50 problèmes d'analyse

7/31/2019 50 problmes d'analyse

1/233

sciences sup

50 problmes

danalyse

Jean-Michel Ghidaglia

Master capes Agrgation

Problmes corrigs

Corrigs dtaills

Mthodes


2/233

50 PROBLMES

DANALYSE


3/233


4/233

50 PROBLMES

DANALYSE

Jean-Michel Ghidaglia

Professeur lcole normale suprieure de Cachan


5/233

Une prcdente version de cet ouvrage a t publie aux ditions Springerdans la collection Scopos sous le titre Petits problmes danalyse

Illustration de couverture : Gettyimage

Dunod, Paris, 2008

ISBN 978-2-10-053810-2


6/233

Table des matires

AVANT-PROPOS vii

1 NONCS DES 50 PROBLMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Ingalits fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Topologie dans des espaces vectoriels norms de dimensioninfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Autour des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Sries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7 Sommes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 INDICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 SOLUTIONS DTAILLES ET MTHODES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

INDEX 221


7/233


8/233

Avant-propos

Cet ouvrage rassemble 50 problmes qui couvrent une large part de lAnalyse math-matique que lon rencontre au cours de la Licence lUniversit et dans les classesprparatoires aux grandes coles scientifiques. Il sagit de lanalyse mathmatique debase que doivent matriser les tudiants en Master ainsi que les candidats aux CAPESet lAgrgation de mathmatiques.

la section 1, 46 des problmes sont noncs de manire conome afin quele lecteur puisse rellement sexercer chercher plusieurs voies dattaque pour larsolution de la question pose. Si ces recherches sont infructueuses, des indications(question aprs question) sont fournies la section 2. La section 3 du livre tant quant elle constitue par des corrigs dtaills o lon insiste particulirement sur lesmthodes classiques en Analyse. cet effet, un paragraphe intitul Commentaires complte chaque corrig afin dy apporter un clairage supplmentaire.

Dautre part 4 des problmes de la section 1 (numrots 10, 24, 36 et 45) sont desproblmes dont lnonc est extrmement dtaill et de ce fait ils ne ncessitent pasdindication. Ils sont tout autant corrigs en profondeur et ce corrig est encore suivide commentaires.

Il est noter que les 50 problmes sont entirement indpendants tant au niveaude leur nonc que de leur solution. Il est donc possible (et conseill) de les aborderdans un ordre arbitraire.

Il ne sagit pas dun livre dexercices, il ne sagit pas non plus (loin sen faut)dun livre de cours. Il sagit dun manuel pour apprendre des mathmatiques et trecapable den comprendre certains des ressorts.

En effet, il est sduisant de croire que les mathmatiques ( condition parait-ilquelles soient correctement prsentes) peuvent sapprendre linairement. Oncommence par les dfinitions, puis les thormes en passant par quelques lemmeset propositions, on observe quelques exemples, on fait quelques exercices et ensuiteon passe une autre leon. Il nen nest rien (heureusement), les mathmatiques -comme toutes les autres sciences - sapprennent et se comprennent par des allers etretours incessants entre thorie et application, calculs sordides et rflexion.

Nous souhaitons que ceux qui travaillerons laide de cet ouvrage (complt parun cours de base dAnalyse) pourrons ainsi en tirer utilement partie.

Duno

dLaphotocopienonautorisees

tundlit


9/233

viii Avant-propos

Le principe de la numrotation est le suivant. Le premier numro se rapporte lnonc, le deuxime est le numro de la section alors que le troisime indique la

question traite.Cet ouvrage est une version rvise et augmente du volume Petits problmesdanalyse paru en 1999 chez Springer et aujourdhui puis. Je tiens remercierVronique Almadovar qui a assur la ralisation technique du manuscrit et Emma-nuel Lorin pour sa relecture attentive et critique de son contenu. Ce travail nauraitcertainement pas t possible sans le support intellectuel que procure lambiancecratrice du Centre de Mathmatiques et de Leurs Applications, laboratoire com-mun lcole Normale Suprieure de Cachan et au Centre National de la RechercheScientifique (CNRS).

Jean Michel [email protected]


10/233

1

noncs des 50 problmes

Nous donnons ci-dessous les noncs. Bien que totalement indpendants entre eux,ils ont t regroups par thmes principaux.

1.1 INGALITS FONCTIONNELLES

Un point de vue trs fcond consiste considrer les fonctions (dune ou de plusieursvariables relles par exemple) comme des lments dun espace vectoriel norm,

ou parfois comme des points dun espace affine norm. Lide de base consiste essayer de transposer ces espaces, en gnral de dimension infinie, les rsultats habituels dans Rn pour en dduire des rsultats sur les fonctions auxquelles onstait initialement intress. Un exemple classique est le thorme du point fixe dePicard qui permet, lorsquil est invoqu sur un espace vectoriel norm complet defonctions, de montrer lexistence de solutions pour une quation diffrentielle (voirpar exemple le problme 36). Ces espaces vectoriels o vivent les fonctions en ques-tion C([a, b];R), C1(R,Rn), . . . sont de dimension infinie. Deux diffrencesessentielles apparaissent alors :

ces espaces ne sont pas forcment complets, cest justement cette proprit qui estcruciale pour lapplication du thorme de point fixe de Picard, on dispose sur ces espaces de plusieurs normes qui nont aucune raison dtre

quivalentes entre elles.

Dans cette premire srie de problmes, il sagit dtablir diverses relations entrenormes sur des espaces de fonctions relles dune variable relle. Le problme 5est consacr certaines ingalits de Sobolev pour les fonctions dfinies sur Rn .Ces ingalits sont des outils trs puissants pour ltude des quations aux drivespartielles, notamment celles de la physique mathmatique : quation de la chaleur,

quation de Schrdinger, quations de Navier-Stokes, etc. Nous renvoyons aussi auxcommentaires ce problme la page 76.


11/233

2 1 noncs des 50 problmes

nonc 1

Soit u C

1([0, 1];R) avec u(0) = u(1) = 0.

1.1.1. Montrer que1

0 u2(x) dx 4

10 u

(x)2 dx.

1.1.2. Notons S = {u C1([0, 1];R), u(0) = u(1) = 0, 10 u(x)2dx = 1}. On admetquil existe v S tel que1

0v

2(x) dx = maxwS

10w

2(x) dx . ()

Expliquer pourquoi lexistence dun tel v nest pas immdiate.

1.1.3. Montrer que seules deux fonctions v C2([0, 1]) S peuvent vrifier ().Calculer alors c0

10 v

2(x)dx.

1.1.4. Montrer que pour tout u C1([0, 1];R) avec u(0) = u(1) = 0 on a10

u2(x) dx 1p2

10

u(x)2 dx .

1.1.5. Montrer cette ingalit sans faire lhypothse quil existe vS vrifiant ().

En dduire alors quil existe v C2([0, 1]) S vrifiant ().

nonc 2

Soit u une application continue et 2p-priodique de R dans R. On dsigne par ukle nombre complexe uk = 12p

2p0 u(x)e

ikx dx pour k Z. On note alors Q(u) =kZ |k||uk|2 [0, +].

2.1.1. Montrer que Q(u) peut tre effectivement gal +.

2.1.2. Pour t R, on dsigne par w(t) le nombre 2p0 |u(x + t) u(x)|2dx. Montrerque w est continue sur R.2.1.3. Montrer que

0

w(t)t2 dt= aQ(u) o a est une constante indpendante de u.

2.1.4. Montrer que si u C1(R,R) alors

Q2(u) b2p

0u2(x)dx

2p0

dudx

2(x)dx ()

o b est une constante indpendante de u.2.1.5. Quelle est la meilleure constante dans () ?


12/233

1.1 Ingalits fonctionnelles 3

nonc 3

Soit u une application continue et 2p-priodique de R dans R. On dsignepar uk le nombre complexe 12p 2p0 u(x)eikx dx pour k Z. On note alors|u| = kZ |uk|21/2 , ||u|| = (kZ(1 + k2)|uk|2)1/2 et[u] = (

kZ(1 + |k|)|uk|2)1/2 (certains de ces nombres pouvant tre infinis).

3.1.1. Montrer quil existe C1 indpendant de u telle que [u] C1|u|1/2||u||1/2.3.1.2. Montrer quil existe C2 indpendant de u telle que

supxR

|u(x)| C2|u|1/2||u||1/2.

3.1.3. Montrer que lassertion suivante est fausse : il existe C3 indpendant de u tellequesup

xR|u(x)| C3[u] .

3.1.4. Montrer quil existe C4 indpendant de u telle que

supxR

|u(x)| C4[u]

log

1 +

||u||[u]

1/2.

nonc 4

toute fonction f continue et 2p-priodique de R dans R (on note alorsf Cper (R,R) ), on associe la suite de ses coefficients de Fourier notsf(n) = 12p

2p0 f(x)e

inx dx . Soit alors A lensemble des fonctions f tellesque

nZ | f(n)| < .

4.1.1. Montrer que A, muni de la norme ||f||A =

nZ | f(n)|, est complet.4.1.2. Montrer que A est une algbre pour la multiplication.

4.1.3. Montrer que A est dense dansCper

(R,R) muni de la norme de la convergenceuniforme et que A = Cper(R,R).4.1.4. Soit a ]0, 1]. On dit que f Cper(R,R) appartient Li pa si

[ f]a = supx=y

|f(x) f(y)||x y|a < .

On munit lespace Li pa de la norme

||f||a = | f(0)| + [ f]a.

Montrer que pour tout a ]12 , 1], Li pa A et quil existe C R tel que

f Li pa, ||f||A C||f||a.Duno


tundlit


13/233


nonc 5

On dsigne parD

lensemble des fonctionsC support compact dans Rn :

D = {f C(Rn,R); R > 0, |x | R, f(x) = 0}.

5.1.1. Construire un lment non nul de D.5.1.2. On se donne deux rels p 1 et q 1 et on cherche savoir si

(Ip,q ) Cc,q < , f D, ||f||q Cp,q ||f||p

o ||g||r= Rn |g(x)|rdx1/r , r 1.

Montrer que si (Ip,q ) a lieu alors p < n et q =np

np .

5.1.3. On suppose que n 2 et que I1, nn1 a lieu. Montrer que pour tout p 1 avecp < n, (Ip,q ) a lieu pour q =

npnp .

5.1.4. Montrer (I1,2) dans le cas n = 2.

5.1.5. Montrer (I1, nn1 ) dans le cas n 3.

5.1.6. tudier le cas n = 1.

1.2 TOPOLOGIE DANS DES ESPACES VECTORIELS NORMSDE DIMENSION INFINIE

En directe continuation du thme des problmes prcdents, nous proposons 5 pro-blmes illustrant les proprits topologiques de certains espaces vectoriels norms.Dans les problmes 6 et 7 laccent porte sur la compacitalors que les problmes 8et 9 font appel la convexit(ce dernier point nest pas transparent la lecture desnoncs aussi nous renvoyons aux commentaires pages 84 et 88). Une des proprits

essentielles de la topologie usuelle sur Rn

est son caractre localement compacte :tout point y possde un voisinage compact. La compacit est un outil redoutable pourmontrer lexistence de solutions certains problmes. Par exemple, tant donn uncompact K toute fonction continue, f, de K dans R y possde un minimum qui dece fait est solution du problme dexistence :

trouver y K tel que x K f(y) f(x).

En dimension infinie deux voies de gnralisation sont possibles. tant donns unespace vectoriel norm et un ferm born dans cet espace, on peut

soit montrer que cet ensemble est compact en mettant en vidence dautres pro-prits de cet ensemble,


14/233

1.2 Topologie dans des espaces vectoriels norms de dimension infinie 5

soit affaiblir la topologie, cest--dire avoir plus douverts. Dans ce cas cetensemble peut devenir compact. Mais alors il faut sassurer que lon ne dgrade

pas trop les proprits de continuit, pour cette topologie affaiblie, des fonctionsqui taient continues pour la premire topologie.

Les problmes 6 et 7 relvent de la premire catgorie alors que les problmes 8 et 9relvent de la seconde.

