Exercices Corriges Groupe

7/29/2019 Exercices Corriges Groupe

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Groupes, anneaux, corps Pascal Lain

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Groupes, anneaux, corps

Exercice 1.1. On munit de la loi de composition interne dfinie par :

Montrer que

est commutative, non associative, et que

est lment neutre.

2. On munit de la loi de composition interne dfinie par : Montrer que est commutative, associative, et que est lment neutre. Montrer que aucun lment de na de symtrique pour.

3. On munit de la loi de composition interne dfinie par : Montrer que lapplication est un isomorphisme de vers . En dduire que estun groupe commutatif.

Allez : Correction exercice 1

Exercice 2.Soit et la loi dans dfinie par 1. Montrer que est un groupe non commutatif

2. Montrer que est un sous-groupe de .Allez : Correction exercice 2

Exercice 3.On munit de deux lois dfinies par :

1. Montrer que

est un groupe commutatif.2.

a) Montrer que la loi est commutative.b) Montrer que est associativec) Dterminer llment neutre de pour la loi .d) Montrer que est un anneau commutatif.


Exercice 4.On pose

Calculer, , , , .


Exercice 5.Montrer que lintersection de deux sous-groupes et de est un sous-groupe de .Allez : Correction exercice 5

Exercice 6.


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2

Montrer que les ensembles muni de laddition sous des sous-groupes de Allez : Correction exercice 6

Exercice 7.Soit un groupe, et soit son lment neutre.

1. Soient

, dterminer

.

On suppose que pour tout , 2. Soient , dterminer et .3. En dduire que est commutatif.


Exercice 8.Soit muni de la loi un groupe. Complter sa table. On ne demande pas de

justification.

est llment neutre de


Exercice 9.Montrer que || muni de la multiplication est un sous-groupe de .


Exercice 10.Dresser les tables des groupes et o et montrer quil existe unisomorphisme entre ces deux groupes.

Pour simplifier les notations on pourra poser

et exprimer les lments de

en fonction des

puissances de

.


Exercice 11.Soit Soit

1. Montrer que muni de la multiplication est un groupe.2. Dterminer tous les lments de , on les exprimera en fonction de j , puis dterminer les ordres

possibles des lments de

, puis enfin dterminer lordre de chacun de ces lments.

3.

A laide de la question prcdente, dterminer deux sous-groupes de , crire leur table demultiplication.Allez : Correction exercice 11


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3

Exercice 12.1. Rsoudre dans , lquation (donner les solutions sous forme algbrique et trigonomtrique),

et exprimer ces solution en fonction de.2. Montrer que muni de la multiplication est un sous-groupe de .3. Dterminer les ordres possible des sous-groupes de , en dduire tous les sous-groupes de .


Exercice 13.Soit .On pose . Soit , avec , et lordre de , onrappelle que est le plus petit entier non nul tel que .

1. Montrer que est un sous-groupe de .2.a) En faisant la division euclidienne de

par

montrer que

est un multiple de

.

b) Montrer que si et sont premiers entre eux alors lordre de est .3. Montrer que si alors lordre de est strictement infrieur .4. Que peut-on conclure laide des questions 2) et 3).

Montrer que si lordre de est alors et sont premiers entre eux. (On pourra montrer lacontrapose)


Exercice 14.Soit

lensemble des fonctions

telles quil existe

vrifiant :

1. Montrer que pour tout , est une bijection de sur.2. Montrer que muni de la loi de composition des fonctions est un groupe.Allez : Correction exercice 14

Exercice 15.On sait que si est un entier premier, est un groupe pour la multiplication des classes.

1. Trouver deux entiers relatifs et tels que .2. En dduire le symtrique de dans le groupe .3. Dterminer les

solutions de

mod

.


Exercice 16.1. Existe-t-il un inverse pour la multiplication de dans .2. Trouver tous les lments de qui admettent un inverse dans .3. Trouver linverse pour la multiplication de la classe de dans .4. Montrer que pour tous lments de , , o dsigne linverse de pour la

multiplication dans .5. En dduire les solutions de

.


Exercice 17.


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4

On considre les groupes et (pour laddition). On notera la classe de lentier dans et la classe de lentier dans .

1. Montrer que lapplication dfinie par() est bien dfinie et que cest unmorphisme surjectif de groupes.

2. Dterminer le noyau

et dresser sa table de composition.

3. Construire un isomorphisme entre

et

.


Exercice 18.1. Montrer que lapplication

Est bien dfinie et que cest un morphisme surjectif de groupes.2. Dterminer le noyau du morphisme et dresser sa table de multiplication.3. Expliciter un isomorphisme du groupe pour laddition sur le groupe .


Exercice 19.On note , o est lensemble des nombres complexes.

1. Montrer que est un sous-groupe de .2. Pour et on pose .

Montrer que est une relation dquivalence sur.3. Montrer que admet deux classes dquivalence.

Dterminer les lments de ces deux classes dquivalence.Allez : Correction exercice 19

Exercice 20.Soit ; on note .

1. Dmontrer que cest un sous-groupe de pour la multiplication.2. Montrer que si , et divise alors .3. Montrer que si alors .4. Pour : on pose telle que . Montrer que est un morphisme du groupe additif

dans le groupe multiplicatif. Dterminer.Allez : Correction exercice 20

Exercice 21.Pour tout , on appelle classe de , note , lensemble des entiers congrus modulo .On appelle lensemble des classe dquivalence modulo et lensemble des classesdquivalence modulo diffrentes de .On appelle groupe engendr parlensemble des puissances de , cest--dire On appelle lensemble des racines sixime de lunit.

1.a) Calculer

pour

b) Dterminer pour tout .On pourra utiliser la division euclidienne de par.2. Pour quelle raison est-il un groupe ?3. Montrer que le groupe engendr par est gal .


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5

4. Soit dfinie pour tout par a) Montrer que est bien dfinie.

b) Montrer que est un morphisme de sur.c) Dterminer le noyau de

et en dduire que

est un isomorphisme (morphisme bijectif) de

sur.Allez : Correction exercice 21Exercice 22.

Soit un groupe. Pour tout , on note lapplication de multiplication gauche par, qui vade dans et associe tout ; autrement dit on a pour tous et dans .

1. Prouver que pour , lapplication est dans le groupe symtrique , autrement dit que est unebijection de sur.

2. Dmontrer que lapplication

est un homomorphisme de groupe de

dans

.

3. Dmontrer que lapplication est injective.Pour tout , on note lapplication de multiplication droite par, qui va de dans et associe tout ; autrement dit on a pour tous et dans .4. Prouver que pour tout , lapplication est dans le groupe symtrique , puis que lapplication est une injection de dans .5. Dmontrer que est un homomorphisme de groupe si et seulement si le groupe est ablien.


Exercice 23.Soit un groupe dlment neutre .1. Soit lapplication de dans qui tout lment son inverse .Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est ablien.

2. Soit un lment dordre fini de . Justifier que la partie est un sous-groupe de.3. On suppose maintenant que est fini, de cardinal impair. En utilisant le thorme de Lagrange,

prouver que lapplication qui associe est surjective.4. Donner une condition simple assurant que est un (homo)morphisme de vers .


Exercice 24.Soit un groupe. On considre le centre de dfini par :

1. Montrer que est un sous-groupe de .2. Si est un groupe commutatif, que vaut ?


Exercice 25.Soit

lensemble des parties dun ensemble deux lments, par exemple

donc

}On considre les lois de composition suivantes sur lensemble .1. Runion : .2. Intersection :


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6

3. Diffrence symtrique : 4. Runion des complmentaires : 5. Intersection des complmentaires :

Pour chacune dentre elles :a) crire la table de composition de la loi .

b) Lensemble

possde-t-il un lment neutre pour la loi

?

c)

La loi est-elle associative ?d) La loi est-elle commutative ?e) Lensemble muni de la loi est-il un groupe ?

f) Rpondre aux questions en remplaant par lensemble des parties dun ensemble quelconque.Allez : Correction exercice 25

Exercice 26.Le but de lexercice est dtudier les groupes , , ou lments.

