exponentielles et logarithmesprofdecamps.e-monsite.com/medias/files/6m4-chapitre1-exp...Institut...

Institut Montjoie

Mathématique 6ème année

M. Decamps

exponentielles et

logarithmes

A la Renaissance, le développement de l’astronomie, du commerce et de la navigation fait

émerger de nouveaux groupes, tels que les celui des astronomes-astrologues, qui génèrent au cours

des XVIe et XVIIe siècles, une somme considérable d’œuvres, d’idées et de techniques nouvelles sur

lesquelles la société va s’appuyer, et la science classique se construire.

L’invention des logarithmes découle du besoin

qu’ont les astronomes, les commerçants ou encore les

navigateurs de disposer de méthodes de calcul simples pour

effectuer des multiplications, des divisions, ou extraire des

racines. C’est dans ce contexte qu’en 1614, John Neper crée

des tables de calcul utilisant les logarithmes (dont la

couverture est reproduite à gauche). Il n’imaginait pas

créer de nouvelles fonctions, mais seulement une méthode

pour calculer des produits en effectuant des sommes. Ce

type de tables a été utilisé pendant plus de 300 ans, jusqu’à

la deuxième moitié du XXe siècle, quand des calculatrices

performantes sont devenues accessibles au grand public.

La notion de fonction et le lien entre les

exponentielles et les logarithmes n’apparaissent qu’à la fin

du XVIIe siècle. Les exponentielles et les logarithmes

dépasseront largement le cadre des calculs numériques

imaginés par Neper pour s’imposer comme des notions

fondamentales de l’analyse mathématique.

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus

particulièrement à cette nature fonctionnelle et aux utilisations pratiques des exponentielles et des

logarithmes.

Institut Montjoie


M. Decamps

1.1 Rappel : les puissances

Pour tout réel 𝑎, et pour tous naturels 𝑛, 𝑝 et 𝑞.

𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

avec 𝑎 > 0, par exemple :

𝑎−𝑛 = 1𝑎𝑛 𝑎

𝑝𝑞 = √𝑎𝑝𝑞

30 = 1

31 = 3 3-1 = 1/3 31/2 = √ 3 ≈ 1,73

32 = 9 3-2 = 1/9 32/3 = √323 ≈ 2,08

33 = 27 3-3 = 1/27 3-1/2 = 1/√ 3 ≈ 0,58

avec 𝑎 < 0, par exemple :

(-3)0 = 1

(-3)1 = -3 (-3)-1 = -1/3 (-3)1/2 = √−3

(-3)2 = 9 (-3)-2 = 1/9 racine carrée d’un nombre négatif : ne fait pas

partie de l’ensemble ℝ

(-3)3 = -27 (-3)-3 = -1/27 (-27)1/3= √−273 = −3

On remarque que si 𝑎 < 0, certaines puissances fractionnaires ne peuvent pas être calculées.

Le résultat est toujours positif si 𝑎 est positif, et le résultat peut être négatif ou positif si 𝑎 est

négatif.

On peut étendre les définitions du début du paragraphe à tout exposant 𝑛, 𝑝 et 𝑞 réel.

Pour tous réels strictement positifs 𝑥, 𝑦 et pour tous réels 𝑝 et 𝑞, on a les propriétés suivantes:

𝑥𝑝. 𝑥𝑞 = 𝑥𝑝+𝑞

𝑥𝑝𝑥𝑞 = 𝑥𝑝−𝑞

(𝑥. 𝑦)𝑝 = 𝑥𝑝. 𝑦𝑝

(𝑥𝑦)

𝑝= 𝑥𝑝

𝑦𝑝

(𝑥𝑝)𝑞 = 𝑥𝑝.𝑞

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 21

1.3 Synthèse

1.3.1 Fonction exponentielle

1.3.1.1 Définitions

Le réel dont on calcule la puissance est appelé base et est noté 𝑎.

