Probabilites Loi Exponentielle

Probabilits Loi exponentielle Exercices corrigs

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Exercice 1 : densit de probabilit

Exercice 2 : loi exponentielle de paramtre (loi de dure de vie sans vieillissement)

Exercice 3 : calcul de probabilit dun vnement avec la loi exponentielle

Exercice 4 : calcul de probabilit conditionnelle avec la loi exponentielle

Exercice 5 : calcul de probabilit avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilits totales

Exercice 6 : esprance et variance dune variable alatoire continue

Exercice 7 : calcul de probabilit avec la loi exponentielle, en effectuant un changement de variable

Exercice 8 : loi exponentielle sans mmoire et demi-vie

Exercice 9 : dure de vie du carbone 14

Exercice 10 : lecture graphique du paramtre

Remarque pralable : Les lois exponentielles sont souvent utilises pour modliser des temps d'attente ou des

dures de vie.

Probabilits Loi exponentielle

Exercices corrigs



Soit un rel non nul et soit la fonction dfinie sur par .

A quelle(s) condition(s) sur la fonction est-elle une densit de probabilit sur ?

Rappel : Densit de probabilit

Soit un intervalle. On appelle densit de probabilit sur toute fonction continue et positive sur telle que :

Remarque : Pour tous rels et tels que , on a :

Si , alors

Si , alors

Si , alors

1) Etudions tout dabord la continuit de la fonction sur .

est le produit du rel non nul par la compose de la fonction par la fonction .

Or, est une fonction linaire, continue sur , et est la fonction exponentielle, galement

continue sur . Par consquent, est continue sur pour tout rel non nul .

2) Etudions dsormais la positivit de la fonction sur .

Pour tout , . Ainsi, est positive si et seulement si 0.

3) Etudions enfin

Exercice 1 (1 question) Niveau : moyen

Correction de lexercice 1 Retour au menu

Lintervalle se note

indiffremment : ,

, ou .



Or,

et

.

Donc, daprs le thorme sur la limite de la

compose de deux fonctions, on a :

.

Il sensuit que

, cest--dire :

Rappel : Limite de la compose de deux

fonctions

, et dsignent des rels, ou . et

sont deux fonctions.

Si

et si

, alors on a :

.

4) Concluons.

De ces 3 rsultats, il dcoule que est une densit de probabilit sur si et seulement si 0.



est une variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre sur lintervalle .

Dterminer la fonction densit de probabilit.

Rappel : Loi exponentielle sur

Une variable alatoire suit une loi exponentielle de paramtre ( ) sur lintervalle si sa

densit de probabilit est dfinie sur par .

Remarque importante : Une loi exponentielle de paramtre est galement appele loi de dure de vie sans

vieillissement.

La variable alatoire continue suit une loi exponentielle de paramtre sur lintervalle .

Ainsi, la fonction densit de probabilit est dfinie sur par .

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile




La dure de vie dun composant est une variable alatoire , exprime en jours, qui suit une loi exponentielle

de paramtre .

1) Quelle est la probabilit que la dure de vie du composant excde trois cents jours ?

2) Quelle est la probabilit que la dure de vie du composant soit dau plus une anne ?

3) Quelle est la probabilit que la dure de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans ?

Rappel : Probabilit dun vnement avec une loi exponentielle

Soit une variable alatoire suivant une loi exponentielle de paramtre sur .

Pour tout intervalle , on a :

Et, en particulier,

La variable alatoire , exprime en jours, suit une loi exponentielle de paramtre . La densit de

probabilit est donc la fonction dfinie sur par .

1) Calculons la probabilit que la dure de vie du composant excde trois cents jours.

Mthode 1 : application directe de la formule

Exercice 3 (3 questions) Niveau : facile




Mthode 2 : calcul dintgrale

Or,

et

. Donc, daprs le thorme sur la limite de la compose de deux

fonctions,

. Il vient alors que

.

