Quelques excursions en enseignement des mathématiques : et si on séloignait un peu des sentiers...

Quelques excursions en enseignement des mathématiques :

et si on s’éloignait un peu des sentiers battus ?

Hassane SqualliUniversité de Sherbrooke (Qc, Canada)

Faculté d’éducationDépartement de Pédagogie

23 avril 2013Centre régional des métiers d’éducation et de formation

Rabat-Maroc

Plan

Station 1: vision des mathématiques et conséquences pour l’enseignement et l’apprentissage

Station 2: la Mathémagie

Station 3 : l’histoire

Station 4 : le raisonnement mathématique

Station 5 : quelques démarches d’enseignement des mathématiques

3

Prenez une ficelle fermée. Quelle forme faut-il lui donner pour qu’elle entoure la plus grande surface?

Calculer: 0 – 4 = ?

Théorème Isopérimétrique

À périmètre fixé, le cercle est la figure géométrique fermée qui entoure la surface de plus grande aire.

Blaise Pascal (1623 - 1662), dans ses pensées : « Trop de vérité nous étonne ; j’en sais qui ne peuvent comprendre que, qui de zéro ôte 4, reste zéro. »

Lazare Carnot (1753 - 1823) mathématicien et ingénieur : « Pour obtenir réellement une quantité négative isolée, il faudrait retrancher une quantité effective de zéro, ôter quelque chose de rien : opération impossible. Comment donc concevoir une quantité négative isolée ?».

Quelle est la morale des deux histoires?

Tout être humain possède un génie mathématique.

Aider l’élève à prendre conscience de son génie mathématique et de le fructifier.

Voir l’élève non pas comme un automath mais comme un élève ayant un potentiel mathématique à développer.

4

• Les mathématiques sont une activité humaine.• Les objets mathématiques sont des objets culturels. • L’apprentissage des mathématiques est de nature

sociale, culturelle et interactionnelle.• Les objets culturels jouent le rôle d’amplificateurs

cognitifs.

Partageons une même vision des mathématiques

On peut distinguer au moins deux visions des mathématiques

1) Une vision statique des mathématiques: une science toute faite =: un ensemble déjà bien organisé de connaissances (une terminologie, des définitions, des règles et des théorèmes)

2) Une vision dynamique des mathématiques: une science qui se fait : une activité humaine Cette activité consiste à mettre en évidence des

régularités, étudier divers types de relations et de structures, faire des prévisions… etc. Elle permet de modéliser une partie du réel.

Dans cette activité, on utilise une pensée mathématique, comme généraliser, abstraire, prouver, opérer sur l’inconnue, etc.

Conséquences pour l’enseignement/l’apprentissage

Pour apprendre des mathématiques, l’élève doit faire des mathématiques : réaliser des activités mathématiques

Les connaissances des élèves sont le produit de leurs activités

L’enseignant provoque les activités des élèves en leur proposant des tâches mathématiques

La qualité de l’activité des élèves dépend en partie de la qualité des tâches mathématiques proposées par l’enseignant

Importance de proposer aux élèves des tâches mathématiques potentiellement riches en constructions mathématiques

Quelques exemples

Station 2

La Mathémagie

9

16 20 26 19

17 21 22 23

24 31 18 27

28 29 30 25

10

8 27 10 25

31 13 29 15

24 11 26 9

28 14 30 12

11

4 21 6 15

12 13 23 7

29 5 22 14

28 20 30 31

12

2 19 6 14

30 31 7 15

18 3 22 23

26 27 10 11

13

1 29 5 19

9 11 25 15

17 7 21 23

13 27 3 31

Reconstruisez les 5 grilles des nombres de 1 à 31

Quelles seraient les grilles pour jouer avec les nombre de 1 à 63 ?

Généralisez

14

Autres tours

Tours 1

Tours 2 : date de naissance

Tours 3: un tour de cartes

Tours 4: un carré vraiment magique

Tours 5 : Bande de Mobïus

Station 3Le raisonnement mathématique

Importance du raisonnement en mathématiques

Faire des mathématiques, c’est essentiellement raisonner, c’est-à-dire faire usage de sa raison pour former des idées, des jugements; pour argumenter, convaincre, prouver, réfuter.

