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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intr anet 1 Cours de graphes Cours de graphes Coloriage de graphes. Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes Problème des 4 couleurs, graphes planaires. planaires. Théorème de Vizing. Théorème de Vizing. Applications. Applications.

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 1

Cours de graphesCours de graphes

Coloriage de graphes.Coloriage de graphes.

Problème des 4 couleurs, graphes Problème des 4 couleurs, graphes planaires.planaires.

Théorème de Vizing.Théorème de Vizing.

Applications.Applications.

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 2

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphes, Coloriage de graphes, graphes graphes planairesplanaires•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 3

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des sommets d’un graphe :Coloriage des sommets d’un graphe :

– Deux voisins ne doivent pas avoir la même Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 4

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des sommets d’un graphe :Coloriage des sommets d’un graphe :

– Deux voisins ne doivent pas avoir la même Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 5

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des sommets d’un graphe :Coloriage des sommets d’un graphe :

– Deux voisins ne doivent pas avoir la même Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Solution avecSolution avec5 couleurs !5 couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 6

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des sommets d’un graphe :Coloriage des sommets d’un graphe :

– Deux voisins ne doivent pas avoir la même Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Mais 2 couleursMais 2 couleurssuffisent !suffisent !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 7

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des sommets d’un graphe :Coloriage des sommets d’un graphe :

– Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !Deux voisins ne doivent pas avoir la même couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

– Le minimum de couleurs nécessaires est le nombre chromatique Le minimum de couleurs nécessaires est le nombre chromatique

d’un graphe G, noté « d’un graphe G, noté «  ( G ) » ( G ) » (lettre grecque chi de (lettre grecque chi de

« «  », qui signifie couleur). », qui signifie couleur).

Mais 2 couleursMais 2 couleurssuffisent !suffisent !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 8

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile !

– Il faut assurer la continuité de services entre Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !émetteurs !

– Les régions de couverture doivent donc se Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer chevaucher, mais ne doivent pas générer

d’interférences !d’interférences !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 9

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile !

– Il faut assurer la continuité de services entre Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !émetteurs !

– Les régions de couverture doivent donc se Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer chevaucher, mais ne doivent pas générer

d’interférences !d’interférences !

– Chaque émetteur offre plusieurs fréquences Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées

par sespar ses voisins !voisins !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 10

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile !

– Il faut assurer la continuité de services entre Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !émetteurs !

– Les régions de couverture doivent donc se Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer chevaucher, mais ne doivent pas générer

d’interférences !d’interférences !

– Chaque émetteur offre plusieurs fréquences Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées

par sespar ses voisins !voisins !

MM

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 11

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile !

– Il faut assurer la continuité de services entre Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !émetteurs !

– Les régions de couverture doivent donc se Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer chevaucher, mais ne doivent pas générer

d’interférences !d’interférences !

– Chaque émetteur offre plusieurs fréquences Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées

par sespar ses voisins !voisins !

MM

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 12

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile !

– Il faut assurer la continuité de services entre Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !émetteurs !

– Les régions de couverture doivent donc se Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer chevaucher, mais ne doivent pas générer

d’interférences !d’interférences !

– Chaque émetteur offre plusieurs fréquences Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées

par sespar ses voisins !voisins !

MM

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 13

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : téléphonie mobile !Application : téléphonie mobile !

– Il faut assurer la continuité de services entre Il faut assurer la continuité de services entre émetteurs !émetteurs !

– Les régions de couverture doivent donc se Les régions de couverture doivent donc se chevaucher, mais ne doivent pas générer chevaucher, mais ne doivent pas générer

d’interférences !d’interférences !

– Chaque émetteur offre plusieurs fréquences Chaque émetteur offre plusieurs fréquences (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées (couleurs) qui sont différentes de celles utilisées

par sespar ses voisins !voisins !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 14

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des arêtes d’un graphe :Coloriage des arêtes d’un graphe :

– Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !la même couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

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Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des arêtes d’un graphe :Coloriage des arêtes d’un graphe :

– Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !la même couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 16

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des arêtes d’un graphe :Coloriage des arêtes d’un graphe :

– Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !la même couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Solution avecSolution avec6 couleurs !6 couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 17

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage des arêtes d’un graphe :Coloriage des arêtes d’un graphe :

– Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir Deux arrêtes adjacentes ne doivent pas avoir la même couleur !la même couleur !

– Il faut minimiser le nombre de couleurs !Il faut minimiser le nombre de couleurs !

