La recherche en didactique des mathématiques au service de la formation à l’enseignement :

Réflexions à partir du contexte de la recherche et de la formation au Québec

Hassane SqualliUniversité de Sherbrooke (Qc, Canada)

Faculté d’éducationDépartement de Pédagogie

23 avril 2013Centre régional des métiers d’éducation et de formation

Rabat-Maroc

Plan

Différents types de didactique des mathématiques Quelques fondements des cours de didactique des

mathématiques Exemple d’un dispositif de formation Exemples de types de recherches pertinentes pour

le système de formation

Didactiques des mathématiques

Comme domaine scientifique de recherche Recherches ayant pour finalité le développement de

cadres théoriques pour la recherche Comme domaine de recherche sur

l’enseignement/apprentissage/objets d’enseignement-apprentissage Recherches ayant pour finalité le développement de

modèles théoriques sur l’enseignement/apprentissage/objets d’enseignement-apprentissage

Recherches empiriques Comme domaine de formation à la recherche Comme outil de formation à l’enseignement

Quelques fondements de l’approche de formation des enseignants

Quels types de connaissances faut-il à un enseignant d’aujourd’hui pour bien enseigner un contenu mathématique (disons un contenu d’algèbre) à une catégorie d’élèves (disons des élèves du secondaire) ?

Développer une culture d’enseignement des mathématiques chez l’enseignant en

formation

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Culture desmathématiques en tant

que discipline scientifique

Culture desmathématiques en tant que discipline scolaire

Culture de l’élève apprenant desmathématiques

Sa propre culture des mathématiques

Culture des mathématiques en tant que discipline scientifique

Les mathématiques comme activité humaine, vivante toujours en développement, avec une longue histoire, à laquelle ont contribué et contribuent

plusieurs civilisations. Les mathématiques possèdent des

applications dans divers domaine de la vie. Les mathématiques comme domaine

d’esthétique et de beauté.6

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Culture des mathématiques en tant que discipline scolaire

• Programme national d’études de l’école dans le domaine des mathématiques, ses orientations prioritaires, ses fondements; son évolution historique, son ancrage dans les mouvements internationaux

• Manuels scolaires, matériels didactiques• Associations et revues professionnelles

relatives à l’enseignement des mathématiques

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Culture de l’élève apprenant des mathématiques

• Connaissance de ce que dit la littérature scientifique et professionnelle sur l’apprentissage des élèves des contenus enseignés (raisonnements, obstacles, …)

• Développer une sensibilité face aux apprentissages des élèves– Apprécier le génie mathématique des élèves– Voir l’élève, celui en difficulté en particuliers,

non comme un automath, mais comme une personne qui raisonne et produit des raisonnements (parfois très originaux).

– Évaluer le raisonnement de l’élève et non seulement sa réponse

Sa propre culture des mathématiques

Prendre conscience de son rapport aux mathématiques, à leur enseignement et à leur apprentissage

Développer un rapport positif aux mathématiques

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Quelques fondements des cours de didactique des mathématique

La didactique des mathématiques comme un instrument pour le développement de ces différentes cultures: Une formation à l’enseignement par la didactique et non en ou pour la didactique.

L’enseignant comme professionnel: praticien réflexif, intègre, développe et échange des savoirs professionnels

L’enseignant en formation est un complexe d’assujettissements institutionnels. Il a une identité multiple.

Un dispositifs de formation est perçu comme signifiant par l’enseignant en formation s’il crée, des interactions de connaissances, parfois des confrontations, entre les différentes entités.

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Quelle didactique voulons-nous que les futurs enseignants développent

durant leur formation initiale ? Nous formons des enseignants des mathématiques,

non des chercheurs en didactique des mathématiques

Cela ne signifie pas que l’enseignant n’est pas aussi didacticien, c-à-dire grand utilisateur voir producteur de savoirs didactiques. Les questions qui l’occupent sont des questions qui ont une pertinence sociale, reliées à l’enseignement des maths et non nécessairement une pertinence scientifique reliée à l’état d’avancement de la didactique des mathématiques comme domaine de recherche.