Par consquent,

Mthode 3 : probabilit dun vnement contraire

Lvnement est lvnement contraire de lvnement . Par consquent, il vient que :

2) Calculons la probabilit que la dure de vie du composant soit dau plus une anne.



3) Calculons la probabilit que la dure de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans.





La dure de vie dun appareil lectronique est une variable alatoire , exprime en heures, qui suit une loi

exponentielle de paramtre .

1) Quelle est la probabilit que la dure de vie de lappareil soit de heures au maximum ?

2) En dduire la probabilit que la dure de vie de lappareil soit dau moins heures.

3) Sachant que la dure de vie de lappareil a dpass heures, quelle est la probabilit que sa dure

de vie dpasse heures ?

4) Sachant que lappareil a fonctionn plus de heures, quelle est la probabilit quil tombe en panne

avant heures ?

1) Calculons la probabilit que la dure de vie de lappareil soit de heures au maximum.

2) Calculons la probabilit que la dure de vie de lappareil soit dau moins heures.

3) Calculons la probabilit que la dure de vie de lappareil dpasse heures, sachant quelle a

dpass heures.

Rappel : Probabilits conditionnelles (conditionnement par un vnement)

Soit une loi de probabilit dfinie sur un ensemble . Soient et deux vnements tels que .

La probabilit de lvnement sachant lvnement , note , est dfinie par :

Rappel : Loi de dure de vie sans vieillissement

Une variable alatoire positive est dite sans mmoire (ou sans vieillissement ) lorsque, pour tous rels

et , .

Exercice 4 (4 questions) Niveau : moyen




Remarque importante (mthode 2) : Comme une loi exponentielle est une loi de dure de vie sans

vieillissement, on a galement :

daprs la question prcdente

4) Calculons la probabilit que lappareil tombe en panne avant heures sachant quil a fonctionn

plus de heures.



La dure moyenne dune conversation tlphonique de M Lokas est une variable alatoire qui suit une loi

exponentielle de paramtre quand Mme Piplaite lappelle et de paramtre sinon. Les trois quarts des

appels destins M Lokas proviennent de Mme Piplaite. La sonnerie du tlphone retentit et une conversation

sengage. Calculer la probabilit que cette conversation dure plus de cinq minutes.

Soit la variable alatoire continue gale la dure de la conversation tlphonique et soit lvnement

lappel tlphonique provient de Mme Piplaite .

Rappel : Formule des probabilits totales

Soit un univers muni dune probabilit . Soit .

Si les parties , , , , de probabilits non nulles, constituent une partition de ,

Alors, pour tout vnement , on a :

Comme , il vient alors daprs la formule des probabilits totales

puis daprs la formule des probabilits conditionnelles que :





A) Premire partie

Soient et deux fonctions drivables sur un intervalle telles que leurs drives respectives et soient

continues sur . Dmontrer que, pour tous nombres rels et de , on a :

B) Deuxime partie

Soit une variable alatoire suivant une loi exponentielle de paramtre ( .

On appelle esprance de , note , et variance de , note , les rels tels que :

En utilisant le rsultat de la premire partie, exprimer puis en fonction de .

A) Premire partie

Les fonctions et sont drivables sur . Par consquent, par produit de fonctions drivables sur un mme

intervalle, la fonction est drivable sur et (galit 1).

Par ailleurs, comme est drivable sur , par thorme, est continue sur . De mme, tant drivables sur

, les fonctions et sont continues sur . Et comme et sont galement continues sur , par produit de

fonctions continues sur un mme intervalle, les fonctions et sont continues sur .

Ainsi, daprs la proprit de la linarit de lintgrale applique lgalit 1, on a pour tout de :

Or, la fonction est une primitive de la fonction donc :

Do lgalit suivante :

Remarque importante : Cette galit est appele intgration par parties .

Exercice 6 (2 questions) Niveau : difficile




B) Deuxime partie

Exprimons dans un premier temps en fonction du rel .