Mais 4 couleursMais 4 couleurssuffisent !suffisent !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 18

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : emplois du temps !Application : emplois du temps !

ProfsProfs ElèvesElèves

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 19

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : emplois du temps !Application : emplois du temps !

ProfsProfs ElèvesElèvesOraux !Oraux !

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Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : emplois du temps !Application : emplois du temps !

ProfsProfs ElèvesElèvesOraux !Oraux !

Créneaux horaires sous forme de couleurs !Créneaux horaires sous forme de couleurs !

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Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : emplois du temps !Application : emplois du temps !

ProfsProfs ElèvesElèvesOraux !Oraux !

Créneaux horaires sous forme de couleurs !Créneaux horaires sous forme de couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 22

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : emplois du temps !Application : emplois du temps !

ProfsProfs ElèvesElèvesOraux !Oraux !

Créneaux horaires sous forme de couleurs !Créneaux horaires sous forme de couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 23

Coloriage de graphesColoriage de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Application : emplois du temps !Application : emplois du temps !

ProfsProfs ElèvesElèvesOraux !Oraux !

Créneaux horaires sous forme de couleurs !Créneaux horaires sous forme de couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 24

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL EP R O B L E M EP R O B L E M E

D E SD E SQ U A T R E Q U A T R E

C O U L E U R S ! ! !C O U L E U R S ! ! !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 25

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs

au plus ?au plus ?

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 26

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs

au plus ?au plus ?

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 27

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs

au plus ?au plus ? En termes de graphes !En termes de graphes !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 28

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si En 1852, Francis Guthrie pose la question de savoir si toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs toute mappemonde peut être coloriée avec 4 couleurs

au plus ?au plus ? En termes de graphes !En termes de graphes !

C’est un problème de coloriage des sommets d’un graphe !C’est un problème de coloriage des sommets d’un graphe !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 29

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous devons considérer une partie des graphes Nous devons considérer une partie des graphes planaires !planaires !

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Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous devons considérer une partie des graphes Nous devons considérer une partie des graphes planaires !planaires !

• Un graphe est planaire s’il peutUn graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sansêtre dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent !que des arêtes ne se croisent !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 31

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous devons considérer une partie des graphes Nous devons considérer une partie des graphes planaires !planaires !

• Un graphe est planaire s’il peutUn graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sansêtre dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent !que des arêtes ne se croisent !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 32

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous devons considérer une partie des graphes Nous devons considérer une partie des graphes planaires !planaires !

• Un graphe est planaire s’il peutUn graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sansêtre dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent !que des arêtes ne se croisent !

• La famille à analyser est difficile à caractériser ! On La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !attendre un siècle !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 33

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires !

• Un graphe est planaire s’il peutUn graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sansêtre dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent !que des arêtes ne se croisent !

• La famille à analyser est difficile à caractériser ! On La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !un siècle !

• En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener àon a pu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à 633 cas à étudier.étudier.

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Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires !

• Un graphe est planaire s’il peutUn graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sansêtre dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent !que des arêtes ne se croisent !

• La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !

• En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener àpu simplifier le programme et se ramener à 633 cas à étudier.633 cas à étudier.

• Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 35

Le problème des 4 couleursLe problème des 4 couleurs----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous devons considérer une partie des graphes planaires !Nous devons considérer une partie des graphes planaires !

• Un graphe est planaire s’il peutUn graphe est planaire s’il peut

être dessiné dans le plan sansêtre dessiné dans le plan sans que des arêtes ne se croisent !que des arêtes ne se croisent !

• La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que La famille à analyser est difficile à caractériser ! On démontre vite que 5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !5 couleurs suffisent, puis il faut attendre un siècle !

• En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant En 1976, Appel & Haken prouvent que 4 couleurs suffisent, en étudiant 1476 graphes critiques par ordinateur !1476 graphes critiques par ordinateur ! Depuis, on a pu simplifier le Depuis, on a pu simplifier le programme et se ramener àprogramme et se ramener à 633 cas à étudier.633 cas à étudier.

• Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???Question chez les matheux : La preuve est-elle acceptable ???

• On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) !On peut construire un 4-coloriage en temps O ( | V |^2 ) !

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Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L E SL E S

G R A P H E SG R A P H E S

P L A N A I R E S ! ! !P L A N A I R E S ! ! !