• 𝑎 > 0

• 𝑎 ≠ 0 car 0𝑥 = 0 ∀𝑥 : fonction constante

• 𝑎 ≠ 1 car 1𝑥 = 1 ∀𝑥 : fonction constante

La fonction 𝑎𝑥 : ℝ → ℝ0+ : 𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑥 est appelée fonction exponentielle en base 𝑎

1.3.1.2 Propriétés et graphes

Avec 𝑎 > 1

Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la

fonction exponentielle en

base 2:

𝑓: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥

Propriétés :

• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

• 𝐼𝑚 𝑎𝑥 = ℝ0+

• les points (0,1) et

(1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥

• le graphe admet une asymptote horizontale à gauche en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim𝑥→−∞ 𝑎𝑥 = 0

• lim𝑥→+∞ 𝑎𝑥 = +∞

• la fonction est croissante

Avec 0 < 𝑎 < 1

Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la

fonction exponentielle en

base 12 :

𝑔: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = (12)

𝑥

Propriétés :

• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

• 𝐼𝑚 𝑎𝑥 = ℝ0+

• les points (0,1) et (1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥

• le graphe admet une asymptote horizontale à droite en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim𝑥→+∞ 𝑎𝑥 = 0

• lim𝑥→−∞ 𝑎𝑥 = +∞

• la fonction est décroissante

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 24

1.3.3 Fonction logarithme

La fonction 𝑎𝑥 : ℝ0+ → ℝ : 𝑥 → 𝑦 = log𝑎 𝑥 est appelée fonction logarithme en base 𝑎.

Elle est définie comme étant la réciproque de la fonction exponentielle en base 𝑎, c’est-à-dire :

𝑦 = log𝑎 𝑥

⇔ 𝑥 = 𝑎𝑦

𝐥𝐨𝐠𝒂𝐱 est donc l’exposant qu’il faut mettre à 𝒂 pour obtenir 𝒙, c’est-à-dire :

𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 = 𝒙

Avec 𝑎 > 1

Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la fonction

logarithme en base 2:

𝑓: ℝ0+ → ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log2 𝑥

Application numérique:

• log22 = 𝟏 car 2𝟏 = 2

• log212 = −𝟏 car 2−𝟏 = 1

2

• log28 = 𝟑 car 2𝟑 = 8

• log2 √645 = 𝟔𝟓 car 2𝟔

𝟓 = √265

Avec 0 < 𝑎 < 1 Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la fonction

logarithme en base 12 :

𝑔: ℝ0+ → ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log12 𝑥

Application numérique :

• log122 = −𝟏 car (1

2)−𝟏 = 2

• log12

1√8 = 𝟑

𝟐 car (12)

𝟑𝟐 = 1

√8

• log1264 = −𝟔 car (1

2)−𝟔 = ((1

2)−1)6

= (2)6 = 64

Propriétés

• 𝐷𝑜𝑚 log𝑎 𝑥 = ℝ0+

• 𝐼𝑚 log𝑎 𝑥 = ℝ

• les points (1,0) et

(𝑎, 1)appartiennent au graphe de

log𝑎 𝑥

• le graphe admet une asymptote

verticale en 𝑥 = 0, c’est-à-dire

lim𝑥→0 log𝑎 𝑥 = ±∞

• lim𝑥→+∞ log𝑎 𝑥 = ±∞

• Pour 𝑎 > 1, la fonction est

croissante. Si 𝑎 > 0 et 𝑎 < 1, la

fonction est décroissante

x y

1/4 2

1/2 1

1 0

2 -1

4 -2

log1/2x

1/2; 1

1; 0

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

x

y

x y

1/4 -2

1/2 -1

1 0

2 1

4 2

log2x

1; 0

2; 1

-2

-1

0

1

2

3

0 1 2 3 4 5

x

y

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 25

Exercice 1

(P1: Connaître) Calcule sans calculatrice et donne l’exponentielle associée (comme dans

l’introduction théorique ci-dessus).

a. log3 1 = car 3…. =

b. log3 9 = car 3…. =

c. log31

27 = car 3…. =

d. log3 √814 = car 3…. =

e. log13

1 = car (13)…

=

f. log13

9 = car (13)…

=

g. log13

19 = car (1

3)…=

h. log13

√2434 = car (13)…

=

Exercice 2

(P1 : Connaître) Calcule les limites suivantes.

a. lim𝑥→∞ 4𝑥

b. lim𝑥→−∞ 2𝑥

c. lim𝑥→−∞ (13)𝑥

d. lim𝑥→−∞ (13)1−𝑥

e. lim𝑥→+∞ 2−𝑥

f. lim𝑥→−∞ 2𝑥2

g. lim𝑥→0 log12

𝑥

h. lim𝑥→0 log2 𝑥

i. lim𝑥→+∞ log12

𝑥 j. lim𝑥→−∞ log12

𝑥

k. lim𝑥→−∞ log0.55(−𝑥) l. lim𝑥→−∞ log0.55(𝑥)

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 26

1.4 Propriétés des logarithmes

1.4.1 Découverte

Complète la deuxième ligne des 3 tableaux et indique les opérations correspondant aux flèches

sous les tableaux en remplissant les pointillés. Trouve une formule générale en réécrivant les

opérations en fonction des réels positifs 𝑥 et 𝑦 et du réel 𝑛.