1. Ecrire la table de composition dun groupe 1 lment.2. Ecrire la table de composition dun groupe 2lments. Vrifier quil est isomorphe aux groupes

suivants.

3. Ecrire la table de composition dun groupe lments. Vrifier quil est isomorphe aux groupessuivants.

4. Soit un groupe lments, dlment neutre .a) Montrer quil existe au moins un lment, autre que llment neutre, qui est son propre symtrique.

On suppose dsormais que est son propre symtrique.b) On suppose

. Remplir la table de composition du groupe.

Montrer quil est isomorphe aux groupes suivants.

c) On suppose . Remplir la table de composition du groupe. Montrer quil estisomorphe aux groupes suivants. d) Vrifier que lon est toujours dans le cas de la question (4b) ou dans le cas de la question (4c).

5. Vrifier que tous les groupes de cet exercice sont abliens.Allez : Correction exercice 26

Exercice 27.On considre les lments suivants de

.

Calculer les puissances successives et dterminer lordre de et , ainsi que de , , et .Allez : Correction exercice 27Exercice 28.

On considre un pentagone rgulier : pour fixer les ides, lensemble des points du plan complexe dontdes sommets ont pour affixes les racines cinquimes de lunit, soit Le but de lexercice est dtudier le groupe (pour la composition des applications) des isomtries du plan

complexe qui laissent invariant ce pentagone. On notera la rotation de centre lorigine et dangle , etla symtrie qui un nombre complexe associe son conjugu.

1. Vrifier que et laissent invariant lensemble .


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2. Vrifier que les puissances successives de sont des rotations dont on donnera langle, et dterminerlordre de .

3. Pour, montrer que et sont des symtries par rapport un axe passant parlorigine, dont on donnera langle par rapport laxe rel.

4. Quel est lordre dune symtrie ?5. Montrer que le produit de deux des symtries de la question 3) est une puissance de

.

6. Montrer que le plus petit groupe contenant

et

possde

lments.


Exercice 29.1. Montrer que lordre de dans vaut .2. Montrer que lordre de dans vaut si et seulement si est premier avec .3. Si est un diviseur de , montrer que lordre de est le quotient de par.4. Soit un groupe de cardinal . On suppose que contient un lment dordre . On note

lapplication de dans qui associe llment neutre de et associe la puissance -imede

dans

. Montrer que

est un isomorphisme de groupes.


Exercice 30.est laddition entre deux classes dquivalence de est la multiplication entre deux classes dquivalence de 1.

a) Pourquoi est-il un corps ?b) Donner la table daddition de .

2. Soit On munit

dune addition que lon notera

dfinie par :

() ( ) On munitdune multiplication que lon notera dfinie par :() ( ) a) Montrer que est un groupe commutatif.

b) Montrer que la multiplication est commutative.c) Montrer que la multiplication est une loi interne.d) Montrer que la multiplication est distributive sur ladditione) Montrer que possde un lment neutre pour la multiplication.f)

est-il un anneau commutatif unitaire, un corps ?


Exercice 31.1. Soit un ensemble quelconque et lensemble des applications de dans . On munit

de laddition modulo des images : pour tout , est lapplication de dans dfiniepar : Montrer que est un groupe ablien, dans lequel chaque lment est son propre symtrique.

2. Soit

lensemble des parties de

. On munit

de la diffrence symtrique ensembliste. On

considre lapplication

, de

dans

qui, une partie de

, associe sa fonction indicatrice :

o pour tout .Montrer que est un isomorphisme de vers , pour les lois et . En dduire que est ungroupe


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ablien, dans lequel chaque lment est son propre symtrique.Dans toute la suite, dsigne un groupe dans lequel chaque lment est son propre symtrique.

3. Montrer que est ablien.4. Soit un lment quelconque de , diffrent de llment neutre. On dfinit la relation sur par :

Montrer que

est une relation dquivalence sur

. Montrer que chaque classe dquivalence a deux

lments.

5. On dfinit la loi sur lensemble-quotient par : Montrer que est une loi de composition interne sur, et que muni de est un groupe ablien,dans lequel chaque lment est son propre symtrique.

6. On suppose que est fini. Dduire des questions prcdentes que le cardinal de est une puissance de.Allez : Correction exercice 31

Exercice 32.On considre les applications suivantes, de

dans lui-mme.

On munit lensemble de la composition des applications.1. crire la table de composition de 2. Montrer que est un groupe.3. Est-ce un groupe ablien ?4. Dterminer tous les sous-groupes de .5. Dterminer lordre de chacun des lments de .6. Quels sont les lments de ?7. Quels sont les lments de ?


Exercice 33.Soient et deux groupes. On munit lensemble produit de la loi de composition dfinie par :

1. Montrer que est un groupe.2. Soit un sous-groupe de , un sous-groupe de . Montrer que est un sous-groupe de , muni de la loi .


Exercice 34.Montrer que les ensembles suivants dapplications de dans , munis de la loi de composition desapplications, sont des groupes.

1. 2. 3. }4.


Exercice 35.Soit

un sous-groupe additif de

. On supppose que

.

1. Montrer que possde une borne infrieure, que lon notera .2. Montrer que .3. On suppose . Montrer que .


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4. On suppose . Montrer que si et sont deux rels tels que , lintervalle contient aumoins un lment de (on dit que est dense dans ).

5. Montrer que lensemble muni de laddition est un sous-groupe de , etquil est dense dans (on rappelle que est irrationnel).


Exercice 36.Soit lensemble des complexes de la forme o et .1. Montrer que est un groupe commutatif.

2. Montrer que est un groupe commutatif.3. En dduire que est un corps commutatif.


Exercice 37.On note [ ]lensemble de rels suivant :

[ ] }

1. Montrer que [ ], muni de laddition et de la multiplication des rels, est un sous-anneau de .2. On considre lapplication , de [ ] dans lui-mme, qui associe( ) Montrer que est un automorphisme de lanneau [ ](cest une bijection, et un morphisme

pour chacune des deux lois).3. Pour tout [ ], on pose . Montrer que est une application de [ ] dans ,

qui est un morphisme pour la multiplication.4. Dmontrer que est un lment inversible de [ ] si et seulement si .5. Vrifier que

et

sont inversibles dans

[ ].

Allez :Correction exercice 37

Exercice 38.Soient et les applications de dans lui-mme dfinies comme suit. Dans tout lexercice, on identifiera lapplication de dans , avec lapplication du plan complexedans lui-mme, qui un point daffixe associe le point daffixe.

1. On note et les composes et . Interprter comme transformationsgomtriques du plan complexe les applications

,

,

,

,

,

et

.

2. On note

lapplication identit du plan complexe. Montrer que lensemble,

muni de la composition des applications est un groupe, dont on donnera la table de composition. Il seranot .

3. Montrer que , , , , , sont des sous-groupes de , tousisomorphes .

4. Montrer que est un sous-groupe de , isomorphe .5. Montrer que est un sous-groupe de , isomorphe .6. On note :le point du plan complexe daffixe ,

le point du plan complexe daffixe

,

le point du plan complexe daffixe ,le point du plan complexe daffixe ,Vrifier que chaque lment du groupe laisse invariant lensemble 7. tant donn un lment du groupe , on lui associe la permutation de dfinie par :


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On dfinit ainsi une application de dans . Montrer que est un morphisme de groupes.

8. crire in extenso limage par de chacun des lments de .9. Soit limage de par. Montrer que est un sous-groupe de, isomorphe .


Exercice 39.On notelensemble de rels suivant : }

1. Montrer que (ensemblemuni de laddition et de la multiplication des rels), est un sous-anneau de .

2. On considre lapplication , de dans lui-mme, qui associe :( ) Montrer que est un automorphisme de lanneau (cest--dire une bijection, et un morphisme

pour chacune des deux lois).3. Pour tout

, on pose

. Montrer que

est une application de

dans

, qui est un

morphisme pour la multiplication.4. Dmontrer que est un lment inversible de si et seulement si .5. Vrifier que est inversible dans et calculer son inverse.


CORRECTION

Correction exercice 1.1.