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Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

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Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 39

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 40

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 41

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 42

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

NON, il y auraNON, il y auratoujours untoujours unproblème pourproblème pourune arête !une arête !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 43

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

NON, il y auraNON, il y auratoujours untoujours unproblème pourproblème pourune arête !une arête !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 44

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

NON, il y auraNON, il y auratoujours untoujours unproblème pourproblème pourune arête !une arête !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 45

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

NON, il y auraNON, il y auratoujours untoujours unproblème pourproblème pourune arête !une arête !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 46

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

• Est-ce que ce graphe est planaire ?Est-ce que ce graphe est planaire ?

OUI !OUI !

NON, il y auraNON, il y auratoujours untoujours unproblème pourproblème pourune arête !une arête !

C’est le graphe bi-partiC’est le graphe bi-particomplet 3 – 3 : K !complet 3 – 3 : K !

3,33,3

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 47

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !! 55

En construction !En construction !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 48

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !! 55

En construction !En construction !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 49

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !! 55

En construction !En construction !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 50

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !! 55

En construction !En construction !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 51

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !! 55

Le voilà !Le voilà !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 52

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire Le graphe complet à 5 sommets, K , n’est pas planaire !! 55

Le voilà !Le voilà !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 53

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de degré 2 !degré 2 !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 54

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de degré 2 !degré 2 !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 55

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être Deux graphes sont homéomorphes si l’un peut être obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de obtenu à partir l’autre par insertion de sommets de degré 2 !degré 2 !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 56

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème (Kuratowski, 1930) :Théorème (Kuratowski, 1930) :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K !ou à K ! 553,33,3

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 57

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème (Kuratowski, 1930) :Théorème (Kuratowski, 1930) :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K !ou à K ! 553,33,3

PlanairePlanaireou non ?ou non ?

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 58

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème (Kuratowski, 1930) :Théorème (Kuratowski, 1930) :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe homéomorphe à K contient pas de sous-graphe homéomorphe à K ou à K !ou à K ! 553,33,3

PlanairePlanaireou non ?ou non ?

NON !NON !

KK3,33,3

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 59

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :façon suivante :

GG

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 60

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :façon suivante :

GG G’G’

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 61

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :façon suivante :

GG G’G’

GG

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 62

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la Un graphe G peut se contracter en un graphe G’ de la façon suivante :façon suivante :

GG G’G’

GG G’G’

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 63

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème :Théorème :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! ou vers K ! 553,33,3

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 64

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème :Théorème :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! ou vers K ! 553,33,3

PlanairePlanaireou non ?ou non ?

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 65

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème :Théorème :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! ou vers K ! 553,33,3

PlanairePlanaireou non ?ou non ?

Sous-graphe !Sous-graphe !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 66

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème :Théorème :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! ou vers K ! 553,33,3

PlanairePlanaireou non ?ou non ?

Sous-graphe !Sous-graphe !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 67

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème :Théorème :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! ou vers K ! 553,33,3

PlanairePlanaireou non ?ou non ?

Sous-graphe !Sous-graphe !

Contraction !Contraction !

Page 68: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 68

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Théorème :Théorème :

– Un graphe est planaire si et seulement s’il ne Un graphe est planaire si et seulement s’il ne contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K contient pas de sous-graphe qui se contracte vers K ou vers K ! ou vers K ! 553,33,3

PlanairePlanaireou non ?ou non ?

Sous-graphe !Sous-graphe !

NON !NON !

KK3,33,3

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 69

Les graphes planairesLes graphes planaires----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Attention :Attention :

– Nous n’avons pas encore dit comment il faut Nous n’avons pas encore dit comment il faut faire concrètement pour trouver une faire concrètement pour trouver une représentation planaire d’un graphe qui l’est !représentation planaire d’un graphe qui l’est !

• Applications :Applications :

– Organisation de circuits électroniques !Organisation de circuits électroniques !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 70

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C O L O R I A G EC O L O R I A G E

D E SD E S

S O M M E T S ! ! !S O M M E T S ! ! !

Page 71: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 71

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Page 72: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 72

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Une clique est un sous-ensembleUne clique est un sous-ensemblede sommets qui sont voisins 2 à 2.de sommets qui sont voisins 2 à 2.

Page 73: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 73

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Une clique est un sous-ensembleUne clique est un sous-ensemblede sommets qui sont voisins 2 à 2.de sommets qui sont voisins 2 à 2.

Les sommets d’une clique doiventLes sommets d’une clique doiventtous avoir des couleurs différentes !tous avoir des couleurs différentes !

Page 74: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 74

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Une clique est un sous-ensembleUne clique est un sous-ensemblede sommets qui sont voisins 2 à 2.de sommets qui sont voisins 2 à 2.