Opération 1

𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥 =100 𝑦 =1000 10000 𝑥 ∙ 𝑦 =

100000 1000000

log 𝑧

log 100000 = log(100 ∙ 1000) = log 100 … log 1000

𝐥𝐨𝐠(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 … 𝐥𝐨𝐠 𝒚

Opération 2

𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥𝑦 = 100

𝑦 =

1000 10000

𝑥 =

100000 1000000

log 𝑧

log 100 = log (1000001000 ) = log 10000 − log 1000

𝐥𝐨𝐠 (𝒙𝒚) = 𝐥𝐨𝐠 𝒙 … 𝐥𝐨𝐠 𝒚

Opération 3

𝑧 0,001 0,01 0,1 1 10 𝑥 =100 1000 10000 100000 𝑥𝑛 =

1000000

log 𝑧

log 1000000 = log(1003) = … log 100

𝐥𝐨𝐠(𝒙𝒏) = … 𝐥𝐨𝐠 𝒙

100 ∙ 1000 = 100000

…

… log 𝑥 … log 𝑦

𝑥 ∙ 𝑦

1003 = 1000000 𝑥𝑛

1000001000 = 100

log 𝑥𝑛 = … log 𝑥

…

𝑥𝑦

log 𝑥 … log 𝑦

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 27

1.4.2 Propriétés immédiates

Pour tout 𝑎 ∈ ℝ0+\{1} , pour tout réel 𝑥 ∈ ℝ0+ , pour tout réel 𝑟,

Par définition des exponentielles

(1.3.1) 𝑎0 = 1 𝑎1 = 𝑎

Par définition des logarithmes

(1.3.3)

log𝑎 1 = 0 log𝑎 𝑎 = 1

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂𝒓 = 𝒓

Par réciprocité des

exponentielles et logarithmes

(1.3.2) 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒙 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒂𝒙 = 𝒙

1.4.3 Opérations sur les logarithmes

Les propriétés découvertes au paragraphe 1.4.1 sont généralisées à toutes les bases et sont

démontrées dans ce paragraphe.

Pour tous réels positifs 𝑥 et 𝑦, pour tout réel 𝑟, pour tout réel 𝑎 ∈ ℝ0+\{1} :

Logarithme d’un produit

Le logarithme d’un produit est égal à la somme des logarithmes

𝐥𝐨𝐠𝒂(𝒙 ∙ 𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚

Démonstration

On pose 𝑢 = log𝑎 𝑥 ⇔ 𝑎𝑢 = 𝑥

𝑣 = log𝑎 𝑦 ⇔ 𝑎𝑣 = 𝑦

log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦) = log𝑎(𝑎𝑢 ∙ 𝑎𝑣)

= log𝑎(𝑎𝑢+𝑣)

= 𝑢 + 𝑣

= log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦

Logarithme d’une puissance

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙𝒓 = 𝒓 ∙ 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙

Démonstration


log𝑎(𝑥𝑟) = log𝑎(𝑎𝑢)𝑟

= log𝑎(𝑎𝑢∙𝑟)

= 𝑢 ∙ 𝑟

= 𝑟 ∙ log𝑎 𝑥

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 28

Logarithme d’un quotient

Le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes

𝐥𝐨𝐠𝒂 (𝒙𝒚) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒚

Démonstration

log𝑎 (𝑥𝑦) = log𝑎(𝑥 ∙ 𝑦−1)

= log𝑎 𝑥 + log𝑎(𝑦−1) (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒)

= log𝑎 𝑥 + (−1) ∙ log𝑎 𝑦 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒)

= log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦

Exercice 3

(P1 : Connaître) Exprime les logarithmes suivants en fonction de log 2 et log 3, en utilisant

uniquement les propriétés des logarithmes. Ecris la propriété utilisée appliquée à l’exercice.

