Analyse NumriqueDrivation Intgration

Introductionf connue sur un certain nb de pointsou analytiquement

besoin de connatre f' sur ces pointssans faire le calcul analytique.

besoin de calculer l'intgralesans calculer la primitive(quadrature)

Drivation numriqueMthode "nave" :

en thorie, la formule est vraie pour h 0

en pratique, attention au choix de h ! h trop grand : calcul trop approximatifh trop petit : problmes d'arrondis

Drivation numriqueMthode des diffrences centrales :Taylor :

On connat f sur un ensemble de points {xi,yi}h = xi+1 - xi

f(x+h)

f(x-h)

Drivation numriqueMthode des diffrences centrales (suite) :

f(x+h) - f(x-h)

en ngligeant les termes en h3 :

meilleure approximation que la mthode "nave" (h3/h)

Drivation numriqueMthode des diffrences centrales (suite) :calcul des drives d'ordre suprieur :

f"(xi) ?

Drivation numriqueMthode des diffrences centrales (fin) :calcul des drives d'ordre suprieur :

en ngligeant les termes en h4 :

et pour les autres drives ?

Intgration numriquePlusieurs mthodes :a et b finisOn connat f sur un ensemble de points {xi,yi}polynme d'interpolation sur n+1 points Newton-Cotes

On connat f sur autant de points que l'on veutpolynme d'interpolation + choix de n+1 points Gauss-Legendre

a ou b infiniGauss-Laguerre, ...

Intgration numriqueMthodes polynomialesOn connat la fonction sur n+1 points2 solutions :calculer le polynme d'interpolation de degr n : Pn(x) calculer l'intgrale du polynme de degr n problme = les polynmes de degr lev oscillent normment

regrouper les n+1 points en sous-intervalles de p+1 points (avec p+1 faible) calculer les polynmes d'interpolation de degr p sommer les intgrales de chaque sous-intervalle

Intgration numriqueMthode des rectangles: p+1=1 pointspolynme d'interpolationde degr 0

A =

soit h = xi+1 - xi

00.511.522.53A

Intgration numriqueMthode des trapzes : p+1=2 pointspolynme d'interpolation=droite

A =

soit h = xi+1 - xi

00.511.522.53A

Intgration numriqueMthode de Simpson: p+1=3 pointspolynme d'interpolation de degr 2

i va de 0 n-2 avec un pas de 2

00.511.522.53A

Intgration numriqueMthode gnrale Newton-Cotes: p+1 pointspolynme d'interpolation de degr p: Pp(x)

comment trouver les i ? 00.511.522.53A

Intgration numriqueMthode gnrale Newton-Cotes: p+1 pointscalcul des i = dcomposition de l'intgrale dans la base {1, t, tp}00.511.522.53A

Intgration numriqueExercice :Utiliser la mthode de Newton-Cotes pour :retrouver la mthode des trapzesretrouver la mthode de Simpsontrouver la mthode de Simpson "3/8" (p+1=4)

Intgration numriqueQuelle erreur comment-on avec Newton-Cotes ?Pour chaque sous-intervalle (et donc chaque A) :erreur d'interpolation : [ (x)=(x-x0)(x-x1)(x-xp) ]

erreur de quadrature :M majorant de |f (p+1)|

Intgration numriqueErreur de quadrature pour :

les trapzes

Simpson

Quadrature de GaussNous allons nous restreindre lintervalle [-1,1]. Pour un intervalle quelconque, il suffit deffectuer le changement de variable :

Quadrature de GaussEn effet le changement de variable permet dcrire que :

O

Quadrature de GaussIl est donc toujours possible de revenir lintervalle [-1,1]. De manire gnrale, on cherche des expressions de la forme :

(*)

Dont le dgr de prcision soit le plus lev possible.

Quadrature de GaussLexpression (*) est appele quadrature de Gauss n points. Les ti sont appels points dintgration, tandis que les coefficients wi sont les poids dintgration.

On choisit les points et les poids dintgration de faon ce que la quadrature (*) soit exacte dans le cas des polynmes de degr le plus lev possible.

Quadrature de Gauss 1 pointCherchons donc une expression de la forme :

(**) Qui soit exacte dans le cas des polynmes de degr le plus lev possible. Commenons par les polynlmes de degr 0. la formule (**) doit tre exacte pour g(t) = 1, ce qui donne une premire quation :

Quadrature de Gauss 1 point

Et lunique poids dintgration. Lquation (*) doit de plus tre excate pour g(t)=t. on trouve donc :

Ce qui entrane t1=0. ainsi, la quadrature de Gauss 1 point scrit :

Et est exacte pour tout polynme de degr 1.

Quadrature de Gauss 2 pointsOn doit maintenant dterminer les 4 coefficients inconnus de lexpression :

(***)

Il nous faut alors 4 quations qui proviendrons de la relation (***), o on choisit successivement g(t)=1, g(t)=t, g(t)= t2 et g(t)=t3. les quatres quations rsultantes sont :

Quadrature de Gauss 2 points

Quadrature de Gauss 2 pointsQui forme un systme non linaire, aprs quelques manipulations on optient :

Pour que ce produit soit nul, il faut que lun ou lautre des facteurs sannule, c.a.d :w2 =0 possibilit a carte car dans ce cas la formule de Gauss 2 points dgnre en une formule 1 seul point.

Quadrature de Gauss 2 pointst2= 0 ce qui conduirait a w1=0 ou t1=0, ce qui conduit de nouveau une formule 1 point on en conclut que t1=-t2, puisque le cas t1=t2 conduit encore une formule 1 point.En conclusion : on obitient w1=w2 =1Et et donc La formule de Gauss 2 points scrit donc :

Et est exacte dans le cas des polynmes de degr infrieur ou gal 3.

Quadrature de Gauss n pointsOn dtrmine les 2n coefficients wi et ti en rsolvant un systme non linaire de 2n quations que lon obtient en prenant g(t)=tk pour k=0,1,2,,(2n-1).On peu galement dmontrer que les points dintgration de gauss sont les racines des polynmes de Legendre dfinis par :L0(x)=1 et L1(x) =x

Quadrature de Gauss n pointsEt pa la formule de rcurrence :

Il est alors facile de montrer que :

Quadrature de Gauss-LegendreLe problme considr est toujours le mme, savoir trouver une formule

faisant intervenir n +1 valeurs de f , permettant dapprocher

Quadrature de Gauss-LegendreLes formules de Newton-Cotes consistent choisir les ti quidistants sur lintervalle [a,b]. ces formules sont au mieux dordre n +1. Lorsquil est possible de connatre f (t) pour t quelconque, on peut imaginer choisir non seulement les poids wi, mais aussi les points ti, de manire obtenir une formule dordre plus lev. On dispose alors de 2n +2 degrs de libert, et on peut esprer obtenir ainsi une formule n + 1 points dordre 2n + 1. Nous allons voir maintenant comment choisir ces 2n +2 paramtres.