour qu'il

soit inversible, Il faut et il suffit qu'il vérifie l'une des

conditions equivalentes suivantes :

a) il est inversible à gauche ;

b) il est inversible à droite ;

c) il existe une constante 4 2, 0 telle eue l'on ait

(2,XXII,7;20).

Et alors u“

est hermitien et le maximum ae ces constantes

ri

est exactement 1) ù' 11-1

DEMOhTSTRATION :

Supposons U, inversible à gauche, il existe ?y tel que

vu=I. Alors on a aussi, en prenant les adjoints, NIY*= 1

donc ti est aussi inversible à droite ; on sait alors (pro-



55

priété classique d'algèbre) que U, est inversible (car

lJ*=

WQL u

donc ~LI"=V est inverse bilatere)

l

et son

inverse V

eSt hermitien. Donc a) entraîne b)

de même b)

entrake a , et tous deux entra?kent l'inversibilité. Le

théorème précédent montre alors que c) entraîne l'inversibi-

lité à gauche, donc l'inversibilité. Il y a alors un seul

inverse à gauche, U,

-4

, d'où le résultat final.

C.q.f.d.

COROLLAIRE 2.

Soitu, un opérateur hermitien de e dans ? .

Pour tout

x complexe non réel, l'opérateur ti + 711 est inversible,,et

Il(t&.2Ij' IlG I zI&-rLA J , Si u/ est hermitienr, 0,

44, i-i\1 est aussi inversible pour 2

réel > 0 , et alors

~p+n>-‘JJ-‘2d

l

DEMONSTRATION :

Posons A= O+ i Z ; alors

donc 4, + a1 est inversible à gauche ; mais il en est de même

de ,LC +a1

d'un opérateur

donc u+ill est inversible à droite (l'adjoint

inversible à gauche est inversible à droite),

donc inversible ; et alors le théorème donne le résultat

II (LbthI)-‘ll-‘2lzl= Ml-d 1.

Si U, est hermitien 2 0 , et si il est réel > 0 , on

a de même

d'où l'on conclut de la même manière.

C.q.f.d.

1 parce que((a+G)?&I z) est réel, 6 étant hermitien.



DE~I,xITIOI~ :

- -

Soient

E

et F des espaces hilbertiens. Un opérateur ~w

-+

de E dans F est dit partiellement unitaire, s'il conserve

les normes,

ce qui implique qu'il soit injectif :

Celà entrarne,

d'apr>s (2,YXII,2;5 et 6 , qu'il conserve aussi

les produits scalaires :

(Z,XLUJ;28)

CU.21 LL-

b)r +q-, I pour 2, - E E

Y -

Comme <u$,( hj), (û ti-~.Izj),*est partiellement unitaire si

et seulement si ti*u-= IF ; celii entrarne donc que u soit

inversible .3 gauche. On dit que & est unitaire s'il est par-

tiellement unitaire et inversible. Alors &*u= 1 implique

l'inverse de u/ soit u,* ; .ti est unitaire si et seulement

s'il est inversible et si u,* est son inverse. La multipli-

cation par un scalaire ;1

est unitaire, si et seulement si

l;zl=l

. Unitaire s'appelle aussi orthogonal si o( = R

Si Ë est de dimension finie,

tout opérateur partiellement

unitaire de E dans E , étant injectif, est inversible, donc

unitaire ;

mais ceci ne subsiste pas en dimension infinie. Soit

en effet Ë

un espace hilbertien muni d'ue base hilbertienne

dénombrable (2% )nt,N

; et considérons l'opérateur linéaire

continu unique LC tel que LL (ën)= e,+, ; il est défini par

(=0,-c

, >...>=clZ,... )

-CO,%,

x, ,.. I ,T%,.. )

en coor-

données orthogonales par rapport à la base. Il est évidemment

partiellement unitaire, mais non surjectif, puisque a (i)

est le sous-espace vectoriel fermé engendré par è;,ez,,..,...

c'est-a-dire l'orthogonal de z0



57

Définition : On dit qu'un opérate:r linéaire continu IA, deÈ

dans 2 est normal,

s'il commute avec son adjoint :U.*A&=M.&

* 1)

Un opérateur hermitien, antihermitien, unitaire, est

normal. La multiplication par un scalaire arbitraire est

normale.