Sachant que log 2 = 0.,301 et log 3 =0,477, détermine le résultat avec ta calculatrice.

a. log 4 =

b. log 6 =

c. log 8 =

d. log 9 =

e. log 12 =

f. log 32 =

Exercice 4

(P1 : Connaître) A l’aide des valeurs suivantes : log𝑎 15 = 1,09 et log𝑎 124 = 1,94, calcule sans

calculatrice les logarithmes suivants.

a. log𝑎15

124 =

b. log𝑎 154 =

c. log𝑎 √1243

d. log𝑎 124𝑎3

e. log𝑎124315𝑎3

f. log𝑎 𝑎log𝑎 1243

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 29

1.4.4 Changement de base

La formule de changement de base, utilisée au paragraphe 1.2.3 est démontrée ici. Pour tout réel

positif 𝑥, pour tous réels 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ0+\{1} :

𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒙𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂

Démonstration


log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑎𝑢

= 𝑢 ∙ log𝑏 𝑎 (𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑒 𝑑𝑢 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑝𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒)

= log𝑎 𝑥 ∙ log𝑏 𝑎

D’où

log𝑎 𝑥 = log𝑏 𝑥log𝑏 𝑎

Exercice 5

(P1 : Connaître) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée

à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.

a. log0.6 12 =

b. log5.2 4.1 =

c. log4 2000 =

d. log1.56 𝜋 =

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 30

1.5 Modélisation

1.5.1 Introduction

Modéliser, c’est traduire une situation réelle dans un langage mathématique dans le but de lui

appliquer des outils mathématiques, pour déduire des indications sur la situation réelle étudiée.

Voici par exemple une situation réelle :

« Un père de famille a un revenu net de 1500€ et a quatre filles. Chaque mois il doit payer les charges

du ménage s’élevant à 1275 €, et il distribue le reste à ses filles. L’aînée reçoit le double de ce que

reçoit la deuxième ou la troisième fille, et la plus petite reçoit la moitié de ce que reçoit la deuxième

ou la troisième. La deuxième fille se demande combien elle recevra. »

L’inconnue de ce problème est le montant que recevra la deuxième fille chaque mois, assignons à

ce montant une valeur inconnue 𝑥.

On modélise ce problème en le traduisant en une équation mathématique, qu’on résoudra avec les

outils qu’on a appris à maîtriser les années précédentes. Voici un exemple de modèle de cette

situation :

1500 = 1275 + 2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥2

⇔ 225 = 9𝑥2

⇔ 2259 = 𝑥

⇔ 𝑥 = 25

Et on en déduit que la deuxième fille recevra 25€ chaque mois.

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 31

1.5.2 Modélisation par exponentielles et logarithmes

Dans ce paragraphe, nous nous attacherons à modéliser des situations à l’aide des outils que nous

venons de découvrir, les exponentielles et les logarithmes.

Nous utiliserons des équations, qui font apparaître des égalités et des inéquations qui font

apparaître des inégalités (>, <, ≥, ≤) et on utilisera nos nouveaux outils pour trouver la réponse

au problème posé.

Nous avons résolu toutes sortes de problèmes dans la section 1.2, en utilisant nos facultés de

raisonnement mais sans modéliser, c’est-à-dire sans écrire d’équation. Nous allons ici faire

l’exercice de modéliser ces situations.

Reprenons les situations décrites au point 1.2.1 :

« Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de

bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience.

Les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a doublé »

1. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ?

L’inconnue 𝑥 est le temps. Nous avons remarqué que le nombre de bactéries après 𝑥

heures valait 2𝑥. On modélisera le problème par l’équation suivante :

2𝑥 = 4096

Il s’agit d’une équation exponentielle, la variable 𝑥 apparaît en exposant dans l’équation.