La loi

est commutative

Pour montrer que la loi nest pas associative, il suffit de trouver et tels que : Comme on le verra ci-dessous, sera llment neutre il ne faut pas prendre dans et .Prenons, par exemple : , et ( ) ( ) La loi nest pas associative

De plus, comme la loi est commutative On a bien , est llment neutre.2. La loi est commutative. En reprenant le calcul ci-dessus en changeant en : Comme

est commutative :

Et finalement : La loi est associative.Remarque : On aurait pu calculer directement


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|| Comme est commutative Et finalement

est llment neutre.

Supposons que admette un symtrique Or et donc est impossible, pour tout , na pas de symtrique.3. On pose , pour tout et est nul en , est une fonction strictement

croissante de sur, est une bijection de sur. Il reste montrer quil sagit dun morphisme. est un morphisme de dans et donc un isomorphisme de dans (puisque estbijective). est un isomorphisme de dans , donc un morphisme, est un groupe commutatifet limage dun groupe commutatif par un morphisme de groupe est un groupe.

est un groupe.

Allez : Exercice 1

Correction exercice 2.1. Si et alors donc .

La loi est une loi interne. ( ) Et

(

)

Donc la loi

est associative.

Soit tel que pour tout : Ces galits quivalent : Donc est llment neutre.Soit , on cherche tel que Ces galits quivalent :

Le symtrique de est .Donc est un groupe.Comme

et que

il est clair que ce groupe nest pas

commutatif.2. Llment neutre de , .

Soit et . Alors


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Comme

alors .Donc est un sous-groupe de .

Allez : Exercice 2

Correction exercice 3.1. donc la loi est interne. ( ) ( )

Donc la loi est associative. Donc la loi

est commutative

Soit

tel que

, il est clair que

est lunique lment neutre.

Soit tel que cela quivaut Donc le symtrique de est .Donc est un groupe commutatif.

2.a) donc est commutative.

b)

( ) Donc La loi est associative.c) Soit tel que pour tout , , et vrifient :

est llment neutre de

pour la loi

.

d)

Toutes les proprits pour quun ensemble muni de deux lois soit un anneau sont dans les questionsprcdentes sauf la distributivit de par rapport laddition ( gauche ou droite puisque la loi est commutative, cest dailleurs cette commutativitqui rend lanneau commutatif). Et voil, est un anneau commutatif.

Allez : Exercice 3

Correction exercice 4.


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Allez : Exercice 4Correction exercice 5. et donc .

Soient et . , car est un sous-groupe de et , car est un sous-groupe de donc Cela montre que

est un sous-groupe de

.

Allez : Exercice 5

Correction exercice 6.Vrifions que les sont des sous-groupes de . .Si et , il existe tel que et tel que , on en dduit que donc est un sous-groupe de .

Allez : Exercice 6

Correction exercice 7.1. 2. de mme .3. daprs 1), puis daprs 2.

Allez : Exercice 7


Allez : Exercice 8



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|| donc , soient et donc || et || || |||| donc , est un sous-groupe de .

Allez : Exercice 9


Pour tout on pose () , il sagit videmment dune bijection, de plus la place de dans la table de est la mme que celle de () dans la table de donc il sagitdun morphisme, finalement est un isomorphisme de sur.

Allez : Exercice 10

Correction exercice 11.1. Montrons que est un sous-groupe de .

donc llment neutre de

appartient

.

Soient et deux lments de , donc . est un sous-groupe de .2. , ,

Lordre dun lment de divise , il vaut 1,2,3 ou 6.Lordre de 1 est 1.

Lordre de est 6, car , , son ordre est donc 6.Lordre de est 3.Lordre de

est 2.

Lordre de est 3, car et .Lordre de est 6, car , , son ordre est donc 6.3. est un sous-groupe de dordre 2. est un sous-groupe dordre 3.


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Allez : Exercice 11

Correction exercice 12.1. avec

,

,

,

,

, .2. donc Soient et , et donc . est un sous-groupe de .

3. Lordre des sous-groupes de divise lordre de , cest--dire le nombre dlments de ,soit 6. Lordre des sous-groupes des sont dordre 1,2,3 ou 6.Il y a un sous-groupe dordre 1 :

.

Il y a un sous-groupe dordre 6 : .Dans les sous-groupes dordre 2, il y a forcment 1 et un lment dordre 2, parmi ilny a que qui soit dordre 2, il ny a quun sous-groupe dordre 2 : .Dans les sous-groupes dordre 3, il y a forcment 1 et deux lments dont lordre divise 3, ce sont doncdes lments dordre 3.est dordre 3 (car ), le troisime lments du sous-groupe est , est un sous-groupe dordre 3 de . est aussi un lment dordre 3 (car ), le troisime lment est , onretombe sur le cas prcdent.

nest pas dordre 3 car . nest pas dordre 3 car , est dordre 2, donc nest pas dordre 3. Il ny a pas dautre sous-groupe dordre 3.Allez : Exercice 12Correction exercice 13.

1. , donc , si et alors donc , par consquent est un sous-groupe de .2.

a) Par dfinition de lordre

est le plus petit entier suprieur ou gal 1 tel que

() , ce qui

quivaut . La division euclidienne de pardonne quil existe un unique coupledentiers avec tel que . , or donc . On en dduit que .

b) Daprs le thorme de Gauss divise et est premier avec entraine que divise , il exitedonc tel que . Dautre part lordre de divise daprs le thorme de Lagrangedonc il existe

tel que

on a donc

Par consquent et alors .


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3. Si et ne sontpas premiers entre eux alors lordre de nest pas . Soit , ilexiste alors et tels que et , donc , on en dduit alorsque () . Et videmment car sinon .Ce qui montre que lordre de nest pas .

4. 3. est la contrapose de si lordre de

est

alors

et

sont premiers entre eux , on en dduit que

lordre de est si et seulement si et sont premier entre eux .Allez : Exercice 13Correction exercice 14.

1. Si alors donc est croissante, de plus et est une bijection de sur.Si alors donc est dcroissante, de plus et

est une bijection de sur.2. Rappelons que la composition est une loi associative.Soit dfinie pour tout , , car .Soient et , ils existent et tels que pour tout : et est une fonction de dans et () () () donc Le symtrique de pour la composition est sa bijection rciproque, de plus , comme

,

.

Conclusion, est une loi interne, associative, qui admet comme lment neutre et labijection rciproque de comme symtrique dans . est un groupe.Allez : Exercice 14

Correction exercice 15.1. Utilisons lalgorithme dEuclide

et est un couple de solution.2. Daprs la question prcdente, , donc la classe de dans est

gal la classe de dans . Car

, le symtrique de

est

.

3. Les classes sont celles de . mod quivaut , en multipliant par gauche et droite :


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Les solutions sont donc les entiers congrus modulo .Allez : Exercice 15

Correction exercice 16.1. On cherche tel que :

qui ne divise pas donc nadmet pas dinverse.2. Soit , admet un inverse si et seulement sil existe tel que Ce qui quivaut , il existe tel que , autrement dit Finalement ce que et sont premiers entre eux, lensemble recherch est

3.On cherche tel que :

Soit on voit une solution vidente soit on utilise lalgorithme dEuclide Linverse de est .

4. est un groupe multiplicatif lments donc, pour tout , Par consquent

5. On a vu la question 3. que loppos de la classe de

est

donc

.

Allez : Exercice 16

Correction exercice 17.1. Soit , il existe tel que , donc par consquent()

Si on change de reprsentant dans la classe de dans , on ne change pas la valeur de() doncest bien dfinie.On notera laddition dans et dans , cest un peu abusif mais pas trop.

( ) ( ) () ()

est bien un morphisme de groupe.Il reste montrer que est surjectif. Dans il n y a que deux classes et , comme() () Ces deux classes ont au moins un antcdent.

Remarque :Celui-ci na aucun chance dtre unique pour plein de raison, la premire est que sinon serait une

bijection dun ensemble lments sur un ensemble lments, ce qui est bien sur compltementimpossible, la seconde est que

() ;

() ;

() et

() .

2. Si on reprend la remarque on a }Sinon (pour faire plus gnral), on cherche tel que


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() Dans il y a trois classes paires , , et .On rappelle que le noyau dun morphisme est un sous-groupe de lensemble de dpart.