Finalement le problme tendu 10 est consacr ltude de formules dintgrationnumrique.

nonc 6

Soit (ln)nN une suite dcroissante de rels strictement positifs convergeant vers 0.On dsigne alors par E et F les espaces vectoriels norms suivant :

E=

(un)nN RN,

n=0

|un|2 <

,

F=

(un)nN RN,

n=0

ln|un|2 <

,

munis de leurs normes naturelles

||u||E=

n=0

|un|21/2

et ||u||F=

n=0

ln|un|21/2

.

6.1.1. Montrer que E F et E = F.6.1.2. Lespace E est-il ferm dans F? Quelle est ladhrence de E dans F?

6.1.3. Montrer que K= {(un)nN E,

n=0 |un|2 1} est un compact de F.

nonc 7

On dsigne par k une fonction continue et 2p-priodique sur R. Soit alors K lop-rateur linaire

f K f : (K f)(x) =2p

0k(x y) f(y)dy

pour f E= {f C(R;R), f(x + 2p) = f(x), x R}.7.1.1. Montrer que K est bien dfini sur E et quil est continu lorsque lon munit E

de la norme ||f|| = 2p0 f2(t)dt1/2 .7.1.2. Majorer la norme de K en fonction de ||k||.D

uno


tundlit


15/233


7.1.3. Exprimer les coefficients de Fourier de K f en fonction de ceux de ket de ceuxf. Quelle analogie y voyez-vous ?

7.1.4. Soit ( f(p))pN une suite dlments de E. On suppose que cette suite estborne dans E : suppN ||f(p)|| < . Montrer que lon peut extraire de la suite(K f(p))pN une sous-suite qui converge dans E.

7.1.5. Soit L une application linaire et continue de E dans E (muni de la norme||.||). On suppose que pour toute suite borne de E, ( f(p))pN on peut extraire unesous-suite de ((L f)(p))pN qui converge dans E. Montrer que pour tout l = 0, lenoyau de L lI d est un espace vectoriel de dimension finie.7.1.6. Cette dernire proprit subsiste-t-elle pour l = 0 ?

nonc 8

On se donne sur un espace de Hilbert V rel une forme bilinaire continue a. Ondsigne par ||.|| la norme V et par ((., .)) le produit scalaire sur V.8.1.1. Soit K un convexe ferm non vide inclus dans V. Montrer que pour tout u Vil existe un et un seul lment de K, not PKu, tel que

||u PKu|| ||u v||, v K.

8.1.2. On dsigne par V =L

(V,R) le dual topologique de V. Dduire de la questionqui prcde que pour tout l V, il existe un et un seul f V tel que

v V, l(v) = (( f, v)) .

8.1.3. On suppose que a est coercive, cest--dire quil existea > 0 tel que a(v, v) a||v||2, v V. Soit l V, montrer quil existe un et un seul u K tel que

l (v u) a (u, v u) , v K. ()

nonc 9Dans un espace prhilbertien H, on dit que la suite (un)nN vrifie (F) sil existeu H tel que v H, limn((un, v)) = ((u, v)).9.1.1. Montrer que si (un) vrifie (F) alors u est uniquement dtermin.

9.1.2. Montrer que si limn ||un u|| = 0 alors (un) vrifie (F).9.1.3. Donner un exemple de suite (un) vrifiant (F) mais telle que ||un u|| ne tendpas vers zro.

9.1.4. Soit (un) vrifiant (F). Montrer que (un) est convergente si et seulement si

limn ||un|| = ||u||.9.1.5. Soit (un) vrifiant (F) et telle que limn ||un|| = l. Montrer que l ||u||.


16/233


9.1.6. On suppose que H vrifie la proprit suivante. Toute suite borne possdeune sous-suite vrifiant (F). Montrer que pour tout v H, la fonction w ||w||2 |((w, v))|

3/2

atteint son minimum.9.1.7. Montrer que de toute suite borne de l2 = {(un)nN RN,

u2n < }, muni

du produit scalaire (((un), (vn))) =

nN unvn, on peut extraire une suite vrifiant(F).

nonc 10

Notations (les rsultats noncs ici seront admis).

On dsigne parE=

C0([

1, 1];R), lespace vectoriel form par les applications

continues de [1, 1] dans R. On munit Ede la norme | | | | : pour g E,||g|| = sup{|g(t)|, t [1, 1]}.

Pour m N, Pm dsigne lespace vectoriel des polynmes de degr infrieur ou gal m.

Dans le problme, w dsigne un lment de Evrifiant : x [1, 1], w(x) > 0.Pour f et g dans E, (( f, g)) dsigne le rel :

(( f, g)) = 11

f(x)g(x)w(x)dx , (1)

ce qui dfinit une application bilinaire symtrique de E Edans R.

Premire partie

10.1.1. Montrer que ((., .)) est un produit scalaire sur E(il suffira de montrer que si(( f, f)) = 0 pour f Ealors f 0).On se propose de construire une suite (pn)nN dlments de

Equi vrifie :

(i) pn est un polynme par rapport la variable x , de degr n et dont le coefficientde xn est 1,

(ii) pour tout n 1 et pour tout q Pn1 on a ((pn, q)) = 0 (cest--dire que pnest orthogonal Pn1).

10.1.2. Montrer quil existe au plus une telle suite.

10.1.3. Montrer que p0 = 1 et p1(x) = x ((p0,x))((p0,p0)) .10.1.4. On suppose que n 2 et que pn1 et pn2 sont connus. Soient alors bn et anles nombres rels

bn =((pn1, pn1))((pn2, pn2))

, an =((x pn1, pn1))((pn1, pn1))

.

Duno


tundlit


17/233


Montrer quepn = (x an)pn1 bnpn2 (2)

vrifie (i) et (ii) si les pm pour m {0,..., n 1} vrifient (i) et (ii). Conclure lexistence des (pn).

10.1.5. Application. On suppose que w(x) = 1. Calculer p0, p1, p2, p3, et p4.

On revient au cas gnral o w est quelconque.

On dsire montrer que pn possde n racines simples et relles. Prenons donc n 1.

10.1.6. Montrer que pour n 1, pn possde dans ] 1, 1[ au moins une racine rellede multiplicit impaire (on pourra remarquer que

11 pn(x)w(x)dx = 0).

10.1.7. On fixe n 1. Soient alors x1,...,xm pour m 1 les racines de pn qui appar-tiennent ] 1, 1[ et qui sont de multiplicit impaire. En considrant le polynmep : p(x) = (x x1)...(x xm) et lintgrale ((pn,p)), montrer que m = n etconclure que pn possde n racines relles distinctes qui appartiennent ] 1, 1[.

Deuxime partie

Une formule dintgration approche sur [1, 1] est la donne de k+ 1 lments de[1, 1] nots {xi}ki=0 et de k+ 1 nombres rels li : {li}ki=0. On crit alors

11 f(x)w(x)dx k

i=0li f(xi ). (3)

Dans cette dfinition kest un entier naturel arbitraire, on dira que (3) est une formule k+ 1 points. On associe alors (3) une application Ede Edans R dfinie par : pourf E,

E( f) =11

f(x)w(x)dx k

i=0

li f(xi ) (4)

(E pour erreur).On dira que (3) est dordre m N sip Pm, E(p) = 0. (5)

10.1.8. Montrer que E : E R est une application linaire continue de lespacevectoriel norm Edans R.10.1.9. En valuant le nombre de paramtres et de contraintes dans la dfinition duneformule dintgration approche k+ 1 points dordre m, justifier heuristiquementque m 2k+ 1.

On se propose de montrer quil existe une formule dintgration approche (3) k+ 1points qui soit dordre 2k+ 1.


18/233


On dsigne par x0, ...,xk les k+ 1 racines de pk+1 (voir la question 10.1.7). On noteli pour i {0,..., k} le monme de Lagrange :

li (x) =k

j=0j=i

x xjxi xj ,

et on introduit les rels

li = ((li , 1)) =11

li (x)w(x)dx . (6)

Soit alors pour f

E, p( f), le polynme dinterpolation de Lagrange de f aux

points x0, . . . ,xk.10.1.10. Montrer que p( f) =

ki=0 f(xi )li .

10.1.11. Montrer que

ki=0

li f(xi ) =11

p( f)(x)w(x)dx. (7)

10.1.12. En dduire que pour ce choix de xi et li la formule dintgration approche

(3) est au moins dordre k.10.1.13. Soit p P2k+1. Montrer quil existe q Pk et r Pk tels que p = ql + r ol est le polynme

ki=0(x xi ).

10.1.14. Montrer que (avec les notations de la question 10.1.13)11

p(x)w(x)dx =11

r(x)w(x)dx.

10.1.15. Conclure que si les (xi ) sont les racines de pk+1 et les (li ) sont donns par(6) alors (3) est une formule dintgration approche k + 1 points qui est dordre2k+ 1.

Troisime partie

Dans cette partie on suppose que w(x) = 1 pour tout x [1, 1] et on choisit pour(xi ) et (li ) ceux obtenus la question 10.1.15 de sorte que (3), qui scrit ici

1

1

f(x)dx k

i=0li f(xi ), (8)

soit dordre 2k+ 1 (k est un entier naturel arbitraire).Duno


tundlit


19/233


On admet alors lestimation derreur suivante. Pour f C2k+2([1, 1];R) on a

|E( f)| 22k+3

((k+ 1)!)4

(2k+ 3)((2k+ 2)!)3 ||f(2k+2)||. (9)

10.1.16. En utilisant que p3(x) = x3 3x5 , montrer que (8) scrit pour k= 2 :11

f(x)dx 19

(5 f(

35

) + 8 f(0) + 5 f(

35

)). (10)

10.1.17. crire (9) dans ce cas.

10.1.18. Calculer lintgrale 11

2 + x dx .

10.1.19. Montrer que (9), dans le cas k= 2, scrit pour f(x) =

2 + x :

|E( f)| 32752

= 9, 375 104 .

10.1.20. Avec combien de chiffres significatifs faut-il valuer le second membre de(10)?

10.1.21. valuer le second membre de (10) et E( f). Conclusion ?

10.1.22. On rappelle la formule dintgration approche de Simpson (formule troispoints) : 11

f(x)dx 13

( f(1) + 4 f(0) + f(1)). (11)

Comparer, sur lexemple prcdant f(x) =

2 + x , les valeurs approches obtenuespar (10) et (11). En tudiant lordre de (11), expliquer ce que vous avez constat.

1.3 AUTOUR DES FONCTIONS IMPLICITES

Le thorme des fonctions implicites est un outil de base pour montrer lexistencede solutions certaines quations non linaires. Il est la gnralisation naturelle dursultat classique affirmant quun systme linaire de n quations n inconnues pos-sde une et une seule solution quel que soit son second membre lorsque son dter-minant est non nul. Ainsi lorsque lon cherche rsoudre un systme de n quationsnon linaires par rapport n inconnues, la premire tentative faire est de tacherdappliquer le thorme des fonctions implicites. Deux questions se posent alors.

Dans le cas o ce thorme sapplique est-il possible de calculer effectivementcette solution ( laide dun ordinateur par exemple)?

Dans le cas o le thorme ne sapplique pas, que peut on dire sur lensemble dessolutions ?


20/233

1.3 Autour des fonctions implicites 11

Nous commenons par le problme 11 dont lobjet est de justifier grce au thormedes fonctions implicites une relation (voir le numro 11.1.2.) courante en thermody-

namique. Le problme 12 propose ltude de lalgorithme de Newton qui se rapporte la premire question alors que le problme 14 propose la description dune situa-tion qui relve de la seconde. Lobjet de le problme 13 quant lui est de relaxer (i.e.remplacer par une condition moins forte) une des hypothses du thorme des fonc-tions implicites. Le problme 15 envisage une situation o le thorme des fonctionsimplicites ne peut sappliquer car un des ensembles o lon cherche une des incon-nues est dintrieur vide (il sagit de O(n)). Finalement, le problme 16 est consacr la construction ( laide du thorme dinversion locale) dune application vectoriellequi tend la normale unitaire sur une courbe du plan.

nonc 11Une loi dtatest une fonction f : ( P, V, T) f(P, V, T) R o f C1((R+)3,R)telle que

fp

fv

fT

ne sannule pas.