Dans l’exercice de sa fonction, l’enseignant réalise des activités de didacticien, mais son but est de faire progresser sa pratique et non faire avancer la connaissance scientifique.

La didactique des mathématiques est nécessaire à la pratique d’enseignement des mathématiques et à la formation à l’enseignement des mathématiques 1. La didactique fournit un cadre de référence

(des théories, des concepts et un langage, des analyses conceptuelles) qui permet aux praticiens de problématiser des questions liées à leurs pratiques, de produire et d’échanger des savoirs professionnels (savoirs pratiques, savoirs sur ou pour la pratique avec un discours raisonné sur cette pratique)

2. d’étudier, et quelques fois de proposer des réponses, à des questions qui occupent et préoccupent la pratique d’enseignement des maths, comme la production de connaissances empiriques sur les pratiques d’enseignement et d’apprentissage des mathématiques

Quelle(s) didactique(s) prenons-nous en considération pour élaborer nos cours de

didactique des mathématiques ?

La didactique inspire le formateur et non lui impose des contenus à enseigner

Les cours de didactique des mathématiques doivent contribuer :1) au développement d’une culture de

l’enseignement des mathématique chez l’enseignant en formation

2) à l’intégration de savoirs théoriques dans la pratique d’enseignement de l’enseignant en formation (notamment dans les phases préactive et postactive, et dans l’articulation entre les formations mathématique, pédagogique et pratique).

Contrat de formationPosture à adopter dans les cours de didactique

pour maximiser la formation Se voir et se comporter comme un enseignant en

formation qui vise à développer des compétences professionnelles en enseignement des mathématiques

Et non (exclusivement) comme un « étudiant universitaire» qui cherche à réussir un programme pour obtenir un diplôme.

Cela nécessite de la part de l’enseignant en formation:De maintenir une authenticité d’enseignant des

mathématiques lorsqu’ils sont sollicités en tan que tel

D’exploiter les apprentissages théoriques réalisées dans les cours comme outil pour comprendre et penser leur enseignement.

Contrat de formationPosture à adopter dans les cours de

didactique pour maximiser la formation

Cela nécessite de la part du formateur didacticienNe pas être un prescripteur de la pratiqueNe pas agir comme un théoricien

déconnecté du contexte de la pratiqueDévelopper chez l’enseignant en formation

la culture de l’enseignement des mathématiques, l’aider à maîtriser et à exploiter des savoirs de didactiques pour comprendre et penser son enseignement.

Postulats de départ

Je pars des postulats suivants1. Un enseignant en formation (Ef) accorde une

pertinence et une signifiance à un dispositif de formation s’il a la perception que ce dispositif va le développer en tant qu’enseignant,

2. La formation pratique est un dispositif signifiant pour les Ef. En revanche, les dispositifs de formation en didactique, en pédagogie et en mathématiques ne sont pas perçus de facto comme signifiants par les Ef. Un travail doit être fait par le formateur pour les rendre signifiants aux yeux des Ef.

L’enseignant en formation : un complexe d’assujettissements institutionnels

Enseignant en

formation

Institution mathématique universitaire

Institution didactique

universitaire

Institution pédagogique universitaire

Institution formation pratique

universitaire

Institution scolaire de la

pratique d’enseignement

Mathématicien/Apprenant des mathématiques

EfMatÉtudiant universitaire

qui réfléchi sur l’enseignement et

l’apprentissage des mathEfDid

Enseignant de mathématiques

EfEns

Mathématiques

Enseignement des

mathématiques

Apprentissage des

mathématiques

Enseignant en formation

J’enseigne comme on m’a enseigné

Posture de

l’ancien élève/

étudiant

Conceptions forgées par le métier d’élève,

d’étudiant mathématicien et par la culture dominante du milieu scolaire et

académiqueJ’enseigne donc ils apprennent

Conceptions forgées par la

culture du milieu enseignant

Conceptions compatibles

avec le milieu universitaire

Grande préoccupation

par la gestion de la classe

Entrée par les définitions et les formalisations

Posture de

l’étudiant

universitaire

Post

ure

d e

l’en s

e ign

ant

Perspective socio-

constructivsite

L’enseignant en formation: une entité multiple

Postulat 3 : un dispositif de formation est signifiant s’il favorise l’engagement de l’EfMat, l’EfDid et l’EfEns dans des activités d’interactions de connaissances.

