Graphes, noyaux et cartes de Kohonen

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Journée FREMIT, Université Toulouse III, Toulouse, France 16 octobre 2007

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  • 1.Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Journe FREMIT Nathalie Villa-Vialaneix Projet I(M+RI)T en collaboration avec T. Dkaki, J.M. Inglebert & S. Gadat Institut de Mathmatiques de Toulouse, France - nathalie.villa@math.univ-toulouse.fr 16 octobre 2007 Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07

2. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Sommaire 1 Les graphes 2 Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 3. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Sommaire 1 Les graphes 2 Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 4. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Graphes et rseaux sociaux (ANRT Graphes-Comp) Graphe construit partir dun corpus darchives mdivales partir de 1000 contrats agraires (1250-1350), on construit un graphe pondr : sommets : les paysans trouvs dans les contrats ; poids : nombre de contrats o deux paysans sont cits simultanment. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 5. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Graphes et rseaux sociaux (ANRT Graphes-Comp) Graphe construit partir dun corpus darchives mdivales partir de 1000 contrats agraires (1250-1350), on construit un graphe pondr : sommets : les paysans trouvs dans les contrats ; poids : nombre de contrats o deux paysans sont cits simultanment. Grand graphe : Nombre de sommets : 615 Nombre dartes : 4193 Somme des poids : 40 329 Diamtre : 10 Densit : 2,2% Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 6. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Autres domaines dapplication Web : Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 7. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Autres domaines dapplication Graphes de protines : Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 8. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Problmatique Deux objectifs : 1 Trouver des sous-groupes homognes (classication) ; 2 Reprsenter le graphe dans sa globalit, de manire lisible (visualisation). Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 9. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Sommaire 1 Les graphes 2 Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 10. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Laplacien dun graphe Pour un graphe de sommets V = {x1, . . . , xn} pondrs par (wi,j)i,j=1,...,n (positifs) tels que, pour tout i, j = 1, . . . , n, wi,j = wj,i et di = n j=1 wi,j on rsume le graphe par son Laplacian, L = (Li,j)i,j=1,...,n : Li,j = wi,j if i j di if i = j ; Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 11. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Proprits du Laplacien I [von Luxburg, 2007] Composantes connexes Le noyau de la matrice L est engendr par les indicatrices IA1 , . . . , IAk des sommets des k composantes connexes du graphe. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 12. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Proprits du Laplacien II [Villa et al., 2007] Communaut parfaite : Sous-graphe complet (clique) dont tous les sommets ont les mmes voisins lextrieur de la clique. Dtermination de communauts parfaites Les communauts parfaites dun graphe non pondr correspondent des groupes de m sommets pour lesquels il existe m vecteurs propres ayant les mmes coordonnes nulles. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 13. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Proprits du Laplacien III [von Luxburg, 2007] Problme de la coupe optimale Supposons maintenant que notre graphe soit connexe. Le problme (optimisation discrte) de trouver une partition du graphe en k groupes de sommets, A1, . . . , Ak qui minimise 1 2 k i=1 jAi,j Ai wj,j est approch par le problme doptimisation continue suivant min HRnk Tr HT LH subject to HT H = I Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 14. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Spectral clustering Mthode 1 Dterminer les k derniers vecteurs propres, u1, . . . , uk de L et poser U = [u1, . . . , uk ] ; 2 Utiliser un algorithme de classification (typiquement k-means) pour classer les lignes de U en k groupes. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 15. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Spectral clustering Mthode 1 Dterminer les k derniers vecteurs propres, u1, . . . , uk de L et poser U = [u1, . . . , uk ] ; 2 Utiliser un algorithme de classification (typiquement k-means) pour classer les lignes de U en k groupes. Limites du spectral clustering Nutilise pas la totalit du spectre de L Ne tient pas compte du poids des vecteurs propres. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 16. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Une version rgularise de L Rgularisation : la matrice de diffusion : pour > 0, K = eL = + k=1 (L)k k! . k : V V R (xi, xj) K i,j noyau de diffusion (ou noyau de la chaleur). Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 17. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Interprtation intuitive k(i, j) peut tre interprte comme lnergie accumule en i lorsque lnergie a t injecte en j au temps 0 et que lnergie circule de manire continue dans les artes du graphe selon une fraction qui dpend de . Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 18. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Noyau de la chaleur et RKHS Principe Graphe Espace de Hilbert de grande dimension (H, ., . ) Dans (H, ., . ), pratiquer un algorithme de classication ou carte de Kohonen (SOM). Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 19. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Resultats pour une grille 7 7 Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 20. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Resultats pour une grille 7 7 Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 21. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM Comparaison avec le Spectral Clustering Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 22. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Sommaire 1 Les graphes 2 Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Laplacien Noyau de la chaleur Kernel SOM 3 Perspectives Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 23. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 24. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 25. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte 2 Gnralisation de la mthode pour les graphes orients, la comparaison de graphes. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 26. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte 2 Gnralisation de la mthode pour les graphes orients, la comparaison de graphes. 3 Travail sur les trs grands graphes. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 27. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References Quelques pistes 1 Visualisation globale du graphe sur la carte 2 Gnralisation de la mthode pour les graphes orients, la comparaison de graphes. 3 Travail sur les trs grands graphes. 4 Application en recherche dinformations, en confrontation de connaissances. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07 28. Les graphes Classication de sommets, noyau et cartes de Kohonen Perspectives References References Villa, N., Boulet, R., Rossi, F. & Jouve, B. (2007). Batch kernel SOM and related Laplacian methods for graph mining. Application to a medieval social network. Neurocomputing. To appear. von Luxburg, U. (2007). A tutorial on spectral clustering. Technical Report TR-149, Max Planck Institut fr biologische Kybernetik. Avaliable at http://www.kyb.mpg.de/publications/ attachments/luxburg06_TR_v2_4139%5B1%5D.pdf. Nathalie Villa FREMIT - 16 oct 07