L'intérêt aes opérateurs normaux est le suivant. On dira

qu'un opérateur w

de Ë dans Ë est ortho-diagonal, si l'on

peut décomposer

Ed

en somme directe hilbertienne de sous-

espaces, E

= BI E; 9

tels que chaque Ë,; soit stable par&

et que, dans chaque Ë; , * soit la multiplication par un

scalaire 3; . L'opérateur & peut ~'écrire(JCL);~~ - ("5&,

Un tel opérateur n'est continu que si S;i 12; 1

est fini, et

cette quantité est précisément 11 &J, 11 , si aucun des Ë; n'est

réduit 3.

{Ô)

; en effet,

trivialement)Iw II& ?y$ [A,[ ;

d'autre part, pour tout i ,

Ë;

n'étant pas nul, la norme de

la restriction de AA, à 2; est 11; 1 ,

Quel que soit le choix des A; , l'opérateur U ainsi défini

-

est normal, et son adjoint est w*:(~;)ioI +

(il;;c; )*

+e1

En effet, quels q-Je soient z et

dans Ë , on a

1 Comme les notions d'adjoint et d'opkrateur hermitien, la

notion d'opérateur normal est liée à la structure hilber-

tienne.



On voit d'où vient le nom d'orthodiagonal ; chacun des Ë;

est sous-espace propre de& pour la valeur j\.

4

de sorte que

U est"diagonalisé" par la décomposition de E en somme

des

Ei , et les EL sont

deux à deux orthogonaux.

Si: est de dimension finie sur @ et .u, normal de E

dans Ê ,

on démontre en algèbre que 1~, est orthodiagonal :

il a un nombre fini de valeurs propres 2;

, et,

si les EL

sont les sous-espaces propres correspondants, ils sont deux

à deux orthogonaux, et engendrent

E .

(Si u est un opéra-

teur quelconque dans un espace hilbertien de dimension finie

Ë,

il a toujours au moins une valeur propre ; mais les sous

espaces propres, qui sont toujours indépendents, ne sont pas

1

nécessairement orthogonaux ,

et n'engendrent pas nécessnire-

ment E . Ainsi, en dimension finie, pour

IK

= c, opérateurs

;:ormaux et opérateurs orthodiagonaux coincident.(Pour lK=R,

on sait qu'il n'en est plus ainsi, il se peut qu'il n'y ait

pas de valeur propre).

En dimension Infinie, ce résultat ne s'étend pas. Toute-

fois on peut montrer des propriétés très voisines. Nous allons

dtudier, au paragraphe suivant,

et montrer qu'ils

les opérateurs normaux compac

sont encore orthodingonaux. Le résultat ne

s'appuiera pas sur un quelconque résultat analogue en dimension

finie, mais devra utiliser le fait qu'en dimension finie, pou

dvATem$eit;l y a au moins une valeur propre (thdorème de

9 8 OPSRATEURS COMPACTS

Définition :

On dit qu'une application linéaire LL d'un espace vecto-

riel topologique E dans un espace vectoriel topologique

e

1 Si l'opérateur& n'a zs certaines propriétés liées à la

norme hllbertienne de

E ,

comme celle d'être normal, les

sous-espaces propres n'ont pas de raison d'être orthogo-

naux.



59

compacte,

s'il existe un voisinage U de 0 dans Ï? dont

4

l'image par w est relativement compacte dans F

’ .

Un opérateur compact est évidemment continu ; soit en

effet V un voisinage de 0 dans F * comme AA,(U) est rela-

tivement compact, il est borné,

donc'il existe un scalairea+

tel que i\ ti<U)C V ; alors 2U est un voisinage de8 dansË

dont l’image par &L est dans V * donc h& est bien continu.

Mais la réciproque n'est évidemmkt en général pas vraie, les

opérateurs compacts sont très particuliers ; par exemple, si

Ë est de dimension infinie, l'identité n'est pas un opéra-

teur compact de Ï? , puisque celà entraherait l'existence

d'un voisinage de 0 relativement compact dans Ë

. Par contre,

si 7 est de dimension finie, toute application linéaire con-

tinue de Ë dans ? est compacte ; en effet, F a un voisinage

V de 8

compact, alors U -‘(VI est un voisinage

U

de 0'

dans E

dont l'image IA(U) par ti est dans V donc rela-

tivement'compacte. Les opérateurs compacts sont d;nc la plus

immédiate généralisation des opérateurs linéaires continus

dans les espaces de dimension finie. Plus g$?ralemzt, tout

opérateur linéaire continu de rang fini de E dans F est

compact ;

en effet,

U

(Ï? ) étant un sous-espace de dimension

finie G de F ,

l’image

réciproque

U

= A&-'( VI d'un voisi-

nage compact V de 5 dans 5 , est un voisinage de> dansË

dont l'image par& est relativement compacte dans i .