11.1.1. tant donn R0 constante strictement positive, montrer que

fR0 : ( P, V, T) PV R0Test une loi dtat.

11.1.2. Rsoudre fR0 (P , V, T) = 0 en exprimant P = P(V, T), V = V(T, P) etT= T(P, V) et montrer quePV

T

VT

P

TP

V

= 1.

11.1.3. Gnraliser une loi dtat arbitraire.

nonc 12

On dsigne par ||.|| la norme euclidienne surR

m

, m

1 et on considre une applica-tion G de classe C1 sur Rm vrifiant G(0) = 0 et les trois proprits suivantes :(i) b,g, r > 0 tels que rgb < 2/3,(ii) Gu (0) est inversible et ||Gu (0)1|| b,(iii) ||Gu (v) Gu (w)|| g||v w|| pour ||u|| r et ||v|| r.12.1.1. Montrer que pour tout u Br(0) = {v Rm, ||v|| r}, lapplication Gu (u)est inversible et que ||Gu (u)1|| b1bgr .12.1.2. Soit un

Br(0). On dsigne par un+1 llment de Rm :

un+1 = un G

u(un)

1G(un).

Duno


tundlit


21/233


Montrer que ||un+1|| a||un||2 avec a = bg/(2(1 rbg)) et en dduire queun+1 Br(0).12.1.3. tudier le comportement de un lorsque n +.

nonc 13

On se donne G : Rn Rm Rn et on suppose que G est de classe C1 dans unvoisinage dun point (u0,l0) Rn Rm et que lapplication linaire Gu (u0, l0) deR

n dans Rn est inversible.

13.1.1. Montrer quil existe d > 0 et r > 0 tels que si ||G(u0, l0)|| d, il existe uneapplication u dfinie sur un voisinage de l0 telle que (u(l),l) soit la seule solution

dans Br(u0, l0) de lquation G(u, l)=

0 avec ||u u0|| r et ||l l0|| r.13.1.2. Montrer que lapplication l u(l) est continue.

nonc 14

Soit F une application de classe C de R2 dans R vrifiant :F(0, 0) = 0, Fx1 (0, 0) = 0,

Fx2

(0, 0) = 0 et det M0 < 0 o M0 = M(0, 0) avec

M(x1,x2) =

2 Fxixj

1i,j2

matrice hessienne de F.

14.1.1. Vrifier que F(x , y)=

x2

(1 +x)y2

satisfait ces hypothses et reprsentergraphiquement lensemble {(x , y) R2, F(x, y) = 0}.14.1.2. On note A(x1,x2) la matrice

A(x1,x2) = 21

0(M(t x1, t x2) M0)(1 t)dt.

Montrer que A(x1,x2) est symtrique et que

F(m) =1

2(M

0.m + A(m).m).m.

14.1.3. Montrer quil existe C, une fonction dfinie sur un voisinage ouvert de (0, 0)dans R2 valeurs dans lensemble des matrices 2 2 telle que tC(m)M0C(m) = M0 + A(m) ,

C(0) = I ,

et C est une fonction C de m.14.1.4. En dduire quau voisinage de (0, 0), on a

F(x1,x2) =12

(M0w(x1,x2),w(x1,x2)) ,


22/233

1.3 Autour des fonctions implicites 13

o w est un C-difformorphisme, de ce voisinage de (0, 0) sur un voisinage de (0, 0),vrifiant w(0, 0) = (0, 0) et Dw(0, 0) = I d. tudier dans cette optique lexemple de

la 1re

question.14.1.5. Quelle est la nature gomtrique, au voisinage de (0, 0), des solutions deF(x1,x2) = 0 ?

nonc 15

On dsigne par S+(n) lensemble des matrices symtriques dfinies positives n net par O(n) lensemble des matrices n n, orthogonales.

Soit alors w : O(n) S+(n) Mn(R) dfinie par w(R, U) = RU.15.1.1. Montrer que w prend ses valeurs dans Gln(R).15.1.2. Montrer que w ralise une bijection de O(n) S+(n) sur Gln(R).15.1.3. Montrer que w1 est continue de Gln(R) dans O(n) S+(n).

nonc 16

tant donn w C(R,R), on dsigne par G son graphe :

G ={(w(x1),x1),x1

R

} R

2

.

On munit R2 de la norme euclidienne usuelle ..16.1.1. Montrer que pout tout x R2, il existe y G tel que

() z G, y x z x.

16.1.2. Montrer que y nest pas forcment unique mais que dG(x) = y x nedpend pas du y obtenu.

16.1.3. On suppose que k supx1R |w

(x1)|(1 + w(x1)2)3/2 < . Montrer que si x R2

vrifie k dG(x) < 1 alors () possde une et une seule solution y.

16.1.4. Montrer que T= {x R2, k dG(x) < 1} est un ouvert de R2.16.1.5. On dsigne par V = {(x0,x1) R2,x0 < w(x1)}. Montrer que la restrictionde dG T V peut tre prolonge sur T en une application C, note d, telle que(d)(x) soit un vecteur unitaire normal G lorsque x G.

Duno


tundlit


23/233


1.4 CALCUL DES VARIATIONS

Le calcul des variations est une des disciplines les plus anciennes des mathmatiques.Elle est toujours trs active et sans cesse renouvele. Il sagit le plus souvent dedterminer une (ou des fonctions) qui vrifient une condition doptimalit. Un desproblmes les plus clbres est celui qui consiste dterminer quelle est la courbe delongueur donne qui entoure la plus grande surface (il sagit du problme isoprim-trique). La rponse (le cercle) tait connue des grecs dans lantiquit. Le problme 22prsente la solution cette question propose par Hurwitz en 1902 (nous renvoyons ce propos aux commentaires ce problme la page 121). Ainsi certains problmesdu calcul des variations sont dorigine gomtrique (le problme 23 fait aussi partiede cette catgorie). Dautres sont dorigine physique, le plus souvent en relation avec

le principe de moindre action (minimisation de lnergie, du chemin, . . . ). Cest parexemple le cas des problmes 19 et 20 qui sont lis un problme qui se rencontreen lectrostatique alors que le problme rsolu au problme 21 est en rapport (parexemple) avec la rpartition de la temprature dans un milieu au comportement nonlinaire. Du point de vue mathmatique la difficult provient du fait que lon cherche minimiser (ou maximiser) une quantit - lnergie par exemple - par rapport unefonction (cest--dire un lment dans un espace de dimension infinie). Nous sommesdonc confronts aux problmes dj voqus (pages 1 et 4), savoir la difficult demettre en uvre des arguments de compacit.Nous commenons par deux problmes (17 et 18) consacrs aux problmes dex-

trema lis dans Rn, cest--dire quil sagit de trouver des conditions ncessaireslorsque lon minimise une fonction sur un sous ensemble de Rn dfini par des rela-tions de type galits et qui par consquent nest pas en gnral un ouvert. La sectionse termine par le problme tendu 24 qui a pour thme ltude de la minimisationde certaines fonctions convexes sur Rn ainsi que la convergence de lalgorithme dugradient pas optimal.

nonc 17

Soit V un ouvert de Rn, n 2 et cj

C1(V;R) pour j = 1,.., q 1. On dsigne

alors par E lensemble

E= {v V;cj (v) = 0 pour j = 1,.., q}.

Pour u E, r(u) dsigne le rang de la famille de vecteurs de Rn,{c1(u), . . . , cq (u)}.

17.1.1. Montrer que si r(u) n alors u est un point isol de E.

17.1.2. On suppose que c1(u), ...,cq (u) est une famille libre et que q n 1.Montrer quil existe une application w C1(O,Rq ) o O est un ouvert de Rp,p = n q, contenant 0, telle que pour 0 > 0, E B(u, 0) soit le graphe de w.


24/233

1.4 Calcul des variations 15

17.1.3. Montrer que si E est non vide et si u, avec r(u) n 1, minimise unefonction J C1(V;R) sur E, cest--dire que v E, J(u) J(v), alors il existe qnombres rels l1(u),...,lq (u) tels que pour tout k {1,..., n}

Jvk

(u) = q

r=1

lr(u)crvk

(u) .

nonc 18

On se donne q fonctions c1, ...,cq continues sur Rn, n 2 et on dsigne par Elensemble

E={v

R

n,cj

(v) = 0 pour j = 1, ..., q}

.

On suppose que lensemble E est non vide.

18.1.1. Pour J C0(Rn,R), montrer que si J est minore, la fonction f :R MinvRJ(v) est croissante.

On suppose dornavant que limR+ f(R) = + (on dit que J est infinie linfini).

18.1.2. Montrer que J atteint son minimum sur E.

18.1.3. Pour m

N, on dsigne par Jm la fonction v

J(v) + m

qj=1(cj (v))

2.

Montrer que pour tout m N, Jm atteint son minimum sur Rn en un point um Rn.18.1.4. Montrer que la suite (um)mN est borne.

18.1.5. Montrer que si u est une valeur dadhrence de cette suite, u minimise Jsur E.

nonc 19

Notons E0 = {f C0(R,R); f(x + 2p) = f(x), x R} et E1 = C1(R,R) E0.tant donn f E0, on introduit la fonctionnelle I sur E1 par

I(v) =12

2p0

v(x)2dx

2p0

v(x) f(x)dx.

19.1.1. Montrer que si u E1 vrifie I(u) I(v), v E1 alors

() w E12p

0u(x)w(x)dx =

2p0

f(x)w(x)dx.

19.1.2. Montrer que si () a lieu alors 2p0 f(x)dx = 0, ce que lon suppose dsor-mais.

Duno


tundlit


25/233


19.1.3. On dsigne par fn le nime coefficient de Fourier de f :

fn =1

2p 2p0 f(x)einx dx.On suppose que

nZ |fn| < . Dterminer toutes les solutions u de () en fonction

de f.

19.1.4. Montrer que les fonctions u ainsi dtermines sont les solutions de :

I(u) I(v), v E1.

nonc 20

On dsigne par E0 lensemble des fonctions continues de R2 dans R qui sont 2p-priodiques par rapport chacune des deux variables :

(x1,x2) R2, f(x1,x2) = f(x1 + 2p,x2) = f(x1,x2 + 2p).tant donn f E0, on construit une application I : E1 R o

E1 = C1(R2,R) E0 en posant

I(v) =12 Q

|v|2(x)dx

Qf(x)v(x)dx ,

o Q = [0, 2p]2.20.1.1. Montrer que si u E1 vrifie

I(u) = minvE1

I(v) ,

alorsw E1

Q

u.wdx =

Qf(x)w(x)dx. ()

En dduire que Q f(x)dx = 0, ce que lon supposera dsormais.20.1.2. Montrer que, rciproquement, sil existe u E1 vrifiant () alorsI(u) = minvE1 I(v).

20.1.3. Soit h R2\{0}. On note Dh lapplication qui associe v E0 la fonctionDhv :

(Dhv)(x) =v(x + h) v(x)

|h| ,

o |h| =

h21 + h22.

Montrer que Dh L

(E0)

L(E1) et que pour tout v

E1

Q|Dhv(x)|2dx

Q

|v(x)|2dx .


26/233


20.1.4. Montrer que si u E1 est solution de () alors

Q |Dhu(x)|2dx Q |f(x)|2dx.20.1.5. En dduire que si u E1 est solution de () alors la srie

kZ2 (k

21 +k

22)

2|uk|2est convergente o lon a not :

uk=

Qu(x)eik.x dx.

nonc 21

On se donne une fonction continue de f de R dans R. Sur lespaceE= {v C1([0, 1];R), v(0) = v(1) = 0} nous dfinissons une fonctionnelle Eparla formule E(v) = 12

10 v

(x)2dx +1

0 f(v(x))dx.