3. On notera les classes de . On dfinit de dans par :() () ()

Soit dune manire plus gnrale () .Comme pouron doit se demander ce quil se passe si on change de reprsentant dans , est-ce quelon retombe bien sur la mme classe modulo

?

Soit , il existe tel que , ce qui entraine que et que parconsquent , tout va bien.Manifestement est une bijection, est-ce un morphisme ?( ) ( ) () () est bien un morphisme.

Autre mthode :On pouvait dresser la table de et constater quelle est identique celle de .

Allez : Exercice 17

Correction exercice 18.1. Il faut vrifier que limage de par est bien incluse dans , or pour tout , par

consquent () ce qui montre que .2. Soit ,

Donc

3.

Premire mthode complique mais qui se gnralise aux isomorphismes de sur.On pose , o .

Il faut dabord vrifier que est bien dfinie, cest--dire que si on change de reprsentant dans alorslimage est bien la mme. Soit , , .

Donc tout va bien. ( ) ( ) () est bien un morphisme de sur.


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Montrons que le noyau de est bien rduit (llment neutre de ), ce qui montrera que estinjective.

Donc est injective.Comme le cardinal de est le mme que le cardinal de , on en dduit que est bijective,finalement est un isomorphisme de groupe.

Deuxime mthode.

On pose () , () , () et () Chaque lment de admet un unique antcdent donc est une bijection.Il reste montrer que cest un morphisme.Le plus simple est de comparer la table de avec celle de

Les lments de chaque groupe tant situ au mme endroit, est un morphisme entre ces deux groupesSinon on peut faire leffort de vrifier la main que tout marche bien.

( ) () ()()

( ) () ()()( ) () ()()( ) () ()()( ) () ()()( ) () ()()( ) () ()()

( ) () ()()( ) () ()()( ) () ()()

Par commutativit on obtient ceux qui manquent.est bien un morphisme de groupe. Comme il est bijectif, cest un isomorphisme.Allez : Exercice 18

Correction exercice 19.1. donc . Soient et alors donc , est un sous-groupe de .2. donc , autrement dit est rflexive.


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donc est symtrique. donc est transitive, est une relation dquivalence.3. Soit , or les racines quatrime de 1 sont donc

ou encore

, et donc

.

Ces lments sont videmment tous distincts (sauf pour , mais ) donc une classe pour cetterelation dquivalence a 4 lments, or le cardinal de est 8, il y a donc deux classes dquivalence. il reste trouver une racine huitime de 1 qui ne soit pas dans . Par exemple , La seconde classe dquivalence est alors . On peut un peuamliorer la clart de ces complexes, en effet , , .

Allez : Exercice 19

Correction exercice 20.1. donc

Soient et donc et Cela montre que , muni de la multiplication est un sous-groupe de .

2. Comme divise , il existe tel que .Soit , alors .

Ce qui montre que et que .3. divise , daprs b) , de mme divise , daprs b) , cela montre que Soit , et donc et . Daprs lidentit de Bzout il existe et tels que , on en dduit que , ce qui montreque , par consquent .Daprs cette double inclusion : .

4. Soient et ()

Cela montre que est un morphisme du groupe additif dans le groupe multiplicatif. Il reste montrerque limage de par est incluse dans .Pour tout , () , ce qui montre que . est un morphisme du groupe additif dans le groupe multiplicatif. Le est llment neutre du groupe muni de la multiplication. il existe tel que , autrement dit

est lensemble des multiples de

, ce qui scrit aussi

.

Allez : Exercice 20



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21

a)

La dernire galit ntant que le petit thorme de Fermat.b) Si , il existe un unique couple tels que ()

2.

est premier donc

est un groupe.

3. Daprs la premire question le groupe engendr par est}Cest bien le mme ensemble que .

4.a) Il faut vrifier que si alors on a bien

La seconde galit vient du fait que lordre de

est

, daprs la premire question.

Il faut aussi vrifier que , ce qui est exact car est bien dfinie.

b) Pour toutes classes et de , il existe un unique et un unique tel que et

est un morphisme de groupe.c) Soit Donc le noyau de est rduit llment neutre de , ce qui montre que est injective, comme

et

ont tous les deux

lments

est bijective.

Allez : Exercice 21



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22

1. Pour tout , il existe un unique tel que Donc est une bijection de sur.

2. Pour tout et pour tout Par consquent

Ce qui montre que est un morphisme de dans .3. Pour montrer que est injective il faut et il suffit de montrer que le noyau de est rduit llmentneutre de car est un morphisme.

Ce qui montre que , et que donc est injective.4. Pour tout , il existe un unique tel que

Donc

est une bijection de

sur

.

Pour montrer linjectivit de on ne peut pas utiliser le noyau puisque pour linstant nest pas unmorphisme. est injective.5.

Si est un (homo)morphisme de groupePour tous , , donc pour tout

Il reste composer par gauche pour en dduire que pour tous , ,autrement dit est ablien.

Rciproque, supposons que soit ablien.Cest pareil dans lautre sens, faisons le tout de mme.Pour tout

Ce qui montre que est un morphisme de groupe.Allez : Exercice 22

Correction exercice 23.1. Si est un morphisme de

Pour tout ( ) () ( )

Ce qui montre que le groupe est ablien.Si le groupe est ablien alors pour tous , Ce qui montre que est un morphisme de .


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23

Ces deux implications montre que est un morphisme si et seulement si est ablien.2.

Soit , il existe tels que et Donc On effectue la division euclidienne de par, il existe un unique couple

tel que

, par consquent

Ces deux proprits montrent que muni de est un sous-groupe de .3. est pair donc il existe tel que , une des consquences du thorme de Lagrange

veut que pour tout , , par consquent () () Donc pour tout il existe tel que , ce qui montre que est surjective.

4. Supposons que soit un morphisme, pour tous

En simplifiant gauche par et droite parBref est un morphisme si et seulement si est ablien.Allez : Exercice 23

Correction exercice 24.1. donc .

Pour tout et pour tout , Or

donc

Ce qui montre que .Donc est un sous-groupe de

2. Si est commutatif alors pour tout et pour , donc .Allez : Exercice 24


a)

b) est llment neutre pour la runion.c) Oui, la runion est toujours associative.d) Oui, la runion est toujours commutative.e) Non, par exemple

nest jamais gal

, ce qui signifie que

na pas de symtrique.

f) Mme rponse pour les questions de b e.Allez : Exercice 25

2.


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24

a)

b)

est llment neutre pour lintersection.

c) Oui, lintersection est toujours associative.d) Oui, lintersection est toujours commutative.e) Non, par exemple nest jamais gal , donc na pas de symtrique.f) Mme rponse pour les questions de b e.

Allez : Exercice 25

3.a)

b) est llment neutre pour la diffrence symtrique.c) d) e) Sur chaque ligne de la table il y a, une et une seule fois, chacun des lments de ce qui

entraine que muni de la diffrence symtrique est un groupe, cette loi est associative etcommutative, le symtrique de est , celui de est , celui de est et celui de est.

f)

Donc est llment neutre.On a besoin de rappeler un rsultat avant de montrer lassociativit bas sur le fait que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) Faisons un petit calcul intermdiaire( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Reprenons le calcul de . ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ce calcul est assez compliqu cest pourquoi on va viter den refaire un aussi compliqu pour calculer , la loi est clairement commutative, on va utiliser ce rsultat dans la suite. Avec un peu


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25

dexprience, ds que dans , on peut intervertir, et on est sr de lassociativit de laloi.Calcul de , on reprend le calcul de en changeant et , on constate que cela nechange rien donc , dautre part donc , la loi tant commutative , on a bien

La diffrence symtrique est associative.

On nen a pas parl mais la loi est videmment une loi interne.Il reste montrer que tous les ensembles admettent un symtrique.Soit un ensemble, on cherche tel que : ( ) Comme , ( ) Donc vrifie , autrement dit , or , do londduit que : , je crois que l cest clair, .Remarque : si on saperoit que est solution, par unicit du symtrique cest la seule solution

possible.Finalement

muni de la diffrence symtrique est un groupe commutatif.