Si Ah, et uz sont compactes de Ï?

dans F, AL, + wu/,

l'est

aus.si. Soient en effet U, , U,

des voisinages de Ô dans É

tels que u, ( U, )

et wz ( U,)

soient relativement compacts ;

Sl us U,nU,,(Lptl,)(U) c u,(u)+1L,(ü)wi

est compact

dans F

, donc ,u est compacte. Les applications linéaires

compactes de Ë dans F

forment donc un sous-espace vectoriel

deg(Ê;F). -

1 relativement compacte,

non ndcessairement compacte. Il serai

plus correct de dire :

opérateur relativement compact.



soient~:Ë-. F et v: F--+

c;

des applications link-

alres continues ; si l'une des deux est compacte, alors vu,

est compacte. Soit en effet, par exemple, ti compact ; alors

il existe un voisinage

U

de 0 dans

E

tel que u(U) soit

relativement compact, donc u(U) compact ; alors(vu)( U)

est contenu dans V(U(U)) , image d'un compact par V conti-

nue donc compact.

En particulier, dans l'algèbre 9 (Ë ;Ë ) , les ooéra-

teurs compacts forment un idéal bilatère.

Dans la suite,5 et F seront presque toujours des Ba-

nach,

2t même fréquemment des Hilbert. Si E est normé,F quel-

conque, une application linéaire LL de 2 dans F est compacte,

si et seulement si l'image par 2 de la boule unit6 B deË

est relativement compacte dans F .

T~O~ME (r,2,xx11,8;1)

Si2 est un Banach reflexif, et u- compact de Ë dans?,

alors l'image par *1. de

la

boule unité

B

de E est compacte.

DE ?ONSlRATION :

Puisque E est réflexif, la boule unit6

B

de E est fai-

blement compacte (théorème (T 2,XIX,7;8) ). Mais LL , étant

continue, est faiblement continue (théorème (T 2,XIX,7;5)) ;

donc .U

(B)

est faiblement compacte, donc faiblement fermée

dansp ,

donc a fortiori fermée pour la topologie initiale ;

étant relativement compacte. elle est alors compacte, c.q.f.d.

REMARQUE :

Considdrons au contraire Ë= C (CO,11 ) qui $est pas

réflexif, et soit u la forme lin6aire continue sur E d6finie

B la dernière page du Chapitre XIX. Alors LL est linkaire



61

continue de? dans JK 3 donc comxxxte nuisque IK

est de dl-

mension finie ;

et nous avons juskment‘vu que u (B) n'est

pas compact, puisque 1 Ul

n'a pas de maximum sur B ( + 4 est

adhérent a .U (B) sans être dans LL( B) ).

THEOREME (T ,2,xx11,8;2)

Soient Ë et F des Banach.

Dans 9 6 ;FI, 1’ ensemble des opérateurs compacts est

fermé.

DEMOXSTRATIOM :

Comme ce(E;F) est normé, il suffit de voir que, si

u/ . A/&

sont des opérateurs compacts, convergeant

pZrtil'.infini t;éZ i.& , alors /cc/ est compact. Pour cela, nous

devons montrer que

l’image

w (B) de la boule unité B de Ê

est relativement compacte. D'après le critere de Weierstrass-

Bolzano, nous devons montrer que de toute suite de ,u (B-)

on peut extraire une suite partielle, convergente dans F

(voir (T ,2,VIII,2;5)) ; c'est-à-dire que, siz~~,~,,...,~,,,,..

est une suite quelconque de points de B

, il en existe-une

suite partielle dont les images par w convergent dans F .

Tout d'abord L&,, est

compacte.

Donc U, (B) est relati-

vement compacte dans F . Donc on peut extraire de la suite

des zw

une suite partielle, que nous écrirons Zt ,ZJ,...,Z:,...,

pour laquelle les LL, (z: ) convergent dans ? .

Ensuite ,u,

est un opérateur compact ; donc, de la suite des %L , on peut

extraire une nouvelle suite partielle,Zg , z"

-1

, ,"', 3cn > *** >

telle que les .U, (XL) convergent dans r ; de sorte que

maintenant,

pour la suite partielle des sr,, les deux suites

-cd

M/, (%A ),a4(-c,) convergent. Et ainsi de suite. Pour toutk

011 peut ainsi trouver une suite parti.elle

A



telle que toute suite (,u;, <zt )jnEN converge, pour L < % ;

chacune des suite ,s

R

A-1

étxt une suite partielle de la précé-

dente ,4 . Prenons alors la suite diagonale ,.5 , celle

des zz : x0

0 JX

: ,...,sn,... Alors J est suite partielle de

,-?u, >

à partir de son A-ikme terme ; donc chacune des suites

(4 (-;é3,1eN

a une limite

dans

F- pour n infini.