21.1.1. On suppose que f est convexe. Montrer quil existe au plus un u E tel que() v E, E(u) E(v).

21.1.2. Soit u C2([0, 1];R) vrifiant (). On suppose que f C1(R,R) (mais pasforcment convexe). Montrer que

d2

udx2

+ f

(u) = 0 .

21.1.3. Toujours pour f C1(R;R), montrer que si u E est solution de () alorsu C2(R;R).

nonc 22

Une courbe plane ferme paramtre par son abscisse curviligne s est la donne dedeux fonctions de classe C1, x(.) et y(.), qui sont priodiques (i.e. L > 0, x(s +L) =x(s) et y(s + L)

=

y(s), s R

) et telles que (dx

ds )2

+ (

dy

ds )2=

1, s R

.Le primtre de la courbe est le nombre L et laire quelle enserre est le nombreA =

L0 x(s)

dyds (s)ds.

22.1.1. On dsigne par xn et yn les coefficients de Fourier de x et y : pour n Z,

zn =1

L

L0

z(s)ei2pns

L ds,z {x, y}.

Exprimer A en fonction des xn et yn .

22.1.2. Montrer que 4pA L2.

22.1.3. tudier le cas dgalit.

Duno


tundlit


27/233


nonc 23

On considre les courbes dans R3 :C=

{(x, y(x), 0) ,x

[x0 ,x1]

}o y(

) est une

fonction rgulire valeurs positives ou nulles.23.1.1. Montrer par un raisonnement gomtrique simple que laire de la surface quelon obtient en faisant tourner C autour de laxe des x dans R3 est :

2px1

x0

y(x)

1 + y(x)2 dx .

23.1.2. On se donne deux rels positifs y0 et y1. Quelles sont les courbes C, vrifianty(x0) = y0 et y(x1) = y1 qui minimisent laire de la surface prcdente?

nonc 24

Dans tout lnonc ||.|| dsigne la norme euclidienne usuelle sur Rn et (., .) le produitscalaire qui lui est associ. On rappelle quun sous ensemble U de Rn est convexe sipour tous u, v U et u [0, 1] on a uv + (1 u)u U. On rappelle aussi quuneapplication w : U R est convexe si pour tous u, v U et u [0, 1],

w(uv + (1 u)u) uw(v) + (1 u)w(u).24.1.1. tant donne une application F de classe C1 de Rn dans R, montrer que larelation (F(u), v) = lim

0F(u + v) F(u)

, u, v Rn (1)

dfinit une application continue F : Rn Rn et montrer que pour tous u, v Rn

F(v) F(u) =1

0(F(tv + (1 t)u), v u)dt. (2)

24.1.2. Dans tout ce qui suit on suppose quil existe a > 0 et M > 0 tels que pourtous u, v Rn

(F(u) F(v), u v) a||u v||2, (3)||F(u) F(v)|| M||u v||. (4)

tant donne A, une matrice coefficients rels n n, et b un vecteur de Rn, donnerune condition ncessaire et suffisante portant sur A pour que

F(v) =12

(Av, v) (b, v) (5)vrifie (3) et (4).

24.1.3. tant donns u, vR

n et u

[0, 1], on pose

w(u) = F(uv + (1 u)u) + au(1 u)2

||v u||2 uF(v) (1 u)F(u).


28/233


Montrer que w est croissante et en dduire que pour tous u, v Rn et u [0, 1] on a

F(uv + (1 u)u) +au(1

u)

2 ||v u||2 uF(v) + (1 u)F(u). (6)

24.1.4. Montrer, en utilisant (2) et (3), que pour tous u, v Rn

F(v) F(u) + (F(u), v u) + a2||v u||2. (7)

24.1.5. On se donne un sous ensemble convexe, ferm et non vide Rn, not U, et ontudie le problme de minimisation

Trouver u U tel queF(u) = minvU F(

v). (8)

Montrer que (8) admet au plus une solution.

24.1.6. On dit que la suite (um)mN de points U est minimisante si la suite F(um)converge et

limm F(u

m) = infvU

F(v). (9)

Montrer que si (um)mN est minimisante et converge alors sa limite est solution de (8).

24.1.7. Montrer quil existe des suites minimisantes.

24.1.8. Montrer que si (um)mN est minimisante alors elle est borne (on pourra uti-liser (7)).

24.1.9. Montrer que (8) admet une solution.

24.1.10. Montrer que toute suite minimisante converge vers la solution de (8).

24.1.11. On suppose que U= Rn , montrer que la solution de (8) est caractrise par

F(u) = 0. (10)

24.1.12. Caractriser de manire similaire la solution de (8) lorsque U = Rn

. Traiterle cas o U est un espace vectoriel.

24.1.13. On suppose que lon dispose dune fonction w convexe et continue de Rn

dans R+ = [0, ] qui vrifie w(v) = 0 si et seulement si v U. Montrer que pourtout > 0, le problme

Trouver u Rn tel queF (u) = min

vRnF (v) (11)

o

F(v) = F(v) +1w(v) (12)

possde une solution unique.Duno


tundlit


29/233


24.1.14. Montrer que u est borne indpendamment de ]0, 1] et que u convergevers u, solution de (8), lorsque tend vers 0.

24.1.15. On suppose que U est de la forme

U= {v Rn, gi (v) 0, i = 1,..., p} (13)

o les gi sont des fonctions convexes et continues de Rn dansR. Donner une fonctionw qui vrifie les conditions de la question 24.1.13.

24.1.16. On revient dans les questions qui suivent au problme (8) avec U = Rn eton part de v0 arbitraire dans Rn. Supposant que vk est connu, on pose le problme :

trouver rk R tel queF(vk rkF(vk)) = min

rRF(vk rF(vk)). (14)

Montrer que si vk nest pas solution de (8) alors (14) possde une solution unique.

24.1.17. Si vk est solution de (8), on prend vk+1 = vk, sinonvk+1 = vk rkF(vk). Montrer que (F(vk+1), F(vk)) = 0.24.1.18. En dduire que

F(vk)

F(vk+1) a

2 ||v

k

v

k+1

||2. (15)

24.1.19. Montrer que la suite (vk) ainsi construite converge vers la solution de (8).

24.1.20. Dans le cas o Fest donn par (5), et A est symtrique, crire explicitementla relation qui fait passer de vk vk+1. Commenter cet algorithme.

1.5 QUATIONS DIFFRENTIELLES

Sous le vocable quations diffrentielles, nous avons regroup 8 problmes (numro-ts de 25 32) consacrs des quations diffrentielles ordinaires et 3 (numros 33 35) consacrs des quations aux drives partielles. Le problme tendu 36 tantquant lui consacr ltude gomtrique du comportement pour les grands tempsde systmes diffrentiels de type gradients.

La thorie dexistence de solutions du problme de Cauchy (problme aux valeursinitiales) pour les quations diffrentielles est essentiellement rsolu - thorme deCauchy-Lipschitz et thorme de Peano (ce dernier est lobjet du problme 25) -.Pour les quations aux drives partielles le contexte est bien plus ouvert. Cestdailleurs un des domaines de recherche les plus actifs en analyse, voire en mathma-

tiques. Les quations diffrentielles foisonnent et la puissance actuelle des outils desimulation numrique (seule mthode ce jour permettant dobtenir dans ce domaineet sur des problmes non acadmiques des rsultats quantitatifs) font que de plus en


30/233

1.5 quations diffrentielles 21

plus ltude du monde qui nous entoure (mtorologie, conomie, technologie avan-ce, tlcommunications, ...voire sant) produit sans arrt de nouveaux modles

base dquations diffrentielles pour lesquels on souhaite disposer de rsultats quan-titatifs (comme par exemple en mtorologie : quelle temprature fera-t -il demain ?,etc.). Lanalyse mathmatique pralable de ces modles savre essentielle pour leursimulation. Du travail en perspective pour des gnrations de mathmaticiens . . . ! Ily a un lien trs profond entre quations diffrentielles et gomtrie. La nature gom-trique de lensemble des solutions est souvent le problme clef lorsque lon souhaitefaire une thorie qualitative. Les problmes 27 et 36 en sont de bons exemples.

nonc 25

Pour m R

et a < b, on dsigne par E lespace affineEa,b = {f C0([a, b];R), f(a) = m}.

tant donn w C0(R2,R) on lui associe lapplication T de Ea,b dans lui-mmedfinie par : pour f Ea,b ,

(T f)(t) = m +t

aw( f(s), s)ds.

25.1.1. Montrer que T(Ea,b) C1

([a, b];R) et que les deux problmes suivants sontquivalents.Trouver f Ea,b tel que T f = f. (P)

Trouver f Ea,b C1([a, b];R) tel que (Q)f(t) = w( f(t), t), t [a, b].

25.1.2. Soit r > 0 arbitraire et M= sup{|w(y, t)|, |y m| r, a t b}. Montrerque si d vrifie 0 < d b a et dM r alors T envoie

E {f Ea,a+d, t [a, a + d] |f(t) m| r}dans lui mme. On suppose dans la suite que d remplit cette condition.

25.1.3. tant donn n 1, on dfinit la fonction fn sur [a 1n , a + d] par rcur-rence comme suit. Sur [a 1n , a[, fn(t) = m. On suppose que fn a t construite sur[a + k1n , a +

kn [, k 0, et on prend sur [a +

kn , a +

k+1n [,

fn(t) = m +t

a w(s, fn(s 1n ))ds. Montrer que fn|[a,a+d] E.25.1.4. Montrer que pour t1 et t2 dans [a, a + d], |fn(t1) fn(t2)| 2M|t1 t2|.25.1.5. Montrer que lon peut extraire de ( fn) une sous suite qui converge uniform-ment sur [a, a + d] vers une solution de (Q) avec b = a + d.

Duno


tundlit


31/233


nonc 26

tant donn une fonction H de classeC

2 de R2 dans R, on dsigne pour chaqueC R par EC lensemble de niveau de H :

EC= {(x , y) R2, H(x, y) = C}.On tudie alors quelques proprits du systme form par les deux quations dif-

frentielles :

(E)

dxdt

=

Hy

(x, y),

dydt

= Hx

(x , y).

26.1.1. Soit A une matrice 2 2 coefficients rels. quelle condition ncessaire etsuffisante, existe-t-il une fonction H telle que le systme diffrentiel

d

dt

xy

= A

xy

puisse se mettre sous la forme (E) ? Cette condition dpend-elle de la base choisie surR2 ? Dterminer les fonctions H dans le cas o la condition ncessaire et suffisanteest remplie.

26.1.2. Discuter lexistence de solutions de (E) lorsquon prescrit les donnes ini-

tiales x(0)=

x0 et y(0)=

y0 o (x0, y0) R

2

.26.1.3. On dit que la fonction H vrifie (P) si pour tout C R, lorsque EC nest pasvide, cest un ensemble born.

Montrer que si H vrifie (P), les solutions maximales de (E) sont dfinies pourt R.26.1.4. On dfinit les deux fonctions :

H1(x , y) =x2

2+

y4

4, H2(x, y) =

x2

2 cos y.

Les solutions maximales de (E

1

) (respectivement (E

2

)) sont-elles dfinies pourt R ?

nonc 27

On dsigne par g une application de classe C de R dans R telle que g(0) = 0. Onnote alors v = g(0) et G(x) =

x0 g(y)dy. Lobjet de ce problme est ltude de

lquation diffrentielle

(E)d2xdt2

+ g(x) = 0,

que lon crit aussi

(S) dxdt= y, dy

dt= g(x).


32/233


27.1.1. Discuter brivement lexistence de solutions de lquation (E).

27.1.2. Montrer que toute trajectoire est incluse dans un ensemble

Ec =

12

y2 + G(x) = c

,

c R, et discuter la forme de ces ensembles au voisinage du point (0, 0).27.1.3. On dsigne par G le graphe de la fonction G :G = {(x, y) R2, y = G(x)} et on choisit c R tel que larc AB G avecA = (a, c) et B(b, c) soit sous y = c : G(x) < c pour x ]a, b[ (voir la Figure 1.1).

x

y

A B

ba

Figure 1.1 Arc AB sous y = cOn suppose aussi que g(a) et g(b) sont non nuls. On forme alors la courbe planeC = {(x , y) [a, b] R2; y2 = 2(c G(x))} (voir Figure 1.2).

x

y

a b

Figure 1.2 La courbe CDuno


tundlit


33/233


Montrer que C est une trajectoire priodique de (S) de priode

T= 2ba

dx2(c G(x)) .