EfMat

EfDidEfEns

Étude d’un exemple : Journal de bord en résolution de problèmes

Le cahier de bord comprend : Une introduction présentant ses propres conceptions, attitudes,

souvenirs, etc. à l’égard des mathématiques. Les traces écrites de la résolution, telle qu’elle a été réalisée, d’au

moins cinq (5) problèmes pris dans le chapitre 10 du livre l’Esprit mathématique de John Mason.

Lorsque opportun lors de la résolution de problèmes, des remarques de nature Cognitive en lien avec le processus de résolution Métacognitive en lien avec le processus de résolution Affective en lien avec le processus de résolution

Une conclusion rapportant l’effet qu’a eu ce travail sur sa propre culture mathématique ainsi qu’une réflexion sur tout le processus effectué lors des résolutions de problèmes.

Indications méthodologiques

Données analysées: Retour réflexif sur l’activité, objet de la conclusion du travail Journal de bord en résolution de problèmes

Analyse : en cohérence avec le modèle théorique de l’Ef, le discours réflexif est considéré comme un dialogue entre les postures épistémologiques (EfMat, EfDid et EfEns). Il s’agit alors de reconstruire ce discours en termes d’interactions en mettant en évidence les connaissances en acte et les significations associées chez les différents locuteurs.

Quelques résultats d’analyse

Certains étudiants ont éprouvé de la difficulté à décrire de manière spontanée leur démarche de résolution! Leur journal de bord ne contient que des démonstrations.

Inter. Le discours réflexif est produit presque uniquement par l’EfMat. Ces Ef ont de la difficulté à engager une interaction féconde entre l’EfMat et l’EfDid. Comme si l’EfMat refuse le regard analytique que pose l’EfDid sur son activité personnelle de résolution de problèmes.

Le Journal de bord en résolution de problèmes a donc été un dispositif non signifiant pour ces Ef.

Le dispositif a été signifiant pour plusieurs Ef

Une leçon d’humilité«Je dois avouer que l’activité fut une véritable leçon d’humilité. En effet, je ne sais pas si je suis la seule personne dans cette situation, mais j’ai trouvé la plupart des problèmes très difficiles à résoudre, beaucoup plus que ce que j’imaginais. Je ne sais pas si c’est parce que mes cours sont déjà loin, mais je peux affirmer avoir consacré beaucoup de temps à ce travail. Tellement qu’à certains moments je remettais mes aptitudes intellectuelles en question. J’ai décidé à un certain point d’arrêter de m’en faire et de simplement considérer le tout comme une activité d’apprentissage.»

[Je, EfMat] dois avouer que l’activité fut une véritable leçon d’humilité . En effet, [je, EfDid] ne sais pas si [je, EfMat] suis la seule personne dans cette situation, mais [j’, EfMat ] ai trouvé la plupart des problèmes très difficiles à résoudre, beaucoup plus que ce que [j’, EfMat] imaginais. [Je, EfDid] ne sais pas si c’est parce que [mes, EfMat] cours sont déjà loin, mais [je, EfMat] peux affirmer avoir consacré beaucoup de temps à ce travail. Tellement qu’à certains moments [je, EfMat] remettais mes aptitudes intellectuelles en question. [J’, EfMat] ai décidé à un certain point d’arrêter de m’en faire et de simplement considérer le tout comme une activité d’apprentissage.

Inter. Cette prise de conscience importante de l’EfMat, est provoquée par l’analyse critique de l’EfDid. D’autres étudiants affirment que cette activité leur a permis de prendre conscience de leurs propres stratégies de résolution « de mieux se connaître en tant que mathématicien » a dit un étudiant.