Après l’avoir créée, il convient de la résoudre afin de répondre à la question posée. Pour

résoudre cette équation on utilisera une propriété qui traduit mathématiquement la

réciprocité des exponentielles et logarithmes de même base. Les fonctions étant

réciproques, leurs « effets s’annulent » (voir 1.2.4) :

𝒙 = log𝑎 𝑎𝒙 (propriété 1)

Pour utiliser cette propriété, on appliquera le logarithme de même base que

l’exponentielle aux 2 membres de l’équation :

log2 2𝑥 = log2 4096

Avec la propriété 1

𝑥 = log2 4096

Or puisque 212 = 4096, on a :

𝑥 = log2 212

Avec la propriété 1

𝑥 = 12

Il faudra donc 12 h pour avoir 4096 bactéries dans le récipient

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 32

2. Après combien de temps y aura-t-il plus de 15 bactéries dans le récipient ?

2𝑥 > 15

Il s’agit d’une inéquation exponentielle, appliquons le logarithme en base 2 aux deux

membres de l’équation :

log2 2𝑥 > log2 15

Avec la propriété 1 :

𝑥 > log2 15

On calculera le second membre à la calculatrice car 15 n’est pas une puissance de 2, on a :

log2 15 = log 15log 2 = 3,9

Et on a, finalement :

𝑥 > 3,9

Il aura plus de 15 bactéries dans le récipient après 3,9 heures

3. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient après quatre heures ?

Ici, on ne cherche plus à déterminer un temps, l’inconnue 𝑥 est le nombre de bactéries. On

utilisera donc la fonction réciproque, c’est-à-dire le logarithme. Nous avons remarqué que

le temps à attendre pour obtenir un nombre 𝑥 de bactéries valait log2 𝑥. On modélisera

donc le problème par l’équation suivante :

log2 𝑥 = 4

Il s’agit d’une équation logarithmique, en effet, la variable 𝑥 apparaît dans le logarithme.

Pour résoudre cette équation on utilisera une autre propriété illustrant la réciprocité des

exponentielles et logarithmes de même base (voir 1.2.4) :

𝒙 = 𝑎log𝑎 𝒙 (propriété 2)

On utilisera cette propriété en appliquant l’exponentielle de même base que le logarithme

aux 2 membres de l’équation :

2log2 𝑥 = 24


𝑥 = 24

⇔ 𝑥 = 16

Il y aura 16 bactéries après 4 heures.

4. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient si on attend plus de 24 heures ?

log2 𝑥 > 24

Il s’agit d’une inéquation logarithmique. La variable 𝑥 apparaît dans le logarithme, on

appliquera l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation :

2log2 𝑥 > 224


𝑥 > 224 c’est-à-dire : 𝑥 > 16 777 216

Il y aura plus de 16,77 millions de bactéries après 24 heures.

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 33

Exercice 6

(P3 : Transférer) Modélise les situations suivantes, décrites au point 1.2.1, avec des équations ou

des inéquations, et résous-les pour trouver la solution au problème posé :

« Tu décides d’aller placer 1€ à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte

pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de

chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve. »

a. Après combien d’années auras-tu plus de 2€ sur ton compte ?

b. A combien s’élève ton capital après 10 ans ?

c. Quelle somme auras-tu si tu attends plus de 50 ans ?

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 34

1.5.3 Résolution

Les méthodes de résolution s’appuient sur les différentes définitions et propriétés des logarithmes énoncées dans les paragraphes 1.3 et 1.4. Dans les tableaux suivants, des résolutions

sont données pour les différents types d’équations ou d’inéquations rencontrées.

1.5.3.1 Equations exponentielles

Pas de CE (condition d’existence) car 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

égalité de 2 exponentielles de

même base

égalité entre une

exponentielle et un réel

égalité de 2 exponentielles de

base différentes

35𝑥+1 = 32−4𝑥 22𝑥 = 14 22𝑥+1 = 82−𝑥

on égale les exposants

⇔ 5𝑥 + 1 = 2 − 4𝑥

⇔ 9𝑥 = 1

⇔ 𝑥 = 19

on utilise les propriétés des

puissances pour se ramener à une

égalité de 2 exponentielles de même

base

⇔ 22𝑥 = 2−2


⇔ 2𝑥 = −2

⇔ 𝑥 = −1




base

⇔ 22𝑥+1 = 82−𝑥

⇔ 22𝑥+1 = (23)2−𝑥

⇔ 22𝑥+1 = 26−3𝑥


⇔ 2𝑥 + 1 = 6 − 3𝑥

⇔ 𝑥 = 1

ensemble solution ensemble solution ensemble solution

𝑆 = {19} 𝑆 = {−1} 𝑆 = {1}

Exercice 7

(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes.