27.1.4. On suppose dsormais que g est un polynme impair coefficients positifs,cest--dire que G(x) = a2n+2x2n+2 + ... + a2x2 avec a2p > 0. Soit alors j R+et c = G(j); notant H la fonction polynme : H(x) = G(j)G(x)

j2x2 , montrer que lapriode doscillation est

T(j) = 2

2p/2

0

duH(sinu)

.

27.1.5. Montrer que T est une fonction dcroissante de j > 0 et en dduire lespriodes possibles. Discuter lunicit.

nonc 28

tant donns trois paramtres rels L , a et a, on sintresse lquation diffrentielle

(E)d2xdt2

+ adxdt

+ ax + sinx = L,

que lon crit aussi

(S)

dxdt

= y,

dydt

= ay sinx + L ax.

28.1.1. Montrer que les solutions maximales de (S) sont dfinies sur R.

28.1.2. On suppose que a > 0 et a 0. Montrer que les solutions de (S) restent

bornes lorsque t +.28.1.3. Montrer que si a > 0 et a > 0, il existe une constante M= M(a, a, L) telleque (x0, y0) R2, T0 tel que t T0,x2(t) + y2(t) M.

nonc 29

tant donns deux rels a < b et deux fonctions q C0(R,R) et p C1(R,R), onconsidre pour l C lensemble des fonctions y C2([a, b];C) qui vrifient

(F)d2y

dx2+ p

dy

dx+ qy = ly sur ]a

,b[

,

y(a) = y(b) = 0.


34/233


29.1.1. En introduisant un changement dinconnue de la forme z(x) = y(x)er(x) o rest dterminer, montrer quil existe s C0(R,R) tel que (F) soit quivalent

(E)

d2zdx2

+ sz = lz sur ]a, b[,

z(a) = z(b) = 0.

29.1.2. Montrer que sil existe une fonction y non identiquement nulle solution de(F) alors l R.29.1.3. Montrer que les solutions de ( F) forment un C-espace vectoriel de dimension0 ou 1.

29.1.4. Montrer que si (y1, l1) et (y2,l2) vrifient (F) et y1(x) > 0,y2(x) > 0, x ]a, b[ alors l1 = l2 et y1 et y2 sont proportionnelles.29.1.5. On suppose que la fonction x q(x) p2(x)4 12 dpdx (x) est ngative ou nullesur [a, b]. Montrer que sil existe y 0 solution de (F) alors l < 0.

nonc 30

Soit P un polynme de degr 3 coefficients rels. On souhaite connatre toutes lessolutions dfinies sur R et bornes de lquation diffrentielle

(E)

dxdt

2= P(x).

30.1.1. tudier le cas o P possde une racine triple.

30.1.2. tudier le cas o P ne possde quune racine relle.

30.1.3. tudier le cas o P possde une racine relle simple et une racine relledouble.

30.1.4. tudier le cas o P possde trois racines relles distinctes.

nonc 31

On tudie le systme diffrentiel suivant

(S)

dxdt

= x + x y,dydt

= 2y x2.

31.1.1. Montrer que les solutions maximales de (S) sont dfinies sur R et quelimt+(x(t), y(t)) = 0.

Duno


tundlit


35/233


31.1.2. Montrer que si (x(0), y(0)) = 0 alors (x(t), y(t)) = 0, pour tout t R.31.1.3. On se donne (x0, y0)

= 0 et on dsigne par (x(t), y(t)) la solution de (S)

vrifiant x(0) = x0 et y(0) = y0. Montrer que L(t) = x(t)2 + 2y(t)2x(t)2 + y(t)2tend vers une

limite lorsque t +.31.1.4. Quelles sont les valeurs possibles pour cette limite ?

nonc 32

32.1.1. Soit f une fonction de classe C de R dans R. Caractriser les fonctionsqui sont telles que lespace vectoriel engendr par toutes les drives de f est dedimension finie (on dira que f vrifie la proprit (D)).

32.1.2. Soit f une fonction continue de R dans R. On dsigne par ft, t R, lafonction dfinie par ft(x) = f(x + t), x R. Caractriser les fonctions qui sonttelles que lespace vectoriel engendr par les ft lorsque t dcrit R est de dimensionfinie.

nonc 33

Soit f une fonction de classe C2 de R dans R et vrifiant :

a > 0,

x

R, f(x) a.

33.1.1. Montrer que f est une bijection de R dans R et que b = ( f)1 est de classeC1.33.1.2. On se donne u0 C(R,R+) tel que

0 u0(x)dx < et on note g(z) =z

f(0) b(s)ds. Enfin pour x R, t > 0 et y R, on note

G(x, y, t) =y

u0(s)ds + tg

x y

t

.

Montrer qu x et t fixs, la fonction y G(x, y, t) atteint sa borne infrieure.33.1.3. Montrer que si u0 est croissante, ce minimum est atteint en un seul pointy = y(x, t).

33.1.4. Montrer que si u0 est croissante et de classe C1, la fonction y(., .) est de classeC1 sur R R+.33.1.5. En dduire que si u0 est croissante et de classe C1 alors u : R R+ Rdfinie par u(x , t) = u0(y(x, t)) vrifie :

u

t

+f(u)

x

= 0 pour x

R et t > 0.

33.1.6. Montrer que pour tout R > 0, limt0 sup|x|R |u(x , t) u0(x)| = 0.


36/233


nonc 34

Soit f une fonctionC

2 de R dans R vrifiant

a > 0, x R, f(x) a.

On se donne une fonction u0 C1(R,R) et on suppose quil existe une fonctionu C1(R R+,R) telle que

ut

+f(u)

x= 0 pour x R et t > 0, (12)

u(x , 0) = u0(x) pour x R. (13)34.1.1. Montrer que pour tout x0 R et tout s R+, il existe une fonction t z(t),de classe C1 sur R+ telle que

ddtz(t) = f(u(z(t), t)), t > 0,

z(s) = x0.

34.1.2. On dsigne par z(t; s,x0) la fonction construite la question prcdente. Enutilisant la fonction t v(t) = ux (z(t; s,x0), t) montrer que lhypothse dexistencedune fonction u C1(R,R+) solution de (12) - (13) est absurde lorsque u0 nest pasune fonction croissante.

nonc 35

Pour n 1, on se donne n + 1 fonctions continues surRn valeurs dans R, a1,..., anet b avec b(x) b0 > 0, x Rn.

On considre une fonction u C

2(Rn,R) vrifiant u(x) 0 et

n

i=1

2uxi xi

(x) +n

j=1

aj (x)uxj

(x) + b(x)u(x) 0,

pour tout x V o V est un ouvert non vide et born de Rn .35.1.1. On dsigne par V la frontire de V : V est le complmentaire de V dansson adhrence, V = V\V.Montrer que maxx

V

u(x) maxxV u(x).

35.1.2. En dduire que sil existe un ouvert non vide v V tel que u(x) 0 pourx v alors u est nulle dans v.D

uno


tundlit


37/233


35.1.3. On se donne une famille de n2 fonctions ai j C1(Rn,R) et on considre unefonction u C2(Rn,R+) telle que

ni=1

nj=1

xi

ai j (x)

uxj

(x)

+n

j=1

aj (x)uxj

(x) + b(x)u(x) 0 ,

sur un ouvert V non vide et born.

Gnraliser le rsultat de la question 35.1.1. en donnant une condition suffisante surles fonctions ai j .

nonc 36

Prambule, notationsOn notera :

||.|| la norme euclidienne usuelle sur Rn et ((., .)) le produit scalaire qui lui estassoci,

ET = C([0, T];Rn), lensemble des applications continues de lintervalle fermborn [0, T], T > 0, valeurs dansRn , espace que lon munit de la norme naturelle||.||,T :

pour f ET, ||f||,T = sup{||f(t)||; t [0, T]},

E= C([0, +[;Rn

), lensemble des applications continues de R+=

[0, +[ valeurs dans Rn.On rappelle le rsultat suivant. Soient A et B deux rels positifs ou nuls et w uneapplication continue de [0, T] dans R tels que

t [0, T], w(t) A + Bt

0w(s)ds.

Alors pour tout t [0, T], on a w(t) AeBt.

Premire partie

Soit F une application de classe C1 de Rn dans Rn . Pour u0 Rn fix, on dfinit laide de Fet de u0 une application T de Edans lensemble des fonctions de R dansRn par la formule :

(Tu)(t) = u0 +t

0F(u(s))ds, t 0. (1)

On suppose que F vrifie

L 0, u, v Rn ||F(u) F(v)|| L||u v||. (2)36.1.1.a. Montrer que pour tout u E, Tu E.


38/233


36.1.1.b. Montrer que pour tout T > 0 et u, v E

||Tu

Tv

||,T LT

||u

v

||,T.

36.1.1.c. En dduire par rcurrence que pour tout m N,||Tmu Tmv||,T L

m Tm

m!||u v||,T

(Tm dsigne la compose T T ... T m fois).36.1.2. On fixe T > 0.

36.1.2.a. Montrer quil existe m0 N tel que pour tout m m0, lapplication Tmadmet un point fixe et un seul dans ET.36.1.2.b. En dduire que T admet un point fixe et un seul dans ET. On notera uT cepoint fixe.36.1.3. Montrer que si T S > 0 alors uT et uS concident sur [0, S].

36.1.4. Dduire de ce qui prcde que lquation

Tu = u (3)admet une solution et une seule dans E.36.1.5. Montrer que cette solution u est de classe C1 de R+ dans Rn et quelle vrifie(4) et (5) ci-dessous :

dudt

(t) = F(u(t)) , t R+ , (4)u(0) = u0. (5)

36.1.6. Montrer que, rciproquement, si u C1(R+;Rn) vrifie (4) et (5) alors u estla solution de (3) dans E.36.1.7. Soient u0 et v0 Rn et F vrifiant (2). On note u la solution de (3) et v celleobtenue en prenant dans (1) v0 au lieu de u0, cest--dire que dvdt = F(v) et v(0) = v0.

Montrer que pour tout t 0,

||u(t) v(t)|| eLt||u0 v0||. (6) Deuxime partie

Soit f une application de classe C2 de Rn dans R. On dsigne par f lapplicationgradient de f qui va de Rn dans Rn et qui est dfinie par :

x Rn, f(x) =

fx1

(x),...,fxn

(x)

.

Pour uR

n, on dsigne parF

u lensemble de niveau de f :

Fu = {v Rn, f(v) f(u)}.

Duno


tundlit


39/233


Notant B(u, R) = {v Rn, ||v u|| R}, la boule ferme de Rn, centre en uet de rayon R 0, on dira que la fonction f vrifie la proprit (P) si pour tout

u Rn

, R 0 tel que Fu B(u, R).36.1.8.a. Montrer que f dfinie par f(v) = ||v||2 vrifie (P).36.1.8.b. Montrer que si f est dfinie par f(v) = ((Av, v)), o A est une matricecarre (n, n) symtrique coefficients rels, alors f vrifie (P) si et seulement si Aest dfinie positive.

36.1.9. Les applications f1(v) = ||v||2, f2(v) = ||v||4 ||v||2 vrifient-elles (P) ?Dans ce qui suit on fixe une fois pour toutes une application f C2(Rn,R) vri-

fiant (P).

36.1.10. Soit u0 Rn et R0 > 0 tels que Fu0 B(u0, R0). On dsigne par u unefonction de classe C2 sur R telle que u(s) = 1 pour s 2 et u(s) = 0 pours 3 (on ne demande pas dtablir lexistence dune telle fonction). Soit alors f0 lafonction dfinie par

v Rn, f0(v) = u ||v u0||2

R20

f(v).