Utilisons le rsultat de la premire partie en posant et , non sans remarquer que est

drivable sur et que est continue sur . Alors, pour tout de , (fonction continue sur )

et .

Etudions cette limite.

Dune part, on a :

Or,

(car ) et

(croissance compare) donc, daprs le thorme sur la

limite de la compose de deux fonctions,

.

Dautre part, on a :

Or,

(car ) et

donc, daprs le thorme sur la limite de la compose de

deux fonctions,

.

Par consquent, il vient que :

Exprimons dans un second temps en fonction du rel .



Utilisons le rsultat de la premire partie en posant et , non sans remarquer que est

drivable sur et que est continue sur . Alors, pour tout de , (fonction continue sur

) et .

Or, on a tabli que :

Cest--dire, en divisant par non nul :

Ainsi, on obtient que :

Etudions

.

Or,

(car ) et

(croissance compare) donc, daprs le thorme sur la

limite de la compose de deux fonctions,

. Do

.

Finalement, on a :



suit une loi exponentielle de paramtre .

Dterminer la valeur du rel telle que la probabilit soit gale

.

suit une loi exponentielle de paramtre . Donc .

Par ailleurs,

. Or, , do lgalit :

.

Posons .

Alors . Et, comme , lquation

devient

(avec ).

Or, pour tout rel positif non nul,

.

Comme , on a

, cest--dire . Or,

. Par

consquent, , cest--dire .

En conclusion, pour que la probabilit soit gale

, il faut donc que .





Une variable alatoire positive est dite sans mmoire (ou sans vieillissement ) lorsque, pour tous rels

et , .

1) Montrer quune variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre est sans mmoire.

Pour une variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre sans mmoire, on appelle demi-vie

la dure telle que .

2) Montrer que

.

1) Montrons que, si une variable alatoire suit une loi exponentielle de paramtre , alors elle est sans

mmoire.

Pour tous rels et ,

2) Montrons que, si suit une loi exponentielle de paramtre sans mmoire telle que ,

alors

.





La dure de vie du (carbone 14) suit une loi exponentielle de paramtre . Sa demi-vie est estime

annes.

1) Evaluer la probabilit que la dure de vie du carbone 14 soit au maximum de ans.

2) Dterminer tel que .

3) Quelle est approximativement la dure de vie moyenne du carbone 14 ?

1) Evaluons la probabilit que la dure de vie du carbone 14 soit au maximum de ans.

Notons tout dabord la demi-vie de cet lment radioactif. Comme et comme

, on a :

Il sensuit que

2) Dterminons tel que .

3) Calculons approximativement la dure de vie moyenne du carbone 14, note .

Remarque : La demi-vie du carbone 14 est estime annes. Cela signifie quau bout de annes,

il ne restera que la moiti des atomes de carbone 14 initiaux, mais cela ne signifie surtout pas que lintgralit

de cet lment radioactif aura disparu aprs annes.





est une variable alatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramtre . La courbe ci-aprs

reprsente la fonction densit de probabilit associe.

1) Lire graphiquement la valeur de .

2) Calculer .

3) Calculer .

4) En dduire .

1) est une variable alatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramtre . Lisons

graphiquement la valeur de .

On sait quune variable alatoire suit une loi exponentielle de paramtre sur lintervalle si sa

densit de probabilit est dfinie sur par .

est la fonction densit de probabilit reprsente par la courbe. Par consquent, .

On en dduit que est dfinie sur par .

2) Calculons .

3) Calculons .

4) Dduisons-en .

Remarques :

Il tait galement possible dappliquer directement la formule mais,

dans ce cas, la consigne (qui imposait que le rsultat soit dduit des rsultats prcdents) naurait pas t

respecte.





La probabilit est reprsente dans un repre orthonorm par laire du domaine

vert, situ entre la courbe reprsentative de , laxe des abscisses et les droites dquation respective

et .

En effet,

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