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Intégration – Encadrement d’intégrale – Exercices corrigés

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1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : encadrer une intégrale

Exercice 2 : donner un encadrement du logarithme népérien d’un nombre à l’aide d’une intégration

Exercice 3 : encadrer une intégrale dont l’intégrande est une fonction composée

Exercice 4 : encadrer une intégrale dont l’intégrande est le produit de deux fonctions

Exercice 5 : minorer la fonction exponentielle par une fonction polynôme (raisonnement par récurrence)

Exercice 6 : comparer deux intégrales et étudier la convergence d’une suite définie par une intégrale

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Avant de porter notre attention à la correction des exercices, rappelons la définition d’une fonction primitive

ainsi que les primitives des fonctions usuelles et les primitives de fonctions composées couramment

rencontrées.

Dans ces formulaires, désigne une constante réelle et est une fonction dérivable sur un intervalle.

Rappel : Primitive d’une fonction et calcul d’une intégrale

Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec . Une primitive de sur [ ] est, si elle

existe, une fonction dérivable sur [ ] vérifiant sur [ ].

Si est une fonction continue sur [ ] et si est une primitive de sur [ ], alors, pour tout [ ] :

∫ ( )

[ ( )] ( ) ( )

Remarque : Dans une intégrale, la fonction qui est intégrée est appelée intégrande.

Intégration – Encadrement d’intégrale

Exercices corrigés

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Formulaire des primitives de fonctions usuelles

Fonction définie par ( ) Primitives définies par ( ) Conditions sur et

( )

√

√

√

√

Formulaire des primitives de fonctions composées

Fonction Primitives de la fonction Conditions sur et

√

√

√

√



3

Dans cet exercice, désigne une fonction continue sur .

1) Sachant que, pour tout [ ], ( ) , donner un encadrement de l’intégrale :

∫ ( )

2) Sachant que, pour tout [ ], ( ) , donner un encadrement de l’intégrale :

∫ ( )

1) Donnons un encadrement de l’intégrale.

Rappel : Conservation de l’ordre par intégration (ordre et intégrale / intégration d’une inégalité)

Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout réel [ ] :

( ) ( ) ∫ ( )

∫ ( )

Remarques :

On dit que l’intégrale conserve l’ordre. La réciproque n’est pas vraie.

La fonction est continue sur et l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel [ ], il vient que :

( ) ∫

∫ ( )

∫

[ ] ∫ ( )

[ ]

( ) ∫ ( )

( ) ∫ ( )

2) Donnons un encadrement de l’intégrale.

La fonction est continue sur et l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel [ ], il vient que :

( ) ∫ ( )

∫ ( )

∫

[

]

∫ ( )

[

]

[

]

∫ ( )

[

]

(

) ∫ ( )

∫ ( )

Exercice corrigé 1 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu



4

1) Montrer que, pour tout réel [ ],

2) En déduire un encadrement, pour tout réel [ ], de l’intégrale suivante :

∫

3) En déduire un encadrement de .

1)

La fonction est une fonction affine de taux d’accroissement positif donc elle est croissante sur .

Par conséquent, pour tout réel [ ], il vient que , soit .

De plus, la fonction inverse est décroissante sur et en particulier sur [ ]. Il s’ensuit que, pour tout réel

tel que [ ],

, soit

.

2)

La fonction

est une fonction homographique définie sur . Elle est donc continue sur [ ].

En outre, l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel [ ], il vient que :

∫

∫

∫

[

]

∫

[ ]

∫

∫

3)

Pour tout réel [ ], ⏟ ( )

. Par conséquent, d’après ce qui précède, il vient que :

∫

⏞ ( )

⏟ ( )

[ ( )⏟

( )

]

( ) ( )⏟

( )

En posant , il résulte que

( ) , c’est-à-dire

.





5

1) Démontrer que, pour tout réel ,

2) En déduire que, pour tout réel ,

∫

1)

Soit un réel tel que . Alors, en multipliant par , il vient que . De plus, la fonction

opposée étant décroissante sur , il vient que . Enfin, comme la fonction exponentielle est

croissante et positive sur , pour tout réel tel que , il résulte que .