36.1.10.a. Montrer que f0 C2(Rn,R).36.1.10.b. Montrer quil existe L0 (pouvant dpendre de u0 et R0) tel que F= f0vrifie (2) avec L = L0.

36.1.11.a. Soit alors u de classe C1 de R+ dans Rn la solution de (4)-(5) avecF= f0 obtenue au cours de la premire partie.Calculer la drive de lapplication de R+ dans R t f0(u(t)).36.1.11.b. En dduire que

t 0, f0(u(t)) f0(u0) = f(u0).

36.1.12. Montrer que pour tout t 0, u(t) B(u0, R0).36.1.13. En dduire que u est solution de (4)-(5) avec F= f.36.1.14. Montrer que pour tout u0 Rn, la limite de f(u(t)) lorsque t existe.On la note l(u0).

Troisime partie

Soit u0 Rn, on dsigne par u Ela solution de (3)-(4)-(5) obtenue la question36.1.13 (on rappelle que dans ce cas F= f) et on dfinit une famille dapplica-tions {S(t)}t0 en posant S(t)u0 = u(t), t 0. (7)


40/233


36.1.15. Exemples.

36.1.15.a. Montrer (vrifier) que si f(u) = 12||

u

||2 alors S(t)u0 = etu0.

36.1.15.b. Montrer que si f(u) = 14 ||u||4, S(t)u0 = u01+2t||u0||2 .On revient au cas gnral

36.1.16. Montrer que

36.1.16.a. S(0) = I d (lapplication identique de Rn dans Rn),

36.1.16.b. pour tous t1 et t2 dans R+,

S(t1 + t2) = S(t1) S(t2) = S(t2) S(t1).

36.1.17. Soient u0 Rn et R0 tels que Fu0 B(u0, R0). Montrer que t 0,||S(t)u0 u0|| R0.36.1.18. En dduire que pour tous u0 et v0 de Rn , il existe M0 R+ tel que

||S(t)u0 S(t)v0|| eM0t||u0 v0||.36.1.19. Soient s R+ et u0 Rn. On note O(s, u0) lensemble

O(s, u0) = {S(t)u0, t [s, +[}.

Montrer que S(t)O(s, u0) = O(s + t, u0).36.1.20. Montrer que lensemble v(u0) dfinit par v(u0) = s>0 adh (O(s, u0)) estun compact connexe non vide de Rn (pour X Rn , adh (X) dsigne ladhrence deX dans Rn pour la topologie usuelle).

36.1.21. Montrer que pour v Rn, (i) et (ii) ci-dessous sont quivalents :i) v v(u0),ii) il existe une suite de rels positifs (tm)mN vrifiant limm tm = + etv = limm S(tm)u0.

36.1.22. Montrer que pour tout t 0, S(t)v(u0) = v(u0).36.1.23. Expliciter v(u0) dans les exemples de la question 36.1.15

Quatrime partie

36.1.24. Soit u0 Rn et v v(u0).36.1.24.a. Montrer que f(v) = l(u0) (qui a t dfinie la question 36.1.14).

36.1.24.b. Montrer que f(v) = 0 (on pourra considrer v(t) = S(t)v).36.1.25. Cette question est indpendante de la prcdente. On dsigne par

Nlen-

semble des zros de f :N= {v Rn, f(v) = 0}.D

uno


tundlit


41/233


Pour v Rn , on notera J(v) le dterminant

J(v) = det1i,jn 2fui uj (v) .On suppose que

v N, J(v) = 0. (8)36.1.25.a. Montrer que Nest form de points isols (on pourra utiliser le thormedinversion locale).

36.1.25.b. En dduire que lintersectionN B(0, R) est de cardinal fini quel que soitR > 0.

36.1.26.a. Dduire des questions 36.1.20, 24 et 25 que pour tout u0

Rn

,v(u

0) est

un singleton.

36.1.26.b. Que peut-on dire que limt+ u(t) ?

36.1.27. On prend f(u) = (1 ||u||2)2.36.1.27.a. ExpliciterN. Est-il fini ?36.1.27.b. La proprit (8) a-t-elle lieu ?

36.1.27.c. Soit u0 Rn, expliciter v(u0).36.1.27.d. Que pouvez-vous conclure ?

1.6 SRIES DE FOURIER

La thorie des sries de Fourier est fascinante et les mathmatiques et la physiquesy mlent souhait. La nature mme des problmes poss par la convergence dessries de Fourier1 a conduit en 1909, A. Haar la thorie des ondelettes2, thorie quisest ensuite dveloppe grce de nombreux physiciens et mathmaticiens. Ainsila dcouverte, par Yves Meyer, il y a 25 ans environ, des bases orthonormes don-delettes a t un saut qualitatif considrable (les ondelettes remplacent les fonctions

Sinus et Cosinus de lanalyse de Fourier). Nous naborderons pas ce sujet ici et nousrenvoyons le lecteur intress louvrage dYves Meyer, Ondelettes paru chez ldi-teur Hermann.Nous donnons ci-aprs 9 problmes dont certains sont lis la relation entre la vitessede convergence vers zro des coefficients de Fourier, de fonctions 2p-priodiques, etla rgularit de ces fonctions : il sagit des problmes 38, 41, 42, 43, 44. Le problme39 propose une ingalit optimale entre la norme sup dun polynme trigonomtrique

1. On fait ici allusion au fait que la srie de Fourier dune fonction continue peut diverger en un point

donn.2. Les ondelettes de Haar sont encore utilises aujourdhui pour des applications pratiques en traitementdu signal.


42/233

1.6 Sries de Fourier 33

de degr n et la norme sup de sa drive (ingalit de Bernstein). Le problme 40 estquant lui le classique thorme de Fejr. Cette section se termine par un problme

tendu consacr la transforme de Fourier discrte et la transforme de Fourierrapide, le problme 45.

nonc 37

Soit N un entier suprieur ou gal un. tout 2N + 1 uplet de C2N+1 :(cN, ..., c0,..., cN) on associe la fonction CN : R C par la formule

CN(x) =N

j=Ncj e

i j x .

37.1.1. Montrer quil existe une constante KN > 0 telle que

(cN, ..., cN) C2N+1,N

j=N

|cj | KN supxR

|CN(x)| .

37.1.2. Peut-on majorer KN indpendamment de N?

nonc 38

On se donne une famille finie {lj}N

j=N dentiers relatifs vrifiantl1 > 0, lj = lj et tels quil existe q 3 tel que lj+1 > q lj pourj = 1, . . . , N 1.38.1.1 tant donns w1, wN, N nombres rels arbitraires on note

P(t) =N

j=1

(1 + cos(lj t+ wj )).

Calculer2p

0 P(s)ds.

38.1.2 Calculer 2p

0 eilj tP(s)ds.

38.1.3 On considre une fonction f(t) = Nj=N cj eilj t o cj est une famille arbi-traire de nombres complexes vrifiant cj = cj . Montrer que

Nj=N

|cj | 2suptR

|f(t)| 2N

j=N|cj |.

nonc 39

tout 2n + 1-uplet (A, a1, ..., an, b1, ..., bn) on associe le polynme trigonomtrique

T(x) = A +n

k=1

(ak cos kx + bk sin kx) .

Duno


tundlit


43/233


39.1.1. Montrer quil existe Cn tel que pour tous (A, a1,..., an, b1, ..., bn),

supxR |

T(x)| C

nsup

xR |T(x)

|.

39.1.2. Montrer que Cn n.

39.1.3. Montrer que lon peut prendre Cn = n.

nonc 40

Soit f une fonction continue de R dans R et 2p-priodique, on lui associe ses coef-ficients de Fourier :

a0 = 12p2p

0f(t)dt, ap = 1

p2p

0f(t)cos ptdt, bp = 1

p2p

0f(t)sin ptdt,

p 1. On note S0 = a0 et pour n 1,

Sn(x) = a0 +n

k=1

(ak cos kx + bksin kx) .

Soit alors sn, n 1, dfinie par

sn(x) =1n

n1k=0

Sk(x).

40.1.1. Montrer que si Sn converge uniformment vers f, il en est de mme pour sn.

40.1.2. Montrer que sn converge uniformment vers f.

nonc 41

toute fonction continue f sur [0, 2p], on associe les nombres complexes

f(k) 12p 2p0 f(t)eiktdt.On note alors

Sn( f, t) =n

k=nf(k)eikt,

sn( f, t) =1

n + 1

nk=0

Sk( f, t).

41.1.1. Pour quelles valeurs de a a-t-on :

> 0, l > 1 tel que limn+

n


44/233

1.6 Sries de Fourier 35

41.1.2. On suppose que a est lune de ces valeurs et que f est telle que

supnZ |

n|a

|f(n)

| 0 tels que ]x0

0,x0 +

0[ ]0, 1[ etx ]x0 0,x0 + 0[, |c0v(x) + v(x)| r > 0. Le signe de c0v + v estalors constant sur ]x0 0,x0 + 0[, notons le d {1, 1}. Soit alors x une

Duno


tundlit


69/233

60 3 Solutions dtailles et mthodes

fonction positive de classe C1 sur [0, 1], valant 1 sur ]x0 0/2,x0 + 0/2[ et 0 sur[0, 1]\]x0 0,x0 + 0[. Prenons alors w(x) = dx(x), il vient

0 =1

0(c0v + v)wdx =

x0+x0

d|c0v + v|wdx =

=

x0+x0

|c0v + v|xdx x0+0/2

x00/2rdx = r0 > 0

ce qui est absurde. Ainsi c0v+v = 0sur[0, 1]. Mais c0 = 0 (car ||v||1 = 1 v 0)et donc v = v/c0 avec v(0) = v(1) = 0. Il en rsulte que (i) 1/c0 est de la formek2p2 avec k N et que v(x) = l sin kpx. Mais ||v||1 = 1 et donc l2k2p2 = 2puisque 10 v2dx = l2/2, v correspond forcment au plus petit l cest--dire celuipour k = 1. Ainsi v(x) = l sinpx avec l = 2

psont les deux seules solutions

possibles.

Nous avons alors c0 = 1/p2.

1.3.4. Donnons nous u C10 avec u 0. Alors ||u||1 = 0 et la fonction u/||u||1appartient S. Daprs ce qui prcde,1

0

u2(x)||u||21

dx c0 =1p2

et donc 10

u2(x)dx 1p2

10

u(x)2dx.

1.3.5. Cette dernire ingalit, meilleure que celle de la premire question, a t prou-ve sous lhypothse quil existait v C2([0, 1]) S solution de ().

Donnons nous u C1([0, 1];R) tel que u(0) = u(1) = 0 et dsignons par f lafonction de [p,p] dans R dfinie par :pour x 0 : f(x) = u(x/p), pour x 0 : f(x) = u(x/p). Cette fonctionest continue sur [

p,p], priodique ( f(

p) = f(p)) et de classe

C1 sur [

p,p].

Notons alorsbn =

1p

pp

f(x)sin nx, n N.

Introduisons pour N 1, le polynme trigonomtrique

fN(x) =N

n=1

bn sin nx.

Puisque p

p

f2N(x)dx = pNn=1 b

2n et

p

p

f2

N (x)dx = pNn=1 n

2b2n, nous avonspp

f2N(x)dx pp

f2

N (x)dx


70/233

3 Solutions dtailles et mthodes 61

tant donn que f est de classe C1 sur [p,p], pp f2N (x)dx pp f2(x)dx etdonc

pp f2N(x)dx p

p f

2(x)dx.

Maintenant pp

f2(x)dx = limN

pp

f2N(x)dx

car f est continue et f(p) = f(p) (en fait ici f tant C1, il y a mme convergenceuniforme de fN vers f sur [p,p]). Par consquent

p

p

f2(x)dx

p

p

f2(x)dx.

Revenons alors en u :

2p

0u2(

xp

)dx 2p

0

1p2

u(xp

)2dx,

et en faisant le changement de variable x = py :10

u2(x)dx p21

0u2(x)dx ,

ce quil fallait dmontrer.