Conduire un raisonnement consiste à enchaîner des jugements pour aboutir à une conclusion.

La mathématique utilise une grande variété de raisonnements fondées sur la raison et l’expérience (raisonnement déductif, inductif, par analogie, par récurrence, par l’absurde, par la contraposée, …).

Dans ce sens, la mathématique est un mode de pensée.

17

Importance du raisonnement dans l’apprentissage des mathématiques

Raisonner à l’aide de concepts et de processus mathématiques est une des trois compétences mathématiques dans le programme de formation de l’école québécoise.

Pour apprendre les mathématiques, l’élève doit faire des mathématiques et donc raisonner, construire, argumenter, valider et communiquer des raisonnements mathématiques.

Importance de voir l’élève, notamment celui en difficulté, non comme un automath, mais comme une personne qui raisonne et produit des raisonnements (parfois très originaux).

Importance d’évaluer le raisonnement de l’élève et non seulement sa réponse

Importance d’aider les élèves de développer un regard mathématique et d’exercer leur raison.18

Il y a trois livres sur une étagère. Tu en retires deux. Combien en as-tu?

Tu as trois bonbons. Tu en manges un chaque ½ heure. En combien de temps ne t’en restera-t-il plus?

Il y a 30 corbeaux dans un champ. Le fermier en tue 4 à un coup de fusil. Combien en reste-t-il?

Un billet de cinéma coûte 7$. Combien coûtent 10 billets?

Une fleur se fane au bout de 7 jours. Au bout de combien de jours se faneront 10 fleurs?

Toi et moi avons chacun 10$. Combien dois-je te donner pour que tu aies 1 dollars de plus que moi?

Est-il possible de trouver deux hommes ou deux femmes à Rabat ayant exactement le même nombre de cheveux?

Tentez une réponse raisonnée

Le principe des tiroirs de Dirichlet

Si 11 chemises sont placés dans 10 tiroirs, il y a nécessairement au moins un tiroir qui contient au moins 2 chemises.

Solution du problème du nombre de cheveux

On sait que le nombre de cheveux d’une personne ne dépasse pas 400 000. À Montréal, il existe plus de 400 000 femmes. Selon le principe des tiroirs de Dirichlet, il y a au moins 2 femmes qui ont le même nombre de cheveux! (il y en a en fait des centaines)

21

Peut-on être sûr que 2 étudiant(e)s du BES aient le même jour d’anniversaire? Justifiez.

N.B. On compte actuellement 497 personnes étudiants au BES

22

Faites résonner votreraisonnement

Quels sont les nombres qui ont un nombre impair de diviseurs?

23

Exemplification

Raisonner par induction

# 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 16 … 25 …

1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 … 9 3 …

Conjecture: Ce sont les nombres carrés

# divi

seur

s

Raisonnement inductifInduction: «Opération mentale qui consiste à

remonter des faits à la loi, de cas donnés le plus souvent singuliers ou spéciaux, à une proposition

plus générale.» (Le Petit Robert)

Cherchezune réponse

24

Tout en faisant des essais, on tente de trouver des raisons qui nous conduiraient à la loi générale. Exemple: - il faut exclure les nombres premiers (ils ont tous 2 diviseurs) - les nombres de la forme p2 où p est premier ont 3 diviseurs : 1, p et p2 . - Pourquoi 9 a un nombre impair de diviseurs? 1 et 9 sont des diviseurs triviaux (1 et n toujours des diviseurs de n). Il reste le 3 seul. Pourquoi n’y a-t-il pas un autre diviseur associé à 3? Parce que 3 fois 3 vaut 9. Ok le 3 compte deux fois.

Les diviseurs d’un nombre n sont symétriquement placés par rapport à n. Quand n est entier, c-à-d n carré parfait, il est un diviseur de n; sinon il ne l’est pas. Donc, seuls les carrées parfaits ont un nombre impair de diviseurs.

