Exercices Corriges Integrales Generalisees

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  • 1

    Intgrales Gnralises

    Exercice 1.

    Montrer la convergence et calculer la valeur des intgrales :

    ( )

    ( )

    Allez : Correction exercice 1

    Exercice 2.

    Les intgrales gnralises suivantes convergentes ou divergentes ?

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ( ))

    ( (

    ))

    (

    )

    ( (

    ))

    Allez : Correction exercice 2

    Exercice 3.

    Etudier la convergence des intgrales :

    ( ( ))

    ( )

    Allez : Correction exercice 3

    Exercice 4.

    Etudier la convergence de lintgrale

    Selon les valeurs de

    Allez : Correction exercice 4

    Exercice 5.

    Soient et deux paramtres rels. Discuter selon leurs valeurs de la convergence de

    ( ( ))

    On pourra :

    a) Lorsque , utiliser les rgles de Riemann.

    b) Lorsque , calculer explicitement

    ( ( ))

    pour rel destin tendre vers .

    Allez : Correction exercice 5

    Exercice 6.

    1. Soit . Montrer que lintgrale ( )

    converge.

    En dduire que ( )

    converge (intgrer par partie).

    2. Montrer que ( )

    diverge (linariser ( ))

    En dduire que | ( )

    |

    diverge.

    Vrifier que quand

    ( )

    ( )

    ( )

  • 2

    Mais que pourtant ( )

    et (

    ( )

    ( )

    )

    ne sont pas de mme nature.

    Allez : Correction exercice 6

    Exercice 7.

    1. Dmontrer la convergence de lintgrale

    ( )

    .

    2. Montrer que, pour tout ] [,

    ( ) .

    3. Pour ] [, dmontrer lgalit :

    ( )

    ( )

    4. En dduire un encadrement de

    ( )

    et montrer que

    ( )

    ( )

    Allez : Correction exercice 7

    Exercice 8.

    Soient et deux fonctions continues et strictement positives toutes deux dfinies sur un mme intervalle

    [ [ (o peut-tre un rel ou dsigner ), quivalentes au voisinages de .

    On sait bien sr que les deux intgrales ( )

    et ( )

    sont de mme nature.

    Montrer que si ces intgrales convergent, alors ( )

    et ( )

    sont quivalentes lorsque tend vers

    par valeurs strictement infrieures.

    Allez : Correction exercice 8

    Exercice 9.

    Soit ( )

    avec .

    Pour tout et pour tout on dfinit : ( )

    1. Montrer que est une intgrale convergente.

    2. A laide du changement de variable

    montrer que :

    ( )

    (

    )

    ( )

    (

    )

    ( )

    3. En faisant tendre vers et vers dans lquation ci-dessus et en dduire une relation vrifie par

    , puis la valeur de .

    Allez : Correction exercice 9

    Corrections

    Correction exercice 1.

    Daprs les rgles de Riemann ( ) en avec montre que converge.

    On cherche une primitive de de la forme

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ( ) ( ) )

  • 3

    ( ( ) ( ) ) {

    {

    [( ) ] ( )

    Allez : Exercice 1

    La fonction est positive

    Il sagit dune fonction de Riemann intgrable

    On fait le changement de variable dans lintgrale

    On retrouve presque au numrateur

    ( )

    On fait le changement de variable ,

    ( )

    ( )

    ( )( )

    (

    )

    [ | | | |] [ |

    |]

    |

    | |

    |

    |

    | |

    | (

    )

    (

    )

    || ||

    ||

    |

    | (

    )

    ( )

    ( )( ) ( )

    Donc ( )

    Allez : Exercice 1

    Il y a deux problmes, un en et un autre en .