Les sommets d’une clique doiventLes sommets d’une clique doiventtous avoir des couleurs différentes !tous avoir des couleurs différentes !

Le nombre chromatique du grapheLe nombre chromatique du grapheest au moins aussi grand que laest au moins aussi grand que lataille de la plus grande clique !taille de la plus grande clique !

Page 75: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 75

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Il est clair que D ( G ) + 1Il est clair que D ( G ) + 1couleurs suffisent !couleurs suffisent !

Nous pouvons trouver uneNous pouvons trouver une couleur pour tout sommet, couleur pour tout sommet,

même si tous ses voisins ontmême si tous ses voisins ont déjà des couleurs et quedéjà des couleurs et quecelles-ci sont toutes différentes !celles-ci sont toutes différentes !

Page 76: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 76

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

Page 77: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 77

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

== ==

Page 78: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 78

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

== ==

Page 79: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 79

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

== <<<<

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 80

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

== <<<<

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 81

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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Page 82: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 82

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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En construction !En construction !

Page 83: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 83

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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En construction !En construction !

Page 84: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 84

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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En construction !En construction !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 85

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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Le voilà !Le voilà !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 86

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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Le voilà !Le voilà !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 87

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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Le voilà !Le voilà !

Page 88: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 88

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

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Le voilà !Le voilà !

Page 89: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 89

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

taille_clique_max ( G ) <= taille_clique_max ( G ) <= ( G ) <= D ( G ) + 1 ( G ) <= D ( G ) + 1

Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !Montrons que cet encadrement ne peut pas être amélioré !

<< ==

Le voilà !Le voilà !

Page 90: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 90

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La question de savoir siLa question de savoir si

un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au plusplus

est NPest NP--complète ! ! ! complète ! ! !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 91

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La question de savoir siLa question de savoir si

un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au un graphe « G » peut être colorié à l’aide de « k » couleurs au plusplus

est NPest NP--complète ! ! ! complète ! ! !

• Le problème deLe problème de

minimiser le nombre de couleurs pour colorier un graphe « G »minimiser le nombre de couleurs pour colorier un graphe « G »

est NPest NP--difficile ! ! ! difficile ! ! !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 92

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Une minimisation locale veut que « u » soit « Une minimisation locale veut que « u » soit « rougerouge » ! ! ! » ! ! !

uu

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 93

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Une minimisation locale veut que « u » soit « Une minimisation locale veut que « u » soit « rougerouge » ! ! ! » ! ! !

uu

Page 94: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 94

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Une minimisation locale veut que « u » soit « Une minimisation locale veut que « u » soit « rougerouge » ! ! ! » ! ! !

uu

Page 95: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 95

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Une minimisation locale veut que « u » soit « Une minimisation locale veut que « u » soit « rougerouge » ! ! ! » ! ! !

uu

Page 96: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 96

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Une minimisation locale veut que « u » soit « Une minimisation locale veut que « u » soit « rougerouge » ! ! ! » ! ! !

uu5 couleurs !5 couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 97

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleubleu » ! ! ! » ! ! !

uu

Page 98: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 98

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleubleu » ! ! ! » ! ! !

uu

Page 99: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 99

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleubleu » ! ! ! » ! ! !

uu3 couleurs !3 couleurs !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 100

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Une politique locale ne convient pas !Une politique locale ne convient pas !

– Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !Soit le cas ci-dessous, avec un choix à faire pour « u » !

– Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « Il fallait une nouvelle couleur pour « u » : « bleubleu » ! ! ! » ! ! !

uu3 couleurs !3 couleurs !

Page 101: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 101

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Principe d’une énumération complète !Principe d’une énumération complète !

– Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début !début !

– Certains sommets ont déjà des couleurs !Certains sommets ont déjà des couleurs !

– « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !« C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !

Page 102: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 102

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Principe d’une énumération complète !Principe d’une énumération complète !

– Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début !début !

– Certains sommets ont déjà des couleurs !Certains sommets ont déjà des couleurs !

– « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !« C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !

• Nous back-trackons pour un sommet « u » enNous back-trackons pour un sommet « u » en

– explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins,qui ne sont pas prises par un de ses voisins,

Page 103: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 103

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Principe d’une énumération complète !Principe d’une énumération complète !

– Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au Nous avons une solution avec « m » couleurs, D( G ) + 1 au début !début !

– Certains sommets ont déjà des couleurs !Certains sommets ont déjà des couleurs !