2)

Rappel : Linéarité de l’intégrale (propriété de linéarité multiplicative)

Soit un réel . Si est une fonction continue sur un intervalle [ ] avec , alors :

∫ ( )

∫ ( )

La fonction est la composée d’une fonction polynôme par la fonction exponentielle, toutes deux

continues sur , donc la fonction est continue sur et en particulier sur [ [. De même, la

fonction est continue sur comme étant la composée d’une fonction affine par la fonction

exponentielle, toutes deux continues sur . En outre, l’intégrale conserve l’ordre donc, pour tout réel , il

vient que :

∫

∫

∫

⏟

∫

∫

∫ ⏟ ( )

⏟ ( )

∫

[ ⏟ ( )

]

∫

( ) ∫

Or, pour tout réel , donc et d’où .

Finalement, il vient que :

∫





6

Soit la fonction définie sur [ ] par ( )

.

1) Donner un encadrement de ( ) sur [ ].

2) En déduire un encadrement de l’intégrale de à de la fonction ( )√ .

1) Encadrons ( ) sur [ ].

La fonction est définie sur [ ] par ( ) ⏞

( )

⏟ ( )

. Or, cette fonction est une fonction rationnelle donc elle

est dérivable sur son ensemble de définition.

Par conséquent pour tout [ ], il vient que :

( ) ⏞

( )

( )⏞ ( )

( )⏞ ( )

⏞ ( )

( ) ⏟ ( )

( )

( )

Notons le discriminant du trinôme du second degré . Alors ( ) .

Comme , le trinôme admet deux racines réelles distinctes :

√

√

√

√

√

√

Or, [ ] avec et [ ] avec donc, pour tout [ ], . De plus,

comme ( ) pour tout [ ], il résulte que ( ) sur [ ]. Finalement, la fonction est

strictement croissante sur [ ].

Dès lors, il vient que pour tout [ ], ( ) ( ) ( ). Or, d’une part ( )

et d’autre

part ( )

donc

( )

.

2) Donnons un encadrement de l’intégrale de à de la fonction ( )√ .

La fonction est dérivable sur [ ] donc continue sur cet intervalle. De plus, la fonction racine carrée est

continue sur donc en particulier sur [ ]. Par conséquent, la fonction ( )√ est continue sur [ ].

Pour tout [ ], √ donc

√ ( )√

√ .

Exercice corrigé 4 (2 questions) Niveau : moyen




7

En vertu de la conservation de l’ordre par intégration, il vient que :

√ ( )√

√ ∫

√ ∫ ( )

√ ∫

√

⏟

∫ √

∫ ( )

√

∫ √

∫

∫ ( )

√

∫

[

]

∫ ( )√

[

]

[

√ ]

∫ ( )√

[

√ ]

( √ √ ) ∫ ( )√

( √ √ ) √

∫ ( )√

√



8

Montrer que, pour tout entier naturel et pour tout réel positif , on a :

∑

Rappel : Principe du raisonnement par récurrence

Soit une proposition définie sur un intervalle de . Soit .

Si :

1) la proposition est initialisée à un certain rang , c’est-à-dire si ( ) est vraie au rang

2) la proposition est héréditaire à partir du rang , c’est-à-dire si, pour tout tel que , on a

l’implication ( ) ( )

Alors :

3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que .

Soit la proposition définie sur par ( ) : « Pour tout réel positif , ∑

».

Initialisation :

D’une part, ∑

D’autre part, la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur donc, pour tout réel ,

. Or, comme , il vient que .

On vérifie que

( ) est vraie

On suppose que

( ) est vraie

On vérifie alors que

( ) est vraie

On conclut que, pour tout

entier naturel ,

( ) est vraie

1ère

étape

Initialisation

2e étape

Hérédité

3e étape

Conclusion

rang rang rang

Exercice corrigé 5 (1 question) Niveau : difficile


( )

Rappel : Factorielle d’un

entier naturel

Une proposition est un

énoncé, soit vrai, soit faux.



9

Par conséquent, ∑

Autrement dit, ( ) est vraie ; la proposition est initialisée au rang 0.

Hérédité :

Supposons ( ) vraie à partir d’un certain rang .

Soit un réel positif et soit un réel tel que [ ].