    ( )

    ( )

    Donc la fonction intgrer est prolongeable par continuit en , elle est intgrable

    En linfini

    ( )

    ( )

    ( )

  • 4

    ( )

    ( )

    Daprs les rgles de Riemann ( ) avec , la fonction est intgrable. On pose

    ( ) ( )

    ( )

    Puis on fait une intgration par partie

    ( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    [

    ( )]

    (

    )

    ( )

    ( )

    ( )

    [

    ( )]

    ( )

    ( )

    ( )

    (

    )

    ( )

    ( )

    [ ( )

    ( )]

    ( )

    ( )

    ( ( )

    ( ) ( )

    ( ))

    ( )

    ( ) (

    )

    (

    )

    ( )

    ( )

    ( )

    (

    )

    ( )

    Maintenant il ny a plus de forme indtermine complique, la limite est nulle

    Remarque :

    Il existe une bonne ruse pour cette intgrale, sachant que lintgrale converge on peut faire le

    changement de variable

    ,

    ( )

    ( )

    (

    )

    (

    ) (

    )

    ( )

    (

    ) (

    )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    Donc

    Allez : Exercice 1

  • 5

    Correction exercice 2.

    Il y a un problme en , soit on sait quune primitive de est ( ) et cette primitive tend

    vers linfini, soit on applique les rgles de Riemann en avec

    ( )

    diverge.

    Allez : Exercice 2

    Il y a un problme en , soit on sait quune primitive de est ( ) et cette primitive tend

    vers une limite finie donc lintgral converge, soit on applique les rgles de Riemann en avec

    ( )

    converge.

    Allez : Exercice 2

    [

    ]

    converge.

    Allez : Exercice 2

    Problme en

    Daprs les rgles de Riemann ( ) avec entraine que la fonction est intgrable en

    Allez : Exercice 2

    Il y a un problme en et un en

    En

    ( )

    Il s'agit dune fonction de Riemann avec

    donc lintgrale diverge (ce qui est vident, si

    on essaye dintgrer on voit clairement le problme en ). diverge.

    Du coup il est inutile dtudier lintgrabilit en mais cela ne posait pas de problme

    ( )

    La fonction est prolongeable par continuit en .

    Allez : Exercice 2

    Il y a deux problmes un en et un autre en

    En

    ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ( )) ( ) ( ( )) ( )

    On applique les rgles de Riemann en avec

    ( )

    Lintgrale converge en

    En , on pose (cest mieux que )

    ( ( )) ( ( )) ( ( ))

    Comme prcdemment lintgrale converge.

    Finalement lintgrale converge.

    Allez : Exercice 2

  • 6

    Il y a un problme en

    (

    )

    (

    ( )

    (

    )

    )

    (

    )

    Il sagit dune fonction de Riemann avec intgrable en . converge.

    Allez : Exercice 2

    Il y a un problme en , mais attention on ne peut pas faire de dveloppement limit de (

    ) car

    la variable

    tend vers linfini. On pose ( ) (

    )

    , puis on fait le changement de variable

    ,

    .

    et

    ( ) (

    )

    ( ) (

    )

    ( )

    il sagit de voir si la fonction

    ( )

    est intgrable en

    | ( )

    |

    Il sagit dune fonction de Riemann avec intgrable en donc la fonction ( )

    est

    absolument intgrable en donc intgrable et converge.

    Allez : Exercice 2

    Attention il y a deux problmes en

    parce que (

    ) (

    ) et un autre en

    En

    on pose

    ( (

    )) ( (

    )) ( (

    (

    )

    )) ( (

    ))

    ( (

    (

    ( )))) ( (

    ( )))

    ( (

    ( ))) (

    ( )) (

    ) ( ( )) ( )

    ( )

    Lorsque tend vers , daprs les rgles de Riemann si ( ) avec alors la fonction est

    intgrable en donc ( (

    )) est intgrable en

    En

    ( (

    ))

    (

    ( )

    (

    )

    )

    (

    )

    Il sagit dune fonction de Riemann intgrable en avec

    Allez : Exercice 2

    Correction exercice 3.

    Il y a un problme en . Malheureusement les rgles de Riemann ne marchent, essayons quand mme

    Convergence

  • 7

    ( ( ))

    ( ( ))

    Impose que mais pour utiliser la rgle de Riemann concluant la convergence en il faut que

    soit strictement suprieur

    Divergence

    ( ( ))

    ( ( ))

    Impose que mais pour utiliser la rgle de Riemann concluant la divergence en il faut que

    soit infrieur ou gal .

    Dans ce cas on fait autrement

    ( )

    ( ( ))

    [

    ( )]

    ( )

    ( )

    ( )

    Donc converge.

    Allez : Exe