Il est alors clair que v(x) = 2p

sinpx est de classe C2, appartient S et vrifie ().Commentaires

Au numro 1.3.2. nous avons voqu le thorme de Riesz qui snonce comme suit.

Thorme. (Riesz) Dans un espace vectoriel norm il y a quivalence entre les deuxassertions :

(i) la boule unit ferme est compacte,(ii) la dimension de lespace est finie.

Dmonstration. Lorsque lespace est de dimension finie, n, le choix dune base lerend homomorphe Rn o les ferms borns non vide sont les compacts.

Supposons rciproquement que la boule unit ferme soit compacte. Si lespace, notE, est de dimension infinie, il existe une famille libre et dnombrable de vecteursunitaires : (en)nN avec ||en|| = 1. Soit alors En lespace vectoriel de dimensionfinie engendr par {e0, e1, . . . , en}. Nous avons En = Eet il en rsulte (admettons-lemomentanment) quil existe un En avec ||un|| = 1, et d(un, En1) 1/2 pourtout n 1.

La suite (un)nN appartient la boule unit ferme de E et pour m < n,||un um || d(un, Em) d(un, En1) 1/2.

Duno


tundlit


71/233


Ainsi la suite (un)nN ne contient pas de valeur dadhrence ce qui contredit (i) : Eest forcment de dimension finie. Il nous reste donc montrer lexistence de la suite

finie (un)nN. Puisque En1 est de dimension finie, cest un sous-espace ferm de E,diffrent de E. Soit alors v E tel que v En1. Nous avons d d(v, En1) > 0et par consquent, il existe w En1 tel que d ||v w|| 2d. Montrons queun = v

w||vw|| convient i.e. que ||un|| = 1 et d(un, En1) 1/2. Soit h En1,

||un h|| = v w||v w|| h

= ||v (w + ||v w||h)||||v w|| d2d = 1/2(car w + ||v w||h En1). Ceci achve la preuve du thorme.

Le problme () considr au numro 1.3.2. est un problme du calcul des varia-tions au sens des commentaires au problme 22 page 121. En effet, si nous prenonsF(x, u, p) = u2 et G(x, u, p) = p2, lquation dEuler (E) (voir page 121) scrit

ddx

(2lu(x)) = 2u(x)

soit lu(x) = u(x) (l est un nombre rel dterminer). Il sagit bien de lquation laquelle nous sommes arrivs au numro 1.3.3. (l y est not c0).

Corrig 22.3.1. Soit ak, k N, tel que ak 0,

k=0 ak < et

k=0 ka

2k = + (par

exemple ak = 1/k1/2 si k est de la forme 4n, n N et ak = 0 sinon; ka2k netend pas vers zro alors que

Nk=0 ak

n=0 2

n= 2). Posons alors u(x) =

k=0 ak cos kx . La fonction u est continue puisque la srie de fonctions continuesde terme gnral (ak cos kx) converge uniformment sur R. Nous avons aussi uk =

p=01

2p

2p0 ap cos pxe

ikx dx par convergence uniforme et donc uk = 12 a|k| pourk= 0 et u0 = a0. Puisque

k=0 ka

2k = +, Q(u) = 12

k=0 |k|a2k = +.

2.3.2. La fonction U : RR R dfinie par U(x, t)=

(u(x+t)u(x))2

est continuesur R2. Par le thorme de continuit des intgrales par rapport un paramtre, lesegment [0, 2p] tant compact, la fonction t 2p0 U(x, t)dx est continue sur R.2.3.3. t fix, la fonction v(x) = u(x + t) u(x) est 2p-priodique et continue surR. Son kime coefficient de Fourier vk se calcule comme suit :

vk =1

2p

2p0

v(x)eikx dx = uk + 12p2p

0u(x + t)eikx dx ,

= uk +1

2p 2p+t

t u(x)eik(x

t)

dx ,

= (eikt 1)uk ,


72/233


puisque2p+t

t u(x)eikx dx est indpendant de t (intgrale dune fonction priodique

sur une priode). Par lidentit de Parseval :

2p0

|v(x)|2dx =kZ

|vk|2 = |uk|2|1 eikt|2.Mais |1 eikt|2 = 4sin2 kt2 et donc

w(t) = 4kZ

|uk|2 sin2 kt2 .

Observons par ailleurs que lintgrale

04t2 sin

2 kt2 dt est convergente et vaut a|k|

avec a = 2 0 sin2 tt2 dt (il suffit de faire le changement de variable s = |k|t2 lorsquek = 0). Ainsi la formule demande revient intervertir intgrale et somme. Toutdabord si Q(u) = +, observons que pour tout N N,w(t) 4

|k|N |uk|2 sin2 kt2 et donc0

w(t)t2

dt 4|k|N

0

|uk|2 sin2 kt2dtt2= a

|k|N

|k||uk|2 ,

et ainsi lorsque N , puisque a > 0,

0w(t)t2 dt = + : on a bien

0 w(t)t2 = aQ(u)(+ = +). Plaons nous dans le cas o Q(u) < cest--dire que kZ |k||uk|2 < . Sur tout compact [, A], nous pouvons crireA

w(t)t2

dt=kZ

|uk|2A

sin2(kt/2)t2

dt,

car la srie de fonctions (|uk|2 sin2 kt2 ) converge uniformment vers w(t). MaisA

sin2(ht/2)t2 dt

0

sin2(ht/2)t2 dt = a|k| et donc la srie de fonctions de et A :

(|uk|2

A

sin2( ht2 )t2 dt) est domine par la srie convergente de terme gnral (a|k||Uk|2).

Puisque, kfix,

lim0

A|uk|2

A

sin2 ht2t2

dt= a|uk|2|k| ,

nous en dduisons que

lim0

A

A

w(t)t2

dt= akZ

|k||uk|2 = aQ(u).

2.3.4. Puisque |u(x + t) u(x)|2 2(|u(x + t)|2 + |u(x)|)2 nous avons

w(t) 22p

0|u(x + t)|2dx + 2p

0|u(x)|2dx = 42p

0|u(x)|2dx.

Duno


tundlit


73/233


Par ailleurs, u(x + t) u(x) = t10 dudx (x + tu)du qui sobtient en considrant lafonction u u(x + tu). Ainsi laide de lingalit de Cauchy-Schwarz :

|u(x + t) u(x)|2 t21

0

dudx

2(x + tu)du

et donc 2p0

|u(x + t) u(x)|2dx t22p

0

10

dudx

2(x + tu)du

dx.

Intervertissons alors les deux intgrales en faisant appel au thorme de Fubini et en

observant que2p0

dudx

2(x + tu)dx =

2p+tutu

dudx

2(x)dx =

2p0

dudx

2dx .

Il vient ainsi

w(t) t22p

0

dudx

2dx.

Dsignons par ||v

||2= 2p0 v(x)2dx . Nous avons donc montr quew(t) 4||u||2 et w(t) t2||ux ||2.

Aucune de ces majorations ne peut-tre utilise sur [0, +[ pour majorer 0 w(t)t2 dtcar les deux intgrales divergent (lune linfini, lautre en t = 0). Nous prenonsdonc t > 0 arbitraire et crivons avec ux dudx ,

aQ(u) =t

0

w(t)t2

dt++t

w(t)t2

dt,

t

0

t2||ux ||2dtt2

++t

4||u||2dtt2

.

Ainsi

aQ(u) t||ux ||2 + 4t||u||2, t > 0.

Puisque t est arbitraire, prenons celui qui minimise le membre de droite : t = 2||u||||ux || (si ||ux || = 0, u est constante et lingalit est toujours vraie quel que soit b). Il vient

aQ(u)

4||u| | | |ux ||et donc b = 16/a2 convient.


74/233


2.3.5. Puisque u est de classe C1, nous pouvons appliquer lidentit de Parseval la fonction dudx dont les coefficients de Fourier

12p

2p0

dudx e

ikx dx valent iku k :

||uk||2=kZ |k|2|uk|2. Mais par application de lingalit de Cauchy-Schwarz :

kZ|k||uk|2 =

kZ

|k||uk|.|uk|

kZ|k|2|uk|2

1/2kZ

|uk|21/2

et donc

Q(u)2 2p

0u2dx

2p0

u2x dx .

Si nous prenons u = cosx nous avons galit dans cette ingalit, la meilleureconstante dans lingalit () est donc 1.

Commentaires

Finalement lingalit () scrit0

2p0

|u(x + t) u(x)|2t2

dxdt 1p

2p0

u2(x)dx

1/22p0

dudx

2dx

1/2()

car a = 2

0sin2 t

t2 dt = p. Cette dernire identit rsulte dune simple intgrationpar parties et du fait que

0

sin tt dt=

p2 .

Pour une fonction de classe C1, et 2p-priodique nous avons bien videmmentlingalit

|u(x + t) u(x)|2t2

sup0y2p

dudx

(y)

2, x , t = 0.

Lingalit () est son analogue lorsque lon souhaite utiliser comme majorant desnormes de u et dudx en moyenne quadratique.

Corrig 33.3.1. Si la srie de terme gnral (1+ k2)|uk|2 est divergente, lingalit est vidente.Si par contre

kZ(1 + k

2)|uk|2 < , [u] < et |u| < (cette dernire srie esttoujours convergente daprs lidentit de Parseval). Daprs lingalit de Cauchy-Schwarz nous avons

kZ

(1 + |k|)|uk||uk|

kZ(1 + |k|)2|uk|2

1/2kZ

|uk|21/2

,

et puisque (1 + |k|)2

2(1 + k2

), lingalit demande sobtient avec C1=

21/4

.Remarquons que lingalit [u] 21/4|u|1/2||u||1/2 est optimale puisque cest unegalit pour u(x) = cosx .

Duno


tundlit


75/233


3.3.2. L encore si ||u|| = +, lingalit est vidente. Supposons donc que||u|| < . Soit alors N fix, on note v(x) =

Nk=N ukeik x . La fonction v tant de

classe C1 (et mme C) nous avons par intgration deddtv2(t) = 2v(t)v(t) :

v2(x) = v2(y) 2

yxv(t)v(t)dt

et donc quels que soient x et y entre 0 et 2p :v

2(x) v2(y) 2 2p0

|v(t)||v(t)|dt.

Appliquons alors lingalit de Cauchy-Schwarz lintgrale :

|v2(x) v2(y)| 22p

0|v|2(t)dt

1/22p0

|v|2(t)dt1/2

.

Mais v2(x) = v2(x) v2(y) + v2(y) et donc par intgration sur [0, 2p] par rapport y :

2pv2(x) =2p

0(v2(x) v2(y))dy +

2p0

v2(y)dy

ainsi laide de lingalit prcdente :

v2(x) 2

2p0

|v|2(t)dt1/22p

0|v|2(t)dt

1/2+

12p

2p0

v2(y)dy.

Or nous avons 12p2p

0 |v|2(t)dt=N

k=N |uk|2 |u|2 et

12p

2p

0|v(t)|2dt=

N

k=Nk2|uk|2 ||u||2

do N

k=Nuke

ikx2 4p|u|||u|| + |u|2 (1 + 4p)|u|||u||.

Mais la srie de terme gnral (uk) est absolument convergente, en effet :

|uk| = 1k.k|uk| 12

k2|uk|2 + 1k2

et ||u|| < .

Il en rsulte que limNNk=N ukeikx = u(x) et donc u2(x) ( 1 + 4p)|u|||u||, cequi tablit lingalit demande.


76/233


Revenons sur lassertion u(x) = limNN

k=N ukeikx . Puisque

|uk| < ,la srie de fonctions uke

ikx est normalement convergente vers une limite l qui

est une fonction continue et 2p-priodique. Le kime coefficient de Fourier de l estlk = 12p2p

0 l(x)eikx dx = pZ up2p 2p0 ei px eikx dx par convergence uniforme.

Ainsi lk= uk pour tout k. Il en rsulte que l = u.

3.3.3. Soit ak 0 telle que

kN ak = + et

kN(1 + k)a2k < (par exemple

ak=1

(1+k) log(2+k) convient). Dsignons par uN la fonction

uN(x) =N

k=0

ak cos kx.