Montrons que la suite desu(zz)est de Cauchy dans F

Soit 6 > 0 donné. Choisissons 4 tel que /) a-a& 11 5 $L ,

ce qui est possible, puisque ;es u

k

sont supposées converger

vers u pour

R

infini. Alors on a, pour m e.t n

quelconques:

1 II

Puisque tous les 3cz sont dans la boule unité B

--

de E , le

premier et le troisième terme du 2ime membre sont ~5 . On

peut alors, la suite (a~ (Zz))rrEN étant convergente, trouver

N tel que nx,n> N entraine

Alors on aura 11

U(s: )-u(zz)[lS&

pour m et n> N

Donc la suite desU est bien de Cauchy.

F

étant comple



elle est convergente ; e+t ceci démontre que cc (B) est rela-

tivement compacte dans F , donc que l'opérateur LL est bien

compact.

RWiARQUE :

On aurait évidemment Cvité la suite diagonale en utilisant

un ultrafiltre ti sur B , et en montrant sueu 6tait un

filtre de Cauchy dans F

; nous avons préféré rester Glémen-

taires,

les espaces étant de toute facon métriques.

COROLLAIRE :

Toute limite d'opérateurs linéaires continus de ran:;s

finis de

Ë

dans 7 est un opérateur compact.

En effet nous

avons vu qu'un opérateur de rang fini s&calt

compact, et il

Suffit

nlors d'appliquer le :;hdor‘Jme.

Dans le cas hilbertien,

on peut noïitrer la réciproque :

THEOREME (T ,2,xx11,8;3)

SiË etF sont des espaces de Eanach, ? hilbertien,

pour qu'une application linéaire continue K de Ë da.nsF

soit

compacte, il faut et il cruffit qu'elle soit limite d'opérateurs

de rangs finis.

F~OUS n'avons donc à montrer que la nécessité de la cor,di-

tion. Soit donc K un opérateur compact. Alors 4&(B) est rela-

tivement compact dans F

si B est la boule ünité de Ï?

Donc,

E étant donné,

il existe un nombre fini de points

q,e;2,..Jn.

de

a(B)

tels que les boules de centres &

et de rayon &

re-

couvyt u(B)

.

Soit M le sous-espace vecto-rie1 engendré par

les 6~

, et soit+zz(F;?) l'opérateur de F , projecteur

orthogonal d'image M .

Considérzns l'opérateur .PL ; il est

de rang fini,

puisque P(~)C

M

. Evaluons la. différence

II

a _ ,p 11 . Pour tout FG

de B, ti (2) est à urle distiaiice s &



del'undes& ;

alors d(u.(Z&$SE; don+(+-+u(2) II&..

Ceci étant vrai pour toutg de B , celà prouve que

II u - +u II s & .

On a donc bien trouvé un opdrateur tw de

rang fini, à une distance s & den* ; ti est bien adh&ent au

sous-espace vectoriel des opérateurs de rang fini,

c.q.f.d.

REF:ARQUE :

Le caractère hllbertien de F est intervenu de façon esse

tuelle; par le projecteur orthogonal + En fait, &nach a

émis 1 hypothèse que le théoràme restait'vrai pour F

arbitraire

Banach

; depuis plusieurs dizaines d'années. cette con-

jecture reste ouverte

TIIEOREMJX (r,2,XXII,8;4).

Soient Ê,F des Banach . Le transposé d'un opérateur com-

pact u. de

E

dans? est compact de F

dansf' .

Sii etF

sont hllbertiens, .u,*

est compact de ? dans Ë .

DERONURATION :

Posons K=u(B) ;

c'est un compact de 7 . MunissonsF'

de la topolog? de la convergence uniforme sur les parties

compactes de F , et appelons F0

c

l'espace ainsi défini. Alors,

parmi les semi-normes qui définissent cette topologie, figure

fK , avec

2,xxJp;3) +$y ==+ $ 1 q,j-> 1 .

4

La semi-boule unité correspondante est le polaire

K”

de K .

Mais de ti(B)C K résulte ((T,2,XIX,7;6))t~(Ko)~Bo, B'bou-

le unité de

Ë

. Celà prouve, les homothétiques de B" formant

un système fondamental de voisinages de 0 dans

E

est continue de FL

dans Ë' .