Allez : Exercice 25

4.a)

b) Il est clair (enfin jespre) quil ny a pas dlment neutre.c) La runion est toujours associative.d) La runion est toujours commutative.e) Comme il ny a pas dlment neutre, il ne peut pas y avoir de symtrique.f) Il ny a pas dlment neutre, la loi est associative et commutative et bien sur il ny a pas de

symtrique.Allez : Exercice 25

5.a)

b) Il est clair (enfin jespre) quil ny a pas dlment neutre.c) Lintersection est toujours associative.d) Lintersection est toujours commutative.e) Comme il ny a pas dlment neutre, il ne peut pas y avoir de symtrique.f) Il ny a pas dlment neutre, la loi est associative et commutative et bien sur il ny a pas de

symtrique.Allez : Exercice 25

Correction exercice 26.Tous les groupes possdent un lment neutre, notons le . Et notons la loi.

1.


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26

Car

Allez : Exercice 26

2. Dans un groupe deux lments, il y a llment neutre, notons lautre lment, donc .On a

.

Que vaut

?

vaut soit

soit

car la loi est interne. Considrons

le symtrique de

,

celui-ci appartient , il nest pas possible que sinon , par consquent ,en multipliant gauche (ou droite) par : . On en dduit que : Montrons que est isomorphe .Soit : dfinit par et , est une bijection (cest vident). De mme

Et enfin Cela montre que est un morphisme. Finalement est un isomorphisme et et sontisomorphes. Une autre faon de faire est dcrire la table du groupe . Et de constater que le et le sont aux mmes endroits que le et le .Montrons que

et

sont isomorphes.

Soit dfinit par et De mme Et enfin Cela montre que est un morphisme. Finalement est un isomorphisme et et sontisomorphes. Une autre faon de faire est dcrire la table du groupe

Et de constater que le et le sont aux mmes endroits que le et le .Montrons que et sont isomorphes. Cest formellement un peu plus compliqu,notons et , pour tout () Posons dfinit par et De mme

Et enfin


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27

Cela montre que est un morphisme. Finalement est un isomorphisme et et sont isomorphes. Une autre faon de faire est dcrire la table du groupe

Et de constater que le et le sont aux mmes endroits que le et le.Allez : Exercice 263. On note la loi du groupe, llment neutre, et les autres lments du groupe donc

Il faut calculer , , et . Pour les autres produits cest vident On va chercher ce que vaut le produit , celui appartient par consquent Si , en multipliant gauche par, on a En utilisant dabord lassociativit de la multiplication, puis que

.

Ce nest pas possible puisque .De mme car en multipliant droite par on trouve que ce qui nest pas possible.Par consquent .On ne peut pas en dduire immdiatement que , mais avec un raisonnement analogue, cest--dire que lon suppose que gal , puis , on en dduit que .Table intermdiaire

Premire mthode :Sur chaque ligne et sur chaque colonne il y a une et une seule fois chaque lment du groupe donc et .Deuxime mthode : ,

Si alors (en multipliant gauche ou droite par) mais entraine que et par consquent ce qui est impossible daprs ce que lon a vu ci-dessus.Si alors et donc ce qui est faux puisque .La seule solution est .Le mme raisonnement entraine que .On peut complter la table :

Montrons que est isomorphe .Soit dfinit par , et (on aurait pu prendre et , cela ne change rien, sauf que dans ce cas il est prfrable dcrire la table de enintervertissant et ). est une bijection.

Premire mthode :Il faut montrer que :

Cela va tre long, on passe la deuxime mthode.


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28

Deuxime mthode :On va comparer les tables des deux groupes et .

On constate que le , le et le sont aux mmes endroits que le , le et le . Ces deux groupes sontisomorphes.Montrons que est isomorphe , on va crire la table de ce groupe.On remarque que : La commutativit de la multiplication fait le reste.

On constate que le , le et le sont aux mmes endroits que le , le et le . Ces deux groupessont isomorphes.

Remarque : et .Montrons que est isomorphe , on va crire la table de ce groupe.On pose

On remarque :

On constate que le , le et le sont aux mmes endroits que le , le et le . Ces deux groupessont isomorphes.

Allez : Exercice 26

4.a) Si alors (on a dj vu cela dans les exercices prcdents), ce qui est impossible car , donc de mme et .Supposons que , et .

Que vaut ? par consquent , soit soit .


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29

Si Lordre dun lment divise lordre du groupe, si on appelle lordre de , comme lordre (=lecardinal) de est , il existe tel que donc Ce qui entraine que ce qui est impossible.Si

On montre de mme que

ce qui est impossible aussi.

Par consquent , et est faux, il y en a un des trois qui vaut , lnonc imposeque .b) On suppose que , on crit la table intermdiaire.

En regardant la ligne

Si alors (en multipliant gauche par), ce qui nest pas possible daprsthorme de Lagrange car ne divise pas .que .On en dduit

En regardant la ligne Si alors (en multipliant droite par), ce qui nest pas possible car lordrede : ne divise pas .On en dduit que .Table intermdiaire

En regardant la ligneOn en dduit que . Les valeurs , et sont dj prises.En regardant la ligne

On en dduit que

. Les valeurs

,

et

sont dj prises.

En regardant la deuxime colonne (celle de ), . Les valeurs , et sont dj prises.En regardant la quatrime colonne (celle de ), . Les valeurs , et sont dj prises.Table complte Remarque :

Ce nest pas la seule mthode possible, on aurait pu raisonner sur les colonnes ou simultanment sur les

lignes et les colonnes Montrons que est isomorphe , pour cela on va crire la table de .On pose dfinit par , , et , il sagit dune bijection.Pour que cela soit un morphisme il faut vrifier que pour tout et dans , ,


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30

en particulier , il faut doncfaire attention lordre dans lequel on place les quatre lments de car le seul lment qui vrifie est (ceci dit si on ne fait pas attention le tombe naturellement la bonne place).

On constate que le , le , le et le sont aux mmes endroits que le , le , le et le . Ces deuxgroupes sont isomorphes.Montrons que est isomorphe , pour cela on va crire la table de .On pose dfinit par , , et , il sagitdune bijection. Pour que cela soit un morphisme il faut vrifier que pour tout et dans , , en particulier

, il faut donc faire attention lordre dans lequel on place les quatre lments de

car le seul lment qui vrifie

est . Ici cest moins vident parce que si on crit on se complique srieusementla vie car les deux tables ne vont pas se ressembler au premier coup dil. On constate que le , le , le et le sont aux mmes endroits que le le , le et le . Ces deuxgroupes sont isomorphes.Montrons que

est isomorphe

, pour cela on va

crire la table de .On pose Pourdfinir lisomorphisme il faut reprer lequel de ces lments, diffrent de lidentit, vrifie

avec

Pour remplir la table il faut calculer, , , , , , , , et .


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31

Maintenant on va crire la table de dans cet ordre l, en tout les cas il faut mettre cette

place parce que cest le seul qui vrifie , par contre rien nempche dintervertir et .

dfinit par : , , et , cest une bijection et la table montre que cest unmorphisme de groupe parce que , , et sont aux mmes places que , , et .c) Si , on rappelle que .Table intermdiaire

Si on regarde la ligne Si alors (en multipliant par gauche ou droite) ce qui est impossible car .Par consquent , puis en compltant cette ligne .On regarde la ligne

Si

alors

(en multipliant par

gauche ou droite) ce qui est impossible car

.

Par consquent , puis en compltant cette ligne .Table intermdiaire On regarde les trois dernires colonnes et on complte parllment qui manque.

Remarque :


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32

Ce nest pas la seule mthode.

Montrons que est isomorphe , pour cela on va crire la table de . ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )On pose , dfinit par : ( ), ( ), ( ) et ( ), cest une bijection et la table montreque cest un morphisme de groupe parce que , , et sont aux mmes places que ( ), ( ),( ) et ( ).Cela montre que pour tout , .

Remarque :

Ce nest pas le seul isomorphisme possible, si par exemple, on prend ( ), ( ), ( ) et ( ), pour visualiser le morphisme sur latable, il faut crire la table de ( ) ( ) ( ) ( ) de faon respecter les places.Montrons que est isomorphe , pour cela on vacrire la table de .On pose

Il faut calculer , , , , , , , et .