a. 33𝑥 – 3𝑥+1 = 0

b. 9𝑥 = 1

3𝑥+2

c. 43𝑥 = 116

d. 2 (18)4𝑥 = 32

e. 32𝑥−5 = 3𝑥−2

f. 42𝑥+3 = 1

4

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 35

1.5.3.2 Inéquations exponentielles

Pas de CE (condition d’existence) car 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ

inégalité de 2 exponentielles

de même base

inégalité entre une

exponentielle et un réel

inégalité de 2 exponentielles

de base différentes

(0,2)3𝑥+4 < (0,2)5𝑥+1 32𝑥+1 ≥ 19 3𝑥+1 < ( 1

27)1−𝑥

en égalant les exposants, on doit

changer le sens de l’inégalité car la

fonction 0,2𝑥 est décroissante, c’est-

à-dire que si la valeur de

l’exponentielle augmente, l’abscisse de la fonction (exposant) diminue :

⇔ 3𝑥 + 4 > 5𝑥 + 1

⇔ −2𝑥 > 5

⇔ 𝑥 < − 52




base

⇔ 32𝑥+1 ≥ 3−2


⇔ 2𝑥 + 1 ≥ −2

⇔ 2𝑥 ≥ −3

⇔ 𝑥 ≥ − 32




base

⇔ 3𝑥+1 < (3−3)1−𝑥

⇔ 3𝑥+1 < 3−3+3𝑥 on égale les exposants

⇔ 𝑥 + 1 < −3 + 3𝑥

⇔ −2𝑥 < −4

pour rappel ; en factorisant les deux

membres d’une inéquation par un nombre négatif (ici −2), on doit

changer le sens de l’inégalité

⇔ 𝑥 > 2


𝑆 = ←, − 52[ 𝑆 = [− 3

2 , → 𝑆 = ]2, →

Exercice 8

(P2 : Appliquer) : Résous les inéquations suivantes :

a. 32𝑥+2 > 19

b. 475𝑥+3 > 1

c. 4𝑥−4 − 45 ≥ 0

d. 0,22𝑥+1 − [ 1

0,04]3 ≥ 0

e. 53𝑥+2 < 53𝑥+1

f. 53𝑥+2 < 52𝑥+3

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 36

1.5.3.3 Equations logarithmiques

On commence par déterminer les conditions d’existence (CE) car le domaine d’une fonction

logarithme est ℝ0+. Ainsi l’argument de la fonction logarithme doit être strictement positif.

égalité de 2 logarithmes

de même base

égalité entre logarithme et un

réel

cas où il faut utiliser les

propriétés des logarithmes

log4(𝑥 − 2) = log4 5 log3(5 − 𝑥) = 2 log3 𝑥 + log3 2 = 1

conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence

𝑥 − 2 > 0

⇔ 𝑥 > 2 5 − 𝑥 > 0

⇔ 𝑥 < 5 𝑥 > 0

on trouve directement :

⇔ 𝑥 − 2 = 5

⇔ 𝑥 = 7 on passe à l’exposant de même base

que le logarithme :

⇔ 3log3(5−𝑥) = 32

avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3) : ⇔ (5 − 𝑥) = 32

⇔ (5 − 𝑥) = 9

⇔ 𝑥 = −4


logarithmes pour se ramener à un cas

décrit dans les colonnes de gauche : ⇔ log3 2𝑥 = 1

on est dans le cas de la colonne du

milieu : on passe à l’exposant de même base que le logarithme :

⇔ 3𝑙𝑜𝑔3 2𝑥 = 31

avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3) :

⇔ 2𝑥 = 3

⇔ 𝑥 = 3 2


𝑆 = {7} 𝑆 = {−4} 𝑆 = {32}

Exercice 9

(P2 : Appliquer) : Résous les équations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence.