Raisonnement déductif

Raisonner par déduction

Déduction: Procédé de pensée par lequel on conclut d'une ou de plusieurs propositions données à une proposition qui en résulte, en vertu de règles logiques. (Le Petit Robert)

25

Raisonner à l’aide d’une visualisation

1+3+5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + … + 99 = ?

52 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Réponse: 502 = 2500

Raisonner à l’aide d’une visualisation

26

+3 +3 +3

4 +(4 –1) x 3 4 + (n – 1) x 3

+2 fois 3

+3 fois 3

Chaîne de carrés d’allumettes

On fabrique des chaînes de carrés à l’aide d’allumettes. Trouvez la règle qui montre comment le nombre d’allumettes dépend du nombre de carrés

Faites-le maintenant

Raisonner en s’appuyant sur une régularité numérique

27

Méthode de Gauss :

Alors jeune enfant fréquentant une classe de la petite école, Gauss (célèbre mathématicien suisse né en 1889) devait, en guise de punition, calculer la fastidieuse somme 1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 Le maître de Gauss fût surpris quand ce dernier revint quelques minutes plus tard annonçant, à raison, que la somme vaut: 5050 Comment a-t-il fait?

101101...101101101

12...9899100

10099...321

Cherchez maintenant

La somme cherchée est donc 50 x 101 = 5050

Importance de dégager l’idée principale d’un raisonnement

Permet de raisonner par analogie L’idée de Gauss consiste à doubler la somme en

inversant les termes

28

...…….…..

…..….…... Le nombre de points = (5 x 6)/2

Nombres triangulaires

Voici les 3 premiers nombres triangulaires. De combien de points est formé le 5e? Trouver une règle donnant le nombre de points de n’importe quel nombre triangulaire. Justifiez votre prédiction.

. ... …...

Doubler la sommeInverser les termes

Le contexte comme support au raisonnement

Un échiquier (un caré formée de 8x8=64 cases) contient un grain de blé dans la première case, 2 dans la deuxième, 4 dans la troisième, et ainsi de suite. Chaque case contient le double de grains de blé de la case précédente.

Quel est le nombre total de grains de blé posés sur l’échiquier?

29

Cherchez maintenant

Le problème des grains de blé sur l’échiquier

Le contexte comme support au raisonnement

Le nombre total de grains de blé est donné par la somme:

1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263

Pour résoudre ce problème, inventons un autre problème «équivalent» utilisant un contexte dans lequel on peut raisonner autrement.

Tournoi de tennis

Dans un tournoi de tennis, il y a 264 joueurs. Le tournoi se joue selon le principe de l’élimination directe. Combien de matchs incluant la finale ont été joués durant ce tournoi?

30

Cherchez maintenant

Le problème des grains de blé sur l’échiquier

Premier raisonnement

Au premier tour, il y a eu autant de matchs que la moitié du nombre des joueurs, c’est-à-dire 264 /2 = 264-1= 263 matchs, au deuxième la moitié de ce nombre soit 262 et ainsi de suite. Le nombre de matchs durant ce tournoi incluant la final est donc :

1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263

31

Deuxième raisonnement

Puisque à chaque match un et un seul joueur se trouve éliminé et qu’en tout il y a 264 – 1 joueurs éliminés, le nombre de matchs joués durant le tournoi incluant la finale est 264 – 1.

D’où:

1+ 2 + 22 + 23 + 24 + … + 262 + 263 = 264 – 1

Une histoire de pizza, ou comment manger une pizza de manière mathématique

Calculer

32

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

Commandez une pizza chez pizza-math! Mangez en la moitié; puis la moitié de ce qui reste, encore la moitié de ce qui reste; faîtes la même chose encore trois autres fois.Quelle part de pizza reste-t-il? Quelle part de pizza vous aurez mangé en tout?Réponse:

64

63

64

11

Mangez votre pizza maintenant

Bonne appétit!

Mangez votre pizza maintenant

Bonne appétit!

33

En mangeant une autre pizza, calculez

Réponse après le clic

De quelle manière mangeriez-vous une pizza pour calculer la somme:

10099432 2

1

2

1...