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33

Maintenant on va crire la table de

, dans cet exercice lordre de

,

et

na pas

dimportance. On pose dfinit par : , , et , cest une bijection et la table montre que cest unmorphisme de groupe parce que , , et sont aux mmes places que , , et .d) Le symtrique de

, ce ne peut pas tre

sinon

, ce ne peut pas tre

car

est

son propre symtrique (car

) donc soit

soit

.

Si alors , dautre part le symtrique de , ce ne peut-tre , ni et ni car dans ce cas le symtrique de est , par consquent le symtrique de est et donc .Si alors par dfinition dun symtrique.On a deux solution soit soit .

Allez : Exercice 26

5. Il suffit de regarder la table de chacun de ces groupes, elles sont toutes symtriques suivant la diagonale(en haut gauche, en bas droite).

Allez : Exercice 26


Lordre de est .


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34

Lordre de est .

Remarque :Le cardinal de

est

et lordre de

divise bien

et lordre de

divise bien

.

Lordre de est .

Lordre de est .Autre mthode :

En multipliant droite par. En multipliant gauche par.

Remarque :

intervertit et , cest une transposition, donc son carr rechange et , il tait donc clair que lecarr de tait gal lidentit. Mme remarque pour, cest la transposition qui intervertit et . Cela montre que , lgalit est une vidence parce quil est clair que et commutent, en fait, dans ce cas on peut se contenter dcrire que pour en dduire que .

Ici, si on est malin, on peut sapercevoir que le carr de cette permutation est lidentit car cela revient intervertir, la fois et et puis et .


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Lordre de est .Comme

Lordre de est .

Autre mthode : Lordre de est donc lordre de est , par consquent lordre de est .

Allez : Exercice 27

Correction exercice 28.Remarque :

Dans cet exercice on confondra le complexe

et le point daffixe

. En particulier lorsque lon parlera

dune rotation ou dune symtrie, en gnral ce genre dapplication transforme un point en un autrepoint, ici ces applications transforment un complexe en un autre complexe.

1. On fait la division euclidienne de par, il existe un unique couple tel que : Donc

On vient de montrer que pour tout , , autrement dit est invariant par. On fait la division euclidienne de par, il existe un unique couple telque : Donc On vient de montrer que pour tout , , autrement dit est invariant par.

Allez : Exercice 28

2. Pour tout


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est le nombre complexe de module ||et dargument , le point daffixe estlimage de par la rotation dangle . ()

est le nombre complexe de module

||et dargument

, le point daffixe

est

limage de par la rotation dangle . () est le nombre complexe de module ||et dargument , le point daffixe estlimage de par la rotation dangle . () est le nombre complexe de module ||et dargument , le point daffixe estlimage de

par la rotation dangle

.

() est le nombre complexe de module ||et dargument , le point daffixe estlimage de par la rotation dangle , autrement dit .Par une rcurrence assez immdiate, on en dduit que pour tout , .Remarque : les puissances ngatives sont les bijections rciproques des puissances positives, parexemple est la bijection rciproque de , par consquent .Pour tout , effectuons la division euclidienne de par :Il existe un unique couple tel que :

(

)

Or pour tout , est une rotation dangle comme on la vu plus haut, donc pour tout est une rotation dangle o est le reste de la division euclidienne de par.Au passage on a montr que et que pour tout , lordre de est .

Allez : Exercice 28

3. Rappel : est une symtrie si et seulement si la somme des arguments de et est constantmodulo et si les modules de et sont gaux, est alors la symtrie par rapport la droite

passant par lorigine et dangle() .

Pour tout

,

() On a || || et () est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle . () On a || || et ()

est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle

.

() On a || || et ()


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est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine etdangle . () On a || || et ()

est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle

.

Remarque :On aurait pu traiter tous ces cas en une seule fois de la faon suivante :Pour tout () On a || || et () est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle .Pour les transformations , on va tout traiter en une seule fois.Pour tout () () On a || || et () est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle .

Allez : Exercice 28

4. Si est une symtrique diffrente de lidentit (lidentit est une symtrie par rapport nimportequelle droite et dangle

) alors

, lordre dune symtrie est

.

Remarque :Si son ordre est .Allez : Exercice 285. Pour tout , on pose le reste de la division euclidienne de par. () () ()

Donc

Donc Remarque :On est oblig de faire deux cas car la compose des fonctions nest pas commutative.Allez : Exercice 28

6. Si un groupe contient et alors il contient toutes les transformations de la forme avec et ce qui en fait mais pour linstant rien ne dit quil ny en a pas plusen particulierdoit tre dans le groupe mais premire vue il nest pas de la forme alors il vafalloir rflchir.On pose }. On va montrer que muni de la compose desapplications est un sous-groupe du groupe des bijections de

sur

.

Soit et deux lments de .


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Le but est de montrer que , c'est--dire quil existe .Premier cas : Deuxime cas : et

car

donc

o est le reste de la division euclidienne de pardaprs la question 5).Troisime cas : et , On a vu la question 3) queest la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle et que est lasymtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle

. est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle et que est la symtriepar rapport la droite passant par lorigine et dangle

. Or langle dfinissant une droite passant parlorigine est dfinie

prs (quand on fait faire un demi-tour une droite on retombe sur la mme

droite) on en dduit que : est la symtrie par rapport la droite passant par lorigine et dangle . Par consquent De mme , et , bref pour tout do Comme entraine que on a bien montr que Le cas est trivial car .Dans tous les cas , cela montre bien que est un sous-groupe du groupe des bijections de sur

.

Remarque :

(a) Si dans le 3. lnonc avait demand de montrer que pour tout , et sont dessymtries par rapport un axe passant par lorigine, dont on donnera langle par rapport laxe rel lardaction de ce troisime cas aurait t plus simple (mais il aurait fallu travailler davantage au 3.).(b) est dordre , divise le cardinal de et est dordre donc divise le cardinal de , on endduit que divise lordre de (car et sont premiers entre eux), mais rien ne dit quil nya pas de groupe contenant et dordre , dailleurs cest le cas.

Allez : Exercice 28

Correction exercice 29.1. Rappel : lordre dun lment

dun groupe

est le plus petit entier strictement positif

tel que

tant llment neutre.Souvent on note multiplicativement les lois abstraites et la condition ci-dessus scrit : est un groupe pour laddition (et certainement pas pour la multiplication) donc lordre dunlment est le plus petit entier strictement positif tel que : Carest llment neutre de .Cette condition scrit

.

Il faut montrer que le plus petit entier

tel que

est

.

Il existe tel que , manifestement et sont impossible donc alors donc , comme on a (avec ).Allez : Exercice 29


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39

2. Par contraposition pour montrer que : Si lordre de dans vaut alors est premier avec

On va montrer que :

Si nest pas premier avec alors lordre de dans ne vaut pas avec et premiers entre eux, on en dduit que :

car

et

ne sont pas premiers entre eux, comme

on a

.

, lordre de est infrieur ou gal avec ce qui montre bienque lordre de nest pas .Rciproque :On appelle lordre de . Comme lordre de est infrieur . On a . Ce qui impliquequil existe tel que . Comme divise et que est premier avec , daprs le thormede Gauss divise , il existe donc tel que , ce que lon remplace dans , ce qui entraine que , on rappelle que pour en dduire que .

Allez : Exercice 29

3. Il existe

tel que

, il faut montrer que

est lordre de

. On appelle

lordre de

.

donc . Comme est lordre de , donc il existe tel que , or ce que lon remplace dans , cela donne ce qui entraine que (ne peut tre nul car un ordre nest pas nul), on en dduit que .Lordre de est o .

Allez : Exercice 29

4. Par dfinition de, pour tout () Est-ce que est bien dfinie ? on peut avoir sans que mais a-t-on() () ?Si

, il existe

tel que

donc

() ()Car pour tout lment dans de cardinal , .Lapplication est bien dfinie.Montrons que sont tous distincts.Sil existe , tels que alors ce qui implique que ,On fait la division euclidienne de par, il existe un unique tel que : est strictement infrieur lordre de , cest--dire donc . On en dduit que est unmultiple de lordre de

cest--dire de

,

.