, que t,

C'est là un résultat remarqua-

ble

; du fait que U, est continue,

résulte la continuité

de 'a de Fr

dansË' ; du fait que AL est compacte résulte



la continuitb de 'AL de 7: dans ËI Appelons B'

unité de ?' .

lagoule

C'est une partie équicktinue deF' c(KF),

(Chapitre XX, $ 1). Donc, sur

B’

, la topologi_t de la con-

vergence uniforme sur les parties compactes de F est ideni;l.

que a la topologie de la convergence simple, induite par

IK

pour laquelle B’ est compacte (théoreme de Sanach (T 2,X1X,

77;7). Alors, tu étant continue de FL

dans et , l'image

t

LL (B') de la partie compacte B’ de F,' est une partie com-

pacte de ËJ . Ainsi, l'image de B’ , boule unité de F1 ,

par t~ , es compacte dans E) , donc tas est un opérateur

compact de F' dans ËJ .

Le cas hilbertien se rambne B l'autre par (2,XXII,i;c)

et la remarque correspondante.

REMARQUE :

Nous avons

même démontré, par un argument analogue à

celui du théorsme (T ,2,xx11,8;1), que, si LL est un opérateur

compact de Ë dans F , c'est-k-dire si u (B) est relative-

ment compacte dans F , alors tti

(B’)

est compacte dans E' .

Soit Ë un espace vectoriel, h(,

une application

linéaire de E dans Ê . On appelle valeur propre de,% un

scalaire 31

tel que u-11 ait un noyau don réduit à (0) ,

autrement dit tel qu'il existe

XC 0 tel que Z = AZ

Un tel vecteur Z# 0'

s'appelle vecteur propre correspondant

à la valeur propre il . Le noyau Ë$(,u) =

6

de AL - 21,

pour 3r ouelconque,

s'appelle sous-espace vectoriel propre

relatif à 1

; si h est valeur propre,

FA

n'est pas réduit

9

i l

9

et le sous-espace propre

ËA

est alors

l'ensemble

formé des vecteurs propres relatifs à 2

et de 0 . Si Î?



est de dimension finie,, on sait que les valeurs propres de&

sont les racines de det (a- 21). D'aprks le théorème de

d'Alembert, si 1K-c , le polynome en it : dét(*L=itI)

admet au moins une racine complexe,

et il existe au moins

une valeur propre.

Ce résultat ne subsiste pas si K=R , ni si Ë est de

dimension infinie. Par exemple, dans Ë = R" , l'opérateur

de rotation + 5 autour de l'origine n'a pas de valeur propre,

Si Ë est l'espace de Banach C([O,~]) des fonctions complexes

continues sur[O, 4J , l'opérateur AL de multiplication par=

n'a pas de valeur propre

; car, si(~-?t)J(3c)= 0 , on a

$, IIIj:'d~L'~a:'~obt:lu:i~.'I.Io 's:: [,j;: sur

TI'm3IKE (r,2,xx11,8;5) (Fr.Riesz;.

Soit 4.~ un opérateur linéaire compact d'un espace vecto-

riel topologique E dans lui-même. siA est une valeur pro-

pre =b 0 , son sous-espace vectoriel propre E,

est de dimen-

sion finie.

DEMONSTRATION :

Soit U un voisinage de 0' dans E,d'image relativement

compacte par ti . Soit A+ 0 , 2, son sous-espace propre as-

socié. Posons U,=Un FA ; c’est un voisinage de e dans Ë2;

son image par w coïncide avec il U, , c’est donc encore un

voisinage de 0 de

ËA

puisque A# 0 ; mais contenu dans l'in-

tersection de ,u,(U) , compact de Ë avec E2

fermé dans f

il est contenu dans un compact deÊA . Donc E, est localement

compact, donc de dimension finie (d'après Riesz, (T 2,xVII,7';1))



67

REMARQUE :

C'est essentiellement pour démontrer ce théorkne que

Fr. RIES2 avait démontré le théorzme général (T 2,XVII,7;1).

THEOREME (T ,2,xx11,8;6).

Soit ti un opérateur lin&aire continu normal d'un espace

hilbertienË dans lui-même. B

Ë,

est le sous-espace propre

de& pour la valeur i\ , il est le sous-espace propre de IA*

pour la valeur 7i

. Deux sous-espaces propres de G pour deux

valeurs ;I

et fi distinctes sont orthogonauy.