2

1

2

1

2

1

2

1

1002

11

10099432 3

1

3

1...

3

1

3

1

3

1

3

1

Réponse : en invitant une amie à la partager équitablement avec vous; la pizza est coupée en trois, chacun prend un tiers; le reste est coupé en trois, chacun mange un tiers du reste et ainsi de suite. En tout, chacun aura mangé la moitié de la pizza moins la moitié de ce qui reste. La somme cherchée vaut donc

)3

11(

2

1

3

1

2

1

2

1100100

Station 3L’histoire des

mathématiques

1. Le bâton de Gerbert

Vous êtes archéologue. Lors d’une fouille sur un site, vous découvrez un bâton droit d’une longueur égale approximativement à votre taille. À côté, un manuscrit datant du 10e siècle à peu près, vous arrivez à décrypter ce qui y est écrit : Bâton de Gerbert servant à mesurer la hauteur d’édifices. Vous êtes intrigué(e), vous vous demandez comment Gerbert opérait pour mesurer la hauteur d’un édifice avec ce bâton uniquement!

2. La hauteur des pyramides

On raconte que Thalès pouvait mesurer la hauteur d’une pyramide par un moyen ingénieux exploitant l’ombre portée sur le sol de la pyramide. Pouvez-vous découvrir la méthode de Thalès?

Station 4:Quelques démarches

d’enseignement

Qu’est-ce qui caractérise la démarche de recherche dans l’activité

mathématique?

Très schématiquement, les mathématiques, à tous les niveaux, consistent en 45 % d’observation, 45 % de démarche expérimentale et 10 % de démonstration. (Martin Andler,

mathématicien français) Deux types de démarches se distinguent

La démarche expérimentaleLa démarche de modélisation

Qu’est-ce qu’une expérience en mathématiques ?

On peut distinguer plusieurs types d'expériences en mathématiques. Voici quelques exemples.

Arithmétique : calculer numériquement plusieurs chiffres significatifs

après la virgule de l’écriture décimale d’une fraction 1/7 (disons) (expérience).

Observer la suite des chiffres et chercher si des motifs apparaissent ou si, au contraire, le développement semble «au hasard». (1/7 = 0.14285714285714…. . ) (observer l’expérience)

Avec un regard mathématique suffisamment entraîné, l’élève peut apercevoir la régularité et formuler la conjecture que le motif 142857 se répète indéfiniment. (Formuler une conjecture)

L’élève peut tenter de prouver la conjecture. Il peut fonder sa conviction sur le fait que dans l’exécution de l’algorithme de la division de 1 par 7, après avoir obtenu les 6 restes différents possibles, le 7e est égal au premier (1), le 8e va donc être le même que le second, le 9e est identique au troisième et ainsi de suite. (prouver la conjecture)

Qu’est-ce qu’une expérience en mathématiques ?

Géométrie : Dessiner des figures. Par exemple dessiner un triangle

quelconque. Tracer soigneusement les hauteurs issues de chacun des sommets. Constater qu'elles se coupent en un même point. Puis le démontrer (c'est un théorème ancien).

Probabilité fréquentielle : Réaliser une expérience aléatoire. Par exemple, lancer

deux dés et observer le total des points sur les deux faces du dessus.

N.B.: La situation peut-être extra-mathématique, par exemple les diagonales d’un ananas, la relation entre la longueur de la hauteur d’un objet et de son ombre projetée en fonction de l’heure de la journée ; etc.

La démarche expérimentale en mathématiques

Elle comporte plusieurs étapes, qui se répètent éventuellement : (Perrin, 2007)

Expérience

Observation de l’expérience

Formulation de conjectures

Tentative de preuve

Contre-expérience, production éventuelle de contre-exemples

Formulation de nouvelles conjectures

Nouvelles tentative de preuve, etc.

Quelques caractéristiques de la démarche expérimentale en mathématiques

Les objets sur lesquels peut porter une expérience ne sont pas nécessairement matériels, ils peuvent être purement mathématiques.