– « C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !« C » est l’ensemble des couleurs déjà utilisées !

• Nous back-trackons pour un sommet « u » enNous back-trackons pour un sommet « u » en

– explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » explorant pour « u » le choix de toutes les couleurs de « C » qui ne sont pas prises par un de ses voisins,qui ne sont pas prises par un de ses voisins,

– en attribuant une nouvelle couleur à « u », à moins que ceci ne en attribuant une nouvelle couleur à « u », à moins que ceci ne nous amène à utiliser plus que « m » couleurs !nous amène à utiliser plus que « m » couleurs !

Page 104: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 104

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Heuristique de coloriage !Heuristique de coloriage !

– Nous renonçons à la solution optimale et nous nous Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une contentons d’une solution pas trop mauvaisesolution pas trop mauvaise trouvée de trouvée de manière gloutonne !manière gloutonne !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 105

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Heuristique de coloriage !Heuristique de coloriage !

– Nous renonçons à la solution optimale et nous nous Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une contentons d’une solution pas trop mauvaisesolution pas trop mauvaise trouvée de trouvée de manière gloutonne !manière gloutonne !

• Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :

– aléatoire,aléatoire,– plus grand degré d’abord,plus grand degré d’abord,– plus au centre d’abord,plus au centre d’abord,– . . .. . .

Page 106: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 106

Coloriage des sommetsColoriage des sommets----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Heuristique de coloriage !Heuristique de coloriage !

– Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une Nous renonçons à la solution optimale et nous nous contentons d’une solution pas trop mauvaisesolution pas trop mauvaise trouvée de manière gloutonne ! trouvée de manière gloutonne !

• Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :Nous considérons les sommets dans un ordre pré-défini :

– aléatoire,aléatoire,– plus grand degré d’abord,plus grand degré d’abord,– plus au centre d’abord,plus au centre d’abord,– . . .. . .

• Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur Le sommet va rejoindre un ensemble de sommets de la même couleur que lui, si c’est possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) :que lui, si c’est possible (sinon, nous créons une nouvelle couleur) :

– aléatoire,aléatoire,– l’ensemble le plus grand ( largest independent set ),l’ensemble le plus grand ( largest independent set ),– l’ensemble le plus petit ( utilisation équilibrée des couleurs),l’ensemble le plus petit ( utilisation équilibrée des couleurs),– . . .. . .

Page 107: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 107

Graphes bi-partisGraphes bi-partis----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

G R A P H E SG R A P H E S

B I – P A R T I S ! ! !B I – P A R T I S ! ! !

Page 108: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 108

Graphes bi-partisGraphes bi-partis----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être

coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !

Page 109: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 109

Graphes bi-partisGraphes bi-partis----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être

coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !

Aucun sommet n’est relié à unAucun sommet n’est relié à unautre sommet de même couleur !autre sommet de même couleur !

Page 110: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 110

Graphes bi-partisGraphes bi-partis----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être

coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !

• Les arbres sont des graphes bi-partis !Les arbres sont des graphes bi-partis !

Aucun sommet n’est relié à unAucun sommet n’est relié à unautre sommet de même couleur !autre sommet de même couleur !

Page 111: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 111

Graphes bi-partisGraphes bi-partis----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être

coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !coloriés à l’aide de deux couleurs seulement !

• Les arbres sont des graphes bi-partis !Les arbres sont des graphes bi-partis !

Aucun sommet n’est relié à unAucun sommet n’est relié à unautre sommet de même couleur !autre sommet de même couleur !

Page 112: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 112

Graphes bi-partisGraphes bi-partis----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide Un graphe est bi-parti si ses sommets peuvent être coloriés à l’aide

de deux couleurs seulement !de deux couleurs seulement !

• Les arbres sont des graphes bi-partis !Les arbres sont des graphes bi-partis !

• Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses Théorème ( TD ) : Un graphe est bi-parti si et seulement si tous ses

cycles sont de longueurs paires !cycles sont de longueurs paires !

Aucun sommet n’est relié à unAucun sommet n’est relié à unautre sommet de même couleur !autre sommet de même couleur !

Page 113: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 113

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C O L O R I A G EC O L O R I A G E

D E SD E S

A R E T E S ! ! !A R E T E S ! ! !

Page 114: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 114

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs !

– Il faut au moins D ( G ) couleurs !Il faut au moins D ( G ) couleurs !– En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) »

voisins !voisins !

Page 115: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 115

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs !

– Il faut au moins D ( G ) couleurs !Il faut au moins D ( G ) couleurs !– En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) »

voisins !voisins !

