Integration´ et probabilites´ Examen du 2019-01-10 · 2019. 2. 6. · Integration´ et...
10
Int´ egration et probabilit ´ es Examen du 2019-01-10 Instructions : R´ ediger chacune des 2 parties sur des copies diff´ erentes, et placer chacune de ces 2 copies sur leur pile de copies ` a la fin de votre examen. Bar` eme : 4 × 6 = 24 points. Dur´ ee : 3 heures. Partie I Exercice 1. Pour t ∈ R, on pose : F (t)= Z R cos (tx) e -x 2 dx. a. Montrer que F est bien d´ efinie, continue et d´ erivable sur R. b. On admet que F (0) = √ π. Montrer que F est solution de l’´ equation diff´ erentielle y 0 = -xy/2, puis calculer F (t) pour t ∈ R. Partie II Exercice 2. Pour (n, p) ∈ N 2 , on pose I n,p = Z 1 0 x n (- ln x) p dx. a. Montrer que pour (n, p) ∈ N × N ? , on a (n + 1) I n,p = pI n,p-1 , et en d´ eduire la valeur de I n,n . b. Montrer que Z 1 0 x -x dx = X n≥1 1 n n . 1
Transcript of Integration´ et probabilites´ Examen du 2019-01-10 · 2019. 2. 6. · Integration´ et...
Integration et probabilitesExamen du 2019-01-10
Instructions : Rediger chacune des 2 parties sur des copies differentes, et placer chacunede ces 2 copies sur leur pile de copies a la fin de votre examen. Bareme : 4×6 = 24 points.Duree : 3 heures.
Partie I
Exercice 1. Pour t ∈ R, on pose :
F (t) =
∫Rcos (tx) e−x
2
dx.
a. Montrer que F est bien definie, continue et derivable sur R.
b. On admet queF (0) =√π. Montrer queF est solution de l’equation
differentielle y′ = −xy/2, puis calculer F (t) pour t ∈ R.
Partie II
Exercice 2. Pour (n, p) ∈ N2, on pose
In,p =
∫ 1
0
xn(− lnx)p dx.
a. Montrer que pour (n, p) ∈ N × N?, on a (n+ 1) In,p = pIn,p−1, eten deduire la valeur de In,n.
b. Montrer que ∫ 1
0
x−xdx =∑n≥1
1
nn.
1
Exercice 3. On se donne 2 densites de probabilite, f et g, stricte-ment positives (i.e. ∀x ∈ R, {f (x) > 0 et g (x) > 0}). On supposequ’il existe un reel C > 0 tel que ∀x ∈ R, f (x) ≤ Cg (x).
a. Montrer que C ≥ 1.
b. On se donne 2 v.a.r. independantes X et U , de densites respec-tives g et 1l[0,1], ainsi qu’ une v.a.r. Y de densite f , et on pose,pour tout x ∈ R,
h (x) =f (x)
Cg (x).
Montrer que, pour tout a ∈ R,
P (U ≤ h (X) et X ≤ a) =1
CP (Y ≤ a) .
Calculer P (U ≤ h (X)).
Exercice 4. On note {x} la partie fractionnaire x−bxc du reel x, eton se donne un reel a ∈ [0, 1], et une v.a.r. U de densite de probabilite1l[0,1].
a. Montrer que Va = {U + a} a meme loi que U .
b. On considere le point M de R2 ayant pour coordonnees
((cos (2πU) , sin (2πU))
dans la base canonique, c’est-a-dire, un point M tire au hasard,uniformement, sur le cercle unite. On trace l’intersection N =(1, Y ) de la droite OM avec la droite d’equation x = 1, puisl’intersection P = (Z, 1) de la droiteOM avec la droite d’equationy = 1. Montrer que P (Y ≤ x) = 1
2 +1π arctan(x). Quelle est la loi
de la v. a-r. Y ? Montrer que ZY = 1.
c. Pour a = 1/4 et M ′ de coordonnees ((cos (2πVa) , sin (2πVa)), soitP ′ = (Z ′, 1) l’intersection des 2 droites OM ′ et {y = 1}. Sansaucun calcul, montrer successivement que Z ′ et Z ont meme loi,puis que Z ′ et Y ont meme loi. En deduire que Y et 1/Y ontmeme loi.
2