En tant qu’enseignante, il [m’, EfEns] arrive à l’occasion d’expliquer une notion et de [me, EfEns] dire : « Voyons, il [me, EfEns] semble que ce n’est pas si compliqué…» et de ne pas comprendre pourquoi les élèves ne comprennent pas. Cette activité [m’, EfEns] a permis de [me, EfEns] mettre dans la peau de [mes, EfEns] élèves c’est-à-dire de se retrouver face à une situation dont [je, EfMat] n’avais aucune idée par où commencer et comment faire pour résoudre le problème. [J’, EfDid] ai pu voir comment un élève peut se sentir dans une telle situation, comment il se sent face au syndrome de la page blanche. Bien sûr, [je, EfMat] ne veux pas dire que [j’, EfMat] ai toujours eu de la facilité à résoudre des problèmes mathématiques, au contraire, mais c’était la première fois que [je, EfDid] [me, EfMat] questionnais autant sur [ma, EfMat] façon de penser et de chercher une solution.

EfDid EfMat

EfEns

Exemple d’interactions de connaissances

La réalisation du journal de bord n’a fait que me confirmer que nous disposons au fond de nous d’un processus métacognitif pour résoudre les problèmes que nous rencontrons tous les jours.

Mais le grand défi est de savoir comment transposer ces habilités mentales à nos jeunes.

En obligeant les élèves à connaître les démarches de résolution de problèmes et à les utiliser fréquemment, on leur permet de gérer plus efficacement les diverses opérations cognitives d’ordre supérieur requises pour être efficaces, tout en stimulant leur esprit critique C’est de la métacognition en action.

Sans oublier l’apport psychologique que procure une résolution efficace d’un problème mathématique, à savoir une légitime fierté et une estime de soi de plus en plus considérables.

[EfDid] : La réalisation du journal de bord par l’EfMat n’a fait que me confirmer que nous disposons au fond de nous d’un processus métacognitif pour résoudre les problèmes que nous rencontrons tous les jours.

[EfEns]: Mais le grand défi est de savoir comment transposer ces habilités mentales à nos jeunes.

[EfDid] : En obligeant les élèves à connaître les démarches de résolution de problèmes et à les utiliser fréquemment, l’enseignant leur permet de gérer plus efficacement les diverses opérations cognitives d’ordre supérieur requises pour être efficaces, tout en stimulant leur esprit critique C’est de la métacognition en action.

[EfMat] : Sans oublier l’apport psychologique que procure une résolution efficace d’un problème mathématique, à savoir une légitime fierté et une estime de soi de plus en plus considérables.

EfDid EfMat

EfEns

Interprétation Ces interactions de connaissances sont constructives, car

elles s’appuient sur un référent expérientiel (apporté par l’EfMat), une justification épistémique (apportée par l’EfDid) et une solution à un problème de pratique (préoccupation de l’EfEns).

Si l’on ne tient pas compte de la valeur des connaissances en actes, ces interactions constructives sont un indicateur de la signifiance de cette activité pour l’Ef.

 Tout se passe comme si pour l’EfEns la valeur pour la pratique d’une connaissance de l’EfDid est renforcée quand celle-ci est validée par une expérience significative de l’EfMat et qu’une interaction soit engagée entre ces trois entités à propos du sens de cette connaissance.

Quelques exemples de questions ’’mathématiques’’ qui créent une confrontation des 3 postures

épistémologiques

1) Soient a/b et c/d deux fractions équivalentes. Est-ce que l’égalité suivante est vraie? Donnez une explication sans recourir au formalisme.

=2) Composez un problème «à contexte» qui

demande comme solution la division et résolvez-le.

3) Soit a = 0,12345678910111213…..Calculez 3a

Exemples de types de recherches pertinentes pour le système de formation

Recherches sur les apprentissages des élèves Recherches sur les manuels, les programmes Recherches sur les pratiques d’enseignement Recherches ethnologiques (ethnomatics) sur les

pratiques mathématiques dans la société (pratiques culturelles et pratiques sociales de référence)

Recherches sur les pratiques mathématiques du patrimoine historique

Recherche sur l’étudiant en formation La recherche-action comme dispositif de formation

MERCI!

Hassane.Squalli@USherbrooke.ca