• Maximisation des couleurs !Maximisation des couleurs !

– D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !– Théorème de Vizing (1964) !Théorème de Vizing (1964) ! – L’algorithme de coloriage est en L’algorithme de coloriage est en ( | E | ) !( | E | ) !

Page 116: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 116

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs !

– Il faut au moins D ( G ) couleurs !Il faut au moins D ( G ) couleurs !– En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) »

voisins !voisins !

• Maximisation des couleurs !Maximisation des couleurs !

– D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !– Théorème de Vizing (1964) !Théorème de Vizing (1964) ! – L’algorithme de coloriage est en L’algorithme de coloriage est en ( | E | ) !( | E | ) !

Page 117: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 117

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Minimisation des couleurs !Minimisation des couleurs !

– Il faut au moins D ( G ) couleurs !Il faut au moins D ( G ) couleurs !– En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) » En effet, il existe un sommet dans « G » avec « D( G ) »

voisins !voisins !

• Maximisation des couleurs !Maximisation des couleurs !

– D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !D ( G ) + 1 couleurs suffisent ! ! !– Théorème de Vizing (1964) !Théorème de Vizing (1964) ! – L’algorithme de coloriage est en L’algorithme de coloriage est en ( | E | ) !( | E | ) !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 118

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

T H E O R E M ET H E O R E M E

D ED E

V I Z I N G ! ! !V I Z I N G ! ! !

Page 119: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 119

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !couleurs ! mm11

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 120

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !couleurs !

• L’hypothèse :L’hypothèse :

– G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !

mm11

11ii--11 ii--11

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 121

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !couleurs !

• L’hypothèse :L’hypothèse :

– G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !

• Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !

mm11

11ii--11 ii--11

iiii

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 122

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 Coloriage de G = ( V , { e , . . . , e } ) avec D( G ) + 1 couleurs !couleurs !

• L’hypothèse :L’hypothèse :

– G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !G = ( V , { e , . . . , e } ) est colorié !

• Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !Nous étendons ce coloriage vers G en coloriant e !

• Notation :Notation :

– Abs( u ) est l’ensemble des couleurs absentes du sommet « u » !Abs( u ) est l’ensemble des couleurs absentes du sommet « u » !

– Abs( u ) n’est jamais vide ! ! !Abs( u ) n’est jamais vide ! ! !

mm11

11ii--11 ii--11

iiii

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 123

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Soit e = ( v , w ) !Soit e = ( v , w ) !ii 11

vv

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11

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 124

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Soit e = ( v , w ) !Soit e = ( v , w ) !

• Premier cas, favorable :Premier cas, favorable :

– Il existe une couleur « c » avec c Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w Abs( v ) Abs( w ) !) !

– Utilisons donc cette couleur ! ! !Utilisons donc cette couleur ! ! !

ii 11

11

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 125

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Soit e = ( v , w ) !Soit e = ( v , w ) !

• Premier cas, favorable :Premier cas, favorable :

– Il existe une couleur « c » avec c Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w Abs( v ) Abs( w ) !) !

– Utilisons donc cette couleur ! ! !Utilisons donc cette couleur ! ! !

• Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable :

– Abs( v ) Abs( w ) est vide !Abs( v ) Abs( w ) est vide !

ii 11

11

vv

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 126

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Soit e = ( v , w ) !Soit e = ( v , w ) !

• Premier cas, favorable :Premier cas, favorable :

– Il existe une couleur « c » avec c Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w Abs( v ) Abs( w ) !) !

– Utilisons donc cette couleur ! ! !Utilisons donc cette couleur ! ! !

• Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable :

– Abs( v ) Abs( w ) est vide !Abs( v ) Abs( w ) est vide !– Soit c Soit c Abs( v ) ! Abs( v ) !

ii 11

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 127

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Soit e = ( v , w ) !Soit e = ( v , w ) !

• Premier cas, favorable :Premier cas, favorable :

– Il existe une couleur « c » avec c Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( v ) Abs( w ) !Abs( w ) !

– Utilisons donc cette couleur ! ! !Utilisons donc cette couleur ! ! !

• Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable :

– Abs( v ) Abs( w ) est vide !Abs( v ) Abs( w ) est vide !– Soit c Soit c Abs( v ) ! Abs( v ) ! – Donc, c Donc, c Abs ( w ) ! Abs ( w ) !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 128

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Soit e = ( v , w ) !Soit e = ( v , w ) !