I

DEMONSTRATION *

/Lc" laisse

ËA

a) stable ; en effet,

si si EË#,

AL*~ est encore dans E, (a) , car ~(~*Z)=L$L&=~(LL*%)

Alors LL et ,LL*

laissent tous deux Ea(u,)

stable ; dans

l'espace hilbertien ÊA LL)

, les restrictions de u et u*

sont encore adjointes l'une de l'autre, car ils vérifient

toujours (,Gk\q)=(Zl a*?) pour ",9 E E,(a). Mais,

dans FA(~), U,

est la multiplication par 2

; donc u* est

-

la multiplication par 2 , donc Eh(U)

est contenu dans le

sous-espace E, (a*)

. Mais de la même manière on démontre

que Eh \a*> C Fa (a) , d'où le premier résultat.

donc (;I-~)(~~l~$= 0 ; comme i\

C.q.f.d.

+r ’

on a bien(E,{s

P

)=0.



Nous avons utilisé deux propridtés générales, qui revien-

dront plusieurs fois dans la suite ;

a) si Zr et ‘1.0 sont deux opérateurs de 2 qui commutent

(M(L& ii1) et x ),

1e noyau de chacun est stable

pour l'autre, donc pour les deux. Soit en effet=

un élément dl; coyau N de TJ' ; alors O(Ws) =

W(V;)= 0 ,doncW;& ;

b) si F est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace

hilbertiw -i , stable pour u. et u

* (ici ÊA(*L)),

alors les restrictions de LL et LL* à F sont encore

adjointes l'une de l'autre ; car on a encore

(5c",JM,~J Lpj' pour s, < E F' . r$nc, si .lL

SE >

il l'est encore dans F . Remar-

quons aussi que,

encore dans 7

si .u est compact dans Ë

, il l'est

; car,

siB est la boule unité de E

a(BnF) c u,(B)nF' , compact de F'.

Soit alorsti un opérateur normal compact d'un espace

hilbertien

Ë

dans

lui-même.

Appelons alors A=A (LC) l'en-

semble des valeurs propres de LL . Pour 2 6 A

9

Êa

est ré-

duit à {;] ; pour L G A , ËA est quelcofique si Tt= 0

de dimension finiesi ?I # 0 ; et les différents EJ

sont deux

a deux orthogonaux. Enfin, siuz= 2$,s+~, on ai) ~&Il>)2

àonc A est contenu dans le disque de rayon II4L I( de a? .

THEOEYE

(T2,~~11,8;7).

Soit .u un opérateur normal compect d'un espace hilber-

tien E dans lui-même. 31 dehors de tout voisinaae de 0 dans

C,A:

ie

contient cw'un nombre fini de points.



Autrement dit, ou bien A est fini, ou bien il est dd-

nombrable, et peut être rangé en une suite de nombres com-

plexes tendant vers 0 ,

0

faisant ou non partie de A .

DEMONSTRATION :

Supposons que ce soit inexact. Alors on pourrait trouver

une suite Â, ,7L,,a2,,..,a,,..., de nombres distincts,E A )

situés en dehors du disque de rayon & ; mais comme A

est

contenu dans le disque de rayon II& 11 , ces 1, sont dans la

couronne compacte &

4J-j I44 3

et on pourrait en extraire

une suite partielle convergente,

que nous appellerons encore

~'h,,LLE(N ' la limite 6tant Ir # 0 . A chaque 2, , on

pourrait associer un %% c SI, , de norme 1 ; les 3~1% seraient

12

deux à deux orthogonaux, d'où résulterait que, pour m # n,

Il

ST,-- glu /=fi.Mais les UZ, sont dans l'image tiu( B) de la

boule unit&

B

, relativement compacte par.hypoth&se ; donc

on pourrait extraire encore une suite partielle, que nous

appellerons encore de la même manière, pour laquelle les&%

aient une limite iF= Alors les z,%= t J,&~ auraient la

12

limite

+5,

ce qui est impossible, puisque leurs distances

mutuelles sont 6. C.q.f.d.

REMARQUE :

Par une méthode un

dre ce théorkme au cas

yeu plus compliquée, on Fourrait éten-

d un opérateur compact, d un Banach

quelconque Ê dans lui-même l le fait que r

soit hilbertien

et UI normal donne un6 démon:tration plus simple, mais n'a rien

d'essentiel.



70

THEOREME T,~,xxII,~;~)

Soit 4~ Un opérateur normal compact d'Lm espace hilberclen

Ëf (of d

ans lui-nême. Si IK= C , ou si K = R et tu est

symétrique, alors il existe au moins une valeur propre de &, d

module 11u- 11 .