L’expérience n’est pas source de connaissances (vérités mathématiques), mais de conjectures.

L’expérimentation en mathématiques n’a de sens que par ses articulations avec la formulation et la validation (par la preuve).

Le va-et-vient entre théorie et expérience est précisément ce qui caractérise la démarche expérimentale en mathématiques.

Que la démarche de preuve aboutisse ou non, elle est propice à la construction de connaissances.

Quelques implications pour l’enseignement

Faire vivre les élèves des expériences propices à la formulation de conjectures (avoir l’expérience du triangle, du cercle, des nombres décimaux, …)

Les faire entrer dans des démarches de tentative de preuve

Puiser dans les situations mathématiques et en sciences et technologies

Développer «l’œil mathématique» des élèves

… et leur «langue mathématique»

L’enseignement par problèmes

Problème Exercice

Situation inconnueMéthode inconnue

Création, procédure à inventerAcquisition d’un savoir (concept ou méthode, démarche)Ouverture, autonomisation

Situation connueMéthode déjà acquise

Application, reproduction, exécution

mécaniqueConsolidation d’un savoir, entraînement

Conditionnement

Distinctions entre problème et exercice

Caractéristiques du problème

Un problème ne doit être ni trop facile, ni trop difficile, il doit se situer dans la zone proximale de développement de l’élève. Le rôle de l’enseignante ou de l’enseignant est primordial.

Le problème peut être formulé par les élèves ou par l’enseignante ou l’enseignant. Dans ce dernier cas, l’enseignante ou l’enseignant doit faire émerger le problème chez les élèves.

L’enseignante ou l’enseignant doit déléguer le problème à l’élève. Un problème doit poser problème à l’élève.

Un problème peut être un problème pour un élève et non pour un autre.

Un problème cesse d’être un problème pour l’élève quand celui-ci en a trouvé une solution acceptable, ou quand il ne le perçoit plus comme un problème (par exemple, après que l’enseignant ou un autre élève lui a montré la procédure à suivre).

Les fonctions du problème

Les problèmes peuvent avoir plusieurs formes et plusieurs fonctions :

construire de nouvelles connaissances (situations-problèmes)

et/ou réinvestir des connaissances construites

(problèmes d’applications)

et/ou développer des capacités de recherche

(développer une démarche scientifique).

Les situations-problèmes

Dans la littérature scientifique, les situations-problèmes sont des problèmes particuliers: pour surmonter la difficulté qu’elles renferment, l’élève doit construire le nouveau savoir conceptuel (contenus, démarche), préalablement identifiées par l’enseignant.

Pédagogie du problème

Pédagogie de la réponse

À partir de problèmes À partir de démonstrations

Vise la compréhension pour faciliter ensuite la performance

Vise d’abord la performance pour faciliter ensuite la compréhension

Guide l’élève vers une démarche souple de résolution

Entraîne l’élève à respecter des séquences de consignes et à les appliquer

Caractéristiques d’un enseignement par problèmes

L’enseignement par problèmes s’inscrit dans une pédagogie du problème à distinguer de la pédagogie de la réponse.



La validation des solutions est d’abord sous la responsabilité des élèves

Valide les solutions des élèves

Insiste sur le pourquoi Insiste sur le comment

Considère que le premier rôle de l’enseignant est d’amener les élèves à s’engager cognitivement dans la résolution de bons problèmes.L’enseignant ne connaît pas nécessairement toutes les réponses mais il est capable de les vérifier

Considère que le premier rôle de l’enseignant est de maîtriser les notions fondamentales et d’être capable de les présenter et démontrer clairement en graduant les difficultés



Débute un apprentissage nouveau par des problèmes pratiques desquels sont tirées les techniques et symboles utilisés

Assure d’abord la maîtrise des techniques et les utilise ensuite lors de problèmes d’application

Considère que la résolution de problèmes est le point de départ de la construction des notions

Considère la résolution de problèmes consiste en l’application de formules, définitions et techniques déjà apprises.