a. log2(x − 1) = log2 8 b. log3 (1 − 2x3 ) = 4

c. log3 x − log3 4 = 1 d. log4 2 − log4 3x = 4

e. log2(1 − 3x) = 2 f. log3 2x + log312 = 2

g. log(x − 2) = log(x + 2) h. log3 2x − log3(x + 4) = 2

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 37

1.5.3.4 Inéquations logarithmiques

inégalité de 2 logarithmes de

même base

inégalité entre logarithme et

un réel

cas où il faut utiliser les

propriétés des logarithmes

log0,4(5𝑥 − 1) > log0,4(3x+ 4)

log2(3𝑥 − 1) ≤ 5 ln 𝑥 − ln 2 ≤ ln(1 − 3𝑥)

conditions d’existence conditions d’existence conditions d’existence

{5𝑥 − 1 > 03𝑥 + 4 > 0

⇔ { 𝑥 > 1 5⁄𝑥 > −4 3⁄

en combinant les deux conditions :

⇔ 𝑥 > 15

3𝑥 − 1 > 0

⇔ 𝑥 > 13

{ 𝑥 > 01 − 3𝑥 > 0

⇔ { 𝑥 > 0𝑥 < 1 3⁄

en combinant les deux conditions :

⇔ 0 < 𝑥 < 13

on doit changer le sens de l’inégalité

car la fonction log0,4 𝑥 est

décroissante, c’est-à-dire que si la

valeur du logarithme augmente,

l’argument de la fonction diminue :

⇔ 5𝑥 − 1 < 3𝑥 + 4

⇔ 2𝑥 < 5

⇔ 𝑥 < 52

on passe à l’exposant de même base que le logarithme :

⇔ 2log2(3𝑥−1) ≤ 25

avec la propriété 𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 (1.3.3): ⇔ 3x − 1 ≤ 25

⇔ 3x − 1 ≤ 32

⇔ 3𝑥 ≤ 33

⇔ 𝑥 ≤ 11


logarithmes pour se ramener à un

cas décrit dans les colonnes de

gauche :

⇔ ln 𝑥2 ≤ ln (1 − 3x)

on est dans le cas de la colonne de

gauche : on trouve directement :

⇔ ln 𝑥2 ≤ ln(1 − 3𝑥)

⇔ 𝑥2 ≤ 1 − 3𝑥

⇔ 7𝑥2 ≤ 1

⇔ 𝑥 ≤ 2 7

ensemble solution ensemble solution (en tenant compte des CE)

ensemble solution (en tenant compte des CE)

𝑆 = ←, 52[ 𝑆 = ]1

3 , 11] 𝑆 = ]0, 2 7]

Exercice 10

(P2 : Appliquer) Résous les inéquations suivantes, n’oublie pas les conditions d’existence. a. log2(2𝑥 − 2) > log2 3 b. log2(1 − 2𝑥) ≤ 3

c. log3 𝑥 − log3 5 < 2 d. log2(3𝑥 + 3) − log2 3 ≥ 0

e. log (2𝑥 + 4) < log 4𝑥 f. log5(1 − 2𝑥) > 0

g. log 3𝑥 + log (13) < 2 h. log 3𝑥 − log (1

3) < 2

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 40

1.6 Les graphes à échelle semi-logarithmique

Le choix d'une échelle logarithmique est nécessaire pour représenter un phénomène qui a une

évolution très rapide ou très faible sur une partie de son domaine. On peut prendre comme

exemple l’évolution de la population de la Terre :

An

né

e

-10

00

0

-65

00

-50

00

40

0

10

00

12

50

15

00

17

00

17

50

18

00

18

50

19

00

19

10

19

20

19

30

19

40

Population (millions) 5 7.5 12.5 190 254 400 425 600 691 810 1120 1550 1750 1860 2070 2300

An

né

e

19

50

19

55

19

60

19

65

19

70

19

75

19

80

19

85

19

90

19

95

20

00

20

05

20

10

20

15

Population (millions) 2525 2758 3018 3322 3682 4061 4439 4852 5309 5735 6126 6519 6929 7349

On se rend compte que ce graphique ne permet :

• ni de bien percevoir l’évolution de la population avant -2000 car l’évolution est trop lente (et donc le graphe est quasiment plat),

• ni de bien percevoir l’évolution de la population après l’an 1800 car l’évolution est trop rapide (et donc la pente du graphe est presque verticale).