• Premier cas, favorable :Premier cas, favorable :

– Il existe une couleur « c » avec c Il existe une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( w ) ! Abs( v ) Abs( w ) !– Utilisons donc cette couleur ! ! !Utilisons donc cette couleur ! ! !

• Deuxième cas, défavorable :Deuxième cas, défavorable :

– Abs( v ) Abs( w ) est vide !Abs( v ) Abs( w ) est vide !– Soit c Soit c Abs( v ) ! Abs( v ) ! – Donc, c Donc, c Abs ( w ) ! Abs ( w ) ! – Il existe v tel que ( v , w )Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c !ait la couleur c !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 129

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire ? ? ?Que faire ? ? ? vv

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cc 11??

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 130

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire ? ? ?Que faire ? ? ?

• Nous essayons deNous essayons de

– trouver une couleur « c » avec c trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( v ) Abs( w ) !Abs( w ) !

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Page 131: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 131

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire ? ? ?Que faire ? ? ?

• Nous essayons deNous essayons de

– trouver une couleur « c » avec c trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( v ) Abs( w ) !Abs( w ) !

– Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !

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11Sans cSans c11 vv

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 132

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire ? ? ?Que faire ? ? ?

• Nous essayons deNous essayons de

– trouver une couleur « c » avec c trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( v ) Abs( w ) !Abs( w ) !

– Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! – c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 133

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire ? ? ?Que faire ? ? ?

• Nous essayons deNous essayons de

– trouver une couleur « c » avec c trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( v ) Abs( w ) !Abs( w ) !

– Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! – c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 134

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire ? ? ?Que faire ? ? ?

• Nous essayons deNous essayons de

– trouver une couleur « c » avec c trouver une couleur « c » avec c Abs( v ) Abs( v ) Abs( w ) !Abs( w ) !

– Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! !Nous utilisons cette couleur à la place de c ! ! ! – c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !c peut être utilisée pour ( v , w ) ! ! !

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cc

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 135

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire siQue faire si

– Abs( v ) Abs( w ) est vide ?Abs( v ) Abs( w ) est vide ?22

vvvv

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11Sans cSans c11 vv

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cc 11??

Page 136: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 136

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire siQue faire si

– Abs( v ) Abs( w ) est vide ?Abs( v ) Abs( w ) est vide ?– Soit c Soit c Abs( v ) ! Abs( v ) !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 137

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire siQue faire si

– Abs( v ) Abs( w ) est vide ?Abs( v ) Abs( w ) est vide ?– Soit c Soit c Abs( v ) ! Abs( v ) ! – Donc, c Donc, c Abs ( w ) ! Abs ( w ) ! – Il existe v tel que ( v , w )Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c !ait la couleur c !

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Page 138: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 138

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire siQue faire si

– Abs( v ) Abs( w ) est vide ?Abs( v ) Abs( w ) est vide ?– Soit c Soit c Abs( v ) ! Abs( v ) ! – Donc, c Donc, c Abs ( w ) ! Abs ( w ) ! – Il existe v tel que ( v , w )Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c !ait la couleur c !

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Nous cherchons . . .Nous cherchons . . .

Page 139: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 139

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Que faire siQue faire si

– Abs( v ) Abs( w ) est vide ?Abs( v ) Abs( w ) est vide ?– Soit c Soit c Abs( v ) ! Abs( v ) ! – Donc, c Donc, c Abs ( w ) ! Abs ( w ) ! – Il existe v tel que ( v , w )Il existe v tel que ( v , w ) ait la couleur c !ait la couleur c !

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Sans cSans c22

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Nous cherchons . . .Nous cherchons . . .

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 140

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La pire des situations . . .La pire des situations . . .

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11Sans cSans c11

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 141

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La pire des situations . . .La pire des situations . . .

vv

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11Sans cSans c11 vv

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cc 11??

Sans cSans c22

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 142

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La pire des situations . . .La pire des situations . . .

vv

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11Sans cSans c11 vv

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 143

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La pire des situations . . .La pire des situations . . .

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 144

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La pire des situations . . .La pire des situations . . .