Nous avons uNk =12 a|k| pour k= 0 et uN0 = a0.

Si lingalit tait vraie nous aurions

Nk=0

ak= uN(0) sup

xR|uN(x)| C3

N

k=0

(1 + k)a2k

1/2

C3kN(1 + k)a2k1/2

ce qui est absurde puisque limNN

k=0 ak= +.3.3.4. De nouveau si ||u|| = + lingalit demande est vidente. Plaons nousdonc dans le cas ou ||u|| < .Nous avons alors pour tout N :

kZ|uk| =

|k|N|uk| +

|k|N+1|uk|.

Appliquons alors lingalit de Cauchy-Schwarz chacune de ces deux sommes :|k|N

|uk| =|k|N

(1 + |k|)1/2|uk|(1 + |k|)1/2

|k|N

11 + |k|

1/2

|k|N

(1 + |k|)|uk|2

1/2

,

|k|N

|uk| |k|N

11 + |k|

1/2 [u].

Duno


tundlit


77/233


Et pour la seconde :

|k|N+1

|uk| = |k|N+1

(1 + |k|2)1/2|uk|(1 + |k|2)1/2 |k|N+1

11 + k2

1/2||u||.La premire srie numrique peut alors tre majore par comparaison avec une int-grale :

|k|N

11 + |k| = 1 + 2

N+1k=1

1k 1 + 2

Nk=1

kk1

dx1 + x

= 1 + 2 log(1 + N).

Pour la seconde,|k|N+1

11 + k2

2

k=N+1

1k(k 1) = 2

k=N+1

1

k 1 1k

=

2N

.

Ainsi kZ

|uk| (1 + 2 log(1 + N))1/2[u] + 21/2||u||N1/2

.

Puisque N est arbitraire, lide est de choisir un N qui rende le second membre

minimal. Tout dabord si ||u|| [u], pour N= 1 il vientkZ

|uk|

2 + (1 + 2 log 2)1/2

[u],

kZ

|uk| 2 + (1 + 2 log 2)1/2

(log2)1/2

[u]

log(1 +

||u||[u]

)

1/2.

Si ||u|| [u], prenons pour N la partie entire de ||u||[u] : ||u||[u] N < 1 + ||u||[u] . AlorskZ

|uk| 2 + (1 + 2 log(2 + ||u||[u] ))1/2 [u].La fonction x (2+(1+2log(2+ x))1/2)/(log(1 + x))1/2 tant majore sur [1, +[par une constante C4, nous obtenons que pour tout u = 0,

kZ|uk| C4[u]

log(1 +

||u||[u]

)

1/2.

tant donn que lorsque ||u|| < , ukeikx converge uniformment vers u,|u(x)| kZ |uk| pour tout x R et lingalit demande en dcoule.


78/233


Commentaires

Lobjet de ce problme est de montrer que bien que lingalit du numro 3.1.3.

soit fausse, il sen faut de trs peu cest--dire que cette ingalit est vraie au prixdune correction logarithmique. Ce type dingalit trouve notamment son utilitdans la thorie des quations diffrentielles. En effet, le Lemme de Gronwall (voirpar exemple le prambule du problme 36 la page 28) fait que si nous avons uneinquation diffrentielle

dy

dt By ,

alors y(t) y(0)eBt pour t 0. Par contre, il nest pas possible de dduire delinquation diffrentielle

dy

dt B|y|p

1

y ,o p ]1, +[ une majoration du mme type (il suffit pour sen convaincre dersoudre lquation diffrentielle correspondant au cas dgalit). Toutefois si nousconsidrons y 1 vrifiant

dydt By log y ,

nous avons y(t) y(0)eBt

pour t 0. Certes la croissance de y peut tre trs violentemais pour tout T 0, la fonction y est uniformment borne sur [0, T].

Corrig 44.3.1. Soit donc ( fk) une suite de Cauchy dans A : > 0, N tel que K N etp 0, nZ | fK+p(n) fK(n)| . n fix, la suite ( fk(n)) est donc de CauchydansC qui est complet et par consquent il existe ln C tel que limk+ fk(n) = ln.Montrons alors (i) que

|ln| < et (ii) que ||fk l||A 0 lorsque k ol(x) =

nZ lne

inx . Soit donc N0 0 fix. Nous avons|n|N0

| fK+p(n) fK(n)| .

Passons la limite p + dans cette somme finie, il vient|n|N0

|ln fK(n)| , K N.

Puisque cette estimation est indpendante de N0, il en rsulte que la srie de termegnral (ln fN(n))nN est absolument convergente et donc

nZ |ln| < . De plus

en faisant N0 il vient

nZ |ln fK(n)| . Puisque

nZ |ln| < , la sriede fonctions, de terme gnral (lneinx ) converge uniformment vers l Cper(R,R) :l(x) =

nZlneinx . De plus

ln =1

2p2p

0l(x)einx dx = 1

2pmZ

lm2p

0ei(mn)x dx = ln.

Duno


tundlit


79/233


Ainsi l A et > 0, N tel que K N nZ |l(n) fK(n)| .On aurait pu aussi obtenir le rsultat en observant que lapplication w : l1r

A

(l1r {un C, un = un et nZ |un| < }) dfinie parw((un)) =

nZ

uneinx

ralise un isomorphisme isomtrique entre (l1r, ||.||l1 ) et (A, ||.||A), puis en utilisant lefait que l1 est complet.

4.3.2. Soient f et g dans A. Nous avons alors

f(x) =nZ f(n)einxavec convergence uniforme. Ainsi

f(x)g(x) =kZ

lZ

f(k)g(l)ei(k+l)x

=

nZk+l=n

f(k)g(l)

einx

o toutes les convergences sont absolues.

Ainsi f g(n) = 12pmZ k+l=n f(k)g(l) 2p0 ei(mn)x dx dof g(x) = k+l=n

f(k)g(l).

Par suite |f g(n)| k+l=n | f(k)||g(l)| et donc|n|N |f g(n)| |n|N k+l=n | f(k)||g(l)|

kZ

| f(k)|lZ

|g(l)| = ||f||A||g||A.

Il en rsulte que la srie de terme gnral (f g(n)) est absolument convergente et doncf g A avec de plus ||f g||A ||f||A||g||A.4.3.3. Soit f Cper(R,R). Il existe alors une suite de polynmes trigonomtriquesa0 +

Nk=0(ak cos kx + bk sin kx) qui converge uniformment vers f sur [0, 2p] (et

donc sur R). Attention en gnral il ne sagit pas de |n|N f(n)einx .Pour un polynme trigonomtrique T on a T(n) = 0 pour |n| assez grand et doncT A.


80/233


Pour montrer que A = Cper(R,R), il suffit dexhiber f Cper(R,R) tel que

nZ f(n) diverge. On peut prendre par exemple f(x) =n1

sin nxn log (1+n) , dans ce

cas f(0) = 0, f(n) = 1|n| log (1+|n|) pour n = 0. On a biennZ | f(n)| = et on montre indpendamment (voir les commentaires du pro-

blme 42 la page 187) que f est continue sur R.

4.3.4. Nous avons vu que pour f A,

f(t) =nZ

f(n)eint

avec convergence uniforme. Ainsi

f(t h) f(t) =nZ

(einh 1) f(n)eint.

Soit m 0 et n compris entre 2m et 2m+1 : 2m n 2m+1 alors pour h = 2p3.2m nousavons

3 |einh 1| car |einh 1| = 2| sin nh2 | et p3 nh2 2p3 . Par consquent

2m|n|


81/233


Maintenant pour valuer

nZ | f(n)|, on somme sur les couronnes diadiques 2m |n| < 2m+1 :

nZ| f(n)| = | f(0)| +

m=0

2m|n| 12 et donc si

Ca = 1 +2p

3 a

2

m=0 2m( 12a),

nous avons pour a > 12 , ||f||A Ca||f||a.Commentaires

Lestime prcdente est en fait optimale cest--dire que lon peut avoir f Li p1/2alors que f A. Un contre-exemple est donn par f(t) = Ren=1 ein t log nn eint. Cettefonction nest pas dans A car pour n = 0, | f(n)| = 1n . Le fait que f Li p1/2 est fortdlicat montrer et nous renvoyons la page 197 du livre de A. Zygmund, Trigono-metric series, paru chez Cambridge University Press, o le rsultat plus gnral quisuit est dmontr.

Thorme. Soit c > 0 eta ]0, 1[. La srien=1 eicn log n ein xn( 12 +a) converge uniform-ment vers une fonction de Lipa.

Corrig 5

5.3.1. Considrons la fonction r : R R dfinie par r(x) = 0 si x R\] 1, 1[et r(x) = exp(1\(1 x2)) si x ] 1, 1[. Cette fonction a pour support [1, 1].Nous prtendons quelle est

C. Cela est bien clair sur R

\{1, 1

}et par parit, il

suffit de montrer que r est de classe C au voisinage de x = 1. crivons alorse 1

1x2= e

12(1+x) e

12(1x)

de sorte que r sera de classe C si nous prouvons que la fonction j, dfinie parj(t) = 0 pour t 0 et j(t) = e

1t si t > 0, est de classe C sur R.

Ce fait est bien connu et peut tre prouv par exemple comme suit.

On montre par rcurrence sur m que : j est de classe Cm et il existe un polynme Pmtel que j(m)(t) = 0 pour t 0, j(m)(t) = Pm 1t e1/t pour t > 0.En effet, pour m = 0, limt0+ e1/t = 0 montre que la proprit a bien lieu avecP0(X) = X. Supposons que la proprit a lieu pour m 0 et considrons le cas


82/233


m + 1. Nous avons pour tout t > 0,

j(m+1)(t) = 1t2 Pm 1t P m 1t e1/t= Pm+11t e1/tpourvu que nous prenions Pm+1(X) = X2(Pm(X) P m(X)).Mais pour tout polynme Q, limt0+ Q( 1t)e

1/t= 0 et par consquent

limt0+

j(m+1)(t) = 0.

Par ailleurs pour t < 0,j(m+1)(t) = 0. Ainsi posant j(m+1)(0) = 0, nous obtenons quej est de classe

Cm+1 et j(m+1)(t) = Pm+1 1t e1/t pour t > 0.Dans le cas n quelconque, tant donn une boule arbitraire ||x x0|| R,

nous considrons w(x) = r||xx0||

R

= 0 pour ||x x0|| R et w(x) =

exp R2R2||xx0||2

pour ||x x0|| R. Bien que lapplication x ||x x0||

ne soit pas diffrentiable en x0, lapplication x ||x x0||2 elle est de classe C(application polynomiale). Ainsi w est bien de classe C, son support tant B(x0, R).5.3.2. Pour f D quelconque, considrons la fonction fl : x f(lx). Nousavons fl = l(f)l et ||gl||r = ln/r||g||r, r 1 car

||gl||rr = Rn

|g(lx)|rdx = 1lnRn

|g(y)|rdy

aprs changement de variable y = lx.

Ainsi si (Ip,q ) a lieu alors

l > 0, ln/q ||f||q Cp,qlln/p||f||p ,

do l(1+nq np )||f||q Cp,q ||f||p.

Ainsi pour f = 0, ||f||q = 0 et cette ingalit nest possible pour tout l > 0 que silexposant de l est zro : 1q 1p = 1n . Il en rsulte (q 1) que p < n et q = npnp .5.3.3. Commenons par rappeler lingalit de Hlder suivante : p ]1, [ avecp = pp1 nous avons pour toutes fonctions g1 , g2 D :

Rn

g1g2dx

||g1||p||g2||p .

Appliquons alors (I1,

n

n1) fs, s 1. Nous avons

( fs) = s fs

1

f et donc

||fs || nn1 C1, nn1 ||s fs1f||1.

Duno


tundlit


83/233


Mais ||fs || nn1

= ||f||s snn1

et donc si nous voulons faire apparatre ||f||q avec q =np

n

50 problèmes d'analyse

Documents

Transcript of 50 problèmes d'analyse