DEMONSTRATION

On peut supposer une fois pour toute.51

gupposons d'abord w hermitien, u<=R ou

L

w II = 1 1

. D'après (2,Xx11,

7;4), on a swi> I(&I;)1=4 . On a donc ou bien

II g II $ -1

Nous allons montrer que, dans le premier cas, + 4

propre,

et dans le deuxième cas, -4

est valeur

en- a,

; par changement de w

on peut se ramener au premier cas.

Il existe donc une suite si, ,s

3 7

~jcL,...,~,,,... de points

de la sphère unit6 de Ë ,

telle que (US~, 1 g, )

tende

vers + 1

pour q% Infini.

Comme les JC,

sont sur la boule unité B de E , les &

Ilr

sont dans .u(B) compacte,donc on peut, quitte à extraire une

suite partielle, supposer que les u;C, ont une limite +

Y *

Comme (a?&, jr,,), )("r, I[ ~4 , il ne peut tendre

vers 1 que si \I "Jcn 11 end vers 4 , donc 1) T r-1 .

Montrons alors que les z,,

convergent aussi vers-

'b .

1 sauf si w= 0 ,

auquel cas c'est trivial.



71

a même limite que(&,\g,), c'est-h-dire 1,

car I(j - &~X(3c,)I"ll~-~~ 11 y<\\ qui tend vers 0 . Donc

(2,YXII,8;5) tend bien vers 0 , et s= converge vers 5 . Alors

%L

et "c,

convergent tous deux vers

s '

et la continuité

&zo~red~ne;~ =? 5 X

est un vecteur propre pour la valeur

qui mo

mitien, IKLIR ou

tre bien notre affirmation pour &L hcr-

de d'Alembert.

c. Il n'a pas été fait usage du théorème

Supposons maintenant U, normal compact, mais IK = aa .

Alors GL*LG

est hermitien p 0 ,

de norme 11~ 112=4 (T 2,xX11,

7;4)).

D'autre part, ti étant compact, w*,u l'est aussi

(page xX11,46). Donc le sous-espace propre 2, (&L*U) relatif

à la valeur propre 4 n'est pas réduit à

i f

.

Ce sous-

espace

7 = <, LLLX4L)

est stable par ti et u.* , qui

tous deux commutent avec AA,*A&

1 (remarques après (T ,2,XXII,

8;6)). Alors 7 est un sous-espace hilbertien de dimension

finie ;

les restrictions de ti et ti' à F sont adJointes

l'une de l'autre, donc normales. D'apres le résultat connu

dans un espace vectoriel de dimension finie, cc admet dans 7

au moins une valeur propre A (théorème de d'Alembert), et un

vecteur propre z~ correspondant ; d'aprGs (T,2,XXII,8;ij\,~~

-

est vecteur propre de U* pour la valeur propre il

. Alors

-

ZL &A&= ai\z , donc 1 2 \ = 1 1 ; donc u a bien la

valeur propre 2

de module 1

= 11 LL 11 C.q.f.d.

1 On peut encore dire : dans f ,

U. est unitaire puisque

M+*&L= 1 , donc il conserve les normes, donc ses va-

leurs propres sont nécessairement de module 1.



COROLLAIRE

Soit& Un ODérZ3tWr IlOl’IWd COmDaCt

d'un esDace hil-

bertien

Ë

dans lui-même, nour K = c-, ou un onératsur symd-

trlaue comoact de 2 dans lui-même oour K _ R. Alors les

SOUS-BSDBCt?S DrODreS

ËA

, a e ,, , engendrent un sous-esoace

vectoriel dense dans

Ë

.

Autrement dit,

E

est la somme dl-

recte hllbertienne Q

Ë2

?sCh

DEMONSTRATION :

Nous avons déjà vu que chaque Ë1 , A E A,étalt stable

par ,u et M,* . Appelons i A l'adhérence du sous-espace vec-

toriel engendré par les EA . Comme chaque 72 3 ËA

est stable

para etpar u* .

Soit q l'orthogonal de EA . Montrons

que z aussi est stable par ~6 et u.* . Soit donc 2 E < c'est

a dire orthogonal à tous les Ê, . Montrons que A.& est aussi

orthogonal à tous les 2, . Soit donc zA EË~ . Alors

(u/sl~+(z~u*z,, =(3CIA?Eh> = ;1(i&q=O,

ce qui prouve notre affirmation.