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Page 145: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 145

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La pire des situations . . .La pire des situations . . .

vv

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11Sans cSans c11 vv

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Page 146: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 146

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La pire des situations . . .La pire des situations . . .

vv

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11Sans cSans c11 vv

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Page 147: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 147

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 148

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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( C1 ) : 1 <= j <= h( C1 ) : 1 <= j <= h--1 :1 :

c c Abs( v ) et Abs( v ) et ( v , w ) de couleur c( v , w ) de couleur c

jj jj

jjj+1j+1

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 149

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

vv

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Sans cSans c22

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cc 33

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cc 22

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( C1 ) : 1 <= j <= h( C1 ) : 1 <= j <= h--1 :1 :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 150

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 151

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

vv

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 152

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 153

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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( C2 ) : 1 <= j <= h( C2 ) : 1 <= j <= h--1 :1 :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 154

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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( C2 ) : 1 <= j <= h( C2 ) : 1 <= j <= h--1 :1 :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 155

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 156

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs Pour v , . . . , v et c , . . . , c couleurs différentes :différentes :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 157

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 )

et il existera v tel que . . .et il existera v tel que . . . hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 158

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 )

et il existera v tel que . . .et il existera v tel que . . .

• Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou

( C3 ) ne seront plus vérifiées !( C3 ) ne seront plus vérifiées !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 159

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 )

et il existera v tel que . . .et il existera v tel que . . .

• Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou

( C3 ) ne seront plus vérifiées !( C3 ) ne seront plus vérifiées !

• Cas A, la négation de ( C2 ), facile :Cas A, la négation de ( C2 ), facile :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 160

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 )

et il existera v tel que . . .et il existera v tel que . . .

• Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou

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• Cas A, la négation de ( C2 ), facile :Cas A, la négation de ( C2 ), facile :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 161

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 ) Si v vérifie ( C2 ) et ( C3 ), nous aurons aussi ( C1 )

et il existera v tel que . . .et il existera v tel que . . .

• Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou Or, l’arité des v est bornée et, tôt ou tard, ( C2 ) ou

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 162

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hhss

Page 163: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 163

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 164

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 165

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Pas d’arêtePas d’arêterouge !rouge !

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Soit P = { v , u , . . . , u } le chemin le plus longSoit P = { v , u , . . . , u } le chemin le plus long

constitué d’arêtes de couleurs c et c !constitué d’arêtes de couleurs c et c ! ss 11 tt

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 166

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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constitué d’arêtes de couleurs c et c !constitué d’arêtes de couleurs c et c ! ss 11 tt

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 167

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Page 168: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 168

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 169

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 170

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 171

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Page 172: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 172

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Pas d’arêtePas d’arêterouge !rouge !

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( Cas ( Cas ) )

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 173

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Pas d’arêtePas d’arêterouge !rouge !

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( Cas ( Cas ) )

Notons que u peutNotons que u peutêtre égal à v .être égal à v .

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 174

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Notons que u peutNotons que u peutêtre égal à v .être égal à v .

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 175

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Echangeons les couleurs c et c le long de P !Echangeons les couleurs c et c le long de P !00 ss( Cas ( Cas ) )

Notons que u peutNotons que u peutêtre égal à v .être égal à v .

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 176

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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( Cas ( Cas ) )

Notons que u peutNotons que u peutêtre égal à v .être égal à v .

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 177

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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( Cas ( Cas ) )

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 178

v = uv = us+1 ts+1 t--11

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 179

v = uv = us+1 ts+1 t--11

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 180

v = uv = us+1 ts+1 t--11

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 181

v = uv = us+1 ts+1 t--11

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

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Page 182: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 182

v = uv = us+1 ts+1 t--11

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

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Maintenant, w = u’ et nous avons le cas Maintenant, w = u’ et nous avons le cas ! !t’t’//

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Page 183: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 183

v = uv = us+1 ts+1 t--11

Coloriage des arêtesColoriage des arêtes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :Cas B, la négation de ( C3 ), plus difficile :

– Il existe c , 1 <= s < hIl existe c , 1 <= s < h--1 , telle que c 1 , telle que c Abs( v ) Abs( v )ss hh

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Maintenant, w = u’ et nous avons le cas Maintenant, w = u’ et nous avons le cas ! !t’t’//

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Pas d’arêtePas d’arêterouge !rouge !

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21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 184

SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Coloriage de graphes.Coloriage de graphes.

• Problème des 4 couleurs, graphes Problème des 4 couleurs, graphes planaires.planaires.

• Théorème de Vizing.Théorème de Vizing.

• Applications.Applications.

Page 185: 21 mars 2006Cours de graphes 5 - Intranet1 Cours de graphes Coloriage de graphes. Problème des 4 couleurs, graphes planaires. Théorème de Vizing. Applications.

21 mars 2006 Cours de graphes 5 - Intranet 185

m E r C i e Tm E r C i e Tb O n N e J o U r N é b O n N e J o U r N é

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