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 41

On peut donc imaginer représenter en ordonnée non pas directement la population, mais

l’exposant en base 10 de la population, c’est-à-dire le logarithme en base 10 de la population. A

nn

ée

-10

00

0

-65

00

-50

00

40

0

10

00

12

50

15

00

17

00

17

50

18

00

18

50

19

00

19

10

19

20

19

30

19

40

Population (millions) 5 7.5 12.5 190 254 400 425 600 691 810 1120 1550 1750 1860 2070 2300

log de la population 6.70 6.88 7.10 8.28 8.40 8.60 8.63 8.78 8.84 8.91 9.05 9.19 9.24 9.27 9.32 9.36

An

né

e

19

50

19

55

19

60

19

65

19

70

19

75

19

80

19

85

19

90

19

95

20

00

20

05

20

10

20

15

Population (millions) 2525 2758 3018 3322 3682 4061 4439 4852 5309 5735 6126 6519 6929 7349

log de la population 9.40 9.44 9.48 9.52 9.57 9.61 9.65 9.69 9.73 9.76 9.79 9.81 9.84 9.87

On peut désormais se rendre compte de l’évolution de la population à toutes les époques.

Néanmoins, avec cette méthode, la valeur de la population ne peut pas directement être retrouvée

sur le graphique, en effet, on ne retrouve que le logarithme.

Il serait plus facile d’utiliser un graphique dont l’axe des ordonnées présente la valeur de population et non son logarithme, en gardant l’allure du graphe précédent pour encore percevoir

l’évolution de la population.

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 42

Pour ce faire, on utilise un graphique à échelle semi-logarithmique. Il s’agit d’un graphique où

l’allure de la courbe est identique à celle du graphe précédent, mais où on a uniquement changé la

numérotation d’un des axes. Au lieu de donner la valeur du logarithme de la population sur l’axe vertical, on donne ici la valeur de la population, mais en conservant la graduation du graphe

précédent. On dira donc que l’axe des ordonnées, n’est plus gradué linéairement

(proportionnellement à l’unité) mais logarithmiquement (proportionnellement à une puissance d’un nombre, ici 10).

Les lignes horizontales représentent les unités entre 1 et 10, les dizaines entre 10 et 100, les

centaines entre 100 et 1000, …, c’est-à-dire :

2

3

4

5

6 7 8 9

20

30

40

50

60

On remarque qu’il est impossible de représenter les nombres inférieurs à 1 avec

cette graduation. En effet, l’échelle logarithmique commence avec le nombre

pour lequel le logarithme vaut 0. Or, log(1)=0,

donc le premier nombre représenté sur l’axe y est égal à 1 (voir aussi propriétés des

logarithmes au point 1.4.)

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 43

Exercice 13

(P1 : Connaître) Lire un axe logarithmique

On étudie l’augmentation du nombre N de bactéries dans un bouillon de culture. Au lieu de représenter directement le nombre de bactéries, le graphe ci-dessous donne le logarithme en base

10 du nombre de bactéries.

Complète le tableau ci-dessous en déduisant le nombre de bactéries (N) du logarithme du nombre

de bactéries (log N) représenté sur le graphe :

x (h) 0 1 2 3 4 5 6

log N

N

Estime graphiquement le nombre de bactéries après 7 h :

log N après 7h = ……………………………………………………………………………………………

N après 7h = ……………………………………………………………………………………………

Estime graphiquement après combien de temps il y aura 100 bactéries dans le bouillon de culture,

représente la construction graphique utilisée sur le graphique ci-dessus :

N=100, donc log N = ……………………………………………………………………………………………

Pour obtenir 100 bactéries, il faut attendre …………………heures.

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 44

Exercice 14

(P2 : Appliquer) Représenter des données avec une échelle semi-logarithmique

On étudie l’augmentation du nombre de véhicules en Belgique depuis 1930. Les données sont fournies sous la forme d’un graphique.

Complète le tableau ci-dessous en tirant les données du graphe. Ensuite, calcule les logarithmes

en base 10 de ces données et place-les sur le graphe ci-dessous:

Année 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

N log N

Institut Montjoie


M. Decamps

Page 45

1

10

100

1000

10000

100000

1000000

10000000

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020

N: Nombre de véhicules en Belgique

Année

Retranscris ces données sur le graphe à échelle semi-logarithmique ci-dessous :

exponentielles et logarithmesprofdecamps.e-monsite.com/medias/files/6m4-chapitre1-exp...Institut...

Documents

Transcript of exponentielles et logarithmesprofdecamps.e-monsite.com/medias/files/6m4-chapitre1-exp...Institut...