D’après l’hypothèse de récurrence, on a : ∑

Or, la fonction est la fonction exponentielle donc elle est continue sur . La fonction ∑

est

une fonction polynôme de degré (somme de monômes) donc elle est continue sur . De plus, l’intégrale

conserve l’ordre donc, en intégrant sur [ ], il vient que :

∑

∫

∫ ∑

[ ] ∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑

Rappel : Linéarité de l’intégrale (propriété de linéarité additive)

Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec , alors :

∫ ( ( ) ( ))

∫ ( )

∫ ( )

En vertu de la linéarité de l’intégrale, il vient finalement que :

∫ ∑

∑∫

∑[

]

∑[

( )]

∑[

( ) ]

∑ (

( )

( ) )

∑

( )

∑

∑

∑

On en déduit que ( ) est vraie. On vient donc de montrer que si ( ) est vraie, alors ( ) est vraie ;

la proposition est héréditaire.



10

Conclusion :

La proposition est initialisée au rang 0 et héréditaire donc, pour tout et pour tout , on a :

∑

Remarques :

1) Dans cet exercice, on vient de minorer la fonction exponentielle par une fonction polynôme de degré .

De ce résultat, on peut déduire la limite en de la fonction exponentielle en utilisant le théorème de

comparaison en . En l’occurrence,

.

Rappel : Théorème de comparaison en

Soient et deux fonctions définies sur un intervalle ] [.

Si, pour tout , ( ) ( ) d’une part et si

( ) d’autre part, alors

( ) .

2) Les propriétés de linéarité additive et de linéarité multiplicative de l’intégrale précédemment énoncées

peuvent également être formulées ainsi :

Rappel : Linéarité de l’intégrale (propriétés de linéarité additive et de linéarité multiplicative)

Soient deux réels et . Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec , alors :

∫ ( ( ) ( ))

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )



11

On considère la suite numérique ( ) définie pour tout entier naturel non nul par :

∫ √

1) Démontrer que la suite ( ) est croissante.

On définit la suite ( ) pour tout entier naturel non nul par :

∫ ( )

2) Comparer et .

3) Exprimer en fonction de .

4) Montrer que la suite ( ) est majorée par un réel.

5) Que peut-on en conclure pour la suite ( ) ?

1) Démontrons que la suite ( ) est croissante.

Rappel : Intégration et relation de Chasles

Soit une fonction continue sur un intervalle [ ].

Pour tous réels , et tels que ,

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Pour tout entier naturel non nul,

∫ √

∫ √

∫ √

( )

Or, pour tout [ ], et √ donc √ . De plus, comme l’intégrale conserve

l’ordre, il résulte que pour tout [ ] et pour tout entier naturel non nul :

∫ √

Comme , la suite ( ) est croissante pour tout entier naturel non nul.

Exercice corrigé 6 (5 questions) Niveau : difficile




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2) Comparons et .

Pour tout réel , et d’où . Il vient alors que , c’est-à-dire

( ) . Comme la fonction racine carrée est croissante sur , il vient que √ √( ) ,

c’est-à-dire √ . Dès lors, en multipliant par , il résulte que √ ( ). En

passant à l’intégrale sur [ ] et tenant compte de la conservation de l’ordre avec l’intégrale, on a finalement :

∫ √

∫ ( )

Autrement dit, pour tout entier naturel non nul, .

3) Exprimons en fonction de .

Déterminons une primitive de la fonction ( ). Les primitives de cette fonction sont les fonctions

( ) avec , et réels. De telles fonctions sont dérivables sur comme étant la somme

du réel et du produit d’une fonction affine par la composée de la fonction opposée par la fonction

exponentielle.

Ainsi, pour tout réel , ( ) ( ) ( ). Comme ( ) ( ), par

identification, , d’où le système {

à résoudre. Or, {

{

.

Par conséquent, les primitives de la fonction ( ) sont les fonctions ( ) avec

réel.

En particulier, en posant , on peut conclure que la fonction ( ) est une primitive de la

fonction ( ) sur .

Il résulte alors immédiatement que :

∫ ( )

[ ( )] ( ) ( ) ( )

4) Montrons que la suite ( ) est majorée par un réel.

On a montré à la question précédente que ( ) .

Or, pour tout entier naturel non nul, et donc ( ) . Par conséquent,

( ) , c’est-à-dire .

De plus, d’après la question précédente, . Il s’ensuit que .

La suite ( ) est donc majorée par le réel .

5) Concluons.

La première question a permis d’établir que, pour tout entier naturel non nul, la suite ( ) est croissante. En

outre, d’après la question précédente, cette suite est majorée par le réel .

Etant croissante et majorée, la suite ( ) converge.

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