Le seul multiple de dans est , ce qui entraine que ,effectivement les sont tous distincts. Cette dmonstration fait partie du cours mais cestce que demande cet exercice.Les lments de ont tous une image distincte dans lensemble lments de ,est une bijection. Il reste montrer quil sagit dun morphisme de dans ( ) ()()

est un isomorphisme de

dans

.

Allez : Exercice 29


a) est un nombre premier donc est un corps.


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b) 2.

a)

() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()La loi est commutative. () ( ) ( )

b) La loi est interne.() ( ) () () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () () ( ) ()

Donc la loi est associative.() ( ) ( ) ()Donc est llment neutre pour la loi .Et enfin ( ) est le symtrique de (), car() ( ) ( ) ( ) c) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()donc la loi

est commutative.

c) () ( ) ( ) ( ) Donc la loi est une loi interne.d) () ( ) () () ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) () ()Donc la multiplication est distributive sur laddition.e)

() ( ) ()Donc est llment neutre pour la multiplication.f) Toutes les proprits ci-dessus montre que est un anneau commutatif unitaire.

Pour montrer que cest un corps il reste montrer que chaque () diffrent de admet unsymtrique ( ) pour la multiplication.

Allez :Exercice 30


Remarque prliminaire :Pour tout :


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En effet et videmment .Montrons que est un groupe ablien (commutatif). donc , est une loi interne.

Soit

dfinie par pour

,

,

donc

est non vide.

Pour tout

et pour tout

:

est llment neutre.Pour tout et pour tout : Donc le symtrique de

est

. (Et donc tous les lments de

admettent un symtrique).

Commutativit :Pour tout et pour tout : Donc est commutative.Associativit :Pour tout et pour tout :

( )

( ) Si donc ( )

donc

( )

( ) ( )

Si donc ( ) donc ( ) ( ) ( )Si donc ( ) donc ( ) ( ) ( )Si

donc ( ) donc ( ) ( ) ( )Si


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donc ( ) donc ( ) ( ) ( )Si donc ( )

donc

( )

( ) ( )Si donc ( ) donc ( ) ( ) ( )Si donc ( ) donc ( )

( ) ( )

Dans tous les cas, cest--dire pour tout , pour tout ( ) ( )Donc La loi est associative.Autre mthodepour montrer lassociativitOn pose , , , , et .On remarque que lensemble des

tels que

est

et que

lensemble des

tels que

est

.

De mme lensemble des tels que est .( ) {

Lensemble des tels que ( ) est lensemble des tels que :( et ) ou ( et ).Le premire ensemble est :( ) ( ) ( )

Le deuxime ensemble est :( ) ( ) ( ) Autrement dit si ( ) alors( ) Dans tous les autres cas, cest--dire si ( ) alors( )

( ) {

Lensemble des tels que ( ) est lensemble des tels que :( et ) ou ( et ).Le premier ensemble est :


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( ) ( ) ( ) Le deuxime ensemble : ( ) ( ) ( ) Autrement dit si

( ) alors

( ) Dans tous les autres cas, cest--dire si ( ) alors( ) Finalement pour tout , ( ) ( ) et donc ( )La loi est associative. est un groupe ablien.

Allez : Exercice 31

2. Montrons que

est une bijection de

sur

.

Pour toute partie , on pose dfinie par :Si , et si , . Or si , et si , on a , autrement dit pour tout , il existe ( ) tel que : Cela montre que est surjective et mme bijective parce quil est assez peu vraisemblable quil puisseexister un autre ensemble qui vrifie mais on va quand mme faire leffort de montrerlinjectivit.Pour montrer que

on va montrer que

Il existe, soit

et

soit

et

. Prenons le premier cas (le second se traite

exactement de la mme faon). Donc , est injective et donc bijective.Il reste montrer que est un morphisme de vers .Pour tout . Pour tout On rappelle que et que donc forme une partition de .Si alors Si

alors

Si alors Si alors ( ) Si alors et donc Si alors et donc Si alors et donc Si alors et donc Par consquent pour tout :

(

)

Et que donc est un morphisme, comme est bijective cest un isomorphisme, donc est un isomorphisme de sur or est un groupe ablien, on en dduit que est un groupe. Que toutlment soit son propre symtrique provient du fait que dans tout lment est son propre


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symtrique, redmontrons le. Il est peu prs clair que ce qui montre que llment neutrede est .Pour tout , il existe (un unique) tel que or pour tout , do Chaque lment de

est son propre symtrique.

Allez : Exercice 31

3. Pour tous , Cela montre bien que , est ablien.

Allez : Exercice 31

4. donc est rflexive.

Dans tous les lments sont leur propre symtrique donc , ce qui signifie que .Par consquent La relation est symtrique. ,

La relation est transitive.Finalement la relation est une relation dquivalence.Soit et , ou , la classe de au plus deux lments et , ces deuxlments peuvent-ils tre gaux, ce qui est impossible puisque .

Allez : Exercice 31

5. Prenons deux lments de , et . Or Car . est une loi interne.

donc

nest pas vide.

Il reste chercher le symtrique dun lment de .Pour cela il faut chercher llment neutre : est llment neutre. Donc (car ) est le symtrique de . ( ) ( ) La loi est associative. est un groupe.

Chaque lment est son propre symtrique.Allez : Exercice 31

6. On pose .


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est un groupe de cardinal , puisquil y a deux lments dans chaque classe et que lensembledes classes forment une partition de . est un groupe dont chaque lment est son propre symtrique donc on peut dfinir une relationdquivalence (comme sur) telle que soit un groupe dont tous les lments sont leur propresymtrique. Comme prcdemment le cardinal de est la moiti du cardinal de , soit .On dfinit ainsi une suite de groupes quotients jusqu ce quil ne reste plus quun lment dans le

dernier groupe quotient, on en dduit quil existe tel que , autrement dit .Cette dmonstration est un peu vaseuse mais jespre que cela donne une ide de ce quil se passe.La mise en forme dune dmonstration parfaite avec une dmonstration par rcurrence rigoureuse neme parat pas utile.

Allez : Exercice 31

Correction exercice 32.1. Pour tout , car .

Pour tout ()

() () () On ne peut pas en dduire que car on ne sait pas que est un groupe, mais si lnoncest correct cest le rsultat que lon va trouv.

() () () ()

() ()

() () ()

() ()


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() ()

() ()

()

() () ()

(

)

() Ouf !!!!

Allez : Exercice 32

2. est une loi interne, on le voit sur la table, pour tout , il existe telque : est llment neutre.Chaque admet un unique symtrique car sur chaque ligne et chaque colonne il y a une et une seulefoisqui est llment neutre.

est un sous-groupe de lensemble des bijections de

.

Allez : Exercice 32

3. par exemple : et donc le groupe nest pas ablien.Allez : Exercice 32


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4. Daprs le thorme de Lagrange, lordre des sous-groupes de divise lordre de donc lordre dessous-groupes de divise , leur ordre sont , , et .Si lordre est , Si lordre est , .Si lordre est

, il y a

et lautre lment vrifie

donc

Si lordre est , il y aet lordre des deux autres lments nest pas puisque leur ordre doit diviserautrement dit leur ordre est , donc il ny a pas, ni, ni. Il reste ventuellement et, on crit latable de La loi est interne, chaque lment admet un symtrique, cest un sous-groupe de et cest le seuldordre .

Allez : Exercice 32

5. Il sont dordre pour, dordre pour , et , dordre pour etdordre pour .Allez : Exercice 32

6. .Allez : Exercice 32

7. .Allez : Exercice 32


Car tant un groupe, la loi est interne donc , de mme est un groupe donc On note llment neutre de et celui de Montre que est llment neutre pour la loi .On appelle le symtrique de pour la loi et le symtrique de pour la loi Montre que le symtrique de

pour la loi

est

en effet

et

car et sont des groupes.Il reste lassociativit ( ) ( ) ( ) ( ) Montre que la loi est associative car et sont deux lois associatives.Finalement est un groupe.

2. est un sous-groupe de donc , est un sous-groupe de donc , par consquent

.