Alors les restrictions de u-

et 44-I a

c

sont encore deux opérateurs adjoints, et u, est

encore compacte. Donc il existe un vecteur propre de ti dans3

sauf si C;= {OI :

or+l'existence d'un tel vecteur propre est

Impossible, puisque q est orthogonal à tous les vecteurs

propres, donc c={oi,et Ë = 2, ,

c.q.f.d.

Nous pouvons résumer ce qui précède dans le résultatsuivant :

TF1EOREPÏE T 2,XXII,8;9) (Riesz)

SoitË un espace hilbertlen, u un opdrateur compact

normal si

IK

- 6 , symétrique si IK= ]R . L'ensemble A des



73

valeurs propres. de ti est fini, ou peut être rangé en une

suite convergeant vers 0, 0 faisant ou non partie deh;A est

contenu dans le disque de rayon

l

1 &II.et a un élément de mo-

dule 11w 11 . Pour chaque 2 e A , sauf peut-être 71,0,

Ë,

est

de dimension finie ; les Ë, sont deux à deux orthogonaux.

E est la somme directe hilbertienne des ËA, i\ E A ; la dd-

composition Ë = A$AEA

s'appelle décomposition spectrale

de g relativement à ti . Ainsi l'opérateur ,u, est orthodiagonal

et peut s'écrire (;C,>,eA -

(2 giZ)ae12 , tandis que ti*

REMARQUES :

1) On peut remplacer

par @

aec

fA ) puls-

que F, = Ii;)

pour î\ 4A .

2) La réciproaue est trivialement vraie : si M/ a la

forme ci-dessus, nous avons déjà vu qu'il est normal ; mon-

trons qu'il est compact. Soit & > 0 .

Alors A est réunion de deux parties disjointes,

L

finie, formée des 2 de module > & ,

M=[*L.

Alors,

si nous posons, pour Z = (Z3)1eA :

(qxu3 $1

U(‘T-,)=X cnza , u1(5LC asa )

AEL

2rM

%' est de rang fini, puisque V(Ê)C fi2L Ë , ) de dimen-

sion finie,

et 11w 11 5 & puisque IA 1 C, E

pour 1~ M q

alors (T2,XXII,8;3) montre bien que

LL est compact.



74

3) P~ur E de dimension finie, toute application liné-

aire u de E dans E. est compacte ; on retrouve donc les

propriétés de la décomposition spectrale des opérateurs

Ilor-

maux dans les espaces de dimension finie.

4) Si A.G est hermitien,

toutes ses valeurs propres sont

réelles, car (

M jc, 12, ) = 1 l~GA1lER pour un vecteur

propre SA relatif à la valeur propre A . Si .u, est hermitien

30 >

toutes ses valeurs propres sont reelles z 0 . Si&

est anti-hermitien, toutes ses valeurs propres sont purement

imaginaires. Si .u est unitaire, toutes ses valeurs propres

sont de module 1 puisque IIMG//= 11% 11 , ce qui implique, si

l'on veut qu'il.soit compact, que Ë soit de dimension finie

(d'apresT ~,xxII,~;~). Les réciproques, lorsque +L. est sup-

posé normal compact, sont triviales, d'après l'expression

de AA. suivant (T 2,xX11,8:9).

5) soit D(=JR , et 4L normal.

position analogue,

Il n'y a pas de décom-

dansE'>

comme le montre le cas de la rotation+ 5

opérateur orthogonal qui n'a pas de valeurs propres

(les racines de d&( LA-AI) sont ici? k ). On peut cependant

trouver une décomposition canonique d'un autre type, faisant

justement jouer un rôle aux rotations dans des espaces de

dimension 2 ; nous ne la donnerons pas ; le lecteur pourra

la faire lui-même, en "complexifianth l'espace 2

6) On appelle spectres+& d'un opérateur AA dans un

Banach Ë l'ensemble des A eo< pour lesquels u-i\1 n'est

pas inversible.

Toute valeur propre 3 de a appartient évidemment

au spectre, puisqu'alors AA-AI

n'est pas injectif. Si

Ë est de dimension finie, la réciproque est vraie,

car toute

application linéaire injective de E dans E est bijective ;

le spectre de &L

est

donc dans ce cas 1 ensemble A des va-

leurs propres de ,u.

Il n'en est ~JUS de même si E est de

dimension infinie. Par exemple soit

Ë

= C Lo,~] espace des

fonctions continues sur le compact[0,4] de R ; soit ti l'o-

pérateur de multiplication par s . nous avons déjà vu (page

XxII,gl) qu'il n'a pas de valeur piopre ;

cependant il a un



75

spectre, qui est le compact [0,4] de c

; car-Ah- 21

est

Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)

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