La démarche de modélisation

Cette démarche comporte trois grands moments:

1. Plonger du réel dans le monde des mathématiques;

2. Nager dans le monde des mathématiques;

3. Émerger du monde des mathématiques pour revenir dans le réel en étant porteur d’une prévision. (Synge, 1979, p. 331).

Exemples de situations de modélisation

Extrait des travaux du groupe 6 : mathematical modelling and sciences du Forum canadien sur l’enseignement des mathématiques

Vancouver 2009

http://cms.math.ca/Reunions/FCEM2009/reports/wg6-report.pdf



Mathematical Modelling and Science

S1: Balles de caoutchouc

Une usine produit des balles de caoutchouc de différents diamètres et compositions.

On cherche à trouver un indicateur mathématique pour caractériser la qualité de rebondissement de ces balles.

CMEF 2009


S2: verre à café

On cherche à faire un verre à café en carton qui contiendrait 250 ml.

CMEF 2009

Donnez les dimensions d’un tel verre et la surface de carton nécessaire à sa fabrication

R

r


S3: Frettes d’une guitare

n Note Ln (cm)

0 mi 65,5

1 fa 61,9

2 fa # 58,4

3 sol 55,1

4 sol # 52,1

5 la 49,2

6 la # 46,4

7 si 43,8

8 do 41,4

9 do # 39,1

10 ré 36,9

11 ré # 34,8

12 mi 32,8CMEF 2009

L0

L1

L2

L3

L4

Pourquoi les frettes d’une guitare sont-elles plus rapprochées lorsqu’on se dirige vers la caisse de résonance ?


S4: Prédictions des marées

Voici une prédiction des marées (heures et hauteurs des pleines et basses mers) de Bathurst au Nouveau Brunswick, pour le début de mai 2009 (www.marees.gc.ca )

CMEF 2009

Comment pourrait-on utiliser ces « données » pour prédire les marées de la semaine suivante ?

http://www.marees.gc.ca/


S5: Cancer du sein

Quelle est la probabilité pour une femme canadienne de développer un cancer du sein au cours de sa vie ?

Canada Hommes Femmes

Groupes d'âge nombre de personnes (en milliers)

Population totale 32 976,0 16 332,3 16 643,7

Moins de 5 ans 1 740,2 890,7 849,5

5 à 9 ans 1 812,4 927,2 885,2

10 à 14 ans 2 060,5 1 057,1 1 003,4

15 à 19 ans 2 197,7 1 126,2 1 071,6

20 à 24 ans 2 271,6 1 161,8 1 109,9

25 à 29 ans 2 273,3 1 148,5 1 124,7

30 à 34 ans 2 242,0 1 129,6 1 112,5

35 à 39 ans 2 354,6 1 185,1 1 169,5

40 à 44 ans 2 640,1 1 326,4 1 313,7

45 à 49 ans 2 711,6 1 356,4 1 355,2

50 à 54 ans 2 441,3 1 209,6 1 231,7

55 à 59 ans 2 108,8 1 040,5 1 068,3

60 à 64 ans 1 698,6 834,9 863,7

65 à 69 ans 1 274,6 614,5 660,1

70 à 74 ans 1 047,9 492,2 555,7

75 à 79 ans 894,7 398,6 496,1

80 à 84 ans 650,8 257,6 393,2

85 à 89 ans 369,3 125,5 243,7

90 ans et plus 186,2 49,9 136,3

Grouped’âge

Nombre de nouveauxcas au Canada selon l'âge

Nombre de décès au Canadaselon l'âge

0 à 19 ans 5 -

20 à 29 ans 75 5

30 à 39 ans 840 100

40 à 49 ans 3 500 440

50 à 59 ans 6 100 940

60 à 69 ans 5 500 1 050

70 à 79 ans 3 700 1 100

80 ans et + 2 600 1 700

CMEF 2009

Statistique Canada - http://www40.statcan.ca/l02/cst01/demo10a_f.htm

http://www.cancer.ca/Statistiques canadiennes sur le cancer 2008

http://www40.statcan.ca/l02/cst01/demo10a_f.htm

http://www.cancer.ca/

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