, ( ) Comme est un sous-groupe de , pour tout , , de mme comme est un sous-groupe de , pour tout , , par consquent ( )


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Cela montre que est un sous-groupe de .Allez : Exercice 33

Correction exercice 34.Rappel :

Lensemble des applications de

dans

, munis de la loi de composition des applications nest pas un

groupe, pour que cela soit un groupe il faut que ces applications admettent un symtrique, cest--dire

une bijection rciproque. Cest pour cela que lon va montrer que les ensembles suivants sont des sous-groupes de lensemble des bijections de dans , not .1. On appellelapplication dfinie pour tout par . , est llment neutre de , il appartient Pour tout , () , donc .Pour tout , () , donc est le symtrique deet car . est un sous-groupe de .

2. Mme dmonstration.3. On pose

lapplication dfinie pour tout

par

, est llment neutre de , il appartient Pour tout , , () () () donc .Pour tout , () () Donc car . est un sous-groupe de .

4. On poselapplication dfinie pour tout par , est llment neutre de , il appartient Pour tout

,

donc .Pour tout , , donc () est un sous-groupe de .Allez : Exercice 34

Correction exercice 35.1. est un ensemble minor par donc il admet une borne infrieure .2. Supposons que , il existe tel que et il existe tel que .

On pose , car et car et sont dans qui est un groupe additif.De plus On a construit un lment de qui est infrieur , il y a une contradiction puisque , par consquent .

3. Il est vident que . Montrons linclusion dans lautre sens.Soit

, on pose

o

est la partie entire de. Par dfinition de la partie entire,

puisque :


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Si , comme , et , tant un groupe , comme ,il y a une contradiction puisque donc .Cela montre linclusion dans lautre sens. Finalement .

4. Il existe un lment de tel que . On pose . On a alors, puisque ,

On pose , donc avec .

5. On pose ,Soient et , ( ) car et .Cela montre que est un sous-groupe de .Daprs 2.

donc il existe

tel que

, supposons que

alors ( ), autrement dit pour tout lment il existe telque : ( ) Donc Si alors ce qui est faux, donc et par consquent On a montr que pour tout il existe tel que :

Si , pour tout et pour tout , ce qui veut dire que le quotient de deux entiersest constant, ce qui est faux.Si , pour tout , ce qui est faux.Lhypothse est fausse par consquent et est dense dans daprs4.

Allez :Exercice 35

Correction exercice 36.1. car et .

Soient

et

,

car et .Laddition tant commutative dans , est un sous-groupe commutatif de .2. car et .

Soient et , car et La multiplication tant commutative dans

,

est un sous-groupe commutatif de

.

3. Il ne reste plus qu rappeler que la multiplication est distributive par rapport laddition dans

pourconclure que est un corps commutatif, car la multiplication est commutative.Allez : Exercice 36


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Correction exercice 37.1. [ ],

Soient [ ] et [ ], ( ) [ ]car et .Cela montre que

[ ] est un sous-groupe de

.

Soient [ ] et [ ],( )( ) [ ]La multiplication est une loi interne sur[ ]. [ ],[ ] est un sous-anneau de .

Remarque :Les proprits de distributivit et lassociativit de la multiplication sont videntes dans .

2. Pour tout il existe un unique tel que ( ) , est une bijection de[ ]

sur

[ ].

Soient [ ] et [ ],( ) ( ) ( ) est un morphisme pour la loi . ( )( ) ( ) Et dautre part

( )(

) ( )(

)

On a bien ( )( ) ( )( ) est un morphisme pour la loi .3. Pour tout [ ], on pose . Montrer que est une application de [ ] dans ,qui est un morphisme pour la multiplication.Pour tout ( ) ( )( ) Soient [ ] et [ ], ( )( ) ( )

(

)(

) ( )( ) On a bien ( )( ) ( )( )est un morphisme danneau pour la loi .

4. Soit un lment inversible de [ ], [ ]

Comme pour tout [ ], ,


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Cela montre que si est inversible alors .Rciproque : si

.

( )( ) ( ) [ ]Cela montre que est inversible dans [ ].5. et ( ) donc est inversible.( ) donc est inversible.

Allez : Exercice 37

Correction exercice 38.1. Soit

lorigine du plan complexe.

est la rotation de centre et dangle . est la rotation de centre et dangle . est la rotation de centre et dangle (ou ).est la symtrie par rapport laxe horizontal. est la symtrie par rapport la droite dquation (seconde bissectrice). est la symtrie par rapport laxe vertical. est la symtrie par rapport la droite dquation (premire bissectrice).Allez : Exercice 38

2. Pour montrer que

est un groupe, il suffit de vrifier que cest un sous-groupe de lensemble

des

bijections du plan complexe dans lui-mme. Lensemble propos est non vide. Observons ensuite que et sont inverses lun de lautre, et que chacun des autres lments de est son propre inverse. Latable de composition ci-dessous montre que le produit de deux lments quelconques de est encore dans . Donc est un sous-groupe de . Dans cette table, nous omettons les signes par souci de clart.

Allez : Exercice 38

3. Nous le montrons pour, le raisonnement est identique pour les 4 autres. Dans la mesure o estson propre inverse, est bien un sous-groupe de . Lapplication qui associe et associe est une bijection, et cest un morphisme pour la loi au dpart, et pour laddition modulo larrive. Il suffit pour cela de sassurer que les tables de composition correspondent.

Dtaillons un peu


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Par consquent Et

Dautre part

Et Cela montre que pour tout , , cest bien la dfinition dunmorphisme de groupe. Dans la suite on se contentera de constater que les tables correspondent.

Allez : Exercice 38

4. Ici encore, le plus simple est de dfinir la bijection, puis de vrifier que cest un morphisme pour lesdeux lois en comparant les tables de composition. Remarquons que lexistence dun isomorphisme entreun sous-ensemble de

et un groupe connu, nous dispense de montrer que ce sous-ensemble est

effectivementun sous-groupe. Comme bijection nous choisissons lapplication , dfinie par :

Allez : Exercice 38

5. Mme technique ; la bijection est dfinie par : Allez : Exercice 38

6. Vrifions-le pour et pour. Cest vident, il suffit de faire un dessin dans et de placer les points.Puisque et laissent invariant lensemble , cest aussi le cas pour toute transformationdu plan compose de et , donc pour tous les lments du groupe .

Allez : Exercice 38

7. Soient et deux lments du groupe . Soient et les deux permutations de telles que pour tout

:

Autrement dit Alors, pour tout , () () ()


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Donc . Donc est un morphisme pour la composition des applicationsdans au dpart, et pour la composition des permutations larrive.

Allez : Exercice 38

8. Voici le tableau donnant limage par des lments de .

Cest vident pour, et On va plutt utiliser la notation

Allez : Exercice 38

9. Puisque est un morphisme, est un sous-groupe de . Le tableau de la question prcdente liste tousles lments de , qui sont tous distincts. Donc la restriction de larrive est une bijection : est donc un isomorphisme de sur.

Allez : Exercice 38

Correction exercice 39.1. Lensemble est non vide. Il suffit de vrifier que est un sous-groupe pourladdition, et que la

multiplication est stable. Soient quatre lments de .( ) ( )

Donc ( ) ( ) ( ) ( ) Donc ( ) ( )

2. Observons dabord que pour tout lment de, () . Donc est une bijection, puisque toutlment de a pour antcdent .Montrons maintenant que est un morphisme pour laddition.

( ) (

)

( ) ( ) ( ) ( )Montrons enfin que est un morphisme pour la multiplication.


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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3. Soit un lment quelconque de.

( ) ( )

Donc est bien une application de dans . Montrons que cest un morphisme pour la multiplication.Soient et deux lments de. ()() En utilisant le fait que est un morphisme pour la multiplication.

4. Si , alors est inverse de , et si , alors estinverse de : la condition est suffisante. Montrons quelle est ncessaire. Soit un lment inversiblede : il existe tel que . Mais comme est un morphisme pour la multiplication,. Or et sont des entiers. Les seuls lments de inversibles pour lamultiplication sont et . Do le rsultat.

5. Il suffit de calculer limage par

, et dappliquer le rsultat de la question prcdente.

( )

Linverse de est .Allez : Exercice 39

Exercices Corriges Groupe

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